Matrici. Azioni sulle matrici

Si noti che gli elementi della matrice possono essere non solo numeri. Immaginiamo che tu stia descrivendo i libri che sono sulla tua libreria. Lascia che il tuo scaffale sia in ordine e che tutti i libri siano in posti rigorosamente definiti. Anche la tabella, che conterrà la descrizione della tua biblioteca (per scaffali e ordine dei libri sullo scaffale), sarà una matrice. Ma tale matrice non sarà numerica. Un altro esempio. Al posto dei numeri ci sono funzioni diverse, accomunate da qualche dipendenza. La tabella risultante verrà chiamata anche matrice. In altre parole, una Matrix è qualsiasi tavolo rettangolare composto da omogeneo elementi. Qui e più avanti parleremo di matrici composte da numeri.

Invece delle parentesi, per scrivere le matrici vengono utilizzate parentesi quadre o doppie linee verticali diritte

(2.1*)

Definizione 2. Se nell'espressione(1) m = n, poi ne parlano matrice quadrata, e se , allora oh rettangolare.

A seconda dei valori di m e n, si distinguono alcuni tipi speciali di matrici:

La caratteristica più importante piazza matrice è lei determinante O determinante, che è costituito da elementi di matrice ed è denotato

Ovviamente D E =1; .

Definizione 3. Se , poi la matrice UN chiamato non degenerato O Non è speciale.

Definizione 4. Se detA = 0 , poi la matrice UN chiamato degenerare O speciale.

Definizione 5. Due matrici UN E B sono chiamati pari e scrivi A = B se hanno le stesse dimensioni e i loro elementi corrispondenti sono uguali, cioè.

Ad esempio, le matrici e sono uguali, perché hanno dimensioni uguali e ogni elemento di una matrice è uguale all'elemento corrispondente dell'altra matrice. Ma le matrici non possono essere definite uguali, sebbene i determinanti di entrambe le matrici siano uguali e le dimensioni delle matrici siano le stesse, ma non tutti gli elementi situati negli stessi posti sono uguali. Le matrici sono diverse perché hanno dimensioni diverse. La prima matrice ha dimensioni 2x3 e la seconda è 3x2. Sebbene il numero di elementi sia lo stesso - 6 e gli elementi stessi siano gli stessi 1, 2, 3, 4, 5, 6, ma si trovano in posti diversi in ciascuna matrice. Ma le matrici sono uguali, secondo la Definizione 5.

Definizione 6. Se aggiusti un certo numero di colonne della matrice UN e lo stesso numero di righe, allora gli elementi all'intersezione delle colonne e delle righe indicate formano una matrice quadrata N- ordine, il cui determinante chiamato minore K - matrice dell'esimo ordine UN.

Esempio. Scrivi tre minori del secondo ordine della matrice

Problemi di algebra lineare. Il concetto di matrice. Tipi di matrici. Operazioni con matrici. Risoluzione di problemi di trasformazione di matrici.

Quando si risolvono vari problemi di matematica, spesso si ha a che fare con tabelle di numeri chiamate matrici. Utilizzando le matrici, è conveniente risolvere sistemi di equazioni lineari, eseguire molte operazioni con i vettori, risolvere vari problemi di computer grafica e altri problemi di ingegneria.

La matrice si chiama tabella rettangolare di numeri contenente una quantità M linee e un certo numero P colonne. Numeri T E P sono chiamati ordini di matrici. Se T = P, la matrice è detta quadrata e il numero m = n - il suo ordine.

In futuro, per scrivere le matrici verranno utilizzati doppi trattini o parentesi:

O

Per denotare brevemente una matrice, verrà spesso utilizzata una singola lettera maiuscola (ad esempio, A) o il simbolo || a ij ||, e talvolta con una spiegazione: UN = || a ij || = (a ij), Dove (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n).

