მატრიცები. მოქმედებები მატრიცებზე

გაითვალისწინეთ, რომ მატრიცის ელემენტები შეიძლება იყოს არა მხოლოდ რიცხვები. წარმოვიდგინოთ, რომ თქვენ აღწერთ წიგნებს, რომლებიც თქვენს თაროზეა. დაე, თქვენი თარო წესრიგში იყოს და ყველა წიგნი იყოს მკაცრად განსაზღვრულ ადგილებში. ცხრილი, რომელიც შეიცავს თქვენი ბიბლიოთეკის აღწერას (თაროების მიხედვით და თაროზე არსებული წიგნების თანმიმდევრობით), ასევე იქნება მატრიცა. მაგრამ ასეთი მატრიცა არ იქნება რიცხვითი. Სხვა მაგალითი. რიცხვების ნაცვლად არის სხვადასხვა ფუნქციები, რომლებიც გაერთიანებულია გარკვეული დამოკიდებულებით. მიღებულ ცხრილს ასევე დაერქმევა მატრიცა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მატრიცა არის ნებისმიერი მართკუთხა მაგიდა, რომელიც შედგება ერთგვაროვანიელემენტები. აქ და შემდგომ ვისაუბრებთ რიცხვებისგან შედგენილ მატრიცებზე.

მატრიცების ჩასაწერად ფრჩხილების ნაცვლად გამოიყენება კვადრატული ფრჩხილები ან სწორი ორმაგი ვერტიკალური ხაზები

(2.1*)

განმარტება 2. თუ გამონათქვამში(1) m = n, შემდეგ ისინი საუბრობენ კვადრატული მატრიცა, და თუ , მაშინ ოჰ მართკუთხა.

m და n-ის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, განასხვავებენ მატრიცების რამდენიმე სპეციალურ ტიპს:

ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი კვადრატიმატრიცა არის ის განმსაზღვრელიან განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება მატრიცის ელემენტებისაგან და აღინიშნება

ცხადია, D E =1; .

განმარტება 3. თუ , შემდეგ მატრიცაა დაურეკა არადეგენერატი ან არა განსაკუთრებული.

განმარტება 4. თუ detA = 0, შემდეგ მატრიცაა დაურეკა დეგენერატი ან განსაკუთრებული.

განმარტება 5. ორი მატრიცაა დაბ უწოდებენ თანაბარი და დაწერე A = B თუ მათ აქვთ იგივე ზომები და მათი შესაბამისი ელემენტები ტოლია, ე.ი..

მაგალითად, მატრიცები და ტოლია, რადგან ისინი ტოლია ზომით და ერთი მატრიცის თითოეული ელემენტი უდრის მეორე მატრიცის შესაბამის ელემენტს. მაგრამ მატრიცებს არ შეიძლება ეწოდოს თანაბარი, თუმცა ორივე მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლია, ხოლო მატრიცების ზომები ერთი და იგივეა, მაგრამ ერთსა და იმავე ადგილებში მდებარე ყველა ელემენტი არ არის ტოლი. მატრიცები განსხვავებულია, რადგან მათ აქვთ განსხვავებული ზომები. პირველი მატრიცა არის 2x3 ზომის, ხოლო მეორე არის 3x2. მიუხედავად იმისა, რომ ელემენტების რაოდენობა იგივეა - 6 და თავად ელემენტები იგივეა 1, 2, 3, 4, 5, 6, მაგრამ ისინი თითოეულ მატრიცაში სხვადასხვა ადგილას არიან. მაგრამ მატრიცები ტოლია, განმარტებით 5.

განმარტება 6. თუ დააფიქსირებთ მატრიცის სვეტების გარკვეულ რაოდენობასა და იგივე რაოდენობის რიგები, შემდეგ ელემენტები მითითებული სვეტების და რიგების გადაკვეთაზე ქმნიან კვადრატულ მატრიცას n- რიგითი, რომლის განმსაზღვრელი დაურეკა მცირეწლოვანიკ – რიგის მატრიცაა.

მაგალითი. ჩაწერეთ მატრიცის სამი მეორე რიგის უმცროსი

ხაზოვანი ალგებრის ამოცანები. მატრიცის კონცეფცია. მატრიცების ტიპები. ოპერაციები მატრიცებით. მატრიცის ტრანსფორმაციის ამოცანების ამოხსნა.

