§7. Esempi di spazi lineari

l- incrocio M tutti i sottospazi l contenente X .

Viene anche chiamata shell lineare sottospazio generato X. Solitamente indicato . Si dice anche che il guscio lineare allungato un mucchio di X .

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Libri

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Sia un sistema di vettori dallo spazio vettoriale V sopra il campo P.

Definizione 2: Guscio lineare l sistemi UNè l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori del sistema UN. Designazione LA).

Si può dimostrare che per due sistemi qualsiasi UN E B,

UN espresso linearmente attraverso B se e solo se . (1)

UN equivalente B allora e solo quando L(A)=L(B). (2)

La dimostrazione segue dalla proprietà precedente

3 L'estensione lineare di qualsiasi sistema di vettori è un sottospazio dello spazio V.

Prova

Prendi due vettori qualsiasi e da LA), avente le seguenti espansioni in vettori da UN: . Verifichiamo la fattibilità delle condizioni 1) e 2) del criterio:

Poiché è una combinazione lineare di vettori di sistema UN.

Poiché è anche una combinazione lineare di vettori di sistema UN.

Consideriamo ora la matrice. Span lineare di righe di matrice UNè chiamato spazio delle righe della matrice ed è denotato Lr(A). Span lineare di colonne di matrice UNè chiamato spazio di colonna ed è denotato Lc(A). Si noti che quando lo spazio di riga e colonna della matrice UN sono sottospazi di diversi spazi aritmetici Pn E PM rispettivamente. Utilizzando l’affermazione (2), possiamo giungere alla seguente conclusione:

Teorema 3: Se una matrice viene ottenuta da un'altra mediante una catena di trasformazioni elementari, gli spazi delle righe di tali matrici coincidono.

Somma e intersezione di sottospazi

Permettere l E M- due sottospazi dello spazio R.

Quantità l+Mè chiamato insieme di vettori x+y , Dove X ∈l E sì ∈M. Ovviamente, qualsiasi combinazione lineare di vettori da L+M appartiene L+M, quindi L+Mè un sottospazio dello spazio R(può coincidere con lo spazio R).

Attraversando l∩M sottospazi l E Mè l'insieme dei vettori che appartengono contemporaneamente a sottospazi l E M(può consistere solo di un vettore zero).

Teorema 6.1. Somma delle dimensioni di sottospazi arbitrari l E M spazio lineare a dimensione finita R uguale alla dimensione della somma di questi sottospazi e alla dimensione dell'intersezione di questi sottospazi:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Prova. Denotiamo F=L+M E G=L∩M. Permettere G g sottospazio bidimensionale. Scegliamo una base in esso. Perché G⊂l E G⊂M, quindi base G può essere aggiunto alla base l e alla base M. Sia la base del sottospazio l e lasciamo la base del sottospazio M. Mostriamo che i vettori

(6.1)costituiscono la base F=L+M. Affinché i vettori (6.1) formino la base dello spazio F devono essere linearmente indipendenti e qualsiasi vettore dello spazio F può essere rappresentato da una combinazione lineare di vettori (6.1).



Dimostriamo l'indipendenza lineare dei vettori (6.1). Sia il vettore zero dello spazio Fè rappresentato da una combinazione lineare di vettori (6.1) con alcuni coefficienti:

Il lato sinistro della (6.3) è il vettore del sottospazio l, e il lato destro è il vettore subspaziale M. Quindi il vettore

(6.4)appartiene al sottospazio G=L∩M. D'altra parte, il vettore v può essere rappresentato da una combinazione lineare di vettori base del sottospazio G:

(6.5) Dalle equazioni (6.4) e (6.5) abbiamo:

Ma i vettori sono la base del subspazio M, quindi sono linearmente indipendenti e . Allora la (6.2) assumerà la forma:

A causa dell'indipendenza lineare della base del sottospazio l abbiamo:

Poiché tutti i coefficienti nell'equazione (6.2) si sono rivelati pari a zero, i vettori

linearmente indipendenti. Ma qualsiasi vettore z da F(per definizione della somma dei sottospazi) può essere rappresentato dalla somma x+y , Dove X ∈ L,sì ∈ M. Nel suo turno X è rappresentato da una combinazione lineare di vettori a sì - combinazione lineare di vettori. Pertanto i vettori (6.10) danno origine al sottospazio F. Abbiamo trovato che i vettori (6.10) formano una base F=L+M.

