თეორემა მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ. მოძრაობის რაოდენობა

§1. სისტემის იმპულსი (სისტემის იმპულსი)

მოძრაობის რაოდენობა (სხეულის იმპულსი) - ვექტორული ფიზიკური სიდიდე, რომელიც ტოლია სხეულის მასისა და მისი სიჩქარის ნამრავლის:

იმპულსი (მოძრაობის რაოდენობა) არის სხეულის ან სხეულთა სისტემის მოძრაობის ერთ-ერთი ყველაზე ფუნდამენტური მახასიათებელი.

დავწეროთ II ნიუტონის კანონი სხვა ფორმით, ამ აჩქარების გათვალისწინებითმაშინ ამიტომ

ძალის ნამრავლი და მისი მოქმედების დრო უდრის სხეულის იმპულსის ზრდას:

სად- ძალის იმპულსი, რომელიც აჩვენებს, რომ ძალის შედეგი დამოკიდებულია არა მხოლოდ მის მნიშვნელობაზე, არამედ მისი მოქმედების ხანგრძლივობაზეც.

სისტემის მოძრაობის რაოდენობას (იმპულსს) ვექტორული სიდიდე დაერქმევა , სისტემის ყველა წერტილის მოძრაობის (იმპულსების) სიდიდის გეომეტრიული ჯამის (ძირითადი ვექტორის) ტოლია (ნახ.2):

ნახაზიდან ირკვევა, რომ სისტემის წერტილების სიჩქარის სიდიდეების მიუხედავად (თუ ეს სიჩქარეები პარალელური არ არის), ვექტორიშეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა და იყოს ნულის ტოლიც კი, როდესაც პოლიგონი აგებულია ვექტორებისგან, დაიხურება. ამიტომ, ზომითშეუძლებელია სრულად ვიმსჯელოთ სისტემის მოძრაობის ბუნებაზე.

ნახ.2.სისტემის მოძრაობის რაოდენობა

§2. თეორემა იმპულსის ცვლილების შესახებ (იმპულსი)

ძალამ მოქმედებდეს m მასის სხეულზე გარკვეული მოკლე დროით Δt ამ ძალის გავლენით სხეულის სიჩქარე იცვლება შესაბამისად, Δt დროის განმავლობაში სხეული მოძრაობდა აჩქარებით:

დინამიკის ძირითადი კანონიდან(ნიუტონის მეორე კანონი) შემდეგია:

§3. იმპულსის შენარჩუნების კანონი (იმპულსის შენარჩუნების კანონი)

სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ თეორემიდან შეიძლება მივიღოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი თანხლებები:

1) დახურულ სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების ჯამი ნულის ტოლია:

შემდეგ განტოლებიდანაქედან გამომდინარეობს, რომ Q = = კონსტ. ამრიგად, თუ დახურულ სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების ჯამი ნულის ტოლია, მაშინ სისტემის იმპულსის (იმპულსის) ვექტორი იქნება მუდმივი სიდიდითა და მიმართულებით.

2) სისტემაზე მოქმედი გარე ძალები იყოს ისეთი, რომ მათი პროგნოზების ჯამი რომელიმე ღერძზე (მაგ. შესახებ x ) უდრის ნულს:

შემდეგ განტოლებიდანაქედან გამომდინარეობს, რომ ამ შემთხვევაშიQx= კონსტ. ამრიგად, თუ ყველა მოქმედი გარე ძალების პროგნოზების ჯამი რომელიმე ღერძზე ნულის ტოლია, მაშინ ამ ღერძზე სისტემის მოძრაობის რაოდენობის (იმპულსის) პროექცია არის მუდმივი მნიშვნელობა.

ეს შედეგები გამოხატავს სისტემის იმპულსის შენარჩუნების კანონი:დახურულ სისტემას ქმნიან სხეულებს შორის ურთიერთქმედების ნებისმიერი ხასიათისთვის, ამ სისტემის მთლიანი იმპულსის ვექტორი მუდმივად რჩება მუდმივი.

აქედან გამომდინარეობს, რომ შინაგანი ძალები ვერ შეცვლიან სისტემის მოძრაობის მთლიან რაოდენობას.

იზოლირებული სისტემის მთლიანი იმპულსის შენარჩუნების კანონი ბუნების უნივერსალური კანონია. უფრო ზოგად შემთხვევაში, როდესაც სისტემა არ არის დახურული, დანაქედან გამომდინარეობს, რომ ღია მარყუჟის სისტემის მთლიანი იმპულსი არ რჩება მუდმივი. მისი ცვლილება დროის ერთეულზე უდრის ყველა გარე ძალის გეომეტრიულ ჯამს.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

ა) უკუცემის ან უკუცემის ფენომენი. თუ თოფი და ტყვია ერთ სისტემად განვიხილავთ, მაშინ ფხვნილის აირების წნევა გასროლისას შიდა ძალა იქნება. ეს ძალა არ შეუძლია შეცვალოს სისტემის მთლიანი იმპულსი. მაგრამ რადგან ფხვნილი აირები, რომლებიც მოქმედებენ ტყვიაზე, ანიჭებენ მას გარკვეული რაოდენობის წინ მიმართულ მოძრაობას, მათ ერთდროულად უნდა მიაწოდონ თოფს იგივე მოძრაობა საპირისპირო მიმართულებით. ეს გამოიწვევს თოფის უკან გადაადგილებას, ე.ი. დაბრუნებას ე.წ. მსგავსი ფენომენი ხდება თოფის სროლისას (დაბრუნება).

