Formule Ferrari e Cardano. Formula di Cardano per risolvere l'equazione cubica

Consideriamo di nuovo la formula del cubo della somma, ma scriviamola diversamente:

Confronta questa voce con l'equazione (13) e prova a stabilire una connessione tra loro. Anche con un suggerimento non è facile. Dobbiamo rendere omaggio ai matematici del Rinascimento che risolvettero l'equazione cubica senza conoscere i simboli alfabetici. Sostituiamo nella nostra formula:

Ora è chiaro: per trovare la radice dell'equazione (13) è sufficiente risolvere il sistema di equazioni

e prendi come somma e . Sostituendo , questo sistema si riduce ad una forma molto semplice:

Quindi puoi agire in modi diversi, ma tutte le “strade” porteranno alla stessa equazione quadratica. Ad esempio, secondo il teorema di Vieta, la somma delle radici dell'equazione quadratica ridotta è uguale al coefficiente con segno meno e il prodotto è uguale al termine libero. Ne consegue che e sono le radici dell'equazione

Scriviamo queste radici:

Le variabili e sono uguali alle radici cubiche di e , e la soluzione desiderata dell'equazione cubica (13) è la somma di queste radici:

Questa formula è conosciuta come Formula Cardano.

Soluzione trigonometrica

per sostituzione si riduce ad una forma “incompleta”.

, , . (14)

Le radici , , dell'equazione cubica “incompleta” (14) sono uguali

, ,

Sia valida l’equazione cubica “incompleta” (14).

a) Se (il caso “irriducibile”), allora

(b) Se , , allora

, .

, ,

, .

In tutti i casi viene preso il valore effettivo della radice cubica.

Equazione biquadratica

Equazione algebrica di quarto grado.

dove a, b, c sono dei numeri reali, chiamati equazione biquadratica. Per sostituzione l'equazione si riduce a un'equazione quadratica seguito dalla risoluzione di due equazioni binomiali e ( e sono le radici della corrispondente equazione quadratica).

Se e , allora l'equazione biquadratica ha quattro radici reali:

Se , ), allora l'equazione biquadratica ha due radici reali e radici immaginarie coniugate:

Se e , allora l'equazione biquadratica ha quattro radici coniugate a coppie puramente immaginarie:

, .

Equazioni di quarto grado

Un metodo per risolvere le equazioni di quarto grado fu trovato nel XVI secolo. Ludovico Ferrari, allievo di Gerolamo Cardano. Si chiama così: il metodo. Ferrari.

Come nella risoluzione di equazioni cubiche e quadratiche, in un'equazione di quarto grado

puoi eliminare il termine sostituendolo. Assumeremo quindi che il coefficiente del cubo dell'incognita sia zero:

L'idea di Ferrari era di rappresentare l'equazione nella forma , dove il lato sinistro è il quadrato dell'espressione , e il lato destro è il quadrato di un'equazione lineare di , i cui coefficienti dipendono da . Successivamente, resta da risolvere due equazioni quadratiche: e . Naturalmente una tale rappresentazione è possibile solo con una scelta speciale del parametro. È conveniente assumerlo nella forma , quindi l'equazione verrà riscritta come segue:

Il lato destro di questa equazione è il trinomio quadratico di . Sarà un quadrato completo quando il suo discriminante è uguale a zero, cioè

, O

Questa equazione si chiama risolvente (cioè "permissivo"). È relativamente cubico e la formula di Cardano ci permette di trovare alcune delle sue radici. Quando il lato destro dell'equazione (15) assume la forma

e l'equazione stessa si riduce a due quadratiche:

Le loro radici danno tutte le soluzioni dell'equazione originale.

