მატრიცები, ოპერაციები მატრიცებზე. ინვერსიული მატრიცა

1 კურსი უმაღლესი მათემატიკა სწავლა მატრიცებიდა ძირითადი მოქმედებები მათზე. აქ ჩვენ ვაწყობთ ძირითად ოპერაციებს, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს მატრიცებით. სად დავიწყოთ მატრიცების გაცნობა? რა თქმა უნდა, უმარტივესი საგნებიდან - განმარტებები, ძირითადი ცნებები და მარტივი ოპერაციები. გარწმუნებთ, რომ მატრიცები ყველასთვის გასაგები იქნება, ვინც ცოტა დროს მაინც უთმობს მათ!

მატრიცის განმარტება

მატრიცაარის ელემენტების მართკუთხა ცხრილი. ისე, მარტივი სიტყვებით - რიცხვების ცხრილი.

როგორც წესი, მატრიცები აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით. მაგალითად, მატრიცა ა , მატრიცა ბ და ასე შემდეგ. მატრიცები შეიძლება იყოს სხვადასხვა ზომის: მართკუთხა, კვადრატული და ასევე არის მწკრივისა და სვეტის მატრიცები, რომლებსაც ვექტორები ეწოდება. მატრიცის ზომა განისაზღვრება სტრიქონებისა და სვეტების რაოდენობით. მაგალითად, დავწეროთ ზომის მართკუთხა მატრიცა მ on ნ , სად მ - ხაზების რაოდენობა და ნ - სვეტების რაოდენობა.

ნივთები, რისთვისაც i=j (a11, a22, .. ) ქმნიან მატრიცის მთავარ დიაგონალს და უწოდებენ დიაგონალს.

რა შეგიძლიათ გააკეთოთ მატრიცებით? დამატება/გამოკლება, რიცხვზე გამრავლება, გამრავლდნენ ერთმანეთში, გადატანა. ახლა მატრიცებზე ყველა ამ ძირითადი ოპერაციის შესახებ თანმიმდევრობით.

მატრიცის შეკრება და გამოკლების ოპერაციები

დაუყოვნებლივ გაფრთხილებთ, რომ შეგიძლიათ დაამატოთ მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცები. შედეგი იქნება იგივე ზომის მატრიცა. მატრიცების დამატება (ან გამოკლება) მარტივია - თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ მათი შესაბამისი ელემენტები . მოვიყვანოთ მაგალითი. შევასრულოთ ორი A და B ზომის ორი მატრიცის შეკრება.

გამოკლება ხდება ანალოგიით, მხოლოდ საპირისპირო ნიშნით.

ნებისმიერი მატრიცა შეიძლება გამრავლდეს თვითნებურ რიცხვზე. Გააკეთო ეს, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მისი თითოეული ელემენტი ამ რიცხვზე. მაგალითად, მოდით გავამრავლოთ მატრიცა A პირველი მაგალითიდან 5 რიცხვზე:

მატრიცის გამრავლების ოპერაცია

ყველა მატრიცის გამრავლება არ შეიძლება. მაგალითად, გვაქვს ორი მატრიცა - A და B. მათი გამრავლება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის B მატრიცის რიგების რაოდენობას. ამ შემთხვევაში შედეგად მიღებული მატრიცის თითოეული ელემენტი, რომელიც მდებარეობს i-ე მწკრივში და j-ე სვეტში, ტოლი იქნება შესაბამისი ელემენტების ნამრავლების ჯამს პირველი ფაქტორის i-ე მწკრივში და j-ე სვეტში. მეორე. ამ ალგორითმის გასაგებად, მოდით დავწეროთ როგორ მრავლდება ორი კვადრატული მატრიცა:

და მაგალითი რეალური რიცხვებით. გავამრავლოთ მატრიცები:

მატრიცის ტრანსპოზის ოპერაცია

მატრიცის ტრანსპოზიცია არის ოპერაცია, სადაც ხდება შესაბამისი სტრიქონების და სვეტების გაცვლა. მაგალითად, გადავიტანოთ მატრიცა A პირველი მაგალითიდან:

მატრიცის განმსაზღვრელი

დეტერმინანტი, ანუ განმსაზღვრელი, წრფივი ალგებრის ერთ-ერთი ძირითადი ცნებაა. ოდესღაც ხალხს წრფივი განტოლებები მოჰყვა და მათ შემდეგ უნდა მოეფიქრებინათ განმსაზღვრელი. საბოლოო ჯამში, თქვენზეა დამოკიდებული, გაუმკლავდეთ ამ ყველაფერს, ასე რომ, ბოლო ბიძგი!

განმსაზღვრელი არის კვადრატული მატრიცის რიცხვითი მახასიათებელი, რომელიც საჭიროა მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად.
უმარტივესი კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ განსხვავება ძირითადი და მეორადი დიაგონალების ელემენტების პროდუქტებს შორის.

პირველი რიგის მატრიცის, ანუ ერთი ელემენტისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ამ ელემენტის ტოლია.

რა მოხდება, თუ მატრიცა არის სამი სამზე? ეს უფრო რთულია, მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ მისი მართვა.

ასეთი მატრიცისთვის, განმსაზღვრელი მნიშვნელობა უდრის მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლების ჯამს და ძირითადი დიაგონალის პარალელურ პირის მქონე სამკუთხედებზე მდებარე ელემენტების ნამრავლების ჯამს, საიდანაც არის ნამრავლი გამოკლებულია მეორადი დიაგონალის ელემენტები და პარალელური მეორადი დიაგონალის პირის მქონე სამკუთხედებზე დაყრილი ელემენტების ნამრავლი.

საბედნიეროდ, პრაქტიკაში იშვიათად არის საჭირო დიდი ზომის მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლა.

