ყველა ინტეგრალის ცხრილი. ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები

ანტიდერივატების ცხრილი („ინტეგრალები“). ინტეგრალების ცხრილი. ტაბულური განუსაზღვრელი ინტეგრალები. (უმარტივესი ინტეგრალები და ინტეგრალები პარამეტრით). ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულები. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულები. ინტეგრაციის წესები.

წარმოებულების ცხრილი. ტაბულური წარმოებულები. პროდუქტის წარმოებული. კოეფიციენტის წარმოებული. რთული ფუნქციის წარმოებული.

თუ x დამოუკიდებელი ცვლადია, მაშინ:

ლოგარითმების თვისებები. ლოგარითმების ძირითადი ფორმულები. ათწილადი (lg) და ბუნებრივი ლოგარითმები (ln).

ბუნებრივი ლოგარითმი ln (ლოგარითმი ფუძემდე e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

ტეილორის სერია. ტეილორის სერიის ფუნქციის გაფართოება.

გამოდის, რომ უმრავლესობა პრაქტიკულად შეექმნამათემატიკური ფუნქციები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნებისმიერი სიზუსტით გარკვეული წერტილის სიახლოვეს ცვლადის სიმძლავრეების შემცველი სიმძლავრის სერიის სახით მზარდი თანმიმდევრობით. მაგალითად, x=1 წერტილის სიახლოვეს:

სერიის გამოყენებისას ე.წ ტეილორის რიგები,შერეული ფუნქციები, რომლებიც შეიცავს, ვთქვათ, ალგებრულ, ტრიგონომეტრიულ და ექსპონენციალურ ფუნქციებს, შეიძლება გამოიხატოს წმინდა ალგებრულ ფუნქციებად. სერიის გამოყენებით, ხშირად შეგიძლიათ სწრაფად განახორციელოთ დიფერენციაცია და ინტეგრაცია.

ტეილორის სერიას a წერტილის მიმდებარედ აქვს ფორმა:

1) , სადაც f(x) არის ფუნქცია, რომელსაც აქვს ყველა რიგის წარმოებულები x=a-ზე. R n - დარჩენილი ტერმინი ტეილორის სერიაში განისაზღვრება გამოხატვით

2)

სერიის k-ე კოეფიციენტი (x k) განისაზღვრება ფორმულით

3) ტეილორის სერიის განსაკუთრებული შემთხვევაა მაკლარინის (= მაკლარენის) სერია (გაფართოება ხდება a=0 წერტილის გარშემო)

a=0-ზე

სერიის წევრები განისაზღვრება ფორმულით

ტეილორის სერიის გამოყენების პირობები.

1. იმისათვის, რომ f(x) ფუნქცია გაფართოვდეს ტეილორის სერიად (-R;R) ინტერვალზე, საჭიროა და საკმარისია დარჩენილი ტერმინი ტეილორის (Maclaurin (=McLaren)) ფორმულაში. ფუნქცია ნულისკენ მიისწრაფვის, როგორც k →∞ მითითებულ ინტერვალზე (-R;R).

2. აუცილებელია არსებობდეს წარმოებულები მოცემული ფუნქციისთვის იმ წერტილში, რომლის მიდამოებშიც ვაპირებთ ტეილორის სერიის აგებას.

ტეილორის სერიის თვისებები.

თუ f არის ანალიტიკური ფუნქცია, მაშინ მისი ტეილორის სერია a ნებისმიერ წერტილში, f-ის განსაზღვრის დომენში, უახლოვდება f-ს a-ს ზოგიერთ სამეზობლოში.

არსებობს უსასრულოდ დიფერენცირებადი ფუნქციები, რომელთა ტეილორის სერია ერთმანეთს ემთხვევა, მაგრამ ამავდროულად განსხვავდება a-ს ნებისმიერი უბნის ფუნქციისგან. Მაგალითად:

ტეილორის სერიები გამოიყენება მიახლოებით (დაახლოება არის მეცნიერული მეთოდი, რომელიც მოიცავს ზოგიერთი ობიექტის სხვებით შეცვლას, ამა თუ იმ გაგებით, ორიგინალთან ახლოს, მაგრამ უფრო მარტივი) ფუნქციის მრავალწევრებით. კერძოდ, ხაზოვანიზაცია ((linearis-დან - წრფივი), დახურული არაწრფივი სისტემების მიახლოებითი წარმოდგენის ერთ-ერთი მეთოდი, რომელშიც არაწრფივი სისტემის შესწავლა იცვლება წრფივი სისტემის ანალიზით, გარკვეული გაგებით თავდაპირველის ეკვივალენტური. .) განტოლებები წარმოიქმნება ტეილორის სერიებში გაფართოებით და პირველი რიგის ყველა ტერმინის მოწყვეტით.

