მანძილი წერტილიდან სიბრტყის ვექტორულ ფორმულამდე. მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე
სივრცეში განვიხილოთ π სიბრტყე და თვითნებური წერტილი M 0 . მოდით ავირჩიოთ თვითმფრინავისთვის ერთეული ნორმალური ვექტორი n ერთად დასაწყისირაღაც წერტილში M 1 ∈ π, და მოდით p(M 0 ,π) იყოს მანძილი M 0 წერტილიდან π სიბრტყემდე. შემდეგ (სურ. 5.5)
р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)
წლიდან |n| = 1.
თუ სიბრტყე π არის მოცემული მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა მისი ზოგადი განტოლებით Ax + By + Cz + D = 0, მაშინ მისი ნორმალური ვექტორი არის ვექტორი კოორდინატებით (A; B; C) და შეგვიძლია ავირჩიოთ
მოდით (x 0 ; y 0 ; z 0) და (x 1 ; y 1 ; z 1) იყოს M 0 და M 1 წერტილების კოორდინატები. მაშინ მოქმედებს ტოლობა Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, რადგან წერტილი M 1 ეკუთვნის სიბრტყეს და M 1 M 0 ვექტორის კოორდინატები შეიძლება მოიძებნოს: M 1 M 0 = (x 0 - x 1 y 0 -y 1 ; ჩაწერა სკალარული პროდუქტი nM 1 M 0 კოორდინატთა ფორმით და გარდაქმნით (5.8), ვიღებთ
ვინაიდან Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. ასე რომ, წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ წერტილის კოორდინატები სიბრტყის ზოგად განტოლებაში და შემდეგ გაყოთ აბსოლუტური მნიშვნელობა. შედეგი ნორმალიზებადი ფაქტორით, რომელიც ტოლია შესაბამისი ნორმალური ვექტორის სიგრძისა.
, კონკურსი "პრეზენტაცია გაკვეთილისთვის"
Კლასი: 11
პრეზენტაცია გაკვეთილისთვის
უკან წინ
ყურადღება! სლაიდების გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შეიძლება არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის ყველა მახასიათებელს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ გადმოწეროთ სრული ვერსია.
მიზნები:
- მოსწავლეთა ცოდნისა და უნარების განზოგადება და სისტემატიზაცია;
- ანალიზის, შედარების, დასკვნების გამოტანის უნარების განვითარება.
აღჭურვილობა:
- მულტიმედიური პროექტორი;
- კომპიუტერი;
- ფურცლები პრობლემური ტექსტებით
კლასის პროგრესი
I. საორგანიზაციო მომენტი
II. ცოდნის განახლების ეტაპი(სლაიდი 2)
ჩვენ ვიმეორებთ, თუ როგორ განისაზღვრება მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე
III. ლექცია(სლაიდები 3-15)
ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ სხვადასხვა გზებს წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის დასადგენად.
პირველი მეთოდი: ნაბიჯ-ნაბიჯ გამოთვლითი
მანძილი M წერტილიდან α სიბრტყემდე:
– უდრის a სიბრტყემდე მანძილს A სწორ ხაზზე მდებარე P თვითნებური წერტილიდან, რომელიც გადის M წერტილში და არის α სიბრტყის პარალელურად;
– უდრის α სიბრტყემდე მანძილს β სიბრტყეზე მდგომი P თვითნებური წერტილიდან, რომელიც გადის M წერტილში და არის α სიბრტყის პარალელურად.
ჩვენ მოვაგვარებთ შემდეგ პრობლემებს:
№1. კუბში A...D 1 იპოვეთ მანძილი C 1 წერტილიდან AB 1 C სიბრტყემდე.
რჩება O 1 N სეგმენტის სიგრძის მნიშვნელობის გამოთვლა.
№2. რეგულარულ ექვსკუთხა პრიზმაში A...F 1, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, იპოვეთ მანძილი A წერტილიდან სიბრტყემდე DEA 1-მდე.
შემდეგი მეთოდი: მოცულობის მეთოდი.
თუ პირამიდის ABCM მოცულობა V-ის ტოლია, მაშინ მანძილი M წერტილიდან α სიბრტყემდე, რომელიც შეიცავს ∆ABC გამოითვლება ფორმულით ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
ამოცანების ამოხსნისას ვიყენებთ ერთი ფიგურის მოცულობის ტოლობას, რომელიც გამოიხატება ორი განსხვავებული გზით.