მათემატიკაში სხვადასხვა ამოცანების ამოხსნისას ხშირად გიწევთ საქმე რიცხვების ცხრილებთან, რომლებსაც მატრიცები ეწოდება. მატრიცების გამოყენებით მოსახერხებელია წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა, ვექტორებით მრავალი ოპერაციის შესრულება, კომპიუტერული გრაფიკის სხვადასხვა ამოცანების და სხვა საინჟინრო ამოცანების გადაჭრა.

მატრიცა ეწოდება რიცხვების მართკუთხა ცხრილი, რომელიც შეიცავს რაოდენობას მხაზები და გარკვეული რაოდენობა პსვეტები. ნომრები თდა პმატრიცულ ბრძანებებს უწოდებენ. თუ თ = P,მატრიცას ეწოდება კვადრატი, ხოლო რიცხვი m = n -მისი შეკვეთა.

მომავალში მატრიცების დასაწერად გამოყენებული იქნება ორმაგი ტირე ან ფრჩხილები:

ან

მატრიცის მოკლედ აღსანიშნავად, ხშირად გამოყენებული იქნება ერთი დიდი ასო (მაგალითად, A) ან სიმბოლო. || a ij ||და ზოგჯერ განმარტებით: ა = || a ij || = (აი),სად (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n).

ნომრები აიი,ამ მატრიცაში შედის მისი ელემენტები. ჩაწერაში იჯპირველი ინდექსი і ნიშნავს ხაზის ნომერს და მეორე ინდექსს ჯ- სვეტის ნომერი. კვადრატული მატრიცის შემთხვევაში

(1.1)

შემოღებულია ძირითადი და მეორადი დიაგონალების ცნებები. მატრიცის (1.1) მთავარ დიაგონალს დიაგონალი ეწოდება 11 და 12 … ენმიდის ამ მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხიდან მის ქვედა მარჯვენა კუთხეში. იმავე მატრიცის გვერდით დიაგონალს დიაგონალი ეწოდება a n 1 a (n -1)2… a 1 n,ქვედა მარცხენა კუთხიდან ზედა მარჯვენა კუთხეში გადასვლა.

ძირითადი ოპერაციები მატრიცებზე და მათ თვისებებზე.

მოდით გადავიდეთ მატრიცებზე ძირითადი მოქმედებების განსაზღვრაზე.

მატრიცის დამატება.ორი მატრიცის ჯამი A = || a ij || ,სად და B = || b ij || ,სად (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)იგივე ბრძანებები თდა პეწოდება მატრიცა C = || c ij || (i =1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n)იგივე ბრძანებები თდა P,ელემენტები ij-თან ერთადრომლებიც განისაზღვრება ფორმულით

, სად (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.2)

ორი მატრიცის ჯამის აღსანიშნავად გამოიყენება აღნიშვნა C = A + B.მატრიცების ჯამის შედგენის ოპერაციას მათი შეკრება ეწოდება. ასე რომ, განმარტებით:

+ =

მატრიცების ჯამის განსაზღვრებიდან, უფრო სწორედ ფორმულებიდან (1.2), მაშინვე გამომდინარეობს, რომ მატრიცების დამატების ოპერაციას აქვს იგივე თვისებები, რაც რეალური რიცხვების შეკრების ოპერაციას, კერძოდ:

1) კომუტაციური თვისება: A + B = B + A,

2) ასოციაციური თვისება: A + B) + C = A + (B + C).

ეს თვისებები საშუალებას გაძლევთ არ ინერვიულოთ მატრიცის ტერმინების თანმიმდევრობაზე ორი ან მეტი მატრიცის დამატებისას.

მატრიცის გამრავლება რიცხვზე. მატრიცის ნამრავლი A = || a ij || , სადაც (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) რეალური რიცხვით l, ეწოდება მატრიცა C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), რომლის ელემენტები განისაზღვრება ფორმულით:

, სად (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.3)

მატრიცისა და რიცხვის ნამრავლის აღსანიშნავად გამოიყენება აღნიშვნა C = l Aან C = A l.მატრიცის ნამრავლის რიცხვით შედგენის ოპერაციას მატრიცის ამ რიცხვზე გამრავლება ეწოდება.

