Come trovare le coordinate di un prodotto vettoriale. Prodotto incrociato: definizioni, proprietà, formule, esempi e soluzioni

In questa lezione vedremo altre due operazioni con i vettori: prodotto vettoriale di vettori E prodotto misto di vettori (link immediato per chi ne avesse bisogno). Va bene, a volte capita che sia per la completa felicità, oltre a prodotto scalare di vettori, ne servono sempre di più. Questa è la dipendenza dai vettori. Può sembrare che stiamo entrando nella giungla della geometria analitica. Questo è sbagliato. In questa sezione della matematica superiore generalmente c'è poco legno, tranne forse quanto basta per Pinocchio. In effetti, il materiale è molto comune e semplice, difficilmente più complicato dello stesso prodotto scalare, ci saranno anche meno compiti tipici. La cosa principale nella geometria analitica, come molti saranno convinti o sono già stati convinti, è NON FARE ERRORI NEI CALCOLI. Ripeti come un incantesimo e sarai felice =)

Se i vettori brillano da qualche parte lontano, come un fulmine all'orizzonte, non importa, inizia con la lezione Vettori per manichini ripristinare o riacquisire le conoscenze di base sui vettori. I lettori più preparati possono conoscere le informazioni in modo selettivo; ho cercato di raccogliere la raccolta più completa di esempi che spesso si trovano nel lavoro pratico

Cosa ti renderà felice subito? Quando ero piccolo, sapevo fare il giocoliere con due e anche tre palline. Ha funzionato bene. Ora non dovrai più destreggiarti, poiché considereremo solo vettori spaziali e i vettori piatti con due coordinate verranno omessi. Perché? È così che sono nate queste azioni: il vettore e il prodotto misto dei vettori sono definiti e funzionano nello spazio tridimensionale. È già più facile!

Questa operazione, proprio come il prodotto scalare, prevede due vettori. Lascia che queste siano lettere imperiture.

L'azione stessa denotato da nel seguente modo: . Ci sono altre opzioni, ma sono abituato a denotare il prodotto vettoriale dei vettori in questo modo, tra parentesi quadre con una croce.

E subito domanda: se dentro prodotto scalare di vettori sono coinvolti due vettori, e anche qui si moltiplicano due vettori qual è la differenza? La differenza evidente sta, innanzitutto, nel RISULTATO:

Il risultato del prodotto scalare dei vettori è NUMERO:

Il risultato del prodotto incrociato dei vettori è VETTORE: , cioè moltiplichiamo i vettori e otteniamo nuovamente un vettore. Circolo chiuso. In realtà è proprio da qui che deriva il nome dell'operazione. Nella diversa letteratura educativa, anche le designazioni possono variare; userò la lettera.

Definizione di prodotto incrociato

Prima ci sarà una definizione con un'immagine, poi i commenti.

Definizione: Prodotto vettoriale non collineare vettori, presi in quest'ordine, chiamato VETTORE, lunghezza che è numericamente uguale all'area del parallelogramma, costruito su questi vettori; vettore ortogonale ai vettori, ed è diretto in modo che la base abbia un giusto orientamento:

Analizziamo la definizione, ci sono molte cose interessanti qui!

Si possono quindi evidenziare i seguenti punti significativi:

1) I vettori originari, indicati dalle frecce rosse, per definizione non collineare. Sarà opportuno considerare più avanti il ​​caso dei vettori collineari.

2) Vengono presi i vettori in un ordine rigorosamente definito: – "a" si moltiplica per "be", non “essere” con “a”. Il risultato della moltiplicazione dei vettoriè VETTORE, indicato in blu. Se si moltiplicano i vettori in ordine inverso, si ottiene un vettore uguale in lunghezza e opposto in direzione (colore lampone). Cioè, l'uguaglianza è vera .

3) Ora conosciamo il significato geometrico del prodotto vettoriale. Questo è un punto molto importante! La LUNGHEZZA del vettore blu (e, quindi, del vettore cremisi) è numericamente uguale all'AREA del parallelogramma costruito sui vettori. Nella figura, questo parallelogramma è ombreggiato in nero.

Nota : il disegno è schematico e, naturalmente, la lunghezza nominale del prodotto vettoriale non è uguale all'area del parallelogramma.