მოვაგვაროთ შემდეგი პრობლემა:
№3. DABC პირამიდის AD კიდე პერპენდიკულარულია ABC საბაზისო სიბრტყის მიმართ. იპოვეთ მანძილი A-დან სიბრტყემდე, რომელიც გადის AB, AC და AD კიდეების შუა წერტილებში, თუ.
პრობლემების გადაჭრისას კოორდინატთა მეთოდიმანძილი M წერტილიდან α სიბრტყემდე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით ρ(M; α) = 
, სადაც M(x 0; y 0; z 0), და სიბრტყე მოცემულია განტოლებით ax + by + cz + d = 0
მოვაგვაროთ შემდეგი პრობლემა:
№4. ერთეულ კუბში A...D 1 იპოვეთ მანძილი A 1 წერტილიდან BDC 1 სიბრტყემდე.
მოდით შემოვიტანოთ კოორდინატთა სისტემა A წერტილის საწყისით, y ღერძი გაივლის AB კიდესთან, x ღერძი AD კიდის გასწვრივ და z ღერძი AA 1 კიდეზე. შემდეგ B წერტილების კოორდინატები (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
შევქმნათ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის B, D, C 1 წერტილებზე.
მაშინ – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. ამიტომ, ρ = 
შემდეგი მეთოდი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ ტიპის პრობლემების გადასაჭრელად მხარდაჭერის პრობლემების მეთოდი.
ამ მეთოდის გამოყენება მოიცავს ცნობილი საცნობარო ამოცანების გამოყენებას, რომლებიც ჩამოყალიბებულია თეორემებად.
მოვაგვაროთ შემდეგი პრობლემა:
№5. ერთეულ კუბში A...D 1 იპოვეთ მანძილი D 1 წერტილიდან AB 1 C სიბრტყემდე.
განვიხილოთ განაცხადი ვექტორული მეთოდი.
№6. ერთეულ კუბში A...D 1 იპოვეთ მანძილი A 1 წერტილიდან BDC 1 სიბრტყემდე.
ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ სხვადასხვა მეთოდები, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ ტიპის პრობლემის გადასაჭრელად. ამა თუ იმ მეთოდის არჩევანი დამოკიდებულია კონკრეტულ დავალებაზე და თქვენს პრეფერენციებზე.
IV. Ჯგუფური სამუშაო
სცადეთ პრობლემის გადაჭრა სხვადასხვა გზით.
№1. A...D 1 კუბის კიდე უდრის . იპოვეთ მანძილი C წვეროდან BDC 1 სიბრტყემდე.
№2. ჩვეულებრივ ტეტრაედრონში ABCD კიდეზე, იპოვეთ მანძილი A წერტილიდან BDC სიბრტყემდე
№3. ჩვეულებრივ სამკუთხა პრიზმაში ABCA 1 B 1 C 1, რომლის ყველა კიდე უდრის 1-ს, იპოვეთ მანძილი A-დან BCA 1 სიბრტყემდე.
№4. ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCD, რომლის ყველა კიდე 1-ის ტოლია, იპოვეთ მანძილი A-დან SCD სიბრტყემდე.
V. გაკვეთილის შეჯამება, საშინაო დავალება, რეფლექსია
მანძილის დადგენა: 1 - წერტილსა და სიბრტყეს შორის; 2 - სწორი და ბრტყელი; 3 - თვითმფრინავები; 4 - სწორი ხაზების გადაკვეთა განიხილება ერთად, რადგან ყველა ამ პრობლემის ამოხსნის ალგორითმი არსებითად იგივეა და შედგება გეომეტრიული კონსტრუქციებისგან, რომლებიც უნდა შესრულდეს მოცემულ A წერტილსა და α სიბრტყეს შორის მანძილის დასადგენად. თუ რაიმე განსხვავებაა, ის მხოლოდ იმაში მდგომარეობს, რომ მე-2 და მე-3 შემთხვევებში, პრობლემის გადაჭრის დაწყებამდე, თქვენ უნდა მონიშნოთ თვითნებური წერტილი A სწორ ხაზზე m (შემთხვევა 2) ან β სიბრტყეზე (შემთხვევა 3). გადამკვეთ სწორ ხაზებს შორის მანძილებს ჯერ ვამაგრებთ პარალელურად α და β სიბრტყეებში და შემდეგ ვადგენთ მანძილს ამ სიბრტყეებს შორის.
განვიხილოთ პრობლემის გადაჭრის თითოეული აღნიშნული შემთხვევა.
1. წერტილსა და სიბრტყეს შორის მანძილის განსაზღვრა.
მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე განისაზღვრება წერტილიდან სიბრტყემდე დახატული პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძით.