ბ) პროპელერის (პროპელერის) მუშაობა. პროპელერი ავრცელებს მოძრაობას ჰაერის (ან წყლის) გარკვეულ მასას პროპელერის ღერძის გასწვრივ, აბრუნებს ამ მასას უკან. თუ დაყრილ მასას და თვითმფრინავს (ან გემს) ერთ სისტემად მივიჩნევთ, მაშინ პროპელერსა და გარემოს შორის ურთიერთქმედების ძალები, როგორც შიდა, ვერ შეცვლიან ამ სისტემის მოძრაობის მთლიან რაოდენობას. ამრიგად, როდესაც ჰაერის (წყლის) მასა უკან იხევს, თვითმფრინავი (ან გემი) იღებს შესაბამის წინსვლის სიჩქარეს, რომ განსახილველი სისტემის მოძრაობის მთლიანი რაოდენობა დარჩება ნულის ტოლი, რადგან ის იყო ნულის ადრე. მოძრაობა დაიწყო.

მსგავსი ეფექტი მიიღწევა ნიჩბების ან ბორბლების მოქმედებით.

გ) რეაქტიული მოძრაობა. რაკეტაში საწვავის აიროვანი წვის პროდუქტები დიდი სიჩქარით გამოიდევნება რაკეტის კუდის ღიობიდან (რეაქტიული ძრავის საქშენიდან). ამ შემთხვევაში მოქმედი წნევის ძალები იქნება შიდა ძალები და მათ არ შეუძლიათ შეცვალონ სარაკეტო სისტემის მოძრაობის მთლიანი რაოდენობა - საწვავის წვის პროდუქტები. მაგრამ რადგან გაშვებულ გაზებს აქვთ გარკვეული რაოდენობის მოძრაობა მიმართული უკან, რაკეტა იღებს შესაბამის წინსვლას.

თვითტესტის კითხვები:

როგორ არის ჩამოყალიბებული თეორემა სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ?

ჩამოწერეთ თეორემის მათემატიკური გამოხატულება მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალურ და ინტეგრალურ ფორმაში.

რა შემთხვევაში არ იცვლება მექანიკური სისტემის იმპულსი?

როგორ განისაზღვრება ცვლადი ძალის იმპულსი გარკვეული დროის განმავლობაში? რა ახასიათებს ძალის იმპულსს?

როგორია მუდმივი და ცვლადი ძალის იმპულსების პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე?

რა არის შედეგის იმპულსი?

როგორ იცვლება წრის გარშემო თანაბრად მოძრავი წერტილის იმპულსი?

რა არის მექანიკური სისტემის იმპულსი?

რა არის მფრინავის იმპულსი, რომელიც ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო, რომელიც გადის მის სიმძიმის ცენტრში?

რა პირობებში არ იცვლება მექანიკური სისტემის იმპულსი? რა პირობებში არ იცვლება მისი პროექცია გარკვეულ ღერძზე?

რატომ იბრუნებს იარაღი გასროლისას?

შეუძლიათ თუ არა შიდა ძალებს შეცვალონ სისტემის იმპულსი ან მისი ნაწილის იმპულსი?

რა ფაქტორები განაპირობებს რაკეტის თავისუფალი მოძრაობის სიჩქარეს?

დამოკიდებულია თუ არა რაკეტის საბოლოო სიჩქარე საწვავის წვის დროზე?