Ricordiamo una delle formule geometriche: L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei lati adiacenti per il seno dell'angolo compreso tra loro. Pertanto, in base a quanto sopra, vale la formula per calcolare la LUNGHEZZA di un prodotto vettoriale:

Sottolineo che la formula riguarda la LUNGHEZZA del vettore e non il vettore stesso. Qual è il significato pratico? E il significato è che nei problemi di geometria analitica, l'area di un parallelogramma si trova spesso attraverso il concetto di prodotto vettoriale:

Otteniamo la seconda formula importante. La diagonale di un parallelogramma (linea tratteggiata rossa) lo divide in due triangoli uguali. Pertanto, l'area di un triangolo costruito su vettori (ombreggiatura rossa) può essere trovata utilizzando la formula:

4) Un fatto altrettanto importante è che il vettore è ortogonale ai vettori, cioè . Naturalmente, anche il vettore diretto in direzione opposta (freccia lampone) è ortogonale ai vettori originali.

5) Il vettore è diretto in questo modo base Esso ha Giusto orientamento. Nella lezione su transizione verso una nuova base Ne ho parlato in modo sufficientemente dettagliato orientamento del piano, e ora scopriremo qual è l'orientamento spaziale. Te lo spiegherò con le dita mano destra. Combina mentalmente indice con vettore e dito medio con vettore. Anulare e mignolo premilo nel palmo della mano. Di conseguenza pollice– verrà visualizzato il prodotto vettoriale. Questa è una base orientata a destra (è questa nella figura). Ora cambia i vettori ( indice e medio) in alcuni punti, di conseguenza il pollice si girerà e il prodotto vettoriale guarderà già in basso. Anche questa è una base orientata a destra. Potresti avere una domanda: quale base ha lasciato l'orientamento? "Assegna" alle stesse dita mano sinistra vettori e ottenere la base sinistra e l'orientamento sinistro dello spazio (in questo caso il pollice si troverà nella direzione del vettore inferiore). In senso figurato, queste basi “torcono” o orientano lo spazio in direzioni diverse. E questo concetto non dovrebbe essere considerato qualcosa di inverosimile o astratto: ad esempio, l'orientamento dello spazio viene modificato dallo specchio più comune e se "tiri fuori l'oggetto riflesso dallo specchio", nel caso generale esso non sarà possibile abbinarlo all’“originale”. A proposito, avvicina tre dita allo specchio e analizza il riflesso ;-)

...quanto è bello che tu ora lo sappia orientato a destra e a sinistra basi, perché le dichiarazioni di alcuni docenti sul cambiamento di orientamento fanno paura =)

Prodotto vettoriale di vettori collineari

La definizione è stata discussa in dettaglio, resta da scoprire cosa succede quando i vettori sono collineari. Se i vettori sono collineari, possono essere posizionati su una linea retta e anche il nostro parallelogramma si “piega” in una linea retta. L'area di tale, come dicono i matematici, degenerare il parallelogramma è uguale a zero. Lo stesso segue dalla formula: il seno di zero o 180 gradi è uguale a zero, il che significa che l'area è zero

Quindi, se , allora E . Si noti che il prodotto vettoriale stesso è uguale al vettore zero, ma in pratica questo viene spesso trascurato e viene scritto che è anche uguale a zero.

Un caso speciale è il prodotto incrociato di un vettore con se stesso:

Usando il prodotto vettoriale, puoi verificare la collinearità dei vettori tridimensionali e analizzeremo anche questo problema, tra gli altri.

Per risolvere esempi pratici di cui potresti aver bisogno tavola trigonometrica per trovare da esso i valori dei seni.

Bene, accendiamo il fuoco:

Esempio 1

a) Trovare la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori se

b) Trova l'area di un parallelogramma costruito su vettori se

Soluzione: No, non è un errore di battitura, ho volutamente reso uguali i dati iniziali nelle clausole. Perché il design delle soluzioni sarà diverso!

a) In base alle condizioni, è necessario trovare lunghezza vettore (prodotto incrociato). Secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Se ti è stato chiesto della lunghezza, nella risposta indichiamo la dimensione: unità.

b) In base alle condizioni, è necessario trovare piazza parallelogramma costruito su vettori. L'area di questo parallelogramma è numericamente uguale alla lunghezza del prodotto vettoriale:

Risposta:

Tieni presente che la risposta non parla affatto del prodotto vettoriale; ci è stato chiesto zona della figura, di conseguenza, la dimensione è di unità quadrate.

