La funzione differenziale è l'invarianza della forma del primo differenziale. Proprietà del differenziale primo di una funzione

Per definizione, il differenziale (primo differenziale) di una funzione viene calcolato dalla formula
Se - variabile indipendente.

ESEMPIO.

Mostriamo che la forma del primo differenziale rimane invariata (è invariante) anche nel caso in cui l'argomento della funzione essa stessa è una funzione, cioè per una funzione complessa
.

Permettere
sono differenziabili, quindi per definizione

Del resto, questo è ciò che doveva essere dimostrato.

ESEMPI.

La provata invarianza della forma del primo differenziale ci consente di supporre ciò
questo è la derivata è uguale al rapporto tra il differenziale della funzione a la differenza della sua argomentazione, indipendentemente dal fatto che l'argomento sia una variabile indipendente o una funzione.

Differenziazione di una funzione specificata parametricamente

Lascia che la funzione If
ha sul set il contrario, quindi
Poi le uguaglianze
definito sul set funzione specificata parametricamente, – parametro (variabile intermedia).

ESEMPIO. Rappresentare graficamente la funzione
.

La curva costruita viene chiamata cicloide(Fig.25) ed è la traiettoria di un punto su una circonferenza di raggio 1, che rotola senza scorrere lungo l'asse OX.

COMMENTO. A volte, ma non sempre, un parametro può essere eliminato dalle equazioni delle curve parametriche.

ESEMPI.
sono equazioni parametriche di una circonferenza, poiché, ovviamente,

–equazioni parametriche dell'ellisse, poiché

–equazioni parametriche di una parabola

Troviamo la derivata di una funzione definita parametricamente:

La derivata di una funzione specificata parametricamente è anche una funzione specificata parametricamente: .

DEFINIZIONE. La derivata seconda di una funzione si chiama derivata della sua derivata prima.

Derivato il-esimo ordine è la derivata della sua derivata dell'ordine
.

Indichiamo le derivate della seconda e -esimo ordine in questo modo:

Dalla definizione della derivata seconda e dalla regola di differenziazione di una funzione definita parametricamente ne consegue che
Per calcolare la derivata terza è necessario rappresentare la derivata seconda nella forma
e utilizzare nuovamente la regola risultante. Le derivate di ordine superiore vengono calcolate in modo simile.

ESEMPIO. Trovare le derivate del primo e del secondo ordine della funzione

.

Teoremi fondamentali del calcolo differenziale

TEOREMA(Azienda agricola). Lasciamo la funzione
ha al punto
estremo. Se esiste
, Quello

PROVA. Permettere
, ad esempio, è il punto minimo. Per definizione di punto minimo, esiste un intorno di questo punto
, Entro cui
, questo è
– incremento
al punto
. A-prior
Calcoliamo le derivate unilaterali a questo punto
:

dal teorema del passaggio al limite nella disuguaglianza,

Perché

, Perché
Ma a seconda delle condizioni
esiste, quindi la derivata sinistra è uguale a quella destra, e questo è possibile solo se

Il presupposto che
– il punto massimo porta alla stessa cosa.

Significato geometrico del teorema:

TEOREMA(Rolla). Lasciamo la funzione
continuo
, differenziabile
E
allora c'è
tale che

PROVA. Perché
continuo
, quindi per il secondo teorema di Weierstrass si arriva a
il loro più grande
e il meno
valori sia nei punti estremi che alle estremità del segmento.

1. Lascia
, Poi

2. Lascia
Perché
O
, O
viene raggiunto nel punto estremo
, ma secondo il teorema di Fermat
Q.E.D.

TEOREMA(Lagrange). Lasciamo la funzione
continuo
e differenziabili
, allora c'è
tale che
.

Significato geometrico del teorema:

Perché
, allora la secante è parallela alla tangente. Quindi il teorema afferma che esiste una tangente parallela alla secante che passa per i punti A e B.

PROVA. Attraverso i punti A
e B
Disegniamo una secante AB. La sua equazione
Considera la funzione

– la distanza tra i punti corrispondenti sul grafico e sulla secante AB.

1.
continuo
come differenza di funzioni continue.

2.
differenziabile
come differenza di funzioni differenziabili.

