ჩამოწერეთ თეორემა იმპულსის ცვლილების შესახებ. ფარდობითი მოძრაობის დინამიკა

ნახვა:ეს სტატია წაკითხულია 14066 ჯერ

Pdf აირჩიეთ ენა... რუსული უკრაინული ინგლისური

მოკლე მიმოხილვა

მთელი მასალა გადმოწერილია ზემოთ, ენის შერჩევის შემდეგ

მოძრაობის რაოდენობა

მატერიალური წერტილის იმპულსი - წერტილის მასისა და მისი სიჩქარის ვექტორის ნამრავლის ტოლი ვექტორული სიდიდე.

იმპულსის საზომი ერთეულია (კგ მ/წმ).

მექანიკური სისტემის იმპულსი - მექანიკური სისტემის იმპულსის გეომეტრიული ჯამის (ძირითადი ვექტორის) ტოლი ვექტორული სიდიდე უდრის მთელი სისტემის მასის ნამრავლს და მისი მასის ცენტრის სიჩქარეს.

როდესაც სხეული (ან სისტემა) მოძრაობს ისე, რომ მისი მასის ცენტრი სტაციონარულია, მაშინ სხეულის მოძრაობის რაოდენობა ნულის ტოლია (მაგალითად, სხეულის ბრუნვა ფიქსირებული ღერძის გარშემო, რომელიც გადის სხეულის მასის ცენტრში. ).

რთული მოძრაობის შემთხვევაში, სისტემის მოძრაობის რაოდენობა არ ახასიათებს მოძრაობის ბრუნვის ნაწილს მასის ცენტრის გარშემო ბრუნვისას. ანუ, მოძრაობის რაოდენობა ახასიათებს სისტემის მხოლოდ მთარგმნელობით მოძრაობას (მასის ცენტრთან ერთად).

იმპულსური ძალა

ძალის იმპულსი ახასიათებს ძალის მოქმედებას გარკვეული პერიოდის განმავლობაში.

აიძულებს იმპულსს გარკვეული დროის განმავლობაში განისაზღვრება, როგორც შესაბამისი ელემენტარული იმპულსების ინტეგრალური ჯამი.

თეორემა მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ

(დიფერენციალური ფორმებით ე ):

მატერიალური წერტილის იმპულსის დროითი წარმოებული უდრის წერტილებზე მოქმედი ძალების გეომეტრიულ ჯამს.

(ვ ინტეგრალური ფორმა ):

მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში უდრის წერტილზე გამოყენებული ძალების იმპულსების გეომეტრიულ ჯამს დროის ამ მონაკვეთში.

თეორემა მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ

(დიფერენციალური ფორმით ):

სისტემის იმპულსის დროითი წარმოებული უდრის სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების გეომეტრიულ ჯამს.

(ინტეგრალური სახით ):

სისტემის იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში უდრის სისტემაზე ამ პერიოდის განმავლობაში მოქმედი გარე ძალების იმპულსების გეომეტრიულ ჯამს.

თეორემა საშუალებას იძლევა გამორიცხოს აშკარად უცნობი შინაგანი ძალები განხილვისგან.

მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების თეორემა და მასის ცენტრის მოძრაობის თეორემა ერთი და იგივე თეორემის ორი განსხვავებული ფორმაა.

სისტემის იმპულსის შენარჩუნების კანონი

1. თუ სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების ჯამი ნულის ტოლია, მაშინ სისტემის იმპულსის ვექტორი იქნება მუდმივი მიმართულებით და სიდიდით.
2. თუ ყველა მოქმედი გარე ძალების პროგნოზების ჯამი ნებისმიერ თვითნებურ ღერძზე ნულის ტოლია, მაშინ იმპულსის პროექცია ამ ღერძზე არის მუდმივი მნიშვნელობა.

დასკვნები:

1. კონსერვაციის კანონები მიუთითებს, რომ შიდა ძალებს არ შეუძლიათ სისტემის მოძრაობის მთლიანი რაოდენობის შეცვლა.
2. მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების თეორემა არ ახასიათებს მექანიკური სისტემის ბრუნვის მოძრაობას, არამედ მხოლოდ მთარგმნელობით მოძრაობას.

მოყვანილია მაგალითი: განსაზღვრეთ გარკვეული მასის დისკის იმპულსი, თუ ცნობილია მისი კუთხური სიჩქარე და ზომა.

აურზაური მექანიზმის გაანგარიშების მაგალითი
სტიმულატორის გაანგარიშების მაგალითი. განხორციელდა მასალის არჩევა, დასაშვები ძაბვის გამოთვლა, შეხებისა და მოღუნვის სიძლიერის გამოთვლა.

სხივის მოღუნვის პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
მაგალითში აშენდა განივი ძალებისა და მოღუნვის მომენტების დიაგრამები, აღმოჩნდა საშიში მონაკვეთი და შეირჩა I-სხივი. პრობლემამ გააანალიზა დიაგრამების აგება დიფერენციალური დამოკიდებულებების გამოყენებით და ჩაატარა სხივის სხვადასხვა კვეთის შედარებითი ანალიზი.