Guardiamo sempre COSA dobbiamo trovare in base alla condizione e, in base a questo, formuliamo chiaro risposta. Può sembrare letteralismo, ma ci sono molti letteralisti tra gli insegnanti e il compito ha buone probabilità di essere restituito per la revisione. Anche se questo non è un cavillo particolarmente inverosimile, se la risposta è sbagliata, si ha l'impressione che la persona non capisca le cose semplici e/o non abbia compreso l'essenza del compito. Questo punto deve essere sempre tenuto sotto controllo quando si risolve qualsiasi problema di matematica superiore, ma anche di altre materie.

Dov'è finita la lettera maiuscola "en"? In linea di principio si sarebbe potuto allegare anche alla soluzione, ma per abbreviare la voce non l'ho fatto. Spero che tutti lo capiscano e che sia una designazione per la stessa cosa.

Un esempio popolare di soluzione fai da te:

Esempio 2

Trova l'area di un triangolo costruito su vettori se

La formula per trovare l'area di un triangolo tramite il prodotto vettoriale è riportata nei commenti alla definizione. La soluzione e la risposta sono alla fine della lezione.

In pratica, il compito è davvero molto comune; i triangoli generalmente possono tormentarti.

Per risolvere altri problemi avremo bisogno di:

Proprietà del prodotto vettoriale di vettori

Abbiamo già considerato alcune proprietà del prodotto vettoriale, tuttavia le includerò in questo elenco.

Per vettori arbitrari e un numero arbitrario, sono vere le seguenti proprietà:

1) In altre fonti di informazione questo elemento solitamente non è evidenziato nelle proprietà, ma è molto importante dal punto di vista pratico. Quindi lascia che sia.

2) – la proprietà è anche discussa sopra, a volte viene chiamata anticommutatività. In altre parole, l’ordine dei vettori è importante.

3) – associativo o associativo leggi sui prodotti vettoriali. Le costanti possono essere facilmente spostate all'esterno del prodotto vettoriale. Davvero, cosa dovrebbero fare lì?

4) – distribuzione o distributivo leggi sui prodotti vettoriali. Non ci sono problemi nemmeno con l'apertura delle parentesi.

Per dimostrarlo, diamo un'occhiata a un breve esempio:

Esempio 3

Trova se

Soluzione: La condizione richiede ancora una volta di trovare la lunghezza del prodotto vettoriale. Dipingiamo la nostra miniatura:

(1) Secondo le leggi associative, escludiamo le costanti dall'ambito del prodotto vettoriale.

(2) Prendiamo la costante fuori dal modulo e il modulo “mangia” il segno meno. La lunghezza non può essere negativa.

(3) Il resto è chiaro.

Risposta:

È ora di aggiungere altra legna al fuoco:

Esempio 4

Calcola l'area di un triangolo costruito su vettori se

Soluzione: Trova l'area del triangolo utilizzando la formula . Il problema è che i vettori “tse” e “de” sono essi stessi presentati come somme di vettori. L'algoritmo qui è standard e ricorda in qualche modo gli esempi n. 3 e 4 della lezione Prodotto scalare di vettori. Per chiarezza divideremo la soluzione in tre fasi:

1) Nel primo passo esprimiamo il prodotto vettoriale attraverso il prodotto vettoriale, infatti, esprimiamo un vettore in termini di vettore. Nessuna parola ancora sulle lunghezze!

(1) Sostituisci le espressioni dei vettori.

(2) Usando le leggi distributive, apriamo le parentesi secondo la regola della moltiplicazione dei polinomi.

(3) Usando le leggi associative, spostiamo tutte le costanti oltre i prodotti vettoriali. Con un po' di esperienza, i passaggi 2 e 3 possono essere eseguiti contemporaneamente.