Numeri aij, inclusi in questa matrice sono chiamati i suoi elementi. Nella registrazione un ij primo indice і indica il numero di riga e il secondo indice J- numero di colonna. Nel caso di una matrice quadrata

(1.1)

Vengono introdotti i concetti di diagonale principale e secondaria. La diagonale principale della matrice (1.1) è detta diagonale un 11 un 12 … ann andando dall'angolo superiore sinistro di questa matrice al suo angolo inferiore destro. Una diagonale laterale della stessa matrice si chiama diagonale un n 1 un (n -1)2… un1n, andando dall'angolo in basso a sinistra all'angolo in alto a destra.

Operazioni di base sulle matrici e loro proprietà.

Passiamo alla definizione delle operazioni base sulle matrici.

Addizione di matrici. La somma di due matrici A = || a ij || , Dove E B = || b ij || , Dove (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n) gli stessi ordini T E P detta matrice C= || c ij || (i =1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) gli stessi ordini T E P, elementi con ij che sono determinati dalla formula

, Dove (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.2)

Per denotare la somma di due matrici, viene utilizzata la notazione C = A+B. L'operazione di comporre la somma delle matrici è detta loro addizione. Quindi, per definizione:

+ =

Dalla definizione di somma di matrici, o più precisamente dalle formule (1.2), segue immediatamente che l'operazione di somma di matrici ha le stesse proprietà dell'operazione di somma di numeri reali, vale a dire:

1) proprietà commutativa: A + B = B + A,

2) proprietà associativa: ( A + B) + C = A + (B + C).

Queste proprietà consentono di non preoccuparsi dell'ordine dei termini della matrice quando si sommano due o più matrici.

Moltiplicazione di una matrice per un numero. Il prodotto della matrice A = || a ij || , dove (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) per un numero reale l, è detta matrice C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), i cui elementi sono determinati dalla formula:

, Dove (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.3)

Per denotare il prodotto di una matrice e un numero, viene utilizzata la notazione C = lA O C = UN l. L'operazione di comporre il prodotto di una matrice per un numero si chiama moltiplicazione della matrice per questo numero.

Direttamente dalla formula (1.3) è chiaro che moltiplicare una matrice per un numero ha le seguenti proprietà:

1) proprietà associativa relativa al moltiplicatore numerico: (l m) A = l (m A);

2) proprietà di distribuzione relativa alla somma di matrici: l(A+B) = lA+lB;

3) proprietà distributiva relativa alla somma dei numeri: (l + m) A = l A + m A

Commento. Differenza di due matrici UN E IN ordini identici T E Pè naturale chiamare tale matrice CON gli stessi ordini T E P, che si somma alla matrice B dà la matrice A. Per denotare la differenza di due matrici si usa la notazione naturale: C = A-B.

È molto facile verificare la differenza CON due matrici UN E IN può essere ottenuto dalla regola C = LA + (–1) V.

Prodotto di matrici O moltiplicazione di matrici.

Prodotto a matrice A = || a ij || , dove (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) avendo ordini corrispondentemente uguali T E N, alla matrice B = || b ij || , Dove (i = 1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., p), avendo ordini corrispondentemente uguali N E R, chiamata matrice C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), avendo ordini corrispondentemente uguali T E R i cui elementi sono determinati dalla formula:

Dove (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Per denotare il prodotto di una matrice UN alla matrice IN utilizzare la registrazione C = A × B. L'operazione di comporre un prodotto a matrice UN alla matrice IN si chiama moltiplicazione di queste matrici.

Dalla definizione sopra formulata risulta che La matrice A non può essere moltiplicata per ogni matrice B,è necessario che il numero di colonne della matrice UN era uguale al numero di righe della matrice IN.

La formula (1.4) è una regola per comporre gli elementi della matrice C, che è il prodotto della matrice UN alla matrice IN. Questa regola può essere formulata verbalmente: l'elemento c i j che si trova all'intersezione della i-esima riga e della j-esima colonna della matrice C = A B è uguale alla somma dei prodotti a coppie degli elementi corrispondenti dell'i-esima riga della matrice A e della j-esima colonna della matrice B.