ლილვის ბრუნვის პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
ამოცანაა შეამოწმოთ ფოლადის ლილვის სიმტკიცე მოცემულ დიამეტრზე, მასალაზე და დასაშვებ სტრესზე. ამოხსნის დროს აგებულია ბრუნვის, ათვლის ძაბვისა და გადახვევის კუთხეების დიაგრამები. ლილვის საკუთარი წონა არ არის გათვალისწინებული

ღეროს დაძაბულობა-შეკუმშვის პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
ამოცანაა შეამოწმოთ ფოლადის ზოლის სიმტკიცე მითითებულ დასაშვებ სტრესებზე. ამოხსნის დროს აგებულია გრძივი ძალების, ნორმალური ძაბვისა და გადაადგილების დიაგრამები. ჯოხის საკუთარი წონა არ არის გათვალისწინებული

კინეტიკური ენერგიის შენარჩუნების თეორემის გამოყენება
პრობლემის გადაჭრის მაგალითი მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგიის კონსერვაციის თეორემის გამოყენებით

წერტილის სიჩქარისა და აჩქარების განსაზღვრა მოძრაობის მოცემული განტოლებების გამოყენებით
პრობლემის გადაჭრის მაგალითი წერტილის სიჩქარისა და აჩქარების დასადგენად მოძრაობის მოცემული განტოლებების გამოყენებით

ხისტი სხეულის წერტილების სიჩქარისა და აჩქარების განსაზღვრა სიბრტყე-პარალელური მოძრაობისას
პრობლემის გადაჭრის მაგალითი ხისტი სხეულის წერტილების სიჩქარისა და აჩქარების დასადგენად სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის დროს

ძალების განსაზღვრა ბრტყელი ფერმის გისოსებში
ბრტყელი ფერმის ღეროებში ძალების განსაზღვრის პრობლემის გადაჭრის მაგალითი რიტერის მეთოდისა და კვანძების ჭრის მეთოდის გამოყენებით

თეორემის გამოყენება კუთხური იმპულსის ცვლილებაზე
ფიქსირებული ღერძის გარშემო მბრუნავი სხეულის კუთხური სიჩქარის დასადგენად კინეტიკური იმპულსის ცვლილების თეორემის გამოყენებით ამოცანის ამოხსნის მაგალითი.

მატერიალური წერტილის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლება ძალის გავლენის ქვეშ ფშეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ვექტორული ფორმით:

ვინაიდან წერტილის მასა მმიღებულია როგორც მუდმივი, მაშინ ის შეიძლება შევიდეს წარმოებული ნიშნის ქვეშ. მერე

ფორმულა (1) გამოხატავს თეორემას წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით: პირველი წარმოებული წერტილის იმპულსის დროის მიმართ უდრის წერტილზე მოქმედ ძალას.

კოორდინატულ ღერძებზე პროგნოზებში (1) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

თუ ორივე მხარე (1) გამრავლდება dt, მაშინ ვიღებთ იმავე თეორემის სხვა ფორმას - იმპულსის თეორემა დიფერენციალური ფორმით:

იმათ. წერტილის იმპულსის დიფერენციალი უდრის წერტილზე მოქმედი ძალის ელემენტარულ იმპულსს.

(2)-ის ორივე ნაწილის პროექცია კოორდინატთა ღერძებზე, მივიღებთ

(2)-ის ორივე ნაწილის ნულიდან t-მდე ინტეგრირება (ნახ. 1), გვაქვს

სად არის წერტილის სიჩქარე მომენტში ტ; - სიჩქარეზე ტ = 0;

ს- ძალის იმპულსი დროთა განმავლობაში ტ.

გამოხატვას (3) ფორმაში ხშირად უწოდებენ იმპულსის თეორემას სასრული (ან ინტეგრალური) ფორმით: წერტილის იმპულსის ცვლილება დროის ნებისმიერ მონაკვეთში უდრის ძალის იმპულსს დროის იმავე პერიოდში.

კოორდინატთა ღერძებზე პროგნოზებში ეს თეორემა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი სახით:

მატერიალური წერტილისთვის, თეორემა იმპულსის ცვლილების შესახებ რომელიმე ფორმაში არსებითად არ განსხვავდება წერტილის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებისგან.

თეორემა სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ

სისტემის მოძრაობის რაოდენობას ვექტორული სიდიდე დაერქმევა ქ, სისტემის ყველა წერტილის მოძრაობის სიდიდეების გეომეტრიული ჯამის (ძირითადი ვექტორის) ტოლი.

განვიხილოთ სისტემა, რომელიც შედგება ნ მატერიალური ქულები. მოდით შევადგინოთ ამ სისტემის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები და დავამატოთ ისინი ტერმინით. შემდეგ მივიღებთ:

ბოლო ჯამი, შინაგანი ძალების თვისებიდან გამომდინარე, ნულის ტოლია. გარდა ამისა,

საბოლოოდ ჩვენ ვიპოვით:

განტოლება (4) გამოხატავს თეორემას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით: სისტემის იმპულსის დროის წარმოებული ტოლია სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების გეომეტრიული ჯამის.

მოდი ვიპოვოთ თეორემის სხვა გამოთქმა. ნება მომენტში ტ= 0 არის სისტემის მოძრაობის მოცულობა Q 0და დროის მომენტში t 1თანაბარი ხდება Q 1.შემდეგ, ტოლობის ორივე მხარის (4) გამრავლება dtდა ინტეგრირებისას მივიღებთ:

ან სად:

(S- ძალის იმპულსი)

ვინაიდან მარჯვნივ ინტეგრალები აძლევენ გარე ძალების იმპულსებს,

განტოლება (5) გამოხატავს თეორემას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ ინტეგრალური სახით: სისტემის იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში უდრის სისტემაზე მოქმედი გარე ძალების იმპულსების ჯამს დროის იმავე პერიოდში.