(4) Il primo e l'ultimo termine sono uguali a zero (vettore zero) per la proprietà nice. Nel secondo termine utilizziamo la proprietà di anticommutatività di un prodotto vettoriale:

(5) Presentiamo termini simili.

Di conseguenza, il vettore si è rivelato espresso attraverso un vettore, che è ciò che era necessario per ottenere:

2) Nel secondo passaggio troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale di cui abbiamo bisogno. Questa azione è simile all'esempio 3:

3) Trova l'area del triangolo richiesto:

Le fasi 2-3 della soluzione avrebbero potuto essere scritte in una riga.

Risposta:

Il problema considerato è abbastanza comune nei test, ecco un esempio per risolverlo da soli:

Esempio 5

Trova se

Una breve soluzione e risposta alla fine della lezione. Vediamo quanto sei stato attento nello studio degli esempi precedenti ;-)

Prodotto vettoriale di vettori in coordinate

La formula è davvero semplice: nella riga superiore del determinante scriviamo i vettori delle coordinate, nella seconda e terza riga “mettiamo” le coordinate dei vettori, e mettiamo in rigoroso ordine– prima le coordinate del vettore “ve”, poi le coordinate del vettore “doppia-ve”. Se i vettori devono essere moltiplicati in un ordine diverso, le righe devono essere invertite:

Esempio 10

Controlla se i seguenti vettori spaziali sono collineari:
UN)
B)

Soluzione: La verifica si basa su una delle affermazioni di questa lezione: se i vettori sono collineari, allora il loro prodotto vettoriale è uguale a zero (vettore zero): .

a) Trovare il prodotto vettoriale:

Pertanto i vettori non sono collineari.

b) Trovare il prodotto vettoriale:

Risposta: a) non collineare, b)

Ecco, forse, tutte le informazioni di base sul prodotto vettoriale dei vettori.

Questa sezione non sarà molto ampia, poiché sono pochi i problemi in cui viene utilizzato il prodotto misto di vettori. In effetti, tutto dipenderà dalla definizione, dal significato geometrico e da un paio di formule di lavoro.

Un prodotto misto di vettori è il prodotto di tre vettori:

Quindi si sono messi in fila come un treno e non vedono l’ora di essere identificati.

Prima, ancora una definizione e un'immagine:

Definizione: Lavoro misto non complanare vettori, presi in quest'ordine, chiamato volume del parallelepipedo, costruito su questi vettori, dotato di segno “+” se la base è destra, e di segno “–” se la base è sinistra.

Facciamo il disegno. Le linee invisibili a noi sono disegnate con linee tratteggiate:

Immergiamoci nella definizione:

2) Vengono presi i vettori in un certo ordine, cioè, la riorganizzazione dei vettori nel prodotto, come puoi immaginare, non avviene senza conseguenze.

3) Prima di commentare il significato geometrico, faccio notare un fatto ovvio: il prodotto misto di vettori è un NUMERO: . Nella letteratura educativa, il design può essere leggermente diverso; sono abituato a denotare un prodotto misto con e il risultato dei calcoli con la lettera "pe".

A-prior il prodotto miscelato è il volume del parallelepipedo, costruito su vettori (la figura è disegnata con vettori rossi e linee nere). Cioè il numero è uguale al volume di un dato parallelepipedo.

Nota : Il disegno è schematico.

4) Non preoccupiamoci ancora del concetto di orientamento della base e dello spazio. Il significato della parte finale è che è possibile aggiungere un segno meno al volume. In parole semplici, un prodotto misto può essere negativo: .

Direttamente dalla definizione segue la formula per calcolare il volume di un parallelepipedo costruito su vettori.

Grafica vettorialeè uno pseudovettore perpendicolare a un piano costruito da due fattori, che è il risultato dell'operazione binaria “moltiplicazione vettoriale” su vettori nello spazio euclideo tridimensionale. Il prodotto vettoriale non ha proprietà di commutatività e associatività (è anticommutativo) e, a differenza del prodotto scalare di vettori, è un vettore. Ampiamente usato in molte applicazioni di ingegneria e fisica. Ad esempio, il momento angolare e la forza di Lorentz sono scritti matematicamente come prodotto vettoriale. Il prodotto vettoriale è utile per "misurare" la perpendicolarità dei vettori: il modulo del prodotto vettoriale di due vettori è uguale al prodotto dei loro moduli se sono perpendicolari e diminuisce fino a zero se i vettori sono paralleli o antiparalleli.

