ფერარის და კარდანოს ფორმულები. კარდანოს ფორმულა კუბური განტოლების ამოხსნისთვის

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ჯამის კუბის ფორმულას, მაგრამ სხვანაირად დავწეროთ:

შეადარეთ ეს ჩანაწერი განტოლებას (13) და შეეცადეთ დაამყაროთ კავშირი მათ შორის. მინიშნებითაც კი არ არის ადვილი. პატივი უნდა მივაგოთ რენესანსის მათემატიკოსებს, რომლებმაც ამოხსნეს კუბური განტოლება ანბანური სიმბოლოების ცოდნის გარეშე. მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენს ფორმულაში:

ახლა გასაგებია: განტოლების (13) ფესვის საპოვნელად საკმარისია განტოლებათა სისტემის ამოხსნა.

ან

და მიიღეთ როგორც ჯამი და. ჩანაცვლებით, ეს სისტემა მცირდება ძალიან მარტივ ფორმამდე:

შემდეგ შეგიძლიათ იმოქმედოთ სხვადასხვა გზით, მაგრამ ყველა "გზა" მიგვიყვანს იმავე კვადრატულ განტოლებამდე. მაგალითად, ვიეტას თეორემის მიხედვით, შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის კოეფიციენტს მინუს ნიშნით, ნამრავლი კი თავისუფალი წევრის ტოლია. აქედან გამომდინარეობს, რომ და არის განტოლების ფესვები

მოდით ჩამოვწეროთ ეს ფესვები:

ცვლადები და უდრის და-ის კუბურ ფესვებს, ხოლო კუბური განტოლების (13) სასურველი ამონახსნი არის ამ ფესვების ჯამი:

ეს ფორმულა ცნობილია როგორც კარდანოს ფორმულა.

ტრიგონომეტრიული გადაწყვეტა

ჩანაცვლებით ის მცირდება „არასრულ“ ფორმამდე

, , . (14)

"არასრული" კუბური განტოლების (14) ფესვები ტოლია

, ,

მართებული იყოს "არასრული" კუბური განტოლება (14).

ა) თუ („შეუმცირებელი“ შემთხვევა), მაშინ

(ბ) თუ , , მაშინ

, .

(გ) თუ , , მაშინ

, ,

, .

ყველა შემთხვევაში აღებულია კუბის ფესვის რეალური მნიშვნელობა.

ბიკვადრატული განტოლება

მეოთხე ხარისხის ალგებრული განტოლება.

სადაც a, b, c არის რამდენიმე რეალური რიცხვი, გამოძახებული ბიკვადრატული განტოლება. ჩანაცვლებით განტოლება მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე მოჰყვება ორი ბინომიალური განტოლების ამოხსნა და ( და არის შესაბამისი კვადრატული განტოლების ფესვები).

თუ და , მაშინ ბიკვადრატულ განტოლებას აქვს ოთხი რეალური ფესვი:

თუ , ), მაშინ ბიკვადრატულ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი და წარმოსახვითი კონიუგირებული ფესვები:

თუ და , მაშინ ბიკვადრატულ განტოლებას აქვს ოთხი წმინდა წარმოსახვითი წყვილ-წყვილი კონიუგირებული ფესვი:

, .

მეოთხე ხარისხის განტოლებები

მეოთხე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის მეთოდი აღმოაჩინეს XVI საუკუნეში. ლუდოვიკო ფერარი, ჯეროლამო კარდანოს სტუდენტი. ასე ჰქვია - მეთოდი. ფერარი.

როგორც კუბური და კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას, მეოთხე ხარისხის განტოლებაში

თქვენ შეგიძლიათ მოიცილოთ ტერმინი ჩანაცვლებით. აქედან გამომდინარე, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ უცნობის კუბის კოეფიციენტი არის ნული:

ფერარის იდეა იყო განტოლების წარმოდგენა ფორმით, სადაც მარცხენა მხარე არის გამოხატვის კვადრატი, ხოლო მარჯვენა მხარე არის წრფივი განტოლების კვადრატი, რომლის კოეფიციენტები დამოკიდებულია . ამის შემდეგ რჩება ორი კვადრატული განტოლების ამოხსნა: და . რა თქმა უნდა, ასეთი წარმოდგენა შესაძლებელია მხოლოდ პარამეტრის სპეციალური არჩევით. მოსახერხებელია მისი აღება ფორმაში, შემდეგ განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

ამ განტოლების მარჯვენა მხარე არის კვადრატული ტრინომიალი . ეს იქნება სრული კვადრატი, როცა მისი დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, ე.ი.

, ან

ეს განტოლება ე.წ გამხსნელი (ანუ "ნებადართული"). ის შედარებით კუბურია და კარდანოს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ მისი ზოგიერთი ფესვი. როდესაც (15) განტოლების მარჯვენა მხარე მიიღებს ფორმას

და თავად განტოლება მცირდება ორ კვადრატულზე:

მათი ფესვები იძლევა თავდაპირველი განტოლების ყველა ამონახსანს.