ამრიგად, ამ პრობლემის გადაწყვეტა შედგება შემდეგი გრაფიკული ოპერაციების თანმიმდევრულად შესრულებაში:
1) A წერტილიდან ვამცირებთ α სიბრტყის პერპენდიკულარს (სურ. 269);
2) იპოვეთ ამ პერპენდიკულარის გადაკვეთის M წერტილი M = a ∩ α სიბრტყესთან;
3) განსაზღვრეთ სეგმენტის სიგრძე.
თუ α სიბრტყე ზოგად მდგომარეობაშია, მაშინ ამ სიბრტყეზე პერპენდიკულარის დასაწევად, ჯერ უნდა განისაზღვროს ამ სიბრტყის ჰორიზონტალური და შუბლის პროგნოზების მიმართულება. ამ პერპენდიკულარის სიბრტყესთან შეხვედრის წერტილის პოვნა ასევე მოითხოვს დამატებით გეომეტრიულ კონსტრუქციებს.
პრობლემის გადაწყვეტა გამარტივებულია, თუ სიბრტყე α იკავებს კონკრეტულ პოზიციას პროექციის სიბრტყეებთან მიმართებაში. ამ შემთხვევაში, როგორც პერპენდიკულარულის პროექცია, ისე მისი შეხვედრის წერტილის დადგენა სიბრტყესთან, ხორციელდება დამატებითი დამხმარე კონსტრუქციების გარეშე.
მაგალითი 1. განვსაზღვროთ მანძილი A წერტილიდან α ფრონტალურად გამომავალი სიბრტყემდე (სურ. 270).
გადაწყვეტა. A"-ის მეშვეობით ვხატავთ l" ⊥ h 0α პერპენდიკულარულის ჰორიზონტალურ პროექციას, ხოლო A"-ს გავლით - მისი შუბლის პროექცია l" ⊥ f 0α. ჩვენ აღვნიშნავთ წერტილს M" = l" ∩ f 0α . AM-დან || π 2, შემდეგ [A" M"] == |AM| = დ.
განხილული მაგალითიდან ირკვევა, თუ რამდენად მარტივად წყდება პრობლემა, როდესაც თვითმფრინავი საპროექციო პოზიციას იკავებს. ამიტომ, თუ წყაროს მონაცემებში მითითებულია ზოგადი პოზიციის სიბრტყე, მაშინ გადაწყვეტის დაწყებამდე სიბრტყე უნდა გადავიდეს ნებისმიერ პროექციის სიბრტყის პერპენდიკულარულ მდგომარეობაში.
მაგალითი 2. განვსაზღვროთ მანძილი K წერტილიდან ΔАВС-ით მითითებულ სიბრტყამდე (სურ. 271).
1. თვითმფრინავი ΔАВС გადავიყვანთ საპროექტო პოზიციაზე *. ამისათვის გადავდივართ xπ 2 /π 1 სისტემიდან x 1 π 3 /π 1-ზე: ახალი x 1 ღერძის მიმართულება არჩეულია სამკუთხედის ჰორიზონტალური სიბრტყის ჰორიზონტალური პროექციის პერპენდიკულურად.
2. პროექტი ΔABC ახალ სიბრტყეზე π 3 (ΔABC სიბრტყე დაპროექტებულია π 3-ზე, [ C " 1 B " 1 ]-ში).
3. დააყენეთ K წერტილი იმავე სიბრტყეზე (K" → K" 1).
4. K" 1 წერტილის გავლით ვხატავთ (K" 1 M" 1)⊥ სეგმენტს [C" 1 B" 1 ]. საჭირო მანძილი d = |K" 1 M" 1 |
პრობლემის გადაწყვეტა გამარტივებულია, თუ თვითმფრინავი განისაზღვრება კვალით, რადგან არ არის საჭირო დონის ხაზების პროგნოზების დახატვა.
მაგალითი 3. განვსაზღვროთ მანძილი K წერტილიდან α სიბრტყემდე, რომელიც მითითებულია ტრასებით (სურ. 272).
* სამკუთხედის სიბრტყის საპროექციო პოზიციაზე გადატანის ყველაზე რაციონალური გზაა საპროექციო სიბრტყეების შეცვლა, ვინაიდან ამ შემთხვევაში საკმარისია მხოლოდ ერთი დამხმარე პროექციის აგება.