Come esempio dell'applicazione di questa regola, presentiamo la formula per moltiplicare le matrici quadrate del secondo ordine.

× =

La formula (1.4) implica le seguenti proprietà del prodotto matrice UN sulla matrice IN:

1) proprietà associativa: (A B) C = A (B C);

2) proprietà distributiva relativa alla somma di matrici:

(A + B) C = A C + B C o A (B + C) = A B + A C.

Domanda sulla proprietà commutativa del prodotto di una matrice UN alla matrice IN ha senso impostarlo solo per matrici quadrate A e B lo stesso ordine.

Presentiamo importanti casi particolari di matrici per le quali è vera anche la proprietà di permutazione. Due matrici il cui prodotto ha la proprietà di commutazione vengono solitamente chiamate commutanti.

Tra le matrici quadrate segnaliamo una classe di matrici cosiddette diagonali, ciascuna delle quali ha elementi situati all'esterno della diagonale principale pari a zero. Ciascuna matrice diagonale di ordine P sembra

D= (1.5)

Dove d1, d2,… ,dn-qualsiasi numero. È facile vedere che se tutti questi numeri sono uguali tra loro, cioè d1 = d2 =… = d n quindi per qualsiasi matrice quadrata UN ordine P l'uguaglianza è vera UN D = D UN.

Tra tutte le matrici diagonali (1.5) con elementi coincidenti d1 = d2 =… = dn= = D Due matrici svolgono un ruolo particolarmente importante. La prima di queste matrici è ottenuta da d = 1, chiamata matrice identità N E. La seconda matrice si ottiene quando d = 0, è detta matrice nulla N-esimo ordine ed è indicato dal simbolo O. Così,

E= O=

Per quanto sopra dimostrato AE = EA E AO = OA. Del resto è facile dimostrarlo

LA MI = MI LA = LA, LA O = O LA = 0. (1.6)

La prima delle formule (1.6) caratterizza il ruolo speciale della matrice identità E, simile al ruolo svolto dal numero 1 nella moltiplicazione dei numeri reali. Per quanto riguarda il ruolo speciale della matrice zero DI, allora essa è rivelata non solo dalla seconda delle formule (1.7), ma anche dall'uguaglianza elementare verificabile

A + 0 = 0 + A = A.

In conclusione, notiamo che il concetto di matrice nulla può essere introdotto anche per matrici non quadrate (lo zero viene chiamato Qualunque matrice i cui elementi sono tutti uguali a zero).

Matrici di blocchi

Supponiamo che qualche matrice A = || a ij || utilizzando linee orizzontali e verticali, è diviso in celle rettangolari separate, ciascuna delle quali è una matrice di dimensioni più piccole ed è chiamata blocco della matrice originale. In questo caso diventa possibile considerare la matrice originaria UN come una nuova matrice (la cosiddetta matrice a blocchi). UN = || A a b ||, i cui elementi sono i blocchi specificati. Denotiamo questi elementi con la lettera maiuscola per sottolineare che si tratta, in generale, di matrici e non di numeri e (come i comuni elementi numerici) forniamo due indici, il primo dei quali indica il numero della linea “blocco”, il secondo - il numero della colonna “blocco” ».

Ad esempio, una matrice

può essere considerata come una matrice a blocchi

i cui elementi sono i seguenti blocchi:

Un fatto notevole è che le principali operazioni con le matrici a blocchi vengono eseguite secondo le stesse regole con cui vengono eseguite con le matrici numeriche ordinarie, solo i blocchi fungono da elementi.

Il concetto di determinante.

Considera una matrice quadrata arbitraria di qualsiasi ordine P:

A= (1.7)

A ciascuna di queste matrici associamo una caratteristica numerica ben definita, chiamata determinante, corrispondente a questa matrice.

