ტანგენსის თვისებები. ტანგენტის ხაზი ტანგენტის წესი

განმარტება. წრეზე ტანგენსი არის სწორი ხაზი სიბრტყეში, რომელსაც აქვს ზუსტად ერთი საერთო წერტილი წრესთან.

აქ არის რამდენიმე მაგალითი:

წრე ცენტრით ოეხება სწორ ხაზს ლწერტილში ა

ნებისმიერი ადგილიდან მზუსტად ორი ტანგენტის დახატვა შეიძლება წრის გარეთ

განსხვავება ტანგენტს შორის ლ, სეკანტი ძვ.წ.და სწორი მ, რომელსაც არ აქვს საერთო წერტილები წრესთან

შეიძლება აქ დავასრულოთ, მაგრამ პრაქტიკა გვიჩვენებს, რომ საკმარისი არ არის განმარტების უბრალოდ დამახსოვრება - თქვენ უნდა ისწავლოთ ნახაზებში ტანგენტების დანახვა, მათი თვისებების ცოდნა და, გარდა ამისა, სწორად ივარჯიშოთ ამ თვისებების გამოყენებაში რეალური პრობლემების გადაჭრით. ამ ყველაფერს დღეს გავაკეთებთ.

ტანგენტების ძირითადი თვისებები

ნებისმიერი პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ოთხი ძირითადი თვისება. ორი მათგანი აღწერილია ნებისმიერ საცნობარო წიგნში/სახელმძღვანელოში, მაგრამ ბოლო ორი რაღაცნაირად დავიწყებულია, მაგრამ ამაოდ.

1. ერთი წერტილიდან გამოყვანილი ტანგენტური სეგმენტები ტოლია

ცოტა მაღლა ჩვენ უკვე ვისაუბრეთ ორი ტანგენტის შესახებ, რომლებიც შედგენილია ერთი წერტილიდან M. ასე რომ:

ერთი წერტილიდან გამოყვანილი წრის ტანგენსი ტოლია.

სეგმენტები ᲕᲐᲠ.და ბ.მ.თანაბარი

2. ტანგენსი პერპენდიკულარულია ტანგენციის წერტილამდე გამოყვანილ რადიუსზე

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ზემოთ მოცემულ სურათს. დავხატოთ რადიუსი ო.ა.და ო.ბ., რის შემდეგაც ვხვდებით, რომ კუთხეები OAMდა ო.ბ.მ.- სწორი.

შეხების წერტილამდე მიყვანილი რადიუსი ტანგენტის პერპენდიკულარულია.

ეს ფაქტი შეიძლება გამოყენებულ იქნას მტკიცებულების გარეშე ნებისმიერ პრობლემაში:

ტანგენტის წერტილთან მიყვანილი რადიუსი ტანგენტების პერპენდიკულარულია

სხვათა შორის, გაითვალისწინეთ: თუ დახატავთ სეგმენტს OM, მაშინ მივიღებთ ორ ტოლ სამკუთხედს: OAMდა ო.ბ.მ..

3. მიმართება ტანგენტსა და სეკანტს შორის

მაგრამ ეს უფრო სერიოზული ფაქტია და სკოლის მოსწავლეების უმეტესობამ ეს არ იცის. განვიხილოთ ტანგენსი და სეკანტი, რომელიც გადის ერთსა და იმავე საერთო წერტილზე მ. ბუნებრივია, სეკანტი მოგვცემს ორ სეგმენტს: წრის შიგნით (სეგმენტი ძვ.წ.- მას ასევე უწოდებენ აკორდს) და გარეთ (ასე ეძახიან - გარე ნაწილს მ.კ.).

მთელი სეკანტისა და მისი გარე ნაწილის ნამრავლი უდრის ტანგენტის სეგმენტის კვადრატს

კავშირი სეკანტსა და ტანგენტს შორის

4. კუთხე ტანგენტსა და აკორდს შორის

კიდევ უფრო მოწინავე ფაქტი, რომელიც ხშირად გამოიყენება რთული პრობლემების გადასაჭრელად. უაღრესად გირჩევთ მის გამოყენებას.

ტანგენტსა და აკორდს შორის კუთხე ტოლია ამ აკორდის მიერ დაქვეითებული ჩაწერილი კუთხის ტოლი.

საიდან მოდის აზრი? ბ? რეალურ პრობლემებში, როგორც წესი, ის სადღაც მდგომარეობაში "ჩნდება". აქედან გამომდინარე, მნიშვნელოვანია ვისწავლოთ ამ კონფიგურაციის ამოცნობა ნახაზებში.

ხანდახან ამას აქვს მნიშვნელობა :)

\[(\დიდი(\ტექსტი(ცენტრალური და ჩაწერილი კუთხეები)))\]

განმარტებები

ცენტრალური კუთხე არის კუთხე, რომლის წვერო მდებარეობს წრის ცენტრში.

ჩაწერილი კუთხე არის კუთხე, რომლის წვერო დევს წრეზე.

წრის რკალის გრადუსული ზომა არის ცენტრალური კუთხის ხარისხი, რომელიც მას ექვემდებარება.

თეორემა

ჩაწერილი კუთხის გრადუსული ზომა უდრის რკალის გრადუსიანი ზომის ნახევარს, რომელზეც ის ეყრდნობა.

მტკიცებულება

ჩვენ განვახორციელებთ მტკიცებულებას ორ ეტაპად: პირველი, დავამტკიცებთ დებულების მართებულობას იმ შემთხვევისთვის, როდესაც ჩაწერილი კუთხის ერთ-ერთი მხარე შეიცავს დიამეტრს. წერტილი $B$ იყოს ჩაწერილი კუთხის წვერო $ABC$ და $BC$ წრის დიამეტრი:

სამკუთხედი $AOB$ არის ტოლფერდა, $AO = OB$ , $\კუთხე AOC$ არის გარე, შემდეგ $\კუთხე AOC = \კუთხე OAB + \კუთხე ABO = 2\კუთხე ABC$, სად $\კუთხე ABC = 0,5\cdot\კუთხე AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)$.