ამრიგად, თითქმის ნებისმიერი ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პოლინომის სახით მოცემული სიზუსტით.

სიმძლავრის ფუნქციების ზოგიერთი საერთო გაფართოების მაგალითები მაკლარინის სერიებში (=მაკლარენი, ტეილორი 0 წერტილის სიახლოვეს) და ტეილორი 1 წერტილის სიახლოვეს. ძირითადი ფუნქციების გაფართოების პირველი პირები ტეილორისა და მაკლარენის სერიებში.

სიმძლავრის ფუნქციების ზოგიერთი საერთო გაფართოების მაგალითები მაკლორინის სერიებში (=McLaren, Taylor 0 წერტილის სიახლოვეს)

ტეილორის სერიის ზოგიერთი გავრცელებული გაფართოების მაგალითები 1 წერტილის სიახლოვეს

ანტიდერივატიული ფუნქცია და განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ფაქტი 1. ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის შებრუნებული მოქმედება, კერძოდ, ფუნქციის აღდგენა ამ ფუნქციის ცნობილი წარმოებულიდან. ამით ფუნქცია აღდგენილია ფ(x) ეწოდება ანტიდერივატიფუნქციისთვის ვ(x).

განმარტება 1. ფუნქცია ფ(x ვ(x) გარკვეული ინტერვალით X, თუ ყველა მნიშვნელობისთვის xამ ინტერვალიდან თანასწორობა მოქმედებს ფ "(x)=ვ(x), ანუ ეს ფუნქცია ვ(x) არის ანტიდერივატიული ფუნქციის წარმოებული ფ(x). .

მაგალითად, ფუნქცია ფ(x) = ცოდვა x არის ფუნქციის ანტიდერივატი ვ(x) = cos x მთელ რიცხვთა წრფეზე, ვინაიდან x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის (ცოდვა x)" = (კოს x) .

განმარტება 2. ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ვ(x) არის მისი ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები. ამ შემთხვევაში, აღნიშვნა გამოიყენება

∫

ვ(x)dx

სად არის ნიშანი ∫ რომელსაც ეწოდება ინტეგრალური ნიშანი, ფუნქცია ვ(x) – ინტეგრირებული ფუნქცია და ვ(x)dx - ინტეგრირებული გამოხატულება.

ამრიგად, თუ ფ(x) – ზოგიერთი ანტიწარმოებული ამისთვის ვ(x), ეს

∫

ვ(x)dx = ფ(x) +C

სად C - თვითნებური მუდმივი (მუდმივი).

ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლის, როგორც განუსაზღვრელი ინტეგრალის მნიშვნელობის გასაგებად, შესაბამისია შემდეგი ანალოგია. იყოს კარი (ტრადიციული ხის კარი). მისი ფუნქციაა "იყოს კარი". რისგან არის დამზადებული კარი? ხისგან დამზადებული. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის „იყოს კარი“, ანუ მისი განუსაზღვრელი ინტეგრალი ინტეგრანტის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე არის ფუნქცია „ვიყო ხე + C“, სადაც C არის მუდმივი, რომელიც ამ კონტექსტში შეიძლება. მიუთითეთ, მაგალითად, ხის ტიპი. ისევე, როგორც კარი მზადდება ხისგან ზოგიერთი ხელსაწყოების გამოყენებით, ფუნქციის წარმოებული "დამზადებულია" ანტიდერივატიული ფუნქციის გამოყენებით. წარმოებულის შესწავლისას ვისწავლეთ ფორმულები .

შემდეგ საერთო ობიექტების ფუნქციების ცხრილი და მათი შესაბამისი ანტიდერივატივები („იყო კარი“ - „იყო ხე“, „იყო კოვზი“ - „იყო მეტალი“ და ა.შ.) საბაზისო ცხრილის მსგავსია. განუსაზღვრელი ინტეგრალები, რომლებიც ქვემოთ იქნება მოცემული. განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი ჩამოთვლის საერთო ფუნქციებს ანტიწარმოებულების მითითებით, საიდანაც ეს ფუნქციები "დამზადებულია". განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის ამოცანების ნაწილში მოცემულია ინტეგრადები, რომელთა ინტეგრირება შესაძლებელია უშუალოდ დიდი ძალისხმევის გარეშე, ანუ განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილის გამოყენებით. უფრო რთულ ამოცანებში ინტეგრანტი ჯერ უნდა გარდაიქმნას ისე, რომ ცხრილის ინტეგრალები იყოს გამოყენებული.