Se l'ordine N matrice (1.7) è uguale a uno, allora questa matrice è composta da un elemento e io j il determinante del primo ordine corrispondente a tale matrice, chiameremo il valore di questo elemento.

allora il determinante del secondo ordine corrispondente a tale matrice è il numero uguale a un 11 un 22 - un 12 un 21 e indicato con uno dei simboli:

Quindi, per definizione

(1.9)

La formula (1.9) è una regola per costruire un determinante del secondo ordine dagli elementi della matrice corrispondente. La formulazione verbale di questa regola è la seguente: il determinante del secondo ordine corrispondente alla matrice (1.8) è uguale alla differenza tra il prodotto degli elementi sulla diagonale principale di questa matrice e il prodotto degli elementi sulla sua diagonale secondaria. I determinanti del secondo e dell'ordine superiore sono ampiamente utilizzati nella risoluzione di sistemi di equazioni lineari.

Diamo un'occhiata a come vengono eseguiti operazioni con matrici nel sistema MathCad . Le operazioni più semplici dell'algebra delle matrici sono implementate in MathCad sotto forma di operatori. La scrittura degli operatori è il più vicino possibile nel significato alla loro azione matematica. Ogni operatore è espresso da un simbolo corrispondente. Consideriamo le operazioni su matrici e vettori in MathCad 2001. I vettori sono un caso speciale di matrici di dimensione n x 1, quindi per queste valgono tutte le operazioni previste per le matrici, a meno che non siano specificate restrizioni (ad esempio alcune operazioni sono applicabili solo alle matrici quadrate n x n). Alcune azioni sono valide solo per i vettori (ad esempio, prodotto scalare), mentre altre, nonostante la stessa ortografia, agiscono in modo diverso su vettori e matrici.

q Dopo aver premuto il pulsante OK si apre un campo per l'immissione degli elementi della matrice. Per inserire un elemento della matrice, posizionare il cursore nella posizione contrassegnata e inserire un numero o un'espressione dalla tastiera.

Per eseguire qualsiasi operazione utilizzando la barra degli strumenti, è necessario:

q selezionare la matrice e fare clic sul pulsante operativo nel pannello,

q oppure fare clic sul pulsante nel pannello e inserire il nome della matrice nella posizione contrassegnata.

Il menu “Simboli” contiene tre operazioni: trasposizione, inversione, determinante.

Ciò significa, ad esempio, che è possibile calcolare il determinante di una matrice eseguendo il comando Simboli/Matrici/Determinante.

MathCAD memorizza il numero della prima riga (e della prima colonna) della matrice nella variabile ORIGIN. Per impostazione predefinita, il conteggio inizia da zero. Nella notazione matematica, è più comune contare da 1. Affinché MathCAD possa contare i numeri di riga e colonna da 1, è necessario impostare il valore della variabile ORIGIN:=1.

Le funzioni progettate per lavorare con problemi di algebra lineare sono raccolte nella sezione “Vettori e matrici” della finestra di dialogo “Inserisci funzione” (ricordiamo che viene richiamata dal pulsante sul pannello “Standard”). Le principali di queste funzioni verranno descritte più avanti.

Trasporre

Informazioni correlate.

Una matrice è una tabella rettangolare riempita con alcuni oggetti matematici. Considereremo per lo più matrici con elementi di qualche campo, anche se molte proposte rimangono valide se gli elementi delle matrici sono considerati elementi di un anello associativo (non necessariamente commutativo).