გადაწყვეტა. თვითმფრინავს π 1 ვცვლით π 3 სიბრტყით, ამისთვის ვხატავთ ახალ ღერძს x 1 ⊥ f 0α. h 0α ჩვენ აღვნიშნავთ თვითნებურ წერტილს 1" და ვადგენთ მის ახალ ჰორიზონტალურ პროექციას π 3 (1" 1) სიბრტყეზე. X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) და 1" 1 წერტილების მეშვეობით ვხატავთ h 0α 1. განვსაზღვრავთ K → K" 1 წერტილის ახალ ჰორიზონტალურ პროექციას. K" 1 წერტილიდან ვამცირებთ პერპენდიკულარს h 0α 1-ზე და ვნიშნავთ მისი გადაკვეთის წერტილს h 0α 1 - M" 1-ით. სეგმენტის სიგრძე K" 1 M" 1 მიუთითებს საჭირო მანძილს.
2. სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის მანძილის განსაზღვრა.
მანძილი ხაზსა და სიბრტყეს შორის განისაზღვრება პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძით, რომელიც ჩამოშვებულია წრფის თვითნებური წერტილიდან სიბრტყემდე (იხ. სურ. 248).
მაშასადამე, სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის მანძილის განსაზღვრის პრობლემის გადაწყვეტა არაფრით განსხვავდება წერტილსა და სიბრტყეს შორის მანძილის დასადგენად 1 პუნქტში განხილული მაგალითებისგან (იხ. სურ. 270 ... 272). როგორც წერტილი, შეგიძლიათ მიიღოთ ნებისმიერი წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება m წრფეს.
3. სიბრტყეებს შორის მანძილის განსაზღვრა.
სიბრტყეებს შორის მანძილი განისაზღვრება პერპენდიკულარული სეგმენტის ზომით, რომელიც ჩამოშვებულია ერთი სიბრტყეზე გადაღებული წერტილიდან მეორე სიბრტყეზე.
ამ განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ α და β სიბრტყეებს შორის მანძილის პოვნის პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი განსხვავდება m და α სიბრტყეს შორის მანძილის განსაზღვრის პრობლემის გადაჭრის მსგავსი ალგორითმისგან მხოლოდ იმ წრფეში m უნდა მიეკუთვნებოდეს α სიბრტყეს. , ანუ, α და β სიბრტყეებს შორის მანძილის დასადგენად შემდეგია:
1) ავიღეთ სწორი ხაზი α სიბრტყეში m;
2) აირჩიეთ თვითნებური წერტილი A წრფეზე m;
3) A წერტილიდან ჩამოწიეთ l პერპენდიკულარული β სიბრტყეზე;
4) განსაზღვრეთ M წერტილი - l-ის პერპენდიკულარული β სიბრტყესთან შეხვედრის წერტილი;
5) განსაზღვრეთ სეგმენტის ზომა.
პრაქტიკაში მიზანშეწონილია გამოიყენოთ სხვა გადაწყვეტის ალგორითმი, რომელიც განსხვავდება მოცემულისგან მხოლოდ იმით, რომ პირველ საფეხურზე გაგრძელებამდე თვითმფრინავები უნდა გადავიდეს საპროექციო პოზიციაზე.
ამ დამატებითი ოპერაციის ალგორითმში ჩართვა ამარტივებს ყველა სხვა პუნქტის შესრულებას გამონაკლისის გარეშე, რაც საბოლოო ჯამში იწვევს უფრო მარტივ გადაწყვეტას.
მაგალითი 1. დაადგინეთ მანძილი α და β სიბრტყეებს შორის (სურ. 273).
გადაწყვეტა. სისტემიდან xπ 2 /π 1 გადავდივართ x 1 π 1 /π 3-ზე. ახალ სიბრტყეს π 3-თან მიმართებით, α და β სიბრტყეები იკავებენ საპროექციო პოზიციას, ამიტომ მანძილი ახალ შუბლის კვალს f 0α 1 და f 0β 1 შორის არის სასურველი.
საინჟინრო პრაქტიკაში ხშირად საჭიროა მოცემული სიბრტყის პარალელურად აგების და მოცემულ მანძილზე მისგან მოცილების პრობლემის გადაჭრა. მაგალითი 2 ქვემოთ ასახავს ასეთი პრობლემის გადაწყვეტას.
მაგალითი 2. საჭიროა β სიბრტყის პროექციების აგება მოცემული სიბრტყის α (m || n) პარალელურად, თუ ცნობილია, რომ მათ შორის მანძილი არის d (ნახ. 274).
1. α სიბრტყეში დახაზეთ თვითნებური ჰორიზონტალური ხაზები h (1, 3) და წინა ხაზები f (1,2).