აქ ჩვენ გადავხედეთ ძირითად ოპერაციებს მატრიცებზე. რა თქმა უნდა, რეალურ ცხოვრებაში შეიძლება არასოდეს შეგხვდეთ განტოლებათა მატრიცული სისტემის მინიშნებაც კი, ან, პირიქით, შეგხვდეთ ბევრად უფრო რთულ შემთხვევებს, როდესაც ნამდვილად მოგიწევთ ჭკუის დალაგება. სწორედ ასეთი შემთხვევებისთვის არსებობს პროფესიონალი სტუდენტური სერვისები. ითხოვეთ დახმარება, მიიღეთ მაღალი ხარისხის და დეტალური გადაწყვეტა, ისიამოვნეთ აკადემიური წარმატებებით და თავისუფალი დროით.

ლექცია 1. „მატრიცები და ძირითადი მოქმედებები მათზე. განმსაზღვრელი

განმარტება. მატრიცაზომა მ ნ, სად მ- ხაზების რაოდენობა, ნ- სვეტების რაოდენობა, რომელსაც ეწოდება გარკვეული თანმიმდევრობით მოწყობილი რიცხვების ცხრილი. ამ ციფრებს მატრიცის ელემენტებს უწოდებენ. თითოეული ელემენტის მდებარეობა ცალსახად განისაზღვრება იმ მწკრივისა და სვეტის რაოდენობით, რომელთა გადაკვეთაზეც ის მდებარეობს. მითითებულია მატრიცის ელემენტებია იჯ, სად მე- ხაზის ნომერი და ჯ- სვეტის ნომერი.

A =

ძირითადი ოპერაციები მატრიცებზე.

მატრიცა შეიძლება შედგებოდეს ერთი მწკრივისაგან ან ერთი სვეტისგან. ზოგადად, მატრიცა შეიძლება შედგებოდეს ერთი ელემენტისგან.

განმარტება. თუ მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მწკრივების რაოდენობას (m=n), მაშინ მატრიცა ე.წ. კვადრატი.

განმარტება. მატრიცის ნახვა:

= ე ,

დაურეკა პირადობის მატრიცა.

განმარტება. თუ ა წთ = ა ნმ , მაშინ მატრიცა ეწოდება სიმეტრიული.

მაგალითი.
- სიმეტრიული მატრიცა

განმარტება. ფორმის კვადრატული მატრიცა
დაურეკა დიაგონალიმატრიცა.

შეკრება და გამოკლებამატრიცები მცირდება მათ ელემენტებზე შესაბამის ოპერაციებამდე. ამ ოპერაციების ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება ის არის, რომ ისინი განსაზღვრულია მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცებისთვის. ამრიგად, შესაძლებელია მატრიცის შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციების განსაზღვრა:

განმარტება. ჯამი (განსხვავება)მატრიცები არის მატრიცა, რომლის ელემენტები, შესაბამისად, არის ორიგინალური მატრიცების ელემენტების ჯამი (განსხვავება).

c ij = a ij  ბ ij

C = A + B = B + A.

Ოპერაცია გამრავლება (გაყოფა)ნებისმიერი ზომის მატრიცა თვითნებური რიცხვით მცირდება მატრიცის თითოეული ელემენტის ამ რიცხვზე გამრავლებამდე (გაყოფამდე).

 (A+B) =  A   B A( ) =  A   A

მაგალითი.მოცემული მატრიცები A =
; B=
იპოვეთ 2A + B.

2A =
, 2A + B =
.

მატრიცის გამრავლების ოპერაცია.

განმარტება: Სამუშაომატრიცები არის მატრიცა, რომლის ელემენტების გამოთვლა შესაძლებელია შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

ა ბ = C;
.

ზემოაღნიშნული განმარტებიდან ირკვევა, რომ მატრიცის გამრავლების ოპერაცია განისაზღვრება მხოლოდ მატრიცებისთვის პირველის სვეტების რაოდენობა უდრის მეორის რიგების რაოდენობას.

მატრიცის გამრავლების ოპერაციის თვისებები.

1) მატრიცული გამრავლებაარა შემცვლელი , ე.ი. AB  VA მაშინაც კი, თუ ორივე პროდუქტი განსაზღვრულია. თუმცა, თუ რომელიმე მატრიცისთვის მიმართება AB = BA დაკმაყოფილებულია, მაშინ ასეთი მატრიცები ე.წ.ცვალებადი.

ყველაზე ტიპიური მაგალითია მატრიცა, რომელიც გადადის იმავე ზომის ნებისმიერ სხვა მატრიცასთან.

მხოლოდ ერთი და იმავე რიგის კვადრატული მატრიცები შეიძლება იყოს გარდამავალი.

A E = E A = A

ცხადია, ნებისმიერი მატრიცისთვის მოქმედებს შემდეგი თვისება:

ა ო = ო; ო ა = ო,

სადაც O - ნულიმატრიცა.

2) მატრიცული გამრავლების ოპერაცია ასოციაციური,იმათ. თუ AB და (AB)C პროდუქცია განისაზღვრება, მაშინ BC და A(BC) განისაზღვრება და თანასწორობა მოქმედებს:

(AB)C=A(BC).

3) მატრიცული გამრავლების ოპერაცია გამანაწილებელიდამატებასთან მიმართებაში, ე.ი. თუ გამოთქმებს A(B+C) და (A+B)C აქვს აზრი, მაშინ შესაბამისად:

A(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC.

4) თუ ნამრავლი AB არის განსაზღვრული, მაშინ ნებისმიერი რიცხვისთვის შემდეგი თანაფარდობა სწორია:

(AB) = ( ა) ბ = ა( ბ).

5) თუ ნამრავლი AB არის განსაზღვრული, მაშინ ნამრავლი B T A T განისაზღვრება და ტოლობა მოქმედებს:

(AB) T = B T A T, სადაც

ინდექსი T აღნიშნავს გადატანილიმატრიცა.

6) ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერი კვადრატული მატრიცისთვის det (AB) = detA detB.

Რა მოხდა det ქვემოთ იქნება განხილული.

განმარტება . მატრიცა B ე.წ გადატანილიმატრიცა A და A-დან B-ზე გადასვლა ტრანსპოზიცია, თუ A მატრიცის თითოეული მწკრივის ელემენტები B მატრიცის სვეტებში ერთი და იგივე თანმიმდევრობით არის ჩაწერილი.