ნახვა:ეს სტატია წაკითხულია 23264 ჯერ

Pdf აირჩიეთ ენა... რუსული უკრაინული ინგლისური

მოკლე მიმოხილვა

მთელი მასალა გადმოწერილია ზემოთ, ენის შერჩევის შემდეგ

მატერიალური წერტილების მექანიკური სისტემაან სხეულები არის მათი ისეთი კრებული, რომელშიც თითოეული წერტილის (ან სხეულის) პოზიცია და მოძრაობა დამოკიდებულია სხვათა პოზიციასა და მოძრაობაზე.
მატერიალური სხეული განიხილება, როგორც მატერიალური წერტილების (ნაწილაკების) სისტემა, რომლებიც ქმნიან ამ სხეულს.
გარე ძალებითარის ის ძალები, რომლებიც მოქმედებენ მექანიკური სისტემის წერტილებზე ან სხეულებზე იმ წერტილებიდან ან სხეულებიდან, რომლებიც არ მიეკუთვნებიან ამ სისტემას.
შინაგანი ძალებით, არის ძალები, რომლებიც მოქმედებენ მექანიკური სისტემის წერტილებზე ან სხეულებზე იმავე სისტემის წერტილებიდან ან სხეულებიდან, ე.ი. რომლებთანაც ურთიერთქმედებენ მოცემული სისტემის წერტილები ან სხეულები ერთმანეთთან.
სისტემის გარე და შიდა ძალები, თავის მხრივ, შეიძლება იყოს აქტიური და რეაქტიული
სისტემის წონაუდრის სისტემის ყველა წერტილის ან სხეულის მასების ალგებრულ ჯამს ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში, რომლისთვისაც სხეულის ნებისმიერი ნაწილაკის წონა მისი მასის პროპორციულია. ამრიგად, სხეულში მასების განაწილება შეიძლება განისაზღვროს მისი სიმძიმის ცენტრის პოზიციით - გეომეტრიული წერტილით. თან, რომლის კოორდინატებს უწოდებენ მექანიკური სისტემის მასის ცენტრს ან ინერციის ცენტრს
თეორემა მექანიკური სისტემის მასის ცენტრის მოძრაობის შესახებმექანიკური სისტემის მასის ცენტრი მოძრაობს როგორც მატერიალური წერტილი, რომლის მასა უდრის სისტემის მასას და რომელზედაც მოქმედებს სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალა.
დასკვნები:

1. მექანიკური სისტემა ან ხისტი სხეული შეიძლება ჩაითვალოს მატერიალურ წერტილად მისი მოძრაობის ბუნებიდან გამომდინარე და არა მისი ზომით.
2. მასის ცენტრის მოძრაობის თეორემა არ ითვალისწინებს შინაგან ძალებს.
3. თეორემა მასის ცენტრის მოძრაობის შესახებ არ ახასიათებს მექანიკური სისტემის ბრუნვის მოძრაობას, არამედ მხოლოდ მთარგმნელობით მოძრაობას.

კანონი სისტემის მასის ცენტრის მოძრაობის შენარჩუნების შესახებ:
1. თუ გარე ძალების ჯამი (მთავარი ვექტორი) მუდმივად ნულის ტოლია, მაშინ მექანიკური სისტემის მასის ცენტრი მოსვენებულ მდგომარეობაშია ან მოძრაობს ერთნაირად და სწორხაზოვნად.
2. თუ ყველა გარე ძალების პროგნოზების ჯამი რომელიმე ღერძზე ნულის ტოლია, მაშინ სისტემის მასის ცენტრის სიჩქარის პროექცია იმავე ღერძზე არის მუდმივი მნიშვნელობა.

თეორემა იმპულსის ცვლილების შესახებ.

მატერიალური წერტილის მოძრაობის რაოდენობადა არის ვექტორული სიდიდე, რომელიც უდრის წერტილის მასისა და მისი სიჩქარის ვექტორის ნამრავლს.
იმპულსის საზომი ერთეულია (კგ მ/წმ).
მექანიკური სისტემის იმპულსი- სისტემის ყველა წერტილის იმპულსის გეომეტრიული ჯამის (ძირითადი ვექტორის) ტოლი ვექტორული სიდიდე ტოლია მთელი სისტემის მასის ნამრავლისა და მისი მასის ცენტრის სიჩქარის
როდესაც სხეული (ან სისტემა) მოძრაობს ისე, რომ მისი მასის ცენტრი სტაციონარულია, მაშინ სხეულის მოძრაობის რაოდენობა ნულის ტოლია (მაგალითად, სხეულის ბრუნვა ფიქსირებული ღერძის გარშემო, რომელიც გადის სხეულის მასის ცენტრში. სხეული).
თუ სხეულის მოძრაობა რთულია, მაშინ ის არ ახასიათებს მოძრაობის ბრუნვის ნაწილს მასის ცენტრის გარშემო ბრუნვისას. ანუ, მოძრაობის რაოდენობა ახასიათებს სისტემის მხოლოდ მთარგმნელობით მოძრაობას (მასის ცენტრთან ერთად).
იმპულსური ძალაახასიათებს ძალის მოქმედებას გარკვეული პერიოდის განმავლობაში.
ძალის იმპულსი სასრული დროის განმავლობაში განისაზღვრება, როგორც შესაბამისი ელემენტარული იმპულსების ინტეგრალური ჯამი.
თეორემა მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ:
(დიფერენციალური ფორმით): მატერიალური წერტილის იმპულსის წარმოებული დროთა განმავლობაში უდრის წერტილებზე მოქმედი ძალების გეომეტრიულ ჯამს.
(ინტეგრალურ ფორმაში): იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში ტოლია იმ ძალების იმპულსების გეომეტრიული ჯამის, რომელიც გამოიყენება დროის იმავე მონაკვეთზე წერტილზე.

თეორემა მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ
(დიფერენციალური ფორმით): სისტემის იმპულსის დროითი წარმოებული ტოლია სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების გეომეტრიული ჯამის.
(ინტეგრალურ ფორმაში): სისტემის იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში უდრის გარე ძალების სისტემაზე მოქმედი იმპულსების გეომეტრიულ ჯამს დროის იმავე პერიოდში.
თეორემა საშუალებას იძლევა გამორიცხოს აშკარად უცნობი შინაგანი ძალები განხილვისგან.
მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების თეორემა და მასის ცენტრის მოძრაობის თეორემა ერთი და იგივე თეორემის ორი განსხვავებული ფორმაა.
სისტემის იმპულსის შენარჩუნების კანონი.