2. 1 წერტილიდან აღვადგენთ l-ს პერპენდიკულარულ სიბრტყეს α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").
3. პერპენდიკულარულ l-ზე აღვნიშნავთ თვითნებურ A წერტილს.
4. განვსაზღვროთ სეგმენტის სიგრძე - (პოზიცია დიაგრამაზე მიუთითებს სწორი ხაზის მეტრულად დაუმახინჯებელ მიმართულებას l).
5. ჩამოაყალიბეთ სეგმენტი = d სწორ ხაზზე (1"A 0) 1 წერტილიდან".
6. პროექციებზე მონიშნეთ l" და l" წერტილები B" და B", B 0 წერტილის შესაბამისი.
7. B წერტილის გავლით ვხატავთ β სიბრტყეს (h 1 ∩ f 1). β || α, აუცილებელია h 1 || პირობის დაცვა თ და ვ 1 || ვ.
4. გადამკვეთ ხაზებს შორის მანძილის განსაზღვრა.
გადაკვეთის ხაზებს შორის მანძილი განისაზღვრება იმ პერპენდიკულარულის სიგრძით, რომელიც შეიცავს პარალელურ სიბრტყეებს შორის, რომლებსაც მიეკუთვნება გადამკვეთი ხაზები.
იმისათვის, რომ გავავლოთ ერთმანეთის პარალელური სიბრტყეები α და β გადამკვეთი m და f სწორი ხაზებით, საკმარისია A წერტილიდან (A ∈ m) სწორი ხაზის გავხაზოთ f სწორი ხაზის პარალელურად და B წერტილის გავლით (B ∈ f) სწორი ხაზი k სწორი m-ის პარალელურად. გადამკვეთი ხაზები m და p, f და k განსაზღვრავენ ურთიერთპარალელურ სიბრტყეებს α და β (იხ. სურ. 248, e). α და β სიბრტყეებს შორის მანძილი უდრის m და f გადაკვეთის ხაზებს შორის საჭირო მანძილს.
გადაკვეთის ხაზებს შორის მანძილის დასადგენად შეიძლება შემოგვთავაზოს კიდევ ერთი გზა, რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ ორთოგონალური პროგნოზების გარდაქმნის ზოგიერთი მეთოდის გამოყენებით, ერთ-ერთი გადამკვეთი ხაზი გადადის საპროექციო პოზიციაზე. ამ შემთხვევაში, ხაზის ერთი პროექცია გადაგვარდება წერტილად. მანძილი გადაკვეთის ხაზების ახალ პროგნოზებს შორის (წერტილი A" 2 და სეგმენტი C" 2 D" 2) არის საჭირო.
ნახ. 275 გვიჩვენებს პრობლემის გადაჭრას a და b გადაკვეთის ხაზებს შორის მანძილის განსაზღვრის შესახებ, მოცემული სეგმენტები [AB] და [CD]. გამოსავალი ხორციელდება შემდეგი თანმიმდევრობით:
1. ერთ-ერთი გადაკვეთის ხაზი (a) გადაიტანეთ π 3 სიბრტყის პარალელურ მდგომარეობაში; ამისათვის გადადით პროექციის სიბრტყეების სისტემიდან xπ 2 /π 1 ახალ x 1 π 1 /π 3-ზე, x 1 ღერძი პარალელურია სწორი ხაზის ჰორიზონტალური პროექციისა. განსაზღვრეთ a" 1 [A" 1 B" 1 ] და b" 1.
2. π 1 სიბრტყის π 4 სიბრტყით შეცვლით, ვთარგმნით სწორ ხაზს.
და a" 2-ის პოზიციაზე, π 4 სიბრტყის პერპენდიკულარულად (ახალი x 2 ღერძი დახატულია a" 1-ის პერპენდიკულურად).
3. ააგეთ სწორი ხაზის ახალი ჰორიზონტალური პროექცია b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].
4. მანძილი A" 2 წერტილიდან C" 2 D" 2 სწორ ხაზამდე (სეგმენტი (A" 2 M" 2 ] (აუცილებელია.
გასათვალისწინებელია, რომ ერთ-ერთი გადაკვეთის ხაზის გადატანა საპროექციო პოზიციაზე სხვა არაფერია, თუ არა პარალელურობის სიბრტყეების გადატანა, რომლებშიც შეიძლება იყოს წრფეები a და b, ასევე საპროექტო პოზიციაზე.
