Il teorema per cambiare la quantità di moto di un punto materiale è un corollario. Teoremi sulla variazione della quantità di moto di un punto e di un sistema

Lascia che un punto materiale si muova sotto l'influenza della forza F. È necessario determinare il movimento di questo punto rispetto al sistema in movimento Oxyz(vedi moto complesso di un punto materiale), che si muove in modo noto rispetto ad un sistema stazionario O 1 X 1 sì 1 z 1 .

Equazione fondamentale della dinamica in un sistema stazionario

Scriviamo l'accelerazione assoluta di un punto utilizzando il teorema di Coriolis

Dove UN addominali– accelerazione assoluta;

UN rel– accelerazione relativa;

UN sentiero– accelerazione portatile;

UN nucleo– Accelerazione di Coriolis.

Riscriviamo la (25) tenendo conto della (26)

Introduciamo la notazione
- forza d'inerzia portatile,
- Forza d'inerzia di Coriolis. Quindi l'equazione (27) assume la forma

L'equazione base della dinamica per lo studio del moto relativo (28) è scritta come per il moto assoluto, solo le forze di inerzia di trasferimento e di Coriolis devono essere aggiunte alle forze agenti su un punto.

Teoremi generali sulla dinamica di un punto materiale

Quando si risolvono molti problemi, è possibile utilizzare spazi prefabbricati ottenuti sulla base della seconda legge di Newton. Tali metodi di risoluzione dei problemi sono combinati in questa sezione.

Teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto materiale

Introduciamo le seguenti caratteristiche dinamiche:

1. Momento di un punto materiale– quantità vettoriale pari al prodotto della massa di un punto per il suo vettore velocità

. (29)

2. Impulso di forza

Impulso elementare di forza– quantità vettoriale pari al prodotto del vettore forza per un intervallo di tempo elementare

(30).

Poi pieno impulso

. (31)

A F=const otteniamo S=Piede.

L'impulso totale in un periodo finito di tempo può essere calcolato solo in due casi, quando la forza che agisce su un punto è costante o dipende dal tempo. In altri casi è necessario esprimere la forza in funzione del tempo.

L'uguaglianza delle dimensioni dell'impulso (29) e della quantità di moto (30) permette di stabilire una relazione quantitativa tra loro.

Consideriamo il movimento di un punto materiale M sotto l'azione di una forza arbitraria F lungo una traiettoria arbitraria.

DI UD:
. (32)

Separiamo le variabili in (32) e integriamo

. (33)

Di conseguenza, tenendo conto della (31), otteniamo

. (34)

L'equazione (34) esprime il seguente teorema.

Teorema: La variazione della quantità di moto di un punto materiale in un certo periodo di tempo è uguale all'impulso della forza che agisce sul punto nello stesso intervallo di tempo.

Quando si risolvono i problemi, l'equazione (34) deve essere proiettata sugli assi delle coordinate

Questo teorema è conveniente da usare quando tra le quantità date e incognite ci sono la massa di un punto, la sua velocità iniziale e finale, le forze e il tempo di movimento.

Teorema sulla variazione del momento angolare di un punto materiale

M
momento della quantità di moto di un punto materiale rispetto al centro è uguale al prodotto del modulo della quantità di moto del punto e della spalla, cioè la distanza più breve (perpendicolare) dal centro alla linea coincidente con il vettore velocità

, (36)

. (37)

La relazione tra il momento della forza (causa) e il momento della quantità di moto (effetto) è stabilita dal seguente teorema.

Sia il punto M di una data massa M si muove sotto l'influenza della forza F.

,
,

, (38)

. (39)

Calcoliamo la derivata di (39)

. (40)

Combinando la (40) e la (38), otteniamo infine

. (41)

L'equazione (41) esprime il seguente teorema.

Teorema: La derivata temporale del vettore momento angolare di un punto materiale rispetto a un centro è uguale al momento della forza agente sul punto rispetto allo stesso centro.

Quando si risolvono i problemi, l'equazione (41) deve essere proiettata sugli assi delle coordinate

Nelle equazioni (42), i momenti di quantità di moto e forza vengono calcolati rispetto agli assi delle coordinate.

Dalla (41) segue legge di conservazione del momento angolare (legge di Keplero).

