როგორ მოვძებნოთ ვექტორული ნამრავლის კოორდინატები. ჯვარედინი პროდუქტი - განმარტებები, თვისებები, ფორმულები, მაგალითები და გადაწყვეტილებები

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ოპერაციას ვექტორებით: ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი (დაუყოვნებელი ბმული მათთვის, ვისაც ეს სჭირდება). არა უშავს, ხანდახან ხდება, რომ სრული ბედნიერებისთვის, გარდა ამისა ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი, უფრო და უფრო მეტია საჭირო. ასეთია ვექტორული დამოკიდებულება. შეიძლება შეიქმნას შთაბეჭდილება, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის ჯუნგლებში შევდივართ. ეს არასწორია. უმაღლესი მათემატიკის ამ განყოფილებაში, ზოგადად, ცოტა შეშაა, გარდა შესაძლოა საკმარისი პინოქიოს. სინამდვილეში, მასალა ძალიან გავრცელებული და მარტივია - ძნელად უფრო რთული, ვიდრე იგივე სკალარული პროდუქტი, თუნდაც ნაკლები ტიპიური ამოცანები იქნება. ანალიტიკურ გეომეტრიაში მთავარი, როგორც ბევრი დაინახავს ან უკვე უნახავს, ​​არის გამოთვლების არ შეცდომა. გაიმეორეთ შელოცვის მსგავსად და ბედნიერი იქნებით =)

თუ ვექტორები სადღაც შორს ანათებენ, როგორც ელვა ჰორიზონტზე, არ აქვს მნიშვნელობა, დაიწყე გაკვეთილი ვექტორები დუმებისთვისვექტორების შესახებ საბაზისო ცოდნის აღდგენა ან ხელახლა მიღება. უფრო მომზადებულ მკითხველს შეუძლია ინფორმაციის შერჩევით გაცნობა, შევეცადე შემეგროვებინა მაგალითების ყველაზე სრულყოფილი კოლექცია, რომელიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკულ მუშაობაში.

რა გაგახარებს? პატარა რომ ვიყავი, ორი და თუნდაც სამი ბურთის ჟონგლირება შემეძლო. კარგად გამოუვიდა. ახლა საერთოდ არ არის საჭირო ჟონგლირება, რადგან განვიხილავთ მხოლოდ სივრცის ვექტორები, და ბრტყელი ვექტორები ორი კოორდინატით დარჩება გარეთ. რატომ? ასე დაიბადა ეს მოქმედებები - ვექტორების ვექტორული და შერეული პროდუქტი განისაზღვრება და მუშაობს სამგანზომილებიან სივრცეში. უკვე უფრო ადვილია!

ამ ოპერაციაში, ისევე როგორც სკალარული პროდუქტის დროს, ორი ვექტორი. ეს იყოს უხრწნელი ასოები.

თავად მოქმედება აღინიშნაშემდეგი გზით: . არის სხვა ვარიანტებიც, მაგრამ მე მიჩვეული ვარ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის აღნიშვნას ამ გზით, კვადრატულ ფრჩხილებში ჯვრით.

და მაშინვე კითხვა: თუ შევიდა ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლიჩართულია ორი ვექტორი და აქ ორი ვექტორიც მრავლდება, მაშინ რა არის განსხვავება? აშკარა განსხვავება, პირველ რიგში, შედეგში:

ვექტორების სკალარული ნამრავლის შედეგი არის რიცხვი:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის შედეგი არის ვექტორი: , ანუ ვამრავლებთ ვექტორებს და ისევ ვიღებთ ვექტორს. დახურული კლუბი. სინამდვილეში, აქედან მოდის ოპერაციის სახელი. სხვადასხვა საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, აღნიშვნები ასევე შეიძლება განსხვავდებოდეს, მე გამოვიყენებ ასო .

ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

ჯერ იქნება განმარტება სურათით, შემდეგ კომენტარები.

განმარტება: ჯვარედინი პროდუქტი არაკოლინარულივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, ეწოდება ვექტორი, სიგრძერომელიც რიცხობრივად პარალელოგრამის ფართობის ტოლიაამ ვექტორებზე აგებული; ვექტორი ორთოგონალური ვექტორების მიმართდა მიმართულია ისე, რომ საფუძველს ჰქონდეს სწორი ორიენტაცია:

ჩვენ ვაანალიზებთ განმარტებას ძვლების მიხედვით, ბევრი საინტერესო რამ არის!

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი პუნქტები:

1) წყაროს ვექტორები, მითითებული წითელი ისრებით, განმარტებით არა კოლინარული. მიზანშეწონილი იქნება კოლინარული ვექტორების შემთხვევა ცოტა მოგვიანებით განვიხილოთ.

2) აღებული ვექტორები მკაცრი თანმიმდევრობით: – "a" მრავლდება "იყოს", არა "იყოს" "ა". ვექტორული გამრავლების შედეგიარის ვექტორი, რომელიც აღინიშნება ლურჯად. თუ ვექტორები მრავლდება საპირისპირო თანმიმდევრობით, მაშინ მივიღებთ სიგრძით ტოლ და მიმართულებით საპირისპირო ვექტორს (ჟოლოსფერი ფერი). ანუ თანასწორობა .

3) ახლა გავეცნოთ ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილია! ლურჯი ვექტორის სიგრძე (და, მაშასადამე, ჟოლოსფერი ვექტორის ) რიცხობრივად უდრის ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობს. ფიგურაში ეს პარალელოგრამი შავ ფერშია დაჩრდილული.

შენიშვნა : ნახაზი სქემატურია და, რა თქმა უნდა, ჯვარედინი პროდუქტის ნომინალური სიგრძე არ არის პარალელოგრამის ფართობის ტოლი.