ფაქტობრივად, a წრფის გადაადგილებით π 4 სიბრტყის პერპენდიკულარულ პოზიციაზე, ჩვენ უზრუნველვყოფთ, რომ a წრფის შემცველი ნებისმიერი სიბრტყე პერპენდიკულარულია π 4 სიბრტყის, α და m წრფეებით განსაზღვრული α სიბრტყის ჩათვლით (a ∩ m, m | |. ბ). თუ ახლა გავავლებთ n წრფეს, პარალელურად a-ს და ვკვეთთ b წრფეს, მაშინ მივიღებთ β სიბრტყეს, რომელიც არის პარალელიზმის მეორე სიბრტყე, რომელიც შეიცავს a და b წრფეებს. ვინაიდან β || α, შემდეგ β ⊥ π 4 .
დაე, იყოს თვითმფრინავი 
. დავხატოთ ნორმალური 
კოორდინატების წარმოშობის მეშვეობით O. მოდით მოცემული 
- კუთხეები, რომლებიც წარმოიქმნება ნორმალურით 
კოორდინატთა ღერძებით. 
. დაე 
- ნორმალური სეგმენტის სიგრძე 
სანამ არ გადაიკვეთება სიბრტყესთან. ვივარაუდოთ, რომ ნორმალურის მიმართულების კოსინუსები ცნობილია 
, გამოვიყვანთ სიბრტყის განტოლებას 
.
დაე 
) არის თვითნებური წერტილი სიბრტყეზე. ერთეულ ნორმალურ ვექტორს აქვს კოორდინატები. ვიპოვოთ ვექტორის პროექცია 
ნორმალურამდე.
მას შემდეგ რაც წერტილი მთვითმფრინავს ეკუთვნის, მაშინ
.
ეს არის მოცემული სიბრტყის განტოლება, ე.წ ნორმალური .
მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე
დაე, თვითმფრინავი მიეცეს 
,მ*
- წერტილი სივრცეში, დ
- მისი მანძილი თვითმფრინავიდან.
განმარტება.
გადახრა
ქულები M*თვითმფრინავიდან ეწოდება ნომერი ( +
დ),
თუ მ*
დევს სიბრტყის მეორე მხარეს, სადაც ნორმალურია დადებითი მიმართულება 
და ნომერი (- დ), თუ წერტილი მდებარეობს სიბრტყის მეორე მხარეს:
.
თეორემა.
გაუშვით თვითმფრინავი 
ერთეულით ნორმალური 
მოცემულია ნორმალური განტოლებით:
დაე მ*
– წერტილი სივრცეში გადახრა t. მ* თვითმფრინავიდან მოცემულია გამოსახულებით
მტკიცებულება.პროექცია თ. 
* ნორმალურად აღვნიშნავთ ქ.
წერტილის გადახრა M*თვითმფრინავიდან ტოლია
.
წესი.Პოვნა გადახრა
თ. მ* სიბრტყიდან, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ t კოორდინატები სიბრტყის ნორმალურ განტოლებაში. მ*
. მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე არის 
.
ზოგადი სიბრტყის განტოლების ნორმალურ ფორმამდე შემცირება
მოდით, ერთი და იგივე სიბრტყე განისაზღვროს ორი განტოლებით:
ზოგადი განტოლება
ნორმალური განტოლება.
ვინაიდან ორივე განტოლება განსაზღვრავს ერთსა და იმავე სიბრტყეს, მათი კოეფიციენტები პროპორციულია:
პირველი სამი ტოლობის კვადრატში გამოვყოთ და შევკრიბოთ:
აქედან ვიპოვით 
- ნორმალიზების ფაქტორი:
. (10)
სიბრტყის ზოგადი განტოლების ნორმალიზება ფაქტორზე გამრავლებით მივიღებთ სიბრტყის ნორმალურ განტოლებას:
პრობლემების მაგალითები თემაზე "თვითმფრინავი".
მაგალითი 1.შექმენით თვითმფრინავის განტოლება 
მოცემულ წერტილში გავლისას 
(2,1,-1) და სიბრტყის პარალელურად.
გამოსავალი. ჩვეულებრივი თვითმფრინავისთვის 
:
. ვინაიდან თვითმფრინავები პარალელურია, მაშინ ნორმალურია 
ასევე ნორმალურია სასურველი თვითმფრინავისთვის 
. მოცემულ წერტილში (3) გამავალი სიბრტყის განტოლების გამოყენებით ვიღებთ სიბრტყისთვის 
განტოლება:
პასუხი:
მაგალითი 2.პერპენდიკულარულის ფუძე დაეცა საწყისიდან სიბრტყეზე 
, არის აზრი 
. იპოვეთ სიბრტყის განტოლება 
.