Studio delle basi subspaziali l E M e base subspaziale F=L+M(6.10), abbiamo: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Quindi:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Somma diretta di sottospazi

Definizione 6.2. Spazio F rappresenta la somma diretta dei sottospazi l E M, se ciascun vettore X spazio F può essere rappresentato solo come somma x=y+z , Dove sì ∈L e z ∈M.



È indicato l'importo diretto l⊕M. Dicono che se F=L⊕M, Quello F si decompone nella somma diretta dei suoi sottospazi l E M.

Teorema 6.2. In modo da N spazio bidimensionale R era la somma diretta dei sottospazi l E M, è sufficiente per l'incrocio l E M conteneva solo l'elemento zero e che la dimensione R era uguale alla somma delle dimensioni dei sottospazi l E M.

Prova. Scegliamo qualche base nel sottospazio L e qualche base nel sottospazio M. Dimostriamolo

(6.11) è la base dello spazio R. Secondo le condizioni del teorema, la dimensione dello spazio Rn uguale alla somma dei sottospazi l E M (n=l+m). Basta dimostrare l'indipendenza lineare degli elementi (6.11). Sia il vettore zero dello spazio Rè rappresentato da una combinazione lineare di vettori (6.11) con alcuni coefficienti:

(6.13) Poiché il lato sinistro di (6.13) è un vettore del sottospazio l, e il lato destro è il vettore subspaziale M E l∩M=0 , Quello

(6.14) Ma i vettori sono le basi dei sottospazi l E M rispettivamente. Sono quindi linearmente indipendenti. Poi

(6.15) Si è stabilito che la (6.12) vale solo sotto la condizione (6.15), e ciò dimostra l'indipendenza lineare dei vettori (6.11). Pertanto costituiscono una base in R.

Sia x∈R. Espandiamolo secondo la base (6.11):

(6.16) Dalla (6.16) abbiamo:

(6.18)Dalle (6.17) e (6.18) segue che qualsiasi vettore from R può essere rappresentato come una somma di vettori X 1 ∈l E X 2 ∈M. Resta da dimostrare che questa rappresentazione è unica. Sia, oltre alla rappresentazione (6.17), la seguente rappresentazione:

(6.19) Sottraendo (6.19) da (6.17), otteniamo

(6.20) Da , e l∩M=0 , quindi e . Pertanto e. ■

Teorema 8.4 sulla dimensione della somma di sottospazi. Se e sono sottospazi di uno spazio lineare a dimensione finita, allora la dimensione della somma dei sottospazi è uguale alla somma delle loro dimensioni senza la dimensione della loro intersezione ( La formula di Grassmann):

(8.13)

Sia infatti la base dell'intersezione. Integriamolo con un insieme ordinato di vettori fino alla base del sottospazio e un insieme ordinato di vettori fino alla base del sottospazio. Tale aggiunta è possibile grazie al Teorema 8.2. Da questi tre insiemi di vettori, creiamo un insieme ordinato di vettori. Mostriamo che questi vettori sono generatori dello spazio. In effetti, qualsiasi vettore di questo spazio è rappresentato come una combinazione lineare di vettori di un insieme ordinato

Quindi, . Dimostriamo che i generatori sono linearmente indipendenti e quindi sono la base dello spazio. Infatti, creiamo una combinazione lineare di questi vettori e uguagliamola al vettore zero: . Tutti i coefficienti di questa espansione sono zero: i sottospazi di uno spazio vettoriale con forma bilineare sono l'insieme di tutti i vettori ortogonali a ciascun vettore da . Questo insieme è un sottospazio vettoriale, solitamente indicato con .

L'articolo descrive le basi dell'algebra lineare: lo spazio lineare, le sue proprietà, il concetto di base, dimensioni dello spazio, involucro lineare, connessione tra spazi lineari e rango delle matrici.