გავიხსენებთ ერთ-ერთ გეომეტრიულ ფორმულას: პარალელოგრამის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს. ამიტომ, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მოქმედებს ვექტორული ნამრავლის სიგრძის გამოთვლის ფორმულა:

ხაზს ვუსვამ, რომ ფორმულაში ვსაუბრობთ ვექტორის სიგრძეზე და არა თავად ვექტორზე. რა არის პრაქტიკული მნიშვნელობა? და მნიშვნელობა ისეთია, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში, პარალელოგრამის ფართობი ხშირად გვხვდება ვექტორული პროდუქტის კონცეფციის საშუალებით:

ჩვენ ვიღებთ მეორე მნიშვნელოვან ფორმულას. პარალელოგრამის დიაგონალი (წითელი წერტილოვანი ხაზი) ​​ყოფს მას ორ ტოლ სამკუთხედად. ამრიგად, ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი (წითელი დაჩრდილვა) შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

4) თანაბრად მნიშვნელოვანი ფაქტია, რომ ვექტორი ორთოგონალურია ვექტორებთან, ანუ . რა თქმა უნდა, საპირისპიროდ მიმართული ვექტორი (ჟოლოსფერი ისარი) ასევე ორთოგონალურია თავდაპირველი ვექტორების მიმართ.

5) ვექტორი მიმართულია ისე, რომ საფუძველიᲛას აქვს უფლებაორიენტაცია. გაკვეთილზე იმის შესახებ ახალ ბაზაზე გადასვლამე დეტალურად ვისაუბრე თვითმფრინავის ორიენტაციადა ახლა ჩვენ გავარკვევთ რა არის სივრცის ორიენტაცია. თითებზე აგიხსნი მარჯვენა ხელი. გონებრივად შეაერთეთ საჩვენებელი თითივექტორით და შუა თითივექტორით. ბეჭედი და პატარა თითიხელისგულში დაჭერით. Როგორც შედეგი ცერა თითი- ვექტორული პროდუქტი გამოჩნდება. ეს არის უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველი (ეს არის ფიგურაში). ახლა შეცვალეთ ვექტორები ( საჩვენებელი და შუა თითები) ზოგან, შედეგად, ცერა თითი შემობრუნდება და ვექტორული პროდუქტი უკვე ქვემოთ იყურება. ესეც უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველია. ალბათ გაგიჩნდებათ შეკითხვა: რა საფუძვლად უდევს მარცხენა ორიენტაცია? იგივე თითები „დაანიშნეთ“. მარცხენა ხელივექტორები და მიიღეთ მარცხენა საფუძველი და მარცხენა სივრცეში ორიენტაცია (ამ შემთხვევაში, ცერა თითი განთავსდება ქვედა ვექტორის მიმართულებით). ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ეს ფუძეები "უხვევს" ან ორიენტირებს სივრცეს სხვადასხვა მიმართულებით. და ეს კონცეფცია არ უნდა ჩაითვალოს რაღაც შორს ან აბსტრაქტულად - მაგალითად, ყველაზე ჩვეულებრივი სარკე ცვლის სივრცის ორიენტაციას და თუ "ასახული ობიექტი სარკიდან ამოიყვანთ", მაშინ ზოგადად შეუძლებელი იქნება დააკავშირეთ იგი "ორიგინალთან". სხვათა შორის, მიიტანეთ სამი თითი სარკესთან და გააანალიზეთ ანარეკლი ;-)

... რა კარგია, რომ ახლა იცი მარჯვნივ და მარცხნივ ორიენტირებულისაფუძვლები, რადგან ზოგიერთი ლექტორის განცხადებები ორიენტაციის ცვლილების შესახებ საშინელია =)

კოლინარული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი

განმარტება დეტალურად არის შემუშავებული, რჩება იმის გარკვევა, თუ რა ხდება, როდესაც ვექტორები კოლინარულია. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ისინი შეიძლება განთავსდეს ერთ სწორ ხაზზე და ჩვენი პარალელოგრამი ასევე "იკეცოს" ერთ სწორ ხაზზე. ისეთი არეალი, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, დეგენერატიპარალელოგრამი არის ნული. იგივე გამომდინარეობს ფორმულიდან - ნულის სინუსი ანუ 180 გრადუსი ნულის ტოლია, რაც ნიშნავს რომ ფართობი ნულის ტოლია

ამრიგად, თუ, მაშინ და . გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჯვარედინი ნამრავლი თავისთავად ნულოვანი ვექტორის ტოლია, მაგრამ პრაქტიკაში ამას ხშირად უგულებელყოფენ და წერენ, რომ ის ასევე ნულის ტოლია.

განსაკუთრებული შემთხვევაა ვექტორის ნამრავლი და საკუთარი თავი:

ჯვარედინი პროდუქტის გამოყენებით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ სამგანზომილებიანი ვექტორების კოლინარულობა და ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ ამ პრობლემას, სხვათა შორის.

პრაქტიკული მაგალითების გადასაჭრელად შეიძლება საჭირო გახდეს ტრიგონომეტრიული ცხრილიმისგან სინუსების მნიშვნელობების პოვნა.

აბა, ხანძარი გავაჩაღოთ:

მაგალითი 1

ა) იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე თუ

ბ) იპოვეთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი თუ

გამოსავალი: არა, ეს არ არის ბეჭდვითი შეცდომა, მე განზრახ დავწერე საწყისი მონაცემები იგივე მდგომარეობაში. რადგან გადაწყვეტილებების დიზაინი განსხვავებული იქნება!

ა) პირობის მიხედვით საჭიროა მოძებნა სიგრძევექტორი (ვექტორული პროდუქტი). შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

უპასუხე:

ვინაიდან იკითხებოდა სიგრძეზე, პასუხში მივუთითებთ განზომილებას - ერთეულებს.

ბ) პირობის მიხედვით მოითხოვება მოძებნა კვადრატივექტორებზე აგებული პარალელოგრამი. ამ პარალელოგრამის ფართობი რიცხობრივად უდრის ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძეს:

უპასუხე:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პასუხში ვექტორული პროდუქტის შესახებ საერთოდ არ არის საუბარი, ჩვენ გვკითხეს ფიგურის ფართობიშესაბამისად, განზომილება არის კვადრატული ერთეული.

