უსასრულოდ დიდი ფუნქციის განმარტება. უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობის განმარტება და მათი თვისებები.

წერტილში უსასრულოდ მცირე და უსასრულოდ დიდი ფუნქციების განმარტებები და თვისებები. თვისებების და თეორემების მტკიცებულებები. უსასრულოდ მცირე და უსასრულოდ დიდ ფუნქციებს შორის კავშირი.

Იხილეთ ასევე: უსასრულოდ მცირე მიმდევრობები - განსაზღვრება და თვისებები
უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობის თვისებები

უსასრულოდ მცირე და უსასრულოდ მცირე ფუნქციების განმარტება

მოდით x 0 არის სასრული ან უსასრულო წერტილი: ∞, -∞ ან +∞.

უსასრულოდ მცირე ფუნქციის განმარტება
ფუნქცია α (x)დაურეკა უსასრულოდ მცირეროგორც x მიდრეკილია x-ისკენ 0 0 და ის ნულის ტოლია:
.

უსასრულოდ დიდი ფუნქციის განმარტება
ფუნქცია f (x)დაურეკა უსასრულოდ დიდიროგორც x მიდრეკილია x-ისკენ 0 , თუ ფუნქციას აქვს ზღვარი x → x 0 და ის უდრის უსასრულობას:
.

უსასრულოდ მცირე ფუნქციების თვისებები

უსასრულოდ მცირე ფუნქციების ჯამის, სხვაობისა და ნამრავლის თვისება

ჯამი, განსხვავება და პროდუქტიუსასრულო რაოდენობის ფუნქციების სასრული რაოდენობა x → x 0 არის უსასრულოდ მცირე ფუნქცია, როგორც x → x 0 .

ეს თვისება არის ფუნქციის ზღვრების არითმეტიკული თვისებების პირდაპირი შედეგი.

თეორემა შეკრული ფუნქციისა და უსასრულო მცირეს ნამრავლის შესახებ

შეზღუდული ფუნქციის პროდუქტი x წერტილის რომელიღაც პუნქციურ უბანზე 0 , უსასრულოდ მცირე, როგორც x → x 0 , არის უსასრულოდ მცირე ფუნქცია, როგორც x → x 0 .

ფუნქციის წარმოდგენის თვისება, როგორც მუდმივი და უსასრულო ფუნქციის ჯამი

იმისათვის, რომ ფუნქცია f (x)ჰქონდა სასრული ზღვარი, ეს აუცილებელი და საკმარისია
,
სად არის უსასრულოდ მცირე ფუნქცია, როგორც x → x 0 .

უსასრულოდ დიდი ფუნქციების თვისებები

თეორემა შემოსაზღვრული ფუნქციისა და უსასრულოდ დიდის ჯამის შესახებ

შეკრული ფუნქციის ჯამი ან სხვაობა x წერტილის ზოგიერთ პუნქციასთან 0 და უსასრულოდ დიდი ფუნქცია, როგორც x → x 0 , არის უსასრულოდ დიდი ფუნქცია, როგორც x → x 0 .

თეორემა შეზღუდული ფუნქციის უსასრულოდ დიდზე გაყოფის კოეფიციენტზე

თუ ფუნქცია f (x)არის უსასრულოდ დიდი როგორც x → x 0 და ფუნქცია გ (x)- შემოსაზღვრულია x წერტილის ზოგიერთ პუნქციურ მიმდებარედ 0 , ეს
.

თეორემა ფუნქციის გაყოფის შესახებ, რომელიც შემოიფარგლება ქვევით უსასრულო მცირეთი

თუ ფუნქცია, წერტილის რომელიმე პუნქციურ სამეზობლოზე, ქვემოდან შემოიფარგლება დადებითი რიცხვით აბსოლუტური მნიშვნელობით:
,
და ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა, როგორც x → x 0 :
,
და არის პუნქციური სამეზობლო წერტილი, რომელზეც , მაშინ
.

უსასრულოდ დიდი ფუნქციების უტოლობათა თვისება

თუ ფუნქცია უსასრულოდ დიდია:
,
და ფუნქციები და , წერტილის ზოგიერთ პუნქციურ სამეზობლოზე აკმაყოფილებენ უტოლობას:
,
მაშინ ფუნქცია ასევე უსასრულოდ დიდია:
.