Ad esempio, risolviamo l'equazione

Qui sarà più conveniente utilizzare formule non già pronte, ma l'idea stessa della soluzione. Riscriviamo l'equazione nella forma

e aggiungi l'espressione su entrambi i lati in modo che si formi un quadrato completo sul lato sinistro:

Ora uguagliamo a zero il discriminante del lato destro dell'equazione:

oppure, dopo la semplificazione,

Una delle radici dell'equazione risultante può essere indovinata ordinando i divisori del termine libero: . Dopo aver sostituito questo valore otteniamo l'equazione

Dove . Le radici delle equazioni quadratiche risultanti sono E . Naturalmente nel caso generale si possono ottenere anche radici complesse.

Qualsiasi equazione cubica a coefficienti reali ha almeno una radice reale, le altre due sono anch'esse reali o sono una coppia coniugata complessa.

Iniziamo la revisione con i casi più semplici: binomiale E restituibile equazioni. Quindi passiamo alla ricerca delle radici razionali (se presenti). Concludiamo con un esempio su come trovare le radici di un'equazione cubica utilizzando La formula di Cardano per il caso generale.

Navigazione della pagina.

Risoluzione di un'equazione cubica a due termini.

L'equazione cubica binomiale ha la forma .

Questa equazione si riduce alla forma dividendo per un coefficiente A diverso da zero. Successivamente, applica la formula per la somma moltiplicativa abbreviata dei cubi:

Dalla prima parentesi troviamo , e il trinomio quadrato ha solo radici complesse.

Esempio.

Trova le radici reali dell'equazione cubica.

Soluzione.

Applichiamo la formula per la moltiplicazione abbreviata della differenza dei cubi:

Dalla prima parentesi troviamo che il trinomio quadrato della seconda parentesi non ha radici reali, poiché il suo discriminante è negativo.

Risposta:

Risoluzione dell'equazione cubica reciproca.

L'equazione cubica reciproca ha la forma , dove A e B sono coefficienti.

Raggruppiamo:

Ovviamente, x = -1 è la radice di tale equazione e le radici del trinomio quadratico risultante sono facilmente reperibili attraverso il discriminante.

Esempio.

Risolvere l'equazione cubica .

Soluzione.

Questa è un'equazione reciproca. Raggruppiamo:

Ovviamente x = -1 è la radice dell'equazione.

Trovare le radici di un trinomio quadratico:

Risposta:

Risoluzione di equazioni cubiche con radici razionali.

Cominciamo con il caso più semplice, quando x=0 è la radice dell'equazione cubica.

In questo caso il termine libero D è uguale a zero, cioè l'equazione ha la forma .

Se togli x tra parentesi, tra parentesi rimarrà un trinomio quadrato, le cui radici possono essere facilmente trovate sia attraverso il discriminante che con il teorema di Vieta .

Esempio.

Trova le radici reali dell'equazione .

Soluzione.

x=0 è la radice dell'equazione. Troviamo le radici del trinomio quadratico.

Poiché il suo discriminante è minore di zero, il trinomio non ha radici reali.

Risposta:

x=0.

Se i coefficienti di un'equazione cubica sono numeri interi, l'equazione può avere radici razionali.

Quando , moltiplica entrambi i lati dell'equazione per e modifica le variabili y = Ax:

Siamo arrivati all'equazione cubica data. Può avere radici intere, che sono divisori del termine libero. Quindi annotiamo tutti i divisori e iniziamo a sostituirli nell'equazione risultante finché non otteniamo un'uguaglianza identica. Il divisore in corrispondenza del quale si ottiene l'identità è la radice dell'equazione. Pertanto, la radice dell'equazione originale è .

Esempio.

Trova le radici dell'equazione cubica.

Soluzione.

Trasformiamo l'equazione come sopra: moltiplichiamo per entrambi i membri e cambiamo la variabile y = 2x.

Il termine libero è 36. Scriviamo tutti i suoi divisori: .

Li sostituiamo uno per uno nell'uguaglianza fino all'ottenimento dell'identità:

Quindi y = -1 è la radice. Corrisponde a .

Dividiamo acceso, utilizzando:

Noi abbiamo,

Non resta che trovare le radici del trinomio quadratico.

E' ovvio , cioè la sua radice multipla è x=3.

Risposta:

Commento.