ფაქტი 2. ფუნქციის, როგორც ანტიდერივატივის აღდგენისას მხედველობაში უნდა მივიღოთ თვითნებური მუდმივი (მუდმივი) Cდა იმისათვის, რომ არ დაწეროთ ანტიწარმოებულების სია სხვადასხვა მუდმივებით 1-დან უსასრულობამდე, თქვენ უნდა დაწეროთ ანტიწარმოებულების ნაკრები თვითნებური მუდმივით Cმაგალითად, ასე: 5 x³+C. ასე რომ, თვითნებური მუდმივი (მუდმივი) შედის ანტიწარმოებულის გამოხატულებაში, რადგან ანტიწარმოებული შეიძლება იყოს ფუნქცია, მაგალითად, 5. x³+4 ან 5 x³+3 და დიფერენცირებისას, 4 ან 3, ან ნებისმიერი სხვა მუდმივი მიდის ნულზე.

მოდით დავსვათ ინტეგრაციის პრობლემა: ამ ფუნქციისთვის ვ(x) იპოვნეთ ასეთი ფუნქცია ფ(x), რომლის წარმოებულიტოლია ვ(x).

მაგალითი 1.იპოვეთ ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე

გამოსავალი. ამ ფუნქციისთვის ანტიდერივატი არის ფუნქცია

ფუნქცია ფ(x) ფუნქციის ანტიდერივატი ეწოდება ვ(x), თუ წარმოებული ფ(x) უდრის ვ(x), ან, რაც იგივეა, დიფერენციალური ფ(x) ტოლია ვ(x) dx, ე.ი.

(2)

მაშასადამე, ფუნქცია ფუნქციის ანტიდერივატია. თუმცა, ეს არ არის ერთადერთი ანტიდერივატი . ისინი ასევე ასრულებენ ფუნქციებს

სად თან- თვითნებური მუდმივი. ეს შეიძლება დადასტურდეს დიფერენციაციის გზით.

ამრიგად, თუ ფუნქციისთვის არის ერთი ანტიდერივატი, მაშინ მისთვის არის ანტიწარმოებულების უსასრულო რაოდენობა, რომლებიც განსხვავდება მუდმივი წევრით. ფუნქციის ყველა ანტიდერივატი იწერება ზემოთ მოყვანილი ფორმით. ეს გამომდინარეობს შემდეგი თეორემიდან.

თეორემა (ფაქტის ფორმალური განცხადება 2).თუ ფ(x) – ფუნქციის ანტიდერივატი ვ(x) გარკვეული ინტერვალით X, შემდეგ ნებისმიერი სხვა ანტიდერივატი ამისთვის ვ(x) იმავე ინტერვალზე შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სახით ფ(x) + C, სად თან- თვითნებური მუდმივი.

შემდეგ მაგალითში მივმართავთ ინტეგრალების ცხრილს, რომელიც მოცემულია მე-3 პუნქტში, განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებების შემდეგ. ამას ვაკეთებთ მთელი ცხრილის წაკითხვამდე, რათა ზემოაღნიშნულის არსი ნათელი იყოს. და ცხრილისა და თვისებების შემდეგ, ჩვენ მათ მთლიანობაში გამოვიყენებთ ინტეგრაციის დროს.

მაგალითი 2.იპოვნეთ ანტიდერივატიული ფუნქციების ნაკრები:

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ ანტიდერივატიული ფუნქციების ერთობლიობას, საიდანაც ეს ფუნქციები "დამზადებულია". ინტეგრალების ცხრილიდან ფორმულების ხსენებისას, ახლა უბრალოდ მიიღეთ, რომ არსებობს ასეთი ფორმულები და ჩვენ თვითონ განვსაზღვრავთ განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილს ცოტა უფრო შორს.