ჩვენ ყოველთვის ვუყურებთ იმას, თუ რა არის საჭირო მდგომარეობის მიხედვით და, ამის საფუძველზე, ვაყალიბებთ ნათელიპასუხი. შეიძლება ლიტერალიზმად მოგეჩვენოთ, მაგრამ მასწავლებლებს შორის საკმარისი ლიტერალისტია და კარგი შანსების მქონე დავალება დაბრუნდება გადასინჯვისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ არის განსაკუთრებით დაძაბული ნიმუში - თუ პასუხი არასწორია, მაშინ იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ადამიანს არ ესმის მარტივი რამ და/ან არ ესმის ამოცანის არსი. ეს მომენტი ყოველთვის უნდა იყოს კონტროლირებადი, ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრა უმაღლეს მათემატიკაში და სხვა საგნებშიც.

სად წავიდა დიდი ასო "ენ"? პრინციპში, დამატებით შეიძლებოდა გადაწყვეტილების მიმაგრება, მაგრამ ჩანაწერის შემცირების მიზნით, მე არ გავაკეთე. ვიმედოვნებ, რომ ყველას ესმის და ეს იგივეს დანიშნულებაა.

პოპულარული მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

იპოვეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

ვექტორული პროდუქტის მეშვეობით სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა მოცემულია განმარტების კომენტარებში. ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

პრაქტიკაში, ამოცანა მართლაც ძალიან გავრცელებულია, სამკუთხედები ზოგადად შეიძლება აწამონ.

სხვა პრობლემების გადასაჭრელად ჩვენ გვჭირდება:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის თვისებები

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ვექტორული პროდუქტის ზოგიერთი თვისება, თუმცა მათ ამ სიაში ჩავრიცხავ.

თვითნებური ვექტორებისთვის და თვითნებური რიცხვებისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) ინფორმაციის სხვა წყაროებში ეს ნივთი, როგორც წესი, არ გამოირჩევა თვისებებით, მაგრამ პრაქტიკული თვალსაზრისით ძალიან მნიშვნელოვანია. ასე რომ იყოს.

2) - საკუთრებაზეც ზევითაა საუბარი, ხანდახან ე.წ ანტიკომუტატიურობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების თანმიმდევრობას აქვს მნიშვნელობა.

3) - კომბინაცია ან ასოციაციურივექტორული პროდუქტის კანონები. მუდმივები ადვილად ამოღებულია ვექტორული პროდუქტის საზღვრებიდან. მართლა, რას აკეთებენ იქ?

4) - განაწილება ან განაწილებავექტორული პროდუქტის კანონები. არც ფრჩხილების გახსნის პრობლემაა.

როგორც დემონსტრირება, განიხილეთ მოკლე მაგალითი:

მაგალითი 3

იპოვეთ თუ

გამოსავალი:პირობით, კვლავ საჭიროა ვექტორული პროდუქტის სიგრძის პოვნა. მოდით დავხატოთ ჩვენი მინიატურა:

(1) ასოციაციური კანონების მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ მუდმივებს ვექტორული ნამრავლის საზღვრებს მიღმა.

(2) ჩვენ ვიღებთ მუდმივას მოდულიდან, ხოლო მოდული "ჭამს" მინუს ნიშანს. სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

(3) რაც შემდეგშია, ნათელია.

უპასუხე:

ცეცხლზე შეშის სროლის დროა:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

გამოსავალი: იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ფორმულის გამოყენებით . პრობლემა ის არის, რომ ვექტორები "ce" და "te" თავად წარმოდგენილია ვექტორების ჯამებად. აქ ალგორითმი სტანდარტულია და გარკვეულწილად მოგვაგონებს გაკვეთილის მე-3 და მე-4 მაგალითებს. ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. მოდით დავყოთ იგი სამ ეტაპად სიცხადისთვის:

1) პირველ ეტაპზე ჩვენ ვექტორულ ნამრავლს ვექტორული ნამრავლის საშუალებით გამოვხატავთ, ფაქტობრივად, ვექტორის გამოხატვა ვექტორის მიხედვით. სიგრძეზე ჯერ არაფერია ნათქვამი!

(1) ჩვენ ვცვლით ვექტორების გამოსახულებებს.

(2) გამანაწილებელი კანონების გამოყენებით ვხსნით ფრჩხილებს მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით.

(3) ასოციაციური კანონების გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ ყველა მუდმივას ვექტორული პროდუქტების მიღმა. მცირე გამოცდილებით, 2 და 3 მოქმედებები შეიძლება ერთდროულად შესრულდეს.

(4) პირველი და ბოლო წევრი ტოლია ნულის (ნულოვანი ვექტორი) სასიამოვნო თვისების გამო. მეორე ტერმინში ვიყენებთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურ თვისებას:

(5) ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.

შედეგად, ვექტორი გამოიხატებოდა ვექტორის საშუალებით, რაც იყო საჭირო:

2) მეორე საფეხურზე ვპოულობთ ჩვენთვის საჭირო ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს. ეს მოქმედება მსგავსია მაგალითი 3-ის:

3) იპოვეთ საჭირო სამკუთხედის ფართობი:

ხსნარის 2-3 საფეხურები შეიძლება განთავსდეს ერთ ხაზზე.

უპასუხე:

განხილული პრობლემა საკმაოდ გავრცელებულია ტესტებში, აქ არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 5

იპოვეთ თუ

მოკლე ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ვნახოთ, რამდენად ყურადღებიანი იყავით წინა მაგალითების შესწავლისას ;-)

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი კოორდინატებში

ფორმულა მართლაც მარტივია: კოორდინატთა ვექტორებს დეტერმინანტის ზედა ხაზში ვწერთ, მეორე და მესამე სტრიქონებში ვექტორების კოორდინატებს ვწერთ და ვსვამთ. მკაცრი წესით- ჯერ ვექტორის "ve" კოორდინატები, შემდეგ ვექტორის "double-ve" კოორდინატები. თუ ვექტორები უნდა გამრავლდეს სხვა თანმიმდევრობით, მაშინ ხაზებიც უნდა შეიცვალოს:

მაგალითი 10

შეამოწმეთ, არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები კოლინარული:
ა)
ბ)

გამოსავალი: ტესტი ეფუძნება ამ გაკვეთილის ერთ-ერთ დებულებას: თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ მათი ჯვარედინი ნამრავლი არის ნული (ნულოვანი ვექტორი): .

ა) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

ასე რომ, ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

უპასუხე: ა) არა კოლინარული, ბ)

აქ, ალბათ, არის ყველა ძირითადი ინფორმაცია ვექტორების ვექტორული პროდუქტის შესახებ.

ეს განყოფილება არ იქნება ძალიან დიდი, რადგან ვექტორების შერეული პროდუქტის გამოყენებისას რამდენიმე პრობლემაა. სინამდვილეში, ყველაფერი დაეყრდნობა განმარტებას, გეომეტრიულ მნიშვნელობას და რამდენიმე სამუშაო ფორმულას.

ვექტორების შერეული ნამრავლი არის სამი ვექტორის ნამრავლი:

ასე დგნენ მატარებელივით და მელოდებიან, ვერ ითმენენ სანამ არ გამოითვლებიან.

ჯერ ისევ განმარტება და სურათი:

განმარტება: შერეული პროდუქტი არათანაბარივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, ეწოდება პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ამ ვექტორებზე, აღჭურვილია "+" ნიშნით, თუ საფუძველი სწორია და "-" ნიშნით, თუ საფუძველი დარჩა.

მოდით გავაკეთოთ ნახატი. ჩვენთვის უხილავი ხაზები გამოსახულია წერტილოვანი ხაზით:

მოდით ჩავუღრმავდეთ განმარტებას:

2) აღებული ვექტორები გარკვეული თანმიმდევრობით, ანუ პროდუქტში ვექტორების პერმუტაცია, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, უშედეგოდ არ მიმდინარეობს.

3) სანამ კომენტარს გავაკეთებ გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე, აღვნიშნავ აშკარა ფაქტს: ვექტორების შერეული ნამრავლი არის NUMBER: . საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, დიზაინი შეიძლება გარკვეულწილად განსხვავებული იყოს, მე ვანიშნებდი შერეულ პროდუქტს და გამოთვლების შედეგს ასო "პე"-ით.

ა-პრიორიტეტი შერეული პროდუქტი არის პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ვექტორებზე (ფიგურა დახატულია წითელი ვექტორებითა და შავი ხაზებით). ანუ რიცხვი უდრის მოცემული პარალელეპიპედის მოცულობას.

შენიშვნა : ნახატი სქემატურია.

4) კიდევ ერთხელ არ შევიწუხოთ საფუძვლისა და სივრცის ორიენტაციის კონცეფცია. ბოლო ნაწილის მნიშვნელობა არის ის, რომ მინუს ნიშანი შეიძლება დაემატოს მოცულობას. მარტივი სიტყვებით, შერეული პროდუქტი შეიძლება იყოს უარყოფითი: .

ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს.

ვექტორული პროდუქტიარის ორი ფაქტორით აგებული სიბრტყის პერპენდიკულარული ფსევდოვექტორი, რომელიც არის ორგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ვექტორებზე ორობითი ოპერაციის „ვექტორული გამრავლების“ შედეგი. ვექტორულ ნამრავლს არ გააჩნია კომუტატიურობის და ასოციაციურობის თვისებები (ის ანტიკომუტატიულია) და ვექტორების სკალარული ნამრავლისაგან განსხვავებით არის ვექტორი. ფართოდ გამოიყენება მრავალ ტექნიკურ და ფიზიკურ აპლიკაციებში. მაგალითად, კუთხის იმპულსი და ლორენცის ძალა მათემატიკურად იწერება ჯვარედინი ნამრავლის სახით. ჯვარედინი ნამრავლი სასარგებლოა ვექტორების პერპენდიკულარობის „გასაზომად“ - ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლის მოდული უდრის მათი მოდულების ნამრავლს, თუ ისინი პერპენდიკულარულია და ნულამდე მცირდება, თუ ვექტორები პარალელური ან ანტიპარალელურია.

თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ ვექტორული ნამრავლი სხვადასხვა გზით და თეორიულად, ნებისმიერი განზომილების n სივრცეში, შეგიძლიათ გამოთვალოთ n-1 ვექტორების ნამრავლი, ხოლო მიიღოთ ერთი ვექტორი ყველა მათზე პერპენდიკულარული. მაგრამ თუ პროდუქტი შემოიფარგლება ვექტორული შედეგებით არატრივიალური ორობითი პროდუქტებით, მაშინ ტრადიციული ვექტორული პროდუქტი განისაზღვრება მხოლოდ სამგანზომილებიან და შვიდგანზომილებიან სივრცეებში. ვექტორული ნამრავლის შედეგი, ისევე როგორც სკალარული ნამრავლი, დამოკიდებულია ევკლიდური სივრცის მეტრიკაზე.

სამგანზომილებიანი მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ვექტორების კოორდინატებიდან სკალარული ნამრავლის გამოთვლის ფორმულისგან განსხვავებით, ვექტორული ნამრავლის ფორმულა დამოკიდებულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ორიენტაციაზე, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მის „ქირალობაზე“.

განმარტება:
ვექტორის ნამრავლს a და ვექტორს b სივრცეში R 3 ეწოდება ვექტორი c, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ მოთხოვნებს:
ვექტორის სიგრძე c უდრის a და b ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის φ კუთხის სინუსის ნამრავლს:
|c|=|a||b|sin φ;
ვექტორი c ორთოგონალურია a და b ვექტორების მიმართ;
ვექტორი c ისეა მიმართული, რომ abc ვექტორთა სამმაგი სწორია;
R7 სივრცის შემთხვევაში საჭიროა a,b,c ვექტორების სამმაგი ასოციაციურობა.
Დანიშნულება:
c===a×b

ბრინჯი. 1. პარალელოგრამის ფართობი ტოლია ჯვარედინი ნამრავლის მოდულის

ჯვარედინი პროდუქტის გეომეტრიული თვისებები:
ორი არანულოვანი ვექტორის კოლინარობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა მათი ვექტორული ნამრავლის ტოლობა ნულთან.

ჯვარედინი პროდუქტის მოდული უდრის ფართობს სვექტორებზე აგებული პარალელოგრამი საერთო საწყისამდე ადა ბ(იხ. სურ. 1).

თუ ე- ერთეული ვექტორი ვექტორებზე ორთოგონალური ადა ბდა აირჩია ისე, რომ სამმაგი ა, ბ, ე- მართალია და ს- მათზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი (შემცირებულია საერთო საწყისამდე), მაშინ შემდეგი ფორმულა მართალია ვექტორული პროდუქტისთვის:
= ს ე

ნახ.2. ვექტორების ვექტორისა და სკალარული ნამრავლის გამოყენებისას პარალელეპიპედის მოცულობა; წერტილოვანი ხაზები აჩვენებს c ვექტორის პროგნოზებს a × b-ზე და ვექტორის a b × c-ზე, პირველი ნაბიჯი არის შიდა პროდუქტების პოვნა.

თუ გ- ნებისმიერი ვექტორი π - ნებისმიერი სიბრტყე, რომელიც შეიცავს ამ ვექტორს, ე- ერთეული ვექტორი, რომელიც დევს თვითმფრინავში π და ორთოგონალური გ, გ- სიბრტყეზე ორთოგონალური ერთეული ვექტორი π და მიმართულია ისე, რომ ვექტორთა სამმაგი ეკგმართალია, მაშინ თვითმფრინავში ნებისმიერი წოლისთვის π ვექტორი ასწორი ფორმულა არის:
=Pr e a |c|g
სადაც Pr e a არის ვექტორის e პროექცია a-ზე
|გ|-ვექტორის მოდული c

ვექტორული და სკალარული პროდუქტების გამოყენებისას შეგიძლიათ გამოთვალოთ ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობა საერთო საწყისამდე. ა, ბდა გ. სამი ვექტორის ასეთ ნამრავლს შერეული ეწოდება.
V=|a (b×c)|
სურათი გვიჩვენებს, რომ ეს მოცულობა შეიძლება მოიძებნოს ორი გზით: გეომეტრიული შედეგი შენარჩუნებულია მაშინაც კი, როდესაც "სკალარული" და "ვექტორული" პროდუქტები ერთმანეთს ცვლის:
V=a×b c=a b×c

ჯვარედინი ნამრავლის მნიშვნელობა დამოკიდებულია თავდაპირველ ვექტორებს შორის კუთხის სინუსზე, ამიტომ ჯვარედინი ნამრავლი შეიძლება მივიჩნიოთ, როგორც ვექტორების „პერპენდიკულარობის“ ხარისხი, ისევე როგორც წერტილოვანი ნამრავლი შეიძლება მივიჩნიოთ, როგორც ხარისხი. "პარალელიზმი". ორი ერთეული ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი უდრის 1-ს (ერთეული ვექტორი), თუ საწყისი ვექტორები პერპენდიკულარულია და 0-ის (ნულოვანი ვექტორი), თუ ვექტორები პარალელური ან ანტიპარალელურია.

ჯვარედინი პროდუქტის გამოხატულება დეკარტის კოორდინატებში
თუ ორი ვექტორი ადა ბგანისაზღვრება მათი მართკუთხა დეკარტის კოორდინატებით, უფრო სწორად, ისინი წარმოდგენილია ორთონორმალურ საფუძველზე
a=(a x,a y,a z)
b=(b x,b y,b z)
და კოორდინატთა სისტემა სწორია, მაშინ მათ ვექტორულ ნამრავლს აქვს ფორმა
=(a y b z -a z b y,a z b x -a x b z,a x b y -a y b x)
ამ ფორმულის დასამახსოვრებლად:
i =∑ε ijk a j b k
სად ε ijk- ლევი-ცივიტას სიმბოლო.

7.1. ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

სამი არათანაბარი ვექტორი a , b და c , აღებული მითითებული თანმიმდევრობით, ქმნიან მარჯვენა სამეულს, თუ მესამე ვექტორის ბოლოდან c ვექტორის ბოლოდან უმოკლეს ბრუნი პირველი ვექტორიდან მეორე b ვექტორამდე ჩანს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, და მარცხენა თუ საათის ისრის მიმართულებით (იხ. სურ. 16).

ვექტორის a და ვექტორის b ვექტორულ ნამრავლს ეწოდება ვექტორი c, რომელიც:

1. a და b ვექტორების პერპენდიკულარული, ანუ c ^ a და c ^ ბ;

2. მას აქვს სიგრძე რიცხობრივად ტოლი a და ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობისბროგორც გვერდებზე (იხ. სურ. 17), ე.ი.

3. a , b და c ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სამეულს.

ვექტორული ნამრავლი აღინიშნება x b ან [a,b]. ვექტორული ნამრავლის განმარტებიდან, ორთას შორის შემდეგი მიმართებები მე პირდაპირ მივყვები, ჯდა კ(იხ. სურ. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
მოდით დავამტკიცოთ, რომ მაგალითად i xj \u003d k.

1) კ ^ ი , კ ^ j;

2) |k |=1, მაგრამ | მე x ჯ| = |i | |ჯ| sin(90°)=1;

3) ვექტორები i , j და კშექმენით მარჯვენა სამეული (იხ. სურ. 16).

7.2. ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები

1. ფაქტორების გადალაგებისას ვექტორული ნამრავლი იცვლის ნიშანს, ე.ი. და xb \u003d (b xa) (იხ. სურ. 19).

ვექტორები a xb და b xa არის კოლინარული, აქვთ იგივე მოდულები (პარალელოგრამის ფართობი უცვლელი რჩება), მაგრამ საპირისპიროა მიმართული (სამმაგი a, b, a xb და a, b, b x a საპირისპირო ორიენტაციის). ანუ axb = -(bxa).

2. ვექტორულ პროდუქტს აქვს კომბინირებული თვისება სკალარული ფაქტორის მიმართ, ანუ l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

მოდით l >0. ვექტორი l (a xb) არის a და b ვექტორების პერპენდიკულარული. ვექტორი ( ლნაჯახი ბასევე პერპენდიკულარულია a და ვექტორებზე ბ(ვექტორები a, ლმაგრამ დაწექი იმავე სიბრტყეში). ასე რომ, ვექტორები ლ(a xb) და ( ლნაჯახი ბკოლინარული. აშკარაა, რომ მათი მიმართულებები ერთმანეთს ემთხვევა. მათ აქვთ იგივე სიგრძე:

Ამიტომაც ლ(a xb)= ლ xb. ანალოგიურად დადასტურებულია ლ<0.

3. ორი არანულოვანი ვექტორი a და ბკოლინარულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი ვექტორული ნამრავლი ტოლია ნულოვანი ვექტორის, ე.ი. და ||b<=>და xb \u003d 0.

კერძოდ, i *i =j *j =k *k =0 .

4. ვექტორულ პროდუქტს აქვს განაწილების თვისება:

(ა+ბ) xs = a xs + ბ xs .

მიიღეთ მტკიცებულების გარეშე.

7.3. ჯვარედინი პროდუქტის გამოხატულება კოორდინატების თვალსაზრისით

ჩვენ გამოვიყენებთ ვექტორული ჯვარედინი პროდუქტის ცხრილს i , ჯდა კ:

თუ პირველი ვექტორიდან მეორემდე უმოკლესი ბილიკის მიმართულება ემთხვევა ისრის მიმართულებას, მაშინ ნამრავლი უდრის მესამე ვექტორს, თუ ის არ ემთხვევა, მესამე ვექტორი აღებულია მინუს ნიშნით.

მოდით ორი ვექტორი a =a x i +a y ჯ+აზ კდა b=bx მე+ მიერ ჯ+bz კ. ვიპოვოთ ამ ვექტორების ვექტორული ნამრავლი მათი მრავალწევრების გამრავლებით (ვექტორული ნამრავლის თვისებების მიხედვით):

შედეგად მიღებული ფორმულა შეიძლება დაიწეროს კიდევ უფრო მოკლედ:

ვინაიდან ტოლობის მარჯვენა მხარე (7.1) შეესაბამება მესამე რიგის დეტერმინანტის გაფართოებას პირველი რიგის ელემენტების მიხედვით.ტოლობა (7.2) ადვილად დასამახსოვრებელია.

7.4. ჯვარედინი პროდუქტის ზოგიერთი გამოყენება

ვექტორების კოლინარობის დადგენა

პარალელოგრამისა და სამკუთხედის ფართობის პოვნა

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის განმარტების მიხედვით ადა ბ |a xb | =|ა | * |b |sin g, ანუ S par = |a x b |. და, შესაბამისად, D S \u003d 1/2 | a x b |.

ძალის მომენტის განსაზღვრა წერტილის შესახებ

მიეცით ძალა A წერტილში F =ABგაუშვი შესახებ- რაღაც წერტილი სივრცეში (იხ. სურ. 20).

ფიზიკიდან ცნობილია, რომ ბრუნვის მომენტი ფ პუნქტთან შედარებით შესახებვექტორი ეწოდება მ ,რომელიც გადის წერტილში შესახებდა:

1) წერტილებში გამავალი სიბრტყის პერპენდიკულარული O, A, B;

2) რიცხობრივად უდრის ძალისა და მკლავის ნამრავლს

3) ქმნის მარჯვენა სამეულს OA და A B ვექტორებით.

ამიტომ, M \u003d OA x F.

ბრუნვის წრფივი სიჩქარის პოვნა

სიჩქარე ვკუთხური სიჩქარით მბრუნავი ხისტი სხეულის წერტილი M ვფიქსირებული ღერძის გარშემო, განისაზღვრება ეილერის ფორმულით v \u003d w x r, სადაც r \u003d OM, სადაც O არის ღერძის გარკვეული ფიქსირებული წერტილი (იხ. ნახ. 21).

ინგლისური:ვიკიპედია საიტს უფრო უსაფრთხოს ხდის. თქვენ იყენებთ ძველ ვებ ბრაუზერს, რომელიც მომავალში ვერ დაუკავშირდება ვიკიპედიას. გთხოვთ, განაახლოთ თქვენი მოწყობილობა ან დაუკავშირდეთ თქვენს IT ადმინისტრატორს.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器将来无法连接百维巟设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

ესპანოლი:ვიკიპედია ეს არის ის ადგილი, სადაც ის არის. გამოყენებულია ის, რომ ის გამოიყენებს და ნავიგაციას ვებ-გვერდზე, რომელიც არ არის ვიკიპედიის დამოუკიდებლად დაკავშირება. Actualice su dispositivo o დაუკავშირდით ადმინისტრატორს ინფორმაციას. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

ფრანგული: Wikipedia და bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipedia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. დამატებითი ინფორმაცია და ტექნიკები და ინგლისური ხელმისაწვდომია.

日本語: .ンが古く。るか、IT管理者にご相談ください. მაგალითად,

გერმანული: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

იტალიური: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. ისარგებლეთ ბრაუზერის ვებ-გვერდთან ერთად, რომელიც არ არის ხელმისაწვდომი ვიკიპედიის შემდეგ. ფავორიტი, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo aministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico innglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

შვედეთი:ვიკიპედია გორ სიდან mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i Framtiden. განახლებულია IT-ადმინისტრატორის კონტაქტი. Det finns en längre och mer Teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

ჩვენ ვხსნით TLS პროტოკოლის დაუცველი ვერსიების მხარდაჭერას, კონკრეტულად TLSv1.0 და TLSv1.1, რომლებსაც თქვენი ბრაუზერის პროგრამული უზრუნველყოფა ეყრდნობა ჩვენს საიტებთან დასაკავშირებლად. ეს ჩვეულებრივ გამოწვეულია მოძველებული ბრაუზერების ან ძველი Android სმარტფონებით. ან ეს შეიძლება იყოს კორპორატიული ან პირადი "ვებ უსაფრთხოების" პროგრამული უზრუნველყოფის ჩარევა, რომელიც რეალურად ამცირებს კავშირის უსაფრთხოებას.

თქვენ უნდა განაახლოთ თქვენი ბრაუზერი ან სხვაგვარად მოაგვაროთ ეს პრობლემა ჩვენს საიტებზე წვდომისთვის. ეს შეტყობინება დარჩება 2020 წლის 1 იანვრამდე. ამ თარიღის შემდეგ თქვენი ბრაუზერი ვერ შეძლებს ჩვენს სერვერებთან კავშირის დამყარებას.

ჩვენ გამოვიყენებთ i, j და k ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის ცხრილს:

თუ პირველი ვექტორიდან მეორემდე უმოკლესი ბილიკის მიმართულება ემთხვევა ისრის მიმართულებას, მაშინ ნამრავლი უდრის მესამე ვექტორს, თუ ის არ ემთხვევა, მესამე ვექტორი აღებულია მინუს ნიშნით.

მოცემული იყოს ორი ვექტორი a=axi +ayj +azk და b =bxi +byj +bzk. ვიპოვოთ ამ ვექტორების ვექტორული ნამრავლი მათი მრავალწევრების გამრავლებით (ვექტორული ნამრავლის თვისებების მიხედვით):
შედეგად მიღებული ფორმულა შეიძლება დაიწეროს კიდევ უფრო მოკლედ: ვინაიდან ტოლობის მარჯვენა მხარე (7.1) შეესაბამება მესამე რიგის დეტერმინანტის გაფართოებას პირველი რიგის ელემენტების მიხედვით.ტოლობა (7.2) ადვილად დასამახსოვრებელია.

7.4. ჯვარედინი პროდუქტის ზოგიერთი გამოყენება

ვექტორების კოლინარობის დადგენა.
პარალელოგრამისა და სამკუთხედის ფართობის პოვნა

a და b |a xb | ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის განმარტების მიხედვით = |ა| * |b |იმღერა , ანუ S წყვილი = |a x b |. და, შესაბამისად, DS \u003d 1/2 | a x b |.

ძალის მომენტის განსაზღვრა წერტილის შესახებ

დაე, ძალა F = AB იყოს გამოყენებული A წერტილში და O იყოს რაღაც წერტილი სივრცეში ფიზიკიდან ცნობილია, რომ F ძალის მომენტი O წერტილის მიმართ არის ვექტორი M, რომელიც გადის O წერტილში და:

1) O, A, B წერტილებზე გამავალი სიბრტყის პერპენდიკულარული;

2) რიცხობრივად უდრის ძალისა და მკლავის ნამრავლს 3) ქმნის მარჯვენა სამეულს OA და A B ვექტორებით.

ასე რომ, M=OA x F. ბრუნვის წრფივი სიჩქარის პოვნა

ხისტი სხეულის M წერტილის v სიჩქარე, რომელიც ბრუნავს კუთხური სიჩქარით w ფიქსირებული ღერძის გარშემო, განისაზღვრება ეილერის ფორმულით v \u003d w xr, სადაც r \u003d OM, სადაც O არის ღერძის ზოგიერთი ფიქსირებული წერტილი (იხ. სურ. 21).

კუთხე ვექტორებს შორის

ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ ვექტორები და მოცემულია კოორდინატებით და , მაშინ ფორმულა (1.6.3.1) შეიძლება დაიწეროს როგორც:

ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი

სეგმენტების სიგრძის, წერტილებს შორის მანძილის, ზედაპირის ფართობისა და სხეულების მოცულობის გაზომვის ამოცანები მიეკუთვნება ამოცანების მნიშვნელოვან კლასს, რომელსაც ჩვეულებრივ მეტრულს უწოდებენ. წინა განყოფილებაში ვისწავლეთ ვექტორული ალგებრას გამოყენება ხაზების სიგრძისა და წერტილებს შორის მანძილის გამოსათვლელად. ახლა ჩვენ ვაპირებთ მოვძებნოთ გზები, რათა გამოვთვალოთ ფართობები და მოცულობები. ვექტორული ალგებრა საშუალებას გვაძლევს დავაყენოთ და გადავჭრათ მსგავსი ამოცანები მხოლოდ საკმაოდ მარტივი შემთხვევებისთვის. ანალიზის მეთოდები საჭიროა თვითნებური ზედაპირების ფართობისა და თვითნებური ორგანოების მოცულობის გამოსათვლელად. მაგრამ ანალიზის მეთოდები, თავის მხრივ, არსებითად ეფუძნება იმ შედეგებს, რომლებსაც ვექტორული ალგებრა იძლევა.

პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ ავირჩიეთ საკმაოდ გრძელი და რთული გზა, რომელიც გვთავაზობს გილბერტ სტრენგს, რომელიც დაკავშირებულია მრავალ გეომეტრიულ გარდაქმნასთან და შრომატევადი ალგებრული გამოთვლებით. ჩვენ ავირჩიეთ ეს გზა, მიუხედავად იმისა, რომ არის სხვა მიდგომები, რომლებიც უფრო სწრაფად მიგვიყვანს მიზნამდე, რადგან ეს პირდაპირი და ბუნებრივი გვეჩვენებოდა. მეცნიერებაში პირდაპირი გზა ყოველთვის არ არის მარტივი. დახვეწილმა ადამიანებმა იციან ამის შესახებ და ურჩევნიათ შემოვლითი გზები, მაგრამ თუ არ ცდილობთ პირდაპირ წასვლას, მაშინ შეგიძლიათ დარჩეთ იგნორირებული თეორიის ზოგიერთი დახვეწილობის შესახებ.

ჩვენ მიერ არჩეულ გზაზე ბუნებრივად ჩნდება ისეთი ცნებები, როგორიცაა სივრცის ორიენტაცია, განმსაზღვრელი, ვექტორი და შერეული პროდუქტები. განსაკუთრებით ნათლად, როგორც მიკროსკოპის ქვეშ, ვლინდება დეტერმინანტის გეომეტრიული მნიშვნელობა და მისი თვისებები. ტრადიციულად, დეტერმინანტის ცნება შემოტანილია წრფივი განტოლებათა სისტემების თეორიაში, მაგრამ სწორედ ასეთი სისტემების გადასაჭრელად არის დეტერმინანტი თითქმის უსარგებლო. დეტერმინანტის გეომეტრიული მნიშვნელობა არსებითია ვექტორული და ტენსორული ალგებრასთვის.

ახლა მოვითმინოთ და დავიწყოთ უმარტივესი და გასაგები შემთხვევებით.

1. ვექტორები ორიენტირებულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემის კოორდინატთა ღერძებზე.

მოდით ვექტორი a მიმართული იყოს x ღერძის გასწვრივ, ხოლო b ვექტორი y ღერძის გასწვრივ. ნახ. 21 გვიჩვენებს ვექტორების განლაგების ოთხ განსხვავებულ ვარიანტს კოორდინატთა ღერძების მიმართ.

ვექტორები a და b კოორდინატთა სახით: სადაც a და b აღნიშნავენ შესაბამისი ვექტორის მოდულს და არის ვექტორის კოორდინატის ნიშანი.

ვინაიდან ვექტორები ორთოგონალურია, მათზე აგებული პარალელოგრამები მართკუთხედებია. მათი არეები უბრალოდ მათი მხარეების პროდუქტია. მოდით გამოვხატოთ ეს პროდუქტები ოთხივე შემთხვევისთვის ვექტორების კოორდინატების მიხედვით.

ფართობის გამოთვლის ოთხივე ფორმულა იგივეა, გარდა ნიშნისა. შეგიძლია უბრალოდ დახუჭო თვალები და დაწერო, რაც ყველა შემთხვევაში. თუმცა, კიდევ ერთი შესაძლებლობა უფრო პროდუქტიული აღმოჩნდება: ნიშანს გარკვეული მნიშვნელობის მინიჭება. მოდით ყურადღებით დავაკვირდეთ ნახ. 21. იმ შემთხვევებში, როდესაც ვექტორის ბრუნვა ვექტორზე ხორციელდება საათის ისრის მიმართულებით. იმ შემთხვევებში, როდესაც იძულებულნი ვართ გამოვიყენოთ მინუსის ნიშანი ფორმულაში, ვექტორის ბრუნვა ვექტორზე ხორციელდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. ეს დაკვირვება შესაძლებელს ხდის ფართობის გამონათქვამებში ნიშნის დაკავშირებას სიბრტყის ორიენტაციასთან.

a და b ვექტორებზე აგებული მართკუთხედის ფართობი პლუს ან მინუს ნიშნით ჩაითვლება ორიენტირებულ არეად, ხოლო ნიშანი ასოცირდება ვექტორების მიერ მოცემულ ორიენტაციასთან. ორიენტირებული ზონისთვის, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ერთი ფორმულა ოთხივე შემთხვევისთვის: . ასო S-ს ზემოთ „ვექტორის“ ხაზის ნიშანი შემოტანილია, რათა განასხვავოს ჩვეულებრივი არე, რომელიც ყოველთვის დადებითია, ორიენტირებულიდან.

ამ შემთხვევაში აშკარაა, რომ ერთი და იგივე ვექტორები, განსხვავებული თანმიმდევრობით აღებული, საპირისპირო ორიენტაციას განსაზღვრავენ, შესაბამისად, . უბრალოდ, ფართობი კვლავ დარჩება S ასოთი და, შესაბამისად, .

ახლა, როდესაც, როგორც ჩანს, ფართობის ცნების გაფართოების ფასად, მივიღეთ ზოგადი გამოხატულება, ყურადღებიანი მკითხველი იტყვის, რომ ჩვენ არ განვიხილეთ ყველა შესაძლებლობა. მართლაც, ნახ. 21, არის კიდევ ოთხი (სურ. 22) ისევ დავწეროთ ვექტორები და კოორდინატთა სახით: გამოვხატოთ ფართობები ვექტორების კოორდინატების მიხედვით. 4. . ახალ გამონათქვამებში ნიშნები არ შეცვლილა, მაგრამ, სამწუხაროდ, ორიენტაცია შეიცვალა წინა ოთხ შემთხვევასთან მიმართებაში. ამიტომ, ორიენტირებული ზონისთვის, ჩვენ იძულებულნი ვართ დავწეროთ: . მიუხედავად იმისა, რომ ეშმაკური სიმარტივის იმედი არ გამართლდა, მიუხედავად ამისა, მაინც შეგვიძლია დავწეროთ ზოგადი გამოთქმა ოთხივე შემთხვევისთვის.

ანუ ვექტორებზე აგებული მართკუთხედის ორიენტირებული ფართობი, ისევე როგორც გვერდებზე, უდრის განმსაზღვრელს, რომელიც შედგება ვექტორების კოორდინატებისგან, როგორც სვეტებიდან.

მიგვაჩნია, რომ მკითხველი იცნობს დეტერმინანტთა თეორიას, შესაბამისად, ამ კონცეფციაზე დეტალურად არ ვჩერდებით. მიუხედავად ამისა, ჩვენ ვაძლევთ შესაბამის დეფინიციებს, რათა შევცვალოთ აქცენტი და ვაჩვენოთ, რომ ეს კონცეფცია შეიძლება მივიღოთ წმინდა გეომეტრიული მოსაზრებებიდან. , , - ერთი და იგივე კონცეფციის აღნიშვნის სხვადასხვა ფორმა - განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება ვექტორების კოორდინატებისგან, როგორც სვეტებიდან. Თანასწორობა შეიძლება იქნას მიღებული, როგორც მისი განმარტება ორგანზომილებიანი შემთხვევისთვის.

2. b ვექტორი არ არის x ღერძის პარალელურად; ვექტორი a/ არის თვითნებური ვექტორი.

იმისათვის, რომ ეს შემთხვევა უკვე ცნობილამდე შევამციროთ, განვიხილავთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის რამდენიმე გეომეტრიულ გარდაქმნებს და (ნახ. . ვექტორების შერეული პროდუქტები და მისი თვისებები