1. თუ სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების ჯამი ნულის ტოლია, მაშინ სისტემის იმპულსის ვექტორი იქნება მუდმივი მიმართულებით და სიდიდით.
2. თუ ყველა მოქმედი გარე ძალების პროგნოზების ჯამი ნებისმიერ თვითნებურ ღერძზე ნულის ტოლია, მაშინ იმპულსის პროექცია ამ ღერძზე არის მუდმივი მნიშვნელობა.

კონსერვაციის კანონები მიუთითებს, რომ შიდა ძალებს არ შეუძლიათ სისტემის მოძრაობის მთლიანი რაოდენობის შეცვლა.

1. მექანიკურ სისტემაზე მოქმედი ძალების კლასიფიკაცია
2. შინაგანი ძალების თვისებები
3. სისტემის მასა. მასის ცენტრი
4. მექანიკური სისტემის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები
5. თეორემა მექანიკური სისტემის მასის ცენტრის მოძრაობის შესახებ
6. კანონი სისტემის მასის ცენტრის მოძრაობის შენარჩუნების შესახებ
7. იმპულსის ცვლილების თეორემა
8. სისტემის იმპულსის შენარჩუნების კანონი

ენა: რუსული, უკრაინული

ზომა: 248K

აურზაური მექანიზმის გაანგარიშების მაგალითი
სტიმულატორის გაანგარიშების მაგალითი. განხორციელდა მასალის არჩევა, დასაშვები ძაბვის გამოთვლა, შეხებისა და მოღუნვის სიძლიერის გამოთვლა.

სხივის მოღუნვის პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
მაგალითში აშენდა განივი ძალებისა და მოღუნვის მომენტების დიაგრამები, აღმოჩნდა საშიში მონაკვეთი და შეირჩა I-სხივი. პრობლემამ გააანალიზა დიაგრამების აგება დიფერენციალური დამოკიდებულებების გამოყენებით და ჩაატარა სხივის სხვადასხვა ჯვრის მონაკვეთების შედარებითი ანალიზი.

ლილვის ბრუნვის პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
ამოცანაა შეამოწმოთ ფოლადის ლილვის სიმტკიცე მოცემულ დიამეტრზე, მასალასა და დასაშვებ სტრესზე. ამოხსნის დროს აგებულია ბრუნვის, ათვლის ძაბვისა და გადახვევის კუთხეების დიაგრამები. ლილვის საკუთარი წონა არ არის გათვალისწინებული

ღეროს დაძაბულობა-შეკუმშვის პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
ამოცანაა შეამოწმოთ ფოლადის ღეროს სიმტკიცე მითითებულ დასაშვებ სტრესებზე. ამოხსნის დროს აგებულია გრძივი ძალების, ნორმალური ძაბვისა და გადაადგილების დიაგრამები. ჯოხის საკუთარი წონა არ არის გათვალისწინებული

კინეტიკური ენერგიის შენარჩუნების თეორემის გამოყენება
პრობლემის გადაჭრის მაგალითი მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგიის კონსერვაციის თეორემის გამოყენებით

წერტილის სიჩქარისა და აჩქარების დადგენა მოძრაობის მოცემული განტოლებების გამოყენებით
პრობლემის გადაჭრის მაგალითი წერტილის სიჩქარისა და აჩქარების დასადგენად მოძრაობის მოცემული განტოლებების გამოყენებით

ხისტი სხეულის წერტილების სიჩქარისა და აჩქარების განსაზღვრა სიბრტყე-პარალელური მოძრაობისას
პრობლემის გადაჭრის მაგალითი ხისტი სხეულის წერტილების სიჩქარისა და აჩქარების დასადგენად სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის დროს

სისტემის მოძრაობის მოცულობავუწოდოთ სისტემის ყველა მატერიალური წერტილის მოძრაობის სიდიდეების გეომეტრიული ჯამი

(70-ის) ფიზიკური მნიშვნელობის გასარკვევად, მოდით გამოვთვალოთ (64) წარმოებული.

. (71)

(70) და (71) ერთად ამოხსნით, ვიღებთ

. (72)

ამრიგად, მექანიკური სისტემის იმპულსის ვექტორი განისაზღვრება სისტემის მასის ნამრავლით და მისი მასის ცენტრის სიჩქარით..

გამოვთვალოთ წარმოებული (72)

. (73)

(73) და (67) ერთად ამოხსნით, ვიღებთ

. (74)

განტოლება (74) გამოხატავს შემდეგ თეორემას.

თეორემა: სისტემის იმპულსის ვექტორის დროითი წარმოებული უდრის სისტემის ყველა გარე ძალების გეომეტრიულ ჯამს.