1) ფორმულის გამოყენება (7) ინტეგრალების ცხრილიდან ნ= 3, ვიღებთ

2) ფორმულის (10) გამოყენება ინტეგრალების ცხრილიდან ამისთვის ნ= 1/3, გვაქვს

3) მას შემდეგ, რაც

შემდეგ ფორმულის მიხედვით (7) ერთად ნ= -1/4 ვპოულობთ

თავად ფუნქცია არ არის ჩაწერილი ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ ვდა მისი პროდუქტი დიფერენციალურად dx. ეს კეთდება უპირველეს ყოვლისა იმისთვის, რომ მიეთითოს, რომელი ცვლადის საშუალებით მოიძებნება ანტიწარმოებული. Მაგალითად,

, ;

აქ ორივე შემთხვევაში ინტეგრანი უდრის , მაგრამ მისი განუსაზღვრელი ინტეგრალები განხილულ შემთხვევებში განსხვავებულია. პირველ შემთხვევაში, ეს ფუნქცია განიხილება, როგორც ცვლადის ფუნქცია x, ხოლო მეორეში - როგორც ფუნქცია ზ .

ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის პროცესს ამ ფუნქციის ინტეგრირება ეწოდება.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა

დავუშვათ, რომ მრუდი უნდა ვიპოვოთ y=F(x)და ჩვენ უკვე ვიცით, რომ ტანგენსი კუთხის ტანგენსი მის თითოეულ წერტილზე არის მოცემული ფუნქცია f(x)ამ პუნქტის აბსციზა.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის მიხედვით, ტანგენსის დახრის კუთხის ტანგენსი მრუდის მოცემულ წერტილში. y=F(x)წარმოებულის მნიშვნელობის ტოლი F"(x). ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი ფუნქცია F(x), რისთვისაც F"(x)=f(x). ამოცანაში საჭირო ფუნქცია F(x)არის ანტიდერივატი f(x). პრობლემის პირობებს აკმაყოფილებს არა ერთი მრუდი, არამედ მრუდების ოჯახი. y=F(x)- ერთ-ერთი ასეთი მრუდი და მისგან ნებისმიერი სხვა მრუდის მიღება შესაძლებელია ღერძის გასწვრივ პარალელური გადაყვანით ოი.

დავარქვათ ანტიწარმოებული ფუნქციის გრაფიკი f(x)ინტეგრალური მრუდი. თუ F"(x)=f(x), შემდეგ ფუნქციის გრაფიკი y=F(x)არის ინტეგრალური მრუდი.

ფაქტი 3. განუსაზღვრელი ინტეგრალი გეომეტრიულად წარმოდგენილია ყველა ინტეგრალური მრუდის ოჯახით , როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზე. თითოეული მრუდის მანძილი კოორდინატების საწყისიდან განისაზღვრება თვითნებური ინტეგრაციის მუდმივით C.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები

ფაქტი 4. თეორემა 1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული ინტეგრადის ტოლია, ხოლო მისი დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია.

ფაქტი 5. თეორემა 2. ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი ვ(x) ფუნქციის ტოლია ვ(x) მუდმივ ვადამდე , ე.ი.

(3)

1 და 2 თეორემები აჩვენებს, რომ დიფერენციაცია და ინტეგრაცია ურთიერთშებრუნებული ოპერაციებია.

ფაქტი 6. თეორემა 3. ინტეგრალის მუდმივი კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განუსაზღვრელი ინტეგრალის ნიშნიდან. , ე.ი.

ინტეგრაცია მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი მთავარი ოპერაციაა. ცნობილი ანტიწარმოებულების ცხრილები შეიძლება სასარგებლო იყოს, მაგრამ ახლა, კომპიუტერული ალგებრის სისტემების გამოჩენის შემდეგ, ისინი კარგავენ მნიშვნელობას. ქვემოთ მოცემულია ყველაზე გავრცელებული პრიმიტივების სია.

ძირითადი ინტეგრალების ცხრილი

კიდევ ერთი, კომპაქტური ვარიანტი

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალების ცხრილი

რაციონალური ფუნქციებიდან

ირაციონალური ფუნქციებიდან

ტრანსცენდენტული ფუნქციების ინტეგრალები

"C" არის თვითნებური ინტეგრაციის მუდმივი, რომელიც განისაზღვრება, თუ ცნობილია ინტეგრალის მნიშვნელობა ნებისმიერ წერტილში. თითოეულ ფუნქციას აქვს ანტიწარმოებულების უსასრულო რაოდენობა.