ამ ქონებას აქვს ორი განსაკუთრებული შემთხვევა.

მოდით, წერტილის ზოგიერთ პუნქციურ მეზობელზე ფუნქციები და დავაკმაყოფილოთ უტოლობა:
.
მაშინ თუ , მაშინ და .
თუ , მაშინ და .

უსასრულოდ დიდ და უსასრულოდ მცირე ფუნქციებს შორის კავშირი

ორი წინა თვისებიდან გამომდინარეობს კავშირი უსასრულოდ დიდ და უსასრულოდ მცირე ფუნქციებს შორის.

თუ ფუნქცია უსასრულოდ დიდია ზე, მაშინ ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა ზე.

თუ ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა და-სთვის, მაშინ ფუნქცია უსასრულოდ დიდია.

კავშირი უსასრულოდ მცირე და უსასრულოდ დიდ ფუნქციას შორის შეიძლება გამოიხატოს სიმბოლურად:
, .

თუ უსასრულოდ მცირე ფუნქციას აქვს გარკვეული ნიშანი ზე, ანუ ის დადებითია (ან უარყოფითი) წერტილის რომელიმე პუნქციურ მეზობელზე, მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ ასე:
.
ანალოგიურად, თუ უსასრულოდ დიდ ფუნქციას აქვს გარკვეული ნიშანი ზე, მაშინ ისინი წერენ:
, ან .

მაშინ სიმბოლური კავშირი უსასრულოდ მცირე და უსასრულოდ დიდ ფუნქციებს შორის შეიძლება დაემატოს შემდეგი ურთიერთობებით:
, ,
, .

უსასრულობის სიმბოლოებთან დაკავშირებული დამატებითი ფორმულები შეგიძლიათ იხილოთ გვერდზე
"პუნქტები უსასრულობაზე და მათი თვისებები."

თვისებებისა და თეორემების დადასტურება

თეორემის დადასტურება შემოსაზღვრული ფუნქციისა და უსასრულო პატარას ნამრავლზე

ამ თეორემის დასამტკიცებლად ჩვენ გამოვიყენებთ. ასევე ვიყენებთ უსასრულოდ მცირე მიმდევრობის თვისებას, რომლის მიხედვითაც

დაე, ფუნქცია იყოს უსასრულოდ მცირე ზე, და ფუნქცია შემოიფარგლოს წერტილის ზოგიერთ პუნქციასთან:
ზე.

იმის გამო, რომ არსებობს ლიმიტი, არის პუნქციური სამეზობლო წერტილი, რომელზეც ფუნქცია არის განსაზღვრული. იყოს უბნების გადაკვეთა და . შემდეგ ფუნქციები და განისაზღვრება მასზე.

.
,
თანმიმდევრობა უსასრულოდ მცირეა:
.

მოდით ვისარგებლოთ იმით, რომ შეზღუდული მიმდევრობისა და უსასრულოდ მცირე მიმდევრობის ნამრავლი არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა:
.
.

თეორემა დადასტურდა.

ფუნქციის მუდმივ და უსასრულო ფუნქციის ჯამის სახით წარმოდგენის თვისების დადასტურება

აუცილებლობა. დაე, ფუნქციას ჰქონდეს სასრული ზღვარი წერტილში
.
განვიხილოთ ფუნქცია:
.
ფუნქციების განსხვავების ზღვრის თვისების გამოყენებით, გვაქვს:
.
ანუ არის უსასრულოდ მცირე ფუნქცია.

ადეკვატურობა. Იყოს. გამოვიყენოთ ფუნქციების ჯამის ლიმიტის თვისება:
.

ქონება დადასტურებულია.

თეორემის დადასტურება შემოსაზღვრული ფუნქციისა და უსასრულოდ დიდის ჯამის შესახებ

თეორემის დასამტკიცებლად გამოვიყენებთ ჰეინეს განმარტებას ფუნქციის ლიმიტის შესახებ

ზე.

იმის გამო, რომ არსებობს ლიმიტი, არის პუნქციური სამეზობლო წერტილი, რომელზეც ფუნქცია არის განსაზღვრული. იყოს უბნების გადაკვეთა და . შემდეგ ფუნქციები და განისაზღვრება მასზე.

