როგორ განვსაზღვროთ ვექტორები წრფივად დამოკიდებული თუ დამოუკიდებელი. ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და წრფივი დამოუკიდებლობა.
ვექტორების საფუძველი. აფინური კოორდინატთა სისტემა

აუდიტორიაში არის ურიკა შოკოლადებით და დღეს ყველა სტუმარი მიიღებს ტკბილ წყვილს - ანალიტიკურ გეომეტრიას ხაზოვანი ალგებრით. ეს სტატია შეეხება უმაღლესი მათემატიკის ორ განყოფილებას ერთდროულად და ვნახავთ, როგორ თანაარსებობენ ისინი ერთ შეფუთვაში. დაისვენე, მიირთვით ტვიქსი! ...ჯანდაბა, რა სისულელეა. თუმცა, კარგი, გოლს არ გავიტან, საბოლოო ჯამში, სწავლისადმი დადებითი დამოკიდებულება უნდა გქონდეს.

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება, ხაზოვანი ვექტორული დამოუკიდებლობა, ვექტორული საფუძველიდა სხვა ტერმინებს აქვთ არა მხოლოდ გეომეტრიული ინტერპრეტაცია, არამედ, უპირველეს ყოვლისა, ალგებრული მნიშვნელობა. თავად „ვექტორის“ ცნება წრფივი ალგებრის თვალსაზრისით ყოველთვის არ არის ის „ჩვეულებრივი“ ვექტორი, რომლის გამოსახვაც შეგვიძლია სიბრტყეზე ან სივრცეში. თქვენ არ გჭირდებათ შორს ეძებოთ მტკიცებულება, შეეცადეთ დახატოთ ხუთგანზომილებიანი სივრცის ვექტორი . ან ამინდის ვექტორი, რომელიც ახლახან მივედი Gismeteo-ზე: ტემპერატურა და ატმოსფერული წნევა, შესაბამისად. მაგალითი, რა თქმა უნდა, არასწორია ვექტორული სივრცის თვისებების თვალსაზრისით, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, არავინ კრძალავს ამ პარამეტრების ვექტორად ფორმალიზებას. შემოდგომის სუნთქვა...

არა, არ ვაპირებ მოგწყინოთ თეორიით, წრფივი ვექტორული სივრცეებით, ამოცანაა გაგებაგანმარტებები და თეორემები. ახალი ტერმინები (წრფივი დამოკიდებულება, დამოუკიდებლობა, წრფივი კომბინაცია, საფუძველი და ა.შ.) ვრცელდება ყველა ვექტორზე ალგებრული თვალსაზრისით, მაგრამ მოყვანილი იქნება გეომეტრიული მაგალითები. ამრიგად, ყველაფერი მარტივი, ხელმისაწვდომი და გასაგებია. გარდა ანალიტიკური გეომეტრიის ამოცანებისა, ჩვენ ასევე განვიხილავთ რამდენიმე ტიპურ ალგებრის ამოცანებს. მასალის ათვისებისთვის სასურველია გაეცნოთ გაკვეთილებს ვექტორები დუიმებისთვისდა როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი?

სიბრტყის ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა.
სიბრტყის საფუძველი და აფინური კოორდინატთა სისტემა

მოდით განვიხილოთ თქვენი კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყე (მხოლოდ მაგიდა, საწოლის მაგიდა, იატაკი, ჭერი, რაც მოგწონთ). დავალება შედგება შემდეგი მოქმედებებისგან:

1) აირჩიეთ თვითმფრინავის საფუძველი. უხეშად რომ ვთქვათ, მაგიდას აქვს სიგრძე და სიგანე, ამიტომ ინტუიციურია, რომ ორი ვექტორი იქნება საჭირო საფუძვლის ასაგებად. ერთი ვექტორი აშკარად არ არის საკმარისი, სამი ვექტორი ძალიან ბევრია.

2) შერჩეული საფუძველზე დააყენეთ კოორდინატთა სისტემა(კოორდინატთა ბადე) მაგიდაზე ყველა ობიექტს კოორდინატების მინიჭება.

არ გაგიკვირდეთ, თავიდან ახსნა-განმარტებები თითებზე იქნება. უფრო მეტიც, შენზე. გთხოვთ განათავსოთ მარცხენა საჩვენებელი თითიმაგიდის კიდეზე ისე, რომ მონიტორს უყურებს. ეს იქნება ვექტორი. ახლა მოათავსეთ მარჯვენა პატარა თითიმაგიდის კიდეზე იგივენაირად - ისე რომ მონიტორის ეკრანზე იყოს მიმართული. ეს იქნება ვექტორი. გაიღიმე, მშვენივრად გამოიყურები! რა შეგვიძლია ვთქვათ ვექტორებზე? მონაცემთა ვექტორები კოლინარული, რაც ნიშნავს ხაზოვანიგამოხატულია ერთმანეთის მეშვეობით:
, კარგად, ან პირიქით: , სად არის რაიმე რიცხვი ნულისაგან განსხვავებული.

ამ მოქმედების სურათი შეგიძლიათ ნახოთ კლასში. ვექტორები დუიმებისთვის, სადაც ავხსენი ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესი.

თქვენი თითები დააყენებს საფუძველს კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყეზე? Აშკარად არა. კოლინარული ვექტორები მოძრაობენ წინ და უკან გასწვრივ მარტომიმართულება და თვითმფრინავს აქვს სიგრძე და სიგანე.

ასეთ ვექტორებს ე.წ წრფივად დამოკიდებული.

მითითება: სიტყვები „წრფივი“, „წრფივი“ აღნიშნავს იმ ფაქტს, რომ მათემატიკურ განტოლებებსა და გამონათქვამებში არ არის კვადრატები, კუბურები, სხვა ძალა, ლოგარითმები, სინუსები და ა.შ. არსებობს მხოლოდ წრფივი (1-ლი ხარისხის) გამონათქვამები და დამოკიდებულებები.

ორი სიბრტყის ვექტორი წრფივად დამოკიდებულითუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი კოლინარულია.

გადააჯვარედინეთ თითები მაგიდაზე ისე, რომ მათ შორის იყოს ნებისმიერი კუთხე, გარდა 0 ან 180 გრადუსისა. ორი სიბრტყის ვექტორიხაზოვანი არადამოკიდებული თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი არ არიან კოლინარული. ასე რომ, საფუძველი მიიღება. არ არის საჭირო უხერხულობა, რომ საფუძველი აღმოჩნდა "დახრილი" სხვადასხვა სიგრძის არაპერპენდიკულარული ვექტორებით. ძალიან მალე დავინახავთ, რომ არა მხოლოდ 90 გრადუსიანი კუთხეა შესაფერისი მისი ასაგებად და არა მხოლოდ თანაბარი სიგრძის ერთეული ვექტორები.

ნებისმიერითვითმფრინავის ვექტორი ერთადერთი გზაგაფართოებულია საფუძვლის მიხედვით:
, სადაც არის რეალური რიცხვები. ნომრებს ეძახიან ვექტორული კოორდინატებიამ საფუძველზე.

იმასაც ამბობენ ვექტორიწარმოდგენილი როგორც ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები. ანუ გამოთქმა ე.წ ვექტორის დაშლასაფუძველზეან ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები.

მაგალითად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვექტორი იშლება სიბრტყის ორთონორმალური საფუძვლის გასწვრივ, ან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ იგი წარმოდგენილია ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

ჩამოვაყალიბოთ საფუძვლის განსაზღვრაფორმალურად: თვითმფრინავის საფუძველიეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი (არასწორხაზოვანი) ვექტორების წყვილი, , სადაც ნებისმიერისიბრტყის ვექტორი არის საბაზისო ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

განმარტების არსებითი პუნქტია ვექტორების აღების ფაქტი გარკვეული თანმიმდევრობით. ბაზები - ეს ორი სრულიად განსხვავებული საფუძველია! როგორც ამბობენ, მარცხენა ხელის პატარა თითს მარჯვენა ხელის პატარა თითის ნაცვლად ვერ ჩაანაცვლებ.

ჩვენ გავარკვიეთ საფუძველი, მაგრამ საკმარისი არ არის კოორდინატთა ბადის დაყენება და კოორდინატების მინიჭება კომპიუტერის მაგიდის თითოეულ ელემენტზე. რატომ არ არის საკმარისი? ვექტორები თავისუფალია და ტრიალებს მთელ სიბრტყეში. მაშ, როგორ მიანიჭოთ კოორდინატები მაგიდაზე იმ პატარა ბინძურ ადგილებს, რომლებიც შემორჩენილია ველური შაბათ-კვირის შემდეგ? საჭიროა ამოსავალი წერტილი. და ასეთი ღირსშესანიშნაობა ყველასთვის ნაცნობი წერტილია - კოორდინატების წარმოშობა. მოდით გავიგოთ კოორდინატთა სისტემა:

დავიწყებ „სკოლის“ სისტემით. უკვე შესავალ გაკვეთილზე ვექტორები დუიმებისთვისმე ხაზგასმით აღვნიშნე რამდენიმე განსხვავება მართკუთხა კოორდინატთა სისტემასა და ორთონორმალურ საფუძველს შორის. აი სტანდარტული სურათი:

როცა საუბრობენ იმაზე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, მაშინ ყველაზე ხშირად ისინი გულისხმობენ საწყისს, კოორდინატულ ღერძებს და მასშტაბებს ღერძების გასწვრივ. სცადეთ საძიებო სისტემაში აკრიფოთ „მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა“ და ნახავთ, რომ მრავალი წყარო გეტყვით მე-5-6 კლასიდან ნაცნობი კოორდინატთა ღერძებისა და სიბრტყეზე წერტილების გამოსახატავად.

მეორე მხრივ, როგორც ჩანს, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა შეიძლება მთლიანად განისაზღვროს ორთონორმალური საფუძვლების მიხედვით. და ეს თითქმის მართალია. ფორმულირება ასეთია:

წარმოშობა, და ორთონორმალურისაფუძველი დგინდება დეკარტის მართკუთხა სიბრტყის კოორდინატთა სისტემა . ანუ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა აუცილებლადგანისაზღვრება ერთი წერტილით და ორი ერთეული ორთოგონალური ვექტორებით. სწორედ ამიტომ ხედავთ ნახატს, რომელიც ზემოთ დავწერე - გეომეტრიულ ამოცანებში ხშირად (მაგრამ არა ყოველთვის) არის დახატული ვექტორები და კოორდინატთა ღერძებიც.

ვფიქრობ, ყველას ესმის, რომ წერტილის (წარმოშობის) და ორთონორმალური საფუძვლის გამოყენება ნებისმიერი წერტილი თვითმფრინავზე და ნებისმიერი ვექტორი თვითმფრინავშიკოორდინატები შეიძლება დაინიშნოს. ფიგურალურად რომ ვთქვათ, „თვითმფრინავზე ყველაფერი შეიძლება დაინომროს“.

საჭიროა თუ არა კოორდინატთა ვექტორები იყოს ერთეული? არა, მათ შეიძლება ჰქონდეთ თვითნებური არანულოვანი სიგრძე. განვიხილოთ თვითნებური არანულოვანი სიგრძის წერტილი და ორი ორთოგონალური ვექტორი:

ასეთ საფუძველს ე.წ ორთოგონალური. ვექტორებთან კოორდინატების წარმოშობა განისაზღვრება კოორდინატთა ბადით და სიბრტყის ნებისმიერ წერტილს, ნებისმიერ ვექტორს აქვს თავისი კოორდინატები მოცემულ საფუძველზე. მაგალითად, ან. აშკარა უხერხულობა არის კოორდინატთა ვექტორები ზოგადადაქვთ განსხვავებული სიგრძე, გარდა ერთიანობისა. თუ სიგრძეები უდრის ერთიანობას, მაშინ მიიღება ჩვეულებრივი ორთონორმალური საფუძველი.

! შენიშვნა : ორთოგონალურ საფუძველში, ისევე როგორც ქვემოთ სიბრტყისა და სივრცის აფინურ ფუძეებში, განიხილება ღერძების გასწვრივ ერთეულები. პირობითი. მაგალითად, ერთი ერთეული x-ღერძის გასწვრივ შეიცავს 4 სმ-ს, ერთი ერთეული ორდინატთა ღერძის გასწვრივ შეიცავს 2 სმ-ს.

და მეორე კითხვა, რომელზეც რეალურად უკვე გაცემულია პასუხი, არის თუ არა კუთხე ფუძე ვექტორებს შორის 90 გრადუსის ტოლი? არა! როგორც განმარტება ამბობს, საბაზისო ვექტორები უნდა იყოს მხოლოდ არაკოლინარული. შესაბამისად, კუთხე შეიძლება იყოს ნებისმიერი, გარდა 0 და 180 გრადუსისა.

თვითმფრინავის წერტილი ე.წ წარმოშობა, და არაკოლინარულივექტორები, , კომპლექტი აფინური სიბრტყის კოორდინატთა სისტემა :

ზოგჯერ ასეთ კოორდინატულ სისტემას უწოდებენ ირიბისისტემა. როგორც მაგალითები, ნახაზი აჩვენებს წერტილებს და ვექტორებს:

როგორც გესმით, აფინური კოორდინატთა სისტემა კიდევ უფრო ნაკლებად მოსახერხებელია ვექტორებისა და სეგმენტების სიგრძის ფორმულები, რომლებიც გაკვეთილის მეორე ნაწილში განვიხილეთ, მასში არ მუშაობს; ვექტორები დუიმებისთვის, ბევრი გემრიელი ფორმულა დაკავშირებული ვექტორების სკალარული პროდუქტი. მაგრამ ვექტორების დამატებისა და ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესები, ამ მიმართებაში სეგმენტის გაყოფის ფორმულები, ისევე როგორც სხვა სახის პრობლემები, რომლებსაც მალე განვიხილავთ, მოქმედებს.

და დასკვნა არის ის, რომ აფინური კოორდინატთა სისტემის ყველაზე მოსახერხებელი სპეციალური შემთხვევაა დეკარტის მართკუთხა სისტემა. ამიტომ ყველაზე ხშირად გიწევს მისი ნახვა, ჩემო ძვირფასო. ...თუმცა, ამ ცხოვრებაში ყველაფერი ფარდობითია - არის მრავალი სიტუაცია, როდესაც ირიბი კუთხე (ან სხვა, მაგალითად, პოლარული) კოორდინატთა სისტემა. და ჰუმანოიდებს შეიძლება მოეწონოთ ასეთი სისტემები =)

გადავიდეთ პრაქტიკულ ნაწილზე. ამ გაკვეთილის ყველა პრობლემა მოქმედებს როგორც მართკუთხა კოორდინატთა სისტემისთვის, ასევე ზოგადი აფინური შემთხვევისთვის. აქ არაფერია რთული;

როგორ განვსაზღვროთ სიბრტყის ვექტორების კოლინარულობა?

ტიპიური რამ. იმისათვის, რომ ორი სიბრტყე ვექტორი იყო კოლინარული, აუცილებელია და საკმარისია მათი შესაბამისი კოორდინატები იყოს პროპორციულიარსებითად, ეს არის აშკარა ურთიერთობის კოორდინატი კოორდინატის დეტალები.

მაგალითი 1

ა) შეამოწმეთ არის თუ არა ვექტორები კოლინარული .
ბ) ვექტორები ქმნიან საფუძველს? ?

გამოსავალი:
ა) გავარკვიოთ არის თუ არა ვექტორებისთვის პროპორციულობის კოეფიციენტი, ისეთი, რომ ტოლობები დაკმაყოფილდეს:

მე აუცილებლად გეტყვით ამ წესის გამოყენების "ფოპიშ" ვერსიაზე, რომელიც საკმაოდ კარგად მუშაობს პრაქტიკაში. იდეა არის დაუყოვნებლივ შეადგინოთ პროპორცია და ნახოთ სწორია თუ არა:

მოდით გავაკეთოთ პროპორცია ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების შეფარდებით:

შევამოკლოთ:
შესაბამისად, შესაბამისი კოორდინატები პროპორციულია, შესაბამისად,

ურთიერთობა შეიძლება საპირისპირო იყოს, ეს არის ექვივალენტური ვარიანტი:

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ის ფაქტი, რომ კოლინარული ვექტორები ერთმანეთის მეშვეობით წრფივად არის გამოხატული. ამ შემთხვევაში თანასწორობა ხდება . მათი ვალიდობა მარტივად შეიძლება შემოწმდეს ვექტორებით ელემენტარული ოპერაციებით:

ბ) ორი სიბრტყის ვექტორი ქმნის საფუძველს, თუ ისინი არ არიან ხაზოვანი (წრფივად დამოუკიდებელი). ჩვენ ვამოწმებთ ვექტორებს კოლინარობისთვის . მოდით შევქმნათ სისტემა:

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ , მეორე განტოლებიდან გამომდინარეობს რომ , რაც ნიშნავს სისტემა არათანმიმდევრულია(არ არის გადაწყვეტილებები). ამრიგად, ვექტორების შესაბამისი კოორდინატები არ არის პროპორციული.

დასკვნა: ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

გადაწყვეტის გამარტივებული ვერსია ასე გამოიყურება:

ვექტორების შესაბამისი კოორდინატებიდან შევადგინოთ პროპორცია :
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

როგორც წესი, ეს ვარიანტი არ არის უარყოფილი რეცენზენტების მიერ, მაგრამ პრობლემა ჩნდება იმ შემთხვევებში, როდესაც ზოგიერთი კოორდინატი ნულის ტოლია. Ამგვარად: . ან ასე: . ან ასე: . როგორ ვიმუშაოთ აქ პროპორციით? (ნამდვილად, ნულზე ვერ გაყოფთ). სწორედ ამ მიზეზით მე ვუწოდე გამარტივებულ გადაწყვეტას "ფოპიშ".

პასუხი:ა) , ბ) ფორმა.

მცირე შემოქმედებითი მაგალითი საკუთარი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

პარამეტრის რა მნიშვნელობაზეა ვექტორები იქნება ისინი კოლინარული?

ნიმუშის ხსნარში პარამეტრი ნაპოვნია პროპორციით.

არსებობს ელეგანტური ალგებრული გზა, რათა შევამოწმოთ ვექტორები კოლინარულობაზე, მოდით, სისტემატიზაცია მოვახდინოთ და დავამატოთ იგი მეხუთე პუნქტად.

ორი სიბრტყის ვექტორისთვის შემდეგი დებულებები ექვივალენტურია:

2) ვექტორები ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არ არის კოლინარული;

+ 5) ამ ვექტორების კოორდინატებისაგან შემდგარი განმსაზღვრელი არის ნულოვანი.

შესაბამისად, შემდეგი საპირისპირო განცხადებები ექვივალენტურია:
1) ვექტორები წრფივია დამოკიდებული;
2) ვექტორები არ ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არის კოლინარული;
4) ვექტორები შეიძლება წრფივად გამოისახოს ერთმანეთის მეშვეობით;
+ 5) ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

მე ნამდვილად, ნამდვილად ვიმედოვნებ, რომ ამ დროისთვის უკვე გესმით ყველა ის ტერმინი და განცხადება, რომელსაც წააწყდით.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ახალ, მეხუთე პუნქტს: ორი სიბრტყის ვექტორი კოლინარულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მოცემული ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია:. ამ ფუნქციის გამოსაყენებლად, რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა შეძლოთ იპოვნეთ განმსაზღვრელი.

გადავწყვიტოთმაგალითი 1 მეორე გზით:

ა) გამოვთვალოთ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი :
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები კოლინარულია.

ბ) ორი სიბრტყის ვექტორი ქმნის საფუძველს, თუ ისინი არ არიან ხაზოვანი (წრფივად დამოუკიდებელი). გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი :
, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

პასუხი:ა) , ბ) ფორმა.

ეს გამოიყურება ბევრად უფრო კომპაქტური და ლამაზი, ვიდრე პროპორციების მქონე ხსნარი.

განხილული მასალის დახმარებით შესაძლებელია ვექტორების არა მხოლოდ კოლინარობის დადგენა, არამედ სეგმენტების და სწორი ხაზების პარალელურობის დადგენა. მოდით განვიხილოთ რამდენიმე პრობლემა კონკრეტული გეომეტრიული ფორმების შესახებ.

მაგალითი 3

მოცემულია ოთხკუთხედის წვეროები. დაამტკიცეთ, რომ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

მტკიცებულება: არ არის საჭირო პრობლემაში ნახატის შექმნა, რადგან გამოსავალი იქნება წმინდა ანალიტიკური. გავიხსენოთ პარალელოგრამის განმარტება:
პარალელოგრამი ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილებში პარალელურია, ეწოდება.

ამრიგად, აუცილებელია დაამტკიცოს:
1) მოპირდაპირე მხარეების პარალელიზმი და;
2) მოპირდაპირე მხარეების პარალელიზმი და.

ჩვენ ვამტკიცებთ:

1) იპოვნეთ ვექტორები:

2) იპოვნეთ ვექტორები:

შედეგი არის იგივე ვექტორი („სკოლის მიხედვით“ – თანაბარი ვექტორები). კოლინარულობა საკმაოდ აშკარაა, მაგრამ უმჯობესია გადაწყვეტილების ფორმალიზება მკაფიოდ, შეთანხმებით. გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი:
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები არის კოლინარული და .

დასკვნა: ოთხკუთხედის მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია წყვილებში, რაც ნიშნავს, რომ იგი პარალელოგრამია განსაზღვრებით. ქ.ე.დ.

მეტი კარგი და განსხვავებული ფიგურები:

მაგალითი 4

მოცემულია ოთხკუთხედის წვეროები. დაამტკიცეთ, რომ ოთხკუთხედი ტრაპეციაა.

მტკიცებულების უფრო მკაცრი ფორმულირებისთვის, რა თქმა უნდა, უმჯობესია მივიღოთ ტრაპეციის განმარტება, მაგრამ საკმარისია უბრალოდ გავიხსენოთ, როგორ გამოიყურება იგი.

ეს არის ამოცანა, რომელიც თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ დამოუკიდებლად. სრული გადაწყვეტა გაკვეთილის ბოლოს.

ახლა კი დროა ნელა გადავიდეთ თვითმფრინავიდან კოსმოსში:

როგორ განვსაზღვროთ სივრცის ვექტორების კოლინარულობა?

წესი ძალიან ჰგავს. იმისთვის, რომ ორი სივრცის ვექტორი თანასწორხაზოვანი იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მათი შესაბამისი კოორდინატები იყოს პროპორციული..

მაგალითი 5

გაარკვიეთ, არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები კოლინარული:

ა) ;
ბ)
V)

გამოსავალი:
ა) შევამოწმოთ არის თუ არა პროპორციულობის კოეფიციენტი ვექტორების შესაბამისი კოორდინატებისთვის:

სისტემას არ აქვს ამონახსნი, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები არ არის კოლინარული.

"გამარტივებული" ფორმალიზდება პროპორციის შემოწმებით. Ამ შემთხვევაში:
- შესაბამისი კოორდინატები არ არის პროპორციული, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები არ არის კოლინარული.

პასუხი:ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ-გ) ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების პუნქტები. სცადეთ ეს ორი გზით.

არსებობს მესამე რიგის განმსაზღვრელი სივრცითი ვექტორების შემოწმების მეთოდი ვექტორების ვექტორული ნამრავლი.

სიბრტყის შემთხვევის მსგავსად, განხილული ხელსაწყოები შეიძლება გამოყენებულ იქნას სივრცითი სეგმენტების და სწორი ხაზების პარალელურობის შესასწავლად.

მოგესალმებით მეორე განყოფილებაში:

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა სამგანზომილებიან სივრცეში.
სივრცითი საფუძველი და აფინური კოორდინატთა სისტემა

ბევრი ნიმუში, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ თვითმფრინავში, მოქმედი იქნება კოსმოსისთვის. შევეცადე თეორიული შენიშვნები მინიმუმამდე დამეყვანა, რადგან ინფორმაციის ლომის წილი უკვე დაღეჭილია. თუმცა, გირჩევთ, ყურადღებით წაიკითხოთ შესავალი ნაწილი, რადგან გამოჩნდება ახალი ტერმინები და ცნებები.

ახლა, კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყის ნაცვლად, ჩვენ ვიკვლევთ სამგანზომილებიან სივრცეს. პირველი, მოდით შევქმნათ მისი საფუძველი. ვიღაც ახლა სახლშია, ვიღაც გარეთ, მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, ჩვენ ვერ გავექცევით სამ განზომილებას: სიგანეს, სიგრძეს და სიმაღლეს. ამიტომ, საფუძვლის ასაგებად, საჭიროა სამი სივრცითი ვექტორი. ერთი-ორი ვექტორი საკმარისი არ არის, მეოთხე ზედმეტია.

და ისევ თითებზე ვთბებით. გთხოვთ ასწიეთ ხელი მაღლა და გაშალეთ სხვადასხვა მიმართულებით ცერა თითი, საჩვენებელი და შუა თითი. ეს იქნება ვექტორები, ისინი იყურებიან სხვადასხვა მიმართულებით, აქვთ სხვადასხვა სიგრძე და აქვთ სხვადასხვა კუთხე მათ შორის. გილოცავთ, სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი მზად არის! სხვათა შორის, არ არის საჭირო ამის დემონსტრირება მასწავლებლებისთვის, რაც არ უნდა ძნელად ატრიალოთ თითები, მაგრამ განმარტებებისგან გაქცევა არ არის =)

შემდეგი, დავუსვათ საკუთარ თავს მნიშვნელოვანი კითხვა: ნებისმიერი სამი ვექტორი ქმნის სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს?? გთხოვთ, მტკიცედ დააჭიროთ სამი თითი კომპიუტერის მაგიდის ზედა ნაწილზე. Რა მოხდა? სამი ვექტორი განლაგებულია იმავე სიბრტყეში და, უხეშად რომ ვთქვათ, დავკარგეთ ერთ-ერთი განზომილება - სიმაღლე. ასეთი ვექტორებია თანაპლენარულიდა, სავსებით აშკარაა, რომ სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი არ არის შექმნილი.

უნდა აღინიშნოს, რომ თანაპლენარული ვექტორები არ უნდა იწვნენ ერთ სიბრტყეში, ისინი შეიძლება იყვნენ პარალელურ სიბრტყეში (უბრალოდ არ გააკეთოთ ეს თქვენი თითებით, მხოლოდ სალვადორ დალიმ გააკეთა ეს =)).

განმარტება: ვექტორებს უწოდებენ თანაპლენარული, თუ არის სიბრტყე, რომლის პარალელურია. ლოგიკურია აქ დავამატოთ, რომ თუ ასეთი სიბრტყე არ არსებობს, მაშინ ვექტორები არ იქნება თანაპლენარული.

სამი თანაპლენარული ვექტორი ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული, ანუ წრფივად გამოხატულია ერთმანეთის მეშვეობით. სიმარტივისთვის, კიდევ ერთხელ წარმოვიდგინოთ, რომ ისინი ერთ სიბრტყეში წევენ. ჯერ ერთი, ვექტორები არ არის მხოლოდ თანაპლენარული, ისინი ასევე შეიძლება იყოს კოლინარული, შემდეგ ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება იყოს გამოხატული ნებისმიერი ვექტორის საშუალებით. მეორე შემთხვევაში, თუ, მაგალითად, ვექტორები არ არის კოლინარული, მაშინ მესამე ვექტორი გამოიხატება მათ მეშვეობით უნიკალური გზით: (და რატომ არის ადვილი მისახვედრი წინა ნაწილის მასალებიდან).

პირიქითაც მართალია: სამი არათანაბარი ვექტორი ყოველთვის წრფივად დამოუკიდებელია, ანუ ისინი არანაირად არ არიან გამოხატული ერთმანეთის მეშვეობით. და, ცხადია, მხოლოდ ასეთ ვექტორებს შეუძლიათ შექმნან სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი.

განმარტება: სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველიეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი (არათანაბარწონიანი) ვექტორების სამმაგი, მიღებული გარკვეული თანმიმდევრობითდა სივრცის ნებისმიერი ვექტორი ერთადერთი გზაიშლება მოცემულ საფუძველზე, სადაც არის ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველში

შეგახსენებთ, რომ ასევე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვექტორი წარმოდგენილია სახით ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები.

კოორდინატთა სისტემის ცნება შემოღებულია ზუსტად ისე, როგორც სიბრტყის შემთხვევაში საკმარისია ერთი წერტილი და ნებისმიერი სამი წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორი:

წარმოშობა, და არათანაბარივექტორები, მიღებული გარკვეული თანმიმდევრობით, კომპლექტი სამგანზომილებიანი სივრცის აფინური კოორდინატთა სისტემა :

რა თქმა უნდა, კოორდინატთა ბადე არის „დახრილი“ და მოუხერხებელი, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, აგებული კოორდინატთა სისტემა საშუალებას გვაძლევს აუცილებლადგანსაზღვრეთ ნებისმიერი ვექტორის კოორდინატები და სივრცის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები. თვითმფრინავის მსგავსად, ზოგიერთი ფორმულა, რომელიც უკვე აღვნიშნე, არ იმუშავებს სივრცის აფინურ კოორდინატულ სისტემაში.

აფინური კოორდინატთა სისტემის ყველაზე ნაცნობი და მოსახერხებელი სპეციალური შემთხვევა, როგორც ყველა მიხვდება, არის მართკუთხა სივრცის კოორდინატთა სისტემა:

წერტილი სივრცეში ე.წ წარმოშობა, და ორთონორმალურისაფუძველი დგინდება კარტეზიული მართკუთხა სივრცის კოორდინატთა სისტემა . ნაცნობი სურათი:

სანამ პრაქტიკულ ამოცანებზე გადავიდოდეთ, კვლავ მოვახდინოთ ინფორმაციის სისტემატიზაცია:

სამი სივრცის ვექტორისთვის შემდეგი დებულებები ექვივალენტურია:
1) ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია;
2) ვექტორები ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არ არის თანაპლენარული;
4) ვექტორები არ შეიძლება წრფივად გამოხატული იყოს ერთმანეთის მეშვეობით;
5) ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი დეტერმინანტი განსხვავდება ნულისაგან.

ვფიქრობ, საპირისპირო განცხადებები გასაგებია.

სივრცის ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება/დამოუკიდებლობა ტრადიციულად მოწმდება დეტერმინანტის გამოყენებით (პუნქტი 5). დარჩენილი პრაქტიკული ამოცანები იქნება გამოხატული ალგებრული ხასიათის. დროა ჩამოკიდოთ გეომეტრიის ჯოხი და ატაროთ ხაზოვანი ალგებრის ბეისბოლის ჯოხი:

სივრცის სამი ვექტორითანაპლენარულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მოცემული ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია: .

თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო მცირე ტექნიკურ ნიუანსზე: ვექტორების კოორდინატები შეიძლება ჩაიწეროს არა მხოლოდ სვეტებში, არამედ რიგებშიც (განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ შეიცვლება აქედან - იხილეთ განმსაზღვრელთა თვისებები). მაგრამ ეს ბევრად უკეთესია სვეტებში, რადგან უფრო მომგებიანია ზოგიერთი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად.

იმ მკითხველს, ვისაც ცოტათი დაავიწყდა დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები და, ალბათ, საერთოდ არ ესმით მათ, ვურჩევ ჩემს ერთ-ერთ უძველეს გაკვეთილს: როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი?

მაგალითი 6

შეამოწმეთ, ქმნიან თუ არა შემდეგი ვექტორები სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს:

გამოსავალი: ფაქტობრივად, მთელი ამონახსნი დგება დეტერმინანტის გამოთვლაზე.

ა) გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი (განმსაზღვრელი ვლინდება პირველ სტრიქონში):

, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია (არა თანაპლენარული) და ქმნიან სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს.

უპასუხე: ეს ვექტორები ქმნიან საფუძველს

ბ) ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების პუნქტი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ასევე არსებობს შემოქმედებითი დავალებები:

მაგალითი 7

პარამეტრის რა მნიშვნელობისას იქნება ვექტორები თანაპლენარული?

გამოსავალი: ვექტორები თანაპლენარულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი დეტერმინანტი ნულის ტოლია:

არსებითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება განმსაზღვრელი. ჩვენ ნულებივით ვეშვებით ჟერბოებზე - უმჯობესია განმსაზღვრელი გავხსნათ მეორე ხაზში და დაუყოვნებლივ მოვიშოროთ მინუსები:

ჩვენ ვახორციელებთ შემდგომ გამარტივებებს და ვამცირებთ მატერიას უმარტივეს წრფივ განტოლებამდე:

უპასუხე: ზე

ამის შემოწმება ადვილია, თქვენ უნდა შეცვალოთ მიღებული მნიშვნელობა თავდაპირველ განმსაზღვრელში და დარწმუნდეთ, რომ , ისევ გახსნა.

დასასრულს განვიხილავთ კიდევ ერთ ტიპურ პრობლემას, რომელიც უფრო ალგებრული ხასიათისაა და ტრადიციულად შედის ხაზოვანი ალგებრის კურსში. ეს იმდენად გავრცელებულია, რომ იმსახურებს საკუთარ თემას:

დაამტკიცეთ, რომ 3 ვექტორი ქმნის სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს
და იპოვეთ მე-4 ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველზე

მაგალითი 8

მოცემულია ვექტორები. აჩვენეთ, რომ ვექტორები ქმნიან საფუძველს სამგანზომილებიან სივრცეში და იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველში.

გამოსავალი: ჯერ მოდი, მდგომარეობას გავუმკლავდეთ. პირობით, მოცემულია ოთხი ვექტორი და, როგორც ხედავთ, მათ უკვე აქვთ კოორდინატები გარკვეულ საფუძველზე. რა არის ეს საფუძველი, ჩვენთვის არ არის საინტერესო. და საინტერესოა შემდეგი: სამ ვექტორს შეუძლია შექმნას ახალი საფუძველი. და პირველი ეტაპი მთლიანად ემთხვევა მე-6 მაგალითის ამოხსნას, აუცილებელია შეამოწმოთ არის თუ არა ვექტორები ჭეშმარიტად დამოუკიდებელი:

გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი:

, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს წარმოადგენს.

! Მნიშვნელოვანი : ვექტორული კოორდინატები აუცილებლადჩაწერა სვეტებადგანმსაზღვრელი, არა სიმებიანი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, იქნება დაბნეულობა შემდგომი გადაწყვეტის ალგორითმში.

ვექტორული სისტემა ე.წ წრფივად დამოკიდებული, თუ არის რიცხვები, რომელთა შორის ერთი მაინც განსხვავდება ნულიდან, ისეთი, რომ ტოლობა https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ">.

თუ ეს თანასწორობა დაკმაყოფილებულია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა, მაშინ ვექტორთა სისტემა ეწოდება წრფივი დამოუკიდებელი.

თეორემა.ვექტორული სისტემა იქნება წრფივად დამოკიდებულითუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ერთ-ერთი ვექტორი მაინც არის სხვების წრფივი კომბინაცია.

მაგალითი 1.მრავალწევრი არის მრავალწევრების წრფივი კომბინაცია https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. მრავალწევრები ქმნიან წრფივად დამოუკიდებელ სისტემას, ვინაიდან პოლინომი https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

მაგალითი 2.მატრიცული სისტემა, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> წრფივად დამოუკიდებელია, ვინაიდან წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვანი მატრიცა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> წრფივად დამოკიდებული.

გამოსავალი.

მოდით გავაკეთოთ ამ ვექტორების ხაზოვანი კომბინაცია https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" სიმაღლე = 22">.

თანაბარი ვექტორების იგივე კოორდინატების გათანაბრება, მივიღებთ https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

ბოლოს მივიღებთ

და

სისტემას აქვს უნიკალური ტრივიალური გადაწყვეტა, ამიტომ ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია ნულის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია. მაშასადამე, ვექტორთა ეს სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

მაგალითი 4.ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია. როგორი იქნება ვექტორული სისტემები?

ა).;

ბ).?

გამოსავალი.

ა).გავაკეთოთ წრფივი კომბინაცია და გავუტოლოთ ნულს

ვექტორებთან მოქმედებების თვისებების გამოყენებით ხაზოვან სივრცეში, ბოლო ტოლობას ვწერთ ფორმაში

ვინაიდან ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია, კოეფიციენტები at უნდა იყოს ნულის ტოლი, ანუ gif" width="12" height="23 src=">

განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ტრივიალური ამოხსნა .

თანასწორობიდან გამომდინარე (*) შესრულებულია მხოლოდ მაშინ, როდესაც https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – წრფივი დამოუკიდებელი;

ბ).მოდით გავაკეთოთ ტოლობა https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

მსგავსი მსჯელობის გამოყენებით ვიღებთ

განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას გაუსის მეთოდით ვიღებთ

ან

ამ უკანასკნელ სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. ამრიგად, არსებობს არა- კოეფიციენტების ნულოვანი კომპლექტი, რომლის ტოლობაც არის (**) . ამიტომ ვექტორთა სისტემა - ხაზოვანი დამოკიდებული.

მაგალითი 5ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, ხოლო ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

თანასწორობაში (***) . მართლაც, ზე, სისტემა იქნება ხაზოვანი დამოკიდებული.

ურთიერთობიდან (***) ვიღებთ ან აღვნიშნოთ .

ვიღებთ

პრობლემები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის (კლასში)

1. სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს, წრფივია დამოკიდებული.

2. სისტემა, რომელიც შედგება ერთი ვექტორისგან ა, წრფივად არის დამოკიდებული თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ, a=0.

3. სისტემა, რომელიც შედგება ორი ვექტორისგან, წრფივად არის დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები პროპორციულია (ანუ ერთი მათგანი მიიღება მეორისგან რიცხვზე გამრავლებით).

4. თუ წრფივად დამოკიდებულ სისტემას დაუმატებთ ვექტორს, მიიღებთ წრფივად დამოკიდებულ სისტემას.

5. თუ ვექტორი ამოღებულია წრფივი დამოუკიდებელი სისტემიდან, მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

6. თუ სისტემა სარის წრფივად დამოუკიდებელი, მაგრამ ხდება წრფივი დამოკიდებული ვექტორის დამატებისას ბ, შემდეგ ვექტორი ბწრფივად გამოხატული სისტემის ვექტორებით ს.

გ).მატრიცების სისტემა , , მეორე რიგის მატრიცების სივრცეში.

10. მოდით ვექტორთა სისტემა ა,ბ,გვექტორული სივრცე წრფივად დამოუკიდებელია. დაამტკიცეთ შემდეგი ვექტორული სისტემების წრფივი დამოუკიდებლობა:

ა).a+ბ, ბ, გ.

ბ).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–თვითნებური ნომერი

გ).a+ბ, ა+გ, ბ+გ.

11. დაე ა,ბ,გ– სამი ვექტორი სიბრტყეზე, საიდანაც შეიძლება სამკუთხედის ჩამოყალიბება. იქნება ეს ვექტორები წრფივად დამოკიდებული?

12. მოცემულია ორი ვექტორი a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). იპოვეთ კიდევ ორი ​​ოთხგანზომილებიანი ვექტორი a3 დაa4ისე რომ სისტემა a1,a2,a3,a4იყო ხაზოვანი დამოუკიდებელი .

ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ:

• რა არის კოლინარული ვექტორები;
• რა პირობებია ვექტორების კოლინარობისთვის;
• რა თვისებები არსებობს კოლინარული ვექტორების;
• რა არის კოლინარული ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება.

კოლინარული ვექტორები არის ვექტორები, რომლებიც პარალელურია ერთი ხაზის ან დევს ერთ წრფეზე.

მაგალითი 1

ვექტორების კოლინარობის პირობები

ორი ვექტორი თანასწორია, თუ რომელიმე ქვემოთ ჩამოთვლილი პირობა მართალია:

• მდგომარეობა 1 . ვექტორები a და b არის კოლინარული, თუ არის რიცხვი λ ისეთი, რომ a = λ b;
• მდგომარეობა 2 . ვექტორები a და b თანაბარია თანაბარი კოორდინატთა შეფარდებით:

a = (a 1 ; a 2), b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• მდგომარეობა 3 . a და b ვექტორები თანამიმდევრულია იმ პირობით, რომ ჯვარედინი ნამრავლი და ნულოვანი ვექტორი ტოლია:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

შენიშვნა 1

მდგომარეობა 2 არ გამოიყენება, თუ ერთ-ერთი ვექტორული კოორდინატი ნულის ტოლია.

შენიშვნა 2

მდგომარეობა 3 ვრცელდება მხოლოდ იმ ვექტორებზე, რომლებიც მითითებულია სივრცეში.

ამოცანების მაგალითები ვექტორების კოლინარობის შესასწავლად

ჩვენ განვიხილავთ a = (1; 3) და b = (2; 1) ვექტორებს კოლინარობისთვის.

როგორ მოვაგვაროთ?

ამ შემთხვევაში აუცილებელია მე-2 კოლინარობის პირობის გამოყენება. მოცემული ვექტორებისთვის ეს ასე გამოიყურება:

თანასწორობა მცდარია. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ a და b ვექტორები არასწორხაზოვანია.

უპასუხე : a | | ბ

მაგალითი 2

a = (1; 2) და b = (- 1; m) ვექტორის m რა მნიშვნელობაა საჭირო იმისათვის, რომ ვექტორები იყოს კოლინარული?

როგორ მოვაგვაროთ?

მეორე კოლინარობის პირობის გამოყენებით, ვექტორები კოლინარული იქნება, თუ მათი კოორდინატები პროპორციულია:

ეს აჩვენებს, რომ m = - 2.

პასუხი: მ = - 2 .

ვექტორული სისტემების წრფივი დამოკიდებულებისა და წრფივი დამოუკიდებლობის კრიტერიუმები

ვექტორთა სისტემა ვექტორულ სივრცეში წრფივად არის დამოკიდებული მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი შეიძლება გამოისახოს ამ სისტემის დარჩენილი ვექტორებით.

მტკიცებულება

მოდით სისტემა e 1 , e 2 , . . . , e n არის წრფივი დამოკიდებული. მოდით დავწეროთ ამ სისტემის წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლი:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

რომელშიც კომბინაციის კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც არ არის ნულის ტოლი.

მოდით a k ≠ 0 k ∈ 1, 2, . . . , n.

ტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ არანულოვანი კოეფიციენტით:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

აღვნიშნოთ:

A k - 1 a m , სადაც m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Ამ შემთხვევაში:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ან e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

აქედან გამომდინარეობს, რომ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი გამოიხატება სისტემის ყველა სხვა ვექტორის მეშვეობით. რისი დამტკიცება იყო საჭირო (ა.შ.).

ადეკვატურობა

მოდით, ერთ-ერთი ვექტორი წრფივად იყოს გამოხატული სისტემის ყველა სხვა ვექტორში:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

ვექტორს e k გადავიტანთ ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

ვინაიდან e k ვექტორის კოეფიციენტი უდრის - 1 ≠ 0, ვიღებთ ნულის არატრივიალურ წარმოდგენას e 1, e 2, ვექტორების სისტემით. . . , e n და ეს, თავის მხრივ, ნიშნავს, რომ ვექტორთა ეს სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. რისი დამტკიცება იყო საჭირო (ა.შ.).

შედეგი:

• ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, როდესაც მისი არცერთი ვექტორი არ შეიძლება გამოისახოს სისტემის ყველა სხვა ვექტორებით.
• ვექტორთა სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს ან ორ თანაბარ ვექტორს, წრფივად არის დამოკიდებული.

წრფივად დამოკიდებული ვექტორების თვისებები

1. 2- და 3-განზომილებიანი ვექტორებისთვის დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა: ორი წრფივად დამოკიდებული ვექტორი არის კოლინური. ორი კოლინარული ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული.
2. 3-განზომილებიანი ვექტორებისთვის შემდეგი პირობა დაკმაყოფილებულია: სამი წრფივად დამოკიდებული ვექტორი თანაპლენარულია. (3 თანაპლენარული ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული).
3. n-განზომილებიანი ვექტორებისთვის შემდეგი პირობა დაკმაყოფილებულია: n + 1 ვექტორები ყოველთვის წრფივია დამოკიდებული.

ხაზოვანი დამოკიდებულების ან ვექტორების წრფივი დამოუკიდებლობის მქონე ამოცანების ამოხსნის მაგალითები

შევამოწმოთ ვექტორები a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 წრფივი დამოუკიდებლობისთვის.

გამოსავალი. ვექტორები წრფივად არის დამოკიდებული, რადგან ვექტორების განზომილება ნაკლებია ვექტორების რაოდენობაზე.

მაგალითი 4

შევამოწმოთ ვექტორები a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 წრფივი დამოუკიდებლობისთვის.

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ იმ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს, რომლებშიც წრფივი კომბინაცია ტოლი იქნება ნულოვანი ვექტორის:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

ვწერთ ვექტორულ განტოლებას წრფივი სახით:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

ჩვენ ამ სისტემას ვხსნით გაუსის მეთოდით:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

მე-2 სტრიქონს ვაკლებთ 1-ს, მე-3-ს - 1-ს:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1 სტრიქონს ვაკლებთ მე-2-ს, მე-3-ს ვამატებთ მე-2-ს:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

გადაწყვეტიდან გამომდინარეობს, რომ სისტემას ბევრი გამოსავალი აქვს. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ისეთი რიცხვების მნიშვნელობების არანულოვანი კომბინაცია x 1, x 2, x 3, რომლისთვისაც a, b, c წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვან ვექტორს. ამიტომ ვექტორები a, b, c არის წრფივად დამოკიდებული. ​​​​​​​

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

დაე ლარის თვითნებური წრფივი სივრცე, ა მე Î L,- მისი ელემენტები (ვექტორები).

განმარტება 3.3.1.გამოხატულება , სად, - თვითნებური რეალური რიცხვები, რომელსაც უწოდებენ წრფივ კომბინაციას ვექტორები a 1, a 2,…, a ნ.

თუ ვექტორი რ = , მერე ამას ამბობენ რ დაიშალა ვექტორებად a 1, a 2,…, a ნ.

განმარტება 3.3.2.ვექტორების წრფივი კომბინაცია ეწოდება არატრივიალური, თუ რიცხვებს შორის არის მინიმუმ ერთი არა ნული. წინააღმდეგ შემთხვევაში, წრფივი კომბინაცია ეწოდება ტრივიალური.

განმარტება 3.3.3 . ვექტორები a 1 , a 2 ,…, a ნწრფივად დამოკიდებულს უწოდებენ, თუ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ისეთი, რომ

= 0 .

განმარტება 3.3.4. ვექტორები a 1,a 2,…, a ნუწოდებენ წრფივად დამოუკიდებელ თუ თანასწორობას = 0 შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა ნომერი ლ 1, ლ 2,…, ლ ნერთდროულად ნულის ტოლია.

გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერი არანულოვანი ელემენტი a 1 შეიძლება ჩაითვალოს წრფივად დამოუკიდებელ სისტემად, რადგან თანასწორობაა ლ a 1 = 0 შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ლ= 0.

თეორემა 3.3.1.აუცილებელი და საკმარისი პირობა წრფივი დამოკიდებულებისთვის a 1 , a 2 ,…, a ნარის ამ ელემენტებიდან ერთის დანარჩენში დაშლის შესაძლებლობა.

მტკიცებულება. აუცილებლობა. მოდით ელემენტები a 1 , a 2 ,…, a ნწრფივად დამოკიდებული. Ეს ნიშნავს, რომ = 0 და მინიმუმ ერთი ნომერი ლ 1, ლ 2,…, ლ ნგანსხვავდება ნულიდან. დაე, დარწმუნებით ლ 1 ¹ 0. მაშინ

ანუ ელემენტი a 1 იშლება ელემენტებად a 2, a 3,…, a ნ.

ადეკვატურობა. დაე, ელემენტი a 1 დაიშალოს a 2, a 3,…, a ელემენტებად ნ, ანუ a 1 = . შემდეგ = 0 მაშასადამე, არსებობს ვექტორების არატრივიალური წრფივი კომბინაცია a 1, a 2,…, a. ნ, თანაბარი 0 , ამიტომ ისინი წრფივად არიან დამოკიდებულნი .

თეორემა 3.3.2. თუ ელემენტებიდან ერთი მაინც a 1 , a 2 ,…, a ნნულოვანი, მაშინ ეს ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

მტკიცებულება . დაე ა ნ= 0 , შემდეგ = 0 , რაც ნიშნავს ამ ელემენტების წრფივ დამოკიდებულებას.

თეორემა 3.3.3. თუ n ვექტორს შორის რომელიმე p (გვ< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

მტკიცებულება. განსაზღვრულობისთვის მოდით, ელემენტები a 1, a 2,…, a გვწრფივად დამოკიდებული. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ისეთი, რომ = 0 . მითითებული თანასწორობა შენარჩუნდება, თუ ელემენტს დავუმატებთ მის ორივე ნაწილს. მერე + = 0 და მინიმუმ ერთი ნომერი ლ 1, ლ 2,…, ლპგანსხვავდება ნულიდან. ამიტომ ვექტორები a 1 , a 2 ,…, a ნარიან წრფივი დამოკიდებულები.

დასკვნა 3.3.1.თუ n ელემენტი წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ ნებისმიერი k მათგანი წრფივად დამოუკიდებელია (k< n).

თეორემა 3.3.4. თუ ვექტორები a 1, a 2,…, a n- 1 წრფივად დამოუკიდებელნი არიან და ელემენტები a 1, a 2,…, a n- 1, ა n წრფივია დამოკიდებული, შემდეგ ვექტორია n შეიძლება გაფართოვდეს ვექტორებად a 1, a 2,…, a n- 1 .

მტკიცებულება.ვინაიდან a 1, a პირობით 2 ,…, ა n- 1, ა ნ არიან წრფივი დამოკიდებულნი, მაშინ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია = 0 , და (წინააღმდეგ შემთხვევაში, a 1, a 2,…, a ვექტორები წრფივად დამოკიდებული აღმოჩნდებიან n- 1). მაგრამ შემდეგ ვექტორი

ქ.ე.დ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორთა ჯგუფის წრფივი დამოკიდებულება ნიშნავს, რომ მათ შორის არის ვექტორი, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ამ ჯგუფის სხვა ვექტორების წრფივი კომბინაციით.

Მოდით ვთქვათ. მერე

ამიტომ ვექტორი xამ ჯგუფის ვექტორებზე წრფივი დამოკიდებული.

ვექტორები x, წ, ..., ზწრფივი ეწოდება დამოუკიდებელი ვექტორები, თუ ტოლობიდან (0) გამომდინარეობს რომ

α=β= ...= γ=0.

ანუ ვექტორთა ჯგუფები წრფივად დამოუკიდებელია, თუ არცერთი ვექტორი არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ამ ჯგუფის სხვა ვექტორების წრფივი კომბინაციით.

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულების განსაზღვრა

მოცემული იყოს n რიგის m სიმებიანი ვექტორები:

გაუსიანური გამონაკლისის მიღების შემდეგ, ჩვენ ვამცირებთ მატრიცას (2) ზედა სამკუთხედის ფორმამდე. ბოლო სვეტის ელემენტები იცვლება მხოლოდ მაშინ, როდესაც რიგები გადანაწილებულია. მ აღმოფხვრის ნაბიჯების შემდეგ ვიღებთ:

სად მე 1 , მე 2 , ..., მე m - მწკრივის ინდექსები, რომლებიც მიღებულია მწკრივების შესაძლო გადაწყობისგან. მწკრივის ინდექსებიდან მიღებული სტრიქონების გათვალისწინებით, ჩვენ გამოვრიცხავთ მათ, რომლებიც შეესაბამება ნულოვანი მწკრივის ვექტორს. დარჩენილი ხაზები ქმნის წრფივად დამოუკიდებელ ვექტორებს. გაითვალისწინეთ, რომ მატრიცის (2) შედგენისას, მწკრივის ვექტორების თანმიმდევრობის შეცვლით, შეგიძლიათ მიიღოთ წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების სხვა ჯგუფი. მაგრამ ქვესივრცე, რომელსაც ვექტორების ორივე ჯგუფი ქმნის, ემთხვევა.