Il prodotto vettoriale può essere definito in diversi modi e teoricamente, in uno spazio di qualsiasi dimensione n, si può calcolare il prodotto di n-1 vettori, ottenendo così un unico vettore perpendicolare a tutti loro. Ma se il prodotto è limitato a prodotti binari non banali con risultati vettoriali, allora il prodotto vettoriale tradizionale è definito solo negli spazi tridimensionali e settedimensionali. Il risultato di un prodotto vettoriale, come un prodotto scalare, dipende dalla metrica dello spazio euclideo.

A differenza della formula per calcolare i vettori del prodotto scalare dalle coordinate in un sistema di coordinate rettangolari tridimensionale, la formula per il prodotto incrociato dipende dall'orientamento del sistema di coordinate rettangolari, o, in altre parole, dalla sua “chiralità”.

Definizione:
Il prodotto vettoriale del vettore a e del vettore b nello spazio R3 è un vettore c che soddisfa i seguenti requisiti:
la lunghezza del vettore c è uguale al prodotto delle lunghezze dei vettori aeb e del seno dell'angolo φ tra loro:
|c|=|a||b|peccato φ;
il vettore c è ortogonale a ciascuno dei vettori a e b;
il vettore c è diretto in modo che la terna dei vettori abc sia destrorsa;
nel caso dello spazio R7 è richiesta l'associatività della terna dei vettori a, b, c.
Designazione:
c===a × b

Riso. 1. L'area di un parallelogramma è uguale al modulo del prodotto vettoriale

Proprietà geometriche di un prodotto vettoriale:
Una condizione necessaria e sufficiente per la collinearità di due vettori diversi da zero è che il loro prodotto vettoriale sia uguale a zero.

Modulo per prodotti incrociati uguale all'area S parallelogramma costruito su vettori ridotti ad un'origine comune UN E B(vedi Fig. 1).

Se e- vettore unitario ortogonale ai vettori UN E B e scelto in modo che tre a, b, e- giusto, e Sè l'area del parallelogramma costruito su di essi (ridotta ad un'origine comune), allora vale la formula per il prodotto vettoriale:
=S e

Fig.2. Volume di un parallelepipedo utilizzando il vettore e il prodotto scalare dei vettori; le linee tratteggiate mostrano le proiezioni del vettore c su a × b e del vettore a su b × c, il primo passo è trovare i prodotti scalari

Se C- qualche vettore, π - qualsiasi piano contenente questo vettore, e- vettore unitario giacente nel piano π e ortogonale a c,g- vettore unitario ortogonale al piano π e diretto in modo che il triplo dei vettori ecgè giusto, quindi per qualsiasi persona sdraiata sull'aereo π vettore UN la formula è corretta:
=Pr e a |c|g
dove Pr e a è la proiezione del vettore e su a
|c|-modulo del vettore c

Quando si utilizzano prodotti vettoriali e scalari, è possibile calcolare il volume di un parallelepipedo costruito su vettori ridotti a un'origine comune un, b E C. Un tale prodotto di tre vettori è chiamato misto.
V=|a (b×c)|
La figura mostra che questo volume può essere trovato in due modi: il risultato geometrico viene conservato anche quando i prodotti “scalare” e “vettoriale” vengono scambiati:
V=a×b c=a b×c

L'entità del prodotto vettoriale dipende dal seno dell'angolo tra i vettori originali, quindi il prodotto vettoriale può essere percepito come il grado di “perpendicolarità” dei vettori, proprio come il prodotto scalare può essere visto come il grado di “parallelismo ”. Il prodotto vettoriale di due vettori unitari è uguale a 1 (vettore unitario) se i vettori originali sono perpendicolari e uguale a 0 (vettore zero) se i vettori sono paralleli o antiparalleli.