Spazio lineare

Un mucchio di l chiamato spazio lineare, se per tutti i suoi elementi le operazioni di somma di due elementi e di moltiplicazione di un elemento per un numero sono soddisfacenti IO gruppo Gli assiomi di Weyl. Gli elementi dello spazio lineare si chiamano vettori. Questa è una definizione completa; più brevemente possiamo dire che uno spazio lineare è un insieme di elementi per i quali sono definite le operazioni di somma di due elementi e di moltiplicazione di un elemento per un numero.

Gli assiomi di Weyl.

Hermann Weil ha suggerito che in geometria abbiamo due tipi di oggetti ( vettori e punti), le cui proprietà sono descritte dai seguenti assiomi, che costituiscono la base della sezione algebra lineare. È conveniente dividere gli assiomi in 3 gruppi.

Gruppo I

  1. per qualsiasi vettore xey è soddisfatta l'uguaglianza x+y=y+x;
  2. per qualsiasi vettore x, yez è soddisfatta l'uguaglianza x+(y+z)=(x+y)+z;
  3. esiste un vettore o tale che per ogni vettore x vale l'uguaglianza x+o=x;
  4. per qualsiasi vettore X esiste un vettore (-x) tale che x+(-x)=o;
  5. per qualsiasi vettore X vale l'uguaglianza 1x=x;
  6. per qualsiasi vettore X E A e qualsiasi numero λ l'uguaglianza λ( X+A)=λ X+λ A;
  7. per qualsiasi vettore X e qualsiasi numero λ e μ vale l'uguaglianza (λ+μ) X=λ X+μ X;
  8. per qualsiasi vettore X e qualsiasi numero λ e μ l'uguaglianza λ(μ X)=(λμ) X;

Gruppo II

Il gruppo I definisce il concetto combinazione lineare di vettori, dipendenza lineare e indipendenza lineare. Ciò ci permette di formulare altri due assiomi:

  1. ci sono n vettori linearmente indipendenti;
  2. qualsiasi (n+1) vettore è linearmente dipendente.

Per planimetria n=2, per stereometria n=3.

Gruppo III

Questo gruppo presuppone che esista un'operazione di moltiplicazione scalare che assegna una coppia di vettori X E A numero ( x,y). In cui:

  1. per qualsiasi vettore X E A vale l'uguaglianza ( x,y)=(y, x);
  2. per qualsiasi vettore X , A E z vale l'uguaglianza ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
  3. per qualsiasi vettore X E A e qualsiasi numero λ l'uguaglianza (λ x,y)=λ( x,y);
  4. per ogni vettore x vale la disuguaglianza ( x, x)≥0 e ( x, x)=0 se e solo se X=0.

Proprietà dello spazio lineare

La maggior parte delle proprietà dello spazio lineare si basano sugli assiomi di Weyl:

  1. Vettore O, la cui esistenza è garantita dall'Assioma 3, è determinata in modo univoco;
  2. Vettore (- X), la cui esistenza è garantita dall'Assioma 4, è determinata in modo univoco;
  3. Per due vettori qualsiasi UN E B appartenente allo spazio l, esiste un solo vettore X, anch'esso appartenente allo spazio l, che è una soluzione dell'equazione a+x=B e chiamò differenza vettoriale b-a.

Definizione. Sottoinsieme L' spazio lineare l chiamato sottospazio lineare spazio l, se esso stesso è uno spazio lineare in cui la somma di vettori e il prodotto di un vettore e un numero sono definiti allo stesso modo di l.

Definizione. Guscio lineare l(x1, x2, x3, …, xk) vettori x1, x2, x3, E xkè chiamato l'insieme di tutte le combinazioni lineari di questi vettori. Per quanto riguarda il guscio lineare possiamo dire questo

-lo scafo lineare è un sottospazio lineare;

– lo scafo lineare è il sottospazio lineare minimo contenente i vettori x1, x2, x3, E xk.

Definizione. Uno spazio lineare è detto n-dimensionale se soddisfa il Gruppo II del sistema assioma di Weyl. Viene chiamato il numero n dimensione spazio lineare e scrivere dimL=n.

Base– qualsiasi sistema ordinato di N vettori dello spazio linearmente indipendenti. Il significato di base è che i vettori che compongono la base possono essere usati per descrivere qualsiasi vettore nello spazio.