3.

Significa,
soddisfa le condizioni del teorema di Rolle, quindi esiste
tale che

Il teorema è stato dimostrato.

COMMENTO. La formula si chiama La formula di Lagrange.

TEOREMA(Cauchy). Passiamo alle funzioni
continuo
, differenziabile
E
, allora c'è un punto
tale che
.

PROVA. Mostriamolo
. Se
, quindi la funzione
soddisferebbe le condizioni del teorema di Rolle, quindi avrebbe senso
tale che
– contraddizione con la condizione. Significa,
ed entrambi i lati della formula sono definiti. Diamo un'occhiata a una funzione di supporto.

continuo
, differenziabile
E
, questo è
soddisfa le condizioni del teorema di Rolle. Allora c'è un punto
, in cui
, Ma

Q.E.D.

La formula collaudata si chiama Formula di Cauchy.

La REGOLA dell'Hopital(Teorema dell'Hopital-Bernoulli). Passiamo alle funzioni
continuo
, differenziabile
,
E
. Inoltre, esiste un finito o infinito
.

Poi c'è

PROVA. Poiché per condizione
, quindi definiamo
al punto
, supponendo
Poi
diventerà continuo
. Mostriamolo

Facciamo finta che
allora c'è
tale che
, poiché la funzione
SU
soddisfa le condizioni del teorema di Rolle. Ma a seconda delle condizioni
– una contraddizione. Ecco perché

. Funzioni
soddisfare le condizioni del teorema di Cauchy su qualsiasi intervallo
, che è contenuto in
. Scriviamo la formula di Cauchy:

,
.

Da qui abbiamo:
, perchè se
, Quello
.

Ridesignando la variabile nell'ultimo limite, otteniamo quanto richiesto:

NOTA 1. La regola dell'Hopital resta valida anche quando
E
. Ci permette di rivelare non solo l'incertezza del tipo , ma anche il tipo :

.

NOTA 2. Se, dopo aver applicato la regola di L'Hopital, l'incertezza non viene rivelata, è necessario applicarla nuovamente.

ESEMPIO.

COMMENTO 3 . La regola di L'Hopital è un modo universale per rivelare le incertezze, ma ci sono dei limiti che possono essere rivelati utilizzando solo una delle tecniche particolari precedentemente studiate.

Ma ovviamente
, poiché il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore e il limite è uguale al rapporto dei coefficienti alle potenze più alte

La regola per differenziare una funzione complessa ci porterà a una proprietà notevole e importante del differenziale.

Le funzioni siano tali che da esse si possa comporre una funzione complessa: . Se esistono i derivati, allora – per la regola V – esiste anche un derivato

Sostituendo però la sua derivata con l'espressione (7) e notando che esiste un differenziale di x in funzione di t, otteniamo infine:

cioè, torniamo alla forma precedente del differenziale!

Vediamo quindi che la forma del differenziale può essere preservata anche se la vecchia variabile indipendente viene sostituita da una nuova. Siamo sempre liberi di scrivere il differenziale y nella forma (5), sia che x sia una variabile indipendente oppure no; l'unica differenza è che se t viene scelto come variabile indipendente, allora non significa un incremento arbitrario, ma un differenziale di x in funzione di. Questa proprietà è chiamata invarianza della forma del differenziale.

Poiché dalla formula (5) si ottiene direttamente la formula (6), che esprime la derivata tramite differenziali, l'ultima formula rimane valida qualunque sia la variabile indipendente (ovviamente la stessa in entrambi i casi) su cui vengono calcolati i suddetti differenziali.

Lasciamo, per esempio, così

Poniamo ora Allora avremo anche: È facile verificare che la formula

dà solo un'altra espressione per la derivata calcolata sopra.

Questa circostanza è particolarmente comoda da utilizzare nei casi in cui la dipendenza di y da x non è specificata direttamente, ma viene invece specificata la dipendenza di entrambe le variabili x e y da una terza variabile ausiliaria (chiamata parametro):

Supponendo che entrambe queste funzioni siano derivate e che per la prima esista una funzione inversa che abbia derivata, è facile vedere che allora anche y risulta essere una funzione di x:

per il quale esiste anche un derivato. Il calcolo di questa derivata può essere eseguito secondo la regola di cui sopra:

senza ripristinare la dipendenza diretta di y da x.