Espressione del prodotto vettoriale in coordinate cartesiane
Se due vettori UN E B definiti dalle loro coordinate cartesiane rettangolari o, più precisamente, rappresentati su base ortonormale
a=(a x , a y , a z)
b=(b x ,b y ,b z)
e il sistema di coordinate è destrorso, il loro prodotto vettoriale ha la forma
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Per ricordare questa formula:
i =∑ε ijk a j b k
Dove e ijk- simbolo di Levi-Civita.

7.1. Definizione di prodotto incrociato

Tre vettori non complanari a, b e c, presi nell'ordine indicato, formano una tripletta destrorsa se, dall'estremità del terzo vettore c, si vede il giro più breve dal primo vettore a al secondo vettore b essere in senso antiorario, e una terzina mancina se in senso orario (vedi Fig. 16).

Il prodotto vettoriale del vettore a e del vettore b è chiamato vettore c, che:

1. Perpendicolare ai vettori a e b, cioè c ^ a e c ^ B ;

2. Ha una lunghezza numericamente uguale all'area di un parallelogramma costruito sui vettori a eB come sui lati (vedi Fig. 17), cioè

3. I vettori a, b e c formano una terna destrorsa.

Il prodotto incrociato è indicato con a x b o [a,b]. Le seguenti relazioni tra i vettori unitari i seguono direttamente dalla definizione del prodotto vettoriale, J E K(vedi Fig. 18):

io x j = k, j x k = io, k x io = j.
Dimostriamolo, ad esempio io xj = k.

1) k ^ io, k ^ J ;

2) |k |=1, ma | io x j| = |i | |J | peccato(90°)=1;

3) vettori i, j e K formare una tripla destra (vedi Fig. 16).

7.2. Proprietà di un prodotto incrociato

1. Quando si riorganizzano i fattori, il prodotto vettoriale cambia segno, cioè e xb =(b xa) (vedi Fig. 19).

I vettori a xb e b xa sono collineari, hanno gli stessi moduli (l'area del parallelogramma rimane invariata), ma sono diretti in modo opposto (triple a, b, a xb e a, b, b x a di orientamento opposto). Questo è axb = -(b xa).

2. Il prodotto vettoriale ha una proprietà di combinazione rispetto al fattore scalare, cioè l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Sia l >0. Il vettore l (a xb) è perpendicolare ai vettori a e b. Vettore ( l ascia Bè anche perpendicolare ai vettori a e B(vettori a, l ma giacciono sullo stesso piano). Ciò significa che i vettori l(a xb) e ( l ascia B collineare. È ovvio che le loro direzioni coincidono. Hanno la stessa lunghezza:

Ecco perché l(axb)= l un xb. Si dimostra in modo simile per l<0.

3. Due vettori diversi da zero a e B sono collineari se e solo se il loro prodotto vettoriale è uguale al vettore zero, cioè a ||b<=>e xb = 0.

In particolare, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Il prodotto vettoriale ha la proprietà di distribuzione:

(a+b) xc = axc+ B xs.

Accetteremo senza prove.

7.3. Esprimere il prodotto vettoriale in termini di coordinate

Utilizzeremo la tabella dei prodotti incrociati dei vettori i, J e k:

se la direzione del percorso più breve dal primo vettore al secondo coincide con la direzione della freccia, allora il prodotto è uguale al terzo vettore; se non coincide, il terzo vettore si prende con il segno meno.

Siano dati due vettori a = a x i + a y J+az K e b = b x io+a J+bz K. Troviamo il prodotto vettoriale di questi vettori moltiplicandoli come polinomi (secondo le proprietà del prodotto vettoriale):

La formula risultante può essere scritta ancora più brevemente:

poiché il lato destro dell'uguaglianza (7.1) corrisponde all'espansione del determinante del terzo ordine in termini di elementi della prima riga, l'uguaglianza (7.2) è facile da ricordare.

7.4. Alcune applicazioni del prodotto incrociato

Determinazione della collinearità dei vettori

Trovare l'area di un parallelogramma e di un triangolo

Secondo la definizione del prodotto vettoriale dei vettori UN e B |axb | =|a | * |b |sin g, cioè S coppie = |a x b |. E quindi D S =1/2|a x b |.

Determinazione del momento di forza attorno ad un punto

Applichiamo una forza nel punto A F=AB lasciarlo andare DI- qualche punto nello spazio (vedi Fig. 20).