A =
; B = A T =
;

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, b ji = a ij .

წინა თვისების (5) შედეგად შეგვიძლია დავწეროთ, რომ:

(ABC) T = C T B T A T,

იმ პირობით, რომ ABC მატრიცების ნამრავლი განისაზღვრება.

მაგალითი. მოცემული მატრიცები A =
, B = , C =
და ნომერი = 2. იპოვეთ A T B+  C.

ა თ =
; ა თ ბ =
 =
=
;

C =
; A T B+  C =
+
=
.

მაგალითი.იპოვეთ A = და B = მატრიცების ნამრავლი
.

AB = 
=
.

VA =
 = 2  1 + 4  4 + 1  3 = 2 + 16 + 3 = 21.

მაგალითი.იპოვეთ A= მატრიცების ნამრავლი
, B =

AB =

=
=
.

განმსაზღვრელი(განმსაზღვრელი).

განმარტება. განმსაზღვრელიკვადრატული მატრიცა A=
არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება გამოითვალოს მატრიცის ელემენტებიდან ფორმულის გამოყენებით:

det A =
, სადაც (1)

მ 1-მდე– მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც მიღებულია ორიგინალიდან პირველი მწკრივისა და k სვეტის წაშლით. უნდა აღინიშნოს, რომ დეტერმინანტებს აქვთ მხოლოდ კვადრატული მატრიცები, ე.ი. მატრიცები, რომლებშიც მწკრივების რაოდენობა უდრის სვეტების რაოდენობას.

ფ ფორმულა (1) საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მატრიცის განმსაზღვრელი პირველი რიგიდან; ასევე მოქმედებს პირველი სვეტიდან განმსაზღვრელი გამოთვლის ფორმულა:

det A =
(2)

ზოგადად რომ ვთქვათ, დეტერმინანტი შეიძლება გამოითვალოს მატრიცის ნებისმიერი მწკრივიდან ან სვეტიდან, ე.ი. ფორმულა სწორია:

detA =
, i = 1,2,…,n. (3)

ცხადია, სხვადასხვა მატრიცას შეიძლება ჰქონდეს იგივე განმსაზღვრელი.

იდენტურობის მატრიცის განმსაზღვრელი არის 1.

მითითებული მატრიცისთვის A, რიცხვი M 1k ეწოდება დამატებითი მცირემატრიცის ელემენტი a 1 k. ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მატრიცის თითოეულ ელემენტს აქვს თავისი დამატებითი მცირე. დამატებითი მცირე რაოდენობა მხოლოდ კვადრატულ მატრიცებში არსებობს.

განმარტება. დამატებითი მცირეკვადრატული მატრიცის თვითნებური ელემენტის a ij უდრის მატრიცის განმსაზღვრელს, რომელიც მიღებულია საწყისიდან i-ე მწკრივის და j-ე სვეტის წაშლით.

საკუთრება 1. დეტერმინანტების მნიშვნელოვანი თვისებაა შემდეგი ურთიერთობა:

det A = det A T;

საკუთრება 2. დეტ (ა ბ) = დეტ ა დეტ ბ.

საკუთრება 3. დეტ (AB) = detA detB

საკუთრება 4. თუ კვადრატულ მატრიცაში შეცვლით ნებისმიერ ორ მწკრივს (ან სვეტს), მატრიცის განმსაზღვრელი შეიცვლის ნიშანს აბსოლუტური მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე.

საკუთრება 5. როდესაც მატრიცის სვეტს (ან მწკრივს) ამრავლებთ რიცხვზე, მისი განმსაზღვრელი მრავლდება ამ რიცხვზე.

საკუთრება 6. თუ მატრიცა A-ში რიგები ან სვეტები წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ მისი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

განმარტება: მატრიცის სვეტებს (სტრიქონებს) უწოდებენ წრფივად დამოკიდებული, თუ არსებობს მათი ნულის ტოლი წრფივი კომბინაცია, რომელსაც აქვს არატრივიალური (არანულოვანი) ამონახსნები.

საკუთრება 7. თუ მატრიცა შეიცავს ნულოვან სვეტს ან ნულოვან რიგს, მაშინ მისი განმსაზღვრელი არის ნული. (ეს განცხადება აშკარაა, რადგან განმსაზღვრელი შეიძლება გამოითვალოს ზუსტად ნულოვანი მწკრივით ან სვეტით.)

საკუთრება 8. მატრიცის განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ სხვა მწკრივის (სვეტის) ელემენტები დაემატება (გამოკლდება) მისი ერთ-ერთი მწკრივის (სვეტის) ელემენტებს, გამრავლებული ნებისმიერ რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი.

საკუთრება 9. თუ შემდეგი მიმართება მართალია მატრიცის რომელიმე მწკრივის ან სვეტის ელემენტებისთვის:დ = დ 1  დ 2 , ე = ე 1  ე 2 , ვ = det(AB).

1 მეთოდი: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

მე-2 მეთოდი: AB =
, დეტ (AB) = 7  18 - 8  19 = 126 –

– 152 = -26.

ეს სახელმძღვანელო დაგეხმარებათ გაიგოთ როგორ შეასრულოთ ოპერაციები მატრიცებით: მატრიცების შეკრება (გამოკლება), მატრიცის ტრანსპოზიცია, მატრიცების გამრავლება, შებრუნებული მატრიცის პოვნა. ყველა მასალა წარმოდგენილია მარტივი და ხელმისაწვდომი ფორმით, მოყვანილია შესაბამისი მაგალითები, ასე რომ, მოუმზადებელ ადამიანსაც კი შეუძლია ისწავლოს მატრიცებით მოქმედებების შესრულება. თვითმონიტორინგისა და თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ მატრიცის კალკულატორი უფასოდ >>>.

ვეცდები მინიმუმამდე დავიყვანო თეორიული გამოთვლები, ზოგან შესაძლებელია ახსნა-განმარტებები „თითებზე“ და არამეცნიერული ტერმინების გამოყენება. მყარი თეორიის მოყვარულებო, გთხოვთ ნუ ჩაერთვებით კრიტიკაში, ჩვენი ამოცანაა ისწავლეთ მატრიცებით ოპერაციების შესრულება.