Ad esempio, se la derivata può essere determinata come fatto sopra, senza utilizzare affatto la dipendenza.

Se consideriamo xey come coordinate rettangolari di un punto sul piano, le equazioni (8) assegnano ciascun valore del parametro t a un certo punto che, con una variazione di t, descrive una curva sul piano. Le equazioni (8) sono chiamate equazioni parametriche di questa curva.

Nel caso di definizione parametrica di una curva, la formula (10) permette di impostare direttamente il coefficiente angolare della tangente tramite le equazioni (8), senza procedere a specificare la curva tramite l'equazione (9); esattamente,

Commento. La capacità di esprimere la derivata attraverso differenziali presi rispetto a qualsiasi variabile, in particolare, porta al fatto che le formule

esprimendo in notazione Leibniz le regole per differenziare una funzione inversa e una funzione complessa, diventano semplici identità algebriche (poiché qui tutti i differenziali possono essere presi rispetto alla stessa variabile). Non si creda però che ciò dia una nuova conclusione alle formule sopra menzionate: innanzitutto qui non è stata dimostrata l'esistenza delle derivate di sinistra, l'importante è che abbiamo utilizzato essenzialmente l'invarianza della forma del differenziale , che a sua volta è una conseguenza della regola V.

Se una funzione differenziabile di variabili indipendenti e il suo differenziale totale dz è uguale a Supponiamo ora che nel punto ((,?/) le funzioni »?) e r)) abbiano derivate parziali continue rispetto a (e rf, e in le derivate parziali del punto corrispondente (x, y ) esistono e sono continue, e di conseguenza la funzione r = f(x, y) è differenziabile in questo punto. In queste condizioni la funzione ha derivate nel punto 17) Differenziale di una funzione complessa Invarianza della forma di un differenziale Funzioni implicite Piano tangente e normale alla superficie Piano tangente alla superficie Significato geometrico del differenziale totale Normale alla superficie Come si vede dalle formule (2), u e u sono continue nel punto ((,*?). Pertanto la funzione nel punto è differenziabile; secondo la formula del differenziale totale per una funzione di variabili indipendenti £ e m], abbiamo Sostituendo a destra delle uguaglianze (3 ) u e u le loro espressioni dalle formule (2), otteniamo o che, a seconda della condizione, le funzioni al punto ((,17) hanno derivate parziali continue, quindi sono differenziabili in questo punto e Dalle relazioni (4) e (5) otteniamo che il confronto delle formule (1) e (6) mostra che il differenziale totale della funzione z = /(z, y) è espresso da una formula della stessa forma del caso in cui gli argomenti x e y della funzione /(z, y) sono variabili indipendenti, e nel caso in cui questi argomenti sono, a loro volta, funzioni di alcune variabili. Pertanto, il differenziale totale di una funzione di più variabili ha la proprietà dell'invarianza di forma. Commento. Dall'invarianza della forma del differenziale totale segue: se xnx e y sono funzioni differenziabili di un numero finito di variabili, allora la formula rimane valida. Consideriamo l'equazione dove è una funzione di due variabili definite in un dominio G sul piano xOy. Se per ogni valore x da un certo intervallo (xo - 0, xo + ^o) c'è esattamente un valore y, che insieme a x soddisfa l'equazione (1), allora questo determina la funzione y = y(x), per cui l'uguaglianza è scritta in modo identico lungo x nell'intervallo specificato. In questo caso, si dice che l'equazione (1) definisce y come funzione implicita di x. In altre parole, una funzione specificata da un'equazione che non è risolta rispetto a y è chiamata funzione implicita”, diventa esplicita se la dipendenza di y da x è data direttamente. Esempi: 1. L'equazione definisce il valore di y l'intero OcW рх come una funzione a valore singolo di x: 2. Con l'equazione la quantità y è definita come una funzione a valore singolo di x Illustriamo questa affermazione. L'equazione è soddisfatta da una coppia di valori x = 0, y = 0. Considereremo * un parametro e considereremo le funzioni. La questione se, per l'xo scelto, esiste un valore unico corrispondente di O è tale che la coppia (che soddisfa l'equazione (2) si riduce all'intersezione delle curve x ay e di un singolo punto. Costruiamo i loro grafici su xOy piano (Fig. 11) La curva » = x + c sin y, dove x è considerato come parametro, si ottiene per traslazione parallela lungo l'asse Ox e la curva z = z sin y È geometricamente ovvio che per ogni x le curve x = yez = t + c $1py hanno un unico punto di intersezione, il cui ordinatore è una funzione di x, determinata implicitamente dall'equazione (2). Questa dipendenza non è espressa tramite funzioni elementari 3. L'equazione non determina la funzione reale di x nello stesso argomento, si può parlare di funzioni implicite di più variabili. Il seguente teorema fornisce condizioni sufficienti per l'unica risolubilità dell'equazione = 0 (1). in qualche intorno di un dato punto (®o> 0). Teorema 8 (esistenza di una funzione implicita) Siano soddisfatte le seguenti condizioni: 1) la funzione è definita e continua in un certo rettangolo con centro in un punto nel punto la funzione y) diventa n\l, 3) nel rettangolo D esistono derivate parziali continue 4) Y) Quando qualsiasi numero sufficientemente ma/suo positivo e esiste un intorno di questo intorno esiste un'unica funzione continua y = f(x) (fig. 12), che assume il valore), soddisfa l'equazione \y - yol e trasforma l'equazione (1) nell'identità: Questa funzione è continuamente differenziabile in un intorno del punto Xq, e ricaviamo la formula (3) per la derivata della funzione implicita, ritenendo da dimostrare l’esistenza di tale derivata. Sia y = f(x) la funzione differenziabile implicita definita dall'equazione (1). Quindi nell'intervallo) esiste un'identità Differenziale di una funzione complessa Invarianza della forma di un differenziale Funzioni implicite Piano tangente e normale ad una superficie Piano tangente ad una superficie Significato geometrico di un differenziale completo Normale ad una superficie dovuto ad esso in questa intervallo Secondo la regola di differenziazione di una funzione complessa, abbiamo Unico nel senso che qualsiasi punto (x , y), giacente sulla curva appartenente all'intorno del punto (xo, yo)” ha coordinate legate dall'equazione . Quindi, con y = f(x) otteniamo che e, quindi, Esempio. Trovare j* dalla funzione y = y(x), definita dall'equazione In questo caso Da qui, in virtù della formula (3) Osservazione. Il teorema fornirà le condizioni per l'esistenza di un'unica funzione implicita il cui grafico passa per un dato punto (xo, oo). sufficiente, ma non necessario. Infatti, consideriamo l'equazione Qui ha derivate parziali continue pari a zero nel punto 0(0,0). Tuttavia, questa equazione ha un'unica soluzione pari a zero nel Problema. Sia data un'equazione: una funzione a valore singolo che soddisfa l'equazione (G). 1) Quante funzioni a valore singolo (2") soddisfano l'equazione (!")? 2) Quante funzioni continue a valore singolo soddisfano l'equazione (!")? 3) Quante funzioni differenziabili a valore singolo soddisfano l'equazione (!")? 4) Quante funzioni continue a valore singolo soddisfano l'“equazione (1”), anche se sono sufficientemente piccole? Un teorema di esistenza simile al Teorema 8 vale anche nel caso di una funzione implicita z - z(x, y) di due variabili, definita dall'equazione Teorema 9. Sia soddisfatta la seguente condizione d) la funzione & è definita e; continua nel dominio D; nel dominio D esistono e derivate di quozienti continui Allora per ogni e > 0 sufficientemente piccolo esiste un intorno Γ2 del punto (®o»Yo)/ in cui esiste un'unica funzione continua z - / (x, y), assumendo un valore in x = x0, y = y0, soddisfacendo la condizione e invertendo l'equazione (4) nell'identità: In questo caso, la funzione nel dominio Q ha derivate parziali continue e GG Troviamo espressioni per questi derivati. Sia l'equazione a definire z come una funzione a valore singolo e differenziabile z = /(x, y) di variabili indipendenti xnu. Se sostituiamo in questa equazione la funzione f(x, y) al posto di z, otteniamo l'identità. Di conseguenza, le derivate parziali totali rispetto a xey della funzione y, z), dove z = /(z, y ), deve essere anch'esso uguale a zero. Differenziando, troviamo dove Queste formule danno espressioni per le derivate parziali della funzione implicita di due variabili indipendenti. Esempio. Trovare le derivate parziali della funzione x(r,y) data dall'equazione 4. Da ciò si ottiene §11. Piano tangente e normale alla superficie 11.1. Cenni preliminari Consideriamo una superficie S definita dall'equazione Definita*. Un punto M(x, y, z) della superficie (1) è detto punto ordinario di questa superficie se nel punto M esistono tutte e tre le derivate e sono continue, e almeno una di esse è diversa da zero. Se nel punto My, z) della superficie (1) tutte e tre le derivate sono uguali a zero o almeno una di queste derivate non esiste, allora il punto M si dice punto singolare della superficie. Esempio. Considera un cono circolare (Fig. 13). Qui l'unico punto sottile speciale è l'origine delle coordinate 0(0,0,0): in questo punto le derivate parziali svaniscono contemporaneamente. Riso. 13 Consideriamo una curva spaziale L definita da equazioni parametriche. Sia le funzioni ad avere derivate continue nell'intervallo. Escludiamo dalla considerazione i punti singolari della curva in cui sia un punto ordinario della curva L, determinato dal valore del parametro to. Allora è il vettore tangente alla curva nel punto. Piano tangente di una superficie Sia la superficie 5 data dall'equazione. Prendi un punto ordinario P sulla superficie S e traccia attraverso di esso una curva L giacente sulla superficie e data da equazioni parametriche. Supponiamo che le funzioni £(*),. "/(0" C(0) hanno derivate continue , in nessun punto su (a)p) che svaniscono simultaneamente Per definizione, la tangente della curva L nel punto P è chiamata tangente alla superficie 5 in questo punto. 2) vengono sostituite nell'equazione (1), quindi poiché la curva L giace sulla superficie S, l'equazione (1) diventa un'identità rispetto a t: Differenziando questa identità rispetto a t, utilizzando la regola per differenziare un complesso. funzione, otteniamo L'espressione sul lato sinistro di (3) è il prodotto scalare di due vettori: Nel punto P, il vettore z è diretto tangente alla curva L in questo punto (Fig. 14). , dipende solo dalle coordinate di questo punto e dal tipo di funzione ^"(x, y, z) e non dipende dal tipo di curva che passa per il punto P. Poiché P - punto ordinario della superficie 5, allora la lunghezza del vettore n è diversa da zero Il fatto che il prodotto scalare significa che il vettore r tangente alla curva L nel punto P è perpendicolare al vettore n in questo punto (Fig. 14). Questi argomenti rimangono validi per qualsiasi curva passante per il punto P e giacente sulla superficie S. Di conseguenza, qualsiasi linea tangente alla superficie 5 nel punto P è perpendicolare al vettore n, e, quindi, tutte queste linee giacciono sullo stesso piano, anch'esso perpendicolare al vettore n . Il piano in cui si trovano tutte le linee tangenti alla superficie 5 che passano per un dato punto ordinario PG 5 è chiamato piano tangente alla superficie nel punto P (Fig. 15). Vettore Differenziale di una funzione complessa Invarianza della forma del differenziale Funzioni implicite Piano tangente e normale alla superficie Piano tangente alla superficie Significato geometrico del differenziale completo La normale alla superficie è il vettore normale del piano tangente alla superficie in punto P. Da qui si ottiene immediatamente l'equazione del piano tangente alla superficie ZG (nel punto ordinario P0 (®o, Uo" di questa superficie: Se la superficie 5 è data da un'equazione, allora scrivendo questa equazione nella così otteniamo anche l'equazione del piano tangente nel punto, sarà simile a questa 11. 3. Significato geometrico del differenziale totale Se lo inseriamo nella formula (7), assumerà la forma Il lato destro di (8) rappresenta il differenziale totale della funzione z nel punto M0(x0) yо) sulla piano xOy> tale che Pertanto, il differenziale totale della funzione z = /(x, y) di due variabili indipendenti xey nel punto M0, corrispondente agli incrementi Dx e Du delle variabili e y, è uguale all'incremento z - z0 applica z del punto del piano tangente alla superficie 5 nel punto Z>(xo» Uo» /(, Uo)) QUANDO ci si sposta dal punto M0(xo, Uo) al punto - 11.4. Definizione normale della superficie. La retta passante per il punto Po(xo, y0, r0) della superficie perpendicolare al piano tangente alla superficie nel punto Po è detta normale alla superficie nel punto Pq. Vettore)L è il vettore direttivo della normale e le sue equazioni hanno la forma Se la superficie 5 è data da un'equazione, le equazioni della normale al punto) assomigliano a questa: al punto Qui Al punto (0, 0) queste derivate sono uguali a zero: e l'equazione del piano tangente nel punto 0 (0,0,0) assume la seguente forma: (piano xOy). Equazioni normali