Questo algoritmo può essere utilizzato per risolvere equazioni reciproche. Poiché -1 è la radice di qualsiasi equazione cubica reciproca, possiamo dividere il lato sinistro dell'equazione originale per x+1 e trovare le radici del trinomio quadratico risultante.

Nel caso in cui l'equazione cubica non abbia radici razionali, vengono utilizzati altri metodi di soluzione, ad esempio metodi specifici.

Risoluzione di equazioni cubiche utilizzando la formula di Cardano.

In generale, le radici di un'equazione cubica si trovano utilizzando la formula di Cardano.

Per l'equazione cubica si trovano i valori . Successivamente troviamo E .

Sostituiamo i risultanti p e q nella formula di Cardano:

Controversia

FormulaCardano

Mostovoy

Odessa

Controversia

Le controversie nel Medioevo rappresentavano sempre uno spettacolo interessante, attirando cittadini inattivi, giovani e anziani. Gli argomenti dei dibattiti sono stati vari, ma sempre scientifici. Allo stesso tempo, la scienza era intesa come ciò che era incluso nell'elenco delle cosiddette sette arti liberali, che era, ovviamente, la teologia. Le controversie teologiche erano le più frequenti. Discutevano su tutto. Ad esempio, se associare un topo allo Spirito Santo se mangia il sacramento, se la Sibilla di Cuma avrebbe potuto predire la nascita di Gesù Cristo, perché i fratelli e le sorelle del Salvatore non sono canonizzati, ecc.

Sulla disputa che avrebbe dovuto svolgersi tra il famoso matematico e il non meno famoso medico, furono fatte solo le ipotesi più generali, poiché nessuno sapeva veramente nulla. Hanno detto che uno di loro ha ingannato l'altro (non si sa chi esattamente e a chi). Quasi tutti i presenti in piazza avevano le idee più vaghe sulla matematica, ma tutti aspettavano con ansia l'inizio del dibattito. Era sempre interessante, potevi ridere del perdente, indipendentemente dal fatto che avesse ragione o torto.

Quando l'orologio del municipio suonò le cinque, i cancelli si spalancarono e la folla si precipitò all'interno della cattedrale. Ai lati della linea centrale che collega l'ingresso all'altare, furono eretti due alti pulpiti vicino alle due colonne laterali, destinati ai dibattitori. I presenti hanno fatto un forte rumore, senza prestare attenzione al fatto che erano in chiesa. Infine, davanti alla grata di ferro che separava l'iconostasi dal resto della navata centrale, apparve un banditore in mantello nero e viola e proclamò: “Cittadini illustri della città di Milano! Ora vi parlerà il famoso matematico Niccolò Tartaglia di Brenia. Il suo avversario avrebbe dovuto essere il matematico e medico Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia accusa Cardano di essere stato l'ultimo a pubblicare nel suo libro “Ars magna” un metodo per risolvere un'equazione di 3° grado, che appartiene a lui, Tartaglia. Tuttavia lo stesso Cardano non poté partecipare al dibattito e quindi inviò il suo allievo Luigi Ferrari. Quindi il dibattito è dichiarato aperto, i suoi partecipanti sono invitati nei dipartimenti”. Un uomo goffo, con il naso adunco e la barba riccia, salì sul pulpito a sinistra dell'ingresso, e un giovane sui vent'anni, dal bel viso sicuro di sé, salì sul pulpito opposto. Tutto il suo comportamento rifletteva la completa fiducia che ogni suo gesto e ogni parola sarebbero stati accolti con gioia.

cominciò Tartaglia.