სკოლის მოსწავლეებისა და სტუდენტების უმეტესობას ინტეგრალების გამოთვლის პრობლემა აქვს. ეს გვერდი შეიცავს ინტეგრალური ცხრილებიტრიგონომეტრიული, რაციონალური, ირაციონალური და ტრანსცენდენტული ფუნქციებიდან, რომლებიც დაგეხმარებათ ამოხსნაში. წარმოებულების ცხრილი ასევე დაგეხმარებათ.

ვიდეო - როგორ მოვძებნოთ ინტეგრალები

>>ინტეგრაციის მეთოდები

ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები

ინტეგრალის, განსაზღვრული და განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტება, ინტეგრალების ცხრილი, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, ინტეგრაცია ნაწილებით, ინტეგრალების გამოთვლის მაგალითები.

განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მოცემულ X ინტერვალში დიფერენცირებადი ფუნქცია F(x) ეწოდება ფუნქციის ანტიდერივატი f(x), ან f(x-ის ინტეგრალი), თუ ყოველ x ∈X-ზე მოქმედებს შემდეგი ტოლობა:

F" (x) = f(x). (8.1)

მოცემული ფუნქციისთვის ყველა ანტიწარმოებულის პოვნას მისი ეწოდება ინტეგრაცია. განუსაზღვრელი ინტეგრალური ფუნქცია f(x) მოცემულ ინტერვალზე X არის ყველა ანტიწარმოებული ფუნქციის სიმრავლე f(x) ფუნქციისთვის; დანიშნულება -

თუ F(x) არის f(x) ფუნქციის ზოგიერთი ანტიწარმოებული, მაშინ ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

სადაც C არის თვითნებური მუდმივი.

ინტეგრალების ცხრილი

პირდაპირ განმარტებიდან ვიღებთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ძირითად თვისებებს და ცხრილის ინტეგრალების ჩამონათვალს:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

ცხრილის ინტეგრალების სია

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (მ ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = არქტანი x + C

8. = რკალი x + C

10. = - ctg x + C

ცვლადი ჩანაცვლება

მრავალი ფუნქციის ინტეგრირებისთვის გამოიყენეთ ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი ან ჩანაცვლებები,საშუალებას გაძლევთ დაიყვანოთ ინტეგრალები ცხრილის სახით.

თუ ფუნქცია f(z) უწყვეტია [α,β]-ზე, z =g(x) ფუნქციას აქვს უწყვეტი წარმოებული და α ≤ g(x) ≤ β, მაშინ

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

უფრო მეტიც, მარჯვენა მხარეს ინტეგრაციის შემდეგ უნდა გაკეთდეს ჩანაცვლება z=g(x).

ამის დასამტკიცებლად საკმარისია ორიგინალური ინტეგრალის დაწერა ფორმაში:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Მაგალითად:

1)

2) .

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი

მოდით, u = f(x) და v = g(x) იყოს ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ უწყვეტი . შემდეგ, სამუშაოს მიხედვით,

d(uv))= udv + vdu ან udv = d(uv) - ვდუ.

d(uv) გამოხატვისთვის, ანტიწარმოებული აშკარად იქნება uv, ამიტომ ფორმულა მოქმედებს:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

ეს ფორმულა გამოხატავს წესს ნაწილების მიერ ინტეგრაცია. udv=uv"dx გამოხატვის ინტეგრაციას მივყავართ vdu=vu"dx გამოხატვის ინტეგრაციამდე.

მოდით, მაგალითად, გსურთ იპოვოთ ∫xcosx dx. მოდით დავაყენოთ u = x, dv = cosxdx, ამიტომ du=dx, v=sinx. მერე

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის წესს უფრო შეზღუდული ფარგლები აქვს, ვიდრე ცვლადების ჩანაცვლება. მაგრამ არსებობს ინტეგრალების მთელი კლასები, მაგალითად,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax და სხვა, რომლებიც გამოითვლება ზუსტად ინტეგრაციის გამოყენებით ნაწილების მიხედვით.

განსაზღვრული ინტეგრალი

განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება წარმოდგენილია შემდეგნაირად. მოდით, ინტერვალზე განისაზღვროს ფუნქცია f(x). მოდით დავყოთ სეგმენტი [a,b] ნნაწილები წერტილებით a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. f(ξ i)Δ x i ფორმის ჯამი ეწოდება განუყოფელი ჯამიდა მისი ზღვარი λ = maxΔx i → 0, თუ ის არსებობს და სასრულია, ე.წ. განსაზღვრული ინტეგრალიფუნქციები f(x) of აადრე ბდა დანიშნულია:

F(ξ i)Δx i (8.5).

ფუნქცია f(x) ამ შემთხვევაში ეწოდება ინტეგრირებადი ინტერვალზე, რიცხვები a და b ეწოდება ინტეგრალის ქვედა და ზედა საზღვრები.

შემდეგი თვისებები მართალია გარკვეული ინტეგრალისთვის:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

ბოლო ქონება ე.წ საშუალო ღირებულების თეორემა.

ვთქვათ f(x) უწყვეტი იყოს . შემდეგ ამ სეგმენტზე არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი

∫f(x)dx = F(x) + C

და ხდება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, აკავშირებს განსაზღვრულ ინტეგრალს განუსაზღვრელ ინტეგრალთან:

F(b) - F(a). (8.6)

გეომეტრიული ინტერპრეტაცია: განსაზღვრული ინტეგრალი არის მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება ზემოდან მრუდით y=f(x), სწორი ხაზებით x=a და x=b და ღერძის სეგმენტი. ოქსი.

არასწორი ინტეგრალები

უსასრულო საზღვრების მქონე ინტეგრალები და უწყვეტი (შეუზღუდავი) ფუნქციების ინტეგრალები ე.წ. არა შენი. პირველი ტიპის არასწორი ინტეგრალები -ეს არის ინტეგრალები უსასრულო ინტერვალზე, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

(8.7)

თუ ეს ზღვარი არსებობს და სასრულია, მაშინ მას უწოდებენ f(x)-ის კონვერგენტული არასწორი ინტეგრალი[a,+ ∞) ინტერვალზე და გამოიძახეთ ფუნქცია f(x). ინტეგრირებადი უსასრულო ინტერვალით[a,+ ∞). წინააღმდეგ შემთხვევაში, ინტეგრალი ითვლება არ არსებობს ან განსხვავდება.

არასწორი ინტეგრალები ინტერვალებზე (-∞,b] და (-∞, + ∞) განისაზღვრება ანალოგიურად:

მოდით განვსაზღვროთ შეუზღუდავი ფუნქციის ინტეგრალის კონცეფცია. თუ f(x) უწყვეტია ყველა მნიშვნელობისთვის xსეგმენტი, გარდა c წერტილისა, სადაც f(x)-ს აქვს უსასრულო შეუწყვეტლობა, მაშინ მეორე სახის არასწორი ინტეგრალი f(x) დაწყებული a-დან b-მდეთანხას ჰქვია:

თუ ეს საზღვრები არსებობს და სასრულია. Დანიშნულება:

ინტეგრალური გამოთვლების მაგალითები

მაგალითი 3.30.გამოთვალეთ ∫dx/(x+2).

გამოსავალი.ავღნიშნოთ t = x+2, შემდეგ dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

მაგალითი 3.31. იპოვეთ ∫ tgxdx.

გამოსავალი.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. მოდით t=cosx, შემდეგ ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

გამოსავალი.

მაგალითი3.33. იპოვე .

გამოსავალი. =

.

მაგალითი3.34 . იპოვეთ ∫arctgxdx.

გამოსავალი. მოდით ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით. ავღნიშნოთ u=arctgx, dv=dx. მაშინ du = dx/(x 2 +1), v=x, საიდანაც ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; რადგან
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

მაგალითი3.35 . გამოთვალეთ ∫lnxdx.

გამოსავალი.ნაწილების ფორმულით ინტეგრაციის გამოყენებით, მივიღებთ:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. შემდეგ ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

მაგალითი3.36 . გამოთვალეთ ∫e x sinxdx.

გამოსავალი.ავღნიშნოთ u = e x, dv = sinxdx, შემდეგ du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ჩვენ ასევე ვაერთიანებთ ∫e x cosxdx ინტეგრალს ნაწილებით: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ჩვენ გვაქვს:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. მივიღეთ მიმართება ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, საიდანაც 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

მაგალითი 3.37. გამოთვალეთ J = ∫cos(lnx)dx/x.

გამოსავალი.ვინაიდან dx/x = dlnx, მაშინ J= ∫cos(lnx)d(lnx). თუ შევცვლით lnx-ს t-ით, მივიღებთ ცხრილის ინტეგრალს J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

მაგალითი 3.38 . გამოთვალეთ J =.

გამოსავალი.იმის გათვალისწინებით, რომ = d(lnx), ჩვენ ვცვლით lnx = t. შემდეგ J = .