La formula per la funzione differenziale ha la forma

dove è il differenziale della variabile indipendente.

Sia ora data una funzione complessa (differenziabile) , dove,. Quindi utilizzando la formula per la derivata di una funzione complessa troviamo

Perché .

COSÌ, , cioè. La formula differenziale ha la stessa forma per la variabile indipendente e per l'argomento intermedio, che è una funzione differenziabile di.

Questa proprietà viene solitamente chiamata proprietà invarianza di una formula o forma di differenziale. Si noti che la derivata non ha questa proprietà.

Rapporto tra continuità e differenziabilità.

Teorema (condizione necessaria per la differenziabilità di una funzione). Se una funzione è differenziabile in un punto, allora in quel punto è continua.

Prova. Lasciamo la funzione y=F(X) differenziabile nel punto X 0 . A questo punto diamo un incremento all'argomento  X. La funzione verrà incrementata  A. Troviamolo.

Quindi, y=F(X) continuo in un punto X 0 .

Conseguenza. Se X 0 è il punto di discontinuità della funzione, quindi la funzione in esso non è differenziabile.

Non è vero il viceversa del teorema. La continuità non implica differenziabilità.

Differenziale. Significato geometrico. Applicazione del differenziale a calcoli approssimati.

Definizione

Differenziale di funzioneè detta parte lineare relativa dell'incremento della funzione. È designato kakili. Così:

Commento

Il differenziale di una funzione costituisce la maggior parte del suo incremento.

Commento

Insieme al concetto di differenziale di una funzione, viene introdotto il concetto di differenziale di argomento. A-prior differenziale argomentativoè l'incremento dell'argomento:

Commento

La formula per il differenziale di una funzione può essere scritta come:

Da qui lo capiamo

Ciò significa quindi che la derivata può essere rappresentata come una frazione ordinaria, il rapporto tra i differenziali di una funzione e un argomento.

Significato geometrico del differenziale

Il differenziale di una funzione in un punto è uguale all'incremento di ordinata della tangente tracciata sul grafico della funzione in quel punto, corrispondente all'incremento dell'argomento.

Regole fondamentali di differenziazione. Derivata di una costante, derivata di una somma.

Supponiamo che le funzioni abbiano derivate in un punto. Poi

1. Costante può essere tolto dal segno della derivata.

5. Costante differenziale uguale a zero.

2. Derivata della somma/differenza.

La derivata della somma/differenza di due funzioni è uguale alla somma/differenza delle derivate di ciascuna funzione.

Regole fondamentali di differenziazione. Derivato del prodotto.

3. Derivato del prodotto.

Regole fondamentali di differenziazione. Derivata di una funzione complessa e inversa.

5. Derivata di una funzione complessa.

La derivata di una funzione complessa è uguale alla derivata di questa funzione rispetto all'argomento intermedio, moltiplicata per la derivata dell'argomento intermedio rispetto all'argomento principale.

E hanno rispettivamente derivate nei punti. Poi

Teorema

(Sulla derivata della funzione inversa)

Se una funzione è continua e strettamente monotona in qualche intorno di un punto e differenziabile in questo punto, allora la funzione inversa ha una derivata nel punto, e .

Formule di differenziazione. Derivata di una funzione esponenziale.