Egregi Signori! Sapete che 13 anni fa sono riuscito a trovare il modo di risolvere un'equazione di 3° grado e poi, utilizzando questo metodo, ho vinto la disputa con Fiori. Il mio metodo ha attirato l'attenzione del tuo concittadino Cardano, il quale ha usato tutta la sua astuta arte per carpirmi il segreto. Non si è fermato né dall'inganno né dalla falsificazione totale. Sapete anche che 3 anni fa è stato pubblicato a Norimberga il libro di Cardano sulle regole dell’algebra, dove il mio metodo, così spudoratamente rubato, è stato messo a disposizione di tutti. Ho sfidato Cardano e il suo allievo ad una gara. Mi sono proposto di risolvere 31 problemi, lo stesso numero mi è stato proposto dai miei avversari. È stata fissata una scadenza per la risoluzione dei problemi: 15 giorni. In 7 giorni sono riuscito a risolvere la maggior parte dei problemi compilati da Cardano e Ferrari. Li ho stampati e li ho spediti tramite corriere a Milano. Tuttavia, ho dovuto aspettare ben cinque mesi prima di ricevere le risposte ai miei compiti. Sono stati risolti in modo errato. Ciò mi ha dato motivo di sfidarli entrambi a un dibattito pubblico.

Tartaglia tacque. Il giovane, guardando lo sfortunato Tartaglia, disse:

Egregi Signori! Il mio degno avversario si è permesso, fin dalle prime parole del suo discorso, di esprimere tante calunnie contro di me e contro il mio maestro, il suo argomento era così infondato, che difficilmente mi prenderei la briga di confutare la prima e mostrarvi l'incoerenza; il secondo. Innanzitutto di che tipo di inganno possiamo parlare se Niccolò Tartaglia condividesse in modo del tutto volontario il suo metodo con entrambi? E così scrive Geronimo Cardano a proposito del ruolo del mio avversario nella scoperta della regola algebrica. Dice che non è lui, Cardano, “ma il mio amico Tartaglia che ha l'onore di scoprire qualcosa di così bello e sorprendente, che supera l'ingegno umano e tutti i talenti dello spirito umano. Questa scoperta è davvero un dono celeste, una prova così meravigliosa della potenza della mente che l’ha compresa, che nulla può essere considerato irraggiungibile per lui”.

Il mio avversario ha accusato me e il mio insegnante di aver presumibilmente dato la soluzione sbagliata ai suoi problemi. Ma come può la radice di un'equazione essere errata se sostituendola nell'equazione ed eseguendo tutte le azioni prescritte in questa equazione, arriviamo all'identità? E se il signor Tartaglia vuole essere coerente, allora avrebbe dovuto rispondere all'osservazione perché noi, che abbiamo rubato, ma secondo le sue parole, la sua invenzione e l'abbiamo usata per risolvere i problemi proposti, abbiamo ricevuto la soluzione sbagliata. Noi, io e il mio maestro, non consideriamo di poca importanza l'invenzione del signor Tartaglia. Questa invenzione è meravigliosa. Inoltre, basandomi in gran parte su di essa, ho trovato il modo di risolvere un'equazione di 4° grado, e nell'Ars Magna ne parla il mio maestro. Cosa vuole da noi il signor Tartaglia? Cosa sta cercando di ottenere con la disputa?

Signori, signori”, gridò Tartaglia, “vi prego di ascoltarmi!” Non nego che il mio giovane avversario sia molto forte in logica ed eloquenza. Ma questo non può sostituire una vera dimostrazione matematica. I problemi che ho dato a Cardano e alla Ferrari non sono stati risolti correttamente, ma dimostrerò anche questo. Prendiamo infatti, ad esempio, un'equazione tra quelle risolte. E 'noto...

Nella chiesa si levò un rumore inimmaginabile, assorbendo completamente la fine della frase iniziata dallo sfortunato matematico. Non gli è stato permesso di continuare. Il pubblico gli ha chiesto di stare zitto e di far girare la Ferrari. Tartaglia, vedendo che continuare la discussione era del tutto inutile, scese in fretta dal pulpito e attraverso il portico settentrionale uscì nella piazza. La folla ha salutato selvaggiamente il “vincitore” della contesa, Luigi Ferrari.