ამოცანების ამოხსნისას განტოლება (74) დაპროექტებული უნდა იყოს კოორდინატთა ღერძებზე:

. (75)

(74) და (75) ანალიზიდან შემდეგია: სისტემის იმპულსის შენარჩუნების კანონი: თუ სისტემის ყველა ძალის ჯამი არის ნული, მაშინ მისი იმპულსის ვექტორი ინარჩუნებს სიდიდეს და მიმართულებას.

თუ
, ეს
,ქ = კონსტ . (76)

კონკრეტულ შემთხვევაში ეს კანონი შეიძლება შესრულდეს ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძის გასწვრივ.

თუ
, ეს, ქ ზ = კონსტ. (77)

მიზანშეწონილია გამოიყენოთ თეორემა იმპულსის ცვლილების შესახებ იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემა მოიცავს თხევად და აირისებრ სხეულებს.

თეორემა მექანიკური სისტემის კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ

მოძრაობის რაოდენობა ახასიათებს მოძრაობის მხოლოდ მთარგმნელობით კომპონენტს. სხეულის ბრუნვის მოძრაობის დასახასიათებლად შემოღებულ იქნა სისტემის ძირითადი კუთხური იმპულსის კონცეფცია მოცემულ ცენტრთან მიმართებაში (კინეტიკური მომენტი).

სისტემის კინეტიკური მომენტიმოცემულ ცენტრთან შედარებით არის მისი ყველა წერტილის მოძრაობის სიდიდის მომენტების გეომეტრიული ჯამი იმავე ცენტრთან მიმართებაში.

. (78)

კოორდინატთა ღერძებზე (22) პროექციით, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ გამოხატულება კინეტიკური მომენტისთვის კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში.

. (79)

სხეულის კინეტიკური მომენტი ცულებთან მიმართებაშიამ ღერძის მიმართ სხეულის ინერციის მომენტისა და სხეულის კუთხური სიჩქარის ნამრავლის ტოლია

. (80)

(80)-დან გამომდინარეობს, რომ კინეტიკური მომენტი ახასიათებს მოძრაობის მხოლოდ ბრუნვის კომპონენტს.

ძალის ბრუნვის მოქმედების მახასიათებელია მისი მომენტი ბრუნვის ღერძთან მიმართებაში.

კუთხური იმპულსის ცვლილების თეორემა ადგენს კავშირს ბრუნვის მოძრაობის მახასიათებელსა და ამ მოძრაობის გამომწვევ ძალას შორის.

თეორემა: სისტემის კუთხური იმპულსის ვექტორის დროითი წარმოებული რომელიმე ცენტრთან მიმართებაში უდრის სისტემის ყველა გარე ძალების მომენტების გეომეტრიულ ჯამს.იგივე ცენტრი

. (81)

საინჟინრო ამოცანების ამოხსნისას (81) აუცილებელია კოორდინატთა ღერძებზე დაპროექტება

მათი ანალიზი (81) და (82) გულისხმობს კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი: თუ ცენტრთან (ან ღერძთან) მიმართ ყველა გარე ძალების მომენტების ჯამი ნულის ტოლია, მაშინ სისტემის კინეტიკური მომენტი ამ ცენტრთან (ან ღერძთან) ინარჩუნებს თავის სიდიდეს და მიმართულებას.

,

ან

კინეტიკური მომენტის შეცვლა შეუძლებელია სისტემის შინაგანი ძალების მოქმედებით, მაგრამ ამ ძალების გამო შესაძლებელია ინერციის მომენტის და შესაბამისად კუთხური სიჩქარის შეცვლა.

ისევე, როგორც ერთი მატერიალური წერტილისთვის, ჩვენ გამოვიყვანთ თეორემას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ სხვადასხვა ფორმით.

გადავცვალოთ განტოლება (თეორემა მექანიკური სისტემის მასის ცენტრის მოძრაობის შესახებ)

შემდეგი გზით:

;

მიღებული განტოლება გამოხატავს თეორემას მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით: მექანიკური სისტემის იმპულსის წარმოებული დროის მიმართ უდრის სისტემაზე მოქმედი გარე ძალების მთავარ ვექტორს. .

პროექციებში დეკარტის კოორდინატთა ღერძებზე:

; ; .

ბოლო განტოლების ორივე მხარის ინტეგრალების დროთა განმავლობაში მივიღებთ თეორემას მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ ინტეგრალური სახით: მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილება უდრის მთავარი ვექტორის იმპულსს. სისტემაზე მოქმედი გარე ძალები .

.

ან პროექციებში დეკარტის კოორდინატთა ღერძებზე:

; ; .

დასკვნა თეორემიდან (იმპულსის შენარჩუნების კანონები)

იმპულსის შენარჩუნების კანონი მიიღება როგორც თეორემის სპეციალური შემთხვევები სისტემისთვის იმპულსის ცვლილების შესახებ, რომელიც დამოკიდებულია გარე ძალების სისტემის მახასიათებლებზე. შინაგანი ძალები შეიძლება იყოს ნებისმიერი, რადგან ისინი გავლენას არ ახდენენ იმპულსის ცვლილებებზე.