SUPER FAST მომზადებისთვის თემაზე (ვინ არის „ცეცხლი“) არის ინტენსიური pdf კურსი მატრიცა, განმსაზღვრელი და ტესტი!

მატრიცა ზოგიერთის მართკუთხა ცხრილია ელემენტები. როგორც ელემენტებიგანვიხილავთ რიცხვებს, ანუ რიცხვობრივ მატრიცებს. ელემენტიარის ტერმინი. მიზანშეწონილია დაიმახსოვროთ ტერმინი, ის ხშირად გამოჩნდება, შემთხვევითი არ არის, რომ ხაზგასმით გამოვიყენე თამამი შრიფტი.

Დანიშნულება:მატრიცები ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით

მაგალითი:განვიხილოთ ორი-სამი მატრიცა:

ეს მატრიცა შედგება ექვსისგან ელემენტები:

მატრიცის შიგნით ყველა რიცხვი (ელემენტი) თავისთავად არსებობს, ანუ რაიმე გამოკლების საკითხი არ დგას:

ეს უბრალოდ რიცხვების ცხრილი (კომპლექტია)!

ჩვენც შევთანხმდებით არ გადააწყოთნომრები, თუ სხვაგვარად არ არის მითითებული განმარტებებში. თითოეულ ნომერს აქვს თავისი მდებარეობა და მისი არევა შეუძლებელია!

განსახილველ მატრიცას აქვს ორი სტრიქონი:

და სამი სვეტი:

სტანდარტი: როდესაც ვსაუბრობთ მატრიცის ზომებზე, მაშინ პირველადმიუთითეთ რიგების რაოდენობა და მხოლოდ ამის შემდეგ სვეტების რაოდენობა. ჩვენ ახლახან დავშალეთ მატრიცა ორ-სამზე.

თუ მატრიცის სტრიქონების და სვეტების რაოდენობა იგივეა, მაშინ მატრიცა ე.წ. კვადრატი, Მაგალითად: - სამ-სამ მატრიცა.

თუ მატრიცას აქვს ერთი სვეტი ან ერთი მწკრივი, მაშინ ასეთ მატრიცებსაც უწოდებენ ვექტორები.

სინამდვილეში, ჩვენ სკოლიდან ვიცნობთ მატრიცის ცნებას; განვიხილოთ, მაგალითად, წერტილი კოორდინატებით "x" და "y": . არსებითად, წერტილის კოორდინატები იწერება ერთი-ორ მატრიცაში. სხვათა შორის, აქ არის მაგალითი იმისა, თუ რატომ აქვს მნიშვნელობა რიცხვების თანმიმდევრობას: და არის ორი სრულიად განსხვავებული წერტილი თვითმფრინავზე.

ახლა გადავიდეთ სწავლაზე ოპერაციები მატრიცებით:

1) იმოქმედეთ პირველი. მატრიციდან მინუსის ამოღება (მატრიცაში მინუსის შეყვანა).

დავუბრუნდეთ ჩვენს მატრიცას . როგორც ალბათ შენიშნეთ, ამ მატრიცაში ძალიან ბევრი უარყოფითი რიცხვია. ეს ძალიან მოუხერხებელია მატრიცით სხვადასხვა მოქმედებების შესრულების თვალსაზრისით, მოუხერხებელია ამდენი მინუსის დაწერა და ის უბრალოდ მახინჯად გამოიყურება დიზაინში.

გადავიტანოთ მინუსი მატრიცის გარეთ მატრიცის თითოეული ელემენტის ნიშნის შეცვლით:

ნულზე, როგორც გესმით, ნიშანი არ იცვლება; ნული ასევე ნულია აფრიკაში.

საპირისპირო მაგალითი: . მახინჯი ჩანს.

მოდით შევიტანოთ მინუსი მატრიცაში მატრიცის თითოეული ელემენტის ნიშნის შეცვლით:

ისე, ბევრად უფრო ლამაზი აღმოჩნდა. და რაც მთავარია, მატრიცით ნებისმიერი მოქმედების შესრულება უფრო ადვილი იქნება. რადგან არსებობს ასეთი მათემატიკური ხალხური ნიშანი: რაც უფრო მეტი მინუსია, მით მეტია დაბნეულობა და შეცდომები.

2) მოქმედება მეორე. მატრიცის გამრავლება რიცხვზე.

მაგალითი:

ეს მარტივია, იმისათვის, რომ მატრიცა გავამრავლოთ რიცხვზე, გჭირდებათ ყოველიმატრიცის ელემენტი გამრავლებული მოცემულ რიცხვზე. ამ შემთხვევაში - სამი.

კიდევ ერთი სასარგებლო მაგალითი:

- მატრიცის გამრავლება წილადზე

ჯერ ვნახოთ რა უნდა გავაკეთოთ ᲐᲠ ᲐᲠᲘᲡ ᲡᲐᲭᲘᲠᲝᲔᲑᲐ:

არ არის საჭირო მატრიცაში წილადის შეყვანა; ჯერ ერთი, ეს მხოლოდ ართულებს მატრიცის შემდგომ მოქმედებებს და მეორეც, ართულებს მასწავლებელს ამოხსნის შემოწმებას (განსაკუთრებით თუ - დავალების საბოლოო პასუხი).

Და განსაკუთრებით, ᲐᲠ ᲐᲠᲘᲡ ᲡᲐᲭᲘᲠᲝᲔᲑᲐგაყავით მატრიცის თითოეული ელემენტი მინუს შვიდზე:

სტატიიდან მათემატიკა დუიმებისთვის ან სად უნდა დაიწყოს, გვახსოვს, რომ უმაღლეს მათემატიკაში ყოველმხრივ ცდილობენ თავი აარიდონ ათწილადის წილადებს მძიმეებით.

ერთადერთი ის არის სასურველიარა უნდა გავაკეთოთ ამ მაგალითში არის მატრიცას მინუსის დამატება:

მაგრამ თუ მხოლოდ ყველამატრიცის ელემენტები იყოფა 7-ზე უკვალოდ, მაშინ შესაძლებელი იქნებოდა (და აუცილებელიც!) გაყოფა.

მაგალითი:

ამ შემთხვევაში შეგიძლიათ საჭიროაგავამრავლოთ მატრიცის ყველა ელემენტი -ზე, რადგან ყველა მატრიცის რიცხვი იყოფა 2-ზე უკვალოდ.

შენიშვნა: უმაღლესი სკოლის მათემატიკის თეორიაში არ არსებობს ცნება "გაყოფა". იმის ნაცვლად, რომ თქვათ "ეს გაყოფილი მასზე", ყოველთვის შეგიძლიათ თქვათ "ეს გამრავლებული წილადზე". ანუ გაყოფა გამრავლების განსაკუთრებული შემთხვევაა.

3) მოქმედება მესამე. მატრიცის ტრანსპოზირება.

მატრიცის გადასატანად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ მისი რიგები ტრანსპონირებული მატრიცის სვეტებში.

მაგალითი:

მატრიცას ტრანსპოზირება

აქ არის მხოლოდ ერთი სტრიქონი და, წესის მიხედვით, უნდა ჩაიწეროს სვეტში:

- ტრანსპონირებული მატრიცა.

ტრანსპონირებული მატრიცა, როგორც წესი, მითითებულია ზემოწერით ან მარტივი ასოებით ზედა მარჯვნივ.

ნაბიჯ ნაბიჯ მაგალითი:

მატრიცას ტრანსპოზირება

პირველ რიგში, პირველ სტრიქონს პირველ სვეტში ვწერთ:

შემდეგ ჩვენ მეორე სტრიქონს მეორე სვეტში ვწერთ:

და ბოლოს, ჩვენ გადავიწერთ მესამე რიგს მესამე სვეტში:

მზადაა. უხეშად რომ ვთქვათ, ტრანსპოზირება ნიშნავს მატრიცის თავის მხარეს მოქცევას.

4) მოქმედება მეოთხე. მატრიცების ჯამი (განსხვავება)..

მატრიცების ჯამი მარტივი ოპერაციაა.
ყველა მატრიცის დაკეცვა არ შეიძლება. მატრიცების შეკრების (გამოკლების) შესასრულებლად აუცილებელია, რომ ისინი იყოს იგივე ზომის.

მაგალითად, თუ მოცემულია ორი-ორ მატრიცა, მაშინ მისი დამატება შესაძლებელია მხოლოდ ორი-ორ მატრიცით და არა სხვა!

მაგალითი:

დაამატეთ მატრიცები და

მატრიცების დასამატებლად საჭიროა მათი შესაბამისი ელემენტების დამატება:

მატრიცების განსხვავებისთვის წესი მსგავსია, აუცილებელია შესაბამისი ელემენტების სხვაობის პოვნა.

მაგალითი:

იპოვნეთ მატრიცის განსხვავება ,

როგორ გადაჭრით ეს მაგალითი უფრო მარტივად, რომ არ დაიბნეთ? მიზანშეწონილია თავი დააღწიოთ არასაჭირო მინუსებს; ამისათვის დაამატეთ მინუსი მატრიცას:

შენიშვნა: უმაღლესი სკოლის მათემატიკის თეორიაში არ არსებობს ცნება „გამოკლება“. იმის ნაცვლად, რომ თქვათ „გამოაკლეთ ამას“, ყოველთვის შეგიძლიათ თქვათ „დაამატე უარყოფითი რიცხვი ამას“. ანუ გამოკლება შეკრების განსაკუთრებული შემთხვევაა.

5) მოქმედება მეხუთე. მატრიცული გამრავლება.

რა მატრიცები შეიძლება გამრავლდეს?

იმისათვის, რომ მატრიცა გამრავლდეს მატრიცზე, აუცილებელია ისე, რომ მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მატრიცის რიგების რაოდენობას.

მაგალითი:
შესაძლებელია თუ არა მატრიცის მატრიცზე გამრავლება?

ეს ნიშნავს, რომ მატრიცის მონაცემები შეიძლება გამრავლდეს.

მაგრამ თუ მატრიცები გადანაწილებულია, მაშინ, ამ შემთხვევაში, გამრავლება აღარ არის შესაძლებელი!

ამიტომ გამრავლება შეუძლებელია:

არც ისე იშვიათია ტრიუკით ამოცანების შეხვედრები, როცა მოსწავლეს სთხოვენ მატრიცების გამრავლებას, რომელთა გამრავლება აშკარად შეუძლებელია.

უნდა აღინიშნოს, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია მატრიცების გამრავლება ორივე გზით.
მაგალითად, მატრიცებისთვის და შესაძლებელია გამრავლებაც და გამრავლებაც

მატრიქსის განმარტება. მატრიცების ტიპები

m ზომის მატრიცა× ნკომპლექტს უწოდებენ m·nმართკუთხა ცხრილში დალაგებული რიცხვები მხაზები და ნსვეტები. ეს ცხრილი ჩვეულებრივ ფრჩხილებშია ჩასმული. მაგალითად, მატრიცა შეიძლება გამოიყურებოდეს:

მოკლედ, მატრიცა შეიძლება აღინიშნოს ერთი დიდი ასოთი, მაგალითად, აან IN.

ზოგადად, ზომის მატრიცა მ× ნდაწერე ასე

.

რიცხვები, რომლებიც ქმნიან მატრიცას, ეწოდება მატრიცის ელემენტები. მოსახერხებელია მატრიცის ელემენტების მიწოდება ორი ინდექსით იჯ: პირველი მიუთითებს მწკრივის ნომერზე, ხოლო მეორე მიუთითებს სვეტის ნომერზე. Მაგალითად, a 23- ელემენტი არის მე-2 რიგში, მე-3 სვეტში.

თუ მატრიცას აქვს მწკრივების იგივე რაოდენობა, რაც სვეტების რაოდენობას, მაშინ მატრიცას ეწოდება კვადრატი, და მისი რიგების ან სვეტების რაოდენობას უწოდებენ წესითმატრიცები. ზემოხსენებულ მაგალითებში, მეორე მატრიცა არის კვადრატი - მისი რიგი არის 3, ხოლო მეოთხე მატრიცა არის მისი რიგი 1.

ეწოდება მატრიცას, რომელშიც მწკრივების რაოდენობა არ არის სვეტების რაოდენობის ტოლი მართკუთხა. მაგალითებში ეს არის პირველი და მესამე მატრიცა.

ასევე არის მატრიცები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ ერთი მწკრივი ან ერთი სვეტი.

მატრიცას მხოლოდ ერთი მწკრივით ეწოდება მატრიცა - მწკრივი(ან სტრიქონი) და მატრიცა მხოლოდ ერთი სვეტით მატრიცა - სვეტი.

მატრიცას, რომლის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ეწოდება nullდა აღინიშნება (0), ან უბრალოდ 0-ით. მაგალითად,

.

მთავარი დიაგონალიკვადრატული მატრიცის ჩვენ ვუწოდებთ დიაგონალს, რომელიც მიდის ზედა მარცხნიდან ქვედა მარჯვენა კუთხეში.

კვადრატული მატრიცა, რომელშიც მთავარი დიაგონალის ქვემოთ ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ეწოდება სამკუთხამატრიცა.

.

კვადრატული მატრიცა, რომელშიც ყველა ელემენტი, შესაძლოა, მთავარი დიაგონალის გარდა, ნულის ტოლია, ეწოდება დიაგონალიმატრიცა. მაგალითად, ან.

დიაგონალური მატრიცა, რომელშიც ყველა დიაგონალური ელემენტი ერთის ტოლია, ეწოდება მარტოხელამატრიცა და აღინიშნება ასო E. მაგალითად, მე-3 რიგის იდენტურობის მატრიცას აქვს ფორმა .

მოქმედებები მატრიცებზე

მატრიცული თანასწორობა. ორი მატრიცა ადა ბტოლია, თუ მათ აქვთ მწკრივების და სვეტების იგივე რაოდენობა და მათი შესაბამისი ელემენტები ტოლია იჯ = ბ ij. ასე რომ, თუ და , ეს A=B, თუ a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21და a 22 = b 22.

ტრანსპონირება. განვიხილოთ თვითნებური მატრიცა ასაწყისი მხაზები და ნსვეტები. ის შეიძლება ასოცირებული იყოს შემდეგ მატრიცასთან ბსაწყისი ნხაზები და მსვეტები, რომლებშიც თითოეული მწკრივი არის მატრიცის სვეტი აიგივე რიცხვით (აქედან გამომდინარე, თითოეული სვეტი არის მატრიცის მწკრივი აიგივე ნომრით). ასე რომ, თუ , ეს .

ეს მატრიცა ბდაურეკა გადატანილიმატრიცა ა, და გადასვლას არომ B ტრანსპოზიცია.

ამრიგად, ტრანსპოზიცია არის მატრიცის რიგებისა და სვეტების როლების შეცვლა. მატრიცა გადატანილია მატრიცაში ა, ჩვეულებრივ აღინიშნება თ.

მატრიცას შორის კომუნიკაცია ადა მისი ტრანსპოზირება შეიძლება დაიწეროს სახით.

Მაგალითად.იპოვეთ მოცემულის გადატანილი მატრიცა.

მატრიცის დამატება.მოდით მატრიცები ადა ბშედგება იმავე რაოდენობის სტრიქონებისა და იმავე რაოდენობის სვეტებისგან, ე.ი. აქვს იგივე ზომები. შემდეგ მატრიცების დასამატებლად ადა ბსაჭიროა მატრიცის ელემენტებისთვის ამატრიცის ელემენტების დამატება ბიმავე ადგილებში დგას. ამრიგად, ორი მატრიცის ჯამი ადა ბმატრიცას უწოდებენ C, რომელიც განისაზღვრება წესით, მაგალითად,

მაგალითები.იპოვეთ მატრიცების ჯამი:

ადვილია იმის შემოწმება, რომ მატრიცის შეკრება ემორჩილება შემდეგ კანონებს: კომუტატიური A+B=B+Aდა ასოციაციური ( A+B)+C=ა+(B+C).

მატრიცის გამრავლება რიცხვზე.მატრიცის გასამრავლებლად ათითო რიცხვზე კმატრიცის ყველა ელემენტია საჭირო აგავამრავლოთ ამ რიცხვზე. ამრიგად, მატრიცის პროდუქტი ათითო რიცხვზე კარის ახალი მატრიცა, რომელიც განისაზღვრება წესით ან .

ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ბდა მატრიცები ადა ბმოქმედებს შემდეგი თანასწორობები:

მაგალითები.

მატრიცული გამრავლება.ეს ოპერაცია ტარდება თავისებური კანონის მიხედვით. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ფაქტორების მატრიცების ზომები უნდა იყოს თანმიმდევრული. თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ მხოლოდ ის მატრიცები, რომლებშიც პირველი მატრიცის სვეტების რაოდენობა ემთხვევა მეორე მატრიცის რიგების რაოდენობას (ანუ პირველი რიგის სიგრძე უდრის მეორე სვეტის სიმაღლეს). Სამუშაომატრიცები აარა მატრიცა ბუწოდა ახალი მატრიცა C=AB, რომლის ელემენტები შედგება შემდეგნაირად:

ასე, მაგალითად, პროდუქტის მისაღებად (ანუ მატრიცაში C) ელემენტი, რომელიც მდებარეობს პირველ რიგში და მე-3 სვეტში 13-დან, თქვენ უნდა აიღოთ 1-ლი მწკრივი 1-ელ მატრიცაში, მე-3 სვეტი მე-2-ში, შემდეგ კი მწკრივის ელემენტები გაამრავლოთ სვეტის შესაბამის ელემენტებზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქტები. და პროდუქტის მატრიცის სხვა ელემენტები მიიღება პირველი მატრიცის რიგებისა და მეორე მატრიცის სვეტების მსგავსი პროდუქტის გამოყენებით.

ზოგადად, თუ გავამრავლებთ მატრიცას A = (a ij)ზომა მ× ნმატრიცამდე B = (b ij)ზომა ნ× გვ, შემდეგ მივიღებთ მატრიცას Cზომა მ× გვ, რომლის ელემენტები გამოითვლება შემდეგნაირად: ელემენტი გ ijმიიღება ელემენტების პროდუქტის შედეგად მემატრიცის მე-6 მწკრივი აშესაბამის ელემენტებზე ჯმატრიცის მერვე სვეტი ბდა მათი დამატებები.

ამ წესიდან გამომდინარეობს, რომ თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ გაამრავლოთ ერთი და იგივე რიგის ორი კვადრატული მატრიცა და შედეგად მივიღებთ იმავე რიგის კვადრატულ მატრიცას. კერძოდ, კვადრატული მატრიცა ყოველთვის შეიძლება თავისთავად გამრავლდეს, ე.ი. მოედანზე იგი.

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შემთხვევაა მწკრივის მატრიცის გამრავლება სვეტის მატრიცით და პირველის სიგანე უნდა იყოს მეორის სიმაღლის ტოლი, რის შედეგადაც მიიღება პირველი რიგის მატრიცა (ანუ ერთი ელემენტი). მართლაც,

.

მაგალითები.

ამრიგად, ეს მარტივი მაგალითები აჩვენებს, რომ მატრიცები, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ მოძრაობენ ერთმანეთთან, ე.ი. A∙B ≠ B∙A . ამიტომ, მატრიცების გამრავლებისას, თქვენ უნდა ყურადღებით დააკვირდეთ ფაქტორების თანმიმდევრობას.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ მატრიცული გამრავლება ემორჩილება ასოციაციურ და გამანაწილებელ კანონებს, ე.ი. (AB)C=A(BC)და (A+B)C=AC+BC.

ასევე ადვილია ამის შემოწმება კვადრატული მატრიცის გამრავლებისას აპირადობის მატრიცას ეიგივე რიგის ჩვენ კვლავ ვიღებთ მატრიცას ა, და AE=EA=A.

შეიძლება აღინიშნოს შემდეგი საინტერესო ფაქტი. მოგეხსენებათ, 2 არა-ნულოვანი რიცხვის ნამრავლი არ არის 0-ის ტოლი. მატრიცებისთვის ეს შეიძლება არ იყოს, ე.ი. 2 არანულოვანი მატრიცის ნამრავლი შეიძლება აღმოჩნდეს ნულოვანი მატრიცის ტოლი.

Მაგალითად, თუ , ეს

.

დეტერმინანტების ცნება

მიეცით მეორე რიგის მატრიცა - კვადრატული მატრიცა, რომელიც შედგება ორი მწკრივისა და ორი სვეტისგან. .

მეორე რიგის განმსაზღვრელიმოცემული მატრიცის შესაბამისი არის რიცხვი, რომელიც მიღებულია შემდეგნაირად: a 11 a 22 – a 12 a 21.

განმსაზღვრელი მითითებულია სიმბოლოთი .

ასე რომ, იმისათვის, რომ იპოვოთ მეორე რიგის განმსაზღვრელი, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ელემენტების ნამრავლი მეორე დიაგონალის გასწვრივ მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს.

მაგალითები.გამოთვალეთ მეორე რიგის დეტერმინანტები.

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ მესამე რიგის მატრიცა და მისი შესაბამისი განმსაზღვრელი.

მესამე რიგის განმსაზღვრელიმესამე რიგის მოცემული კვადრატული მატრიცის შესაბამისი რიცხვი აღინიშნება და მიიღება შემდეგნაირად:

.

ამრიგად, ეს ფორმულა იძლევა მესამე რიგის დეტერმინანტის გაფართოებას პირველი რიგის ელემენტების მიხედვით. 11, 12, 13და ამცირებს მესამე რიგის დეტერმინანტის გამოთვლას მეორე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლაზე.

მაგალითები.გამოთვალეთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი.

ანალოგიურად, შეიძლება შემოვიტანოთ მეოთხე, მეხუთე და ა.შ. დეტერმინანტების ცნებები. ბრძანებები, მათი რიგის შემცირება 1-ლი რიგის ელემენტებში გაფართოებით, ტერმინების „+“ და „–“ ნიშნების მონაცვლეობით.

ამრიგად, მატრიცისგან განსხვავებით, რომელიც არის რიცხვების ცხრილი, განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც ენიჭება მატრიცას გარკვეული გზით.

მატრიცაგანზომილება არის მართკუთხა მაგიდა, რომელიც შედგება ელემენტებისაგან, რომლებიც მდებარეობს მხაზები და ნსვეტები.

მატრიცის ელემენტები (პირველი ინდექსი მე− ხაზის ნომერი, მეორე ინდექსი ჯ− სვეტის ნომერი) შეიძლება იყოს რიცხვები, ფუნქციები და ა.შ. მატრიცები აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით.

მატრიცა ეწოდება კვადრატი, თუ მას აქვს მწკრივების იგივე რაოდენობა, რაც სვეტების რაოდენობას ( მ = ნ). ამ შემთხვევაში ნომერი ნეწოდება მატრიცის რიგი, ხოლო თავად მატრიცას მატრიცა ნ- ბრძანება.

ელემენტები იგივე ინდექსებით ფორმა მთავარი დიაგონალიკვადრატული მატრიცა და ელემენტები (ანუ ინდექსების ჯამის ტოლი ნ+1) − გვერდითი დიაგონალი.

Მარტოხელა მატრიცაარის კვადრატული მატრიცა, რომლის მთავარი დიაგონალის ყველა ელემენტი უდრის 1-ს, ხოლო დანარჩენი ელემენტები უდრის 0-ს. იგი აღინიშნება ასოებით. ე.

Ნული მატრიცა− არის მატრიცა, რომლის ყველა ელემენტი 0-ის ტოლია. ნულოვანი მატრიცა შეიძლება იყოს ნებისმიერი ზომის.

ნომერამდე ხაზოვანი მოქმედებები მატრიცებზეეხება:

1) მატრიცის დამატება;

2) მატრიცების გამრავლება რიცხვზე.

მატრიცის დამატების ოპერაცია განისაზღვრება მხოლოდ იმავე განზომილების მატრიცებისთვის.

ორი მატრიცის ჯამი ადა INმატრიცას უწოდებენ თან, რომლის ყველა ელემენტი უდრის შესაბამისი მატრიცის ელემენტების ჯამს ადა IN:

.

მატრიცული პროდუქტი ა თითო რიცხვზე კმატრიცას უწოდებენ IN, რომლის ყველა ელემენტი უდრის ამ მატრიცის შესაბამის ელემენტებს ა, გამრავლებული რიცხვზე კ:

Ოპერაცია მატრიცის გამრავლებაშემოღებულია მატრიცებისთვის, რომლებიც აკმაყოფილებენ პირობას: პირველი მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მეორის სტრიქონების რაოდენობას.

მატრიცული პროდუქტი აზომები მატრიცამდე INგანზომილებას მატრიცა ეწოდება თანზომები, ელემენტი მე-მე ხაზი და ჯრომლის მე-6 სვეტი უდრის ელემენტების ნამრავლების ჯამს მემატრიცის მე-6 მწკრივი აშესაბამის ელემენტებზე ჯმატრიცის მერვე სვეტი IN:

მატრიცების ნამრავლი (განსხვავებით ნამდვილ რიცხვთა ნამრავლისაგან) არ ემორჩილება კომუტატიურ კანონს, ე.ი. ზოგადად ა IN IN ა.

1.2. განმსაზღვრელი. დეტერმინანტების თვისებები

დეტერმინანტის ცნებაშემოღებულია მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის.

მე-2 რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება შემდეგი წესის მიხედვით

.

მე-3 რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება შემდეგი წესის მიხედვით:

ტერმინებიდან პირველი "+" ნიშნით არის მატრიცის მთავარ დიაგონალზე მდებარე ელემენტების ნამრავლი (). დანარჩენი ორი შეიცავს ელემენტებს, რომლებიც განლაგებულია სამკუთხედების წვეროებზე, რომელთა ფუძე პარალელურია მთავარი დიაგონალის (i) პარალელურად. ნიშანი "-" მოიცავს მეორადი დიაგონალის () ელემენტების პროდუქტებს და ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან სამკუთხედებს ამ დიაგონალის (და) პარალელურად ბაზებით.

მე-3 რიგის დეტერმინანტის გამოთვლის ამ წესს სამკუთხედის წესი (ან სარრუსის წესი) ეწოდება.

დეტერმინანტების თვისებებიმოდით შევხედოთ მე-3 რიგის განმსაზღვრელთა მაგალითს.

1. განმსაზღვრელი ყველა მწკრივის ჩანაცვლებისას სვეტებით იგივე ნომრებით, როგორც რიგები, განმსაზღვრელი არ ცვლის მის მნიშვნელობას, ე.ი. განმსაზღვრელი რიგები და სვეტები ტოლია

.

2. როდესაც ორი მწკრივი (სვეტი) გადალაგდება, განმსაზღვრელი ცვლის თავის ნიშანს.

3. თუ გარკვეული მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტი არის ნული, მაშინ განმსაზღვრელი არის 0.

4. მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტის საერთო კოეფიციენტი შეიძლება აღებული იყოს განმსაზღვრელი ნიშნის მიღმა.

5. განმსაზღვრელი, რომელიც შეიცავს ორ იდენტურ მწკრივს (სვეტს) უდრის 0-ს.

6. განმსაზღვრელი, რომელიც შეიცავს ორ პროპორციულ მწკრივს (სვეტს) ნულის ტოლია.

7. თუ დეტერმინანტის გარკვეული სვეტის (მწკრივის) თითოეული ელემენტი წარმოადგენს ორი წევრის ჯამს, მაშინ განმსაზღვრელი უდრის ორი განმსაზღვრელთა ჯამს, რომელთაგან ერთი შეიცავს პირველ წევრებს იმავე სვეტში (რიგით), ხოლო მეორე შეიცავს მეორეს. ორივე დეტერმინანტის დარჩენილი ელემენტები იგივეა. Ისე,

.

8. განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ სხვა სვეტის (მწკრივის) შესაბამისი ელემენტები დაემატება მისი რომელიმე სვეტის (მწკრივის) ელემენტებს, გამრავლებული იმავე რიცხვზე.

დეტერმინანტის შემდეგი თვისება დაკავშირებულია მცირე და ალგებრული კომპლიმენტის ცნებებთან.

მცირეწლოვანიგანმსაზღვრელი ელემენტი არის განმსაზღვრელი, რომელიც მიიღება მოცემულისაგან იმ მწკრივისა და სვეტის გადაკვეთით, რომელთა გადაკვეთაზეც ეს ელემენტი მდებარეობს.

მაგალითად, დეტერმინანტის უმნიშვნელო ელემენტიგანმსაზღვრელი ეწოდება.

ალგებრული დანამატიგანმსაზღვრელ ელემენტს უწოდებენ მის მინორს გამრავლებული, სადაც მე- ხაზის ნომერი, ჯ− სვეტის ნომერი, რომლის გადაკვეთაზეც მდებარეობს ელემენტი. ჩვეულებრივ აღინიშნება ალგებრული დანამატი. მე-3 რიგის განმსაზღვრელი ელემენტისთვის, ალგებრული კომპლიმენტი

9. განმსაზღვრელი უდრის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტების ნამრავლების ჯამს მათი შესაბამისი ალგებრული დანამატებით.

მაგალითად, განმსაზღვრელი შეიძლება გაფართოვდეს პირველი რიგის ელემენტებში

,

ან მეორე სვეტი

მათი გამოსათვლელად გამოიყენება დეტერმინანტების თვისებები.