...Così si è conclusa questa disputa, che continua a provocare sempre nuove controversie. Chi possiede effettivamente il metodo per risolvere un'equazione di 3° grado? Stiamo parlando adesso - Niccolò Tartaglie. Lo ha scoperto e Cardano lo ha indotto con l'inganno a fare la scoperta. E se ora chiamiamo formula di Cardano la formula che rappresenta le radici di un'equazione di 3° grado attraverso i suoi coefficienti, allora questa è un'ingiustizia storica. Tuttavia, è ingiusto? Come calcolare il grado di partecipazione di ciascun matematico alla scoperta? Forse col tempo qualcuno sarà in grado di rispondere a questa domanda in modo assolutamente accurato, o forse rimarrà un mistero...

Formula Cardano

Utilizzando il moderno linguaggio matematico e il moderno simbolismo, la derivazione della formula di Cardano può essere trovata utilizzando le seguenti considerazioni estremamente elementari:

Diamo un'equazione generale di 3° grado:

ascia 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Se metti

, quindi diamo l'equazione (1) pensare

Introduciamo una nuova incognita U utilizzando l'uguaglianza

Introducendo questa espressione in (2) , noi abbiamo

quindi

Se il numeratore e il denominatore del secondo termine vengono moltiplicati per l'espressione e presi in considerazione, l'espressione risultante for tu risulta simmetrico rispetto ai segni “+” e “-”, quindi finalmente otteniamo

(Il prodotto dei radicali cubici nell'ultima uguaglianza deve essere uguale a P).

Questa è la famosa formula di Cardano. Se vai da sì tornare a X, quindi otteniamo una formula che determina la radice di un'equazione generale di 3° grado.

Il giovane che trattò Tartaglia in modo così spietato capiva la matematica con la stessa facilità con cui comprendeva i diritti di segretezza senza pretese. Ferrari trova il modo di risolvere un'equazione di 4° grado. Cardano ha incluso questo metodo nel suo libro. Cos'è questo metodo?

Permettere (1)

- equazione generale di 4° grado.

Se metti

quindi l'equazione (1) può essere ricordato

Dove p,q,r- alcuni coefficienti dipendenti da a,b,c,d,e. È facile vedere che questa equazione può essere scritta come segue:

Infatti è sufficiente aprire le parentesi, quindi tutti i termini che contengono T, si annulla e torniamo all'equazione (2) .

Selezioniamo un parametro T in modo che il lato destro dell'equazione (3) era un quadrato perfetto rispetto a sì. Come è noto, condizione necessaria e sufficiente affinché ciò avvenga è l'annullamento del discriminante dei coefficienti del trinomio (rispetto a sì) in piedi a destra:

Abbiamo ottenuto un'equazione cubica completa, che ora possiamo risolvere. Troviamo una delle sue radici e aggiungiamola all'equazione (3) , ora assumerà la forma

Questa è un'equazione quadratica. Risolvendolo, puoi trovare la radice dell'equazione (2) , e quindi (1) .

4 mesi prima della sua morte, Cardano ha terminato la sua autobiografia, che ha scritto intensamente durante l'ultimo anno e che avrebbe dovuto riassumere la sua vita difficile. Sentì la morte avvicinarsi. Secondo alcuni rapporti, il suo oroscopo collegherebbe la sua morte al suo 75esimo compleanno. Morì il 21 settembre 1576. 2 giorni prima dell'anniversario. Esiste una versione secondo cui si è suicidato in previsione della morte imminente o addirittura per confermare il suo oroscopo. In ogni caso, l'astrologo Cardano prese sul serio l'oroscopo.

Una nota sulla formula di Cardano

Analizziamo la formula per risolvere l'equazione nel dominio reale. COSÌ,

Durante il calcolo X dobbiamo prendere prima la radice quadrata e poi la radice cubica. Possiamo ricavare la radice quadrata rimanendo nella regione reale se . Due valori di radice quadrata che differiscono nel segno appaiono in termini diversi per X. I valori della radice cubica nel dominio reale sono unici e il risultato è una radice reale unica X A . Esaminando il grafico del trinomio cubico è facile verificare che esso ha effettivamente un'unica radice reale in . In ci sono tre radici vere. Quando c'è una doppia radice reale e una radice singola e quando c'è una radice tripla x=0.