გამოსავალი. ვექტორი 
ნორმალურია თვითმფრინავისთვის 
. Წერტილი მ 0
თვითმფრინავს ეკუთვნის. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში (3):
პასუხი:
მაგალითი 3.თვითმფრინავის აშენება 
, ქულების გავლით 
და სიბრტყეზე პერპენდიკულარული 
:.
ამიტომ, რაღაც მომენტისთვის მ
(x,
წ,
ზ) ეკუთვნოდა თვითმფრინავს 
, აუცილებელია სამი ვექტორი 
თანაპლენარული იყო:
=0.
რჩება დეტერმინანტის გამოვლენა და მიღებული გამოხატულება ზოგადი განტოლების (1) ფორმამდე მიყვანა.
მაგალითი 4.თვითმფრინავი 
მოცემულია ზოგადი განტოლებით:
იპოვნეთ წერტილის გადახრა 
მოცემული თვითმფრინავიდან.
გამოსავალი. მოდით მივიყვანოთ სიბრტყის განტოლება ნორმალურ ფორმამდე.
,
.
მოდით შევცვალოთ წერტილის კოორდინატები მიღებულ ნორმალურ განტოლებაში M*.
.
პასუხი: 
.
მაგალითი 5.კვეთს თუ არა თვითმფრინავი სეგმენტს?
გამოსავალი. Ჭრა ABგადაკვეთა თვითმფრინავი, გადახრები 
და 
თვითმფრინავიდან 
უნდა ჰქონდეს განსხვავებული ნიშნები:
.
მაგალითი 6.სამი სიბრტყის გადაკვეთა ერთ წერტილში.
.
სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, შესაბამისად, სამ სიბრტყეს აქვს ერთი საერთო წერტილი.
მაგალითი 7.ორი მოცემული სიბრტყით წარმოქმნილი ორთავიანი კუთხის ბისექტრების პოვნა.
დაე 
და 
- რაღაც წერტილის გადახრა 
პირველი და მეორე თვითმფრინავებიდან.
ერთ-ერთ ბისექტრის სიბრტყეზე (შეესაბამება იმ კუთხს, რომელშიც დევს კოორდინატების საწყისი) ეს გადახრები ტოლია სიდიდით და ნიშნით, ხოლო მეორეზე ისინი ტოლია სიდიდით და საპირისპირო ნიშნით.
ეს არის პირველი ბისექტრული სიბრტყის განტოლება.
ეს არის მეორე ბისექტრის სიბრტყის განტოლება.
მაგალითი 8.ორი მოცემული წერტილის მდებარეობის განსაზღვრა 
და 
ამ სიბრტყეების მიერ წარმოქმნილ დიჰედრულ კუთხეებთან შედარებით.
დაე 
. განსაზღვრეთ: არის წერტილები ერთ, მიმდებარე ან ვერტიკალურ კუთხეებში 
და 
.
ა). თუ 
და 
დაწექი ერთ მხარეს 
და დან 
, შემდეგ ისინი დევს იმავე დიედრალურ კუთხეში.
ბ). თუ 
და 
დაწექი ერთ მხარეს 
და განსხვავებული 
, შემდეგ ისინი წევენ მიმდებარე კუთხეებში.
V). თუ 
და 
დაწექი მოპირდაპირე მხარეს 
და 
, შემდეგ ისინი დევს ვერტიკალურ კუთხეებში.
საკოორდინაციო სისტემები 3
ხაზები თვითმფრინავში 8
პირველი შეკვეთის ხაზები. პირდაპირ თვითმფრინავში. 10
კუთხე სწორ ხაზებს შორის 12
მე-13 ხაზის ზოგადი განტოლება
არასრული პირველი ხარისხის განტოლება 14
სწორი ხაზის განტოლება "სეგმენტებში" 14
ორი წრფის განტოლებების ერთობლივი შესწავლა 15
ნორმალური მე-15 სტრიქონამდე
კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის 16
მე-16 წრფის კანონიკური განტოლება
მე-17 წრფის პარამეტრული განტოლებები
მე-18 წრფის ნორმალური (ნორმალიზებული) განტოლება
მანძილი წერტილიდან მე-19 ხაზამდე
ხაზების ფანქრის განტოლება 20
პრობლემების მაგალითები თემაზე "ხაზი თვითმფრინავში" 22
ვექტორების ვექტორული ნამრავლი 24
ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები 24
გეომეტრიული თვისებები 24
ალგებრული თვისებები 25
ვექტორული ნამრავლის გამოხატვა ფაქტორების კოორდინატებით 26
სამი ვექტორის შერეული ნამრავლი 28
შერეული პროდუქტის გეომეტრიული მნიშვნელობა 28
შერეული ნამრავლის გამოხატვა ვექტორული კოორდინატებით 29
პრობლემის გადაჭრის მაგალითები
წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის პოვნა ჩვეულებრივი პრობლემაა, რომელიც წარმოიქმნება ანალიტიკური გეომეტრიის სხვადასხვა ამოცანის ამოხსნისას, მაგალითად, ეს პრობლემა შეიძლება შემცირდეს მანძილის პოვნამდე ორ გადამკვეთ სწორ ხაზს შორის ან სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის პარალელურად; ის.