არსებობს ორი შესაძლო შემთხვევა:

1. თუ სისტემაზე მიმართული ყველა გარე ძალების ვექტორული ჯამი ნულის ტოლია, მაშინ სისტემის მოძრაობის რაოდენობა სიდიდითა და მიმართულებით მუდმივია.

2. თუ გარე ძალების ძირითადი ვექტორის პროექცია რომელიმე კოორდინატულ ღერძზე ან/და ან/და ნულის ტოლია, მაშინ იმპულსის პროექცია ამ იმავე ღერძებზე არის მუდმივი მნიშვნელობა, ე.ი. და/ან და/ან შესაბამისად.

მსგავსი ჩანაწერები შეიძლება გაკეთდეს მატერიალური წერტილისთვის და მატერიალური წერტილისთვის.

Ამოცანა. იარაღიდან, რომლის მასა მ, მასის ჭურვი ჰორიზონტალური მიმართულებით მიფრინავს მსისწრაფით ვ. იპოვნეთ სიჩქარე ვიარაღი სროლის შემდეგ.

გამოსავალი. ყველა გარე ძალა, რომელიც მოქმედებს მექანიკურ იარაღ-ჭურვის სისტემაზე, ვერტიკალურია. ეს ნიშნავს, რომ სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ თეორემის დასკვნის საფუძველზე გვაქვს: .

მექანიკური სისტემის მოძრაობის რაოდენობა გასროლამდე:

გასროლის შემდეგ მექანიკური სისტემის მოძრაობის რაოდენობა:

.

გამონათქვამების მარჯვენა მხარეების გათანაბრება, მივიღებთ ამას

.

მიღებულ ფორმულაში ნიშანი „-“ მიუთითებს, რომ სროლის შემდეგ იარაღი უკან დაიხევს ღერძის საწინააღმდეგო მიმართულებით. ოქსი.

მაგალითი 2. სიმკვრივის მქონე სითხის ნაკადი მიედინება V სიჩქარით F კვეთის ფართობის მქონე მილიდან და კუთხით ურტყამს ვერტიკალურ კედელს. განსაზღვრეთ სითხის წნევა კედელზე.

გადაწყვეტა. მოდით გამოვიყენოთ თეორემა ინტეგრალური სახით იმპულსის ცვლილების შესახებ მასის მქონე სითხის მოცულობაზე მკედელს ურტყამს გარკვეული დროის განმავლობაში ტ.

მეშჩერსკის განტოლება

(ცვლადი მასის სხეულის დინამიკის ძირითადი განტოლება)

თანამედროვე ტექნოლოგიაში წარმოიქმნება შემთხვევები, როდესაც წერტილისა და სისტემის მასა მოძრაობისას არ რჩება მუდმივი, არამედ იცვლება. ასე, მაგალითად, კოსმოსური რაკეტების ფრენისას, წვის პროდუქტებისა და რაკეტების ცალკეული არასაჭირო ნაწილების გამოდევნის გამო, მასის ცვლილება მთლიანი საწყისი მნიშვნელობის 90-95%-ს აღწევს. მაგრამ არა მხოლოდ კოსმოსური ტექნოლოგია შეიძლება იყოს ცვლადი მასის მოძრაობის დინამიკის მაგალითი. ტექსტილის ინდუსტრიაში მნიშვნელოვანი ცვლილებებია სხვადასხვა შტრიხების, ბობინების, რულონების მასაში მანქანებისა და მანქანების თანამედროვე ოპერაციული სიჩქარით.

განვიხილოთ ძირითადი მახასიათებლები, რომლებიც დაკავშირებულია მასის ცვლილებებთან, ცვლადი მასის სხეულის მთარგმნელობითი მოძრაობის მაგალითის გამოყენებით. დინამიკის ძირითადი კანონი არ შეიძლება პირდაპირ იქნას გამოყენებული ცვლადი მასის სხეულზე. ამრიგად, ვიღებთ ცვლადი მასის წერტილის მოძრაობის დიფერენციალურ განტოლებებს სისტემის იმპულსის ცვლილებაზე თეორემის გამოყენებით.

დაე, წერტილი ჰქონდეს მასას მ+დმმოძრაობს სიჩქარით. შემდეგ მასის მქონე გარკვეული ნაწილაკი გამოყოფილია წერტილიდან დმსიჩქარით მოძრაობს.

სხეულის მოძრაობის ოდენობა ნაწილაკების ამოღებამდე:

სხეულისა და განცალკევებული ნაწილაკისგან შემდგარი სისტემის მოძრაობის რაოდენობა მისი გამოყოფის შემდეგ:

შემდეგ იმპულსის ცვლილება:

სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ თეორემაზე დაყრდნობით:

ავღნიშნოთ რაოდენობა - ნაწილაკების ფარდობითი სიჩქარე:

აღვნიშნოთ

ზომა რრეაქტიული ძალა ეწოდება. რეაქტიული ძალა არის ძრავის ბიძგი, რომელიც გამოწვეულია საქშენიდან გაზის გამოდევნით.