Continuiamo a studiare la formula per . Risulta. Cosa succede se un'equazione con coefficienti interi ha una radice intera, quando la si calcola utilizzando la formula, possono sorgere irrazionalità intermedie. Ad esempio, l'equazione ha una radice singola (reale) - x=1. La formula di Cardano dà l'espressione a quest'unica radice reale

Ma praticamente qualsiasi prova implica l’utilizzo del fatto che questa espressione è la radice dell’equazione. Se non lo indovini, durante la trasformazione appariranno radicali cubici indistruttibili.

Il problema Cardano-Tartaglia fu presto dimenticato. La formula per risolvere l'equazione cubica fu associata alla "Grande Arte" e gradualmente cominciò a essere chiamata formula Cardano.

Molti avevano il desiderio di ripristinare il vero quadro degli eventi in una situazione in cui i loro partecipanti senza dubbio non dicevano tutta la verità. Per molti era importante stabilire l'entità della colpevolezza di Cardano. Verso la fine del XIX secolo alcune discussioni cominciarono ad assumere il carattere di una seria ricerca storica e matematica. I matematici si resero conto dell'importante ruolo svolto dal lavoro di Cardano alla fine del XVI secolo. Divenne chiaro ciò che Leibniz aveva notato anche prima: “Cardano era un grande uomo con tutti i suoi difetti; senza di loro sarebbe perfetto”.

COMUNALE VII CONVEGNO SCIENTIFICO E PRATICO DEGLI STUDENTI “GIOVENTÙ: CREATIVITÀ, RICERCA, SUCCESSO”

Distretto municipale di Anninskij

Regione di Voronezh

Sezione:MATEMATICA

Soggetto:"Formula Cardano: storia e applicazione"

MKOU Anninskaya scuola secondaria n. 3, 9 classe “B”.

Niccolò Fontana Tartaglia (italiano: NiccolòFontanaTartaglia, 1499-1557) - matematico italiano.

In generale, la storia racconta che la formula fu inizialmente scoperta da Tartaglia e consegnata a Cardano in forma finita, ma lo stesso Cardano negò questo fatto, sebbene non negò il coinvolgimento di Tartaglia nella creazione della formula.

Dietro la formula è ben radicato il nome “formula di Cardano”, in onore dello scienziato che la spiegò e la presentò al pubblico.

Quando l'orologio del municipio suonò le cinque, i cancelli si spalancarono e la folla si precipitò all'interno della cattedrale. Ai lati della linea centrale che collega l'ingresso all'altare, furono eretti due alti pulpiti vicino alle due colonne laterali, destinati ai dibattitori. I presenti hanno fatto un forte rumore, senza prestare attenzione al fatto che erano in chiesa. Infine, davanti alla grata di ferro che separava l'iconostasi dal resto della navata centrale, apparve un banditore in mantello nero e viola e proclamò: “Cittadini illustri della città di Milano! Ora vi parlerà il famoso matematico Niccolò Tartaglia di Brenia. Il suo avversario avrebbe dovuto essere il matematico e medico Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia accusa Cardano del fatto che quest'ultimo, nel suo libro “Arsmagna”, ha pubblicato un metodo per risolvere un'equazione di 3° grado, che appartiene a lui, Tartaglia. Tuttavia lo stesso Cardano non poté partecipare al dibattito e quindi inviò il suo allievo Luigi Ferrari. Quindi il dibattito è dichiarato aperto, i suoi partecipanti sono invitati nei dipartimenti”. Un uomo goffo, con il naso adunco e la barba riccia, salì sul pulpito a sinistra dell'ingresso, e un giovane sui vent'anni, dal bel viso sicuro di sé, salì sul pulpito opposto. Tutto il suo comportamento rifletteva la completa fiducia che ogni suo gesto e ogni parola sarebbero stati accolti con gioia.

cominciò Tartaglia.

Tartaglia tacque. Il giovane, guardando lo sfortunato Tartaglia, disse:

Il mio avversario ha accusato me e il mio insegnante di aver presumibilmente dato la soluzione sbagliata ai suoi problemi. Ma come può la radice di un'equazione essere errata se sostituendola nell'equazione ed eseguendo tutte le azioni prescritte in questa equazione, arriviamo all'identità? E se il signor Tartaglia vuole essere coerente, allora avrebbe dovuto rispondere all'osservazione perché noi, che, secondo le sue parole, abbiamo rubato la sua invenzione e l'abbiamo utilizzata per risolvere i problemi proposti, abbiamo ricevuto la soluzione sbagliata. Noi, io e il mio maestro, non consideriamo di poca importanza l'invenzione del signor Tartaglia. Questa invenzione è meravigliosa. Inoltre, basandomi in gran parte su di esso, ho trovato il modo di risolvere un'equazione di 4° grado, e ad Arsmagna ne parla il mio insegnante. Cosa vuole da noi il signor Tartaglia? Cosa sta cercando di ottenere con la disputa?

Signori, signori”, gridò Tartaglia, “vi prego di ascoltarmi!” Non nego che il mio giovane avversario sia molto forte in logica ed eloquenza. Ma questo non può sostituire una vera dimostrazione matematica. I problemi che ho dato a Cardano e alla Ferrari sono stati risolti in modo errato, ma lo dimostrerò anch'io. Prendiamo infatti, ad esempio, un'equazione tra quelle risolte. E 'noto...

Così si è conclusa questa disputa, che continua a provocare sempre nuove controversie. Chi possiede effettivamente il metodo per risolvere un'equazione di 3° grado? Stiamo parlando adesso - Niccolò Tartaglie. Lo ha scoperto e Cardano lo ha indotto con l'inganno a fare la scoperta. E se ora chiamiamo formula di Cardano la formula che rappresenta le radici di un'equazione di 3° grado attraverso i suoi coefficienti, allora questa è un'ingiustizia storica. Tuttavia, è ingiusto? Come calcolare il grado di partecipazione di ciascun matematico alla scoperta? Forse col tempo qualcuno sarà in grado di rispondere a questa domanda in modo assolutamente accurato, o forse rimarrà un mistero...

Utilizzando il moderno linguaggio matematico e il moderno simbolismo, la derivazione della formula di Cardano può essere trovata utilizzando le seguenti considerazioni estremamente elementari:

Diamo un'equazione generale di 3° grado:

X 3 + ascia 2 + bx + C = 0,

(1)

Dovea, b, c – numeri reali arbitrari.

Sostituiamo la variabile nell'equazione (1)X ad una nuova variabile sìsecondo la formula:

X 3 +ascia 2 +bx+c = (y ) 3 + a(y ) 2 + b(y ) + c = y 3 3 anni 2 + 3 anni+ a(y 2 2 anni+di = sì 3 sì 3 + (b

allora l'equazione (1) assumerà la formasì 3 + ( B

Se introduciamo la notazioneP = B, Q = ,

allora l'equazione assumerà la formasì 3 + pi + Q = 0.

Questa è la famosa formula di Cardano.

Radici di un'equazione cubicasì 3 + pi + Q = 0 dipendono dal discriminante

SeD> 0, alloraun polinomio cubico ha tre diverse radici reali.

SeD< 0, то un polinomio cubico ha una radice reale e due radici complesse (che sono complesse coniugate).

SeD = 0, ha una radice multipla (una radice di molteplicità 2 e una radice di molteplicità 1, entrambe reali; oppure un'unica radice reale di molteplicità 3).

2.4. Esempi di metodi universali per risolvere equazioni cubiche

Proviamo ad applicare la formula di Cardano alla risoluzione di equazioni specifiche.

Esempio 1: X 3 +15 X+124 = 0

QuiP = 15; Q = 124.

Risposta:X