მაგალითად, გადავწყვიტოთ განტოლება

აქ უფრო მოსახერხებელი იქნება არა მზა ფორმულების გამოყენება, არამედ გადაწყვეტის იდეა. მოდით გადავწეროთ განტოლება ფორმაში

და დაამატეთ გამონათქვამი ორივე მხარეს ისე, რომ მარცხენა მხარეს სრული კვადრატი ჩამოყალიბდეს:

ახლა მოდით გავატოლოთ განტოლების მარჯვენა მხარის დისკრიმინანტი ნულთან:

ან გამარტივების შემდეგ,

მიღებული განტოლების ერთ-ერთი ფესვის გამოცნობა შესაძლებელია თავისუფალი წევრის გამყოფების დახარისხებით: . ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ განტოლებას

სად . შედეგად მიღებული კვადრატული განტოლებების ფესვებია და . რა თქმა უნდა, ზოგად შემთხვევაში რთული ფესვების მიღებაც შეიძლება.

ნებისმიერ კუბურ განტოლებას რეალური კოეფიციენტებით აქვს მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი, დანარჩენი ორი ან ასევე რეალურია ან არის რთული კონიუგატური წყვილი.

დავიწყოთ მიმოხილვა უმარტივესი შემთხვევებით - ბინომიალურიდა დასაბრუნებელიგანტოლებები. შემდეგ გადავდივართ რაციონალური ფესვების პოვნაზე (ასეთის არსებობის შემთხვევაში). დავასრულოთ კუბური განტოლების ფესვების პოვნის მაგალითით კარდანოს ფორმულაზოგადი შემთხვევისთვის.

გვერდის ნავიგაცია.

ორმხრივი კუბური განტოლების ამოხსნა.

ბინომიურ კუბურ განტოლებას აქვს ფორმა .

ეს განტოლება მცირდება ფორმამდე A კოეფიციენტზე გაყოფით, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან. შემდეგი, გამოიყენეთ ფორმულა კუბურების შემოკლებული გამრავლების ჯამისთვის:

პირველი ფრჩხილიდან ვხვდებით , და კვადრატის ტრინომილს აქვს მხოლოდ რთული ფესვები.

მაგალითი.

იპოვეთ კუბური განტოლების ნამდვილი ფესვები.

გამოსავალი.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას კუბების განსხვავების შემოკლებული გამრავლებისთვის:

პირველი ფრჩხილიდან ვხვდებით, რომ მეორე ფრჩხილში კვადრატულ ტრინომს არ აქვს რეალური ფესვები, რადგან მისი დისკრიმინანტი უარყოფითია.

პასუხი:

საპასუხო კუბური განტოლების ამოხსნა.

საპასუხო კუბურ განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც A და B არის კოეფიციენტები.

დავაჯგუფოთ:

ცხადია, x = -1 არის ასეთი განტოლების ფესვი და შედეგად მიღებული კვადრატული ტრინომის ფესვები ადვილად მოიძებნება დისკრიმინანტის საშუალებით.

მაგალითი.

კუბური განტოლების ამოხსნა .

გამოსავალი.

ეს არის ორმხრივი განტოლება. დავაჯგუფოთ:

ცხადია, x = -1 არის განტოლების ფესვი.

კვადრატული ტრინომის ფესვების პოვნა:

პასუხი:

კუბური განტოლებების ამოხსნა რაციონალური ფესვებით.

დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით, როდესაც x=0 არის კუბური განტოლების ფესვი.

ამ შემთხვევაში თავისუფალი წევრი D უდრის ნულს, ანუ განტოლებას აქვს ფორმა .

თუ x-ს ამოიღებთ ფრჩხილებიდან, მაშინ ფრჩხილებში დარჩება კვადრატული ტრინომი, რომლის ფესვები ადვილად შეიძლება მოიძებნოს დისკრიმინანტის მეშვეობით ან ვიეტას თეორემით. .

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ნამდვილი ფესვები .

გამოსავალი.

x=0 არის განტოლების ფესვი. ვიპოვოთ კვადრატული ტრინომის ფესვები.

ვინაიდან მისი დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, ტრინომს არ აქვს რეალური ფესვები.

პასუხი:

x=0.

თუ კუბური განტოლების კოეფიციენტები მთელი რიცხვებია, მაშინ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს რაციონალური ფესვები.

როდესაც , გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე და შეცვალეთ ცვლადები y = Ax:

მივედით მოცემულ კუბურ განტოლებამდე. მას შეიძლება ჰქონდეს მთელი ფესვები, რომლებიც თავისუფალი ტერმინის გამყოფია. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ ყველა გამყოფს და ვიწყებთ მათ ჩანაცვლებას მიღებულ განტოლებაში, სანამ არ მივიღებთ იდენტურ ტოლობას. გამყოფი, რომელზეც იდენტურობა მიიღება, არის განტოლების ფესვი. მაშასადამე, საწყისი განტოლების ფესვი არის .

მაგალითი.

იპოვეთ კუბური განტოლების ფესვები.

გამოსავალი.

გადავცვალოთ განტოლება ზემოთ მოყვანილზე: გავამრავლოთ ორივე მხარეს და შევცვალოთ ცვლადი y = 2x.

უფასო ვადა არის 36. ჩამოვწეროთ მისი ყველა გამყოფი: .

ჩვენ მათ სათითაოდ ვანაცვლებთ თანასწორობით ვინაობის მოპოვებამდე:

ასე რომ, y = -1 არის ფესვი. ის შეესაბამება.