ბოლოს მივიღებთ

-

ეს ფორმულა გამოხატავს ცვლადი მასის სხეულის დინამიკის ძირითად განტოლებას (მეშჩერსკის ფორმულა). ბოლო ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ცვლადი მასის წერტილის მოძრაობის დიფერენციალურ განტოლებებს აქვთ იგივე ფორმა, როგორც მუდმივი მასის წერტილისთვის, გარდა იმ დამატებითი რეაქტიული ძალისა, რომელიც გამოიყენება წერტილზე მასის ცვლილების გამო.

ცვლადი მასის სხეულის დინამიკის ძირითადი განტოლება მიუთითებს იმაზე, რომ ამ სხეულის აჩქარება წარმოიქმნება არა მხოლოდ გარე ძალების, არამედ რეაქტიული ძალის გამო.

რეაქტიული ძალა არის ისეთივე ძალა, როგორიც ისვრება - პისტოლეტიდან სროლისას ის იგრძნობა ხელით; თოფიდან სროლისას ის აღიქმება მხრით.

ციოლკოვსკის პირველი ფორმულა (ერთსაფეხურიანი რაკეტისთვის)

მოდით, ცვლადი მასის წერტილი ან რაკეტა მოძრაობდეს სწორი ხაზით მხოლოდ ერთი რეაქტიული ძალის გავლენის ქვეშ. ვინაიდან მრავალი თანამედროვე რეაქტიული ძრავისთვის , სად არის ძრავის დიზაინით დაშვებული მაქსიმალური რეაქტიული ძალა (ძრავის ბიძგი); - დედამიწის ზედაპირზე მდებარე ძრავზე მოქმედი სიმძიმის ძალა. იმათ. ზემოაღნიშნული საშუალებას გვაძლევს უგულებელვყოთ კომპონენტი მეშჩერსკის განტოლებაში და მივიღოთ ეს განტოლება შემდგომი ანალიზისთვის:

აღვნიშნოთ:

საწვავის რეზერვი (თხევადი რეაქტიული ძრავებისთვის - რაკეტის მშრალი მასა (მისი დარჩენილი მასა მთელი საწვავის დაწვის შემდეგ);

რაკეტისგან გამოყოფილი ნაწილაკების მასა; განიხილება, როგორც ცვლადი მნიშვნელობა, რომელიც მერყეობს .

დავწეროთ ცვლადი მასის წერტილის მართკუთხა მოძრაობის განტოლება შემდეგი სახით:

.

ვინაიდან რაკეტის ცვლადი მასის განსაზღვრის ფორმულა არის

მაშასადამე, წერტილის მოძრაობის განტოლებები ორივე მხარის ინტეგრალის აღებით ვიღებთ

სად - დამახასიათებელი სიჩქარე- ეს არის სიჩქარე, რომელსაც რაკეტა იძენს ბიძგის გავლენის ქვეშ, რაკეტიდან ყველა ნაწილაკის ამოფრქვევის შემდეგ (თხევადი რეაქტიული ძრავებისთვის - მას შემდეგ, რაც საწვავი მთლიანად დაიწვება).

ინტეგრალური ნიშნის მიღმა (რომელიც შეიძლება გაკეთდეს უმაღლესი მათემატიკიდან ცნობილი საშუალო მნიშვნელობის თეორემის საფუძველზე) არის რაკეტიდან გამოდევნილი ნაწილაკების საშუალო სიჩქარე.

და მექანიკური სისტემა

მატერიალური წერტილის იმპულსი არის მექანიკური მოძრაობის ვექტორული საზომი, რომელიც ტოლია წერტილის მასისა და მისი სიჩქარის ნამრავლის, . იმპულსის საზომი ერთეული SI სისტემაში არის
. მექანიკური სისტემის მოძრაობის სიდიდე უდრის სისტემის ფორმირების ყველა მატერიალური წერტილის მოძრაობის სიდიდის ჯამს:

. (5.2)

გადავცვალოთ მიღებული ფორმულა

.

ფორმულის მიხედვით (4.2)
, Ამიტომაც

.

ამრიგად, მექანიკური სისტემის იმპულსი უდრის მისი მასისა და მასის ცენტრის სიჩქარის ნამრავლს:

. (5.3)

ვინაიდან სისტემის მოძრაობის სიდიდე განისაზღვრება მისი მხოლოდ ერთი წერტილის (მასის ცენტრის) მოძრაობით, ეს არ შეიძლება იყოს სისტემის მოძრაობის სრული მახასიათებელი. მართლაც, სისტემის ნებისმიერი მოძრაობისთვის, როდესაც მისი მასის ცენტრი უცვლელი რჩება, სისტემის იმპულსი ნულის ტოლია. მაგალითად, ეს ხდება მაშინ, როდესაც ხისტი სხეული ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო, რომელიც გადის მის მასის ცენტრში.