ახლა განიხილეთ თვითნებური ჩაწერილი კუთხე $ABC$ . შემოხაზული კუთხის წვეროდან დავხატოთ წრის $BD$ დიამეტრი. არსებობს ორი შესაძლო შემთხვევა:

1) დიამეტრი ჭრის კუთხეს ორ კუთხად $\კუთხე ABD, \კუთხე CBD$ (რომელთაგან თითოეულისთვის თეორემა მართალია, როგორც ზემოთ დადასტურდა, შესაბამისად ის ასევე მართალია თავდაპირველი კუთხისთვის, რომელიც არის ამ კუთხების ჯამი. ორი და, შესაბამისად, ტოლია იმ რკალების ჯამის ნახევარს, რომლებსაც ისინი ეყრდნობიან, ანუ ტოლია იმ რკალის ნახევრისა, რომელზეც ის ეყრდნობა). ბრინჯი. 1.

2) დიამეტრმა არ გაჭრა კუთხე ორ კუთხად, მაშინ გვაქვს კიდევ ორი ახალი ჩაწერილი კუთხე $\კუთხე ABD, \კუთხე CBD$, რომლის გვერდი შეიცავს დიამეტრს, შესაბამისად, მათთვის თეორემა მართალია, მაშინ ის ასევე მართალია თავდაპირველი კუთხისთვის (რაც უდრის ამ ორი კუთხის სხვაობას, რაც იმას ნიშნავს, რომ უდრის რკალების ნახევრად სხვაობას, რომელზედაც ისინი ეყრდნობა, ანუ ტოლია იმ რკალის ნახევარს, რომელზეც ის ეყრდნობა) . ბრინჯი. 2.

შედეგები

1. ერთიდაიგივე რკალის ქვეშ მყოფი ჩაწერილი კუთხეები ტოლია.

2. ნახევარწრით დაქვეითებული ჩაწერილი კუთხე მართი კუთხეა.

3. ჩაწერილი კუთხე ტოლია იმავე რკალით დაქვეითებული ცენტრალური კუთხის ნახევარს.

\[(\დიდი(\ტექსტი(წრის ტანგენტი)))\]

განმარტებები

წრფისა და წრის ფარდობითი პოზიციების სამი ტიპი არსებობს:

1) სწორი ხაზი $a$ კვეთს წრეს ორ წერტილში. ასეთ ხაზს სეკანტური ხაზი ეწოდება. ამ შემთხვევაში მანძილი $d$ წრის ცენტრიდან სწორ ხაზამდე ნაკლებია წრის $R$ რადიუსზე (ნახ. 3).

2) სწორი ხაზი $b$ კვეთს წრეს ერთ წერტილში. ასეთ წრფეს ტანგენსი ეწოდება, ხოლო მათ საერთო წერტილს $B$ - ტანგენციის წერტილი. ამ შემთხვევაში $d=R$ (ნახ. 4).

თეორემა

1. წრის ტანგენსი პერპენდიკულარულია მიზიდულობის წერტილამდე გამოყვანილი რადიუსზე.

2. თუ წრფე გადის წრის რადიუსის ბოლოში და ამ რადიუსზე პერპენდიკულარულია, მაშინ ის წრის ტანგენტია.

შედეგი

ერთი წერტილიდან წრეზე დახატული ტანგენტური მონაკვეთები ტოლია.

მტკიცებულება

მოდით დავხატოთ ორი ტანგენსი $KA$ და $KB$ წრეზე $K$:

ეს ნიშნავს, რომ $OA\perp KA, OB\perp KB$ რადიუსებს ჰგავს. მართკუთხა სამკუთხედები $\სამკუთხედი KAO$ და $\სამკუთხედი KBO$ ტოლია ფეხისა და ჰიპოტენუზაში, შესაბამისად, $KA=KB$ .

შედეგი

წრის ცენტრი $O$ დევს კუთხის ბისექტორზე $AKB$, რომელიც წარმოიქმნება ერთი და იგივე წერტილიდან გამოყვანილი ორი ტანგენტით.

\[(\დიდი(\ტექსტი(კუთხებთან დაკავშირებული თეორემები)))\]

თეორემა სეკანტებს შორის კუთხის შესახებ

ერთი და იმავე წერტილიდან გამოყვანილ ორ სეკანტს შორის კუთხე უდრის ნახევრად განსხვავებას მათ მიერ მოჭრილი უფრო დიდი და პატარა რკალების ხარისხში.

მტკიცებულება

დაე, $M$ იყოს წერტილი, საიდანაც გამოყვანილია ორი სეკანტი, როგორც ეს ნაჩვენებია სურათზე:

ეს ვაჩვენოთ $\ კუთხე DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\ Angle DAB$ არის სამკუთხედის გარე კუთხე $MAD$, მაშინ $\კუთხე DAB = \კუთხე DMB + \კუთხე MDA$, სად $\კუთხე DMB = \კუთხე DAB - \კუთხე MDA$, მაგრამ კუთხეები $\კუთხე DAB$ და $\კუთხე MDA$ ჩაწერილია, მაშინ $\ კუთხე DMB = \კუთხე DAB - \კუთხე MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$რისი დამტკიცება იყო საჭირო.

თეორემა გადამკვეთ აკორდებს შორის კუთხის შესახებ

კუთხე ორ გადამკვეთ აკორდს შორის უდრის მათ მიერ მოჭრილი რკალების ხარისხობრივი ზომების ჯამის ნახევარს: \[\კუთხე CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

მტკიცებულება

$\კუთხე BMA = \კუთხე CMD$ ვერტიკალურად.

სამკუთხედიდან $AMD$ : $\კუთხე AMD = 180^\circ - \კუთხე BDA - \კუთხე CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)$.

მაგრამ $\კუთხე AMD = 180^\circ - \კუთხე CMD$, საიდანაც ვასკვნით, რომ \[\კუთხე CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ ღიმილი\over(CD)).\]

თეორემა აკორდსა და ტანგენტს შორის კუთხის შესახებ

ტანგენტსა და აკორდს შორის, რომელიც გადის ტანგენციის წერტილს შორის, ტოლია აკორდის მიერ დაქვეითებული რკალის გრადუსის ნახევარს.