Teorema. Qualsiasi n vettori linearmente indipendenti nello spazio L formano una base.

Isomorfismo.

Definizione. Spazi lineari l E L' sono detti isomorfi se tale corrispondenza biunivoca può essere stabilita tra i loro elementi x↔x', Che cosa:

  1. Se x↔x', y↔y', Quello x+y↔x'+y';
  2. Se x↔x', quindi λ x↔λ X'.

Questa corrispondenza stessa si chiama isomorfismo. L’isomorfismo ci permette di fare le seguenti affermazioni:

  • se due spazi sono isomorfi, allora le loro dimensioni sono uguali;
  • due spazi lineari qualsiasi sullo stesso campo e della stessa dimensione sono isomorfi.

1. Insieme di polinomi P N (X) gradi non superiori N.

2. Un mucchio di N-sequenze di termini (con addizione termine per termine e moltiplicazione per uno scalare).

3 . Molte funzionalità C [ UN , B ] continuo su [ UN, B] e con addizione e moltiplicazione puntuale per uno scalare.

4. Molte funzioni specificate su [ UN, B] e svanendo in qualche punto interno fisso C: F (C) = 0 e con operazioni puntuali di addizione e moltiplicazione per uno scalare.

5. Imposta R+, se X ⊕ sìXsì, ⊙XX  .

§8. Definizione di sottospazio

Lasciamo il set Wè un sottoinsieme dello spazio lineare V (WV) e così via

a) X, sìWX ⊕ sìW;

b) XW,    ⊙ XW.

Le operazioni di addizione e moltiplicazione qui sono le stesse che nello spazio V(sono detti spazio indotti V).

Così tanti W chiamato sottospazio dello spazio V.

7 . Sottospazio W esso stesso è spazio.

◀ Per dimostrarlo è sufficiente dimostrare l'esistenza di un elemento neutro e del suo contrario. Uguaglianze 0⊙ X=  e (–1)⊙ X = –X dimostrare ciò che è necessario.

Un sottospazio costituito solo da un elemento neutro () e un sottospazio coincidente con lo spazio stesso V, sono detti sottospazi banali dello spazio V.

§9. Combinazione lineare di vettori. Arco lineare del sistema vettoriale

Passiamo ai vettori e 1 ,e 2 , …e NV e  1,  2 , …  N .

Vettore x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  N e N = detto lineare combinazione di vettori e 1 , e 2 , … , e N con coefficienti  1,  2 , …  N .

Se tutti i coefficienti di una combinazione lineare sono uguali a zero, allora la combinazione lineare chiamato banale.

Insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di vettori
chiamato scafo lineare questo sistema di vettori ed è denotato:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e N) = ℒ
.

8 . ℒ(e 1 , e 2 , …, e N

◀ La correttezza delle operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare deriva dal fatto che ℒ( e 1 , e 2 , …, e N) è un insieme di tutte le possibili combinazioni lineari. L'elemento neutro è una banale combinazione lineare. Per elemento X=
l'opposto è l'elemento - X =
. Sono soddisfatti anche gli assiomi che le operazioni devono soddisfare. Pertanto, ℒ( e 1 , e 2 , …, e N) è uno spazio lineare.

Qualsiasi spazio lineare contiene, nel caso generale, un numero infinito di altri spazi lineari (sottospazi) - gusci lineari

In futuro cercheremo di rispondere alle seguenti domande:

Quando i gusci lineari di diversi sistemi vettoriali sono costituiti dagli stessi vettori (cioè coincidono)?

2) Qual è il numero minimo di vettori che definisce la stessa campata lineare?

3) Lo spazio originale è una estensione lineare di qualche sistema di vettori?

§10. Sistemi vettoriali completi

Se nello spazio V esiste un insieme finito di vettori
e allora, ℒ
V, quindi il sistema di vettori
è chiamato sistema completo in V, e lo spazio è detto a dimensione finita. Quindi, il sistema di vettori e 1 , e 2 , …, e NV chiamato completo V sistema, cioè Se

XV   1 ,  2 , …  N tale x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  N e N .

Se nello spazio V non esiste un sistema finito completo (ed esiste sempre uno completo, ad esempio l'insieme di tutti i vettori dello spazio V), quindi lo spazio Vè detto infinitadimensionale.