დაე, იყოს თვითნებური თანმიმდევრობა, რომელიც ემთხვევა , რომლის ელემენტები ეკუთვნის მეზობელს:
.
შემდეგ მიმდევრობები და განისაზღვრება. უფრო მეტიც, თანმიმდევრობა შეზღუდულია:
,
თანმიმდევრობა უსასრულოდ დიდია:
.

ვინაიდან შეზღუდული მიმდევრობისა და უსასრულოდ დიდის ჯამი ან განსხვავება
.
შემდეგ, ჰეინეს მიხედვით მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრის მიხედვით,
.

თეორემა დადასტურდა.

თეორემის დადასტურება შეკრული ფუნქციის უსასრულოდ დიდზე გაყოფის კოეფიციენტზე

ამის დასამტკიცებლად გამოვიყენებთ ჰეინეს განმარტებას ფუნქციის ლიმიტის შესახებ. ჩვენ ასევე ვიყენებთ უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის თვისებას, რომლის მიხედვითაც არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა.

დაე, ფუნქცია იყოს უსასრულოდ დიდი ზე, და ფუნქცია შემოიფარგლოს წერტილის ზოგიერთ პუნქციასთან:
ზე.

ვინაიდან ფუნქცია უსასრულოდ დიდია, არის პუნქციური უბანი იმ წერტილიდან, სადაც ის არის განსაზღვრული და არ ქრება:
ზე.
იყოს უბნების გადაკვეთა და . შემდეგ ფუნქციები და განისაზღვრება მასზე.

დაე, იყოს თვითნებური თანმიმდევრობა, რომელიც ემთხვევა , რომლის ელემენტები ეკუთვნის მეზობელს:
.
შემდეგ მიმდევრობები და განისაზღვრება. უფრო მეტიც, თანმიმდევრობა შეზღუდულია:
,
თანმიმდევრობა უსასრულოდ დიდია არანულოვანი ტერმინებით:
, .

ვინაიდან შეზღუდული მიმდევრობის უსასრულოდ დიდზე გაყოფის კოეფიციენტი არის უსასრულოდ მცირე მიმდევრობა, მაშინ
.
შემდეგ, ჰეინეს მიხედვით მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრის მიხედვით,
.

თეორემა დადასტურდა.

კოეფიციენტის თეორემის დადასტურება ფუნქციის გაყოფისთვის, რომელიც შემოიფარგლება უსასრულოდ მცირეზე

ამ თვისების დასამტკიცებლად ჩვენ გამოვიყენებთ ჰეინეს განმარტებას ფუნქციის ლიმიტის შესახებ. ჩვენ ასევე ვიყენებთ უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის თვისებას, რომლის მიხედვითაც არის უსასრულოდ დიდი მიმდევრობა.

დაე, ფუნქცია იყოს უსასრულოდ მცირე, და ფუნქცია შემოიფარგლოს აბსოლუტური მნიშვნელობით ქვემოდან დადებითი რიცხვით, წერტილის ზოგიერთ პუნქციასთან:
ზე.

პირობით, არსებობს წერტილის პუნქცია, რომელზეც ფუნქცია არის განსაზღვრული და არ ქრება:
ზე.
იყოს უბნების გადაკვეთა და . შემდეგ ფუნქციები და განისაზღვრება მასზე. მეტიც.

დაე, იყოს თვითნებური თანმიმდევრობა, რომელიც ემთხვევა , რომლის ელემენტები ეკუთვნის მეზობელს:
.
შემდეგ მიმდევრობები და განისაზღვრება. უფრო მეტიც, თანმიმდევრობა შემოიფარგლება ქვემოთ:
,
და თანმიმდევრობა უსასრულოდ მცირეა არანულოვანი ტერმინებით:
, .

ვინაიდან ქვემოთ შემოსაზღვრული მიმდევრობის გაყოფის კოეფიციენტი არის უსასრულოდ დიდი მიმდევრობა, მაშინ
.
და იყოს პუნქციური სამეზობლო წერტილი, რომელზეც
ზე.

ავიღოთ თვითნებური თანმიმდევრობა, რომელიც კონვერგირდება . შემდეგ, რაღაც N რიცხვიდან დაწყებული, მიმდევრობის ელემენტები მიეკუთვნება ამ სამეზობლოს:
ზე.
მერე
ზე.