კოორდინატთა ღერძებზე პროგნოზებში გვექნება:

იმპულსის შენარჩუნების კანონი

სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ თეორემიდან შეიძლება მივიღოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი თანხლებები:

1. სისტემაზე მოქმედი ყველა გარეგანი ძალის ჯამი იყოს ნულის ტოლი:

შემდეგ (4) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ ამ შემთხვევაში Q = კონსტ.

ამრიგად, თუ სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების ჯამი ნულის ტოლია, მაშინ სისტემის იმპულსის ვექტორი იქნება მუდმივი სიდიდითა და მიმართულებით.

2. 01 სისტემაზე მოქმედი გარე ძალები იყოს ისეთი, რომ მათი პროგნოზების ჯამი რომელიმე ღერძზე (მაგალითად Ox) ნულის ტოლია:

შემდეგ (4`) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ ამ შემთხვევაში Q = კონსტ.

ამრიგად, თუ ყველა მოქმედი გარე ძალების პროგნოზების ჯამი რომელიმე ღერძზე ნულის ტოლია, მაშინ ამ ღერძზე სისტემის მოძრაობის სიდიდის პროექცია არის მუდმივი მნიშვნელობა.

ეს შედეგები გამოხატავს სისტემის იმპულსის შენარჩუნების კანონი.აქედან გამომდინარეობს, რომ შინაგანი ძალები ვერ შეცვლიან სისტემის მოძრაობის მთლიან რაოდენობას.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

· ფენომენი როლის დაბრუნების შესახებ. თუ თოფი და ტყვია ერთ სისტემად განვიხილავთ, მაშინ ფხვნილის აირების წნევა გასროლისას შიდა ძალა იქნება. ეს ძალა არ შეუძლია შეცვალოს სისტემის მთლიანი იმპულსი. მაგრამ რადგან ფხვნილი აირები, რომლებიც მოქმედებენ ტყვიაზე, ანიჭებენ მას გარკვეული რაოდენობის წინ მიმართულ მოძრაობას, მათ ერთდროულად უნდა მიაწოდონ თოფს იგივე მოძრაობა საპირისპირო მიმართულებით. ეს გამოიწვევს თოფის უკან გადაადგილებას, ე.ი. დაბრუნებას ე.წ. მსგავსი ფენომენი ხდება თოფის სროლისას (დაბრუნება).

· პროპელერის (პროპელერის) მუშაობა. პროპელერი ავრცელებს მოძრაობას ჰაერის (ან წყლის) გარკვეულ მასას პროპელერის ღერძის გასწვრივ, აბრუნებს ამ მასას უკან. თუ დაყრილ მასას და თვითმფრინავს (ან გემს) ერთ სისტემად მივიჩნევთ, მაშინ პროპელერსა და გარემოს შორის ურთიერთქმედების ძალები, როგორც შიდა, ვერ შეცვლიან ამ სისტემის მოძრაობის მთლიან რაოდენობას. მაშასადამე, როდესაც ჰაერის (წყლის) მასა უკან იხევს, თვითმფრინავი (ან გემი) იღებს შესაბამის წინსვლის სიჩქარეს, რომ განსახილველი სისტემის მოძრაობის მთლიანი რაოდენობა ნულის ტოლი რჩება, რადგან მოძრაობის დაწყებამდე ის იყო ნული. .

მსგავსი ეფექტი მიიღწევა ნიჩბების ან ბორბლების მოქმედებით.

· R e c t i v e Propulsion რაკეტაში (რაკეტა) საწვავის წვის აირისებრი პროდუქტები გამოიდევნება დიდი სიჩქარით რაკეტის კუდის ნახვრეტიდან (რეაქტიული ძრავის საქშენიდან). ამ შემთხვევაში მოქმედი წნევის ძალები იქნება შიდა ძალები და მათ არ შეუძლიათ შეცვალონ რაკეტა-ფხვნილის აირების სისტემის მთლიანი იმპულსი. მაგრამ რადგან გაშვებულ აირებს აქვთ გარკვეული რაოდენობის მოძრაობა მიმართული უკან, რაკეტა იღებს შესაბამის წინსვლის სიჩქარეს.

მომენტების თეორემა ღერძის გარშემო.

განვიხილოთ მასის მატერიალური წერტილი მ, მოძრაობს ძალის გავლენის ქვეშ ფ. მოდით ვიპოვოთ მისთვის კავშირი ვექტორების მომენტს შორის mVდა ფზოგიერთ ფიქსირებულ Z ღერძთან შედარებით.

m z (F) = xF - yF (7)

ანალოგიურად ღირებულებისთვის მ(მვ)თუ ამოიღეს მიქნება ფრჩხილებიდან

მ z (mV) = m(xV - yV)(7`)

ამ თანასწორობის ორივე მხრიდან დროის მიმართ წარმოებულების აღებით, ჩვენ ვპოულობთ

მიღებული გამოხატვის მარჯვენა მხარეს, პირველი ფრჩხილი უდრის 0-ს, ვინაიდან dx/dt=V და dу/dt = V, მეორე ფრჩხილი (7) ფორმულის მიხედვით უდრის

მზ(F), ვინაიდან დინამიკის ძირითადი კანონის მიხედვით:

საბოლოოდ გვექნება (8)

შედეგად მიღებული განტოლება გამოხატავს მომენტების თეორემას ღერძის გარშემო: ნებისმიერი ღერძის მიმართ წერტილის იმპულსის მომენტის დროითი წარმოებული უდრის იმავე ღერძთან მიმართებაში მოქმედი ძალის მომენტს.მსგავსი თეორემა მოქმედებს ნებისმიერი O ცენტრის შესახებ მომენტებისთვის.