Se il momento della forza che agisce su un punto materiale rispetto a un centro qualsiasi è zero, il momento angolare del punto rispetto a questo centro mantiene la sua grandezza e direzione.

Se
, Quello
.

Il teorema e la legge di conservazione vengono utilizzati in problemi che coinvolgono il movimento curvilineo, soprattutto sotto l'azione di forze centrali.

Il sistema discusso nel teorema può essere qualsiasi sistema meccanico costituito da qualsiasi corpo.

Enunciato del teorema

La quantità di movimento (impulsi) di un sistema meccanico è una quantità pari alla somma delle quantità di movimento (impulsi) di tutti i corpi inclusi nel sistema. L'impulso delle forze esterne che agiscono sui corpi del sistema è la somma degli impulsi di tutte le forze esterne che agiscono sui corpi del sistema.

( kg m/s)

Afferma il teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema

La variazione della quantità di moto del sistema in un certo periodo di tempo è uguale all'impulso delle forze esterne che agiscono sul sistema nello stesso periodo di tempo.

Legge di conservazione della quantità di moto di un sistema

Se la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema è zero, allora la quantità di moto (momento) del sistema è una quantità costante.

, otteniamo l'espressione del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma differenziale:

Avendo integrato entrambi i lati dell'uguaglianza risultante in un periodo di tempo arbitrariamente preso tra alcuni e , otteniamo l’espressione del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma integrale:

Legge di conservazione della quantità di moto (Legge di conservazione della quantità di moto) afferma che la somma vettoriale degli impulsi di tutti i corpi del sistema è un valore costante se la somma vettoriale delle forze esterne agenti sul sistema è pari a zero.

(momento della quantità di moto m 2 kg s −1)

Teorema sulla variazione del momento angolare rispetto al centro

la derivata temporale del momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto a un qualsiasi centro fisso è uguale al momento della forza agente sul punto rispetto allo stesso centro.

non so 0 /dt = M 0 (F ) .

Teorema sulla variazione del momento angolare rispetto ad un asse

la derivata temporale del momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto a qualsiasi asse fisso è uguale al momento della forza che agisce su questo punto rispetto allo stesso asse.

non so X /dt = M X (F ); non so sì /dt = M sì (F ); non so z /dt = M z (F ) .

Considera un punto materiale M massa M , muovendosi sotto l'influenza della forza F (Figura 3.1). Scriviamo e costruiamo il vettore del momento angolare (momento cinetico) M 0 punto materiale rispetto al centro O :

Differenziamo l'espressione del momento angolare (momento cinetico K 0) in base all'ora:

Perché dottor /dt = V , quindi il prodotto vettoriale V ⊗ M ⋅ V (vettori collineari V E M ⋅ V ) è uguale a zero. Allo stesso tempo d(m ⋅ V) /dt = F secondo il teorema sulla quantità di moto di un punto materiale. Quindi lo capiamo

non so 0 /dt = R ⊗F , (3.3)

Dove R ⊗F = M 0 (F ) – vettore momento della forza F rispetto ad un centro fisso O . Vettore K 0 ⊥ piano ( R , M ⊗V ) e il vettore M 0 (F ) ⊥ aereo ( R ,F ), finalmente abbiamo

non so 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

L'equazione (3.4) esprime il teorema sulla variazione del momento angolare (momento angolare) di un punto materiale rispetto al centro: la derivata temporale del momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto a un qualsiasi centro fisso è uguale al momento della forza agente sul punto rispetto allo stesso centro.

Proiettando l'uguaglianza (3.4) sugli assi delle coordinate cartesiane, si ottiene

non so X /dt = M X (F ); non so sì /dt = M sì (F ); non so z /dt = M z (F ) . (3.5)

Le uguaglianze (3.5) esprimono il teorema sulla variazione del momento angolare (momento cinetico) di un punto materiale rispetto all'asse: la derivata temporale del momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto a qualsiasi asse fisso è uguale al momento della forza che agisce su questo punto rispetto allo stesso asse.

Consideriamo le conseguenze derivanti dai Teoremi (3.4) e (3.5).

Corollario 1. Consideriamo il caso in cui la forza F durante l'intero movimento il punto passa per il centro stazionario O (caso di forza centrale), cioè Quando M 0 (F ) = 0. Allora dal Teorema (3.4) segue che K 0 = cost ,

quelli. nel caso di una forza centrale, il momento angolare (momento cinetico) di un punto materiale rispetto al centro di questa forza rimane costante in grandezza e direzione (Figura 3.2).

Figura 3.2

Dalla condizione K 0 = cost ne consegue che la traiettoria di un punto in movimento è una curva piana, il cui piano passa per il centro di questa forza.

Corollario 2. Permettere M z (F ) = 0, cioè la forza attraversa l'asse z o parallelo ad esso. In questo caso, come si può vedere dalla terza delle equazioni (3.5), K z = cost ,

quelli. se il momento della forza che agisce su un punto rispetto a un qualsiasi asse fisso è sempre zero, allora il momento angolare (momento cinetico) del punto rispetto a questo asse rimane costante.

Dimostrazione del teorema sulla variazione della quantità di moto

Supponiamo che il sistema sia costituito da punti materiali con masse e accelerazioni. Dividiamo tutte le forze che agiscono sui corpi del sistema in due tipi:

Le forze esterne sono forze che agiscono da corpi non inclusi nel sistema in esame. La risultante delle forze esterne che agiscono su un punto materiale con numero io indichiamo

Le forze interne sono le forze con cui interagiscono tra loro i corpi del sistema stesso. La forza con cui si arriva al punto con il numero io il punto con il numero è valido K, denoteremo , e la forza di influenza io punto in poi K esimo punto - . Ovviamente, quando, allora

Usando la notazione introdotta, scriviamo la seconda legge di Newton per ciascuno dei punti materiali considerati nella forma

Considerando che e sommando tutte le equazioni della seconda legge di Newton, otteniamo:

L'espressione rappresenta la somma di tutte le forze interne che agiscono nel sistema. Secondo la terza legge di Newton, in questa somma, ad ogni forza corrisponde una forza tale che, quindi, vale Poiché l'intera somma è costituita da tali coppie, la somma stessa è zero. Quindi possiamo scrivere

Usando la notazione per la quantità di moto del sistema, otteniamo

Avendo preso in considerazione la variazione della quantità di moto delle forze esterne , otteniamo l’espressione del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma differenziale:

Pertanto, ciascuna delle ultime equazioni ottenute ci consente di affermare: un cambiamento nella quantità di moto del sistema avviene solo come risultato dell'azione di forze esterne e le forze interne non possono avere alcuna influenza su questo valore.

Avendo integrato entrambi i lati dell'uguaglianza risultante su un intervallo di tempo arbitrariamente scelto tra alcuni e , otteniamo l'espressione del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma integrale:

dove e sono i valori della quantità di movimento del sistema in alcuni istanti di tempo e, rispettivamente, e è l'impulso delle forze esterne in un periodo di tempo. In accordo con quanto detto in precedenza e con le notazioni introdotte,

Per un punto materiale, la legge fondamentale della dinamica può essere rappresentata come

Moltiplicando vettorialmente entrambi i lati di questa relazione a sinistra per il raggio vettore (Fig. 3.9), otteniamo

(3.32)

Sul lato destro di questa formula abbiamo il momento della forza relativo al punto O. Trasformiamo il lato sinistro applicando la formula per la derivata di un prodotto vettoriale

Ma come prodotto vettoriale di vettori paralleli. Dopo questo otteniamo

(3.33)

La derivata prima rispetto al tempo del momento della quantità di moto di un punto rispetto a un qualsiasi centro è uguale al momento della forza rispetto allo stesso centro.

Figura 3.12

; ;

Per dati di input, il momento angolare del sistema

Teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema. Applichiamo le forze esterne ed interne risultanti a ciascun punto del sistema. Per ogni punto del sistema si può applicare il teorema sulla variazione del momento angolare, ad esempio nella forma (3.33)

Sommando su tutti i punti del sistema e tenendo conto che la somma delle derivate è uguale alla derivata della somma, otteniamo

Determinando il momento cinetico del sistema e le proprietà delle forze esterne ed interne

Pertanto, la relazione risultante può essere rappresentata come

La derivata prima temporale del momento angolare di un sistema rispetto a un punto qualsiasi è uguale al momento principale delle forze esterne agenti sul sistema rispetto allo stesso punto.