გავყოთ ჩართულია, გამოყენებით:

ვიღებთ,

რჩება მხოლოდ კვადრატული ტრინომის ფესვების პოვნა.

აშკარაა რომ , ანუ მისი მრავალჯერადი ფესვი არის x=3.

პასუხი:

კომენტარი.

ეს ალგორითმი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორმხრივი განტოლებების ამოსახსნელად. ვინაიდან -1 არის ნებისმიერი ორმხრივი კუბური განტოლების ფესვი, შეგვიძლია ორიგინალური განტოლების მარცხენა მხარე გავყოთ x+1-ზე და ვიპოვოთ მიღებული კვადრატული ტრინომის ფესვები.

იმ შემთხვევაში, როდესაც კუბურ განტოლებას არ აქვს რაციონალური ფესვები, გამოიყენება ამოხსნის სხვა მეთოდები, მაგალითად, კონკრეტული მეთოდები.

კუბური განტოლებების ამოხსნა კარდანოს ფორმულით.

ზოგადად, კუბური განტოლების ფესვები გვხვდება კარდანოს ფორმულის გამოყენებით.

კუბური განტოლებისთვის ნაპოვნია მნიშვნელობები . შემდეგ ვპოულობთ და .

მიღებული p და q ჩანაცვლება კარდანოს ფორმულაში:

Დავა

ფორმულაკარდანო

მოტოვოი

ოდესა

Დავა

შუა საუკუნეებში დავები ყოველთვის საინტერესო სპექტაკლს წარმოადგენდა, იზიდავდა უსაქმურ ქალაქელებს, ახალგაზრდებსა და მოხუცებს. დებატების თემები იყო მრავალფეროვანი, მაგრამ ყოველთვის მეცნიერული. ამავდროულად, მეცნიერება იყო ის, რაც შედიოდა ეგრეთ წოდებული შვიდი ლიბერალური ხელოვნების ჩამონათვალში, რაც, რა თქმა უნდა, თეოლოგია იყო. ყველაზე ხშირად სასულიერო კამათი იყო. ყველაფერზე კამათობდნენ. მაგალითად, თაგვის ასოციაცია წმინდა სულთან, თუ ის ჭამს ზიარებას, შეეძლო თუ არა კუმაე სიბილს იესო ქრისტეს დაბადების წინასწარმეტყველება, რატომ არ არიან წმინდანად შერაცხული მაცხოვრის ძმები და დები და ა.შ.

კამათის შესახებ, რომელიც ცნობილ მათემატიკოსსა და არანაკლებ ცნობილ ექიმს შორის უნდა მომხდარიყო, მხოლოდ ყველაზე ზოგადი ვარაუდები გაკეთდა, რადგან არავინ არაფერი იცოდა. თქვეს, რომ ერთმა მეორე მოატყუა (ზუსტად ვინ და ვის უცნობია). მოედანზე შეკრებილს თითქმის ყველა მათემატიკის შესახებ ყველაზე ბუნდოვანი წარმოდგენები ჰქონდა, მაგრამ ყველა მოუთმენლად ელოდა დებატების დაწყებას. ყოველთვის საინტერესო იყო, დამარცხებულზე სიცილი შეიძლებოდა, მიუხედავად იმისა, მართალი იყო თუ არა.

როდესაც მერიის საათმა ხუთს დაარტყა, ჭიშკარი ფართოდ გაიღო და ხალხი ტაძარში შევარდა. საკურთხევლის შესასვლელთან დამაკავშირებელი ცენტრის ხაზის ორივე მხარეს, ორი გვერდითი სვეტის მახლობლად აღმართული იყო ორი მაღალი ამბიონი, რომელიც განკუთვნილი იყო დებატებისთვის. დამსწრეებმა ხმამაღლა ატეხეს, ყურადღება არ მიუქცევიათ ეკლესიაში ყოფნის ფაქტს. ბოლოს, რკინის გისოსის წინ, რომელიც გამოყოფდა კანკელს ცენტრალური ნავის დანარჩენი ნაწილისგან, გამოჩნდა შავ-იისფერი სამოსით გამოწყობილი ქალაქის მღაღადი და გამოაცხადა: „ქალაქ მილანის სახელოვანი მოქალაქეები! ახლა ცნობილი მათემატიკოსი ნიკოლო ტარტალია ბრენიიდან გელაპარაკებით. მისი მეტოქე უნდა ყოფილიყო მათემატიკოსი და ექიმი ჯერონიმო კარდანო. ნიკოლო ტარტალია კარდანოს ადანაშაულებს იმაში, რომ უკანასკნელმა გამოაქვეყნა თავის წიგნში „Ars magna“ მე-3 ხარისხის განტოლების ამოხსნის მეთოდი, რომელიც მას ეკუთვნის, ტარტალიას. თუმცა, კარდანო თავად ვერ მოვიდა დებატებზე და ამიტომ გაგზავნა თავისი სტუდენტი ლუიჯ ფერარი. ასე რომ, დებატები ღიად გამოცხადებულია, მისი მონაწილეები მოწვეულნი არიან დეპარტამენტებში“. სადარბაზოს მარცხნივ ამბიონზე ავიდა უხერხული მამაკაცი კაუჭიანი ცხვირით და ხუჭუჭა წვერით, ხოლო მოპირდაპირე ამბიონზე ოცდაათი წლის ახალგაზრდა, სიმპათიური, თავდაჯერებული სახით ავიდა. მთელი მისი ქცევა ასახავდა სრულ რწმენას, რომ მის ყოველ ჟესტსა და სიტყვას სიამოვნებით მიიღებდნენ.

დაიწყო ტარტალიამ.

Ბატონებო! მოგეხსენებათ, რომ 13 წლის წინ მე მოვახერხე მე-3 ხარისხის განტოლების ამოხსნის გზა და შემდეგ ამ მეთოდით მოვიგე ფიორთან დავა. ჩემმა მეთოდმა მიიპყრო შენი თანამოქალაქე კარდანოს ყურადღება და მან მთელი თავისი ეშმაკური ხელოვნება გამოიყენა ჩემგან საიდუმლოს გასარკვევად. ის არ შეჩერებულა არც მოტყუებას და არც აშკარა გაყალბებას. ისიც იცით, რომ 3 წლის წინ ნიურნბერგში გამოიცა კარდანოს წიგნი ალგებრის წესების შესახებ, სადაც ჩემი ასე ურცხვად მოპარული მეთოდი ყველასთვის ხელმისაწვდომი გახდა. კარდანო და მისი მოსწავლე კონკურსზე გამოვიწვევი. მე შევთავაზე 31 ამოცანის ამოხსნა, ამდენივე შემომთავაზეს ოპონენტებმა. პრობლემების გადასაჭრელად დაწესდა ვადა - 15 დღე. 7 დღეში მოვახერხე პრობლემების უმეტესი ნაწილი, რომლებიც შედგენილი იყო კარდანოსა და ფერარის მიერ. დავბეჭდე და კურიერით გავგზავნე მილანში. თუმცა, მთელი ხუთი თვე მომიწია ლოდინი, სანამ არ მივიღებ პასუხებს ჩემს ამოცანებზე. ისინი არასწორად გადაწყდა. ამან მომცა საფუძველი ორივეს გამოწვევა საჯარო დებატებისთვის.

ტარტალია გაჩუმდა. ახალგაზრდამ, უბედურ ტარტალიას შეხედა, თქვა:

Ბატონებო! ჩემმა ღირსეულმა ოპონენტმა თავის გამოსვლის პირველივე სიტყვებში უფლება მისცა გამოეთქვა იმდენი ცილისწამება ჩემს მიმართ და ჩემი მასწავლებლის წინააღმდეგ, მისი არგუმენტი იმდენად უსაფუძვლო იყო, რომ ძნელად დამჭირდებოდა პირველის უარყოფა და გაჩვენოთ არათანმიმდევრულობა; მეორე. უპირველეს ყოვლისა, რა მოტყუებაზე შეიძლება ვისაუბროთ, თუ ნიკოლო ტარტალიამ სრულიად ნებაყოფლობით გაგვიზიარა თავისი მეთოდი ორივეს? და ასე წერს ჯერონიმო კარდანო ჩემი მოწინააღმდეგის როლზე ალგებრული წესის აღმოჩენაში. ის ამბობს, რომ ის კი არა, კარდანო, „არამედ ჩემს მეგობარ ტარტალიას აქვს პატივი აღმოაჩინოს რაღაც ისეთი ლამაზი და საოცარი, რომელიც აღემატება ადამიანურ ჭკუას და ადამიანის სულის ყველა ნიჭს. ეს აღმოჩენა მართლაც ზეციური საჩუქარია, ისეთი მშვენიერი დასტურია გონების ძალის, რომელმაც გაიაზრა იგი, რომ მისთვის მიუწვდომლად არაფერი შეიძლება ჩაითვალოს“.

ჩემმა ოპონენტმა დამადანაშაულა მე და ჩემს მასწავლებელს, თითქოს მისი პრობლემების არასწორ გადაწყვეტაში. მაგრამ როგორ შეიძლება განტოლების ფესვი იყოს არასწორი, თუ განტოლებაში მისი ჩანაცვლებით და ამ განტოლებაში გათვალისწინებული ყველა მოქმედების შესრულებით მივიღებთ იდენტურობას? და თუ სენორ ტარტაგლიას სურს იყოს თანმიმდევრული, მაშინ მას უნდა ეპასუხა შენიშვნაზე, თუ რატომ მივიღეთ არასწორი გადაწყვეტა ჩვენ, ვინც მოვიპარეთ, მაგრამ მისი თქმით, მისი გამოგონება და გამოვიყენეთ შემოთავაზებული პრობლემების გადასაჭრელად. ჩვენ - ჩემი მასწავლებელი და მე - არ მივიჩნევთ სინიორ ტარტალლიას გამოგონებას მცირე მნიშვნელობად. ეს გამოგონება მშვენიერია. უფრო მეტიც, დიდწილად მასზე დაყრდნობით ვიპოვე მე-4 ხარისხის განტოლების ამოხსნის გზა და Ars Magna-ში ამაზე ჩემი მასწავლებელი საუბრობს. რა სურს ჩვენგან სენორ ტარტალლიას? რის მიღწევას ცდილობს იგი კამათით?

ბატონებო, ბატონებო, - დაიყვირა ტარტალიამ, - გთხოვთ, მომისმინოთ! არ უარვყოფ, რომ ჩემი ახალგაზრდა მეტოქე ძალიან ძლიერია ლოგიკით და მჭევრმეტყველებით. მაგრამ ეს ვერ შეცვლის ნამდვილ მათემატიკურ მტკიცებულებას. ის პრობლემები, რაც კარდანოს და ფერარის მივეცი, სწორად არ მოგვარდა, მაგრამ ამასაც დავამტკიცებ. მართლაც, ავიღოთ, მაგალითად, განტოლება ამოხსნილთაგან. Ცნობილია...

წარმოუდგენელი ხმაური გაჩნდა ეკლესიაში, რომელმაც მთლიანად შთანთქა უბედური მათემატიკოსის მიერ დაწყებული წინადადების დასასრული. გაგრძელების უფლება არ მისცეს. ხალხმა მოითხოვა, რომ გაჩუმებულიყო და Ferrari-ს მოებრუნებინა. ტარტალიამ დაინახა, რომ კამათის გაგრძელება სრულიად უსარგებლო იყო, სასწრაფოდ ჩამოვიდა ამბიონიდან და ჩრდილოეთ ვერანდის გავლით მოედანზე გავიდა. გულშემატკივარი ველურად მიესალმა დავის "გამარჯვებულს" ლუიჯი ფერარის.

...ასე დასრულდა ეს დავა, რომელიც სულ უფრო და უფრო ახალ დავას იწვევს. ვის ეკუთვნის სინამდვილეში მე-3 ხარისხის განტოლების ამოხსნის მეთოდი? ჩვენ ახლა ვსაუბრობთ - ნიკოლო ტარტალიე. მან აღმოაჩინა ეს და კარდანომ მოატყუა იგი აღმოჩენის გასაკეთებლად. და თუ ახლა ფორმულას, რომელიც წარმოადგენს მე-3 ხარისხის განტოლების ფესვებს მისი კოეფიციენტების მეშვეობით კარდანოს ფორმულას ვუწოდებთ, მაშინ ეს ისტორიული უსამართლობაა. თუმცა, უსამართლოა? როგორ გამოვთვალოთ თითოეული მათემატიკოსის მონაწილეობა აღმოჩენაში? შესაძლოა, დროთა განმავლობაში ვინმემ შეძლოს ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა აბსოლუტურად ზუსტად, ან იქნებ ის საიდუმლოდ დარჩეს...

კარდანოს ფორმულა

თანამედროვე მათემატიკური ენისა და თანამედროვე სიმბოლიზმის გამოყენებით, კარდანოს ფორმულის წარმოშობა შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი უკიდურესად ელემენტარული მოსაზრებების გამოყენებით:

მოდით მივცეთ მე-3 ხარისხის ზოგადი განტოლება:

ax 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

თუ დააყენებთ

, შემდეგ ვაძლევთ განტოლებას (1) გონებაში

შემოვიტანოთ ახალი უცნობი უთანასწორობის გამოყენებით

ამ გამოთქმის შემოტანით (2) , ვიღებთ

აქედან გამომდინარე

თუ მეორე წევრის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება გამოსახულებით და მხედველობაში მიიღება, მიღებული გამოსახულება uაღმოჩნდება სიმეტრიული "+" და "-" ნიშნების მიმართ, შემდეგ საბოლოოდ მივიღებთ

(კუბური რადიკალების ნამრავლი ბოლო ტოლობაში უნდა იყოს ტოლი გვ).

ეს არის კარდანოს ცნობილი ფორმულა. თუ წახვალ წდაუბრუნდი x,შემდეგ მივიღებთ ფორმულას, რომელიც განსაზღვრავს მე-3 ხარისხის ზოგადი განტოლების ფესვს.

ახალგაზრდა კაცი, რომელიც ასე უმოწყალოდ ექცეოდა ტარტალლიას, ესმოდა მათემატიკა ისევე მარტივად, როგორც ესმოდა უპრეტენზიო საიდუმლოების უფლებებს. ფერარი მე-4 ხარისხის განტოლების ამოხსნის გზას პოულობს. კარდანომ ეს მეთოდი თავის წიგნში შეიტანა. რა არის ეს მეთოდი?

დაე (1)

- მე-4 ხარისხის ზოგადი განტოლება.

თუ დააყენებთ

შემდეგ განტოლება (1) შეიძლება გონების მოყვანა

სად p,q,r- ზოგიერთი კოეფიციენტი დამოკიდებულია ა ბ ც დ ე. ადვილი მისახვედრია, რომ ეს განტოლება შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

ფაქტობრივად, საკმარისია ფრჩხილების გახსნა, შემდეგ ყველა ტერმინის შემცველი ტ, აუქმებს და ჩვენ ვუბრუნდებით განტოლებას (2) .

