დისკრეტული განაწილების განხილული თვისება ქმნის მნიშვნელოვან სირთულეებს ასეთი განაწილების ტაბულირებისა და გამოყენებისას, რადგან შეუძლებელია განაწილების მახასიათებლების ტიპიური რიცხვითი მნიშვნელობების ზუსტად შენარჩუნება. კერძოდ, ეს ეხება არაპარამეტრული სტატისტიკური ტესტების კრიტიკულ მნიშვნელობებსა და მნიშვნელოვნების დონეებს (იხ. ქვემოთ), ვინაიდან ამ ტესტების სტატისტიკის განაწილება დისკრეტულია.

კვანტილურ წესრიგს დიდი მნიშვნელობა აქვს სტატისტიკაში რ= ½. მას ეწოდება მედიანა (შემთხვევითი ცვლადი Xან მისი განაწილების ფუნქცია F(x))და დანიშნულია მე(X).გეომეტრიაში არსებობს "მედიანის" კონცეფცია - სწორი ხაზი, რომელიც გადის სამკუთხედის წვეროზე და ყოფს მის მოპირდაპირე მხარეს შუაზე. მათემატიკური სტატისტიკაში მედიანა შუაზე ყოფს არა სამკუთხედის გვერდს, არამედ შემთხვევითი ცვლადის განაწილებას: თანასწორობა. F(x 0.5)= 0.5 ნიშნავს მარცხნივ მოხვედრის ალბათობას x 0.5და მარჯვნივ მოხვედრის ალბათობა x 0.5(ან პირდაპირ x 0.5) ერთმანეთის ტოლია და ½-ის ტოლია, ე.ი.

პ(X < x 0,5) = პ(X > x 0.5) = ½.

მედიანა მიუთითებს განაწილების "ცენტრზე". ერთ-ერთი თანამედროვე კონცეფციის - სტაბილური სტატისტიკური პროცედურების თეორიის თვალსაზრისით, მედიანა შემთხვევითი ცვლადის უკეთესი მახასიათებელია, ვიდრე მათემატიკური მოლოდინი. გაზომვის შედეგების რიგითი მასშტაბით დამუშავებისას (იხ. თავი გაზომვის თეორიის შესახებ), შეიძლება გამოყენებულ იქნას მედიანა, მაგრამ მათემატიკური მოლოდინი არა.

შემთხვევითი ცვლადის მახასიათებელს, როგორიცაა რეჟიმი, აქვს მკაფიო მნიშვნელობა - შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა (ან მნიშვნელობები), რომელიც შეესაბამება უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის ლოკალურ მაქსიმუმს ან დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის ლოკალურ მაქსიმუმს. .

თუ x 0- შემთხვევითი ცვლადის რეჟიმი სიმკვრივით f(x),მაშინ, როგორც ცნობილია დიფერენციალური გამოთვლებიდან,.

შემთხვევით ცვლადს შეიძლება ჰქონდეს მრავალი რეჟიმი. ასე რომ, ერთიანი განაწილებისთვის (1) თითოეული წერტილი Xისეთივე როგორც ა< x < b , მოდაა. თუმცა, ეს გამონაკლისია. შემთხვევითი ცვლადების უმეტესობას, რომლებიც გამოიყენება გადაწყვეტილების მიღების ალბათურ სტატისტიკურ მეთოდებში და სხვა გამოყენებითი კვლევებში, აქვს ერთი რეჟიმი. შემთხვევით ცვლადებს, სიმკვრივეებს, განაწილებებს, რომლებსაც აქვთ ერთი რეჟიმი, ეწოდება უნიმოდალური.

მათემატიკური მოლოდინი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების სასრული რაოდენობის მნიშვნელობებით განხილულია თავში „მოვლენები და ალბათობები“. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის Xმოსალოდნელი ღირებულება M(X)აკმაყოფილებს თანასწორობას

რომელიც არის (5) ფორმულის ანალოგი „მოვლენები და ალბათობები“ თავის მე-2 დებულებიდან.

მაგალითი 5.თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი Xუდრის

ამ თავში განხილული შემთხვევითი ცვლადებისთვის, მათემატიკური მოლოდინებისა და ვარიაციების ყველა ის თვისება, რომლებიც ადრე იყო გათვალისწინებული დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების სასრული რაოდენობის მნიშვნელობებით, მართალია. თუმცა, ჩვენ არ ვამტკიცებთ ამ თვისებებს, რადგან ისინი საჭიროებენ მათემატიკური დახვეწილობის გაღრმავებას, რაც არ არის აუცილებელი გადაწყვეტილების მიღების ალბათურ-სტატისტიკური მეთოდების გაგებისა და კვალიფიციური გამოყენებისთვის.

კომენტარი.ეს სახელმძღვანელო შეგნებულად გაურბის მათემატიკურ დახვეწილობას, რომელიც დაკავშირებულია, კერძოდ, გაზომვადი სიმრავლეთა და გაზომვადი ფუნქციების ცნებებთან, მოვლენათა ალგებრასთან და ა.შ. ამ ცნებების დაუფლების მსურველებმა უნდა მიმართონ სპეციალიზებულ ლიტერატურას, კერძოდ, ენციკლოპედიას.

სამი მახასიათებლიდან თითოეული - მათემატიკური მოლოდინი, მედიანა, რეჟიმი - აღწერს ალბათობის განაწილების „ცენტრს“. "ცენტრის" ცნება შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა გზით - აქედან გამომდინარეობს სამი განსხვავებული მახასიათებელი. თუმცა, განაწილების მნიშვნელოვანი კლასისთვის - სიმეტრიული უნიმოდალური - სამივე მახასიათებელი ემთხვევა.

განაწილების სიმკვრივე f(x)– სიმეტრიული განაწილების სიმკვრივე, თუ არის რიცხვი x 0ისეთივე როგორც

. (3)

ტოლობა (3) ნიშნავს, რომ ფუნქციის გრაფიკი y = f(x)სიმეტრიული ვერტიკალური ხაზის მიმართ, რომელიც გადის სიმეტრიის ცენტრში X = X 0 . (3)-დან გამომდინარეობს, რომ სიმეტრიული განაწილების ფუნქცია აკმაყოფილებს ურთიერთობას

(4)

ერთი რეჟიმით სიმეტრიული განაწილებისთვის, მათემატიკური მოლოდინი, მედიანა და რეჟიმი ემთხვევა და ტოლია x 0.

ყველაზე მნიშვნელოვანი შემთხვევაა სიმეტრია 0-ის შესახებ, ე.ი. x 0= 0. შემდეგ (3) და (4) ხდება ტოლობები

(6)

შესაბამისად. ზემოაღნიშნული მიმართებები აჩვენებს, რომ არ არის საჭირო ყველასთვის სიმეტრიული განაწილების ცხრილების შედგენა X, საკმარისია მაგიდები x > x 0.

აღვნიშნოთ სიმეტრიული განაწილების კიდევ ერთი თვისება, რომელიც მუდმივად გამოიყენება გადაწყვეტილების მიღების ალბათურ-სტატისტიკურ მეთოდებსა და სხვა გამოყენებითი კვლევებში. უწყვეტი განაწილების ფუნქციისთვის

P(|X| < ა) = P(-a < X < ა) = F(a) – F(-a),

სად ფ– შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია X. თუ განაწილების ფუნქცია ფარის სიმეტრიული დაახლოებით 0, ე.ი. ფორმულა (6) მოქმედებს ამისთვის

P(|X| < ა) = 2F(a) – 1.

ხშირად გამოიყენება განსახილველი განცხადების სხვა ფორმულირება: თუ

.

თუ და არის რიგის კვანტილები და, შესაბამისად (იხ. (2)) განაწილების ფუნქციის სიმეტრიული 0-ის შესახებ, მაშინ (6)-დან გამომდინარეობს, რომ

პოზიციის მახასიათებლებიდან - მათემატიკური მოლოდინი, მედიანა, რეჟიმი - გადავიდეთ შემთხვევითი ცვლადის გავრცელების მახასიათებლებზე. X: ვარიაცია, სტანდარტული გადახრა და ვარიაციის კოეფიციენტი ვ. დისპერსიის განმარტება და თვისებები დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების შესახებ განხილული იყო წინა თავში. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის

სტანდარტული გადახრა არის დისპერსიის კვადრატული ფესვის არაუარყოფითი მნიშვნელობა:

ცვალებადობის კოეფიციენტი არის სტანდარტული გადახრის თანაფარდობა მათემატიკური მოლოდინის მიმართ:

ცვალებადობის კოეფიციენტი გამოიყენება როცა M(X)> 0. ის ზომავს გავრცელებას ფარდობით ერთეულებში, ხოლო სტანდარტული გადახრა არის აბსოლუტურ ერთეულებში.

მაგალითი 6.ერთნაირად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადისთვის Xვიპოვოთ დისპერსია, სტანდარტული გადახრა და ცვალებადობის კოეფიციენტი. განსხვავება არის:

ცვლადის შეცვლა შესაძლებელს ხდის დაწეროს:

სად გ = (ბ – ა)/ 2. მაშასადამე, სტანდარტული გადახრა უდრის და ცვალებადობის კოეფიციენტი არის:

ყოველი შემთხვევითი ცვლადი Xდაადგინეთ კიდევ სამი რაოდენობა - ორიენტირებული ინორმალიზებული ვდა მიცემული უ. ცენტრირებული შემთხვევითი ცვლადი იარის განსხვავება მოცემულ შემთხვევით ცვლადს შორის Xდა მისი მათემატიკური მოლოდინი M(X),იმათ. ი = X – M(X).ორიენტირებული შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი იუდრის 0-ს და დისპერსია არის მოცემული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია: M(ი) = 0, დ(ი) = დ(X). განაწილების ფუნქცია F Y(x) ორიენტირებული შემთხვევითი ცვლადი იგანაწილების ფუნქციასთან დაკავშირებული ფ(x) ორიგინალური შემთხვევითი ცვლადი Xთანაფარდობა:

F Y(x) = ფ(x + მ(X)).

ამ შემთხვევითი ცვლადების სიმკვრივეები აკმაყოფილებს თანასწორობას

f Y(x) = ვ(x + მ(X)).

ნორმალიზებული შემთხვევითი ცვლადი ვარის მოცემული შემთხვევითი ცვლადის თანაფარდობა Xმის სტანდარტულ გადახრამდე, ე.ი. . ნორმალიზებული შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი და ვარიაცია ვგამოიხატება მახასიათებლებით XᲘსე:

,

სად ვ– ორიგინალური შემთხვევითი ცვლადის ცვალებადობის კოეფიციენტი X. განაწილების ფუნქციისთვის F V(x) და სიმკვრივე ვ ვ(x) ნორმალიზებული შემთხვევითი ცვლადი ვჩვენ გვაქვს:

სად ფ(x) – ორიგინალური შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია X, ა ვ(x) - მისი ალბათობის სიმკვრივე.

შემცირებული შემთხვევითი ცვლადი უარის ორიენტირებული და ნორმალიზებული შემთხვევითი ცვლადი:

.

მოცემული შემთხვევითი ცვლადისთვის

ნორმალიზებული, ორიენტირებული და შემცირებული შემთხვევითი ცვლადები მუდმივად გამოიყენება როგორც თეორიულ კვლევებში, ასევე ალგორითმებში, პროგრამულ პროდუქტებში, მარეგულირებელ, ტექნიკურ და ინსტრუქციულ დოკუმენტაციაში. განსაკუთრებით იმიტომ, რომ თანასწორობა საშუალებას იძლევა გამარტივდეს მეთოდების დასაბუთება, თეორემების ფორმულირება და გამოთვლის ფორმულები.

გამოყენებულია შემთხვევითი და უფრო ზოგადი ცვლადების ტრანსფორმაციები. ასე რომ, თუ ი = ნაჯახი + ბ, სად ადა ბ- მაშინ რამდენიმე რიცხვი

მაგალითი 7.თუ მაშინ იარის შემცირებული შემთხვევითი ცვლადი და ფორმულები (8) გადაიქცევა ფორმულებად (7).

ყოველი შემთხვევითი ცვლადით Xშეგიძლიათ დააკავშიროთ მრავალი შემთხვევითი ცვლადი იფორმულით მოცემული ი = ნაჯახი + ბსხვადასხვა დროს ა> 0 და ბ. ეს ნაკრები ე.წ მასშტაბის ცვლის ოჯახი, გენერირებული შემთხვევითი ცვლადის მიერ X. განაწილების ფუნქციები F Y(x) წარმოადგენს განაწილების ფუნქციის მიერ წარმოქმნილ განაწილებათა მასშტაბის ცვლის ოჯახს ფ(x). Იმის მაგივრად ი = ნაჯახი + ბხშირად იყენებენ ჩანაწერს

ნომერი თანეწოდება shift პარამეტრი და რიცხვი დ- მასშტაბის პარამეტრი. ფორმულა (9) აჩვენებს, რომ X– გარკვეული რაოდენობის გაზომვის შედეგი – შედის უ– იგივე სიდიდის გაზომვის შედეგი, თუ გაზომვის დასაწყისი გადატანილია წერტილში თანდა შემდეგ გამოიყენეთ ახალი საზომი ერთეული, in დჯერ უფრო დიდი ვიდრე ძველი.

მასშტაბის ცვლის ოჯახისთვის (9), X-ის განაწილებას სტანდარტი ეწოდება. გადაწყვეტილების მიღების ალბათურ სტატისტიკურ მეთოდებში და სხვა გამოყენებითი კვლევებში გამოიყენება სტანდარტული ნორმალური განაწილება, სტანდარტული Weibull-Gnedenko განაწილება, სტანდარტული გამა განაწილება და ა.შ. (იხ. ქვემოთ).

ასევე გამოიყენება შემთხვევითი ცვლადების სხვა ტრანსფორმაციები. მაგალითად, დადებითი შემთხვევითი ცვლადისთვის Xგანიხილავენ ი= ჟურნალი X, სადაც ლგ X- რიცხვის ათობითი ლოგარითმი X. თანასწორობის ჯაჭვი

F Y (x) = P(ლგ X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

აკავშირებს განაწილების ფუნქციებს Xდა ი.

მონაცემთა დამუშავებისას გამოიყენება შემთხვევითი ცვლადის შემდეგი მახასიათებლები Xროგორც წესრიგის მომენტები ქ, ე.ი. შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი Xq, ქ= 1, 2, ... ამრიგად, მათემატიკური მოლოდინი თავისთავად არის 1-ის რიგის მომენტი. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის, რიგის მომენტი ქშეიძლება გამოითვალოს როგორც

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის

წესრიგის მომენტები ქასევე უწოდებენ შეკვეთის საწყის მომენტებს ქ, დაკავშირებული მახასიათებლებისგან განსხვავებით - წესრიგის ცენტრალური მომენტები ქ, მოცემული ფორმულით

ასე რომ, დისპერსია არის მე-2 რიგის ცენტრალური მომენტი.

ნორმალური განაწილება და ცენტრალური ლიმიტის თეორემა.გადაწყვეტილების მიღების ალბათურ-სტატისტიკურ მეთოდებში ხშირად ვსაუბრობთ ნორმალურ განაწილებაზე. ზოგჯერ ისინი ცდილობენ გამოიყენონ იგი საწყისი მონაცემების განაწილების მოდელირებისთვის (ეს მცდელობები ყოველთვის არ არის გამართლებული - იხილეთ ქვემოთ). რაც მთავარია, მონაცემთა დამუშავების მრავალი მეთოდი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ გამოთვლილ მნიშვნელობებს აქვთ განაწილება ნორმასთან ახლოს.

დაე X 1 , X 2 ,…, Xn მ(X ი) = მდა განსხვავებები დ(X ი) = , მე = 1, 2,…, ნ,... როგორც წინა თავის შედეგებიდან ჩანს,

განვიხილოთ შემცირებული შემთხვევითი ცვლადი U nთანხისთვის , კერძოდ,

როგორც ჩანს ფორმულებიდან (7), მ(U n) = 0, დ(U n) = 1.

(იდენტურად განაწილებული ტერმინებისთვის). დაე X 1 , X 2 ,…, Xn, … – დამოუკიდებელი იდენტურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადები მათემატიკური მოლოდინებით მ(X ი) = მდა განსხვავებები დ(X ი) = , მე = 1, 2,…, ნ,... მაშინ ნებისმიერი x-ისთვის არის ზღვარი

სად F(x)- სტანდარტული ნორმალური განაწილების ფუნქცია.

მეტი ფუნქციის შესახებ F(x) -ქვემოთ (წაიკითხეთ "phi x-დან", რადგან ფ- ბერძნული დიდი ასო "ფი").

ცენტრალური ლიმიტის თეორემა (CLT) მიიღო თავისი სახელი, რადგან ეს არის ალბათობის თეორიისა და მათემატიკური სტატისტიკის ცენტრალური, ყველაზე ხშირად გამოყენებული მათემატიკური შედეგი. CLT-ის ისტორიას დაახლოებით 200 წელი სჭირდება - 1730 წლიდან, როდესაც ინგლისელმა მათემატიკოსმა A. Moivre-მ (1667-1754) გამოაქვეყნა პირველი შედეგი, რომელიც დაკავშირებულია CLT-თან (იხ. ქვემოთ მოივრე-ლაპლასის თეორემის შესახებ), ოციან და ოცდაათიან წლებამდე. მეოცე საუკუნეში, როდესაც ფინი ჯ. ლინდებერგი, ფრანგი პოლ ლევი (1886-1971), იუგოსლავი ვ.ფელერი (1906-1970), რუსი ა.ია. ხინჩინმა (1894-1959) და სხვა მეცნიერებმა მიიღეს აუცილებელი და საკმარისი პირობები კლასიკური ცენტრალური ზღვრული თეორემის მართებულობისთვის.

განსახილველი თემის განვითარება აქ არ შეჩერებულა - მათ შეისწავლეს შემთხვევითი ცვლადები, რომლებსაც არ აქვთ დისპერსია, ე.ი. ვისთვისაც

(აკადემიკოსი ბ.ვ. გნედენკო და სხვები), სიტუაცია, როდესაც შეჯამებულია რიცხვებზე უფრო რთული ხასიათის შემთხვევითი ცვლადები (უფრო ზუსტად, შემთხვევითი ელემენტები) (აკადემიკოსები იუ.ვ. პროხოროვი, ა.ა. ბოროვკოვი და მათი თანამოაზრეები) და ა.შ. .დ.

განაწილების ფუნქცია F(x)მოცემულია თანასწორობით

,

სად არის სტანდარტული ნორმალური განაწილების სიმკვრივე, რომელსაც აქვს საკმაოდ რთული გამოხატულება:

.

აქ =3.1415925… არის რიცხვი, რომელიც ცნობილია გეომეტრიაში, უდრის წრეწირის შეფარდებას დიამეტრთან, ე = 2.718281828... - ბუნებრივი ლოგარითმების საფუძველი (ამ რიცხვის დასამახსოვრებლად გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ 1828 წელია მწერალ ლ.ნ. ტოლსტოის დაბადების წელი). როგორც ცნობილია მათემატიკური ანალიზიდან,

დაკვირვების შედეგების დამუშავებისას ნორმალური განაწილების ფუნქცია არ გამოითვლება მოცემული ფორმულების გამოყენებით, მაგრამ გვხვდება სპეციალური ცხრილების ან კომპიუტერული პროგრამების გამოყენებით. რუსულ ენაზე საუკეთესო „მათემატიკური სტატისტიკის ცხრილები“ ​​შეადგინეს სსრკ მეცნიერებათა აკადემიის შესაბამისმა წევრებმა ლ.ნ. ბოლშევი და ნ.ვ. სმირნოვი.

სტანდარტული ნორმალური განაწილების სიმკვრივის ფორმა გამომდინარეობს მათემატიკური თეორიიდან, რომელსაც აქ ვერ განვიხილავთ, ისევე როგორც CLT-ის მტკიცებულებას.

საილუსტრაციოდ, ჩვენ გთავაზობთ განაწილების ფუნქციის მცირე ცხრილებს F(x)(ცხრილი 2) და მისი კვანტილები (ცხრილი 3). ფუნქცია F(x)სიმეტრიული დაახლოებით 0, რაც აისახება ცხრილში 2-3.

ცხრილი 2.

სტანდარტული ნორმალური განაწილების ფუნქცია.

თუ შემთხვევითი ცვლადი Xაქვს განაწილების ფუნქცია F(x),რომ M(X) = 0, დ(X) = 1. ეს განცხადება დასტურდება ალბათობის თეორიაში, ალბათობის სიმკვრივის ტიპზე დაყრდნობით. იგი შეესაბამება მსგავს განცხადებას შემცირებული შემთხვევითი ცვლადის მახასიათებლებისთვის U n, რაც სავსებით ბუნებრივია, ვინაიდან CLT აცხადებს, რომ ტერმინების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით, განაწილების ფუნქცია U nმიდრეკილია სტანდარტული ნორმალური განაწილების ფუნქციისკენ F(x),და ნებისმიერისთვის X.

ცხრილი 3.

სტანდარტული ნორმალური განაწილების რაოდენობა.

მოდით წარმოვიდგინოთ ნორმალური განაწილების ოჯახის კონცეფცია. განმარტებით, ნორმალური განაწილება არის შემთხვევითი ცვლადის განაწილება X, რომლისთვისაც შემცირებული შემთხვევითი ცვლადის განაწილებაა F(x).როგორც ჩანს განაწილებათა მასშტაბის ცვლის ოჯახების ზოგადი თვისებებიდან (იხ. ზემოთ), ნორმალური განაწილება არის შემთხვევითი ცვლადის განაწილება.

სად X- შემთხვევითი ცვლადი განაწილებით F (X),და მ = მ(ი), = დ(ი). ნორმალური განაწილება ცვლის პარამეტრებით მდა მასშტაბი ჩვეულებრივ მითითებულია ნ(მ, ) (ზოგჯერ გამოიყენება აღნიშვნა ნ(მ, ) ).

როგორც ჩანს (8), ნორმალური განაწილების ალბათობის სიმკვრივე ნ(მ, ) Იქ არის

ნორმალური განაწილება ქმნის მასშტაბის ცვლის ოჯახს. ამ შემთხვევაში, მასშტაბის პარამეტრი არის დ= 1/ , და shift პარამეტრი გ = - მ/ .

ნორმალური განაწილების მესამე და მეოთხე რიგის ცენტრალური მომენტებისთვის მოქმედებს შემდეგი ტოლობები:

ეს თანასწორობები ქმნიან კლასიკური მეთოდების საფუძველს იმის დასადასტურებლად, რომ დაკვირვებები მიჰყვება ნორმალურ განაწილებას. დღესდღეობით ჩვეულებრივ რეკომენდირებულია ნორმალურობის შემოწმება კრიტერიუმის გამოყენებით ვშაპირო - ვილკა. ნორმალურობის ტესტირების პრობლემა განიხილება ქვემოთ.

თუ შემთხვევითი ცვლადები X 1და X 2აქვს განაწილების ფუნქციები ნ(მ 1 , 1) და ნ(მ 2 , 2) შესაბამისად, მაშინ X 1+ X 2აქვს განაწილება ამიტომ, თუ შემთხვევითი ცვლადები X 1 , X 2 ,…, Xn ნ(მ, ) , შემდეგ მათი არითმეტიკული საშუალო

აქვს განაწილება ნ(მ, ) . ნორმალური განაწილების ეს თვისებები მუდმივად გამოიყენება გადაწყვეტილების მიღების სხვადასხვა ალბათურ და სტატისტიკურ მეთოდებში, კერძოდ, ტექნოლოგიური პროცესების სტატისტიკურ რეგულირებაში და რაოდენობრივ კრიტერიუმებზე დაფუძნებული სტატისტიკური მიღების კონტროლში.

ნორმალური განაწილების გამოყენებით, განისაზღვრება სამი განაწილება, რომლებიც ახლა ხშირად გამოიყენება სტატისტიკური მონაცემების დამუშავებაში.

განაწილება (chi - კვადრატი) – შემთხვევითი ცვლადის განაწილება

სად არის შემთხვევითი ცვლადები X 1 , X 2 ,…, Xnდამოუკიდებელი და აქვთ იგივე განაწილება ნ(0,1). ამ შემთხვევაში ტერმინების რაოდენობა, ე.ი. ნ, ეწოდება ჩი-კვადრატის განაწილების „თავისუფლების ხარისხების რაოდენობას“.

დისტრიბუცია ტსტუდენტის t არის შემთხვევითი ცვლადის განაწილება

სად არის შემთხვევითი ცვლადები უდა Xდამოუკიდებელი, უაქვს სტანდარტული ნორმალური განაწილება ნ(0.1) და X– ჩი განაწილება – კვადრატი გ ნთავისუფლების ხარისხები. სადაც ნსტუდენტური განაწილების „თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა“ ეწოდება. ეს განაწილება 1908 წელს შემოიღო ინგლისელმა სტატისტიკოსმა ვ.გოსეტმა, რომელიც მუშაობდა ლუდის ქარხანაში. ამ ქარხანაში ეკონომიკურ-ტექნიკური გადაწყვეტილებების მისაღებად გამოიყენებოდა ალბათური და სტატისტიკური მეთოდები, ამიტომ მისმა ხელმძღვანელობამ აუკრძალა ვ.გოსეტს სამეცნიერო სტატიების გამოქვეყნება საკუთარი სახელით. ამ გზით დაცული იყო სავაჭრო საიდუმლოებები და „ნოუ-ჰაუ“ ვ.გოსეს მიერ შემუშავებული ალბათური და სტატისტიკური მეთოდების სახით. თუმცა მას საშუალება ჰქონდა გამოექვეყნებინა ფსევდონიმით „სტუდენტი“. Gosset-Student-ის ისტორია აჩვენებს, რომ კიდევ ასი წლის განმავლობაში მენეჯერებმა დიდ ბრიტანეთში იცოდნენ გადაწყვეტილების მიღების ალბათურ-სტატისტიკური მეთოდების უფრო დიდი ეკონომიკური ეფექტურობა.

ფიშერის განაწილება არის შემთხვევითი ცვლადის განაწილება

სად არის შემთხვევითი ცვლადები X 1და X 2დამოუკიდებელნი არიან და აქვთ ჩი-კვადრატული განაწილება თავისუფლების გრადუსების რაოდენობით კ 1 და კ 2 შესაბამისად. ამავე დროს, წყვილი (კ 1 , კ 2 ) - ფიშერის განაწილების წყვილი "თავისუფლების ხარისხი", კერძოდ, კ 1 არის მრიცხველის თავისუფლების ხარისხების რიცხვი და კ 2 – მნიშვნელის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა. F შემთხვევითი ცვლადის განაწილება დასახელებულია დიდი ინგლისელი სტატისტიკოსის რ. ფიშერის (1890-1962) პატივსაცემად, რომელიც აქტიურად იყენებდა მას თავის ნაშრომებში.

chi-square, Student და Fisher განაწილების ფუნქციების გამონათქვამები, მათი სიმკვრივეები და მახასიათებლები, ასევე ცხრილები შეგიძლიათ იხილოთ სპეციალიზებულ ლიტერატურაში (იხილეთ, მაგალითად,).

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ნორმალური დისტრიბუცია ახლა ხშირად გამოიყენება ალბათურ მოდელებში სხვადასხვა მიმართულებებში. რა არის ამ ორპარამეტრიანი განაწილების ოჯახის ასეთი გავრცელების მიზეზი? ეს ირკვევა შემდეგი თეორემით.

ცენტრალური ლიმიტის თეორემა(განსხვავებულად განაწილებული ტერმინებისთვის). დაე X 1 , X 2 ,…, Xn,… - დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები მათემატიკური მოლოდინებით M(X 1 ), M (X 2 ),…, M(Xო), ... და დისპერსიები დ(X 1 ), დ(X 2 ),…, დ(Xო), ... შესაბამისად. დაე

მაშინ, თუ გარკვეული პირობები შეესაბამება სინამდვილეს, რაც უზრუნველყოფს რომელიმე ტერმინის მცირე წვლილს U n,

ვინმესთვის X.

ჩვენ აქ არ ჩამოვაყალიბებთ განსახილველ პირობებს. მათი ნახვა შეგიძლიათ სპეციალიზებულ ლიტერატურაში (იხილეთ, მაგალითად,). „CPT-ის მოქმედების პირობების გარკვევა არის გამოჩენილი რუსი მეცნიერების A.A. Markov (1857-1922) და, კერძოდ, A.M.

ცენტრალური ლიმიტის თეორემა გვიჩვენებს, რომ იმ შემთხვევაში, როდესაც გაზომვის (დაკვირვების) შედეგი ყალიბდება მრავალი მიზეზის გავლენის ქვეშ, თითოეული მათგანი მხოლოდ მცირე წვლილს აკეთებს და განისაზღვრება მთლიანი შედეგი. დანამატად, ე.ი. გარდა ამისა, მაშინ გაზომვის (დაკვირვების) შედეგის განაწილება ნორმასთან ახლოსაა.

ზოგჯერ ითვლება, რომ განაწილება ნორმალური იყოს, საკმარისია გაზომვის შედეგი (დაკვირვება) Xყალიბდება მრავალი მიზეზის გავლენით, რომელთაგან თითოეულს მცირე გავლენა აქვს. ეს არასწორია. მთავარია, როგორ მოქმედებს ეს მიზეზები. თუ დანამატი, მაშინ Xაქვს დაახლოებით ნორმალური განაწილება. თუ გამრავლებით(ანუ ცალკეული მიზეზების მოქმედებები მრავლდება და არ ემატება), შემდეგ განაწილება Xახლოს არა ნორმალურთან, არამედ ე.წ. ლოგარითმულად ნორმალური, ე.ი. არა Xდა ჟურნალი X-ს აქვს დაახლოებით ნორმალური განაწილება. თუ არ არსებობს საფუძველი იმის დასაჯერებლად, რომ საბოლოო შედეგის ფორმირების ამ ორი მექანიზმიდან ერთ-ერთი მუშაობს (ან სხვა კარგად განსაზღვრული მექანიზმი), მაშინ განაწილების შესახებ. Xდაზუსტებით არაფერი შეიძლება ითქვას.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ კონკრეტულ გამოყენებადურ პრობლემაში გაზომვის შედეგების (დაკვირვების) ნორმალურობა, როგორც წესი, არ შეიძლება დადგინდეს ზოგადი მოსაზრებებიდან გამომდინარე, ის უნდა შემოწმდეს სტატისტიკური კრიტერიუმებით. ან გამოიყენეთ არაპარამეტრული სტატისტიკური მეთოდები, რომლებიც არ ეფუძნება ვარაუდებს გაზომვის შედეგების (დაკვირვებების) განაწილების ფუნქციების ამა თუ იმ პარამეტრულ ოჯახზე გაწევრიანების შესახებ.

უწყვეტი განაწილებები, რომლებიც გამოიყენება გადაწყვეტილების მიღების ალბათურ და სტატისტიკურ მეთოდებში.ნორმალური განაწილების მასშტაბური ცვლის ოჯახის გარდა, ფართოდ გამოიყენება განაწილების რიგი სხვა ოჯახი - ლოგინორმული, ექსპონენციალური, ვეიბულ-გნედენკო, გამა განაწილება. მოდით შევხედოთ ამ ოჯახებს.

შემთხვევითი მნიშვნელობა Xაქვს ლოგნორმალური განაწილება, თუ შემთხვევითი ცვლადია ი= ჟურნალი Xაქვს ნორმალური განაწილება. მერე ზ= ჟურნალი X = 2,3026…იასევე აქვს ნორმალური განაწილება ნ(ა 1 ,σ 1), სადაც ln X- ბუნებრივი ლოგარითმი X. ლოგინორმალური განაწილების სიმკვრივეა:

ცენტრალური ლიმიტის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ნამრავლი X = X 1 X 2 … Xnდამოუკიდებელი დადებითი შემთხვევითი ცვლადები X ი, მე = 1, 2,…, ნ, ზოგადად ნ შეიძლება მიახლოებული იყოს ლოგინონორმალური განაწილებით. კერძოდ, ხელფასების ან შემოსავლის ფორმირების მულტიპლიკაციული მოდელი იწვევს რეკომენდაციას, რომ მოხდეს ხელფასისა და შემოსავლების განაწილება ლოგარითმულად ნორმალური კანონებით. რუსეთისთვის ეს რეკომენდაცია გამართლებული აღმოჩნდა - ამას სტატისტიკური მონაცემები ადასტურებს.

არსებობს სხვა ალბათური მოდელები, რომლებიც მივყავართ ლოგინორმალურ კანონმდებლობამდე. ასეთი მოდელის კლასიკური მაგალითი მოგვცა A.N. კოლმოგოროვმა, რომელიც ფიზიკურად დაფუძნებული პოსტულატების სისტემიდან მივიდა იმ დასკვნამდე, რომ ნაწილაკების ზომები მადნის, ნახშირის და ა.შ. ბურთის წისქვილებში აქვს ლოგინომორალური განაწილება.

გადავიდეთ განაწილებათა სხვა ოჯახზე, რომელიც ფართოდ გამოიყენება გადაწყვეტილების მიღების სხვადასხვა ალბათურ-სტატისტიკურ მეთოდებსა და სხვა გამოყენებითი კვლევებში - ექსპონენციური განაწილების ოჯახზე. დავიწყოთ ალბათური მოდელით, რომელსაც მივყავართ ასეთ განაწილებამდე. ამისათვის განიხილეთ „მოვლენების ნაკადი“, ე.ი. მოვლენების თანმიმდევრობა, რომლებიც ხდება ერთმანეთის მიყოლებით დროის გარკვეულ მომენტებში. მაგალითებია: ზარის ნაკადი სატელეფონო სადგურზე; აღჭურვილობის გაუმართაობის ნაკადი ტექნოლოგიურ ჯაჭვში; პროდუქტის მარცხის ნაკადი პროდუქტის ტესტირებისას; კლიენტების მოთხოვნების ნაკადი ბანკის ფილიალში; მყიდველების ნაკადი, რომლებიც მიმართავენ საქონელსა და მომსახურებას და ა.შ. მოვლენათა ნაკადების თეორიაში მოქმედებს ცენტრალური ლიმიტის თეორემის მსგავსი თეორემა, მაგრამ ეს ეხება არა შემთხვევითი ცვლადების შეჯამებას, არამედ მოვლენათა ნაკადების შეჯამებას. ჩვენ განვიხილავთ მთლიან ნაკადს, რომელიც შედგება დიდი რაოდენობით დამოუკიდებელი ნაკადებისგან, რომელთაგან არც ერთს არ აქვს უპირატესი გავლენა მთლიან ნაკადზე. მაგალითად, სატელეფონო სადგურში შესული ზარის ნაკადი შედგება ცალკეული აბონენტებისგან წარმოშობილი დამოუკიდებელი ზარების დიდი რაოდენობით. დადასტურებულია, რომ იმ შემთხვევაში, როდესაც ნაკადების მახასიათებლები დროზე არ არის დამოკიდებული, მთლიანი ნაკადი სრულად არის აღწერილი ერთი რიცხვით - დინების ინტენსივობით. მთლიანი ნაკადისთვის განიხილეთ შემთხვევითი ცვლადი X- დროის ინტერვალის ხანგრძლივობა თანმიმდევრულ მოვლენებს შორის. მის განაწილების ფუნქციას აქვს ფორმა

(10)

ამ განაწილებას ექსპონენციალური განაწილება ეწოდება, რადგან ფორმულა (10) მოიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციას ე -λ x. მნიშვნელობა 1/λ არის მასშტაბის პარამეტრი. ზოგჯერ ასევე შემოდის ცვლის პარამეტრი თან, შემთხვევითი ცვლადის განაწილებას ექსპონენციალური ეწოდება X + ს, სადაც განაწილება Xმოცემულია ფორმულით (10).

ექსპონენციური განაწილება განსაკუთრებული შემთხვევაა ე.წ. Weibull - Gnedenko დისტრიბუციები. მათ დაარქვეს ინჟინერ ვ. ვეიბულის სახელები, რომელმაც ეს განაწილება შემოიტანა დაღლილობის ტესტების შედეგების ანალიზის პრაქტიკაში, და მათემატიკოს ბ. ტესტის შედეგები. დაე X- შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც ახასიათებს პროდუქტის, რთული სისტემის, ელემენტის (ანუ რესურსი, ექსპლუატაციის დრო შეზღუდულ მდგომარეობამდე და ა.შ.), საწარმოს მოქმედების ხანგრძლივობას ან ცოცხალი არსების სიცოცხლეს და ა.შ. მარცხის ინტენსივობა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს

(11)

სად ფ(x) და ვ(x) - განაწილების ფუნქცია და შემთხვევითი ცვლადის სიმკვრივე X.

მოდით აღვწეროთ წარუმატებლობის სიხშირის ტიპიური ქცევა. მთელი დროის ინტერვალი შეიძლება დაიყოს სამ პერიოდად. პირველ მათგანზე ფუნქცია λ(x)აქვს მაღალი მნიშვნელობები და შემცირების მკაფიო ტენდენცია (ყველაზე ხშირად ის მცირდება მონოტონურად). ეს შეიძლება აიხსნას მოცემული პროდუქტის ერთეულების პარტიაში არსებობით აშკარა და ფარული დეფექტებით, რაც იწვევს ამ პროდუქტის ერთეულების შედარებით სწრაფ უკმარისობას. პირველ პერიოდს ეწოდება "შესვენების პერიოდი" (ან "შესვენება"). ეს არის ის, რასაც ჩვეულებრივ მოიცავს საგარანტიო პერიოდი.

შემდეგ მოდის ნორმალური მუშაობის პერიოდი, რომელიც ხასიათდება დაახლოებით მუდმივი და შედარებით დაბალი მარცხის სიხშირით. ამ პერიოდის განმავლობაში წარუმატებლობის ბუნება მოულოდნელია (ავარიები, საოპერაციო პერსონალის შეცდომები და ა.შ.) და არ არის დამოკიდებული პროდუქტის განყოფილების მუშაობის ხანგრძლივობაზე.

და ბოლოს, ექსპლუატაციის ბოლო პერიოდია დაბერების და აცვიათ პერიოდი. ამ პერიოდის განმავლობაში ჩავარდნების ბუნება არის მასალების შეუქცევადი ფიზიკური, მექანიკური და ქიმიური ცვლილებები, რაც იწვევს პროდუქტის ხარისხის პროგრესულ გაუარესებას და მის საბოლოო უკმარისობას.

თითოეულ პერიოდს აქვს თავისი ტიპის ფუნქცია λ(x). განვიხილოთ ძალაუფლების დამოკიდებულების კლასი

λ(x) = λ 0bx b -1 , (12)

სად λ 0 > 0 და ბ> 0 - ზოგიერთი რიცხვითი პარამეტრი. ღირებულებები ბ < 1, ბ= 0 და ბ> 1 შეესაბამება წარუმატებლობის ტიპს გაშვების, ნორმალური მუშაობის და დაბერების პერიოდებში, შესაბამისად.

ურთიერთობა (11) მოცემული წარუმატებლობის სიხშირით λ(x)- დიფერენციალური განტოლება ფუნქციისთვის ფ(x). დიფერენციალური განტოლებების თეორიიდან გამომდინარეობს, რომ

(13)

(12) (13) ჩანაცვლებით, მივიღებთ ამას

(14)

(14) ფორმულით მოცემულ განაწილებას ეწოდება ვეიბული - გნედენკოს განაწილება. Იმიტომ რომ

მაშინ ფორმულიდან (14) გამოდის, რომ რაოდენობა აფორმულით (15) მოცემული არის მასშტაბის პარამეტრი. ზოგჯერ ცვლის პარამეტრიც შემოდის, ე.ი. ვეიბულ-გნედენკოს განაწილების ფუნქციები ე.წ ფ(x - გ), სად ფ(x) მოცემულია ფორმულით (14) ზოგიერთი λ 0-ისთვის და ბ.

ვეიბულ-გნედენკოს განაწილების სიმკვრივეს აქვს ფორმა

(16)

სად ა> 0 - მასშტაბის პარამეტრი, ბ> 0 - ფორმის პარამეტრი, თან- shift პარამეტრი. ამ შემთხვევაში, პარამეტრი აფორმულიდან (16) ასოცირდება პარამეტრთან λ 0 ფორმულიდან (14) (15) ფორმულაში მითითებული ურთიერთობით.

ექსპონენციალური განაწილება არის ვეიბულ-გნედენკოს განაწილების განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც შეესაბამება ფორმის პარამეტრის მნიშვნელობას. ბ = 1.

ვეიბულ-გნედენკოს განაწილება ასევე გამოიყენება სიტუაციების ალბათური მოდელების ასაგებად, რომლებშიც ობიექტის ქცევა განისაზღვრება „ყველაზე სუსტი რგოლით“. არსებობს ანალოგია ჯაჭვთან, რომლის უსაფრთხოებას განსაზღვრავს რგოლი, რომელსაც აქვს ყველაზე ნაკლები ძალა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდით X 1 , X 2 ,…, Xn- დამოუკიდებელი იდენტურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადები,

X(1)=წთ( X 1, X 2,…, X n), X(n)=მაქს( X 1, X 2,…, X n).

რიგ პრაქტიკულ პრობლემებში ისინი მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ X(1) და X(ნ) კერძოდ, გარკვეული ღირებულებების მაქსიმალური შესაძლო მნიშვნელობების ("ჩანაწერები") შესწავლისას, მაგალითად, სადაზღვევო გადასახადები ან კომერციული რისკების გამო ზარალი, ფოლადის ელასტიურობისა და გამძლეობის საზღვრების შესწავლისას, რიგი საიმედოობის მახასიათებლები და ა.შ. . ნაჩვენებია, რომ დიდი n განაწილებისთვის X(1) და X(ნ) , როგორც წესი, კარგად არის აღწერილი ვეიბულ-გნედენკოს განაწილებით. ფუნდამენტური წვლილი განაწილების შესწავლაში X(1) და X(ნ) წვლილი შეიტანა საბჭოთა მათემატიკოსმა ბ.ვ.გნედენკომ. ვ.ვეიბულის, ე. გუმბელის, ვ.ბ. ნევზოროვა, ე.მ. კუდლაევი და მრავალი სხვა სპეციალისტი.

გადავიდეთ გამა განაწილების ოჯახზე. ისინი ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკასა და მენეჯმენტში, საიმედოობისა და ტესტირების თეორიასა და პრაქტიკაში, ტექნოლოგიების სხვადასხვა დარგში, მეტეოროლოგიაში და ა.შ. კერძოდ, ბევრ სიტუაციაში, გამა განაწილება ექვემდებარება ისეთ რაოდენობებს, როგორიცაა პროდუქტის მთლიანი მომსახურების ვადა, გამტარ მტვრის ნაწილაკების ჯაჭვის სიგრძე, დრო, როდესაც პროდუქტი აღწევს შეზღუდულ მდგომარეობას კოროზიის დროს, მუშაობის დრო. კ- უარი, კ= 1, 2, ... და ა.შ. ქრონიკული დაავადებების მქონე პაციენტების სიცოცხლის ხანგრძლივობას და მკურნალობის დროს გარკვეული ეფექტის მიღწევის დროს ზოგიერთ შემთხვევაში აქვს გამა განაწილება. ეს განაწილება ყველაზე ადეკვატურია მარაგების მართვის ეკონომიკურ და მათემატიკურ მოდელებში მოთხოვნის აღსაწერად (ლოგისტიკა).

გამა განაწილების სიმკვრივეს აქვს ფორმა

(17)

ალბათობის სიმკვრივე ფორმულაში (17) განისაზღვრება სამი პარამეტრით ა, ბ, გ, სად ა>0, ბ>0. სადაც აარის ფორმის პარამეტრი, ბ- მასშტაბის პარამეტრი და თან- shift პარამეტრი. ფაქტორი 1/Γ(a)ნორმალიზდება, დაინერგა

Აქ Γ(a)- მათემატიკაში გამოყენებული ერთ-ერთი სპეციალური ფუნქცია, ეგრეთ წოდებული „გამა ფუნქცია“, რის შემდეგაც დასახელებულია (17) ფორმულით მოცემული განაწილება,

დაფიქსირდა აფორმულა (17) განსაზღვრავს განაწილებათა მასშტაბის ცვლის ოჯახს, რომელიც წარმოიქმნება სიმკვრივის მქონე განაწილებით

(18)

ფორმის (18) განაწილებას სტანდარტული გამა განაწილება ეწოდება. იგი მიიღება ფორმულიდან (17) at ბ= 1 და თან= 0.

გამა განაწილების განსაკუთრებული შემთხვევა ა= 1 არის ექსპონენციალური განაწილება (ერთად λ = 1/ბ). ნატურალურთან ერთად ადა თან=0 გამა განაწილებას ეწოდება Erlang დისტრიბუცია. კოპენჰაგენის სატელეფონო კომპანიის თანამშრომლის დანიელი მეცნიერის კ.ა. დაიწყო სატელეფონო ქსელების ფუნქციონირება, რიგის თეორიის განვითარება. ეს თეორია ეხება სისტემების ალბათურ და სტატისტიკურ მოდელირებას, რომლებშიც მოთხოვნის ნაკადი ემსახურება ოპტიმალური გადაწყვეტილებების მიღების მიზნით. Erlang დისტრიბუციები გამოიყენება იმავე აპლიკაციის ადგილებში, სადაც გამოიყენება ექსპონენციალური განაწილება. ეს ემყარება შემდეგ მათემატიკურ ფაქტს: k დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამი, რომლებიც ექსპონენციურად განაწილებულია იგივე პარამეტრებით λ და თან, აქვს გამა განაწილება ფორმის პარამეტრით a =კ, მასშტაბის პარამეტრი ბ= 1/λ და shift პარამეტრი კკ. ზე თან= 0 ვიღებთ Erlang განაწილებას.

თუ შემთხვევითი ცვლადი Xაქვს გამა განაწილება ფორმის პარამეტრით აისეთივე როგორც დ = 2 ა- მთელი რიცხვი, ბ= 1 და თან= 0, შემდეგ 2 Xაქვს ჩი-კვადრატის განაწილება დთავისუფლების ხარისხები.

შემთხვევითი მნიშვნელობა X gvmma განაწილებით აქვს შემდეგი მახასიათებლები:

Მოსალოდნელი ღირებულება M(X) =აბ + გ,

ვარიაცია დ(X) = σ 2 = აბ 2 ,

ვარიაციის კოეფიციენტი

ასიმეტრია

Ჭარბი

ნორმალური განაწილება არის გამა განაწილების უკიდურესი შემთხვევა. უფრო ზუსტად, მოდით, Z იყოს შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც აქვს სტანდარტული გამა განაწილება, რომელიც მოცემულია ფორმულით (18). მერე

ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის X, სად F(x)- სტანდარტული ნორმალური განაწილების ფუნქცია ნ(0,1).

გამოყენებით კვლევაში ასევე გამოიყენება განაწილების სხვა პარამეტრული ოჯახები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია პირსონის მრუდების სისტემა, Edgeworth და Charlier სერიები. ისინი აქ არ განიხილება.

დისკრეტული გადაწყვეტილების მიღების ალბათურ და სტატისტიკურ მეთოდებში გამოყენებული განაწილებები.ყველაზე ხშირად გამოიყენება დისკრეტული განაწილების სამი ოჯახი - ბინომიური, ჰიპერგეომეტრიული და პუასონი, ასევე ზოგიერთი სხვა ოჯახი - გეომეტრიული, უარყოფითი ბინომი, მრავალწევრი, უარყოფითი ჰიპერგეომეტრიული და ა.შ.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ბინომალური განაწილება ხდება დამოუკიდებელ ცდებში, რომელთაგან თითოეულში ალბათობით რჩნდება მოვლენა ა. თუ ცდების საერთო რაოდენობა ნმოცემული, შემდეგ ტესტების რაოდენობა ი, რომელშიც მოვლენა გამოჩნდა ა, აქვს ბინომალური განაწილება. ბინომალური განაწილებისთვის, შემთხვევითი ცვლადის სახით მიღების ალბათობა არის იღირებულებები წგანისაზღვრება ფორმულით

კომბინაციების რაოდენობა ნელემენტების მიერ წ, ცნობილი კომბინატორიკიდან. Ყველასთვის წ, გარდა 0, 1, 2, ..., ნ, ჩვენ გვაქვს პ(ი= წ)= 0. ბინომალური განაწილება ფიქსირებული ნიმუშის ზომით ნმითითებულია პარამეტრით გვ, ე.ი. ბინომალური განაწილებები ქმნიან ერთპარამეტრულ ოჯახს. ისინი გამოიყენება ნიმუშის კვლევების მონაცემების ანალიზში, კერძოდ, მომხმარებელთა პრეფერენციების შესწავლაში, პროდუქტის ხარისხის შერჩევით კონტროლში ერთსაფეხურიანი კონტროლის გეგმების მიხედვით, ინდივიდების პოპულაციის ტესტირებისას დემოგრაფიაში, სოციოლოგიაში, მედიცინაში, ბიოლოგიაში და ა.შ. .

თუ ი 1 და ი 2 - დამოუკიდებელი ბინომიალური შემთხვევითი ცვლადები იგივე პარამეტრით გვ 0 , განისაზღვრება მოცულობითი ნიმუშებიდან ნ 1 და ნ 2 შესაბამისად, მაშინ ი 1 + ი 2 - ბინომიალური შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც აქვს განაწილება (19) ერთად რ = გვ 0 და ნ = ნ 1 + ნ 2 . ეს შენიშვნა ავრცელებს ბინომალური განაწილების გამოყენებას და საშუალებას აძლევს ტესტების რამდენიმე ჯგუფის შედეგების გაერთიანებას, როდესაც არსებობს საფუძველი იმის დასაჯერებლად, რომ ერთი და იგივე პარამეტრი შეესაბამება ყველა ამ ჯგუფს.

ბინომალური განაწილების მახასიათებლები ადრე გამოითვალა:

მ(ი) = ნ.პ., დ(ი) = ნ.პ.( 1- გვ).

განყოფილებაში "მოვლენები და ალბათობები" დიდი რიცხვების კანონი დადასტურებულია ორობითი შემთხვევითი ცვლადისთვის:

ვინმესთვის . ცენტრალური ლიმიტის თეორემის გამოყენებით, დიდი რიცხვების კანონი შეიძლება დაიხვეწოს რამდენის მითითებით ი/ ნგანსხვავდება რ.

დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა.ნებისმიერი რიცხვისთვის a და ბ, ა< ბ, ჩვენ გვაქვს

სად ფ(X) არის სტანდარტული ნორმალური განაწილების ფუნქცია მათემატიკური მოლოდინით 0 და ვარიაციები 1.

ამის დასამტკიცებლად საკმარისია გამოსახვის გამოყენება იცალკეული ტესტების შედეგების შესაბამისი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამის სახით, ფორმულები მ(ი) და დ(ი) და ცენტრალური ლიმიტის თეორემა.

ეს თეორემა არის საქმისთვის რ= ½ დაადასტურა ინგლისელმა მათემატიკოსმა A. Moivre-მ (1667-1754) 1730 წელს. ზემოაღნიშნული ფორმულირება დაამტკიცა 1810 წელს ფრანგმა მათემატიკოსმა პიერ სიმონ ლაპლასმა (1749 - 1827).

ჰიპერგეომეტრიული განაწილება ხდება N მოცულობის ობიექტების სასრული ნაკრების შერჩევითი კონტროლის დროს ალტერნატიული კრიტერიუმის მიხედვით. თითოეული კონტროლირებადი ობიექტი კლასიფიცირდება როგორც ატრიბუტის მქონე ა, ან როგორც არ აქვს ეს მახასიათებელი. ჰიპერგეომეტრიულ განაწილებას აქვს შემთხვევითი ცვლადი ი, უდრის ობიექტების რაოდენობას, რომლებსაც აქვთ ატრიბუტი ამოცულობის შემთხვევით ნიმუშში ნ, სად ნ< ნ. მაგალითად, ნომერი იპროდუქტის დეფექტური ერთეულები მოცულობის შემთხვევით ნიმუშში ნსურათების მოცულობიდან ნაქვს ჰიპერგეომეტრიული განაწილება თუ ნ< ნ. კიდევ ერთი მაგალითია ლატარია. დაუშვით ნიშანი აბილეთი არის "გამარჯვებულის" ნიშანი. მოდით ბილეთების საერთო რაოდენობა ნ, და ვიღაცამ შეიძინა ნმათგან. მაშინ ამ პიროვნებისთვის მომგებიანი ბილეთების რაოდენობას აქვს ჰიპერგეომეტრიული განაწილება.

ჰიპერგეომეტრიული განაწილებისთვის, Y შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა, რომელიც მიიღებს y მნიშვნელობას, აქვს ფორმა

(20)

სად დ- ობიექტების რაოდენობა, რომლებსაც აქვთ ატრიბუტი ა, მოცულობის განხილულ ნაკრებში ნ. სადაც წიღებს მნიშვნელობებს max(0, ნ - (ნ - დ)) მინამდე( ნ, დ), სხვა რამ წფორმულაში (20) ალბათობა 0-ის ტოლია. ამრიგად, ჰიპერგეომეტრიული განაწილება განისაზღვრება სამი პარამეტრით - პოპულაციის მოცულობა. ნ, ობიექტების რაოდენობა დმასში, რომელსაც გააჩნია მოცემული მახასიათებელი ადა ნიმუშის ზომა ნ.

მარტივი შემთხვევითი მოცულობის შერჩევა ნმთლიანი მოცულობიდან ნარის შემთხვევითი შერჩევის შედეგად მიღებული ნიმუში, რომელშიც რომელიმე კომპლექტი ნობიექტებს აქვთ შერჩევის იგივე ალბათობა. რესპონდენტთა (გამოკითხულთა) ან ცალი საქონლის ერთეულების შემთხვევითი შერჩევის მეთოდები განხილულია ინსტრუქციულ, მეთოდოლოგიურ და მარეგულირებელ დოკუმენტებში. შერჩევის ერთ-ერთი მეთოდი ასეთია: ობიექტები ირჩევა ერთმანეთისგან და ყოველ საფეხურზე ნაკრებში დარჩენილ თითოეულ ობიექტს არჩევის ერთნაირი შანსი აქვს. ლიტერატურაში ტერმინები „შემთხვევითი ნიმუში“ და „შემთხვევითი ნიმუში დაბრუნების გარეშე“ ასევე გამოიყენება განსახილველი ნიმუშების ტიპზე.

მას შემდეგ, რაც მოსახლეობის მოცულობები (პარტია) ნდა ნიმუშები ნჩვეულებრივ ცნობილია, მაშინ ჰიპერგეომეტრიული განაწილების პარამეტრი, რომელიც უნდა შეფასდეს დ. პროდუქტის ხარისხის მართვის სტატისტიკურ მეთოდებში დ- ჩვეულებრივ, დეფექტური ერთეულების რაოდენობა პარტიაში. ასევე საინტერესოა განაწილების მახასიათებელი დ/ ნ- დეფექტების დონე.

ჰიპერგეომეტრიული განაწილებისთვის

დისპერსიის გამოხატვის ბოლო ფაქტორი ახლოს არის 1-თან, თუ ნ>10 ნ. თუ ჩანაცვლებას გააკეთებ გვ = დ/ ნ, მაშინ ჰიპერგეომეტრიული განაწილების მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის გამოსახულებები გადაიქცევა მათემატიკური მოლოდინისა და ბინომალური განაწილების დისპერსიის გამოსახულებებად. ეს შემთხვევითი არ არის. ამის ჩვენება შეიძლება

ზე ნ>10 ნ, სად გვ = დ/ ნ. შეზღუდვის თანაფარდობა მოქმედებს

და ეს შემზღუდველი მიმართება შეიძლება გამოყენებულ იქნას როცა ნ>10 ნ.

მესამე ფართოდ გამოყენებული დისკრეტული განაწილება არის პუასონის განაწილება. შემთხვევით ცვლადს Y აქვს პუასონის განაწილება თუ

,

სადაც λ არის პუასონის განაწილების პარამეტრი და პ(ი= წ)= 0 ყველა დანარჩენისთვის წ(y=0-ისთვის დანიშნულია 0! =1). პუასონის განაწილებისთვის

მ(ი) = λ, დ(ი) = λ.

ეს განაწილება ეწოდა ფრანგი მათემატიკოსის S. D. Poisson-ის (1781-1840) პატივსაცემად, რომელმაც პირველად მიიღო იგი 1837 წელს. პუასონის განაწილება არის ბინომალური განაწილების შემზღუდველი შემთხვევა, როდესაც ალბათობაა. რღონისძიების განხორციელება მცირეა, მაგრამ ტესტების რაოდენობა ნდიდი და ნ.პ.= λ. უფრო ზუსტად, ლიმიტის მიმართება მოქმედებს

ამიტომ, პუასონის განაწილებას (ძველი ტერმინოლოგიით „განაწილების კანონი“) ხშირად „იშვიათი მოვლენების კანონსაც“ უწოდებენ.

პუასონის განაწილება სათავეს იღებს მოვლენის ნაკადის თეორიაში (იხ. ზემოთ). დადასტურებულია, რომ უმარტივესი ნაკადისთვის მუდმივი ინტენსივობით Λ, დროის განმავლობაში მომხდარი მოვლენების (ზარების) რაოდენობა. ტ, აქვს პუასონის განაწილება პარამეტრით λ = Λ ტ. აქედან გამომდინარე, ალბათობა იმისა, რომ დროის განმავლობაში ტარანაირი მოვლენა არ მოხდება, ტოლი ე - Λ ტ, ე.ი. მოვლენებს შორის ინტერვალის სიგრძის განაწილების ფუნქცია ექსპონენციალურია.

პუასონის განაწილება გამოიყენება მომხმარებელთა ნიმუშების მარკეტინგული გამოკითხვების შედეგების ანალიზში, სტატისტიკური მიღების კონტროლის გეგმების ოპერატიული მახასიათებლების გამოსათვლელად დეფექტების მიღების დონის მცირე მნიშვნელობების შემთხვევაში, სტატისტიკურად კონტროლირებადი ავარიების რაოდენობის აღსაწერად. ტექნოლოგიური პროცესი დროის ერთეულზე, რიგის სისტემაში დროის ერთეულზე მიღებული „მომსახურების მოთხოვნების“ რაოდენობა, ავარიების და იშვიათი დაავადებების სტატისტიკური ნიმუშები და ა.შ.

ლიტერატურაში განხილულია დისკრეტული განაწილების სხვა პარამეტრული ოჯახების აღწერილობები და მათი პრაქტიკული გამოყენების შესაძლებლობები.

ზოგიერთ შემთხვევაში, მაგალითად, ფასების, გამომავალი მოცულობების ან საიმედოობის პრობლემებს შორის წარუმატებლობის შესწავლისას, განაწილების ფუნქციები მუდმივია გარკვეული ინტერვალებით, რომლებშიც შესწავლილი შემთხვევითი ცვლადების მნიშვნელობები ვერ დაეცემა.

წინა n°-ში ჩვენ შემოვიღეთ განაწილების სერია, როგორც უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ამომწურავი მახასიათებელი (განაწილების კანონი). თუმცა, ეს მახასიათებელი არ არის უნივერსალური; ის არსებობს მხოლოდ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის. ადვილი მისახვედრია, რომ ასეთი მახასიათებლის აგება შეუძლებელია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის. მართლაც, უწყვეტ შემთხვევით ცვლადს აქვს უსასრულო რაოდენობის შესაძლო მნიშვნელობები, რომლებიც მთლიანად ავსებს გარკვეულ ინტერვალს (ე.წ. "დათვლადი ნაკრები"). შეუძლებელია შეიქმნას ცხრილი, რომელშიც ჩამოთვლილია ასეთი შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა. უფრო მეტიც, როგორც მოგვიანებით დავინახავთ, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის თითოეულ ინდივიდუალურ მნიშვნელობას, როგორც წესი, არ აქვს რაიმე არანულოვანი ალბათობა. შესაბამისად, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის არ არსებობს განაწილების სერია იმ გაგებით, რომლითაც ის არსებობს წყვეტილი ცვლადისთვის. თუმცა, შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების სხვადასხვა არეები ჯერ კიდევ არ არის თანაბრად სავარაუდო, ხოლო უწყვეტი ცვლადისთვის არის „ალბათობის განაწილება“, თუმცა არა იგივე გაგებით, როგორც წყვეტილისთვის.

ამ ალბათობის განაწილების რაოდენობრივად დასახასიათებლად მოსახერხებელია გამოვიყენოთ არა მოვლენის ალბათობა, არამედ მოვლენის ალბათობა, სადაც არის გარკვეული მიმდინარე ცვლადი. ამ მოვლენის ალბათობა ცხადია დამოკიდებულია იმაზე, რომ არსებობს გარკვეული ფუნქცია. ამ ფუნქციას ეწოდება შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია და აღინიშნება:

. (5.2.1)

განაწილების ფუნქციას ზოგჯერ ასევე უწოდებენ კუმულაციური განაწილების ფუნქციას ან კუმულაციური განაწილების კანონს.

განაწილების ფუნქცია შემთხვევითი ცვლადის ყველაზე უნივერსალური მახასიათებელია. ის არსებობს ყველა შემთხვევითი ცვლადისთვის: როგორც უწყვეტი, ასევე უწყვეტი. განაწილების ფუნქცია სრულად ახასიათებს შემთხვევით ცვლადს ალბათური თვალსაზრისით, ე.ი. განაწილების კანონის ერთ-ერთი ფორმაა.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ განაწილების ფუნქციის რამდენიმე ზოგადი თვისება.

1. განაწილების ფუნქცია არის მისი არგუმენტის შეუმცირებელი ფუნქცია, ე.ი. ზე.

2. მინუს უსასრულობისას განაწილების ფუნქცია ნულის ტოლია:.

3. პლუს უსასრულობაზე განაწილების ფუნქცია ერთის ტოლია: .

ამ თვისებების მკაცრი დადასტურების გარეშე, ჩვენ მათ ვიზუალური გეომეტრიული ინტერპრეტაციის გამოყენებით ილუსტრირებთ. ამისათვის ჩვენ განვიხილავთ შემთხვევით ცვლადს, როგორც შემთხვევით წერტილს Ox ღერძზე (ნახ. 5.2.1), რომელიც ექსპერიმენტის შედეგად შეიძლება დაიკავოს ამა თუ იმ პოზიციაზე. მაშინ განაწილების ფუნქცია არის ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი წერტილი ექსპერიმენტის შედეგად დაეცემა წერტილის მარცხნივ.

ჩვენ გავზრდით , ანუ აბსცისის ღერძის გასწვრივ წერტილის მარჯვნივ გადავაადგილებთ. ცხადია, ამ შემთხვევაში, ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი წერტილი დაეცემა მარცხნივ, ვერ შემცირდება; შესაბამისად, განაწილების ფუნქცია ვერ შემცირდება გაზრდით.

რომ დავრწმუნდეთ ამაში, ჩვენ განუსაზღვრელი ვადით გადავიტანთ წერტილს მარცხნივ აბსცისის გასწვრივ. ამ შემთხვევაში ლიმიტის მარცხნივ შემთხვევითი წერტილის დარტყმა შეუძლებელი მოვლენა ხდება; ბუნებრივია იმის დაჯერება, რომ ამ მოვლენის ალბათობა ნულისკენ მიისწრაფვის, ე.ი. .

ანალოგიურად, წერტილის მარჯვნივ გადაადგილებით ლიმიტის გარეშე, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ , რადგან მოვლენა ხდება ლიმიტში საიმედო.

განაწილების ფუნქციის გრაფიკი ზოგად შემთხვევაში არის შეუმცირებელი ფუნქციის გრაფიკი (ნახ. 5.2.2), რომლის მნიშვნელობები იწყება 0-დან და აღწევს 1-ს და გარკვეულ წერტილებში ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ნახტომი ( შეწყვეტები).

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერიების ცოდნით, მარტივად შეიძლება ამ ცვლადის განაწილების ფუნქციის აგება. მართლაც,

,

სადაც უტოლობა ჯამის ნიშნის ქვეშ მიუთითებს, რომ ჯამი ვრცელდება ყველა იმ მნიშვნელობაზე, რომელიც ნაკლებია.

როდესაც მიმდინარე ცვლადი გადის უწყვეტი მნიშვნელობის რომელიმე შესაძლო მნიშვნელობაზე, განაწილების ფუნქცია მკვეთრად იცვლება და ნახტომის სიდიდე უდრის ამ მნიშვნელობის ალბათობას.

მაგალითი 1. ტარდება ერთი ექსპერიმენტი, რომელშიც მოვლენა შეიძლება გამოჩნდეს ან არ გამოჩნდეს. მოვლენის ალბათობაა 0.3. შემთხვევითი ცვლადი – ექსპერიმენტში მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა (მოვლენის დამახასიათებელი შემთხვევითი ცვლადი). შექმენით მისი განაწილების ფუნქცია.

გამოსავალი. ღირებულების განაწილების სერიას აქვს ფორმა:

მოდით ავაშენოთ მნიშვნელობის განაწილების ფუნქცია:

განაწილების ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 5.2.3. შეწყვეტის წერტილებში ფუნქცია იღებს ნახაზზე წერტილებით მონიშნულ მნიშვნელობებს (ფუნქცია არის უწყვეტი მარცხნივ).

მაგალითი 2. წინა მაგალითის პირობებში ტარდება 4 დამოუკიდებელი ექსპერიმენტი. შექმენით განაწილების ფუნქცია მოვლენის შემთხვევების რაოდენობისთვის.

გამოსავალი. მოდით აღვნიშნოთ მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა ოთხ ექსპერიმენტში. ამ რაოდენობას აქვს განაწილების სერია

მოდით ავაშენოთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია:

3) at ;

პრაქტიკაში, ჩვეულებრივ, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ყველა წერტილში, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 5.2.6. ამასთან, შესაძლებელია შემთხვევითი ცვლადების მაგალითების აგება, რომელთა შესაძლო მნიშვნელობები მუდმივად ავსებენ გარკვეულ ინტერვალს, მაგრამ რომლებისთვისაც განაწილების ფუნქცია ყველგან არ არის უწყვეტი, მაგრამ განიცდის წყვეტას გარკვეულ წერტილებში (ნახ. 5.2.7). .

ასეთ შემთხვევით ცვლადებს შერეული ეწოდება. შერეული მნიშვნელობის მაგალითია ბომბის მიერ მიზანზე მიყენებული განადგურების არე, რომლის დესტრუქციული მოქმედების რადიუსი უდრის R-ს (ნახ. 5.2.8).

ამ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები განუწყვეტლივ ავსებს ინტერვალს 0-დან მდე, რომელიც ხდება ბომბის პოზიციებზე I და II ტიპის, აქვს გარკვეული სასრული ალბათობა და ეს მნიშვნელობები შეესაბამება ნახტომებს განაწილების ფუნქციაში, ხოლო შუალედურ მნიშვნელობებში. (III ტიპის პოზიცია) განაწილების ფუნქცია უწყვეტია. შერეული შემთხვევითი ცვლადის კიდევ ერთი მაგალითია t დროზე ტესტირებული მოწყობილობის T მუშაობის დრო წარუმატებლობის გარეშე. ამ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია ყველგან უწყვეტია t წერტილის გარდა.