Questo è noto dalla fisica momento di forza F rispetto al punto DI chiamato vettore M, che passa per il punto DI E:

1) perpendicolare al piano passante per i punti O, A, B;

2) numericamente uguale al prodotto della forza per braccio

3) forma una terna destra con i vettori OA e A B.

Pertanto, M = OA x F.

Trovare la velocità di rotazione lineare

Velocità v punto M di un corpo rigido rotante con velocità angolare w attorno ad un asse fisso, è determinato dalla formula di Eulero v =w xr, dove r =OM, dove O è un punto fisso dell'asse (vedi Fig. 21).

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Utilizzeremo la tabella dei prodotti incrociati dei vettori i, j e k:

se la direzione del percorso più breve dal primo vettore al secondo coincide con la direzione della freccia, allora il prodotto è uguale al terzo vettore; se non coincide, il terzo vettore si prende con il segno meno.

Siano dati due vettori a=axi +ayj +azk e b =bxi +byj +bzk. Troviamo il prodotto vettoriale di questi vettori moltiplicandoli come polinomi (secondo le proprietà del prodotto vettoriale):
La formula risultante può essere scritta ancora più brevemente: poiché il lato destro dell'uguaglianza (7.1) corrisponde all'espansione del determinante del terzo ordine in termini di elementi della prima riga, l'uguaglianza (7.2) è facile da ricordare.

7.4. Alcune applicazioni del prodotto incrociato

Determinazione della collinearità dei vettori.
Trovare l'area di un parallelogramma e di un triangolo

Secondo la definizione del prodotto vettoriale dei vettori aeb |a xb | = |a| * |b |cantare, cioè S coppie = |a x b |. E quindi DS =1/2|a x b |.

Determinazione del momento di forza attorno ad un punto

Sia applicata una forza F = AB al punto A e sia O un punto nello spazio È noto dalla fisica che il momento della forza F relativo al punto O è il vettore M che passa per il punto O e:

1) perpendicolare al piano passante per i punti O, A, B;

2) è numericamente uguale al prodotto della forza esercitata dalla spalla 3) forma una terna destra con i vettori OA e A B.

Pertanto, M = OA x F. Trovare la velocità di rotazione lineare

La velocità v di un punto M di un corpo rigido che ruota con una velocità angolare w attorno ad un asse fisso è determinata dalla formula di Eulero v =w xr, dove r =OM, dove O è un punto fisso dell'asse (vedi Fig. 21).

Angolo tra i vettori

Dalla definizione del prodotto scalare di due vettori ne consegue che Se i vettori e sono specificati dalle coordinate e , allora la formula (1.6.3.1) verrà scritta come:

Area di un parallelogramma costruito su vettori

I problemi di misurazione delle lunghezze dei segmenti, delle distanze tra punti, delle superfici e dei volumi dei corpi appartengono ad un'importante classe di problemi comunemente detti metrici. Nella sezione precedente abbiamo imparato come utilizzare l'algebra vettoriale per calcolare le lunghezze dei segmenti di linea e le distanze tra i punti. Ora troveremo i modi per calcolare aree e volumi. L'algebra vettoriale consente di porre e risolvere tali problemi solo per casi abbastanza semplici. Per calcolare le aree di superfici arbitrarie e i volumi di corpi arbitrari, sono necessari metodi di analisi. Ma i metodi di analisi, a loro volta, si basano in modo significativo sui risultati forniti dall'algebra vettoriale.

Per risolvere il problema abbiamo scelto un percorso piuttosto lungo e difficile, suggerito da Hilbert Strang, associato a numerose trasformazioni geometriche e minuziosi calcoli algebrici. Abbiamo scelto questa strada nonostante ci siano altri approcci che portano all'obiettivo più velocemente perché ci è sembrato diretto e naturale. Il percorso diretto nella scienza non è sempre il più semplice. Le persone esperte lo sanno e preferiscono i percorsi indiretti, ma se non provi ad andare dritto, potresti rimanere all’oscuro di alcune sottigliezze della teoria.