3.3.5. Lavoro di forza

1) Il lavoro elementare di una forza è pari al prodotto scalare della forza per il raggio differenziale del vettore del punto di applicazione della forza (Fig. 3.13)

Figura 3.13

L'espressione (3.36) può essere scritta anche nelle seguenti forme equivalenti

dove è la proiezione della forza nella direzione della velocità del punto di applicazione della forza.

2) Lavoro della forza sullo spostamento finale

Integrando il lavoro elementare della forza, otteniamo le seguenti espressioni per il lavoro della forza sullo spostamento finale dal punto A al punto B

3) Lavoro di forza costante

Se la forza è costante, segue dalla (3.38).

Il lavoro di una forza costante non dipende dalla forma della traiettoria, ma dipende solo dal vettore spostamento del punto di applicazione della forza.

4) Lavoro della forza peso

Per la forza peso (Fig. 3.14) e dalla (3.39) otteniamo

Figura 3.14

Se il movimento avviene dal punto B al punto A, allora

Generalmente

Il segno “+” corrisponde al movimento verso il basso del punto di applicazione della forza, il segno “-” verso l'alto.

4) Lavoro della forza elastica

Lasciamo che l'asse della molla sia diretto lungo l'asse x (Fig. 3.15), e l'estremità della molla si muova dal punto 1 al punto 2, quindi da (3.38) otteniamo

Se la rigidità della molla lo è Con, allora

UN (3.41)

Se l'estremità della molla si sposta dal punto 0 al punto 1, in questa espressione sostituiamo , , quindi il lavoro della forza elastica assumerà la forma

(3.42)

dov'è l'allungamento della molla.

Figura 3.15

5) Il lavoro della forza applicata ad un corpo rotante. Il lavoro del momento.

Nella fig. La Figura 3.16 mostra un corpo rotante a cui viene applicata una forza arbitraria. Durante la rotazione, il punto di applicazione di questa forza si muove in un cerchio.

Consiste in N punti materiali. Selezioniamo un certo punto da questo sistema Mj con massa m j. Come è noto, su questo punto agiscono forze esterne ed interne.

Applichiamolo al punto Mj risultante di tutte le forze interne Fj i e la risultante di tutte le forze esterne F j e(Figura 2.2). Per un punto materiale selezionato Mj(come punto libero) scriviamo il teorema sulla variazione della quantità di moto in forma differenziale (2.3):

Scriviamo equazioni simili per tutti i punti del sistema meccanico (j=1,2,3,…,n).

Figura 2.2

Sommiamo tutto pezzo per pezzo N equazioni:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Qui ∑mj×Vj=Q– la quantità di movimento del sistema meccanico;
∑F j e = R e– il vettore principale di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema meccanico;
∑F j io = R i = 0– il vettore principale delle forze interne del sistema (secondo la proprietà delle forze interne, è uguale a zero).

Infine, per il sistema meccanico otteniamo

dQ/dt = R e. (2.11)

L'espressione (2.11) è un teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma differenziale (in espressione vettoriale): la derivata temporale del vettore della quantità di moto di un sistema meccanico è uguale al vettore principale di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema.

Proiettando il vettore uguaglianza (2.11) sugli assi delle coordinate cartesiane, otteniamo le espressioni del teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in espressione coordinata (scalare):

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

quelli. la derivata temporale della proiezione della quantità di moto di un sistema meccanico su qualsiasi asse è uguale alla proiezione su questo asse del vettore principale di tutte le forze esterne che agiscono su questo sistema meccanico.

Moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza (2.12) per dt, otteniamo il teorema in un’altra forma differenziale:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

quelli. il momento differenziale di un sistema meccanico è uguale all'impulso elementare del vettore principale (la somma degli impulsi elementari) di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema.

Integrando l'uguaglianza (2.13) all'interno del cambiamento temporale da 0 a T, otteniamo un teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma finale (integrale) (in espressione vettoriale):

Q - Q 0 = S e,

quelli. la variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in un periodo di tempo finito è uguale all'impulso totale del vettore principale (la somma degli impulsi totali) di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema durante lo stesso periodo di tempo.