მოდით ავირჩიოთ პარამეტრი ტისე, რომ განტოლების მარჯვენა მხარე (3) იყო სრულყოფილი კვადრატი შედარებით წ. როგორც ცნობილია, ამისათვის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა ტრინომის კოეფიციენტების დისკრიმინანტის გაუჩინარება (თან დაკავშირებით წ) დგას მარჯვნივ:

ჩვენ მივიღეთ სრული კუბური განტოლება, რომლის ამოხსნაც ახლა შეგვიძლია. ვიპოვოთ მისი რომელიმე ფესვი და დავამატოთ განტოლებაში (3) , ახლა მიიღებს ფორმას

ეს არის კვადრატული განტოლება. მისი ამოხსნით, შეგიძლიათ იპოვოთ განტოლების ფესვი (2) , და, შესაბამისად (1) .

გარდაცვალებამდე 4 თვით ადრე კარდანომ დაასრულა თავისი ავტობიოგრაფია, რომელსაც ინტენსიურად წერდა მთელი გასული წლის განმავლობაში და რომელიც მის რთულ ცხოვრებას უნდა აჯამებდა. მან იგრძნო სიკვდილის მოახლოება. ზოგიერთი ცნობით, საკუთარმა ჰოროსკოპმა მის სიკვდილს 75 წლის დაბადების დღე დაუკავშირა. გარდაიცვალა 1576 წლის 21 სექტემბერს. იუბილემდე 2 დღით ადრე. არსებობს ვერსია, რომ მან თავი მოიკლა გარდაუვალი სიკვდილის მოლოდინში ან თუნდაც ჰოროსკოპის დასადასტურებლად. ყოველ შემთხვევაში, ასტროლოგი კარდანო სერიოზულად მოეკიდა ჰოროსკოპს.

შენიშვნა კარდანოს ფორმულის შესახებ

გავაანალიზოთ განტოლების ამოხსნის ფორმულა რეალურ დომენში. Ისე,

გაანგარიშებისას xჯერ უნდა ავიღოთ კვადრატული ფესვი და შემდეგ კუბური ფესვი. ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ კვადრატული ფესვი რეალურ რეგიონში ყოფნისას თუ . ორი კვადრატული ფესვის მნიშვნელობა, რომლებიც განსხვავდება ნიშნით, სხვადასხვა ტერმინით ჩნდება x. რეალურ დომენში კუბის ფესვის მნიშვნელობები უნიკალურია და შედეგი არის უნიკალური რეალური ფესვი xზე. კუბური ტრინომის გრაფიკის შესწავლით, ადვილია იმის დადასტურება, რომ მას რეალურად აქვს ერთი რეალური ფესვი. არსებობს სამი ნამდვილი ფესვი. როდესაც არის ორმაგი ნამდვილი ფესვი და ერთი ფესვი და როდესაც არის სამმაგი ფესვი x=0.

მოდით გავაგრძელოთ ფორმულის შესწავლა. Აღმოჩნდა. რა მოხდება, თუ მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით განტოლებას აქვს მთელი რიცხვი ფესვი, ფორმულის გამოყენებით მისი გამოთვლისას შეიძლება წარმოიშვას შუალედური ირაციონალურობა. მაგალითად, განტოლებას აქვს ერთი ფესვი (რეალური) - x=1. კარდანოს ფორმულა ამ ერთ რეალურ ფესვს აძლევს გამოხატულებას

მაგრამ პრაქტიკულად ნებისმიერი მტკიცებულება გულისხმობს იმ ფაქტის გამოყენებას, რომ ეს გამოხატულება არის განტოლების ფესვი. თუ ამას ვერ გამოიცნობთ, ტრანსფორმაციის დროს გამოჩნდება ურღვევი კუბური რადიკალები.

კარდანო-ტარტალიას პრობლემა მალევე დავიწყებას მიეცა. კუბური განტოლების ამოხსნის ფორმულა ასოცირდებოდა „დიდ ხელოვნებასთან“ და თანდათანობით დაიწყო ე.წ. ფორმულა კარდანო.

ბევრს ჰქონდა სურვილი აღედგინა მოვლენების ნამდვილი სურათი იმ სიტუაციაში, როდესაც მათი მონაწილეები უდავოდ არ ამბობდნენ მთელ სიმართლეს. ბევრისთვის მნიშვნელოვანი იყო კარდანოს დანაშაულის მასშტაბის დადგენა. XIX საუკუნის ბოლოს, ზოგიერთმა დისკუსიამ დაიწყო სერიოზული ისტორიული და მათემატიკური კვლევის ხასიათი. მათემატიკოსები მიხვდნენ, თუ რა დიდი როლი ითამაშა კარდანოს ნაშრომმა XVI საუკუნის ბოლოს. ცხადი გახდა ის, რაც ლაიბნიცმა ჯერ კიდევ ადრე აღნიშნა: „კარდანო დიდი კაცი იყო ყველა თავისი ნაკლოვანებით; მათ გარეშე ის იქნებოდა სრულყოფილი.”

მუნიციპალური VII სტუდენტური სამეცნიერო და პრაქტიკული კონფერენცია „ახალგაზრდობა: კრეატიულობა, ძიება, წარმატება“

ანინსკის მუნიციპალური ოლქი

ვორონეჟის რეგიონი

განყოფილება:მათემატიკა

თემა:"კარდანოს ფორმულა: ისტორია და გამოყენება"

MKOU Anninskaya საშუალო სკოლა No3, 9 "B" კლასი

ნიკოლო ფონტანა ტარტალია (იტალ. NiccolòFontanaTartaglia, 1499-1557) - იტალიელი მათემატიკოსი.

ზოგადად, ისტორია მოგვითხრობს, რომ ფორმულა თავდაპირველად ტარტალიამ აღმოაჩინა და კარდანოს დასრულებული სახით გადასცა, მაგრამ თავად კარდანომ უარყო ეს ფაქტი, თუმცა არ უარყო ტარტალიას მონაწილეობა ფორმულის შექმნაში.

სახელწოდება "კარდანოს ფორმულა" მყარად დგას ფორმულის უკან, მეცნიერის პატივსაცემად, რომელმაც რეალურად ახსნა და წარუდგინა იგი საზოგადოებას.

შუა საუკუნეებში დავები ყოველთვის საინტერესო სპექტაკლს წარმოადგენდა, იზიდავდა უსაქმურ ქალაქელებს, ახალგაზრდებსა და მოხუცებს. დებატების თემები იყო მრავალფეროვანი, მაგრამ ყოველთვის მეცნიერული. ამავდროულად, მეცნიერება იყო ის, რაც შედიოდა ეგრეთ წოდებული შვიდი ლიბერალური ხელოვნების სიაში, რაც, რა თქმა უნდა, თეოლოგია იყო. ყველაზე ხშირად სასულიერო კამათი იყო. ყველაფერზე კამათობდნენ. მაგალითად, თაგვის ასოციაცია წმინდა სულთან, თუ ის ჭამს ზიარებას, შეეძლო თუ არა კუმაე სიბილს იესო ქრისტეს დაბადების წინასწარმეტყველება, რატომ არ არიან წმინდანად შერაცხული მაცხოვრის ძმები და დები და ა.შ.

დავის შესახებ, რომელიც ცნობილ მათემატიკოსსა და არანაკლებ ცნობილ ექიმს შორის უნდა მომხდარიყო, მხოლოდ ყველაზე ზოგადი ვარაუდები გაკეთდა, რადგან არავინ არაფერი იცოდა. თქვეს, რომ ერთმა მეორე მოატყუა (ზუსტად ვინ და ვის უცნობია). მოედანზე შეკრებილს თითქმის ყველა მათემატიკის შესახებ ყველაზე ბუნდოვანი წარმოდგენები ჰქონდა, მაგრამ ყველა მოუთმენლად ელოდა დებატების დაწყებას. ყოველთვის საინტერესო იყო, დამარცხებულზე სიცილი შეიძლებოდა, მიუხედავად იმისა, მართალი იყო თუ არა.

როდესაც მერიის საათმა ხუთს დაარტყა, ჭიშკარი ფართოდ გაიღო და ხალხი ტაძარში შევარდა. საკურთხევლის შესასვლელთან დამაკავშირებელი ცენტრის ხაზის ორივე მხარეს, ორი გვერდითი სვეტის მახლობლად აღმართული იყო ორი მაღალი ამბიონი, რომელიც განკუთვნილი იყო დებატებისთვის. დამსწრეებმა ხმამაღლა ატეხეს, ყურადღება არ მიუქცევიათ ეკლესიაში ყოფნის ფაქტს. ბოლოს, რკინის გისოსის წინ, რომელიც გამოყოფდა კანკელს ცენტრალური ნავის დანარჩენი ნაწილისგან, შავ და მეწამულ სამოსში გამოწყობილი ქალაქის მღაღადი გამოჩნდა და გამოაცხადა: „ქალაქ მილანის სახელოვანი მოქალაქეები! ახლა ცნობილი მათემატიკოსი ნიკოლო ტარტალია ბრენიიდან გელაპარაკებით. მისი მეტოქე უნდა ყოფილიყო მათემატიკოსი და ექიმი ჯერონიმო კარდანო. ნიკოლო ტარტალია კარდანოს ადანაშაულებს იმაში, რომ ამ უკანასკნელმა თავის წიგნში "Arsmagna" გამოაქვეყნა მე-3 ხარისხის განტოლების ამოხსნის მეთოდი, რომელიც მას ეკუთვნის, ტარტაგლიას. თუმცა, კარდანო თავად ვერ მოვიდა დებატებზე და ამიტომ გაგზავნა თავისი სტუდენტი ლუიჯ ფერარი. ასე რომ, დებატები გამოცხადებულია ღიად, მისი მონაწილეები მოწვეულნი არიან დეპარტამენტებში“. შემოსასვლელის მარცხნივ ამბიონზე ავიდა უხერხული მამაკაცი კაუჭიანი ცხვირით და ხუჭუჭა წვერით, ხოლო მოპირდაპირე ამბიონზე ავიდა ოცდახუთი წლის ახალგაზრდა, სიმპათიური, თავდაჯერებული სახით. მთელი მისი ქცევა ასახავდა სრულ რწმენას, რომ მის ყოველ ჟესტსა და სიტყვას სიამოვნებით მიიღებდნენ.

დაიწყო ტარტალიამ.