ჰეინეს მიხედვით ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრის მიხედვით,
.
შემდეგ, უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის უტოლობების თვისებით,
.
ვინაიდან თანმიმდევრობა თვითნებურია, თანმიმდევრობა ემთხვევა , მაშასადამე, ჰეინეს მიხედვით ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრით,
.

ქონება დადასტურებულია.

ცნობები:
ლ.დ. კუდრიავცევი. მათემატიკური ანალიზის კურსი. ტომი 1. მოსკოვი, 2003 წ.

უსასრულოდ მცირე ფუნქციები

ფუნქცია %%f(x)%% გამოძახებულია უსასრულოდ მცირე(b.m.) %%x \-მდე \in \overline(\mathbb(R))%%, თუ არგუმენტის ამ ტენდენციით ფუნქციის ლიმიტი ნულის ტოლია.

ცნება ბ.მ. ფუნქცია განუყოფლად არის დაკავშირებული ინსტრუქციებთან მისი არგუმენტის შესაცვლელად. შეიძლება ვისაუბროთ ბ.მ. ფუნქციონირებს %%a \a + 0%% -ზე და %%a \a - 0%% -ზე. ჩვეულებრივ ბ.მ. ფუნქციები აღინიშნება ბერძნული ანბანის პირველი ასოებით %%\alpha, \beta, \გამა, \ldots%%

მაგალითები

1. ფუნქცია %%f(x) = x%% არის b.m. %%x \ 0%%-ზე, ვინაიდან მისი ლიმიტი %%a = 0%% არის ნული. ორმხრივი ზღვრისა და ცალმხრივი ზღვრის კავშირის შესახებ თეორემის მიხედვით ეს ფუნქცია ბ.მ. ორივე %%x \ to +0%% და %%x \ to -0%%–ით.
2. ფუნქცია %%f(x) = 1/(x^2)%% - ბ.მ. %%x \ to \infty%%–ზე (ასევე %%x \ to +\infty%%–ზე და %%x \ to -\infty%%)–ზე.

არანულოვანი მუდმივი რიცხვი, რაც არ უნდა მცირე იყოს აბსოლუტური მნიშვნელობით, არ არის b.m. ფუნქცია. მუდმივი რიცხვებისთვის ერთადერთი გამონაკლისი არის ნული, ვინაიდან ფუნქცია %%f(x) \equiv 0%% აქვს ნულოვანი ლიმიტი.

თეორემა

ფუნქცია %%f(x)%% აქვს გაფართოებული რიცხვითი წრფის %%a \in \overline(\mathbb(R))%% წერტილში საბოლოო ზღვარი, რომელიც ტოლია რიცხვის %%b%% თუ და მხოლოდ თუ ეს ფუნქცია უდრის ამ რიცხვის ჯამს %%b%% და ბ.მ. ფუნქციები %%\alpha(x)%% %%x \ to a%%, ან $$ \არსებობს~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \მარცხენა მარჯვენა ისარი \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

უსასრულოდ მცირე ფუნქციების თვისებები

%%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%% ზღვრამდე გადასვლის წესების მიხედვით, შემდეგი დებულებებია:

1. ბ.მ-ის საბოლოო რიცხვის ჯამი. ფუნქციები %%x \ to a%% არის b.m. %%x \a%%–ზე.
2. ნებისმიერი რიცხვის ნამრავლი ბ.მ. ფუნქციები %%x \ to a%% არის b.m. %%x \a%%–ზე.

პროდუქტი ბ.მ. ფუნქციონირებს %%x \a%%–ზე და ფუნქცია შემოსაზღვრულია ზოგიერთ პუნქციურ უბანში %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% a წერტილის, არის b.m. %%x \ to a%% ფუნქციაზე.

ნათელია, რომ მუდმივი ფუნქციის ნამრავლი და ბ.მ. %%x \a%%-ზე არის ბ.მ. ფუნქცია %%x \a%%–ზე.