შემოვიღოთ საცნობარო სისტემა Cxyzმისი წარმოშობა მექანიკური სისტემის მასის ცენტრშია თანდა ინერციულ სისტემასთან შედარებით ტრანსლაციურად მოძრაობს
(ნახ. 5.1). შემდეგ თითოეული წერტილის მოძრაობა
შეიძლება ჩაითვალოს კომპლექსურად: პორტატული მოძრაობა ცულებთან ერთად Cxyzდა მოძრაობა ამ ღერძების მიმართ. ცულების პროგრესული მოძრაობის გამო Cxyzთითოეული წერტილის პორტატული სიჩქარე უდრის სისტემის მასის ცენტრის სიჩქარეს, ხოლო სისტემის მოძრაობის რაოდენობა, რომელიც განსაზღვრულია ფორმულით (5.3), ახასიათებს მხოლოდ მის გადასატან პორტატულ მოძრაობას.

5.3. იმპულსური ძალა

გარკვეული დროის განმავლობაში ძალის მოქმედების დასახასიათებლად, სიდიდე ე.წ ძალის იმპულსი . ძალის ელემენტარული იმპულსი არის ძალის მოქმედების ვექტორული საზომი, რომელიც უდრის ძალის ნამრავლს მისი მოქმედების ელემენტარული დროის ინტერვალით:

. (5.4)

SI ძალის იმპულსის ერთეული არის
, ე.ი. ძალის იმპულსის და იმპულსის ზომები იგივეა.

აიძულეთ იმპულსი გარკვეული დროის განმავლობაში
უდრის ელემენტარული იმპულსის გარკვეულ ინტეგრალს:

. (5.5)

მუდმივი ძალის იმპულსი ტოლია ძალის ნამრავლისა და მისი მოქმედების დროს:

. (5.6)

ზოგადად, ძალის იმპულსი შეიძლება განისაზღვროს მისი პროგნოზით კოორდინატულ ღერძებზე:

. (5.7)

5.4. იმპულსის ცვლილების თეორემა

მატერიალური წერტილი

დინამიკის ძირითად განტოლებაში (1.2) მატერიალური წერტილის მასა არის მუდმივი სიდიდე, მისი აჩქარება.
, რაც შესაძლებელს ხდის ამ განტოლების დაწერას სახით:

. (5.8)

შედეგად მიღებული ურთიერთობა საშუალებას გვაძლევს ჩამოვაყალიბოთ თეორემა მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით: მატერიალური წერტილის იმპულსის დროითი წარმოებული უდრის წერტილზე მოქმედი ძალების გეომეტრიულ ჯამს (მთავარ ვექტორს)..

ახლა ჩვენ ვიღებთ ამ თეორემის ინტეგრალურ ფორმას. (5.8) მიმართებიდან გამომდინარეობს, რომ

.

მოდით გავაერთიანოთ თანასწორობის ორივე მხარე დროის მომენტების შესაბამის საზღვრებში და ,

. (5.9)

მარჯვენა მხარეს ინტეგრალები წარმოადგენს წერტილზე მოქმედი ძალების იმპულსებს, ამიტომ მარცხენა მხარის ინტეგრირების შემდეგ ვიღებთ

. (5.10)

ამგვარად დამტკიცებულია თეორემა მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ ინტეგრალური სახით: მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში უდრის წერტილზე მოქმედი ძალების იმპულსების გეომეტრიულ ჯამს დროის იმავე პერიოდში..

ვექტორული განტოლება (5.10) შეესაბამება სამი განტოლების სისტემას კოორდინატთა ღერძებზე პროექციებში:

;

; (5.11)

.

მაგალითი 1. სხეული გადაადგილებით მოძრაობს დახრილი სიბრტყის გასწვრივ, რომელიც ქმნის α კუთხეს ჰორიზონტთან. საწყის მომენტში მას ჰქონდა სიჩქარე , მიმართულია ზემოთ დახრილი სიბრტყის გასწვრივ (ნახ. 5.2).

რა დროის შემდეგ ხდება სხეულის სიჩქარე ნულის ტოლი თუ ხახუნის კოეფიციენტი ტოლია ვ ?

მატერიალურ წერტილად ავიღოთ მთარგმნელობით მოძრავი სხეული და განვიხილოთ მასზე მოქმედი ძალები. ეს არის გრავიტაცია
ნორმალური თვითმფრინავის რეაქცია და ხახუნის ძალა . მივმართოთ ღერძი xდახრილი სიბრტყის გასწვრივ ზემოთ და ჩაწერეთ სისტემის 1-ლი განტოლება (5.11)

სადაც არის მოძრაობის რაოდენობების პროგნოზები და არის მუდმივი ძალების იმპულსების პროექცია
,და უდრის ძალების პროგნოზირების ნამრავლებს და მოძრაობის დროს:

ვინაიდან სხეულის აჩქარება მიმართულია დახრილი სიბრტყის გასწვრივ, პროექციების ჯამი ღერძზე წსხეულზე მოქმედი ყველა ძალის ტოლია ნულის:
, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ
. ვიპოვოთ ხახუნის ძალა

და (5.12) განტოლებიდან ვიღებთ

საიდანაც განვსაზღვრავთ სხეულის მოძრაობის დროს

.