თეორემაში განხილული სისტემა შეიძლება იყოს ნებისმიერი სხეულებისგან შემდგარი ნებისმიერი მექანიკური სისტემა.

თეორემის განცხადება

მექანიკური სისტემის მოძრაობის (იმპულსის) რაოდენობა არის სიდიდე, რომელიც უდრის სისტემაში შემავალი ყველა სხეულის მოძრაობის (იმპულსების) რაოდენობას. სისტემის სხეულებზე მოქმედი გარე ძალების იმპულსი არის სისტემის სხეულებზე მოქმედი ყველა გარე ძალების იმპულსების ჯამი.

( კგ მ/წმ)

თეორემა სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ აცხადებს

სისტემის იმპულსის ცვლილება გარკვეული პერიოდის განმავლობაში უდრის სისტემაზე მოქმედი გარე ძალების იმპულსს დროის იმავე პერიოდში.

სისტემის იმპულსის შენარჩუნების კანონი

თუ სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების ჯამი ნულია, მაშინ სისტემის მოძრაობის (იმპულსის) რაოდენობა არის მუდმივი სიდიდე.

, ვიღებთ თეორემის გამოხატვას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით:

შედეგად მიღებული თანასწორობის ორივე მხარის ინტეგრირება თვითნებურად მიღებულ დროში ზოგიერთ და , ჩვენ ვიღებთ თეორემის გამოხატულებას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ ინტეგრალური ფორმით:

იმპულსის შენარჩუნების კანონი (იმპულსის შენარჩუნების კანონი) აღნიშნავს, რომ სისტემის ყველა სხეულის იმპულსების ვექტორული ჯამი არის მუდმივი მნიშვნელობა, თუ სისტემაზე მოქმედი გარე ძალების ვექტორული ჯამი ნულის ტოლია.

(იმპულსის მომენტი m 2 kg s −1)

თეორემა ცენტრთან მიმართებაში კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ

მატერიალური წერტილის იმპულსის მომენტის (კინეტიკური მომენტის) დროითი წარმოებული ნებისმიერი ფიქსირებული ცენტრის მიმართ უდრის იმავე ცენტრთან მიმართებაში წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტს.

დკ 0 /dt = M 0 (ფ ) .

თეორემა ღერძის მიმართ კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ

მატერიალური წერტილის იმპულსის მომენტის (კინეტიკური მომენტის) დროითი წარმოებული ნებისმიერი ფიქსირებული ღერძის მიმართ უდრის ამ წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტს იმავე ღერძის მიმართ.

დკ x /dt = M x (ფ ); დკ წ /dt = M წ (ფ ); დკ ზ /dt = M ზ (ფ ) .

განვიხილოთ მატერიალური წერტილი მ მასა მ , მოძრაობს ძალის გავლენის ქვეშ ფ (სურათი 3.1). ჩამოვწეროთ და ავაშენოთ კუთხური იმპულსის ვექტორი (კინეტიკური იმპულსი) მ 0 მატერიალური წერტილი ცენტრთან მიმართებაში ო :

მოდით განვასხვავოთ გამოხატულება კუთხოვანი იმპულსისთვის (კინეტიკური მომენტი კ 0) დროის მიხედვით:

იმიტომ რომ Dr /dt = ვ , შემდეგ ვექტორული პროდუქტი ვ ⊗ მ ⋅ ვ (კოლნეარული ვექტორები ვ და მ ⋅ ვ ) ნულის ტოლია. Ამავე დროს დ(მ ⋅ V) /dt = F მატერიალური წერტილის იმპულსის თეორემის მიხედვით. ამიტომ მივიღებთ ამას

დკ 0 /dt = რ ⊗ფ , (3.3)

სად რ ⊗ფ = მ 0 (ფ ) – ვექტორი-ძალის მომენტი ფ ფიქსირებულ ცენტრთან შედარებით ო . ვექტორი კ 0 ⊥ თვითმფრინავი ( რ , მ ⊗ვ ), და ვექტორი მ 0 (ფ ) ⊥ თვითმფრინავი ( რ ,ფ ), საბოლოოდ გვაქვს

დკ 0 /dt = M 0 (ფ ) . (3.4)

განტოლება (3.4) გამოხატავს თეორემას მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსის (კუთხური იმპულსის) ცვლილების შესახებ ცენტრთან მიმართებაში: მატერიალური წერტილის იმპულსის მომენტის (კინეტიკური მომენტის) დროითი წარმოებული ნებისმიერი ფიქსირებული ცენტრის მიმართ უდრის იმავე ცენტრთან მიმართებაში წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტს.

ტოლობის (3.4) პროექტირება დეკარტის კოორდინატების ღერძებზე, მივიღებთ

დკ x /dt = M x (ფ ); დკ წ /dt = M წ (ფ ); დკ ზ /dt = M ზ (ფ ) . (3.5)

ტოლობები (3.5) გამოხატავს თეორემას მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსის (კინეტიკური იმპულსის) ცვლილების შესახებ ღერძთან მიმართებაში: მატერიალური წერტილის იმპულსის მომენტის (კინეტიკური მომენტის) დროითი წარმოებული ნებისმიერი ფიქსირებული ღერძის მიმართ უდრის ამ წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტს იმავე ღერძის მიმართ.

განვიხილოთ თეორემების (3.4) და (3.5) შედეგები.

დასკვნა 1.განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ძალის ფ მთელი მოძრაობის დროს წერტილი გადის სტაციონარულ ცენტრში ო (ცენტრალური ძალის შემთხვევა), ე.ი. Როდესაც მ 0 (ფ ) = 0. შემდეგ თეორემიდან (3.4) გამომდინარეობს, რომ კ 0 = კონსტ ,

იმათ. ცენტრალური ძალის შემთხვევაში, მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსი (კინეტიკური მომენტი) ამ ძალის ცენტრთან შედარებით მუდმივი რჩება სიდიდით და მიმართულებით (სურათი 3.2).

სურათი 3.2

მდგომარეობიდან კ 0 = კონსტ აქედან გამომდინარეობს, რომ მოძრავი წერტილის ტრაექტორია არის ბრტყელი მრუდი, რომლის სიბრტყე გადის ამ ძალის ცენტრს.

დასკვნა 2.დაე მ ზ (ფ ) = 0, ე.ი. ძალა კვეთს ღერძს ზ ან მის პარალელურად. ამ შემთხვევაში, როგორც ჩანს განტოლების მესამედიდან (3.5), კ ზ = კონსტ ,

იმათ. თუ რომელიმე ფიქსირებულ ღერძთან მიმართებაში წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტი ყოველთვის ნულია, მაშინ ამ ღერძის მიმართ წერტილის კუთხური იმპულსი (კინეტიკური მომენტი) მუდმივი რჩება.

იმპულსის ცვლილების თეორემის დადასტურება

მოდით, სისტემა შედგებოდეს მატერიალური წერტილებისგან მასებითა და აჩქარებით. სისტემის სხეულებზე მოქმედ ყველა ძალას ვყოფთ ორ ტიპად:

გარე ძალები არის ძალები, რომლებიც მოქმედებენ სხეულებიდან, რომლებიც არ შედის განსახილველ სისტემაში. მატერიალურ წერტილზე მოქმედი გარე ძალების შედეგი რიცხვით მეაღვნიშნოთ

შინაგანი ძალები არის ძალები, რომლებთანაც თავად სისტემის სხეულები ურთიერთქმედებენ ერთმანეთთან. ძალა, რომლითაც წერტილზე რიცხვით მეპუნქტი ნომრით მოქმედებს კ, აღვნიშნავთ და გავლენის ძალას მეპუნქტზე კპუნქტი -. ცხადია, როდის, მაშინ

შემოღებული აღნიშვნის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ ნიუტონის მეორე კანონს თითოეული განხილული მატერიალური პუნქტისთვის სახით.

Იმის გათვალისწინებით და შევაჯამოთ ნიუტონის მეორე კანონის ყველა განტოლება, მივიღებთ:

გამოთქმა წარმოადგენს სისტემაში მოქმედი ყველა შინაგანი ძალის ჯამს. ნიუტონის მესამე კანონის მიხედვით, ამ ჯამში, თითოეულ ძალას შეესაბამება ისეთ ძალას, რომელიც, შესაბამისად, მოქმედებს ვინაიდან მთელი ჯამი შედგება ასეთი წყვილებისგან, თავად ჯამი არის ნული. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ

სისტემის იმპულსის აღნიშვნის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ

გარე ძალების იმპულსის ცვლილების გათვალისწინებით , ვიღებთ თეორემის გამოხატვას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით:

ამრიგად, მიღებული ყოველი ბოლო განტოლება საშუალებას გვაძლევს განვაცხადოთ: სისტემის იმპულსის ცვლილება ხდება მხოლოდ გარე ძალების მოქმედების შედეგად და შიდა ძალებს არ შეუძლიათ რაიმე გავლენა მოახდინონ ამ მნიშვნელობაზე.

შედეგად მიღებული თანასწორობის ორივე მხარის ინტეგრირებით თვითნებურად აღებულ დროულ ინტერვალზე ზოგიერთ და ს შორის, მივიღებთ თეორემის გამოხატვას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ ინტეგრალური ფორმით:

სადაც და არის სისტემის მოძრაობის მოცულობის მნიშვნელობები დროის მომენტებში და, შესაბამისად, არის გარე ძალების იმპულსი გარკვეული პერიოდის განმავლობაში. ადრე ნათქვამისა და შემოღებული აღნიშვნების შესაბამისად,

ვინაიდან წერტილის მასა მუდმივია და მისი აჩქარება, დინამიკის ძირითადი კანონის გამომხატველი განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სახით

განტოლება ერთდროულად გამოხატავს თეორემას წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით: დროის წარმოებული წერტილის იმპულსი უდრის წერტილზე მოქმედი ძალების გეომეტრიულ ჯამს.

მოდით გავაერთიანოთ ეს განტოლება. დაე, მასა მიუთითოს მ, მოძრავი ძალის გავლენის ქვეშ (სურ. 15), აქვს მომენტში ტ=0 სიჩქარე და ამ მომენტში ტ 1-სიჩქარიანი.

სურ.15

მოდით გავამრავლოთ ტოლობის ორივე მხარე და ავიღოთ მათგან განსაზღვრული ინტეგრალები. ამ შემთხვევაში, მარჯვნივ, სადაც ინტეგრაცია ხდება დროთა განმავლობაში, ინტეგრალების ლიმიტები იქნება 0 და ტ 1 და მარცხნივ, სადაც სიჩქარე ინტეგრირებულია, ინტეგრალის საზღვრები იქნება სიჩქარის შესაბამისი მნიშვნელობები და . ვინაიდან ინტეგრალი of უდრის , შემდეგ შედეგად ვიღებთ:

.

ინტეგრალები მარჯვნივ წარმოადგენს მოქმედი ძალების იმპულსებს. შესაბამისად, საბოლოოდ გვექნება:

.

განტოლება გამოხატავს თეორემას წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ საბოლოო ფორმით: წერტილის იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში უდრის წერტილზე მოქმედი ყველა ძალის იმპულსების გეომეტრიულ ჯამს დროის ერთსა და იმავე პერიოდში (ბრინჯი. 15).

ამოცანების ამოხსნისას ვექტორული განტოლებების ნაცვლად ხშირად გამოიყენება განტოლებები პროგნოზებში.

ღერძის გასწვრივ მიმდინარე მართკუთხა მოძრაობის შემთხვევაში ოჰთეორემა გამოიხატება ამ განტოლებიდან პირველით.

თვითტესტის კითხვები

ჩამოაყალიბეთ მექანიკის ძირითადი კანონები.

რომელ განტოლებას უწოდებენ დინამიკის ფუნდამენტურ განტოლებას?

რა არის მყარი სხეულების ინერციის საზომი მთარგმნელობითი მოძრაობის დროს?

დამოკიდებულია თუ არა სხეულის წონა დედამიწაზე მის მდებარეობაზე?

რომელ საცნობარო სისტემას ეწოდება ინერციული?

რომელ სხეულზე ვრცელდება მატერიალური წერტილის ინერციული ძალა და როგორია მისი მოდული და მიმართულება?

ახსენით განსხვავება "ინერციის" და "ინერციის ძალის" ცნებებს შორის?

რომელ სხეულებზე ვრცელდება ინერციული ძალა, როგორ არის ის მიმართული და რა ფორმულით შეიძლება მისი გამოთვლა?

რა არის კინეტოსტატიკის პრინციპი?

როგორია მატერიალური წერტილის ინერციის ტანგენციალური და ნორმალური ძალების მოდულები და მიმართულებები?

რა ჰქვია სხეულის წონას? რა არის SI მასის ერთეული?

რა არის სხეულის ინერციის საზომი?

დაწერეთ დინამიკის ძირითადი კანონი ვექტორული და დიფერენციალური ფორმით?

მატერიალურ წერტილზე მოქმედებს მუდმივი ძალა. როგორ მოძრაობს წერტილი?

რა აჩქარებას მიიღებს წერტილი, თუ მასზე მოქმედებს სიმძიმის ორჯერ ტოლი ძალა?

ორი მატერიალური წერტილის მასებთან შეჯახების შემდეგ მ 1 =6 კგ და მ 2 =24 კგ პირველმა პუნქტმა მიიღო აჩქარება 1,6 მ/წმ. რა არის აჩქარება მიღებული მეორე წერტილით?

მატერიალური წერტილის რომელ მოძრაობაშია მისი ინერციის ტანგენციალური ძალა ნულის ტოლი და რა მოძრაობისას არის ნორმალური?

რა ფორმულები გამოიყენება ფიქსირებული ღერძის გარშემო მბრუნავი ხისტი სხეულის წერტილის ინერციის ბრუნვისა და ცენტრიდანული ძალების მოდულების გამოსათვლელად?

როგორ არის ჩამოყალიბებული წერტილის დინამიკის ძირითადი კანონი?

მიეცით ძალთა მოქმედების დამოუკიდებლობის კანონის ფორმულირება.

ჩაწერეთ მატერიალური წერტილის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები ვექტორული და კოორდინატის სახით.

ჩამოაყალიბეთ წერტილოვანი დინამიკის პირველი და მეორე ძირითადი ამოცანების არსი.

მიეცით პირობები, საიდანაც განისაზღვრება მატერიალური წერტილის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებების ინტეგრაციის მუდმივები.

დინამიკის რომელ განტოლებებს უწოდებენ მატერიალური წერტილის მოძრაობის ბუნებრივ განტოლებებს?

რა არის წერტილის დინამიკის ორი ძირითადი პრობლემა, რომლებიც წყდება მატერიალური წერტილის დიფერენციალური მოძრაობების გამოყენებით?

თავისუფალი მატერიალური წერტილის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები.

როგორ განისაზღვრება მუდმივები მატერიალური წერტილის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებების ინტეგრირებისას?

თვითნებური მუდმივების მნიშვნელობების განსაზღვრა, რომლებიც ჩნდება მატერიალური წერტილის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებების ინტეგრირებისას.

რა არის სხეულის თავისუფალი ვარდნის კანონები?

რა კანონების მიხედვით ხდება სივრცეში ჰორიზონტთან კუთხით გადაგდებული სხეულის ჰორიზონტალური და ვერტიკალური მოძრაობები? როგორია მისი მოძრაობის ტრაექტორია და რა კუთხით აქვს სხეულს ყველაზე დიდი ფრენის დიაპაზონი?

როგორ გამოვთვალოთ ცვლადი ძალის იმპულსი გარკვეული დროის განმავლობაში?

რა ჰქვია მატერიალური წერტილის იმპულსს?

როგორ გამოვხატოთ ძალის ელემენტარული მუშაობა ძალის გამოყენების წერტილის ელემენტარული ბილიკით და როგორ - ამ წერტილის რკალის კოორდინატის გაზრდის გზით?

რა გადაადგილებით არის სიმძიმის მუშაობა: ა) დადებითი, ბ) უარყოფითი, გ) ნული?

როგორ გამოვთვალოთ ძალის ძალა, რომელიც გამოიყენება მატერიალურ წერტილზე, რომელიც ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო კუთხური სიჩქარით?

ჩამოაყალიბეთ თეორემა მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ.

რა პირობებში არ იცვლება მატერიალური წერტილის იმპულსი? რა პირობებში არ იცვლება მისი პროექცია გარკვეულ ღერძზე?

მიეცით თეორემის ფორმულირება მატერიალური წერტილის კინეტიკური ენერგიის ცვლილებაზე დიფერენციალურ და სასრულ ფორმაში.

რას ეწოდება მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსი: ა) ცენტრთან, ბ) ღერძთან მიმართებაში?

როგორ არის ჩამოყალიბებული თეორემა წერტილის კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ ცენტრთან და ღერძთან მიმართებაში?

რა პირობებში რჩება წერტილის კუთხური იმპულსი ღერძთან მიმართებაში უცვლელი?

როგორ განისაზღვრება მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსი ცენტრთან და ღერძთან მიმართებაში? როგორია მათ შორის ურთიერთობა?

მატერიალური წერტილის იმპულსის ვექტორის რომელ ადგილას არის მისი მომენტი ღერძის მიმართ ნულის ტოლი?

რატომ დევს ცენტრალური ძალის გავლენით მოძრავი მატერიალური წერტილის ტრაექტორია იმავე სიბრტყეში?

წერტილის რომელ მოძრაობას ეწოდება სწორხაზოვანი? ჩაწერეთ მატერიალური წერტილის მართკუთხა მოძრაობის დიფერენციალური განტოლება.

ჩაწერეთ მატერიალური წერტილის სიბრტყით მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები.

მატერიალური წერტილის რა მოძრაობაა აღწერილი პირველი ტიპის ლაგრანგის დიფერენციალური განტოლებებით?

რა შემთხვევაში ეწოდება მატერიალურ წერტილს არათავისუფალი და როგორია ამ წერტილის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები?

მიეცით სტაციონარული და არასტაციონარული, ჰოლონომიური და არაჰოლონომიური კავშირების განმარტებები.

რა სახის კავშირებს ეწოდება ორმხრივი? Ცალმხრივი?

რა არის კავშირებისგან განთავისუფლების პრინციპის არსი?

რა ფორმა აქვთ არათავისუფალი მატერიალური წერტილის მოძრაობის დიფერენციალურ განტოლებებს ლაგრანჟის ფორმაში? რას ჰქვია ლაგრანგის მულტიპლიკატორი?

მიეცით კორიოლისის დინამიური თეორემის ფორმულირება.

რა არის გალილეო-ნიუტონის ფარდობითობის პრინციპის არსი?

დაასახელეთ ის მოძრაობები, რომლებშიც კორიოლისის ინერციული ძალა ნულის ტოლია.

რა მოდული და რა მიმართულება აქვს გადაცემის და კორიოლისის ინერციულ ძალებს?

რა განსხვავებაა მატერიალური წერტილის ფარდობითი და აბსოლუტური მოძრაობის დიფერენციალურ განტოლებებს შორის?

როგორ განისაზღვრება გადაცემის და კორიოლისის ინერციის ძალები გადაცემის მოძრაობის სხვადასხვა შემთხვევაში?

რა არის კლასიკური მექანიკის ფარდობითობის პრინციპის არსი?

რომელ საცნობარო სისტემებს ეწოდება ინერციული?

რა არის მატერიალური წერტილის ფარდობითი დასვენების პირობა?

დედამიწის ზედაპირის რომელ წერტილებში აქვს გრავიტაციას ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები?

რა ხსნის დაცემის სხეულების აღმოსავლეთისკენ გადახრას?

რა მიმართულებით იხრება ვერტიკალურად გადაყრილი სხეული?

თაიგულს აჩქარებით ეშვება ლილვში ა=4 მ/წმ 2. Bucket გრავიტაცია გ=2 კნ. დაადგინეთ თოკის დაჭიმვის ძალა ტუბსამაგრი?

ორი მატერიალური წერტილი მოძრაობს სწორი ხაზით მუდმივი სიჩქარით 10 და 100 მ/წმ. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ძალების ექვივალენტური სისტემები გამოიყენება ამ წერტილებზე?

1) შეუძლებელია;

თანაბარი ძალები გამოიყენება 5 და 15 კგ მასის ორ მატერიალურ წერტილზე. შეადარეთ ამ წერტილების აჩქარების რიცხვითი მნიშვნელობები?

1) აჩქარებები იგივეა;

2) 15 კგ მასის წერტილის აჩქარება სამჯერ ნაკლებია 5 კგ მასის წერტილის აჩქარებაზე.

შეიძლება თუ არა დინამიკის ამოცანების ამოხსნა წონასწორული განტოლებების გამოყენებით?

მიეცით მატერიალურ წერტილს გადაადგილება ძალის გავლენის ქვეშ ფ. საჭიროა ამ წერტილის მოძრაობის განსაზღვრა მოძრავ სისტემასთან მიმართებაში ოქსიზი(იხ. მატერიალური წერტილის რთული მოძრაობა), რომელიც ცნობილი გზით მოძრაობს სტაციონარული სისტემის მიმართ ო 1 x 1 წ 1 ზ 1 .

დინამიკის ძირითადი განტოლება სტაციონარულ სისტემაში

მოდით დავწეროთ წერტილის აბსოლუტური აჩქარება კორიოლისის თეორემის გამოყენებით

სად ა აბს- აბსოლუტური აჩქარება;

ა rel- ფარდობითი აჩქარება;

ა შესახვევი- პორტატული აჩქარება;

ა ბირთვი– კორიოლისის აჩქარება.

მოდით გადავიწეროთ (25) (26) გათვალისწინებით

შემოვიღოთ აღნიშვნა
- პორტატული ინერციის ძალა,
- კორიოლისის ინერციული ძალა. შემდეგ განტოლება (27) იღებს ფორმას

ფარდობითი მოძრაობის შესწავლის დინამიკის ძირითადი განტოლება (28) იწერება ისევე, როგორც აბსოლუტური მოძრაობისთვის, წერტილზე მოქმედ ძალებს უნდა დაემატოს მხოლოდ ინერციის გადაცემის და კორიოლისის ძალები.

ზოგადი თეორემები მატერიალური წერტილის დინამიკის შესახებ

ბევრი პრობლემის გადაჭრისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ წინასწარ დამზადებული ბლანკები, რომლებიც მიღებულია ნიუტონის მეორე კანონის საფუძველზე. პრობლემის გადაჭრის ასეთი მეთოდები გაერთიანებულია ამ განყოფილებაში.

თეორემა მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ

წარმოგიდგენთ შემდეგ დინამიურ მახასიათებლებს:

1. მატერიალური წერტილის იმპულსი– ვექტორის რაოდენობა, რომელიც ტოლია წერტილის მასისა და მისი სიჩქარის ვექტორის ნამრავლის

. (29)

2. ძალის იმპულსი

ძალის ელემენტარული იმპულსი– ვექტორული სიდიდე, რომელიც ტოლია ძალის ვექტორის ნამრავლისა და ელემენტარული დროის ინტერვალის

(30).

მერე სრული იმპულსი

. (31)

ზე ფ= და ბოლოს მივიღებთ ს=ფტ.

მთლიანი იმპულსი დროის სასრულ პერიოდზე შეიძლება გამოითვალოს მხოლოდ ორ შემთხვევაში, როდესაც წერტილზე მოქმედი ძალა მუდმივია ან დროზეა დამოკიდებული. სხვა შემთხვევაში აუცილებელია ძალის გამოხატვა დროის ფუნქციით.

იმპულსის (29) და იმპულსის (30) ზომების თანასწორობა საშუალებას გვაძლევს დავამყაროთ რაოდენობრივი კავშირი მათ შორის.

განვიხილოთ M მატერიალური წერტილის მოძრაობა თვითნებური ძალის მოქმედებით ფთვითნებური ტრაექტორიის გასწვრივ.

შესახებ UD:
. (32)

ჩვენ გამოვყოფთ ცვლადებს (32) და ვაერთიანებთ

. (33)

შედეგად, (31) გათვალისწინებით, ვიღებთ

. (34)

განტოლება (34) გამოხატავს შემდეგ თეორემას.

თეორემა: მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში უდრის წერტილზე მოქმედი ძალის იმპულსს იმავე დროის ინტერვალში.

ამოცანების ამოხსნისას განტოლება (34) დაპროექტებული უნდა იყოს კოორდინატთა ღერძებზე

ეს თეორემა მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც მოცემულ და უცნობ სიდიდეებს შორის არის წერტილის მასა, მისი საწყისი და საბოლოო სიჩქარე, ძალები და მოძრაობის დრო.

თეორემა მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ

მ
მატერიალური წერტილის იმპულსის მომენტიცენტრთან შედარებით უდრის წერტილის და მხრის იმპულსის მოდულის ნამრავლს, ე.ი. უმოკლეს მანძილი (პერპენდიკულარული) ცენტრიდან წრფემდე, რომელიც ემთხვევა სიჩქარის ვექტორს

, (36)

. (37)

ძალის (მიზეზის) მომენტსა და იმპულსის (ეფექტის) მომენტს შორის კავშირი დადგენილია შემდეგი თეორემით.

მივცეთ M წერტილი მოცემული მასისა მმოძრაობს ძალის გავლენის ქვეშ ფ.

,
,

, (38)

. (39)

გამოვთვალოთ წარმოებული (39)

. (40)

(40) და (38) კომბინაციით, საბოლოოდ მივიღებთ

. (41)

განტოლება (41) გამოხატავს შემდეგ თეორემას.

თეორემა: მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსის ვექტორის დროითი წარმოებული რაღაც ცენტრთან მიმართებაში უდრის იმავე ცენტრთან მიმართებაში წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტს.

ამოცანების ამოხსნისას განტოლება (41) დაპროექტებული უნდა იყოს კოორდინატთა ღერძებზე

განტოლებებში (42), იმპულსის და ძალის მომენტები გამოითვლება კოორდინატთა ღერძების მიმართ.

(41)-დან გამომდინარეობს კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი (კეპლერის კანონი).

თუ რაიმე ცენტრთან მიმართებაში მატერიალურ წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტი ნულია, მაშინ წერტილის კუთხური იმპულსი ამ ცენტრთან მიმართებაში ინარჩუნებს სიდიდეს და მიმართულებას.

თუ
, ეს
.

თეორემა და კონსერვაციის კანონი გამოიყენება მრუდი წრფივი მოძრაობის ამოცანებში, განსაკუთრებით ცენტრალური ძალების მოქმედების დროს.