9 . Se
pieno V sistema di vettori e sìV, Quello ( e 1 , e 2 , …, e N , sì) è anche un sistema completo.

◀ Nelle combinazioni lineari il coefficiente prima sì prendi uguale a 0.

Sia un sistema di vettori da . Guscio lineare sistemi vettorialiè l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di un dato sistema, cioè

Proprietà di un guscio lineare: Se , allora per e .

Il guscio lineare ha la proprietà di essere chiuso rispetto alle operazioni lineari (le operazioni di addizione e moltiplicazione per un numero).

Si dice un sottoinsieme di uno spazio che ha la proprietà di essere chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per numerisottospazio lineare dello spazio .

Il guscio lineare di un sistema di vettori è un sottospazio lineare dello spazio.

Il sistema di vettori da cui deriva si chiama base ,Se

Qualsiasi vettore può essere espresso come una combinazione lineare di vettori di base:

2. Il sistema di vettori è linearmente indipendente.

Coefficienti di espansione del vettore del Lemma secondo la base sono determinati in modo univoco.

Vettore , composto da coefficienti di espansione vettoriale secondo la base è chiamato vettore delle coordinate del vettore nella base .

Designazione . Questa voce sottolinea che le coordinate del vettore dipendono dalla base.

Spazi lineari

Definizioni

Sia dato un insieme di elementi di natura arbitraria. Si definiscano due operazioni per gli elementi di questo insieme: addizione e moltiplicazione per qualsiasi vero numero: e impostare Chiuso relativamente a tali operazioni: . Lasciamo che queste operazioni obbediscano agli assiomi:

3. Esiste un vettore zero con la proprietà per ;

4. per ognuno esiste un vettore inverso con la proprietà ;

6. per , ;

7. per , ;

Quindi viene chiamato un tale insieme spazio lineare (vettoriale)., vengono chiamati i suoi elementi vettori, e - per sottolineare la loro differenza rispetto ai numeri da - vengono chiamati questi ultimi scalari 1). Viene chiamato uno spazio costituito da un solo vettore zero banale .

Se negli assiomi 6 - 8 consentiamo la moltiplicazione per scalari complessi, viene chiamato tale spazio lineare completo. Per semplificare il nostro ragionamento, nel seguito prenderemo in considerazione solo gli spazi reali.

Uno spazio lineare è un gruppo rispetto all'operazione di addizione e un gruppo abeliano.

L'unicità del vettore zero e l'unicità del vettore inverso al vettore sono facilmente dimostrabili: , di solito è indicato .

Un sottoinsieme di uno spazio lineare che è esso stesso uno spazio lineare (cioè chiuso rispetto all'addizione di vettori e alla moltiplicazione per uno scalare arbitrario) è chiamato sottospazio lineare spazio. Sottospazi banali Uno spazio lineare è chiamato se stesso e lo spazio costituito da un vettore zero.

Esempio. Lo spazio delle triple ordinate di numeri reali

operazioni definite dalle uguaglianze:

L'interpretazione geometrica è ovvia: un vettore nello spazio, “legato” all'origine, può essere specificato nelle coordinate della sua estremità. La figura mostra anche un tipico sottospazio dello spazio: un piano passante per l'origine. Più precisamente gli elementi sono vettori che hanno origine nell'origine e terminano in punti del piano. La chiusura di un tale insieme rispetto alla somma di vettori e alla loro dilatazione 2) è ovvia.

Sulla base di questa interpretazione geometrica, un vettore di uno spazio lineare arbitrario viene spesso definito come punto nello spazio. A volte questo punto è chiamato "fine del vettore". A parte la comodità della percezione associativa, a queste parole non viene attribuito alcun significato formale: il concetto di “estremità di un vettore” è assente nell'assiomatica dello spazio lineare.

Esempio. Sulla base dello stesso esempio, possiamo dare un'interpretazione diversa dello spazio vettoriale (incorporato, tra l'altro, nell'origine stessa della parola "vettore" 3)): definisce un insieme di "spostamenti" di punti nello spazio. Questi spostamenti - o traslazioni parallele di qualsiasi figura spaziale - vengono scelti per essere paralleli al piano.