Proiettando il vettore uguaglianza (2.14) sugli assi delle coordinate cartesiane, otteniamo le espressioni del teorema in proiezioni (in un'espressione scalare):

quelli. la variazione nella proiezione della quantità di moto di un sistema meccanico su qualsiasi asse in un periodo di tempo finito è uguale alla proiezione sullo stesso asse dell'impulso totale del vettore principale (la somma degli impulsi totali) di tutte le forze esterne agendo sul sistema meccanico nello stesso periodo di tempo.

Dal teorema considerato (2.11) – (2.15) conseguono i seguenti corollari:

1. Se R e = ∑F j e = 0, Quello Q = cost– abbiamo la legge di conservazione del vettore della quantità di moto di un sistema meccanico: se il vettore principale Rif di tutte le forze esterne che agiscono su un sistema meccanico è uguale a zero, allora il vettore della quantità di moto di questo sistema rimane costante in grandezza e direzione e uguale al suo valore iniziale Q0, cioè. Q = Q0.
2. Se R x e = ∑X j e = 0 (R e ≠ 0), Quello Q x = cost– abbiamo la legge di conservazione della proiezione sull’asse della quantità di moto di un sistema meccanico: se la proiezione del vettore principale di tutte le forze agenti su un sistema meccanico su un qualsiasi asse è zero, allora la proiezione sullo stesso asse di il vettore della quantità di moto di questo sistema sarà un valore costante e uguale alla proiezione su questo asse del vettore iniziale della quantità di moto, cioè Qx = Q0x.

La forma differenziale del teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema materiale ha importanti ed interessanti applicazioni nella meccanica del continuo. Dalla (2.11) si ricava il teorema di Eulero.

Equazione differenziale del moto di un punto materiale sotto l'influenza di una forza F può essere rappresentato nella seguente forma vettoriale:

Dalla massa di un punto M viene accettato come costante, può essere inserito sotto il segno della derivata. Poi

La formula (1) esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto in forma differenziale: la derivata prima rispetto al tempo della quantità di moto di un punto è uguale alla forza agente sul punto.

Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate (1) può essere rappresentato come

Se entrambi i lati (1) vengono moltiplicati per dt, quindi otteniamo un'altra forma dello stesso teorema: il teorema della quantità di moto in forma differenziale:

quelli. la differenza della quantità di moto di un punto è uguale all'impulso elementare della forza agente sul punto.

Proiettando entrambe le parti della (2) sugli assi coordinati, otteniamo

Integrando entrambe le parti di (2) da zero a t (Fig. 1), abbiamo

dov'è la velocità del punto in questo momento T; - velocità a T = 0;

S- impulso di forza nel tempo T.

Un'espressione nella forma (3) è spesso chiamata teorema della quantità di moto in forma finita (o integrale): la variazione della quantità di moto di un punto in un qualsiasi periodo di tempo è uguale all'impulso della forza nello stesso periodo di tempo.

Nelle proiezioni sugli assi coordinati, questo teorema può essere rappresentato nella forma seguente:

Per un punto materiale, il teorema sulla variazione della quantità di moto in qualsiasi forma non è essenzialmente diverso dalle equazioni differenziali del moto di un punto.

Teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema

La quantità di moto del sistema sarà chiamata quantità vettoriale Q, pari alla somma geometrica (vettore principale) delle quantità di movimento di tutti i punti del sistema.

Consideriamo un sistema composto da N punti materiali. Componiamo le equazioni differenziali del moto per questo sistema e aggiungiamole termine per termine. Quindi otteniamo:

L'ultima somma, per la proprietà delle forze interne, è pari a zero. Oltretutto,

Infine troviamo:

L’equazione (4) esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma differenziale: la derivata temporale della quantità di moto del sistema è uguale alla somma geometrica di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema.

Troviamo un'altra espressione per il teorema. Lascia entrare il momento T= 0 è la quantità di movimento del sistema Q0, e al momento t1 diventa uguale Domanda 1. Quindi, moltiplicando entrambi i lati dell'uguaglianza (4) per dt e integrando otteniamo:

O dove:

(Impulso della forza S)

poiché gli integrali a destra danno impulsi di forze esterne,

l’equazione (5) esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma integrale: la variazione della quantità di moto del sistema in un certo periodo di tempo è uguale alla somma degli impulsi delle forze esterne che agiscono sul sistema nello stesso periodo di tempo.

Nelle proiezioni sugli assi coordinati avremo:

Legge di conservazione della quantità di moto

Dal teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema si possono ricavare i seguenti importanti corollari:

1. Lascia che la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema sia uguale a zero:

Quindi dall'equazione (4) ne consegue che in questo caso Q = cost.

Così, se la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema è uguale a zero, allora il vettore della quantità di moto del sistema sarà costante in grandezza e direzione.

2. 01Siano le forze esterne che agiscono sul sistema tali che la somma delle loro proiezioni su qualche asse (ad esempio Bue) sia uguale a zero:

Quindi dalle equazioni (4`) ne consegue che in questo caso Q = cost.

Così, se la somma delle proiezioni di tutte le forze esterne agenti su qualsiasi asse è uguale a zero, allora la proiezione della quantità di movimento del sistema su questo asse è un valore costante.

Questi risultati esprimono legge di conservazione della quantità di moto di un sistema. Ne consegue che le forze interne non possono modificare la quantità totale di movimento del sistema.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

· Fenomeno relativo al ritorno del rotolo. Se consideriamo il fucile e il proiettile come un unico sistema, la pressione dei gas in polvere durante uno sparo sarà una forza interna. Questa forza non può modificare la quantità di moto totale del sistema. Ma poiché i gas in polvere, agendo sul proiettile, gli impartiscono una certa quantità di movimento diretto in avanti, devono contemporaneamente impartire al fucile la stessa quantità di movimento nella direzione opposta. Ciò farà sì che il fucile si muova all'indietro, ad es. il cosiddetto ritorno. Un fenomeno simile si verifica quando si spara con una pistola (rollback).

· Funzionamento dell'elica (elica). L'elica imprime movimento ad una certa massa d'aria (o acqua) lungo l'asse dell'elica, respingendo questa massa. Se consideriamo la massa lanciata e l'aereo (o la nave) come un unico sistema, allora le forze di interazione tra l'elica e l'ambiente, come quelle interne, non possono modificare la quantità totale di movimento di questo sistema. Pertanto, quando una massa d'aria (acqua) viene respinta, l'aereo (o la nave) riceve una corrispondente velocità di avanzamento tale che la quantità totale di movimento del sistema in esame rimane uguale a zero, poiché era zero prima che iniziasse il movimento .

Un effetto simile si ottiene mediante l'azione di remi o ruote a pale.

· Propulsione ricettiva In un razzo (razzo), i prodotti gassosi della combustione del carburante vengono espulsi ad alta velocità dal foro nella coda del razzo (dall'ugello del motore a reazione). Le forze di pressione che agiscono in questo caso saranno forze interne e non possono modificare la quantità di moto totale del sistema di gas della polvere missilistica. Ma poiché i gas in fuga hanno un certo movimento diretto all'indietro, il razzo riceve una corrispondente velocità in avanti.

Teorema dei momenti attorno ad un asse.

Consideriamo il punto di massa materiale M, muovendosi sotto l'influenza della forza F. Troviamo per esso la relazione tra il momento dei vettori mV E F rispetto ad un asse Z fisso.

m z (F) = xF - yF (7)

Allo stesso modo per il valore m(mV), se tolto M sarà fuori parentesi

M z(mV) = m(xV - yV)(7`)

Prendendo le derivate rispetto al tempo da entrambi i lati di questa uguaglianza, troviamo

Sul lato destro dell'espressione risultante, la prima parentesi è uguale a 0, poiché dx/dt=V e dу/dt = V, la seconda parentesi secondo la formula (7) è uguale a

mz(F), poiché secondo la legge fondamentale della dinamica:

Infine avremo (8)

L'equazione risultante esprime il teorema dei momenti attorno all'asse: la derivata temporale del momento della quantità di moto di un punto rispetto a qualsiasi asse è uguale al momento della forza agente rispetto allo stesso asse. Un teorema simile vale per momenti attorno a qualsiasi centro O.