Molto spesso, gli elementi della matrice sono indicati da una lettera e due indici che indicano l '"indirizzo" dell'elemento: il primo indice fornisce il numero della riga contenente l'elemento, il secondo il numero della colonna. Pertanto, la matrice (delle dimensioni) è scritta nella forma

Le matrici inserite da numeri sorgono naturalmente quando si considerano sistemi di equazioni lineari

I dati di input per questo problema sono un insieme di coefficienti, che formano naturalmente una matrice

e un insieme di membri liberi che formano una matrice con una sola colonna. Ciò che stiamo cercando è un insieme di valori sconosciuti che, a quanto pare, può anche essere convenientemente rappresentato come una matrice composta da una colonna.

Un ruolo importante giocano le cosiddette matrici diagonali. Questo nome si riferisce a matrici quadrate aventi tutti gli elementi uguali a zero, ad eccezione degli elementi della diagonale principale, cioè elementi in posizioni

Si denota una matrice diagonale D con elementi diagonali

Una matrice composta da elementi situati all'intersezione di più righe selezionate della matrice A e di diverse colonne selezionate è chiamata sottomatrice della matrice A. Se sono i numeri delle righe selezionate e sono i numeri delle colonne selezionate, la sottomatrice corrispondente è

In particolare, le righe e le colonne di una matrice possono essere considerate come le sue sottomatrici.

Le matrici sono legate in modo naturale alla sostituzione lineare (trasformazione lineare) delle variabili. Questo nome si riferisce al passaggio dal sistema di variabili originario a un altro, nuovo, correlato dalle formule

La sostituzione lineare delle variabili viene specificata utilizzando una matrice di coefficienti

Tra i sistemi di equazioni lineari, quelli in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite sono di maggiore importanza. Tra le sostituzioni lineari di variabili, il ruolo principale è giocato dalle sostituzioni in cui il numero di variabili originali e nuove è lo stesso. In queste situazioni la matrice dei coefficienti risulta essere quadrata, cioè avente lo stesso numero di righe e colonne; questo numero è chiamato ordine della matrice quadrata.

Invece di dire “matrice a una riga” e “matrice a una colonna”, dicono più brevemente: riga, colonna.

Matrici. Azioni sulle matrici. Proprietà delle operazioni sulle matrici. Tipi di matrici.

Matrici (e, di conseguenza, la sezione matematica - algebra delle matrici) sono importanti nella matematica applicata, poiché consentono di scrivere una parte significativa dei modelli matematici di oggetti e processi in una forma abbastanza semplice. Il termine "matrice" apparve nel 1850. Le matrici furono menzionate per la prima volta nell'antica Cina e successivamente dai matematici arabi.

Matrice A=A mn viene chiamato l'ordine m*n tabella rettangolare di numeri contenente m - righe e n - colonne.

Elementi della matrice aij, per cui i=j si chiamano diagonale e forma diagonale principale.

Per una matrice quadrata (m=n), la diagonale principale è formata dagli elementi a 11, a 22,..., a nn.

Uguaglianza di matrice.

A=B, se la matrice ordina UN E B sono uguali e a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Azioni sulle matrici.

1. Addizione di matrici: operazione per elemento

2. Sottrazione di matrici: operazione per elemento

3. Il prodotto di una matrice e di un numero è un'operazione basata sugli elementi

4. Moltiplicazione A*B matrici secondo la regola riga in colonna(il numero di colonne della matrice A deve essere uguale al numero di righe della matrice B)

A mk *B kn =C mn e ogni elemento con ij matrici cmqè uguale alla somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga della matrice A per i corrispondenti elementi della j-esima colonna della matrice B, cioè

Dimostriamo l'operazione di moltiplicazione di matrici utilizzando un esempio

5. Esponenziazione

m>1 è un numero intero positivo. A è una matrice quadrata (m=n) cioè rilevante solo per matrici quadrate

6. Trasposizione della matrice A. La matrice trasposta è indicata con A T o A"

Righe e colonne scambiate

Esempio

Proprietà delle operazioni sulle matrici

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Tipi di matrici

1. Rettangolare: M E N- numeri interi positivi arbitrari

2. Quadrato: m=n

3. Riga della matrice: m=1. Ad esempio, (1 3 5 7) - in molti problemi pratici tale matrice è chiamata vettore

4. Colonna della matrice: n=1. Per esempio

5. Matrice diagonale: m=n E un ij = 0, Se i≠j. Per esempio

6. Matrice identità: m=n E

7. Matrice zero: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Matrice triangolare: tutti gli elementi sotto la diagonale principale sono 0.

9. Matrice simmetrica: m=n E un ij = un ji(cioè, elementi uguali si trovano in luoghi simmetrici rispetto alla diagonale principale), e quindi A"=A

Per esempio,

10. Matrice antisimmetrica: m=n E un ij =-un ji(vale a dire, gli elementi opposti si trovano in luoghi simmetrici rispetto alla diagonale principale). Di conseguenza, ci sono zeri sulla diagonale principale (da quando io=j abbiamo un ii =-a ii)

Chiaro, A"=-A

11. Matrice hermitiana: m=n E un ii =-ã ii (ãji- complesso - coniugato a un ji, cioè. Se A=3+2i, quindi il complesso coniugato Ã=3-2i)

Istruzioni. Per una soluzione online, è necessario specificare un'espressione di matrice. In una seconda fase sarà necessario chiarire la dimensione delle matrici. Operazioni valide: moltiplicazione (*), addizione (+), sottrazione (-), matrice inversa A^(-1), esponenziazione (A^2, B^3), trasposizione di matrice (A^T).

Operazioni valide: moltiplicazione (*), addizione (+), sottrazione (-), matrice inversa A^(-1), esponenziazione (A^2, B^3), trasposizione di matrice (A^T).
Per eseguire un elenco di operazioni, utilizzare un punto e virgola (;) separatore. Ad esempio, per eseguire tre operazioni:
a) 3A+4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
dovrai scriverlo così: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Una matrice è una tabella numerica rettangolare con m righe e n colonne, quindi la matrice può essere rappresentata schematicamente come un rettangolo.
Matrice zero (matrice nulla)è una matrice i cui elementi sono tutti uguali a zero e sono indicati con 0.
Matrice identitàè chiamata matrice quadrata della forma

Definiamo operazioni fondamentali sulle matrici.

Addizione di matrici

Esempio 6. .
L'operazione di addizione di matrici si estende al caso di un numero qualsiasi di termini. Ovviamente A+0=A .
Sottolineiamo ancora una volta che si possono sommare solo matrici della stessa dimensione; Per matrici di dimensioni diverse l'operazione di addizione non è definita.

Sottrazione di matrici

Moltiplicazione di matrici

Definizione. Siano due matrici A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) e B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), e il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. Il prodotto di A e B è la matrice C=||c i k ||, i cui elementi si trovano dalla formula .
Indicato con C=A·B.
Schematicamente, l'operazione di moltiplicazione di matrici può essere rappresentata come segue:

e la regola per calcolare un elemento in un prodotto:

Sottolineiamo ancora una volta che il prodotto A·B ha senso se e solo se il numero di colonne del primo fattore è pari al numero di righe del secondo, e il prodotto produce una matrice il cui numero di righe è pari al numero di righe del primo fattore e il numero di colonne è uguale al numero di colonne del secondo. Puoi controllare il risultato della moltiplicazione utilizzando uno speciale calcolatore online.

Esempio 7. Date matrici E . Trova le matrici C = A·B e D = B·A.
Soluzione. Innanzitutto notiamo che il prodotto A·B esiste perché il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B.

Esempio 8. Data una matrice . Trova 3A 2 – 2A.
Soluzione.

.
; .
.
Notiamo il seguente fatto interessante.
Come sai, il prodotto di due numeri diversi da zero non è uguale a zero. Per le matrici potrebbe non verificarsi una circostanza simile, ovvero il prodotto di matrici diverse da zero potrebbe risultare uguale alla matrice nulla.