In generale, con tali interpretazioni del concetto di vettore, tutto non è così semplice. Tenta di fare appello al suo significato fisico - come oggetto che ha misurare E direzione- provocare un giusto rimprovero da parte dei matematici severi. La definizione di vettore come elemento dello spazio vettoriale ricorda molto l'episodio con sepulchami dal celebre racconto di fantascienza di Stanislaw Lem (vedi ☞QUI). Non fermiamoci al formalismo, ma esploriamo questo oggetto sfuocato nelle sue particolari manifestazioni.

Esempio. Una generalizzazione naturale è lo spazio: spazio vettoriale di riga o colonna . Un modo per specificare un sottospazio è specificare un insieme di vincoli.

Esempio. L'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogenee:

forma un sottospazio lineare dello spazio. In effetti, se

La soluzione del sistema, quindi

La stessa soluzione per qualsiasi file . Se

Un'altra soluzione al sistema, quindi

Sarà anche una sua decisione.

Perché ci sono molte soluzioni al sistema? eterogeneo le equazioni non formano un sottospazio lineare?

Esempio. Generalizzando ulteriormente, possiamo considerare lo spazio delle stringhe “infinite” oppure sequenze , di solito oggetto di analisi matematica - quando si considerano sequenze e serie. Puoi considerare le linee (sequenze) "infinite in entrambe le direzioni" - sono usate nella TEORIA DEI SEGNALI.

Esempio. L'insieme delle matrici con elementi reali con le operazioni di addizione di matrici e moltiplicazione per numeri reali forma uno spazio lineare.

Nello spazio delle matrici di ordine quadrato si possono distinguere due sottospazi: il sottospazio delle matrici simmetriche e il sottospazio delle matrici antisimmetriche. Inoltre, i sottospazi formano ciascuno degli insiemi: matrici triangolari superiori, triangolari diagonali inferiori.

Esempio. Un insieme di polinomi di un grado variabile esattamente uguali ai coefficienti di (dove è uno qualsiasi degli insiemi o ) con le consuete operazioni di addizione di polinomi e moltiplicazione per un numero da non si forma spazio lineare. Perché? - Perché non è chiuso rispetto all'addizione: la somma dei polinomi non sarà un polinomio del decimo grado. Ma qui ci sono molti polinomi di grado non più alto

forme dello spazio lineare; solo che a questo insieme dobbiamo aggiungere anche un polinomio identicamente nullo 4). I sottospazi evidenti sono . Inoltre, i sottospazi saranno l'insieme dei polinomi pari e l'insieme dei polinomi dispari di grado al massimo . Anche l'insieme di tutti i possibili polinomi (senza restrizioni di grado) forma uno spazio lineare.

Esempio. Una generalizzazione del caso precedente sarà lo spazio dei polinomi di più variabili di grado al massimo con coefficienti da . Ad esempio, l'insieme dei polinomi lineari

forma uno spazio lineare. Anche l'insieme dei polinomi (forme) omogenei di grado (con l'aggiunta di un polinomio identico a zero a questo insieme) è uno spazio lineare.

Nei termini della definizione di cui sopra, l'insieme di stringhe con componenti interi

considerato rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per componenti numeri interi scalari non è uno spazio lineare. Tuttavia, tutti gli assiomi 1 - 8 saranno soddisfatti se consentiamo la moltiplicazione solo per scalari interi. In questa sezione non ci concentreremo su questo oggetto, ma è molto utile nella matematica discreta, ad esempio in ☞ TEORIA DEI CODICI. Vengono considerati spazi lineari su campi finiti ☞ QUI.

Le variabili sono isomorfe allo spazio delle matrici simmetriche del th ordine. L’isomorfismo è stabilito da una corrispondenza, che illustreremo per il caso:

Il concetto di isomorfismo viene introdotto per condurre lo studio di oggetti che sorgono in diverse aree dell'algebra, ma con proprietà di operazioni “simili”, utilizzando l'esempio di un campione, elaborando su di esso risultati che possono poi essere replicati a buon mercato. Quale spazio lineare dovremmo prendere “come campione”? - Vedi la fine del paragrafo successivo