პირდაპირ ფორმულიდან (1.3) ცხადია, რომ მატრიცის რიცხვზე გამრავლებას აქვს შემდეგი თვისებები:

1) ასოციაციური თვისება რიცხვითი მულტიპლიკატორის მიმართ: (ლ მ) A = ლ (მ A);

2) განაწილების თვისება მატრიცების ჯამის მიმართ: l (A + B) = l A + l B;

3) გამანაწილებელი თვისება რიცხვთა ჯამის მიმართ: (l + m) A = l A + m A

კომენტარი.ორი მატრიცის განსხვავება ადა INიდენტური შეკვეთები თდა პასეთი მატრიცის დარქმევა ბუნებრივია თანიგივე ბრძანებები თდა P,რომელიც ჯამდება მატრიცასთან ბიძლევა მატრიცას A. ორი მატრიცის სხვაობის აღსანიშნავად გამოიყენება ბუნებრივი აღნიშვნა: C = A - B.

განსხვავების დადასტურება ძალიან მარტივია თანორი მატრიცა ადა INმიღება შესაძლებელია წესით C = A + (–1) V.

მატრიცების პროდუქტიან მატრიცის გამრავლება.

მატრიცული პროდუქტი A = || a ij || , სადაც (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)შესაბამისად თანაბარი შეკვეთების მქონე თდა n,მატრიცამდე B = || b ij || ,სად (i = 1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., p),შესაბამისად თანაბარი შეკვეთების მქონე ნდა R,მატრიცას უწოდებენ C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), რომელსაც აქვს ბრძანებები შესაბამისად თანაბარი თდა რრომლის ელემენტები განისაზღვრება ფორმულით:

სად (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

მატრიცის ნამრავლის აღსანიშნავად ამატრიცამდე INგამოიყენეთ ჩანაწერი C = A × B. მატრიცული პროდუქტის შედგენის ოპერაცია ამატრიცამდე INეწოდება ამ მატრიცების გამრავლება.

ზემოთ ჩამოყალიბებული განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მატრიცა A არ შეიძლება გამრავლდეს ყველა B მატრიცზე,აუცილებელია მატრიცის სვეტების რაოდენობა აუდრის მატრიცის მწკრივების რაოდენობას IN.

ფორმულა (1.4) არის C მატრიცის ელემენტების შედგენის წესი, რომელიც არის მატრიცის ნამრავლი. ამატრიცამდე IN.ეს წესი შეიძლება ჩამოყალიბდეს სიტყვიერად: ელემენტი c i j, რომელიც დგას i-ე მწკრივისა და მატრიცის j-ე სვეტის გადაკვეთაზე C = A B უდრის A და j-ე მატრიცის i-ე მწკრივის შესაბამისი ელემენტების წყვილი ნამრავლების ჯამს. B მატრიცის სვეტი.

ამ წესის გამოყენების მაგალითად წარმოგიდგენთ მეორე რიგის კვადრატული მატრიცების გამრავლების ფორმულას.

× =

ფორმულიდან (1.4) გამოდის მატრიცული პროდუქტის შემდეგი თვისებები: ამატრიცაზე IN:

1) ასოციაციური თვისება: (A B) C = A (B C);

2) გამანაწილებელი თვისება მატრიცების ჯამის მიმართ:

(A + B) C = A C + B C ან A (B + C) = A B + A C.

კითხვა მატრიცის ნამრავლის კომუტაციური თვისების შესახებ ამატრიცამდე INაზრი აქვს მისი დაყენება მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის A და Bიგივე ბრძანება.

მოდით წარმოვადგინოთ მატრიცების მნიშვნელოვანი განსაკუთრებული შემთხვევები, რომლებისთვისაც პერმუტაციის თვისება ასევე მართალია. ორ მატრიცას, რომელთა პროდუქტს აქვს commutation თვისება, ჩვეულებრივ უწოდებენ commuting.