განვიხილოთ თვითმფრინავი $β$ და წერტილი $M_0$ კოორდინატებით $(x_0;y_0; z_0)$, რომელიც არ ეკუთვნის $β$ სიბრტყეს.
განმარტება 1
წერტილსა და სიბრტყეს შორის უმოკლესი მანძილი იქნება $M_0$ წერტილიდან $β$ სიბრტყემდე შედგენილი პერპენდიკულარი.
სურათი 1. მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე. ავტორი24 - სტუდენტური ნამუშევრების ონლაინ გაცვლა
ქვემოთ განვიხილავთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე კოორდინატთა მეთოდის გამოყენებით.
სივრცის წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის პოვნის კოორდინატთა მეთოდის ფორმულის გამომუშავება
პერპენდიკულარი $M_0$ წერტილიდან, რომელიც $β$-ს $M_1$ წერტილში $(x_1;y_1; z_1)$ კოორდინატებით კვეთს სიბრტყეს $(x_1;y_1; z_1)$-ს კვეთს სწორ ხაზზე, რომლის მიმართულების ვექტორი არის $β$ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი. ამ შემთხვევაში $n$ ერთეული ვექტორის სიგრძე ერთის ტოლია. შესაბამისად, მანძილი $β$-დან $M_0$ წერტილამდე იქნება:
$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, სადაც $\vec(M_1M_0)$ არის $β$ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი და $\vec( n)$ არის განსახილველი სიბრტყის ერთეული ნორმალური ვექტორი.
იმ შემთხვევაში, როდესაც სიბრტყის განტოლება მოცემულია ზოგადი სახით $Ax+ By + Cz + D=0$, სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები არის $\(A;B;C\) განტოლების კოეფიციენტები. )$ და ერთეულ ნორმალურ ვექტორს ამ შემთხვევაში აქვს კოორდინატები, გამოითვლება შემდეგი განტოლების გამოყენებით:
$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\მარცხენა(2\მარჯვნივ)$.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ $\vec(M_1M_0)$ ნორმალური ვექტორის კოორდინატები:
$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\მარცხენა(3\მარჯვნივ)$.
ჩვენ ასევე გამოვხატავთ $D$ კოეფიციენტს $β$ სიბრტყეში მდებარე წერტილის კოორდინატების გამოყენებით:
$D= Ax_1+By_1+Cz_1$
ერთეული ნორმალური ვექტორის კოორდინატები $(2)$ ტოლობიდან შეიძლება შეიცვალოს $β$ სიბრტყის განტოლებაში, მაშინ გვაქვს:
$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\მარცხენა(4\მარჯვნივ)$
ტოლობა $(4)$ არის ფორმულა სივრცეში წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის დასადგენად.
ზოგადი ალგორითმი $M_0$ წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის საპოვნელად
- თუ თვითმფრინავის განტოლება არ არის მოცემული ზოგადი ფორმით, ჯერ უნდა შეამციროთ იგი ზოგად ფორმამდე.
- ამის შემდეგ, სიბრტყის ზოგადი განტოლებიდან უნდა გამოვხატოთ მოცემული სიბრტყის ნორმალური ვექტორი $M_0$ წერტილის და მოცემული სიბრტყის კუთვნილი წერტილის გავლით, ამისთვის უნდა გამოვიყენოთ ტოლობა $(3)$. .
- შემდეგი ეტაპი არის სიბრტყის ერთეული ნორმალური ვექტორის კოორდინატების ძიება $(2)$ ფორმულის გამოყენებით.
- და ბოლოს, თქვენ შეგიძლიათ დაიწყოთ მანძილის პოვნა წერტილიდან სიბრტყემდე, ეს კეთდება $\vec(n)$ და $\vec(M_1M_0)$ ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამოთვლით.