როგორ მოვძებნოთ მოვლენის ალბათობის მაგალითები. ალბათობის კლასიკური და სტატისტიკური განსაზღვრება

ეკონომიკაში, ისევე როგორც ადამიანის საქმიანობის სხვა სფეროებში ან ბუნებაში, ჩვენ მუდმივად გვიწევს საქმე მოვლენებთან, რომელთა ზუსტი პროგნოზირება შეუძლებელია. ამრიგად, პროდუქტის გაყიდვების მოცულობა დამოკიდებულია მოთხოვნაზე, რომელიც შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს და სხვა ფაქტორებზე, რომელთა გათვალისწინება თითქმის შეუძლებელია. ამიტომ, წარმოების ორგანიზებისას და გაყიდვების განხორციელებისას, თქვენ უნდა იწინასწარმეტყველოთ ასეთი აქტივობების შედეგი ან თქვენი წინა გამოცდილების, ან სხვა ადამიანების მსგავსი გამოცდილების ან ინტუიციის საფუძველზე, რომელიც ასევე დიდწილად ეყრდნობა ექსპერიმენტულ მონაცემებს.

იმისათვის, რომ როგორმე შევაფასოთ მოცემული მოვლენა, აუცილებელია გავითვალისწინოთ ან სპეციალურად მოაწყოთ ის პირობები, რომლებშიც ეს მოვლენაა ჩაწერილი.

გარკვეული პირობების ან მოქმედებების განხორციელება განსახილველი მოვლენის იდენტიფიცირებისთვის ეწოდება გამოცდილებაან ექსპერიმენტი.

ღონისძიება ე.წ შემთხვევითი, თუ გამოცდილების შედეგად შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს.

ღონისძიება ე.წ საიმედო, თუ ის აუცილებლად გამოჩნდება მოცემული გამოცდილების შედეგად და შეუძლებელია, თუ ის ვერ გამოჩნდება ამ გამოცდილებაში.

მაგალითად, 30 ნოემბერს მოსკოვში თოვლი შემთხვევითი მოვლენაა. მზის ყოველდღიური ამოსვლა საიმედო მოვლენად შეიძლება ჩაითვალოს. ეკვატორზე თოვლი შეიძლება ჩაითვალოს შეუძლებელ მოვლენად.

ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი მთავარი ამოცანაა მოვლენის მოვლენის შესაძლებლობის რაოდენობრივი საზომის განსაზღვრის ამოცანა.

მოვლენათა ალგებრა

მოვლენებს უწოდებენ შეუთავსებელს, თუ მათ არ შეუძლიათ ერთად დაკვირვება ერთსა და იმავე გამოცდილებაში. ამრიგად, ერთ მაღაზიაში ერთდროულად ორი და სამი მანქანის არსებობა ორი შეუთავსებელი მოვლენაა.

თანხამოვლენები არის მოვლენა, რომელიც შედგება ამ მოვლენებიდან ერთ-ერთი მაინც

მოვლენების ჯამის მაგალითია მაღაზიაში ორი პროდუქტიდან მინიმუმ ერთის არსებობა.

Სამუშაომოვლენები არის მოვლენა, რომელიც შედგება ყველა ამ მოვლენის ერთდროული მოვლენისგან

ღონისძიება, რომელიც შედგება მაღაზიაში ორი საქონლის ერთდროულად გამოჩენისგან, არის მოვლენების პროდუქტი: - ერთი პროდუქტის გამოჩენა, - მეორე პროდუქტის გამოჩენა.

მოვლენები ქმნიან მოვლენათა სრულ ჯგუფს, თუ მათგან ერთი მაინც აუცილებლად მოხდება გამოცდილებაში.

მაგალითი.პორტს აქვს ორი ნავმისადგომი გემების მისაღებად. სამი მოვლენა შეიძლება ჩაითვალოს: - გემების არარსებობა ნავმისადგომებთან, - ერთი გემის ყოფნა ერთ-ერთ ნავმისადგომზე, - ორი გემის ყოფნა ორ ნავმისადგომზე. ეს სამი მოვლენა ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს.

Საწინააღმდეგოორი უნიკალური შესაძლო მოვლენა, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს, ეწოდება.

თუ ერთ-ერთი მოვლენა, რომელიც საპირისპიროა, აღინიშნა - ით, მაშინ საპირისპირო მოვლენა ჩვეულებრივ აღინიშნება - ით.

მოვლენის ალბათობის კლასიკური და სტატისტიკური განმარტებები

ტესტების (ექსპერიმენტების) თითოეულ თანაბრად შესაძლო შედეგს ელემენტარული შედეგი ეწოდება. ისინი, როგორც წესი, ასოებით აღინიშნება. მაგალითად, იყრება კვარცხლბეკი. გვერდებზე ქულების რაოდენობის მიხედვით შეიძლება იყოს სულ ექვსი ელემენტარული შედეგი.

ელემენტარული შედეგებიდან შეგიძლიათ შექმნათ უფრო რთული მოვლენა. ამრიგად, ლუწი რაოდენობის ქულების მოვლენა განისაზღვრება სამი შედეგით: 2, 4, 6.

განსახილველი მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის რაოდენობრივი საზომი არის ალბათობა.

მოვლენის ალბათობის ყველაზე ფართოდ გამოყენებული განმარტებებია: კლასიკურიდა სტატისტიკური.

ალბათობის კლასიკური განმარტება ასოცირდება ხელსაყრელი შედეგის კონცეფციასთან.

შედეგს ჰქვია ხელსაყრელიმოცემულ მოვლენას, თუ მისი დადგომა იწვევს ამ მოვლენის დადგომას.

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში განსახილველ მოვლენას - ქულების ლუწი რაოდენობას მობრუნებულ მხარეს - აქვს სამი ხელსაყრელი შედეგი. ამ შემთხვევაში გენერალი
შესაძლო შედეგების რაოდენობა. ეს ნიშნავს, რომ აქ შეიძლება გამოყენებულ იქნას მოვლენის ალბათობის კლასიკური განმარტება.

კლასიკური განმარტებაუდრის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის თანაფარდობას შესაძლო შედეგების საერთო რაოდენობასთან

სადაც არის მოვლენის ალბათობა, არის მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა, არის შესაძლო შედეგების საერთო რაოდენობა.

განხილულ მაგალითში

ალბათობის სტატისტიკური განსაზღვრება დაკავშირებულია ცდებში მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირის კონცეფციასთან.

მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირე გამოითვლება ფორმულით

სადაც არის მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა ექსპერიმენტების (ტესტების) სერიაში.

სტატისტიკური განმარტება. მოვლენის ალბათობა არის რიცხვი, რომლის გარშემოც ფარდობითი სიხშირე სტაბილიზდება (ჯდება) ექსპერიმენტების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით.

პრაქტიკულ ამოცანებში, მოვლენის ალბათობა აღებულია, როგორც ფარდობითი სიხშირე საკმარისად დიდი რაოდენობის ცდებისთვის.

მოვლენის ალბათობის ამ განმარტებებიდან ირკვევა, რომ უტოლობა ყოველთვის დაკმაყოფილებულია

(1.1) ფორმულის საფუძველზე მოვლენის ალბათობის დასადგენად ხშირად გამოიყენება კომბინატორიკის ფორმულები, რომლებიც გამოიყენება ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის და შესაძლო შედეგების საერთო რაოდენობის დასადგენად.

როდესაც მონეტას აგდებენ, შეიძლება ითქვას, რომ ის მაღლა დგება, ან ალბათობა ეს არის 1/2. რა თქმა უნდა, ეს არ ნიშნავს იმას, რომ თუ მონეტა 10-ჯერ იქნა გადაყრილი, ის აუცილებლად 5-ჯერ დაჯდება თავზე. თუ მონეტა არის "სამართლიანი" და თუ ის ბევრჯერ იქნა გადაყრილი, მაშინ თავები ნახევარ დროს ძალიან ახლოს დაეშვება. ამრიგად, არსებობს ორი სახის ალბათობა: ექსპერიმენტული და თეორიული .

ექსპერიმენტული და თეორიული ალბათობა

თუ მონეტას ბევრჯერ გადავუხვევთ - ვთქვათ 1000-ს - და დავთვლით რამდენჯერ მოხვდება თავზე, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ალბათობა, რომ ის მოხვდება თავებზე. თუ თავები 503-ჯერ დააგდეს, შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი დაშვების ალბათობა:
503/1000, ანუ 0.503.

ეს ექსპერიმენტული ალბათობის განსაზღვრა. ალბათობის ეს განმარტება მომდინარეობს მონაცემების დაკვირვებისა და შესწავლის შედეგად და საკმაოდ გავრცელებული და ძალიან სასარგებლოა. აი, მაგალითად, რამდენიმე ალბათობა, რომელიც ექსპერიმენტულად განისაზღვრა:

1. ალბათობა იმისა, რომ ქალს ძუძუს კიბო განუვითარდება არის 1/11.

2. თუ გაციებულს აკოცებ, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ შენც გაცივდე არის 0,07.

3. ციხიდან ახლად გათავისუფლებულს ციხეში დაბრუნების 80%-იანი შანსი აქვს.

თუ გავითვალისწინებთ მონეტის გადაგდებას და გავითვალისწინებთ, რომ ისეთივე სავარაუდოა, რომ ის ამოვა თავები ან კუდები, შეგვიძლია გამოვთვალოთ თავების მიღების ალბათობა: 1/2 ეს არის ალბათობის თეორიული განმარტება. აქ არის რამდენიმე სხვა ალბათობა, რომლებიც თეორიულად იქნა განსაზღვრული მათემატიკის გამოყენებით:

1. თუ ოთახში 30 ადამიანია, ალბათობა იმისა, რომ მათგან ორს ერთნაირი დაბადების დღე აქვს (წლის გამოკლებით) არის 0,706.

2. მოგზაურობის დროს ვინმეს ხვდები და საუბრის დროს აღმოაჩენ, რომ საერთო მეგობარი გყავს. ტიპიური რეაქცია: "ეს არ შეიძლება!" სინამდვილეში, ეს ფრაზა არ არის შესაფერისი, რადგან ასეთი მოვლენის ალბათობა საკმაოდ მაღალია - მხოლოდ 22% -ზე მეტი.

ამრიგად, ექსპერიმენტული ალბათობები განისაზღვრება დაკვირვებით და მონაცემთა შეგროვებით. თეორიული ალბათობები განისაზღვრება მათემატიკური მსჯელობით. ექსპერიმენტული და თეორიული ალბათობების მაგალითები, როგორიცაა ზემოთ განხილული და განსაკუთრებით ის, რასაც ჩვენ არ ველით, მიგვიყვანს ალბათობის შესწავლის მნიშვნელობამდე. თქვენ შეიძლება იკითხოთ: "რა არის ჭეშმარიტი ალბათობა?" სინამდვილეში, ასეთი რამ არ არსებობს. ალბათობა გარკვეულ საზღვრებში შეიძლება განისაზღვროს ექსპერიმენტულად. ისინი შეიძლება ემთხვეოდეს ან არ ემთხვეოდეს იმ ალბათობას, რომელსაც ჩვენ თეორიულად ვიღებთ. არის სიტუაციები, როდესაც ბევრად უფრო ადვილია ერთი ტიპის ალბათობის დადგენა, ვიდრე სხვა. მაგალითად, საკმარისი იქნებოდა თეორიული ალბათობის გამოყენებით გაციების ალბათობის პოვნა.

ექსპერიმენტული ალბათობების გამოთვლა

ჯერ განვიხილოთ ალბათობის ექსპერიმენტული განმარტება. ძირითადი პრინციპი, რომელსაც ვიყენებთ ასეთი ალბათობების გამოსათვლელად, შემდეგია.

პრინციპი P (ექსპერიმენტული)

თუ ექსპერიმენტში, რომელშიც n დაკვირვება კეთდება, სიტუაცია ან მოვლენა E ხდება m-ჯერ n დაკვირვებაში, მაშინ მოვლენის ექსპერიმენტული ალბათობა არის P (E) = m/n.

მაგალითი 1 სოციოლოგიური გამოკითხვა. ჩატარდა ექსპერიმენტული კვლევა მემარცხენეების, მემარჯვენეების და ადამიანების რაოდენობის დასადგენად, რომელთა ორივე ხელი თანაბრად არის განვითარებული.

ა) დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი მემარჯვენეა.

ბ) დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი მემარცხენეა.

გ) დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი თანაბრად ფლობს ორივე ხელში.

დ) პროფესიონალური ბოულინგ ასოციაციის ტურნირების უმეტესობა შეზღუდულია 120 მოთამაშით. ამ ექსპერიმენტის მონაცემებზე დაყრდნობით, რამდენი მოთამაშე შეიძლება იყოს მარცხენა ხელი?

გამოსავალი

ა) მემარჯვენეების რიცხვი არის 82, მემარცხენეების რაოდენობა 17, ხოლო მათ, ვინც თანაბრად ფლობს ორივე ხელში არის 1. დაკვირვების საერთო რაოდენობა არის 100. ამრიგად, ალბათობა. რომ ადამიანი მემარჯვენეა არის პ
P = 82/100, ან 0.82, ან 82%.

ბ) ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი მემარცხენეა არის P, სადაც
P = 17/100, ან 0.17, ან 17%.

გ) ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი თანაბრად ფლობს ორივე ხელში არის P, სადაც
P = 1/100, ან 0.01, ან 1%.

დ) 120 ბოულერი და (ბ)-დან შეიძლება ველოდოთ, რომ 17% მემარცხენეა. აქედან
17% 120 = 0.17.120 = 20.4,
ანუ შეიძლება ველოდოთ 20-მდე მემარცხენე მოთამაშეს.

მაგალითი 2 Ხარისხის კონტროლი . მწარმოებლისთვის ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ პროდუქციის ხარისხი მაღალ დონეზე იყოს. ფაქტობრივად, კომპანიები ქირაობენ ხარისხის კონტროლის ინსპექტორებს ამ პროცესის უზრუნველსაყოფად. მიზანია დეფექტური პროდუქტების მინიმალური შესაძლო რაოდენობის წარმოება. მაგრამ რადგან კომპანია ყოველდღიურად აწარმოებს ათასობით პროდუქტს, მას არ შეუძლია ყველა პროდუქტის ტესტირება, რათა დადგინდეს, არის თუ არა ის დეფექტური. იმის გასარკვევად, თუ რა პროცენტული პროდუქტია დეფექტური, კომპანია ამოწმებს გაცილებით ნაკლებ პროდუქტს.
USDA მოითხოვს, რომ მწარმოებლების მიერ გაყიდული თესლის 80% უნდა გაღივდეს. სასოფლო-სამეურნეო კომპანიის მიერ წარმოებული თესლის ხარისხის დასადგენად, ირგვება 500 ცალი თესლი. ამის შემდეგ დაითვალეს, რომ 417 თესლი ამოიზარდა.

ა) რა არის იმის ალბათობა, რომ თესლი აღმოცენდეს?

ბ) შეესაბამება თუ არა თესლი სამთავრობო სტანდარტებს?

გამოსავალია) ვიცით, რომ დარგული 500 თესლიდან 417 ამოიზარდა. თესლის გაღივების ალბათობა P, და
P = 417/500 = 0.834, ანუ 83.4%.

ბ) ვინაიდან გაღივებული თესლის პროცენტმა საჭიროებისამებრ 80%-ს გადააჭარბა, თესლი აკმაყოფილებს სახელმწიფო სტანდარტებს.

მაგალითი 3 ტელევიზიის რეიტინგები. სტატისტიკის მიხედვით, ამერიკის შეერთებულ შტატებში ტელევიზორით 105 500 000 ოჯახია. ყოველ კვირას ხდება ინფორმაციის შეგროვება და დამუშავება პროგრამების ნახვის შესახებ. ერთ კვირაში 7,815,000 ოჯახი ადევნებდა თვალყურს ჰიტ კომედიურ სერიას „ყველას უყვარს რაიმონდი“ CBS-ზე და 8 302 000 ოჯახი ამუშავებდა ჰიტ სერიას „კანონი და წესრიგი“ NBC-ზე (წყარო: Nielsen Media Research). რა არის ალბათობა იმისა, რომ ერთი ოჯახის ტელევიზორი დაყენებული იყოს „ყველას უყვარს რეიმონდზე“ მოცემულ კვირაში?

გამოსავალიალბათობა იმისა, რომ ერთ ოჯახში ტელევიზორი დაყენებულია „ყველას უყვარს რეიმონდი“ არის P, და
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
შანსი იმისა, რომ საყოფაცხოვრებო ტელევიზორი იყო დაყენებული Law & Order-ზე არის P და
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
ამ პროცენტებს რეიტინგი ეწოდება.

თეორიული ალბათობა

დავუშვათ, ჩვენ ვატარებთ ექსპერიმენტს, როგორიცაა მონეტის ან ისრების სროლა, გემბანიდან ბარათის ამოღება ან პროდუქციის ხარისხის შესამოწმებლად შეკრების ხაზზე. ასეთი ექსპერიმენტის თითოეულ შესაძლო შედეგს ე.წ გამოსვლა . ყველა შესაძლო შედეგის ნაკრები ეწოდება შედეგის სივრცე . ღონისძიება ეს არის შედეგების ერთობლიობა, ანუ შედეგების სივრცის ქვეჯგუფი.

მაგალითი 4 ისრების სროლა. დავუშვათ, რომ ისრის სროლის ექსპერიმენტში ისარი ხვდება მიზანს. იპოვეთ თითოეული შემდეგი:

ბ) შედეგების სივრცე

გამოსავალი
ა) შედეგებია: დარტყმა შავი (B), დარტყმა წითელი (R) და დარტყმა თეთრი (B).

ბ) შედეგების სივრცე (დარტყმა შავზე, წითელზე დარტყმა, თეთრზე დარტყმა), რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს უბრალოდ, როგორც (H, K, B).

მაგალითი 5 კამათლის სროლა. კვერი არის კუბი ექვსი გვერდით, თითოეულს მასზე ერთიდან ექვს წერტილამდე.


დავუშვათ, ჩვენ ვაგდებთ სასიძოს. იპოვე
ა) შედეგები
ბ) შედეგების სივრცე

გამოსავალი
ა) შედეგები: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
ბ) შედეგების სივრცე (1, 2, 3, 4, 5, 6).

ჩვენ აღვნიშნავთ ალბათობას, რომ E მოვლენა მოხდეს, როგორც P(E). მაგალითად, „მონეტა თავზე დაეშვება“ შეიძლება აღვნიშნოთ H-ით. მაშინ P(H) წარმოადგენს ალბათობას, რომ მონეტა დაჯდეს თავზე. როდესაც ექსპერიმენტის ყველა შედეგს აქვს ერთი და იგივე ალბათობა, რომ ისინი თანაბრად სავარაუდოა. იმისათვის, რომ ნახოთ განსხვავებები მოვლენებს შორის, რომლებიც თანაბრად სავარაუდოა და მოვლენებს შორის, რომლებიც არ არის, განიხილეთ ქვემოთ ნაჩვენები სამიზნე.

A სამიზნისთვის, შავი, წითელი და თეთრი დარტყმის მოვლენები თანაბრად სავარაუდოა, რადგან შავი, წითელი და თეთრი სექტორები ერთნაირია. თუმცა, სამიზნე B-სთვის, ამ ფერების მქონე ზონები არ არის ერთნაირი, ანუ მათზე დარტყმა თანაბრად სავარაუდო არ არის.

პრინციპი P (თეორიული)

თუ მოვლენა E შეიძლება მოხდეს m გზით n შესაძლო თანაბრად სავარაუდო შედეგიდან S სივრციდან, მაშინ თეორიული ალბათობა მოვლენები, P(E) არის
P(E) = m/n.

მაგალითი 6რა არის ალბათობა 3-ის მისაღებად სამაჯური გადააგოროთ?

გამოსავალიკამათელზე არის 6 თანაბრად სავარაუდო შედეგი და არსებობს მხოლოდ ერთი შესაძლებლობა 3-ის გაშვების. მაშინ ალბათობა P იქნება P(3) = 1/6.

მაგალითი 7რა არის ალბათობა, რომ ლუწი რიცხვი დააბრუნოს კუბიკზე?

გამოსავალიმოვლენა არის ლუწი რიცხვის სროლა. ეს შეიძლება მოხდეს 3 გზით (თუ გააფართოვეთ 2, 4 ან 6). თანაბრად სავარაუდო შედეგების რიცხვი არის 6. მაშინ ალბათობა P(ლუწ) = 3/6, ან 1/2.

ჩვენ გამოვიყენებთ უამრავ მაგალითს, რომელიც მოიცავს სტანდარტული 52 ბარათის გემბანს. ეს გემბანი შედგება ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენები ბარათებისგან.

მაგალითი 8რა არის ტუზის გამოყვანის ალბათობა კარგად აურიეთ კარტების დაფიდან?

გამოსავალიარის 52 შედეგი (ბარათების რაოდენობა გემბანზე), ისინი თანაბრად სავარაუდოა (თუ გემბანი კარგად არის შერეული) და არსებობს ტუზის დახატვის 4 გზა, ასე რომ, P პრინციპის მიხედვით, ალბათობა
P (დახაზეთ ტუზი) = 4/52, ან 1/13.

მაგალითი 9დავუშვათ, რომ შევარჩიოთ ერთი ბურთი ჩანთიდან 3 წითელი და 4 მწვანე ბურთით. რამდენია წითელი ბურთის არჩევის ალბათობა?

გამოსავალინებისმიერი ბურთის დახატვის 7 თანაბრად სავარაუდო შედეგია და რადგან წითელი ბურთის დახატვის გზების რაოდენობა არის 3, მივიღებთ
P (წითელი ბურთის შერჩევა) = 3/7.

შემდეგი განცხადებები არის P პრინციპის შედეგი.

ალბათობის თვისებები

ა) თუ მოვლენა E არ შეიძლება მოხდეს, მაშინ P(E) = 0.
ბ) თუ მოვლენა E აუცილებლად მოხდება, მაშინ P(E) = 1.
გ) E მოვლენის დადგომის ალბათობა არის რიცხვი 0-დან 1-მდე: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

მაგალითად, მონეტის გადაგდებისას, იმ მოვლენას, რომ მონეტა მის კიდეზე მოხვდეს, ალბათობა ნულოვანია. ალბათობა იმისა, რომ მონეტა არის თავები ან კუდები, აქვს ალბათობა 1.

მაგალითი 10დავუშვათ, რომ 52-კარტიანი დასტადან 2 კარტი დგება. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე მწვერვალია?

გამოსავალი n ხერხის რიცხვი 2 კარტის გათამაშებისთვის 52 კარტიდან კარგად შერეული გემბანიდან არის 52 C 2 . ვინაიდან 52 კარტიდან 13 არის ყვავი, m გზების რაოდენობა 2 ყველის გასაღებად არის 13 C 2 . მაშინ,
P(2 მწვერვალის გაყვანა)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

მაგალითი 11დავუშვათ, 6 კაცისა და 4 ქალისგან შემდგარი ჯგუფიდან შემთხვევით შერჩეულია 3 ადამიანი. რა არის იმის ალბათობა, რომ 1 კაცი და 2 ქალი შეირჩეს?

გამოსავალი 10 კაციანი ჯგუფიდან სამი ადამიანის არჩევის გზების რაოდენობაა 10 C 3. ერთი მამაკაცის არჩევა შესაძლებელია 6 C 1 გზით, ხოლო 2 ქალის არჩევა 4 C 2 გზით. დათვლის ფუნდამენტური პრინციპის მიხედვით, 1 კაცისა და 2 ქალის არჩევის გზების რაოდენობაა 6 C 1. 4 C 2 . მაშინ, ალბათობა იმისა, რომ 1 კაცი და 2 ქალი შეირჩევა არის
P = 6 C 1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

მაგალითი 12 კამათლის სროლა. რამდენია ორ კამათელზე სულ 8-ის გაშვების ალბათობა?

გამოსავალითითოეულ კამათელს აქვს 6 შესაძლო შედეგი. შედეგები გაორმაგებულია, რაც ნიშნავს, რომ არსებობს 6.6 ან 36 შესაძლო გზა, რომლითაც შეიძლება გამოჩნდეს ნომრები ორ კამათელზე. (უმჯობესია, თუ კუბურები განსხვავებულია, ვთქვათ ერთი წითელი და მეორე ლურჯი - ეს დაგეხმარებათ შედეგის ვიზუალიზაციაში.)

რიცხვების წყვილი, რომლებიც ჯამდება 8-მდე, ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. არსებობს 8-ის ტოლი ჯამის მისაღებად 5 შესაძლო გზა, შესაბამისად, ალბათობა არის 5/36.

მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანები ასევე არის უფრო რთული ალბათობის ამოცანები (ვიდრე განვიხილეთ ნაწილი 1-ში), სადაც უნდა გამოვიყენოთ შეკრების წესი, ალბათობათა გამრავლება და განასხვავოთ თავსებადი და შეუთავსებელი მოვლენები.

ასე რომ, თეორია.

ერთობლივი და არაერთობლივი ღონისძიებები

მოვლენებს უწოდებენ შეუთავსებელს, თუ ერთ-ერთი მათგანის დადგომა გამორიცხავს სხვათა დადგომას. ანუ მხოლოდ ერთი კონკრეტული მოვლენა შეიძლება მოხდეს.

მაგალითად, ჯაგრისის სროლისას შეგიძლიათ განასხვავოთ ისეთი მოვლენები, როგორიცაა ლუწი ქულების და კენტი ქულების მიღება. ეს მოვლენები შეუთავსებელია.

მოვლენებს ერთობლივად უწოდებენ, თუ ერთი მათგანის დადგომა არ გამორიცხავს მეორის გაჩენას.

მაგალითად, ჯაგრისების სროლისას შეგიძლიათ განასხვავოთ ისეთი მოვლენები, როგორიცაა კენტი რაოდენობის ქულების დაგორება და სამის ნამრავლი ქულების გადაგდება. როდესაც სამი შემოვიდა, ორივე მოვლენა ხდება.

მოვლენების ჯამი

რამდენიმე მოვლენის ჯამი (ან კომბინაცია) არის მოვლენა, რომელიც შედგება ამ მოვლენებიდან მინიმუმ ერთის დადგომისგან.

სადაც ორი შეუთავსებელი მოვლენის ჯამი არის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამი:

მაგალითად, 5 ან 6 ქულის მოპოვების ალბათობა სასიძოზე ერთი სროლით იქნება , რადგან ორივე მოვლენა (გორვა 5, 6 გორვა) არათანმიმდევრულია და ამა თუ იმ მოვლენის დადგომის ალბათობა გამოითვლება შემდეგნაირად:

ალბათობა ორი ერთობლივი მოვლენის ჯამი ამ მოვლენების ალბათობების ჯამის ტოლია მათი ერთობლივი შემთხვევის გათვალისწინების გარეშე:

მაგალითად, სავაჭრო ცენტრში ორი იდენტური მანქანა ყიდის ყავას. იმის ალბათობა, რომ აპარატს დღის ბოლომდე ყავა ამოეწურება, არის 0,3. ალბათობა იმისა, რომ ორივე აპარატს ყავა ამოიწურება არის 0,12. მოდი ვიპოვოთ იმის ალბათობა, რომ დღის ბოლომდე ყავა ერთ მანქანაში მაინც ამოიწურება (ანუ ერთში, ან მეორეში, ან ორივეში).

პირველი მოვლენის ალბათობა "ყავა ამოიწურება პირველ აპარატში", ასევე მეორე მოვლენის "ყავა ამოიწურება მეორე აპარატში" პირობის მიხედვით არის 0.3. ღონისძიებები თანამშრომლობითია.

პირობის მიხედვით პირველი ორი მოვლენის ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა არის 0,12.

ეს ნიშნავს, რომ ალბათობა იმისა, რომ დღის ბოლომდე ყავა ერთ-ერთ აპარატში მაინც ამოიწურება არის

დამოკიდებული და დამოუკიდებელი მოვლენები

ორ შემთხვევით მოვლენას A და B ეწოდება დამოუკიდებელ, თუ ერთი მათგანის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას. წინააღმდეგ შემთხვევაში A და B მოვლენებს დამოკიდებულს უწოდებენ.

მაგალითად, როდესაც ორი კამათელი ერთდროულად იშლება, ერთი მათგანი, ვთქვათ 1, ხოლო მეორე, 5, დამოუკიდებელი მოვლენაა.

ალბათობების პროდუქტი

რამდენიმე მოვლენის პროდუქტი (ან გადაკვეთა) არის მოვლენა, რომელიც შედგება ყველა ამ მოვლენის ერთობლივი წარმოშობისგან.

თუ მოხდება ორი დამოუკიდებელი ღონისძიებები A და B ალბათობით P(A) და P(B) შესაბამისად, მაშინ A და B მოვლენების ერთდროულად დადგომის ალბათობა უდრის ალბათობების ნამრავლს:

მაგალითად, ჩვენ გვაინტერესებს, ზედიზედ ორჯერ ვნახოთ ექვსეული, რომელიც კვერზე გამოჩნდება. ორივე მოვლენა დამოუკიდებელია და თითოეული მათგანის ცალ-ცალკე განხორციელების ალბათობა არის . ორივე მოვლენის დადგომის ალბათობა გამოითვლება ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით: .

იხილეთ ამოცანების შერჩევა თემის პრაქტიკისთვის.

• ალბათობა არის ხარისხი (შეფარდებითი ზომა, რაოდენობრივი შეფასება) რაიმე მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის. როდესაც რაიმე შესაძლო მოვლენის რეალურად წარმოშობის მიზეზები აჭარბებს საპირისპირო მიზეზებს, მაშინ ამ მოვლენას ეწოდება სავარაუდო, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ნაკლებად სავარაუდოა ან წარმოუდგენელი. დადებითი მიზეზების უპირატესობა უარყოფითზე და პირიქით, შეიძლება იყოს სხვადასხვა ხარისხით, რის შედეგადაც ალბათობა (და ალბათობა) შეიძლება იყოს მეტი ან ნაკლები. ამიტომ, ალბათობა ხშირად ფასდება ხარისხობრივ დონეზე, განსაკუთრებით იმ შემთხვევებში, როდესაც მეტ-ნაკლებად ზუსტი რაოდენობრივი შეფასება შეუძლებელია ან უკიდურესად რთულია. შესაძლებელია ალბათობის „დონეების“ სხვადასხვა გრადაცია.

  ალბათობის შესწავლა მათემატიკური თვალსაზრისით წარმოადგენს განსაკუთრებულ დისციპლინას - ალბათობის თეორიას. ალბათობის თეორიასა და მათემატიკურ სტატისტიკაში, ალბათობის ცნება ფორმალიზებულია, როგორც მოვლენის რიცხვითი მახასიათებელი - ალბათობის საზომი (ან მისი მნიშვნელობა) - ღონისძიება მოვლენათა სიმრავლეზე ( ელემენტარული მოვლენების სიმრავლის ქვესიმრავლეები), მნიშვნელობების აღება . დან

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  მნიშვნელობა

  (\displaystyle 1)

  შეესაბამება სანდო მოვლენას. შეუძლებელ მოვლენას აქვს 0-ის ალბათობა (საპირისპირო, როგორც წესი, ყოველთვის მართალი არ არის). თუ მოვლენის დადგომის ალბათობა არის

  (\displaystyle p)

  მაშინ მისი არ მომხდარის ალბათობა უდრის

  (\displaystyle 1-p)

  კერძოდ, ალბათობა

  (\displaystyle 1/2)

  ნიშნავს მოვლენის დადგომისა და არ მომხდარის თანაბარ ალბათობას.

  ალბათობის კლასიკური განმარტება ეფუძნება შედეგების თანაბარი ალბათობის კონცეფციას. ალბათობა არის მოცემული მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა თანაბრად შესაძლო შედეგების საერთო რაოდენობასთან. მაგალითად, მონეტის შემთხვევით გადაგდებაში თავების ან კუდების მიღების ალბათობა არის 1/2, თუ ვივარაუდებთ, რომ მხოლოდ ეს ორი შესაძლებლობა არსებობს და ისინი თანაბრად შესაძლებელია. ალბათობის ეს კლასიკური „განმარტება“ შეიძლება განზოგადდეს უსასრულო რაოდენობის შესაძლო მნიშვნელობების შემთხვევაში - მაგალითად, თუ რაიმე მოვლენა შეიძლება მოხდეს თანაბარი ალბათობით ნებისმიერ წერტილში (ქულების რაოდენობა უსასრულოა) გარკვეული შეზღუდული რეგიონის. სივრცე (სიბრტყე), მაშინ ალბათობა იმისა, რომ ეს მოხდება ამ შესაძლებელი რეგიონის ზოგიერთ ნაწილში, უდრის ამ ნაწილის მოცულობის (ფართხის) თანაფარდობას ყველა შესაძლო წერტილის რეგიონის მოცულობასთან (არეალთან).

  ალბათობის ემპირიული „განმარტება“ დაკავშირებულია მოვლენის სიხშირესთან, გამომდინარე იქიდან, რომ საკმარისად დიდი რაოდენობის ცდებთან ერთად, სიხშირე უნდა მიდრეკილი იყოს ამ მოვლენის შესაძლებლობის ობიექტურ ხარისხზე. ალბათობის თეორიის თანამედროვე პრეზენტაციაში ალბათობა განისაზღვრება აქსიომატიურად, როგორც სიმრავლეების აბსტრაქტული თეორიის განსაკუთრებული შემთხვევა. თუმცა, დამაკავშირებელი რგოლი აბსტრაქტულ ზომასა და ალბათობას შორის, რომელიც გამოხატავს მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ხარისხს, სწორედ მისი დაკვირვების სიხშირეა.

  ზოგიერთი ფენომენის ალბათური აღწერა ფართოდ გავრცელდა თანამედროვე მეცნიერებაში, კერძოდ ეკონომეტრიაში, მაკროსკოპული (თერმოდინამიკური) სისტემების სტატისტიკურ ფიზიკაში, სადაც ნაწილაკების მოძრაობის კლასიკური დეტერმინისტული აღწერის შემთხვევაშიც კი, მთელი სისტემის დეტერმინისტული აღწერა. ნაწილაკების, როგორც ჩანს, პრაქტიკულად არ არის შესაძლებელი ან შესაბამისი. კვანტურ ფიზიკაში აღწერილი პროცესები თავისთავად ალბათური ხასიათისაა.

რა არის ალბათობა?

პირველად რომ შევხვდი ამ ტერმინს, ვერ გავიგებდი რა იყო. ამიტომ შევეცდები გარკვევით ავხსნა.

ალბათობა არის იმის შანსი, რომ მოხდეს ჩვენთვის სასურველი მოვლენა.

მაგალითად, თქვენ გადაწყვიტეთ მეგობრის სახლში წასვლა, გახსოვთ შესასვლელი და თუნდაც იატაკი, რომელზეც ის ცხოვრობს. მაგრამ დამავიწყდა ბინის ნომერი და მდებარეობა. ახლა კი კიბეზე დგახართ და თქვენს წინ არის კარები, რომელთაგან უნდა აირჩიოთ.

რა არის შანსი (ალბათობა), რომ თუ კარზე პირველ ზარს დარეკავთ, კარს თქვენი მეგობარი გამოგიღებს? იქ მხოლოდ ბინებია და მეგობარი მხოლოდ ერთის უკან ცხოვრობს. თანაბარი შანსებით შეგვიძლია ავირჩიოთ ნებისმიერი კარი.

მაგრამ რა არის ეს შანსი?

კარი, მარჯვენა კარი. კარზე პირველი ზარის დარეკვით გამოცნობის ალბათობა: . ანუ სამიდან ერთჯერ ზუსტად გამოიცნობთ.

გვინდა ვიცოდეთ, ერთხელ რომ დავურეკოთ, რამდენად ხშირად გამოვიცნობთ კარს? მოდით შევხედოთ ყველა ვარიანტს:

1. Შენ დარეკე 1-ლიკარი
2. Შენ დარეკე მე-2კარი
3. Შენ დარეკე მე-3კარი

ახლა მოდით შევხედოთ ყველა ვარიანტს, სადაც მეგობარი შეიძლება იყოს:

ა. უკან 1-ლიკარი
ბ. უკან მე-2კარი
ვ. უკან მე-3კარი

მოდით შევადაროთ ყველა ვარიანტი ცხრილის სახით. ტიკი მიუთითებს ვარიანტებს, როდესაც თქვენი არჩევანი ემთხვევა მეგობრის მდებარეობას, ჯვარს - როცა არ ემთხვევა.

როგორ ხედავ ყველაფერს Შესაძლოა პარამეტრებითქვენი მეგობრის მდებარეობა და თქვენი არჩევანი, რომელ კარზე დარეკოთ.

ა ხელსაყრელი შედეგები ყველასთვის . ანუ ერთხელ კარზე ზარის დარეკვით გამოიცნობ, ე.ი. .

ეს არის ალბათობა - ხელსაყრელი შედეგის თანაფარდობა (როდესაც თქვენი არჩევანი ემთხვევა თქვენი მეგობრის მდებარეობას) შესაძლო მოვლენების რაოდენობასთან.

განმარტება არის ფორმულა. ალბათობა ჩვეულებრივ აღინიშნება p-ით, ამიტომ:

ასეთი ფორმულის დაწერა არც თუ ისე მოსახერხებელია, ამიტომ ავიღებთ - ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობას, ხოლო - შედეგების საერთო რაოდენობას.

ალბათობა შეიძლება დაიწეროს პროცენტულად, ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ მიღებული შედეგი:

სიტყვა „შედეგებმა“ ალბათ მიიპყრო შენი თვალი. ვინაიდან მათემატიკოსები სხვადასხვა ქმედებებს (ჩვენს შემთხვევაში, ასეთი ქმედება კარზე ზარია) ექსპერიმენტებს უწოდებენ, ასეთი ექსპერიმენტების შედეგს ჩვეულებრივ შედეგს უწოდებენ.

კარგი, არის ხელსაყრელი და არასახარბიელო შედეგები.

დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. ვთქვათ, ერთ-ერთ კარზე დავრეკეთ, მაგრამ უცნობმა გაგვიღო. ჩვენ სწორად არ გამოვიცანი. რა არის იმის ალბათობა, რომ თუ ერთ-ერთ დარჩენილ კარზე დავრეკავთ, მას ჩვენი მეგობარი გაგვაღებს?

თუ ასე ფიქრობდი, მაშინ ეს შეცდომაა. მოდი გავარკვიოთ.

ორი კარი გვაქვს დარჩენილი. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს შესაძლო ნაბიჯები:

1) დარეკეთ 1-ლიკარი
2) დარეკეთ მე-2კარი

მეგობარი, ამ ყველაფრის მიუხედავად, ნამდვილად დგას ერთ-ერთი მათგანის უკან (ბოლოს და ბოლოს, ის არ ჩამორჩა იმას, ვინც ჩვენ დავურეკეთ):

ა) მეგობარი ამისთვის 1-ლიკარი
ბ) მეგობარი ამისთვის მე-2კარი

ისევ დავხატოთ ცხრილი:

როგორც ხედავთ, არსებობს მხოლოდ ვარიანტები, რომელთაგანაც ხელსაყრელია. ანუ ალბათობა ტოლია.

Რატომაც არა?

სიტუაცია ჩვენ განვიხილეთ არის დამოკიდებული მოვლენების მაგალითი.პირველი ღონისძიება არის კარზე პირველი ზარი, მეორე ღონისძიება არის მეორე კარზე.

და მათ უწოდებენ დამოკიდებულებს, რადგან ისინი გავლენას ახდენენ შემდეგ მოქმედებებზე. ბოლოს და ბოლოს, თუ პირველი ზარის შემდეგ კარზე მეგობარმა უპასუხა, რა იქნება ალბათობა იმისა, რომ ის ამ ორიდან ერთ-ერთს უკან იდგა? უფლება,.

მაგრამ თუ არის დამოკიდებული მოვლენები, მაშინ ასევე უნდა იყოს დამოუკიდებელი? მართალია, ისინი ხდება.

სახელმძღვანელოს მაგალითია მონეტის სროლა.

1. ერთხელ გადააგდე მონეტა. რა არის მაგალითად თავების მიღების ალბათობა? ეს ასეა - რადგან არსებობს ყველა ვარიანტი (ან თავები ან კუდები, ჩვენ უგულებელყოფთ მონეტის კიდეზე დაჯდომის ალბათობას), მაგრამ ეს მხოლოდ ჩვენ გვიწყობს.
2. მაგრამ ეს მოვიდა ხელმძღვანელები. კარგი, მოდი ისევ გადავაგდოთ. რა არის ახლა თავების მიღების ალბათობა? არაფერი შეცვლილა, ყველაფერი იგივეა. რამდენი ვარიანტია? ორი. რამდენით ვართ კმაყოფილი? ერთი.

და ზედიზედ ათასჯერ მაინც ამოვიდეს თავი. თავების ერთდროულად მიღების ალბათობა იგივე იქნება. ყოველთვის არის ვარიანტები და ხელსაყრელი.

ადვილია განასხვავოთ დამოკიდებული მოვლენები დამოუკიდებელისაგან:

1. თუ ექსპერიმენტი ერთხელ ჩატარდება (ერთჯერ ისვრიან მონეტას, ერთხელ რეკავენ კარზე და ა.შ.), მაშინ მოვლენები ყოველთვის დამოუკიდებელია.
2. თუ ექსპერიმენტი რამდენჯერმე ჩატარდა (მონეტა ისროლა ერთხელ, კარზე ზარი რამდენჯერმე დარეკეს), მაშინ პირველი მოვლენა ყოველთვის დამოუკიდებელია. და შემდეგ, თუ იცვლება ხელსაყრელების რაოდენობა ან ყველა შედეგის რაოდენობა, მაშინ მოვლენები დამოკიდებულია და თუ არა, ისინი დამოუკიდებელია.

ცოტა ვივარჯიშოთ ალბათობის განსაზღვრაში.

მაგალითი 1.

მონეტა ორჯერ არის გადაყრილი. რა არის ზედიზედ ორჯერ თავების მიღების ალბათობა?

გამოსავალი:

განვიხილოთ ყველა შესაძლო ვარიანტი:

1. არწივი-არწივი
2. თავ-კუდები
3. კუდები-თავები
4. კუდები-კუდები

როგორც ხედავთ, არსებობს მხოლოდ ვარიანტები. ამათგან ჩვენ მხოლოდ კმაყოფილი ვართ. ანუ ალბათობა:

თუ პირობა უბრალოდ მოგთხოვთ იპოვოთ ალბათობა, მაშინ პასუხი უნდა გაიცეს ათობითი წილადის სახით. თუ დაკონკრეტებული იქნებოდა, პასუხი პროცენტულად უნდა გაცემულიყო, მაშინ გავამრავლებდით.

პასუხი:

მაგალითი 2.

შოკოლადის კოლოფში, ყველა შოკოლადი იფუთება ერთსა და იმავე შეფუთვაში. თუმცა, ტკბილეულიდან - თხილით, კონიაკით, ალუბლით, კარამელით და ნუგათი.

რა არის ალბათობა იმისა, რომ აიღოთ ერთი კანფეტი და მიიღოთ კანფეტი თხილით? მიეცით თქვენი პასუხი პროცენტულად.

გამოსავალი:

რამდენი შესაძლო შედეგი არსებობს? .

ანუ თუ აიღებთ ერთ კანფეტს, ის ერთ-ერთი იქნება ყუთში არსებული.

რამდენი ხელსაყრელი შედეგი?

რადგან ყუთში მხოლოდ შოკოლადებია თხილით.

პასუხი:

მაგალითი 3.

ბუშტების ყუთში. რომელთაგან თეთრი და შავია.

1. რა არის თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა?
2. ჩვენ დავამატეთ მეტი შავი ბურთულები ყუთში. რა არის ახლა თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა?

გამოსავალი:

ა) ყუთში მხოლოდ ბურთებია. მათგან თეთრია.

ალბათობა არის:

ბ) ახლა ყუთში მეტი ბურთია. და დარჩა ამდენივე თეთრი - .

პასუხი:

საერთო ალბათობა

ვთქვათ, ყუთში არის წითელი და მწვანე ბურთები. რამდენია წითელი ბურთის დახატვის ალბათობა? მწვანე ბურთი? წითელი თუ მწვანე ბურთი?

წითელი ბურთის დახატვის ალბათობა

მწვანე ბურთი:

წითელი ან მწვანე ბურთი:

როგორც ხედავთ, ყველა შესაძლო მოვლენის ჯამი უდრის (). ამ პუნქტის გაგება დაგეხმარებათ მრავალი პრობლემის გადაჭრაში.

მაგალითი 4.

ყუთში არის მარკერები: მწვანე, წითელი, ლურჯი, ყვითელი, შავი.

რა არის ალბათობა, რომ დახატოს არა წითელი მარკერი?

გამოსავალი:

დავთვალოთ რიცხვი ხელსაყრელი შედეგები.

არ არის წითელი მარკერი, ეს ნიშნავს მწვანე, ლურჯი, ყვითელი ან შავი.

ყველა მოვლენის ალბათობა. და მოვლენების ალბათობა, რომლებიც ჩვენ არახელსაყრელად მივიჩნევთ (როდესაც წითელ მარკერს ვიღებთ) არის .

ამრიგად, NOT წითელი ფლომასტერის ამოღების ალბათობა არის .

პასუხი:

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის გამრავლების წესი

თქვენ უკვე იცით, რა არის დამოუკიდებელი მოვლენები.

რა მოხდება, თუ თქვენ უნდა იპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ ორი (ან მეტი) დამოუკიდებელი მოვლენა ზედიზედ მოხდება?

ვთქვათ, გვინდა ვიცოდეთ, რა არის იმის ალბათობა, რომ თუ მონეტას ერთხელ გადავატრიალებთ, ორჯერ დავინახავთ თავებს?

ჩვენ უკვე განვიხილეთ - .

რა მოხდება, თუ ერთხელ მონეტას გადავაგდებთ? რამდენია არწივის ზედიზედ ორჯერ ნახვის ალბათობა?

სულ შესაძლო ვარიანტები:

1. არწივი-არწივი
2. თავ-თავები-კუდები
3. თავები-კუდები-თავები
4. თავები-კუდები-კუდები
5. კუდები-თავ-თავები
6. კუდები-თავ-კუდები
7. კუდები-კუდები-თავები
8. კუდები-კუდები-კუდები

თქვენი არ ვიცი, მაგრამ ამ სიის შედგენისას რამდენჯერმე დავუშვი შეცდომა. Ვაუ! და ერთადერთი ვარიანტი (პირველი) გვიწყობს.

5 სროლისთვის შეგიძლიათ თავად შეადგინოთ შესაძლო შედეგების სია. მაგრამ მათემატიკოსები შენსავით შრომისმოყვარეები არ არიან.

ამიტომ მათ ჯერ შენიშნეს და შემდეგ დაამტკიცეს, რომ ყოველ ჯერზე დამოუკიდებელი მოვლენების გარკვეული თანმიმდევრობის ალბათობა მცირდება ერთი მოვლენის ალბათობით.

Სხვა სიტყვებით,

მოდით შევხედოთ იგივე უბედური მონეტის მაგალითს.

გამოწვევაში თავების მიღების ალბათობა? . ახლა ჩვენ ვატრიალებთ მონეტას ერთხელ.

რა არის ზედიზედ თავების მოხვედრის ალბათობა?

ეს წესი არ მუშაობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გვთხოვენ ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ ერთი და იგივე მოვლენა ზედიზედ რამდენჯერმე მოხდეს.

თუ გვინდოდა ვიპოვოთ თანმიმდევრობა TAILS-HEADS-TAILS თანმიმდევრული სროლისთვის, ჩვენც ასე მოვიქცევით.

სადესანტო თავების ალბათობაა - , თავები - .

TAILS-HEADS-TAILS-TAILS თანმიმდევრობის მიღების ალბათობა:

შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ ცხრილის გაკეთებით.

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების წესი.

ასე რომ გაჩერდი! ახალი განმარტება.

მოდი გავარკვიოთ. ავიღოთ ჩვენი გაცვეთილი მონეტა და ერთხელ გადავაგდოთ.
შესაძლო ვარიანტები:

1. არწივი-არწივი
2. თავ-თავები-კუდები
3. თავები-კუდები-თავები
4. თავები-კუდები-კუდები
5. კუდები-თავ-თავები
6. კუდები-თავ-კუდები
7. კუდები-კუდები-თავები
8. კუდები-კუდები-კუდები

ასე რომ, შეუთავსებელი მოვლენები არის მოვლენების გარკვეული, მოცემული თანმიმდევრობა. - ეს შეუთავსებელი მოვლენებია.

თუ გვინდა განვსაზღვროთ, რა არის ორი (ან მეტი) შეუთავსებელი მოვლენის ალბათობა, მაშინ ვამატებთ ამ მოვლენების ალბათობას.

თქვენ უნდა გესმოდეთ, რომ თავები ან კუდები ორი დამოუკიდებელი მოვლენაა.

თუ გვსურს განვსაზღვროთ მიმდევრობის (ან სხვა) გაჩენის ალბათობა, მაშინ ვიყენებთ ალბათობების გამრავლების წესს.
რა არის ალბათობა, რომ პირველ დარტყმაზე თავები მოხვდეთ, მეორე და მესამე სროლაზე კუდები?

მაგრამ თუ გვინდა ვიცოდეთ, რა არის ალბათობა იმისა, რომ მივიღოთ რამდენიმე მიმდევრობიდან ერთ-ერთი, მაგალითად, როდესაც თავები ამოდის ზუსტად ერთხელ, ე.ი. ვარიანტები და, შემდეგ ჩვენ უნდა დავამატოთ ამ თანმიმდევრობის ალბათობა.

სულ ვარიანტები გვერგება.

ჩვენ შეგვიძლია ერთი და იგივე მივიღოთ თითოეული მიმდევრობის გაჩენის ალბათობების შეკრებით:

ამრიგად, ჩვენ ვამატებთ ალბათობას, როდესაც გვინდა განვსაზღვროთ მოვლენების გარკვეული, არათანმიმდევრული თანმიმდევრობის ალბათობა.

არსებობს შესანიშნავი წესი, რომელიც დაგეხმარებათ თავიდან აიცილოთ დაბნეულობა, როდის გაამრავლოთ და როდის დაამატოთ:

დავუბრუნდეთ მაგალითს, როდესაც ერთხელ მონეტა გადავყარეთ და გვინდოდა გაგვეგო თავების ერთხელ ნახვის ალბათობა.
Რა მოხდება?

უნდა ამოვარდეს:
(heads AND tails AND tails) OR (კუდები AND heads AND tails) OR (კუდები AND კუდები და თავები).
ასე გამოდის:

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 5.

ყუთში არის ფანქრები. წითელი, მწვანე, ნარინჯისფერი და ყვითელი და შავი. რამდენია წითელი ან მწვანე ფანქრების დახატვის ალბათობა?

გამოსავალი:

Რა მოხდება? ჩვენ უნდა გავიყვანოთ (წითელი ან მწვანე).

ახლა გასაგებია, მოდით დავამატოთ ამ მოვლენების ალბათობა:

პასუხი:

მაგალითი 6.

თუ კვარცხლბეკი ორჯერ ჩააგდეს, რა არის ალბათობა, რომ მიიღოთ სულ 8?

გამოსავალი.

როგორ მივიღოთ ქულები?

(და) ან (და) ან (და) ან (და) ან (და).

ერთი (ნებისმიერი) სახის მიღების ალბათობა არის .

ჩვენ ვიანგარიშებთ ალბათობას:

პასუხი:

ტრენინგი.

ვფიქრობ, ახლა გესმით, როდის გჭირდებათ ალბათობების გამოთვლა, როდის დაამატოთ ისინი და როდის გაამრავლოთ ისინი. Ეს არ არის? ცოტა ვივარჯიშოთ.

Დავალებები:

ავიღოთ ბარათის გემბანი, რომელიც შეიცავს ბარათებს, მათ შორის ყვავი, გულები, 13 კლუბი და 13 ბრილიანტი. თითოეული კოსტუმის ტუზიდან.

1. რა არის ალბათობა ზედიზედ დახაზოთ კლუბები (პირველი ამოღებული კარტი ისევ გემბანში ჩავსვით და ავურიეთ)?
2. რა არის შავი ბარათის (ყვავი ან ჯოხების) დახატვის ალბათობა?
3. რა არის სურათის დახატვის ალბათობა (ჯეკი, დედოფალი, მეფე ან ტუზი)?
4. რა არის ზედიზედ ორი სურათის დახატვის ალბათობა (გემბანიდან ამოღებულ პირველ ბარათს ვაშორებთ)?
5. რა არის ალბათობა, რომ აიღოთ ორი კარტი, რომ შეაგროვოთ კომბინაცია - (ჯეკი, დედოფალი ან მეფე) და ტუზი.

პასუხები:

1. თითოეული ღირებულების ბარათების დასტაში ეს ნიშნავს:
2. მოვლენები დამოკიდებულია იმაზე, რომ პირველი ბარათის ამოღების შემდეგ კარტების რაოდენობა შემცირდა გემბანზე (ისევე როგორც "სურათების" რაოდენობა). გემბანზე თავდაპირველად არის ტოტალური ჯეკები, დედოფლები, მეფეები და ტუზები, რაც ნიშნავს პირველი კარტით "სურათის" დახატვის ალბათობას:

   მას შემდეგ, რაც ჩვენ ვაშორებთ პირველ ბარათს გემბანიდან, ეს ნიშნავს, რომ გემბანზე უკვე დარჩა ბარათები, მათ შორის სურათები. მეორე ბარათით სურათის დახატვის ალბათობა:

   ვინაიდან ჩვენ გვაინტერესებს სიტუაცია, როდესაც გემბანიდან ვიღებთ "სურათს" და "სურათს", ჩვენ უნდა გავამრავლოთ ალბათობები:

   პასუხი:

3. პირველი ბარათის ამოღების შემდეგ, გემბანში ბარათების რაოდენობა შემცირდება, ასე რომ, ორი ვარიანტი გვერგება.
   1) პირველი კარტი არის ტუზი, მეორე არის ჯეკი, დედოფალი ან მეფე
   2) პირველი კარტით ავიღებთ ჯეკს, დედოფალს ან მეფეს, ხოლო მეორით ტუზს. (ტუზი და (ჯეკი ან დედოფალი ან მეფე)) ან ((ჯეკი ან დედოფალი ან მეფე) და ტუზი). არ დაგავიწყდეთ გემბანზე ბარათების რაოდენობის შემცირება!

თუ თქვენ შეძელით ყველა პრობლემის გადაჭრა, მაშინ მშვენიერი ხართ! ახლა ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე ალბათობის თეორიის პრობლემებს თხილივით გაწყვეტთ!

ალბათობის თეორია. საშუალო დონე

მოდით შევხედოთ მაგალითს. ვთქვათ, ჩვენ ვისროლეთ სასიკვდილო. ეს როგორი ძვალია, იცი? ამას ეძახიან კუბს, რომელზეც ნომრებია გამოსახული. რამდენი სახე, ამდენი რიცხვი: რამდენამდე? მანამდე.

ასე რომ, ჩვენ ვაგდებთ კამათელს და გვინდა, რომ ის ამოვიდეს ან. და ჩვენ ვიღებთ მას.

ალბათობის თეორიაში ამბობენ რაც მოხდა სასიხარულო მოვლენა(არ აგვერიოს აყვავებულში).

თუ ეს მოხდა, ღონისძიებაც ხელსაყრელი იქნებოდა. საერთო ჯამში, მხოლოდ ორი ხელსაყრელი მოვლენა შეიძლება მოხდეს.

რამდენია არახელსაყრელი? ვინაიდან არსებობს ტოტალური შესაძლო მოვლენები, ეს ნიშნავს, რომ არახელსაყრელი არის მოვლენები (ეს არის თუ ან ამოვარდება).

განმარტება:

ალბათობა არის ხელსაყრელი მოვლენების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა შესაძლო მოვლენის რაოდენობასთან. ანუ ალბათობა გვიჩვენებს ყველა შესაძლო მოვლენის რა პროპორციაა ხელსაყრელი.

ისინი აღნიშნავენ ალბათობას ლათინური ასოებით (როგორც ჩანს, ინგლისური სიტყვიდან ალბათობა - ალბათობა).

მიღებულია ალბათობის გაზომვა პროცენტულად (იხ. თემები და). ამისათვის ალბათობის მნიშვნელობა უნდა გამრავლდეს. კამათლის მაგალითში, ალბათობა.

და პროცენტულად: .

მაგალითები (გადაწყვიტეთ თქვენთვის):

1. როგორია მონეტის სროლისას თავების მოხვედრის ალბათობა? რა არის სადესანტო თავების ალბათობა?
2. რა არის ლუწი რიცხვის მიღების ალბათობა ჯაგრისის სროლისას? რომელია უცნაური?
3. მარტივი, ლურჯი და წითელი ფანქრების ყუთში. შემთხვევით ვხატავთ ერთ ფანქარს. რა არის უბრალოების მიღების ალბათობა?

გადაწყვეტილებები:

1. რამდენი ვარიანტია? თავები და კუდები - მხოლოდ ორი. რამდენი მათგანია ხელსაყრელი? მხოლოდ ერთია არწივი. ასე რომ, ალბათობა

   კუდებთანაც ასეა: .

2. სულ ვარიანტები: (რამდენი გვერდი აქვს კუბს, ამდენი განსხვავებული ვარიანტი). ხელსაყრელი: (ეს ყველაფერი ლუწი რიცხვებია :).
   ალბათობა. რა თქმა უნდა, იგივეა კენტი რიცხვების შემთხვევაშიც.
3. სულ: . ხელსაყრელი:. ალბათობა:.

საერთო ალბათობა

ყუთში ყველა ფანქარი მწვანეა. რამდენია წითელი ფანქრის დახატვის ალბათობა? არ არსებობს შანსი: ალბათობა (ბოლოს და ბოლოს, ხელსაყრელი მოვლენები -).

ასეთ მოვლენას შეუძლებელს უწოდებენ.

რა არის მწვანე ფანქრის დახატვის ალბათობა? ზუსტად იმდენივეა ხელსაყრელი მოვლენები, რამდენიც არის მთლიანი მოვლენები (ყველა მოვლენა ხელსაყრელია). ასე რომ, ალბათობა უდრის ან.

ასეთ მოვლენას სანდო ეწოდება.

თუ ყუთი შეიცავს მწვანე და წითელ ფანქრებს, რა არის მწვანე ან წითელი დახატვის ალბათობა? Კიდევ ერთხელ. აღვნიშნოთ ეს: მწვანეს ამოღების ალბათობა ტოლია, წითელი კი ტოლია.

საერთო ჯამში, ეს ალბათობები ზუსტად ტოლია. ანუ ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობის ჯამი უდრის ან.

მაგალითი:

ფანქრების ყუთში მათ შორის არის ლურჯი, წითელი, მწვანე, სადა, ყვითელი, დანარჩენი კი ნარინჯისფერი. რა არის ალბათობა იმისა, რომ მწვანე არ დავხატო?

გამოსავალი:

ჩვენ გვახსოვს, რომ ყველა ალბათობა იკრიბება. და გამწვანების ალბათობა ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ მწვანე ფერის არ დახატვის ალბათობა ტოლია.

დაიმახსოვრეთ ეს ხრიკი:ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა არ მოხდება, უდრის მინუს ალბათობას, რომ მოხდეს მოვლენა.

დამოუკიდებელი მოვლენები და გამრავლების წესი

თქვენ გადაატრიალებთ მონეტას ერთხელ და გინდათ, რომ ის ორივეჯერ ამოვიდეს. რა არის ამის ალბათობა?

მოდით გავიაროთ ყველა შესაძლო ვარიანტი და განვსაზღვროთ რამდენია:

თავ-თავები, კუდები-თავები, თავები-კუდები, კუდები-კუდები. Სხვა რა?

სულ ვარიანტები. ამათგან მხოლოდ ერთი გვიწყობს: არწივი-არწივი. საერთო ჯამში, ალბათობა ტოლია.

ჯარიმა. ახლა მოდით, ერთხელ გადავაბრუნოთ მონეტა. მათემატიკა თავად გააკეთე. მოხდა? (პასუხი).

თქვენ შეიძლება შეამჩნიეთ, რომ ყოველი მომდევნო სროლის დამატებით, ალბათობა მცირდება ნახევარით. ზოგადი წესი ე.წ გამრავლების წესი:

იცვლება დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობა.

რა არის დამოუკიდებელი მოვლენები? ყველაფერი ლოგიკურია: ეს არის ის, რაც ერთმანეთზე არ არის დამოკიდებული. მაგალითად, როცა მონეტას რამდენჯერმე ვაგდებთ, ყოველ ჯერზე კეთდება ახალი სროლა, რომლის შედეგი არ არის დამოკიდებული ყველა წინა სროლაზე. ჩვენ შეგვიძლია ისევე მარტივად გადავაგდოთ ორი განსხვავებული მონეტა ერთდროულად.

მეტი მაგალითები:

1. კამათელი ორჯერ იყრება. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივეჯერ მივიღო?
2. მონეტა იყრება ერთხელ. რა არის იმის ალბათობა, რომ პირველად ამოვა თავები, შემდეგ კი ორჯერ კუდები?
3. მოთამაშე აგორებს ორ კამათელს. რა არის ალბათობა იმისა, რომ მათზე მოცემული რიცხვების ჯამი ტოლი იქნება?

პასუხები:

1. მოვლენები დამოუკიდებელია, რაც ნიშნავს, რომ გამრავლების წესი მუშაობს: .
2. თავების ალბათობა ტოლია. კუდების ალბათობა იგივეა. გამრავლება:
3. 12-ის მიღება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორი -კი შემოვიდა: .

შეუთავსებელი მოვლენები და დამატების წესი

მოვლენებს, რომლებიც ავსებენ ერთმანეთს სრული ალბათობით, ეწოდება შეუთავსებელი. როგორც სახელი გვთავაზობს, ისინი ერთდროულად არ შეიძლება მოხდეს. მაგალითად, თუ მონეტას გადავატრიალებთ, ის შეიძლება ამოვიდეს როგორც თავები, ასევე კუდები.

მაგალითი.

ფანქრების ყუთში მათ შორის არის ლურჯი, წითელი, მწვანე, სადა, ყვითელი, დანარჩენი კი ნარინჯისფერი. რა არის მწვანე ან წითელი დახატვის ალბათობა?

გამოსავალი .

მწვანე ფანქრის დახატვის ალბათობა ტოლია. წითელი -.

ხელსაყრელი მოვლენები ყველაფერში: მწვანე + წითელი. ეს ნიშნავს, რომ მწვანე ან წითელი დახატვის ალბათობა ტოლია.

იგივე ალბათობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ამ ფორმით: .

ეს არის დამატების წესი:შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობა ემატება.

შერეული ტიპის პრობლემები

მაგალითი.

მონეტა ორჯერ არის გადაყრილი. რა არის იმის ალბათობა, რომ რულონების შედეგები განსხვავებული იყოს?

გამოსავალი .

ეს ნიშნავს, რომ თუ პირველი შედეგი არის თავები, მეორე უნდა იყოს კუდები და პირიქით. გამოდის, რომ არსებობს ორი წყვილი დამოუკიდებელი მოვლენა და ეს წყვილი ერთმანეთთან შეუთავსებელია. როგორ არ დავბნედეთ სად გავამრავლოთ და სად დავამატოთ.

ასეთი სიტუაციებისთვის მარტივი წესი არსებობს. შეეცადეთ აღწეროთ რა მოხდება "AND" ან "OR" კავშირების გამოყენებით. მაგალითად, ამ შემთხვევაში:

უნდა ამოვიდეს (თავები და კუდები) ან (კუდები და თავები).

სადაც არის კავშირი „და“ იქნება გამრავლება, ხოლო სადაც არის „ან“ იქნება შეკრება:

თავად სცადე:

1. რა არის იმის ალბათობა, რომ თუ მონეტა ორჯერ იქნა გადაყრილი, მონეტა ორივეჯერ ერთ მხარეს მოხვდება?
2. კამათელი ორჯერ იყრება. რამდენია საერთო ქულების მიღების ალბათობა?

გადაწყვეტილებები:

1. (თავები დაეცა და კუდები დაეცა) ან (კუდები დაეცა და კუდები დაეცა): .
2. რა ვარიანტებია? და. შემდეგ:
   დაეცა (და) ან (და) ან (და): .

Სხვა მაგალითი:

ერთხელ გადააგდე მონეტა. რა არის ალბათობა იმისა, რომ თავები ერთხელ მაინც გამოჩნდნენ?

გამოსავალი:

ოჰ, როგორ არ მინდა ვარიანტების გავლა... თავ-კუდები-კუდები, არწივი-თავ-კუდები,... მაგრამ არაა საჭირო! გავიხსენოთ მთლიანი ალბათობა. Გახსოვს? რა არის იმის ალბათობა, რომ არწივი არასოდეს ამოვარდება? ეს მარტივია: თავები მუდმივად დაფრინავენ, ამიტომაც.

ალბათობის თეორია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ალბათობა არის ხელსაყრელი მოვლენების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა შესაძლო მოვლენის რაოდენობასთან.

დამოუკიდებელი მოვლენები

ორი მოვლენა დამოუკიდებელია, თუ ერთის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას.

საერთო ალბათობა

ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობა უდრის ().

ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა არ მოხდება, უდრის მინუს ალბათობას, რომ ეს მოხდება.

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის გამრავლების წესი

დამოუკიდებელი მოვლენების გარკვეული თანმიმდევრობის ალბათობა უდრის თითოეული მოვლენის ალბათობების ნამრავლს

შეუთავსებელი მოვლენები

შეუთავსებელი მოვლენები არის ის, რაც არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად ექსპერიმენტის შედეგად. რიგი შეუთავსებელი მოვლენები ქმნიან მოვლენების სრულ ჯგუფს.

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობა ემატება.

მას შემდეგ რაც აღვწერეთ რა უნდა მოხდეს კავშირების "AND" ან "OR" გამოყენებით, "AND"-ის ნაცვლად ჩვენ ვაყენებთ გამრავლების ნიშანს, ხოლო "OR"-ის ნაცვლად ვაყენებთ დამატებით ნიშანს.

გახდი YouClever-ის სტუდენტი,

მოემზადეთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ან მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის,

ასევე მიიღეთ წვდომა YouClever სახელმძღვანელოზე შეზღუდვების გარეშე...