კვადრატულ მატრიცებს შორის ჩვენ გამოვყოფთ ე.წ. წესრიგის თითოეული დიაგონალური მატრიცა პროგორც ჩანს

D= (1.5)

სად d 1, d 2,… , დნ- ნებისმიერი რიცხვი. ადვილი მისახვედრია, რომ თუ ყველა ეს რიცხვი ერთმანეთის ტოლია, ე.ი. d 1 = d 2 =… = d nშემდეგ ნებისმიერი კვადრატული მატრიცისთვის აშეკვეთა პთანასწორობა მართალია A D = D A.

ყველა დიაგონალურ მატრიცებს შორის (1.5) დამთხვევის ელემენტებით d 1 = d 2 =… = dn= = დორი მატრიცა განსაკუთრებით მნიშვნელოვან როლს ასრულებს. ამ მატრიცებიდან პირველი მიღებულია d = 1,იდენტობის მატრიცას უწოდებენ ნ ე.მეორე მატრიცა მიიღება როდესაც d = 0, ეწოდება ნულოვანი მატრიცა ნ-ე რიგი და აღინიშნება სიმბოლოთი ო.ამრიგად,

E= O=

იმის გამო, რაც ზემოთ დადასტურდა A E = E Aდა A O = O A.უფრო მეტიც, ამის ჩვენება ადვილია

A E = E A = A, A O = O A = 0. (1.6)

ფორმულებიდან პირველი (1.6) ახასიათებს იდენტურობის მატრიცის განსაკუთრებულ როლს E,მსგავსი როლი, რომელსაც ასრულებს რიცხვი 1-ის რეალური რიცხვების გამრავლებისას. რაც შეეხება ნულოვანი მატრიცის განსაკუთრებულ როლს შესახებ,მაშინ იგი ვლინდება არა მხოლოდ ფორმულის მეორით (1.7), არამედ ელემენტარული შესამოწმებელი თანასწორობით.

A + 0 = 0 + A = A.

დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ნულოვანი მატრიცის კონცეფცია ასევე შეიძლება შემოღებულ იქნას არაკვადრატული მატრიცებისთვის (ნულოვანი ე.წ. ნებისმიერიმატრიცა, რომლის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია).

ბლოკირების მატრიცები

დავუშვათ, რომ რაღაც მატრიცა A = || a ij ||ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ხაზების გამოყენებით, იგი იყოფა ცალკეულ მართკუთხა უჯრედებად, რომელთაგან თითოეული არის უფრო მცირე ზომის მატრიცა და ეწოდება თავდაპირველი მატრიცის ბლოკი. ამ შემთხვევაში შესაძლებელი ხდება ორიგინალური მატრიცის გათვალისწინება აროგორც რაღაც ახალი (ე.წ. ბლოკის) მატრიცა ა = || A a b ||, რომლის ელემენტებია მითითებული ბლოკები. ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ელემენტებს დიდი ასოებით, რათა ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ ისინი, ზოგადად, მატრიცებია და არა რიცხვები და (ჩვეულებრივი რიცხვითი ელემენტების მსგავსად) ვაძლევთ ორ ინდექსს, რომელთაგან პირველი მიუთითებს „ბლოკის“ წრფის რაოდენობაზე, ხოლო მეორე - სვეტის "ბლოკის" ნომერი.

მაგალითად, მატრიცა

შეიძლება ჩაითვალოს ბლოკის მატრიცად

რომლის ელემენტებია შემდეგი ბლოკები:

აღსანიშნავია ის ფაქტი, რომ ძირითადი ოპერაციები ბლოკის მატრიცებით შესრულებულია იმავე წესებით, რომლითაც ისინი სრულდება ჩვეულებრივი რიცხვითი მატრიცებით, მხოლოდ ბლოკები მოქმედებენ ელემენტებად.

დეტერმინანტის ცნება.

განვიხილოთ ნებისმიერი რიგის თვითნებური კვადრატული მატრიცა P:

A= (1.7)

თითოეულ ასეთ მატრიცას ჩვენ ვუკავშირებთ კარგად განსაზღვრულ რიცხვობრივ მახასიათებელს, რომელსაც დეტერმინანტი ეწოდება, რომელიც შეესაბამება ამ მატრიცას.

თუ ბრძანება ნმატრიცა (1.7) უდრის ერთს, მაშინ ეს მატრიცა შედგება ერთი ელემენტისგან და მე j პირველი რიგის განმსაზღვრელი, რომელიც შეესაბამება ასეთ მატრიცას, ჩვენ დავარქმევთ ამ ელემენტის მნიშვნელობას.

მაშინ მეორე რიგის განმსაზღვრელი, რომელიც შეესაბამება ასეთ მატრიცას, არის რიცხვი ტოლი a 11 a 22 - a 12 a 21და აღინიშნება ერთ-ერთი სიმბოლოთი:

ასე რომ, განსაზღვრებით

(1.9)

ფორმულა (1.9) არის მეორე რიგის დეტერმინანტის აგების წესი შესაბამისი მატრიცის ელემენტებიდან. ამ წესის სიტყვიერი ფორმულირება ასეთია: მატრიცის (1.8) შესაბამისი მეორე რიგის განმსაზღვრელი უდრის სხვაობას ამ მატრიცის მთავარ დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლსა და მის მეორად დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლს შორის. მეორე და უმაღლესი რიგის განმსაზღვრელი ფართოდ გამოიყენება წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას.

ვნახოთ, როგორ სრულდება ისინი ოპერაციები მატრიცებით MathCad სისტემაში . მატრიცული ალგებრის უმარტივესი ოპერაციები MathCad-ში ხორციელდება ოპერატორების სახით. ოპერატორების ჩაწერა რაც შეიძლება ახლოსაა მნიშვნელობით მათ მათემატიკურ მოქმედებასთან. თითოეული ოპერატორი გამოიხატება შესაბამისი სიმბოლოთი. განვიხილოთ მატრიცული და ვექტორული ოპერაციები MathCad 2001-ში. ვექტორები არის განზომილების მატრიცების განსაკუთრებული შემთხვევა. n x 1,მაშასადამე, მათთვის მართებულია ყველა იგივე ოპერაცია, რაც მატრიცებისთვის, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც კონკრეტულად არის მითითებული შეზღუდვები (მაგალითად, ზოგიერთი ოპერაცია გამოიყენება მხოლოდ კვადრატულ მატრიცებზე n x n). ზოგიერთი ქმედება მოქმედებს მხოლოდ ვექტორებისთვის (მაგალითად, სკალარული ნამრავლი), ზოგი კი, მიუხედავად ერთი და იგივე მართლწერისა, განსხვავებულად მოქმედებს ვექტორებსა და მატრიცებზე.

q ღილაკზე OK დაჭერის შემდეგ იხსნება ველი მატრიცის ელემენტების შესაყვანად. მატრიცის ელემენტის შესაყვანად მოათავსეთ კურსორი მონიშნულ პოზიციაზე და შეიყვანეთ რიცხვი ან გამოთქმა კლავიატურიდან.

ინსტრუმენტთა ზოლის გამოყენებით ნებისმიერი ოპერაციის შესასრულებლად საჭიროა:

q აირჩიეთ მატრიცა და დააწკაპუნეთ ოპერაციის ღილაკზე პანელში,

q ან დააჭირეთ ღილაკს პანელში და ჩაწერეთ მატრიცის სახელი მონიშნულ პოზიციაზე.

მენიუ "სიმბოლოები" შეიცავს სამ ოპერაციას - ტრანსპოზირება, ინვერსია, განმსაზღვრელი.

ეს ნიშნავს, რომ, მაგალითად, შეგიძლიათ გამოთვალოთ მატრიცის განმსაზღვრელი ბრძანების გაშვებით სიმბოლოები/მატრიცები/დეტერმინანტი.

MathCAD ინახავს მატრიცის პირველი რიგის (და პირველი სვეტის) რიცხვს ORIGIN ცვლადში. ნაგულისხმევად, დათვლა იწყება ნულიდან. მათემატიკური აღნიშვნებისას უფრო ხშირია 1-დან დათვლა. იმისათვის, რომ MathCAD-მა დათვალოს მწკრივების და სვეტების რიცხვები 1-დან, თქვენ უნდა დააყენოთ ORIGIN:=1 ცვლადის მნიშვნელობა.

ხაზოვანი ალგებრის ამოცანებთან მუშაობისთვის შექმნილი ფუნქციები გროვდება დიალოგში „ჩასმა ფუნქციის“ განყოფილებაში „ვექტორები და მატრიცები“ (შეგახსენებთ, რომ ის გამოიძახება „სტანდარტული“ პანელის ღილაკით). ამ ფუნქციების ძირითადი ნაწილი მოგვიანებით იქნება აღწერილი.