Ბატონებო! მოგეხსენებათ, რომ 13 წლის წინ მოვახერხე მე-3 ხარისხის განტოლების ამოხსნის გზა და შემდეგ ამ მეთოდით მოვიგე ფიორთან დავა. ჩემმა მეთოდმა მიიპყრო შენი თანამოქალაქე კარდანოს ყურადღება და მან მთელი თავისი ეშმაკური ხელოვნება გამოიყენა ჩემგან საიდუმლოს გასარკვევად. ის არ აჩერებდა არც მოტყუებას და არც აშკარა გაყალბებას. ისიც იცით, რომ 3 წლის წინ ნიურნბერგში გამოიცა კარდანოს წიგნი ალგებრის წესების შესახებ, სადაც ჩემი, ასე ურცხვად მოპარული მეთოდი ყველასთვის ხელმისაწვდომი გახდა. კარდანო და მისი მოსწავლე კონკურსზე გამოვიწვევი. მე შევთავაზე 31 ამოცანის ამოხსნა, ამდენივე შემომთავაზეს ოპონენტებმა. პრობლემების გადასაჭრელად დაწესდა ვადა - 15 დღე. 7 დღეში მოვახერხე პრობლემების უმეტესი ნაწილი, რომლებიც შედგენილი იყო კარდანოსა და ფერარის მიერ. დავბეჭდე და კურიერით გავგზავნე მილანში. თუმცა, მთელი ხუთი თვე მომიწია ლოდინი, სანამ არ მივიღებ პასუხებს ჩემს ამოცანებს. ისინი არასწორად გადაწყდა. ამან მომცა საფუძველი, გამომეყენებინა ორივე საჯარო დებატებში.

ტარტალია გაჩუმდა. ახალგაზრდამ, უბედურ ტარტალიას შეხედა, თქვა:

ჩემმა ოპონენტმა დამადანაშაულა მე და ჩემს მასწავლებელს, თითქოს მისი პრობლემების არასწორ გადაწყვეტაში. მაგრამ როგორ შეიძლება განტოლების ფესვი იყოს არასწორი, თუ განტოლებაში მისი ჩანაცვლებით და ამ განტოლებაში გათვალისწინებული ყველა მოქმედების შესრულებით მივიღებთ იდენტურობას? და თუ სენორ ტარტაგლიას სურს იყოს თანმიმდევრული, მაშინ მას უნდა ეპასუხა შენიშვნაზე, თუ რატომ მივიღეთ არასწორი გადაწყვეტა ჩვენ, ვინც, მისი სიტყვებით, მისი გამოგონება მოვიპარეთ და გამოვიყენეთ შემოთავაზებული პრობლემების გადასაჭრელად. ჩვენ - ჩემი მასწავლებელი და მე - არ მივიჩნევთ სინიორ ტარტალლიას გამოგონებას მცირე მნიშვნელობად. ეს გამოგონება მშვენიერია. მეტიც, დიდწილად მასზე დაყრდნობით ვიპოვე მე-4 ხარისხის განტოლების ამოხსნის გზა და არსმაგნაში ამაზე ჩემი მასწავლებელი საუბრობს. რა სურს ჩვენგან სენორ ტარტალლიას? რის მიღწევას ცდილობს იგი კამათით?

ბატონებო, ბატონებო, - დაიყვირა ტარტალიამ, - გთხოვთ, მომისმინოთ! არ უარვყოფ, რომ ჩემი ახალგაზრდა მეტოქე ძალიან ძლიერია ლოგიკით და მჭევრმეტყველებით. მაგრამ ეს ვერ შეცვლის ნამდვილ მათემატიკურ მტკიცებულებას. ის პრობლემები, რაც კარდანოს და ფერარის მივეცი, არასწორად მოგვარდა, მაგრამ ამასაც დავამტკიცებ. მართლაც, ავიღოთ, მაგალითად, განტოლება ამოხსნილთაგან. Ცნობილია...

ასე დასრულდა ეს დავა, რომელიც სულ უფრო და უფრო ახალ დავას იწვევს. ვის ეკუთვნის სინამდვილეში მე-3 ხარისხის განტოლების ამოხსნის მეთოდი? ჩვენ ახლა ვსაუბრობთ - ნიკოლო ტარტალიე. მან აღმოაჩინა ეს და კარდანომ მოატყუა იგი აღმოჩენის გასაკეთებლად. და თუ ახლა ფორმულას, რომელიც წარმოადგენს მე-3 ხარისხის განტოლების ფესვებს მისი კოეფიციენტების მეშვეობით კარდანოს ფორმულას ვუწოდებთ, მაშინ ეს ისტორიული უსამართლობაა. თუმცა, უსამართლოა? როგორ გამოვთვალოთ თითოეული მათემატიკოსის მონაწილეობა აღმოჩენაში? შესაძლოა, დროთა განმავლობაში ვინმემ შეძლოს ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა აბსოლუტურად ზუსტად, ან იქნებ ის საიდუმლოდ დარჩეს...

მოდით მივცეთ მე-3 ხარისხის ზოგადი განტოლება:

x 3 + ნაჯახი 2 + bx + გ = 0,

(1)

სადა, ბ, გ – თვითნებური რეალური რიცხვები.

მოდით შევცვალოთ ცვლადი განტოლებაში (1)X ახალ ცვლადზე წფორმულის მიხედვით:

x 3 + ცული 2 +bx+c = (y ) 3 + a(y ) 2 + b(y ) + c = y 3 3 წ 2 + 3 წ+ a(y 2 2 წ+ მიერ = y 3 წ 3 + (ბ