მტკიცებულება

სწორი ხაზი $a$ შეეხოს წრეს $A$, $AB$ არის ამ წრის აკორდი, $O$ არის მისი ცენტრი. დაე, $OB$ შემცველი წრფე გადაიკვეთოს $a$ წერტილში $M$ . ეს დავამტკიცოთ $\ კუთხე BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)$.

ავღნიშნოთ $\კუთხე OAB = \alpha$ . ვინაიდან $OA$ და $OB$ რადიუსია, მაშინ $OA = OB$ და $\კუთხე OBA = \კუთხე OAB = \ალფა$. ამრიგად, $\buildrel\smile\over(AB) = \კუთხე AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$.

ვინაიდან $OA$ არის ტანგენტის წერტილთან დახატული რადიუსი, მაშინ $OA\perp a$, ანუ $\კუთხე OAM = 90^\circ$, შესაბამისად, $\ კუთხე BAM = 90^\circ - \კუთხე OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)$.

თეორემა რკალებზე, რომლებიც დაქვეითებულია თანაბარი აკორდებით

თანაბარი აკორდები ექვემდებარება ნახევარწრეებზე პატარა რკალებს.

და პირიქით: თანაბარი რკალი ქვეითდება თანაბარი აკორდებით.

მტკიცებულება

1) მოდით $AB=CD$ . დავამტკიცოთ, რომ რკალის პატარა ნახევარწრილები.

სამ მხარეს, შესაბამისად, $\კუთხე AOB=\კუთხე COD$ . მაგრამ იმიტომ $\კუთხე AOB, \კუთხე COD$ - ცენტრალური კუთხეები, რომლებიც მხარს უჭერენ რკალებს $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$შესაბამისად, მაშინ $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) თუ $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, ეს $\სამკუთხედი AOB=\სამკუთხედი COD$ორ მხარეს $AO=BO=CO=DO$ და მათ შორის კუთხე $\კუთხე AOB=\კუთხე COD$ . ამიტომ, და $AB=CD$ .

თეორემა

თუ რადიუსი ორად ყოფს აკორდს, მაშინ ის მის პერპენდიკულარულია.

საპირისპიროც მართალია: თუ რადიუსი აკორდის პერპენდიკულარულია, მაშინ გადაკვეთის ადგილას ის ორად ყოფს მას.

მტკიცებულება

1) მოდით $AN=NB$ . მოდით დავამტკიცოთ, რომ $OQ\perp AB$ .

განვიხილოთ $\სამკუთხედი AOB$ : ის ტოლფერდაა, რადგან $OA=OB$ – წრის რადიუსი. იმიტომ რომ $ON$ არის შუალედი, რომელიც დახატულია ფუძემდე, შემდეგ ის ასევე არის სიმაღლე, შესაბამისად, $ON\perp AB$ .

2) მოდით $OQ\perp AB$ . მოდით დავამტკიცოთ, რომ $AN=NB$ .

ანალოგიურად, $\სამკუთხედი AOB$ არის ტოლფერდა, $ON$ არის სიმაღლე, შესაბამისად, $ON$ არის მედიანა. ამიტომ, $AN=NB$ .

\[(\Large(\text(თეორემები, რომლებიც დაკავშირებულია სეგმენტების სიგრძეებთან)))\]

თეორემა აკორდის სეგმენტების ნამრავლის შესახებ

თუ წრის ორი აკორდი იკვეთება, მაშინ ერთი აკორდის სეგმენტების ნამრავლი უდრის მეორე აკორდის სეგმენტების ნამრავლს.

მტკიცებულება

მოდით, აკორდები $AB$ და $CD$ გადაიკვეთონ $E$ წერტილში.

განვიხილოთ სამკუთხედები $ADE$ და $CBE$ . ამ სამკუთხედებში კუთხეები $1$ და $2$ ტოლია, რადგან ისინი ჩაწერილია და ეყრდნობა იმავე რკალს $BD$, ხოლო კუთხეები $3$ და $4$ ტოლია. როგორც ვერტიკალური. სამკუთხედები $ADE$ და $CBE$ მსგავსია (სამკუთხედების მსგავსების პირველ კრიტერიუმზე დაყრდნობით).

მერე $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, საიდანაც $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

ტანგენსი და სეკანტური თეორემა

ტანგენტური მონაკვეთის კვადრატი უდრის სეკანტისა და მისი გარე ნაწილის ნამრავლს.

მტკიცებულება

დაე, ტანგენსმა გაიაროს $M$ წერტილი და შეეხო წრეს $A$ წერტილში. ნება მიეცით სეკანტმა გაიაროს $M$ წერტილი და გადაკვეთოს წრე $B$ და $C$ წერტილებზე ისე, რომ $MB< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

განვიხილოთ სამკუთხედები $MBA$ და $MCA$ : $\კუთხე M$ საერთოა, $\ კუთხე BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)$. ტანგენტსა და სეკანტს შორის კუთხის შესახებ თეორემის მიხედვით, $\კუთხე BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \კუთხე BCA$. ამრიგად, სამკუთხედები $MBA$ და $MCA$ მსგავსია ორი კუთხით.

სამკუთხედების $MBA$ და $MCA$ მსგავსებიდან გვაქვს: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$, რომელიც უდრის $MB\cdot MC = MA^2$ .

შედეგი

$O$ წერტილიდან მისი გარეგანი ნაწილის მიერ გამოყვანილი სეკანტის ნამრავლი არ არის დამოკიდებული $O$ წერტილიდან გამოყვანილი სეკანტის არჩევანზე.

ქულები $x_0\in\mathbb(R)$ და მასში დიფერენცირებადია: $f \in \mathcal(D)(x_0)$ . ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე $ვ$ წერტილში $x_0$ ეწოდება განტოლებით მოცემული წრფივი ფუნქციის გრაფიკი $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\ოთხი x\in \mathbb(R)$ .

თუ ფუნქცია

ვ

აქვს წერტილში

x_0

უსასრულო წარმოებული

f"(x_0) = \pm \infty,

მაშინ ტანგენსი ამ წერტილში არის განტოლებით მოცემული ვერტიკალური ხაზი

x = x_0.

კომენტარი

პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ტანგენსი ხაზის გრაფიკი გადის წერტილში $(x_0,f(x_0))$ . კუთხე $\ალფა$ მრუდის ტანგენტსა და Ox ღერძს შორის აკმაყოფილებს განტოლებას

$\ოპერატორის სახელი(tg)\,\alpha = f"(x_0)= k,$

სად $\ოპერატორის სახელი (tg)$ აღნიშნავს ტანგენტს და $\ოპერატორის სახელი (k)$ - ტანგენტური ფერდობის კოეფიციენტი. წარმოებული ერთ წერტილში $x_0$ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრილობის ტოლია $y = f(x)$ ამ ეტაპზე.

ტანგენტი, როგორც სეკანტის ზღვრული პოზიცია

დაე $f\ კოლონი U(x_0) \R-მდე$ და $x_1 \ U-ში (x_0).$ შემდეგ წერტილებში გადის სწორი ხაზი $(x_0,f(x_0))$ და $(x_1,f(x_1))$ მოცემული განტოლებით

$y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

ეს ხაზი გადის წერტილში $(x_0,f(x_0))$ ვინმესთვის $x_1\ U (x_0),$ და მისი დახრის კუთხე $\ალფა (x_1)$ აკმაყოფილებს განტოლებას

$\ოპერატორის სახელი(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

წარმოებული ფუნქციის არსებობის გამო $ვ$ წერტილში $x_0,$ მიდის ლიმიტამდე $x_1 \ to x_0,$ ჩვენ ვხვდებით, რომ არსებობს ზღვარი

$\lim\limits_(x_1 \ x_0-მდე) \ოპერატორის სახელი(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

და არქტანგენტისა და შემზღუდველი კუთხის უწყვეტობის გამო

$\alpha = \ოპერატორის სახელი(arctg)\,f"(x_0).$

ხაზი, რომელიც გადის წერტილს $(x_0,f(x_0))$ და აქვს დახრილობის მაქსიმალური კუთხე, რომელიც აკმაყოფილებს $\ოპერატორის სახელი(tg)\,\alpha = f"(x_0),$ მოცემულია ტანგენტის განტოლებით:

$y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0).$

წრის ტანგენტი

სწორ ხაზს, რომელსაც აქვს ერთი საერთო წერტილი წრესთან და დევს მასთან ერთსა და იმავე სიბრტყეში, წრეზე ტანგენსი ეწოდება.

Თვისებები

წრის ტანგენსი პერპენდიკულარულია ტანგენციის წერტილამდე მიყვანილი რადიუსზე.
ერთი წერტილიდან გამოყვანილი წრის ტანგენსი ტოლია და ქმნის ტოლ კუთხეებს სწორი ხაზით, რომელიც გადის ამ წერტილსა და წრის ცენტრში.
ერთეული რადიუსის წრეზე დახატული ტანგენტის სეგმენტის სიგრძე, რომელიც აღებულია ტანგენტის წერტილსა და წრის ცენტრიდან გამოყვანილ სხივთან ტანგენტის გადაკვეთის წერტილს შორის, არის კუთხის ტანგენსი ამ სხივსა და სხივს შორის. მიმართულება წრის ცენტრიდან ტანგენციის წერტილამდე. „ტანგენტი“ ლათ. ტანგენტები- "ტანგენსი".

ვარიაციები და განზოგადებები

ცალმხრივი ნახევრად ტანგენტები

თუ არსებობს სწორი წარმოებული $f"_+ (x_0)< \infty,$ რომ მარჯვენა ნახევრად ტანგენსიფუნქციის გრაფიკამდე $ვ$ წერტილში $x_0$ სხივს უწოდებენ

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x\geqslant x_0.

თუ არსებობს მარცხენა წარმოებული $f"_-(x_0)< \infty,$ რომ დარჩა ნახევრად ტანგენტიფუნქციის გრაფიკამდე $ვ$ წერტილში $x_0$ სხივს უწოდებენ

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.

თუ არსებობს უსასრულო მარჯვენა წარმოებული $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $ვ$ წერტილში $x_0$ სხივს უწოდებენ

x = x_0,\;  y\geqslant f(x_0)\;  (y \leqslant f(x_0)).

თუ არის უსასრულო მარცხენა წარმოებული $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ შემდეგ ფუნქციის გრაფიკის მარჯვენა ნახევარ-ტანგენსი $ვ$ წერტილში $x_0$ სხივს უწოდებენ

x = x_0,\;  y \leqslant f(x_0)\;  (y \geqslant f(x_0)).

იხილეთ ასევე

ნორმალური, ბინორმალური

დაწერეთ მიმოხილვა სტატიის შესახებ "ტანგენციალური ხაზი"

ლიტერატურა

ტოპონოგოვი V.A.მოსახვევებისა და ზედაპირების დიფერენციალური გეომეტრია. - ფიზმათკნიგა, 2012. - ISBN 9785891552135.
// ბროკჰაუზისა და ეფრონის ენციკლოპედიური ლექსიკონი: 86 ტომად (82 ტომი და 4 დამატებითი). - პეტერბურგი. , 1890-1907 წწ.

ტანგენტის ხაზის დამახასიათებელი ამონაწერი

- ადგილებზე! - დაუძახა ახალგაზრდა ოფიცერმა პიერის ირგვლივ შეკრებილ ჯარისკაცებს. ეს ახალგაზრდა ოფიცერი, როგორც ჩანს, პირველად ან მეორედ ასრულებდა თავის თანამდებობას და ამიტომ განსაკუთრებული სიცხადით და ფორმალურობით ეპყრობოდა როგორც ჯარისკაცებს, ასევე მეთაურს.
ქვემეხებისა და თოფების მოძრავი ცეცხლი გაძლიერდა მთელ ველზე, განსაკუთრებით მარცხნივ, სადაც იყო ბაგრატიონის ციმციმები, მაგრამ გასროლის კვამლის გამო, შეუძლებელი იყო თითქმის არაფრის დანახვა იმ ადგილიდან, სადაც პიერი იმყოფებოდა. უფრო მეტიც, ერთი შეხედვით ოჯახურ (ყველასგან განცალკევებულ) ადამიანთა წრეზე დაკვირვებამ, რომლებიც ბატარეაზე იმყოფებოდნენ, პიერის მთელი ყურადღება მიიპყრო. მისი პირველი უგონო მხიარული მღელვარება, რომელიც წარმოიშვა ბრძოლის ველის ხილვითა და ხმებით, ახლა შეიცვალა, განსაკუთრებით მდელოზე მწოლიარე ამ მარტოხელა ჯარისკაცის ხილვის შემდეგ, სხვა გრძნობამ. ახლა თხრილის ფერდობზე იჯდა და მის გარშემო არსებულ სახეებს აკვირდებოდა.
ათი საათისთვის ოცი ადამიანი უკვე წაიყვანეს ბატარეიდან; ორი იარაღი გატყდა, ჭურვები უფრო და უფრო ხშირად ურტყამდა ბატარეას და შორი მანძილის ტყვიები შემოფრინდა, ზუზუნი და სტვენა. მაგრამ ხალხმა, ვინც ბატარეაზე იმყოფებოდა, ეს არ შეამჩნია; ყველა მხრიდან მხიარული საუბარი და ხუმრობები ისმოდა.
-ჩინენკა! - შესძახა ჯარისკაცმა სასტვენით მოახლოებულ ყუმბარას. - Აქ არა! ქვეითებს! – დაამატა მეორემ სიცილით და შეამჩნია, რომ ყუმბარა გადმოფრინდა და გადასაფარებელ რიგებს მოხვდა.
- Რა მეგობარი? - გაეცინა მეორე ჯარისკაცს მფრინავი ქვემეხის ქვეშ მოკალათებულ მამაკაცს.
გალავანთან რამდენიმე ჯარისკაცი შეიკრიბა და უყურებდა რა ხდებოდა წინ.
”და მათ ჯაჭვი ჩამოართვეს, ხედავთ, ისინი უკან დაბრუნდნენ”, - თქვეს მათ და მიუთითეს ლილვის გასწვრივ.
"დააკვირდით თქვენს საქმეს", - დაუყვირა მათ მოხუცმა უნტერ-ოფიცერმა. "ჩვენ დავბრუნდით, ამიტომ დროა დავბრუნდეთ." - და უნტერ-ოფიცერმა, ერთ-ერთ ჯარისკაცს მხარზე აიყვანა, მუხლით უბიძგა. იყო სიცილი.
- მეხუთე თოფისკენ გადააგდე! - შესძახეს ერთი მხრიდან.
”მყისვე, უფრო მეგობრულად, ბურლატსკის სტილში”, გაისმა იარაღის შეცვლის მხიარული ტირილი.
”ოჰ, მე კინაღამ დავამარცხე ჩვენი ბატონის ქუდი”, - ჩაიცინა აწითლებულმა ჯოკერმა პიერს და კბილები გამოაჩინა. - ეჰ, მოუხერხებელი, - დაუმატა მან საყვედურით თოფს, რომელიც საჭესა და მამაკაცის ფეხს მოხვდა.
- მობრძანდით, მელიებო! - გაეცინა მეორეს დაჭრილს უკან ბატარეაში შესულ მილიციელებს.
- ფაფა გემრიელი არ არის? ოხ, ყვავები, დახოცეს! - უყვირეს მილიციას, რომელიც მოწყვეტილი ფეხით ჯარისკაცის წინ ყოყმანობდა.
"რაღაც სხვა, ბიჭო", - მიბაძა მათ მამაკაცებს. - მათ არ უყვართ ვნება.
პიერმა შეამჩნია, თუ როგორ იფეთქებდა ყოველი ქვემეხის გასროლის შემდეგ, ყოველი წაგების შემდეგ, ზოგადი აღორძინება სულ უფრო და უფრო იფეთქებდა.
თითქოს მოახლოებული ჭექა-ქუხილიდან, უფრო და უფრო ხშირად, უფრო მსუბუქად და კაშკაშა, ფარული, აალებული ცეცხლის ელვა აფრქვევდა ყველა ამ ხალხის სახეზე (თითქოს ეწინააღმდეგებოდა იმას, რაც ხდებოდა).
პიერი არ ელოდა ბრძოლის ველს და არ აინტერესებდა იმის ცოდნა, თუ რა ხდებოდა იქ: იგი მთლიანად იყო ჩაფლული ამ მზარდი ცეცხლის ჭვრეტაში, რომელიც იმავე გზით (იგი გრძნობდა) იფეთქებდა მის სულში.
ათ საათზე ქვეითი ჯარისკაცები, რომლებიც ბატარეის წინ იმყოფებოდნენ ბუჩქებში და მდინარე კამენკას გასწვრივ, უკან დაიხიეს. ბატარეიდან ჩანდა, როგორ გარბოდნენ უკან და დაჭრილები იარაღზე ატარებდნენ. ვიღაც გენერალი თავისი შემადგენლობით შემოვიდა ბორცვში და, პოლკოვნიკთან საუბრის შემდეგ, გაბრაზებულმა შეხედა პიერს, კვლავ დაეშვა და ბატარეის უკან მდგარი ქვეითთა საფარს უბრძანა დაწოლილიყო, რათა ნაკლებად ექვემდებარებოდა სროლას. ამის შემდეგ ქვეითთა რიგებში, ბატარეის მარჯვნივ, დრამისა და ბრძანების შეძახილები ისმოდა და ბატარეიდან ჩანდა, როგორ მიიწევდნენ წინ ქვეითების რიგები.
პიერმა ლილვიდან გაიხედა. განსაკუთრებით ერთმა სახემ მოჰკრა თვალი. ეს იყო ოფიცერი, რომელიც ფერმკრთალი ახალგაზრდა სახით, დაბლა დაშვებული მახვილით უკან მიდიოდა და უხერხულად იყურებოდა ირგვლივ.
ქვეითი ჯარისკაცების რიგები კვამლში გაუჩინარდნენ და მათი ხანგრძლივი ყვირილი და ხშირი სროლა ისმოდა. რამდენიმე წუთის შემდეგ იქიდან დაჭრილებისა და საკაცეების ბრბომ გაიარა. ჭურვებმა კიდევ უფრო ხშირად დაიწყეს ბატარეის დარტყმა. რამდენიმე ადამიანი გაუსუფთავებლად იწვა. ჯარისკაცები უფრო დატვირთულად და ანიმაციურად მოძრაობდნენ იარაღის გარშემო. პიერს ყურადღება აღარავის მიუქცევია. ერთი-ორჯერ უყვირეს გაბრაზებულმა გზაზე ყოფნის გამო. უფროსი ოფიცერი, წარბშეკრული სახით, დიდი, სწრაფი ნაბიჯებით გადადიოდა ერთი იარაღიდან მეორეზე. ახალგაზრდა ოფიცერი, კიდევ უფრო გაწითლებული, კიდევ უფრო გულმოდგინედ უბრძანა ჯარისკაცებს. ჯარისკაცები აჭმევდნენ მუხტებს, მოტრიალდნენ, დატვირთეს და დაძაბული ფაქიზით ასრულებდნენ თავიანთ საქმეს. სიარულისას ახტებოდნენ, თითქოს წყაროებზე.

სეკანტი, ტანგენტი - ეს ყველაფერი გეომეტრიის გაკვეთილებზე ასჯერ იყო მოსმენილი. მაგრამ სკოლის დამთავრება უკან გვრჩება, გადის წლები და მთელი ეს ცოდნა დავიწყებულია. რა უნდა გახსოვდეს?

არსი

ტერმინი „წრის ტანგენტი“ ალბათ ყველასთვის ნაცნობია. მაგრამ ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ყველა შეძლებს სწრაფად ჩამოაყალიბოს მისი განმარტება. იმავდროულად, ტანგენტი არის სწორი ხაზი, რომელიც მდებარეობს იმავე სიბრტყეში, როგორც წრე, რომელიც კვეთს მას მხოლოდ ერთ წერტილში. შეიძლება იყოს მათი დიდი რაოდენობა, მაგრამ მათ ყველას აქვთ იგივე თვისებები, რაც ქვემოთ იქნება განხილული. როგორც თქვენ მიხვდით, ტანგენციის წერტილი არის ადგილი, სადაც წრე და სწორი ხაზი იკვეთება. თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში არის მხოლოდ ერთი, მაგრამ თუ უფრო მეტია, მაშინ ეს იქნება სეკანტი.

აღმოჩენისა და შესწავლის ისტორია

ტანგენტის კონცეფცია გაჩნდა ძველ დროში. ამ სწორი ხაზების აგება ჯერ წრეზე, შემდეგ კი ელიფსებზე, პარაბოლებზე და ჰიპერბოლებზე მმართველისა და კომპასის გამოყენებით განხორციელდა გეომეტრიის განვითარების საწყის ეტაპებზე. რა თქმა უნდა, ისტორიამ არ შემოინახა აღმომჩენის სახელი, მაგრამ აშკარაა, რომ მაშინაც კი, ადამიანები საკმაოდ კარგად იცნობდნენ წრეზე ტანგენტის თვისებებს.

თანამედროვე დროში ამ ფენომენის მიმართ ინტერესი კვლავ გაჩნდა - დაიწყო ამ კონცეფციის შესწავლის ახალი რაუნდი, რომელიც შერწყმულია ახალი მრუდების აღმოჩენასთან. ამრიგად, გალილეომ შემოიტანა ციკლოიდის კონცეფცია, ფერმამ და დეკარტმა კი ააშენეს მასზე ტანგენსი. რაც შეეხება წრეებს, როგორც ჩანს, ამ მხარეში ძველთათვის საიდუმლო არ არის დარჩენილი.

Თვისებები

გადაკვეთის წერტილამდე მიყვანილი რადიუსი იქნება ეს

მთავარი, მაგრამ არა ერთადერთი თვისება, რომელიც აქვს წრეზე ტანგენტს. კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი მოიცავს ორ სწორ ხაზს. ასე რომ, წრის გარეთ მდებარე ერთი წერტილის გავლით, ორი ტანგენტის დახატვა შეიძლება და მათი სეგმენტები ტოლი იქნება. ამ თემაზე კიდევ ერთი თეორემაა, მაგრამ ის იშვიათად ისწავლება როგორც სტანდარტული სასკოლო კურსი, თუმცა უაღრესად მოსახერხებელია ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად. ასე ჟღერს. ერთი წერტილიდან, რომელიც მდებარეობს წრის გარეთ, მასზე ტანგენსი და სეკანტია გამოყვანილი. იქმნება სეგმენტები AB, AC და AD. A არის ხაზების გადაკვეთა, B არის ტანგენციის წერტილი, C და D არის გადაკვეთები. ამ შემთხვევაში მოქმედი იქნება შემდეგი ტოლობა: წრეზე ტანგენსის სიგრძე, კვადრატში, ტოლი იქნება AC და AD სეგმენტების ნამრავლის.

ზემოაღნიშნულს აქვს მნიშვნელოვანი დასკვნა. წრის თითოეული წერტილისთვის შეგიძლიათ ააგოთ ტანგენსი, მაგრამ მხოლოდ ერთი. ამის დასტური საკმაოდ მარტივია: თეორიულად მასზე რადიუსიდან პერპენდიკულარის ჩამოშვებით, აღმოვაჩენთ, რომ წარმოქმნილი სამკუთხედი ვერ იარსებებს. და ეს ნიშნავს, რომ ტანგენსი ერთადერთია.

მშენებლობა

გეომეტრიის სხვა პრობლემებს შორის არის სპეციალური კატეგორია, როგორც წესი, არა

უყვართ მოსწავლეებს და სტუდენტებს. ამ კატეგორიის პრობლემების გადასაჭრელად საჭიროა მხოლოდ კომპასი და სახაზავი. ეს არის სამშენებლო ამოცანები. ასევე არის ტანგენტის ასაგებად.

ასე რომ, მოცემულია წრე და წერტილი, რომელიც მდებარეობს მის საზღვრებს გარეთ. და აუცილებელია მათში ტანგენტის დახატვა. როგორ გავაკეთოთ ეს? უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა დახაზოთ სეგმენტი O წრის ცენტრსა და მოცემულ წერტილს შორის. შემდეგ გამოიყენეთ კომპასი, რომ გაყოთ იგი შუაზე. ამისათვის თქვენ უნდა დააყენოთ რადიუსი - ორიგინალური წრის ცენტრსა და ამ წერტილს შორის მანძილის ნახევარზე ცოტა მეტი. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა ააწყოთ ორი გადამკვეთი რკალი. უფრო მეტიც, კომპასის რადიუსის შეცვლა არ არის საჭირო და წრის თითოეული ნაწილის ცენტრი იქნება ორიგინალური წერტილი და O, შესაბამისად. რკალების კვეთა უნდა იყოს დაკავშირებული, რაც სეგმენტს შუაზე გაყოფს. დააყენეთ რადიუსი კომპასზე ამ მანძილის ტოლი. შემდეგი, ცენტრით გადაკვეთის წერტილში, ააგეთ კიდევ ერთი წრე. მასზე იქნება თავდაპირველი წერტილი და O ამ შემთხვევაში, იქნება კიდევ ორი გადაკვეთა პრობლემაში მოცემულ წრესთან. ისინი იქნებიან შეხების წერტილები თავდაპირველად მითითებული წერტილისთვის.

სწორედ წრის ტანგენტების აგებამ გამოიწვია დაბადება

დიფერენციალური გაანგარიშება. ამ თემაზე პირველი ნაშრომი გამოაქვეყნა ცნობილმა გერმანელმა მათემატიკოსმა ლაიბნიცმა. იგი ითვალისწინებდა მაქსიმუმების, მინიმებისა და ტანგენტების პოვნის შესაძლებლობას წილადი და ირაციონალური სიდიდეების მიუხედავად. ახლა ის გამოიყენება მრავალი სხვა გამოთვლებისთვის.

გარდა ამისა, წრის ტანგენსი დაკავშირებულია ტანგენტის გეომეტრიულ მნიშვნელობასთან. აქედან მოდის მისი სახელი. ლათინურიდან თარგმნა tangens ნიშნავს "ტანგენტს". ამრიგად, ეს კონცეფცია ასოცირდება არა მხოლოდ გეომეტრიასთან და დიფერენციალურ გამოთვლებთან, არამედ ტრიგონომეტრიასთან.

ორი წრე

ტანგენსი ყოველთვის არ მოქმედებს მხოლოდ ერთ ფიგურაზე. თუ შეიძლება დიდი რაოდენობის სწორი ხაზების დახატვა ერთ წრეზე, მაშინ რატომ არა პირიქით? შეუძლია. მაგრამ ამოცანა ამ შემთხვევაში სერიოზულად რთულდება, რადგან ორ წრეზე ტანგენსი შეიძლება არ გაიაროს არც ერთ წერტილში და ყველა ამ ფიგურის შედარებითი პოზიცია შეიძლება იყოს ძალიან

განსხვავებული.

სახეობები და ჯიშები

როდესაც ვსაუბრობთ ორ წრეზე და ერთ ან მეტ სწორ ხაზზე, მაშინაც კი, თუ ცნობილია, რომ ეს ტანგენტებია, მაშინვე არ არის ნათელი, თუ როგორ მდებარეობს ყველა ეს ფიგურა ერთმანეთთან მიმართებაში. ამის საფუძველზე განასხვავებენ რამდენიმე ჯიშს. ამრიგად, წრეებს შეიძლება ჰქონდეთ ერთი ან ორი საერთო წერტილი ან საერთოდ არ ჰქონდეთ. პირველ შემთხვევაში ისინი იკვეთებიან, მეორეში კი შეეხებიან. და აქ ორი ჯიში გამოირჩევა. თუ ერთი წრე, როგორც იქნა, ჩართულია მეორეში, მაშინ ტანგენციას ეწოდება შიდა, თუ არა, მაშინ გარე. თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ ფიგურების ფარდობითი პოზიცია არა მხოლოდ ნახაზზე დაყრდნობით, არამედ მათ რადიუსების ჯამისა და მათ ცენტრებს შორის მანძილის შესახებ. თუ ეს ორი რაოდენობა ტოლია, მაშინ წრეები ეხება. თუ პირველი დიდია, ისინი იკვეთებიან, ხოლო თუ ნაკლებია, მაშინ საერთო წერტილები არ აქვთ.

იგივე ეხება სწორ ხაზებს. ნებისმიერი ორი წრესთვის, რომელსაც არ აქვს საერთო წერტილები, შეგიძლიათ

შექმენით ოთხი ტანგენსი. ორი მათგანი გადაიკვეთება ფიგურებს შორის, მათ შიდა ეწოდება. რამდენიმე სხვა არის გარე.

თუ ვსაუბრობთ წრეებზე, რომლებსაც აქვთ ერთი საერთო წერტილი, მაშინ პრობლემა მნიშვნელოვნად გამარტივებულია. ფაქტია, რომ ნებისმიერი ფარდობითი პოზიციისთვის, ამ შემთხვევაში მათ ექნებათ მხოლოდ ერთი ტანგენსი. და ის გაივლის მათი გადაკვეთის წერტილს. ასე რომ, მშენებლობა არ იქნება რთული.

თუ ფიგურებს აქვთ გადაკვეთის ორი წერტილი, მაშინ მათთვის შეიძლება აშენდეს სწორი ხაზი, რომელიც ემთხვევა ორივეს და მეორის წრეს, მაგრამ მხოლოდ გარე. ამ პრობლემის გადაწყვეტა მსგავსია, რაც ქვემოთ იქნება განხილული.

Პრობლემის გადაჭრა

ორივე წრეზე შიდა და გარე ტანგენსი არც ისე მარტივია ასაგებად, თუმცა ამ პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია. ფაქტია, რომ ამისთვის გამოიყენება დამხმარე ფიგურა, ასე რომ თქვენ თავად უნდა მოიფიქროთ ეს მეთოდი

საკმაოდ პრობლემური. ასე რომ, მოცემულია ორი წრე სხვადასხვა რადიუსით და ცენტრებით O1 და O2. მათთვის თქვენ უნდა ააგოთ ორი წყვილი ტანგენტები.

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა ააწყოთ დამხმარე უფრო დიდი წრის ცენტრთან ახლოს. ამ შემთხვევაში, განსხვავება ორი საწყისი ფიგურის რადიუსებს შორის უნდა დადგინდეს კომპასზე. დამხმარე წრის ტანგენტები აგებულია პატარა წრის ცენტრიდან. ამის შემდეგ, O1-დან და O2-დან ამ ხაზებამდე პერპენდიკულარები იხაზება, სანამ ისინი არ გადაიკვეთება თავდაპირველ ფიგურებთან. როგორც ტანგენსის ძირითადი თვისებიდან ჩანს, ორივე წრეზე საჭირო წერტილები გვხვდება. პრობლემა მოგვარებულია, ყოველ შემთხვევაში, პირველი ნაწილი.

შიდა ტანგენტების ასაგებად მოგიწევთ პრაქტიკულად ამოხსნათ

მსგავსი დავალება. ისევ დაგჭირდებათ დამხმარე ფიგურა, მაგრამ ამჯერად მისი რადიუსი ორიგინალის ჯამის ტოლი იქნება. მასზე ტანგენტები აგებულია ერთ-ერთი ამ წრის ცენტრიდან. გადაწყვეტის შემდგომი კურსი შეიძლება გავიგოთ წინა მაგალითიდან.

წრეზე ან თუნდაც ორზე ან მეტზე ტანგენტი არც ისე რთული ამოცანაა. რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებმა დიდი ხანია შეწყვიტეს ასეთი პრობლემების ხელით გადაჭრა და გამოთვლები სპეციალურ პროგრამებს ანდობენ. მაგრამ არ უნდა იფიქროთ, რომ ახლა თქვენ არ უნდა შეძლოთ ამის გაკეთება საკუთარ თავს, რადგან კომპიუტერისთვის დავალების სწორად ჩამოყალიბებისთვის საჭიროა ბევრი რამის გაკეთება და გაგება. სამწუხაროდ, არსებობს შეშფოთება, რომ ცოდნის კონტროლის ტესტურ ფორმაზე საბოლოო გადასვლის შემდეგ, კონსტრუქციული ამოცანები მოსწავლეებს უფრო და უფრო მეტ სირთულეებს შეუქმნის.

რაც შეეხება საერთო ტანგენტების პოვნას უფრო დიდი რაოდენობის წრეებისთვის, ეს ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, თუნდაც ისინი ერთ სიბრტყეში იყვნენ. მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში შეგიძლიათ იპოვოთ ასეთი სწორი ხაზი.

მაგალითები ცხოვრებიდან

ორ წრეზე საერთო ტანგენსი ხშირად ხდება პრაქტიკაში, თუმცა ეს ყოველთვის არ არის შესამჩნევი. კონვეიერები, ბლოკის სისტემები, ღვედის გადამცემი ღვედები, ძაფის დაჭიმულობა სამკერვალო მანქანაში და თუნდაც მხოლოდ ველოსიპედის ჯაჭვი - ეს ყველაფერი რეალური მაგალითებია. ასე რომ, არ უნდა იფიქროთ, რომ გეომეტრიული პრობლემები მხოლოდ თეორიაში რჩება: ინჟინერიაში, ფიზიკაში, მშენებლობაში და ბევრ სხვა დარგში ისინი პრაქტიკულ გამოყენებას პოულობენ.

პირდაპირი ( MN), რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი წრესთან ( ა), დაუძახა ტანგენსი წრეზე.

საერთო წერტილი ამ შემთხვევაში ეწოდება კონტაქტის წერტილი.

არსებობის შესაძლებლობა ტანგენსი, და, უფრო მეტიც, შედგენილი ნებისმიერი წერტილით წრე, როგორც ტანგენციის წერტილი, დასტურდება შემდეგნაირად თეორემა.

დაე, საჭირო იყოს მისი განხორციელება წრეცენტრით ო ტანგენსიწერტილის მეშვეობით ა. ამის გაკეთება წერტილიდან A,როგორც ცენტრიდან, ჩვენ აღვწერთ რკალირადიუსი ა.ო., და წერტილიდან ო, როგორც ცენტრი, ჩვენ ვკვეთთ ამ რკალს წერტილებზე ბდა თანმოცემული წრის დიამეტრის ტოლი კომპასის ხსნარი.

დახარჯვის შემდეგ მაშინ აკორდები ო.ბ.და OS, დააკავშირეთ წერტილი აწერტილებით დდა ე, რომელზეც ეს აკორდები იკვეთება მოცემულ წრესთან. პირდაპირი ახ.წდა A.E. - ტანგენტები წრეზე ო. მართლაც, კონსტრუქციიდან ირკვევა, რომ სამკუთხედები AOBდა AOC ტოლფერდა(AO = AB = AC) ბაზებით ო.ბ.და OSწრის დიამეტრის ტოლია ო.

იმიტომ რომ ო.დ.და ო.ე.- რადიუსი, მაშინ დ - შუა ო.ბ., ა ე- შუა OS, ნიშნავს ახ.წდა A.E. - მედიანები, გამოყვანილია ტოლფერდა სამკუთხედების ფუძეებთან და, შესაბამისად, ამ ფუძეების პერპენდიკულარულია. თუ სწორი დ.ა.და ე.ა.რადიუსების პერპენდიკულარული ო.დ.და ო.ე., მაშინ ისინი - ტანგენტები.

შედეგი.

ერთი წერტილიდან წრეზე გამოყვანილი ორი ტანგენსი ტოლია და ქმნის თანაბარ კუთხეებს ამ წერტილის ცენტრთან დამაკავშირებელი სწორი ხაზით..

Ისე AD=AEდა ∠ OAD = ∠OAEრადგან მართკუთხა სამკუთხედები AODდა AOE, რომელსაც აქვს საერთო ჰიპოტენუზა ა.ო.და თანაბარი ფეხები ო.დ.და ო.ე.(რადიუსების სახით), ტოლია. გაითვალისწინეთ, რომ აქ სიტყვა "ტანგენტი" სინამდვილეში ნიშნავს " ტანგენტური სეგმენტი” მოცემული წერტილიდან შეხების წერტილამდე.