ტრანსპონირება

Დაკავშირებული ინფორმაცია.

მატრიცა არის მართკუთხა ცხრილი, რომელიც ივსება რამდენიმე მათემატიკური ობიექტით. უმეტესწილად, ჩვენ განვიხილავთ მატრიცებს ზოგიერთი ველის ელემენტებით, თუმცა ბევრი წინადადება ძალაში რჩება, თუ მატრიცების ელემენტები განიხილება ასოციაციური (არა აუცილებლად კომუტაციური) რგოლის ელემენტებად.

ყველაზე ხშირად, მატრიცის ელემენტები აღინიშნება ერთი ასოთი და ორი ინდექსით, რომელიც მიუთითებს ელემენტის "მისამართზე" - პირველი ინდექსი იძლევა ელემენტის შემცველი მწკრივის რიცხვს, მეორე - სვეტის ნომერს. ამრიგად, მატრიცა (განზომილებების) იწერება ფორმით

რიცხვებიდან ჩასმული მატრიცები ბუნებრივად წარმოიქმნება წრფივი განტოლებების სისტემების განხილვისას

ამ პრობლემის შეყვანის მონაცემები არის კოეფიციენტების ნაკრები, რომლებიც ბუნებრივად ქმნიან მატრიცას

და თავისუფალი წევრების ნაკრები, რომლებიც ქმნიან მატრიცას მხოლოდ ერთი სვეტით. რასაც ჩვენ ვეძებთ არის უცნობი მნიშვნელობების ნაკრები, რომელიც, როგორც ირკვევა, ასევე შეიძლება მოხერხებულად იყოს წარმოდგენილი, როგორც ერთი სვეტისაგან შემდგარი მატრიცა.

დიდ როლს თამაშობს ეგრეთ წოდებული დიაგონალური მატრიცები. ეს სახელი ეხება კვადრატულ მატრიცებს, რომელთა ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, გარდა ძირითადი დიაგონალის ელემენტებისა, ანუ პოზიციებზე მდებარე ელემენტებისა.

დიაგონალური მატრიცა D დიაგონალური ელემენტებით აღინიშნება

მატრიცას, რომელიც შედგება A მატრიცის რამდენიმე არჩეული მწკრივისა და რამდენიმე არჩეული სვეტის კვეთაზე განლაგებულ ელემენტებზე, ეწოდება A მატრიცის ქვემატრიცა.

კერძოდ, მატრიცის რიგები და სვეტები შეიძლება ჩაითვალოს მის ქვემატრიცებად.

მატრიცები ბუნებრივი გზით ასოცირდება ცვლადების წრფივ ჩანაცვლებასთან (წრფივ ტრანსფორმაციასთან). ეს სახელი ეხება ცვლადების ორიგინალური სისტემიდან მეორეზე ახალზე გადასვლას, რომელიც დაკავშირებულია ფორმულებით

ცვლადების ხაზოვანი ჩანაცვლება მითითებულია კოეფიციენტების მატრიცის გამოყენებით

წრფივი განტოლებების სისტემებს შორის უდიდესი მნიშვნელობა აქვს სისტემებს, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობის რაოდენობას. ცვლადების წრფივ ჩანაცვლებებს შორის მთავარ როლს ასრულებენ ჩანაცვლებები, რომლებშიც ორიგინალური და ახალი ცვლადების რაოდენობა ერთნაირია. ამ სიტუაციებში, კოეფიციენტის მატრიცა აღმოჩნდება კვადრატული, ანუ აქვს იგივე რაოდენობის რიგები და სვეტები; ამ რიცხვს კვადრატული მატრიცის რიგი ეწოდება.

იმის ნაცვლად, რომ თქვან "ერთი რიგის მატრიცა" და "ერთსვეტიანი მატრიცა", ისინი უფრო მოკლედ ამბობენ: მწკრივი, სვეტი.

მატრიცები. მოქმედებები მატრიცებზე. მატრიცებზე მოქმედებების თვისებები. მატრიცების ტიპები.

მატრიცები (და, შესაბამისად, მათემატიკური განყოფილება - მატრიცული ალგებრა)ისინი მნიშვნელოვანია გამოყენებით მათემატიკაში, რადგან ისინი საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ობიექტებისა და პროცესების მათემატიკური მოდელების მნიშვნელოვანი ნაწილი საკმაოდ მარტივი ფორმით. ტერმინი "მატრიცა" გამოჩნდა 1850 წელს. მატრიცები პირველად ძველ ჩინეთში იყო ნახსენები, მოგვიანებით კი არაბი მათემატიკოსები.

მატრიცა A=წთშეკვეთა m*n ეწოდება რიცხვების მართკუთხა ცხრილი, რომელიც შეიცავს m - სტრიქონებს და n - სვეტებს.

მატრიცის ელემენტები აიი,რომლისთვისაც i=j ეწოდება დიაგონალს და ფორმას მთავარი დიაგონალი.

კვადრატული მატრიცისთვის (m=n), მთავარ დიაგონალს ქმნიან ელემენტები a 11, a 22,..., a nn.

მატრიცული თანასწორობა.

A=Bთუ მატრიცა ბრძანებს ადა ბიგივეა და a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

მოქმედებები მატრიცებზე.

1. მატრიცული შეკრება - ელემენტის მიხედვით ოპერაცია

2. მატრიცების გამოკლება - ელემენტარული ოპერაცია

3. მატრიცისა და რიცხვის ნამრავლი ელემენტარული ოპერაციაა

4. გამრავლება A*Bმატრიცები წესის მიხედვით მწკრივი სვეტამდე(მატრიცის A სვეტების რაოდენობა უნდა იყოს B მატრიცის მწკრივების რაოდენობის ტოლი)

A mk *B kn =C mnდა თითოეული ელემენტი ij-თან ერთადმატრიცები სმნუდრის A მატრიცის i-ე რიგის ელემენტების ნამრავლების ჯამს B მატრიცის j-ე სვეტის შესაბამისი ელემენტებით, ე.ი.

მაგალითის გამოყენებით ვაჩვენოთ მატრიცის გამრავლების მოქმედება

5. ექსპონენტაცია

m>1 არის დადებითი მთელი რიცხვი. A არის კვადრატული მატრიცა (m=n) ე.ი. შესაბამისი მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის

6. A მატრიცის ტრანსპოზირება. ტრანსპონირებული მატრიცა აღინიშნება A T-ით ან A"-ით.

რიგები და სვეტები შეიცვალა

მაგალითი

მატრიცებზე მოქმედებების თვისებები

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

მატრიცების ტიპები

1. მართკუთხა: მდა ნ- თვითნებური დადებითი მთელი რიცხვები

2. მოედანი: m=n

3. მატრიცის მწკრივი: m=1. მაგალითად, (1 3 5 7) - ბევრ პრაქტიკულ პრობლემაში ასეთ მატრიცას ვექტორი ეწოდება.

4. მატრიცის სვეტი: n=1. Მაგალითად

5. დიაგონალური მატრიცა: m=nდა a ij =0, თუ i≠j. Მაგალითად

6. პირადობის მატრიცა: m=nდა

7. ნულოვანი მატრიცა: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. სამკუთხა მატრიცა: მთავარი დიაგონალის ქვემოთ ყველა ელემენტი არის 0.

9. სიმეტრიული მატრიცა: m=nდა ა იჯ =ა ჯი(ანუ თანაბარი ელემენტები განლაგებულია მთავარ დიაგონალთან შედარებით სიმეტრიულ ადგილებში) და ამიტომ A"=A

Მაგალითად,

10. დახრილ-სიმეტრიული მატრიცა: m=nდა a ij =-a ji(ანუ საპირისპირო ელემენტები განლაგებულია მთავარ დიაგონალთან შედარებით სიმეტრიულ ადგილებში). შესაბამისად, მთავარ დიაგონალზე არის ნულები (როდიდან i=jჩვენ გვაქვს a ii =-a ii)

წმინდა, ა"=-ა

11. ჰერმიციული მატრიცა: m=nდა a ii =-ã ii (ã ji- კომპლექსი - კონიუგირებული ჯი, ე.ი. თუ A=3+2i, შემდეგ კომპლექსური კონიუგატი Ã=3-2i)

ინსტრუქციები. ონლაინ გადაწყვეტისთვის, თქვენ უნდა მიუთითოთ მატრიცის გამოხატულება. მეორე ეტაპზე საჭირო იქნება მატრიცების განზომილების გარკვევა. მოქმედი ოპერაციები: გამრავლება (*), შეკრება (+), გამოკლება (-), შებრუნებული მატრიცა A^(-1), გაძლიერება (A^2, B^3), მატრიცის ტრანსპოზიცია (A^T).

მოქმედი ოპერაციები: გამრავლება (*), შეკრება (+), გამოკლება (-), შებრუნებული მატრიცა A^(-1), გაძლიერება (A^2, B^3), მატრიცის ტრანსპოზიცია (A^T).
ოპერაციების სიის შესასრულებლად გამოიყენეთ მძიმით (;) გამყოფი. მაგალითად, სამი ოპერაციის შესასრულებლად:
ა) 3A+4B
ბ) AB-VA
გ) (A-B) -1
თქვენ უნდა დაწეროთ ასე: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

მატრიცა არის მართკუთხა რიცხვითი ცხრილი m მწკრივით და n სვეტით, ამიტომ მატრიცა სქემატურად შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მართკუთხედის სახით.
ნულოვანი მატრიცა (ნულის მატრიცა)არის მატრიცა, რომლის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია და აღინიშნება 0-ით.
იდენტობის მატრიცაეწოდება ფორმის კვადრატული მატრიცა

განვსაზღვროთ ძირითადი ოპერაციები მატრიცებზე.

მატრიცის დამატება

მაგალითი 6. .
მატრიცის მიმატების ოპერაცია ვრცელდება ნებისმიერი რაოდენობის ტერმინების შემთხვევაში. ცხადია A+0=A.
კიდევ ერთხელ ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ შესაძლებელია მხოლოდ ერთი და იმავე ზომის მატრიცების დამატება; სხვადასხვა ზომის მატრიცებისთვის დამატების ოპერაცია არ არის განსაზღვრული.

მატრიცების გამოკლება

მატრიცული გამრავლება

განმარტება . მოდით ორი მატრიცა A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) და B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p) და A-ს სვეტების რაოდენობა უდრის B-ის მწკრივების რაოდენობას. A და B-ის ნამრავლი არის C=||c i k || მატრიცა, რომლის ელემენტები გვხვდება ფორმულით. .
აღინიშნება C=A·B.
სქემატურად, მატრიცის გამრავლების ოპერაცია შეიძლება გამოისახოს შემდეგნაირად:

და პროდუქტში ელემენტის გამოთვლის წესი:

კიდევ ერთხელ ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ A·B ნამრავლს აქვს აზრი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირველი ფაქტორის სვეტების რაოდენობა უდრის მეორის მწკრივების რაოდენობას და ნამრავლი აწარმოებს მატრიცას, რომლის მწკრივების რაოდენობა უდრის. პირველი ფაქტორის სტრიქონების რაოდენობა, ხოლო სვეტების რაოდენობა უდრის მეორის სვეტების რაოდენობას. თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ გამრავლების შედეგი სპეციალური ონლაინ კალკულატორის გამოყენებით.

მაგალითი 7. მოცემული მატრიცები და . იპოვეთ მატრიცები C = A·B და D = B·A.
გამოსავალი. უპირველეს ყოვლისა, გაითვალისწინეთ, რომ პროდუქტი A·B არსებობს, რადგან A-ს სვეტების რაოდენობა უდრის B-ის მწკრივების რაოდენობას.

მაგალითი 8. მოცემულია მატრიცა . იპოვეთ 3A 2 – 2A.
გამოსავალი.

.
; .
.
აღვნიშნოთ შემდეგი საინტერესო ფაქტი.
მოგეხსენებათ, ორი არანულოვანი რიცხვის ნამრავლი არ არის ნულის ტოლი. მატრიცებისთვის მსგავსი გარემოება შეიძლება არ მოხდეს, ანუ ნულოვანი მატრიცების ნამრავლი შეიძლება აღმოჩნდეს ნულოვანი მატრიცის ტოლი.