Centro di gravità della formula del trapezio. Risolvere problemi sulla resistenza dei materiali

6.1. informazioni generali

Centro delle forze parallele
Consideriamo due forze parallele dirette in una direzione e applicate al corpo in punti UN 1 e UN 2 (Fig.6.1). Questo sistema di forze ha una risultante, la cui linea d'azione passa per un certo punto CON. Posizione del punto CON può essere trovato utilizzando il teorema di Varignon:

Se giri le forze e vicino ai punti UN 1 e UN 2 in una direzione e con la stessa angolazione, otteniamo quindi un nuovo sistema di sale parallele aventi gli stessi moduli. In questo caso anche la loro risultante passerà per il punto CON. Questo punto è chiamato centro delle forze parallele.
Consideriamo un sistema di forze parallele e identicamente dirette applicate ad un corpo solido in punti. Questo sistema ha un risultante.
Se ciascuna forza del sistema viene ruotata vicino ai punti di applicazione nella stessa direzione e con lo stesso angolo, si otterranno nuovi sistemi di forze parallele identicamente dirette con gli stessi moduli e punti di applicazione. La risultante di tali sistemi avrà lo stesso modulo R, ma ogni volta una direzione diversa. Avendo piegato le mie forze F 1 e F 2 troviamo che la loro risultante R 1, che passerà sempre per il punto CON 1, la cui posizione è determinata dall'uguaglianza . Piegandosi ulteriormente R 1 e F 3, troviamo la loro risultante, che passerà sempre per il punto CON 2 giacente su una linea retta UN 3 CON 2. Dopo aver completato il processo di somma delle forze, arriveremo alla conclusione che la risultante di tutte le forze passerà sempre per lo stesso punto CON, la cui posizione rispetto ai punti rimarrà invariata.
Punto CON, attraverso la quale passa la linea di azione del sistema risultante di forze parallele per qualsiasi rotazione di queste forze vicino ai punti della loro applicazione nella stessa direzione con lo stesso angolo è chiamato centro delle forze parallele (Fig. 6.2).

Fig.6.2

Determiniamo le coordinate del centro delle forze parallele. Dalla posizione del punto CON rispetto al corpo è invariato, quindi le sue coordinate non dipendono dalla scelta del sistema di coordinate. Giriamo tutte le forze attorno alla loro applicazione in modo che diventino parallele all'asse UO e applicare il teorema di Varignon alle forze ruotate. Perché R"è la risultante di queste forze, allora, secondo il teorema di Varignon, abbiamo , Perché , , noi abbiamo

Da qui troviamo la coordinata del centro delle forze parallele zc:

Per determinare le coordinate xc Creiamo un'espressione per il momento delle forze attorno all'asse Oz.

Per determinare le coordinate sì giriamo tutte le forze in modo che diventino parallele all'asse Oz.

La posizione del centro delle forze parallele rispetto all'origine (Fig. 6.2) può essere determinata dal suo raggio vettore:

6.2. Centro di gravità di un corpo rigido

Centro di gravità di un corpo rigido è un punto invariabilmente associato a questo corpo CON, attraverso la quale passa la linea d'azione delle forze di gravità risultanti di un dato corpo, per qualsiasi posizione del corpo nello spazio.
Il centro di gravità viene utilizzato nello studio della stabilità delle posizioni di equilibrio di corpi e mezzi continui sotto l'influenza della gravità e in alcuni altri casi, vale a dire: nella resistenza dei materiali e nella meccanica strutturale - quando si utilizza la regola di Vereshchagin.
Esistono due modi per determinare il centro di gravità di un corpo: analitico e sperimentale. Il metodo analitico per determinare il centro di gravità deriva direttamente dal concetto di centro di forze parallele.
Le coordinate del baricentro, come centro delle forze parallele, sono determinate dalle formule:

Dove R- peso corporeo intero; p.c- peso delle particelle corporee; xk, sì, zk- coordinate delle particelle corporee.
Per un corpo omogeneo, il peso dell'intero corpo e di qualsiasi parte di esso è proporzionale al volume P=Vγ, pk =vkγ, Dove γ - peso per unità di volume, V- volume corporeo. Sostituzione delle espressioni P, p.c nella formula per determinare le coordinate del baricentro e, riducendo di un fattore comune γ , noi abbiamo:

Punto CON, le cui coordinate sono determinate dalle formule risultanti, viene chiamato baricentro del volume.
Se il corpo è una piastra sottile e omogenea, il centro di gravità è determinato dalle formule:

Dove S- area dell'intera piastra; sc- area della sua parte; xk, sì- coordinate del baricentro delle parti della piastra.
Punto CON in questo caso si chiama zona del baricentro.
I numeratori delle espressioni che determinano le coordinate del baricentro delle figure piane si chiamano con Momenti statici dell'area rispetto agli assi A E X:

Quindi il centro di gravità dell'area può essere determinato dalle formule:

Per i corpi la cui lunghezza è molte volte maggiore delle dimensioni della sezione trasversale, determinare il baricentro della linea. Le coordinate del baricentro della linea sono determinate dalle formule:

Dove l- lunghezza della linea; lk- la lunghezza delle sue parti; xk, sì, zk- coordinata del baricentro di parti della linea.

6.3. Metodi per determinare le coordinate dei centri di gravità dei corpi

Sulla base delle formule ottenute è possibile proporre metodi pratici per determinare i baricentri dei corpi.
1. Simmetria. Se un corpo ha un centro di simmetria, allora il centro di gravità è nel centro di simmetria.
Se il corpo ha un piano di simmetria. Ad esempio, il piano XOU, quindi il centro di gravità si trova in questo piano.
2. Divisione. Per i corpi costituiti da corpi con forme semplici, viene utilizzato il metodo di suddivisione. Il corpo è diviso in parti, il cui centro di gravità è determinato dal metodo della simmetria. Il baricentro dell'intero corpo è determinato dalle formule per il baricentro del volume (area).

Esempio. Determinare il baricentro della piastra mostrata nella figura seguente (Fig. 6.3). La piastra può essere divisa in rettangoli in vari modi e si possono determinare le coordinate del baricentro di ciascun rettangolo e la loro area.

Fig.6.3

Risposta: XC=17,0 cm; sìC=18,0 cm.

3. Aggiunta. Questo metodo è un caso speciale del metodo di partizionamento. Si utilizza quando il corpo presenta ritagli, fette, ecc., se si conoscono le coordinate del baricentro del corpo senza ritaglio.

Esempio. Determinare il centro di gravità di una piastra circolare avente un raggio di ritaglio R = 0,6 R(Fig. 6.4).

Fig.6.4

Una piastra rotonda ha un centro di simmetria. Posizioniamo l'origine delle coordinate al centro della piastra. Area della piastra senza ritaglio, area ritagliata. Piatto quadrato con ritaglio; .
La piastra con un ritaglio ha un asse di simmetria О1x, quindi, sì=0.

4. Integrazione. Se il corpo non può essere diviso in un numero finito di parti, di cui sono note le posizioni dei centri di gravità, il corpo viene diviso in piccoli volumi arbitrari, per i quali la formula che utilizza il metodo di partizionamento assume la forma: .
Quindi vanno al limite, indirizzando i volumi elementari a zero, cioè contrarre i volumi in punti. Le somme vengono sostituite da integrali estesi all'intero volume del corpo, quindi le formule per determinare le coordinate del baricentro del volume assumono la forma:

Formule per determinare le coordinate del baricentro di un'area:

Le coordinate del baricentro dell'area devono essere determinate quando si studia l'equilibrio delle piastre, quando si calcola l'integrale di Mohr nella meccanica strutturale.

Esempio. Determinare il baricentro di un arco circolare di raggio R con angolo centrale AOB= 2α (figura 6.5).

Riso. 6.5

L'arco di cerchio è simmetrico all'asse OH, quindi, il baricentro dell'arco giace sull'asse OH, sì = 0.
Secondo la formula per il baricentro di una linea:

6.Metodo sperimentale. I centri di gravità di corpi disomogenei di configurazione complessa possono essere determinati sperimentalmente: mediante il metodo di sospensione e pesatura. Il primo metodo consiste nel sospendere il corpo su un cavo in vari punti. La direzione del cavo su cui è sospeso il corpo darà la direzione della gravità. Il punto di intersezione di queste direzioni determina il centro di gravità del corpo.
Il metodo di pesatura prevede innanzitutto la determinazione del peso di un corpo, ad esempio un'auto. Successivamente viene determinata sulla bilancia la pressione dell'asse posteriore del veicolo sul supporto. Elaborando un'equazione di equilibrio relativa a un punto, ad esempio l'asse delle ruote anteriori, è possibile calcolare la distanza da questo asse al centro di gravità dell'auto (Fig. 6.6).

Fig.6.6

A volte, quando si risolvono i problemi, è necessario utilizzare contemporaneamente diversi metodi per determinare le coordinate del baricentro.

6.4. Centri di gravità di alcune figure geometriche semplici

Per determinare i centri di gravità dei corpi dalle forme frequenti (triangolo, arco circolare, settore, segmento), è conveniente utilizzare i dati di riferimento (Tabella 6.1).

Tabella 6.1

Coordinate del baricentro di alcuni corpi omogenei

Centro di gravità di un arco circolare

L'arco ha un asse di simmetria. Il baricentro giace su questo asse, cioè sì C = 0 .

dl– elemento arco, dl = Rdφ, R– raggio del cerchio, x = Rcosφ, L= 2αR,

Quindi:

X C = R(senoα/α).

Baricentro di un settore circolare

Settore del raggio R con angolo al centro 2 α ha un asse di simmetria Bue, dove si trova il baricentro.

Dividiamo il settore in settori elementari, che possono essere considerati triangoli. I baricentri dei settori elementari sono disposti su un arco di circonferenza di raggio (2/3) R.

Il baricentro del settore coincide con il baricentro dell'arco AB:

Semicerchio:

37. Cinematica. Cinematica di un punto. Metodi per specificare lo spostamento di un punto.

Cinematica– branca della meccanica in cui il movimento dei corpi materiali viene studiato da un punto di vista geometrico, senza tener conto della massa e delle forze che agiscono su di essi. Metodi per specificare il movimento di un punto: 1) naturale, 2) coordinata, 3) vettore.

Cinematica di un punto- una branca della cinematica che studia la descrizione matematica del movimento dei punti materiali. Il compito principale della cinematica è descrivere il movimento utilizzando un apparato matematico senza identificare le ragioni che causano questo movimento.

Specie naturale. sono indicati la traiettoria del punto, la legge del suo movimento lungo questa traiettoria, l’inizio e la direzione delle coordinate dell’arco: s=f(t) – la legge del movimento del punto. Per moto lineare: x=f(t).

Coordinare sp. la posizione di un punto nello spazio è determinata da tre coordinate, i cui cambiamenti determinano la legge di moto del punto: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Se il moto è su un piano allora ci sono due equazioni del moto. Le equazioni del moto descrivono l'equazione della traiettoria in forma parametrica. Escludendo il parametro t dalle equazioni, otteniamo l'equazione della traiettoria nella forma usuale: f(x,y)=0 (per un piano).

vettore sp. la posizione di un punto è determinata dal suo raggio vettore tracciato da un centro. Viene chiamata una curva disegnata dall'estremità di un vettore. odografo questo vettore. Quelli. traiettoria – odografo del raggio vettoriale.

38. Relazione tra coordinata e vettore, coordinata e metodi naturali per specificare il movimento di un punto.

RAPPORTO DEL METODO VETTORIALE CON IL METODO COORDINATO E NATURALE espresso dai rapporti:

dove è l'unità unitaria della tangente alla traiettoria in un dato punto, diretta verso la distanza di riferimento, ed è l'unità unitaria della normale alla traiettoria in un dato punto, diretta verso il centro di curvatura (vedi Fig. 3) .

CONNESSIONE DEL METODO DELLE COORDINATE CON IL NATURALE. Equazione della traiettoria f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y si ottiene dalle equazioni del moto in forma di coordinate eliminando il tempo t. Un'ulteriore analisi dei valori che possono assumere le coordinate di un punto determina quel tratto di curva che costituisce una traiettoria. Ad esempio, se il moto di un punto è dato dalle equazioni: x=sin t; y=sin 2 t=x 2 , allora la traiettoria del punto è quella sezione della parabola y=x 2 per cui -1≤x≤+1, 0≤x≤1. L'inizio e la direzione del conteggio della distanza vengono scelti arbitrariamente, questo determina inoltre il segno della velocità e l'entità e il segno della distanza iniziale s 0 .

La legge del moto è determinata dalla dipendenza:

il segno + o - viene determinato in base alla direzione accettata per la misurazione della distanza.

Velocità del puntoè una misura cinematica del suo movimento, pari alla derivata temporale del raggio vettore di questo punto nel sistema di riferimento considerato. Il vettore velocità è diretto tangente alla traiettoria del punto nella direzione del movimento

Vettore velocità (v)è la distanza che un corpo percorre in una certa direzione nell'unità di tempo. Si prega di notare che la definizione vettore velocitàè molto simile alla definizione di velocità, tranne che per un'importante differenza: la velocità di un corpo non indica la direzione del movimento, ma il vettore velocità di un corpo indica sia la velocità che la direzione del movimento. Pertanto sono necessarie due variabili che descrivano il vettore velocità del corpo: velocità e direzione. Le quantità fisiche che hanno un valore e una direzione sono chiamate quantità vettoriali.

Vettore di velocità il corpo può cambiare di volta in volta. Se cambia la sua velocità o direzione, cambia anche la velocità del corpo. Un vettore di velocità costante implica una velocità costante e una direzione costante, mentre il termine velocità costante implica solo un valore costante senza tener conto della direzione. Il termine "vettore velocità" è spesso usato in modo intercambiabile con il termine "velocità". Entrambi esprimono la distanza percorsa da un corpo nell'unità di tempo

Accelerazione del puntoè una misura della variazione della sua velocità, pari alla derivata rispetto al tempo della velocità di questo punto o alla derivata seconda del raggio vettore del punto rispetto al tempo. L'accelerazione caratterizza il cambiamento nel vettore velocità in grandezza e direzione ed è diretta verso la concavità della traiettoria.

Vettore di accelerazione

Questo è il rapporto tra la variazione di velocità e il periodo di tempo durante il quale si è verificata tale variazione. L'accelerazione media può essere determinata dalla formula:

Dove - vettore di accelerazione.

La direzione del vettore accelerazione coincide con la direzione del cambiamento di velocità Δ = - 0 (qui 0 è la velocità iniziale, cioè la velocità alla quale il corpo ha iniziato ad accelerare).

Al tempo t1 (vedi Fig. 1.8) il corpo ha una velocità pari a 0. Al tempo t2 il corpo ha velocità. Secondo la regola della sottrazione vettoriale, troviamo il vettore della variazione di velocità Δ = - 0. Quindi puoi determinare l'accelerazione in questo modo:

Sulla base delle formule generali ottenute sopra, è possibile indicare metodi specifici per determinare le coordinate dei baricentri dei corpi.

1. Simmetria. Se un corpo omogeneo ha un piano, un asse o un centro di simmetria (Fig. 7), il suo centro di gravità si trova, rispettivamente, nel piano di simmetria, asse di simmetria o nel centro di simmetria.

Fig.7

2. Divisione. Il corpo è suddiviso in un numero finito di parti (Fig. 8), di ciascuna delle quali sono note la posizione del baricentro e l'area.

Fig.8

3.Metodo dell'area negativa. Un caso speciale del metodo di partizionamento (Fig. 9). Si applica alle carrozzerie con intagli se sono noti i baricentri della carrozzeria senza intagli e la parte intagliata. Un corpo a forma di piastra con ritaglio è rappresentato da una combinazione di una piastra solida (senza ritaglio) con un'area S 1 e un'area della parte ritagliata S 2 .

Fig.9

4.Metodo di raggruppamento.È un buon complemento agli ultimi due metodi. Dopo aver suddiviso una figura nei suoi elementi che la compongono, conviene combinarne nuovamente alcuni per poi semplificare la soluzione tenendo conto della simmetria di questo gruppo.

Centri di gravità di alcuni corpi omogenei.

1) Centro di gravità di un arco circolare. Considera l'arco AB raggio R con angolo al centro. A causa della simmetria, il centro di gravità di questo arco si trova sull'asse Bue(Fig. 10).

Fig.10

Troviamo le coordinate utilizzando la formula. Per fare ciò, seleziona sull'arco AB elemento MM' lunghezza, la cui posizione è determinata dall'angolo. Coordinata X elemento MM' Volere . Sostituendo questi valori X e d l e tenendo presente che l’integrale deve essere esteso su tutta la lunghezza dell’arco, otteniamo:

Dove l- lunghezza dell'arco AB, uguale a .

Da qui troviamo infine che il baricentro di un arco circolare giace sul suo asse di simmetria ad una distanza dal centro DI, uguale

dove l'angolo è misurato in radianti.

2) Centro di gravità dell'area del triangolo. Consideriamo un triangolo che giace nel piano Ossi, di cui sono note le coordinate dei vertici: Un io(x io,sì io), (io= 1,2,3). Spezzare il triangolo in strisce strette parallele al lato UN 1 UN 2, arriviamo alla conclusione che il baricentro del triangolo deve appartenere alla mediana UN 3 M 3 (figura 11).

Fig.11

Spezzare un triangolo in strisce parallele al lato UN 2 UN 3, possiamo verificare che deve giacere sulla mediana UN 1 M 1 . Così, il centro di gravità di un triangolo si trova nel punto di intersezione delle sue mediane, che, come è noto, separa una terza parte da ciascuna mediana, contando dal lato corrispondente.

In particolare per la mediana UN 1 M 1 otteniamo, tenendo conto che le coordinate del punto M 1 è la media aritmetica delle coordinate dei vertici UN 2 e UN 3:

xc = X 1 + (2/3)∙(xM 1 - X 1) = X 1 + (2/3)∙[(X 2 + X 3)/2-X 1 ] = (X 1 +X 2 +X 3)/3.

Pertanto, le coordinate del centro di gravità del triangolo sono la media aritmetica delle coordinate dei suoi vertici:

X C =(1/3)Σ x io ; sì C =(1/3)Σ sì io.

3) Centro di gravità dell'area di un settore circolare. Consideriamo un settore circolare con raggio R con un angolo al centro di 2α, situato simmetricamente rispetto all'asse Bue(Fig. 12) .

E' ovvio sì C = 0, e la distanza dal centro del cerchio da cui è tagliato questo settore al suo baricentro può essere determinata dalla formula:

Fig.12

Il modo più semplice per calcolare questo integrale è dividere il dominio di integrazione in settori elementari con un angolo Dφ. Con precisione agli infinitesimi del primo ordine, tale settore può essere sostituito da un triangolo con base uguale a R× Dφ e altezza R. L'area di un tale triangolo dF=(1/2)R 2 ∙Dφ e il suo baricentro è a una distanza di 2/3 R dal vertice, quindi in (5) mettiamo X = (2/3)R∙cosφ. Sostituendo in (5) F= α R 2, otteniamo:

Utilizzando l'ultima formula, calcoliamo, in particolare, la distanza dal baricentro semicerchio.

Sostituendo α = π/2 nella (2), otteniamo: X C = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Esempio 1. Determiniamo il baricentro del corpo omogeneo mostrato in Fig. 13.

Fig.13

Il corpo è omogeneo, costituito da due parti di forma simmetrica. Coordinate dei loro centri di gravità:

I loro volumi:

Pertanto, le coordinate del baricentro del corpo

Esempio 2. Troviamo il baricentro di una lastra piegata ad angolo retto. Le dimensioni sono nel disegno (Fig. 14).

Fig.14

Coordinate dei baricentri:

Le zone:

Fig.15

In questo problema è più conveniente dividere il corpo in due parti: un grande quadrato e un foro quadrato. Solo l'area del foro è da considerarsi negativa. Quindi le coordinate del baricentro della lamiera con il foro:

coordinata poiché il corpo ha un asse di simmetria (diagonale).

Esempio 4. La staffa metallica (Fig. 16) è composta da tre sezioni di uguale lunghezza l.

Fig.16

Coordinate dei baricentri delle sezioni:

Pertanto le coordinate del baricentro dell'intera staffa sono:

Esempio 5. Determinare la posizione del baricentro della travatura, tutte le cui aste hanno la stessa densità lineare (Fig. 17).

Ricordiamo che in fisica la densità di un corpo ρ e il suo peso specifico g sono legati dalla relazione: γ= ρ G, Dove G- accelerazione di gravità. Per trovare la massa di un corpo così omogeneo, devi moltiplicare la densità per il suo volume.

Fig.17

Il termine densità “lineare” o “lineare” significa che per determinare la massa di un truss rod, la densità lineare deve essere moltiplicata per la lunghezza di tale asta.

Per risolvere il problema, è possibile utilizzare il metodo di partizionamento. Rappresentando una data travatura reticolare come somma di 6 singole aste, otteniamo:

Dove L i lunghezza io il truss rod, e x io, sì io- coordinate del suo baricentro.

La soluzione a questo problema può essere semplificata raggruppando le ultime 5 barre della trave reticolare. È facile vedere che formano una figura con un centro di simmetria situato al centro della quarta asta, dove si trova il centro di gravità di questo gruppo di aste.

Pertanto, una data travatura reticolare può essere rappresentata dalla combinazione di soli due gruppi di aste.

Il primo gruppo è costituito dalla prima asta, per questo l 1 = 4 metri, X 1 = 0 metri, sì 1 = 2 m Il secondo gruppo di aste è composto da cinque aste, per questo l 2 = 20 metri, X 2 = 3 metri, sì 2 = 2 metri.

Le coordinate del baricentro della travatura reticolare si trovano utilizzando la formula:

X C = (l 1 ∙X 1 +l 2 ∙X 2)/(l 1 + l 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

sì C = (l 1 ∙sì 1 +l 2 ∙sì 2)/(l 1 + l 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Da notare che il centro CON giace sulla linea retta che collega CON 1 e CON 2 e divide il segmento CON 1 CON 2 riguardante: CON 1 CON/SS 2 = (X C - X 1)/(X 2 - X C ) = l 2 /l 1 = 2,5/0,5.

Domande di autotest

Come si chiama il centro delle forze parallele?

Come si determinano le coordinate del centro delle forze parallele?

Come determinare il centro delle forze parallele la cui risultante è zero?

Quali proprietà ha il centro delle forze parallele?

Quali formule vengono utilizzate per calcolare le coordinate del centro delle forze parallele?

Qual è il centro di gravità di un corpo?

Perché le forze gravitazionali della Terra che agiscono su un punto di un corpo possono essere considerate un sistema di forze parallele?

Annotare la formula per determinare la posizione del baricentro di corpi disomogenei e omogenei, la formula per determinare la posizione del baricentro delle sezioni piatte?

Annotare la formula per determinare la posizione del baricentro di forme geometriche semplici: rettangolo, triangolo, trapezio e semicerchio?

Qual è il momento statico dell'area?

Fornisci un esempio di un corpo il cui baricentro si trova all'esterno del corpo.

Come vengono utilizzate le proprietà della simmetria per determinare i centri di gravità dei corpi?

Qual è l'essenza del metodo dei pesi negativi?

Dov'è il baricentro di un arco circolare?

Quale costruzione grafica può essere utilizzata per trovare il centro di gravità di un triangolo?

Scrivi la formula che determina il baricentro di un settore circolare.

Usando le formule che determinano i centri di gravità di un triangolo e di un settore circolare, ricava una formula simile per un segmento circolare.

Quali formule vengono utilizzate per calcolare le coordinate dei centri di gravità di corpi omogenei, figure piatte e linee?

Quello che viene chiamato momento statico dell'area di una figura piana rispetto all'asse, come viene calcolato e che dimensione ha?

Come determinare la posizione del baricentro di un'area se si conosce la posizione dei baricentri delle sue singole parti?

Quali teoremi ausiliari vengono utilizzati per determinare la posizione del centro di gravità?

Nella pratica ingegneristica, accade che sia necessario calcolare le coordinate del baricentro di una figura piatta complessa costituita da elementi semplici per i quali è nota la posizione del baricentro. Questo compito fa parte del compito di determinare...

Caratteristiche geometriche delle sezioni trasversali composte di travi e aste. Spesso, gli ingegneri progettisti di fustelle devono affrontare domande simili quando determinano le coordinate del centro di pressione, gli sviluppatori di schemi di carico per vari veicoli quando posizionano il carico, i progettisti di strutture metalliche quando scelgono le sezioni trasversali degli elementi e, naturalmente, studenti quando studiano le discipline "Meccanica teorica" ​​e "Resistenza dei materiali".

Biblioteca di figure elementari.

Nelle figure piane simmetriche il centro di gravità coincide con il centro di simmetria. Il gruppo simmetrico degli oggetti elementari comprende: cerchio, rettangolo (compreso il quadrato), parallelogramma (compreso il rombo), poligono regolare.

Delle dieci figure presentate nella figura sopra, solo due sono fondamentali. Cioè, usando triangoli e settori di cerchi, puoi combinare quasi tutte le figure di interesse pratico. Eventuali curve arbitrarie possono essere divise in sezioni e sostituite con archi circolari.

Le restanti otto figure sono le più comuni, motivo per cui sono state incluse in questa biblioteca unica. Nella nostra classificazione questi elementi non sono fondamentali. Da due triangoli si possono formare un rettangolo, un parallelogramma e un trapezio. Un esagono è la somma di quattro triangoli. Un segmento circolare è la differenza tra un settore circolare e un triangolo. Il settore anulare di un cerchio è la differenza tra due settori. Un cerchio è un settore circolare con un angolo α=2*π=360˚. Un semicerchio è, quindi, un settore di cerchio con un angolo α=π=180˚.

Calcolo in Excel delle coordinate del baricentro di una figura composta.

È sempre più facile trasmettere e percepire le informazioni considerando un esempio piuttosto che studiare la questione utilizzando calcoli puramente teorici. Consideriamo la soluzione al problema "Come trovare il centro di gravità?" utilizzando l'esempio della figura composita mostrata nella figura sotto questo testo.

La sezione composita è un rettangolo (con dimensioni UN1 =80 millimetri, B1 =40 mm), al quale è stato aggiunto in alto a sinistra un triangolo isoscele (con la dimensione della base UN2 =24 mm e altezza H2 =42 mm) e da cui è stato ritagliato un semicerchio in alto a destra (con il centro nel punto con coordinate X03 =50mm e sì03 =40 mm, raggio R3 =26mm).

Utilizzeremo un programma per aiutarti a eseguire i calcoli MS Excel o programma OOo Calcolo . Ognuno di loro affronterà facilmente il nostro compito!

Nelle celle con giallo lo riempiremo preliminare ausiliario calcoli .

Calcoliamo i risultati nelle celle con un riempimento giallo chiaro.

Blu il carattere è dati iniziali .

Nero il carattere è intermedio risultati del calcolo .

Rosso il carattere è finale risultati del calcolo .

Iniziamo a risolvere il problema: iniziamo a cercare le coordinate del baricentro della sezione.

Dati iniziali:

1. Scriveremo di conseguenza i nomi delle figure elementari che formano una sezione composita

alla cella D3: Rettangolo

alla cella E3: Triangolo

alla cella F3: Semicerchio

2. Utilizzando la “Biblioteca delle figure elementari” presentata in questo articolo, determineremo le coordinate dei baricentri degli elementi della sezione composita xci E sì in mm relativi agli assi 0x e 0y selezionati arbitrariamente e scrivere

alla cella D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = UN 1 /2

alla cella D5: =40/2 =20,000

sì 1 = B 1 /2

alla cella E4: =24/2 =12,000

xc 2 = UN 2 /2

alla cella E5: =40+42/3 =54,000

sì 2 = B 1 + H 2 /3

alla cella F4: =50 =50,000

xc 3 = X03

alla cella F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

sì 3 = sì 03 -4* r3 /3/ π

3. Calcoliamo le aree degli elementi F 1 , F 2 , F3 in mm2, sempre utilizzando le formule della sezione “Biblioteca delle figure elementari”

nella cella D6: =40*80 =3200

F1 = UN 1 * B1

nella cella E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

nella cella F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3^2

L'area del terzo elemento - il semicerchio - è negativa perché è un ritaglio - uno spazio vuoto!

Calcolo delle coordinate del baricentro:

4. Determina l'area totale della figura finale F0 in mm2

nella cella unita D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Calcoliamo i momenti statici di una figura composta Sx E Si in mm3 relativi agli assi selezionati 0x e 0y

nella cella unita D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + ac2 *F2 + ac3 *F3

nella cella unita D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Si = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. E infine, calcoliamo le coordinate del baricentro della sezione composita Xc E Sì in mm nel sistema di coordinate selezionato 0x - 0y

nella cella unita D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Si / F0

nella cella unita D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx /F0

Il problema è stato risolto, il calcolo in Excel è terminato: sono state trovate le coordinate del baricentro della sezione, compilate utilizzando tre semplici elementi!

Conclusione.

L'esempio presente nell'articolo è stato scelto molto semplice per facilitare la comprensione della metodologia per il calcolo del baricentro di una sezione complessa. Il metodo prevede che qualsiasi figura complessa venga divisa in elementi semplici con posizioni note dei baricentri e che i calcoli finali vengano effettuati per l'intera sezione.

Se la sezione è composta da profili laminati - angoli e canali, non è necessario dividerli in rettangoli e quadrati con settori circolari ritagliati “π/2”. Le coordinate dei baricentri di questi profili sono riportate nelle tabelle GOST, ovvero sia l'angolo che il canale saranno gli elementi elementari di base nei calcoli delle sezioni composte (non ha senso parlare di travi a I, tubi, aste ed esagoni - queste sono sezioni centralmente simmetriche).

La posizione degli assi delle coordinate, ovviamente, non influisce sulla posizione del centro di gravità della figura! Pertanto, scegli un sistema di coordinate che semplifichi i tuoi calcoli. Se, ad esempio, nel nostro esempio dovessi ruotare il sistema di coordinate di 45° in senso orario, il calcolo delle coordinate dei centri di gravità di un rettangolo, triangolo e semicerchio si trasformerebbe in un'altra fase di calcoli separata e scomoda che non può essere eseguita " nella testa".

In questo caso il file di calcolo Excel presentato di seguito non è un programma. Piuttosto, è lo schizzo di un calcolatore, un algoritmo, un modello da seguire in ogni caso specifico crea la tua sequenza di formule per celle con un riempimento giallo brillante.

Quindi ora sai come trovare il centro di gravità di qualsiasi sezione! Il calcolo completo di tutte le caratteristiche geometriche delle sezioni composite complesse arbitrarie sarà considerato in uno dei prossimi articoli nella sezione “”. Segui le novità sul blog.

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Qualche parola sul bicchiere, sulla moneta e sulle due forchette, raffigurati nell'icona dell'illustrazione all'inizio dell'articolo. Molti di voi conoscono sicuramente questo “trucco”, che suscita sguardi ammirati da parte di bambini e adulti non iniziati. L'argomento di questo articolo è il centro di gravità. Sono lui e il fulcro, giocando con la nostra coscienza ed esperienza, che stanno semplicemente ingannando le nostre menti!

Il baricentro del sistema “forchetta+moneta” è sempre posizionato su fisso distanza verticalmente verso il basso dal bordo della moneta, che a sua volta ne è il fulcro. Questa è una posizione di equilibrio stabile! Se si agitano le forche, diventa immediatamente evidente che il sistema sta cercando di riprendere la posizione stabile precedente! Immaginate un pendolo - un punto di fissaggio (= il punto di appoggio di una moneta sul bordo di un bicchiere), un'asta-asse del pendolo (= nel nostro caso l'asse è virtuale, poiché la massa delle due forcelle è distribuiti in diverse direzioni dello spazio) e un carico alla base dell'asse (= baricentro dell'intero sistema “forchetta” + moneta"). Se inizi a deviare il pendolo dalla verticale in qualsiasi direzione (avanti, indietro, sinistra, destra), tornerà inevitabilmente nella sua posizione originale sotto l'influenza della gravità. stato stazionario di equilibrio(la stessa cosa accade con le nostre forchette e moneta)!

Se non capisci, ma vuoi capire, capiscilo da solo. È molto interessante “arrivarci” da solo! Aggiungerò che lo stesso principio dell'utilizzo dell'equilibrio stabile è implementato anche nel giocattolo Vanka-stand-up. Solo il centro di gravità di questo giocattolo si trova sopra il fulcro, ma sotto il centro dell'emisfero della superficie di appoggio.

Mi fa sempre piacere vedere i vostri commenti, cari lettori!!!

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Il risultato dei calcoli dipende non solo dall'area della sezione trasversale, quindi, quando si risolvono i problemi sulla resistenza dei materiali, non si può fare a meno di determinare caratteristiche geometriche delle figure: momenti di inerzia statici, assiali, polari e centrifughi. È fondamentale poter determinare la posizione del baricentro della sezione (le caratteristiche geometriche elencate dipendono dalla posizione del baricentro). Inoltre caratteristiche geometriche delle figure semplici: rettangolo, quadrato, triangoli isosceli e rettangoli, cerchio, semicerchio. Vengono indicati il ​​baricentro e la posizione degli assi centrali principali e determinate le caratteristiche geometriche relative ad essi, purché il materiale della trave sia omogeneo.

Caratteristiche geometriche del rettangolo e del quadrato

Momenti assiali di inerzia di un rettangolo (quadrato)

Caratteristiche geometriche di un triangolo rettangolo

Momenti assiali di inerzia di un triangolo rettangolo

Caratteristiche geometriche di un triangolo isoscele

Momenti assiali di inerzia di un triangolo isoscele