Sul percorso che abbiamo scelto compaiono naturalmente concetti come orientamento spaziale, determinante, vettore e prodotti misti. Il significato geometrico del determinante e delle sue proprietà è rivelato in modo particolarmente chiaro, come al microscopio. Tradizionalmente, il concetto di determinante viene introdotto nella teoria dei sistemi di equazioni lineari, ma è proprio per risolvere tali sistemi che il determinante è quasi inutile. Il significato geometrico del determinante è essenziale per l'algebra vettoriale e tensoriale.

Adesso portiamo pazienza e cominciamo con i casi più semplici e comprensibili.

1. I vettori sono orientati lungo gli assi delle coordinate del sistema di coordinate cartesiane.

Sia il vettore a diretto lungo l'asse x e il vettore b lungo l'asse y. Nella fig. La Figura 21 mostra quattro diverse opzioni per la posizione dei vettori rispetto agli assi delle coordinate.

Vettori aeb in forma di coordinate: dove aeb indicano la grandezza del vettore corrispondente e a è il segno della coordinata del vettore.

Poiché i vettori sono ortogonali, i parallelogrammi costruiti su di essi sono rettangoli. Le loro aree sono semplicemente il prodotto dei loro lati. Esprimiamo questi prodotti in termini di coordinate vettoriali per tutti e quattro i casi.

Tutte e quattro le formule per calcolare l'area sono le stesse tranne che per il segno. Potresti semplicemente chiudere gli occhi e scrivere, quello in tutti i casi. Tuttavia, un’altra possibilità si rivela più produttiva: dare un significato al segno. Osserviamo attentamente la Fig. 21. Nei casi in cui la rotazione da vettore a vettore viene effettuata in senso orario. Nei casi in cui siamo costretti a utilizzare il segno meno nella formula, la rotazione da vettore a vettore viene eseguita in senso antiorario. Questa osservazione ci permette di mettere in relazione il segno nelle espressioni dell'area con l'orientamento del piano.

L'area di un rettangolo costruito sui vettori aeb con segno più o meno sarà considerata un'area orientata e il segno sarà associato all'orientamento specificato dai vettori. Per un’area orientata possiamo scrivere un’unica formula per tutti e quattro i casi considerati: . Il segno della barra “vettoriale” sopra la lettera S è introdotto per distinguere l'area ordinaria, che è sempre positiva, da quella orientata.

Inoltre è ovvio che gli stessi vettori, presi in ordine diverso, determinano l'orientamento opposto, quindi, . Continueremo semplicemente a denotare l'area con la lettera S e, quindi, .

Ora che sembrerebbe che, a costo di ampliare il concetto di area, abbiamo ricevuto un'espressione generale, il lettore attento dirà che non abbiamo considerato tutte le possibilità. Infatti, oltre alle quattro opzioni per la localizzazione dei vettori presentate in Fig. 21, ce ne sono altri quattro (Fig. 22) Riscriviamo i vettori in forma di coordinate: Esprimiamo le aree attraverso le coordinate dei vettori. 4. . I segni nelle nuove espressioni non sono cambiati, ma purtroppo è cambiato l'orientamento rispetto ai quattro casi precedenti. Pertanto per l’area orientata siamo costretti a scrivere: . Anche se la speranza di una semplicità ingegnosa non era giustificata, possiamo comunque scrivere un'espressione generale per tutti e quattro i casi.

Cioè, l'area orientata di un rettangolo costruito sui vettori, come sui lati, è uguale al determinante, composto dalle coordinate dei vettori, come sulle colonne.

Crediamo che il lettore abbia familiarità con la teoria dei determinanti, pertanto non ci soffermeremo su questo concetto in dettaglio. Diamo però opportune definizioni per cambiare l’accento e mostrare che a questo concetto si può arrivare da considerazioni puramente geometriche. , , sono diverse forme di notazione per lo stesso concetto: un determinante composto da coordinate vettoriali, come le colonne. Uguaglianza può essere presa come definizione del caso bidimensionale.

2. Il vettore b non è parallelo all'asse x; il vettore a/ è un vettore arbitrario.

Per ridurre questo caso a quelli già noti, consideriamo alcune trasformazioni geometriche di un parallelogramma costruito su vettori e (Fig. prodotti misti di vettori e sue proprietà