ექვივალენტური უსასრულო მცირე ფუნქციები

უსასრულოდ მცირე ფუნქციები %%\alpha(x), \beta(x)%% %%x \ to a%% ეწოდება ექვივალენტიდა ჩაწერეთ %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, თუ

$$ \lim\limits_(x \a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x)) = \lim\limits_(x \a)(\frac(\beta(x) )(\ალფა(x))) = 1. $$

თეორემა ბ.მ-ის ჩანაცვლების შესახებ. ფუნქციების ექვივალენტი

დაე, %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% იყოს b.m. ფუნქციები %%x \ to a%%, %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, შემდეგ $$ \lim\limits_(x \a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x)) = \lim\ ლიმიტები_(x \a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

ეკვივალენტური ბ.მ. ფუნქციები.

დაე, %%\alpha(x)%% იყოს b.m. ფუნქცია %%x \ to a%%, შემდეგ

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

მაგალითი

$$ \begin(მასივი)(ll) \lim\limits_(x \0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \ to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \ to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \0-მდე)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(მასივი) $$

უსაზღვროდ დიდი ფუნქციები

ფუნქცია %%f(x)%% გამოძახებულია უსასრულოდ დიდი(b.b.) %%x \ to \in \overline(\mathbb(R))%%, თუ არგუმენტის ამ ტენდენციით ფუნქციას აქვს უსასრულო ზღვარი.

მსგავსი ბ.მ. ფუნქციების კონცეფცია ბ.ბ. ფუნქცია განუყოფლად არის დაკავშირებული ინსტრუქციებთან მისი არგუმენტის შესაცვლელად. შეიძლება ვისაუბროთ ბ.ბ. ფუნქციონირებს %%x \a + 0%%–ით და %%x \a - 0%%–ით. ტერმინი „უსასრულოდ დიდი“ არ საუბრობს ფუნქციის აბსოლუტურ მნიშვნელობაზე, არამედ მისი ცვლილების ბუნებაზე მოცემული წერტილის სიახლოვეს. არც ერთი მუდმივი რიცხვი, რაც არ უნდა დიდი იყოს აბსოლუტური მნიშვნელობით, არ არის უსასრულოდ დიდი.

მაგალითები

1. ფუნქცია %%f(x) = 1/x%% - ბ.ბ. %%x \ 0%-მდე.
2. ფუნქცია %%f(x) = x%% - b.b. %%x \ to \infty%%.

თუ განსაზღვრის პირობებია $$ \begin(მასივი)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(მასივი) $$

შემდეგ ისინი საუბრობენ დადებითიან უარყოფითიბ.ბ. %%a%% ფუნქციაზე.

მაგალითი

ფუნქცია %%1/(x^2)%% - დადებითი ბ.ბ. %%x \ 0%-მდე.

კავშირი ბ.ბ. და ბ.მ. ფუნქციები

თუ %%f(x)%% არის b.b. %%x \ to a%% ფუნქციით, შემდეგ %%1/f(x)%% - ბ.მ.

%%x \a%%–ზე. თუ %%\alpha(x)%% - ბ.მ. რადგან %%x \ to a%% არის არანულოვანი ფუნქცია %%a%% წერტილის ზოგიერთ პუნქციასთან, მაშინ %%1/\alpha(x)%% არის b.b. %%x \a%%–ზე.

უსასრულოდ დიდი ფუნქციების თვისებები

წარმოგიდგენთ b.b-ის რამდენიმე თვისებას. ფუნქციები. ეს თვისებები პირდაპირ გამომდინარეობს ბ.ბ. სასრული ზღვრების მქონე ფუნქციების ფუნქციები და თვისებები, ასევე ბ.ბ.-ს შორის კავშირის თეორემადან. და ბ.მ. ფუნქციები.

1. სასრული რიცხვის ნამრავლი b.b. ფუნქციები %%x \ to a%% არის b.b. ფუნქცია %%x \a%%–ზე. მართლაც, თუ %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. ფუნქციონირებს %%x \ to a%%, შემდეგ წერტილის ზოგიერთ პუნქციურ მიდამოში %%a%% %%f_k(x) \ne 0%% და კავშირის თეორემით ბ.ბ. და ბ.მ.ფუნქციები %%1/f_k(x)%% - ბ.მ. ფუნქცია %%x \a%%–ზე. გამოდის %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - b.m ფუნქცია %%x \ to a%%, და %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - ბ.ბ. ფუნქცია %%x \a%%–ზე.
2. პროდუქტი ბ.ბ. ფუნქციები %%x \ to a%%–სთვის და ფუნქცია, რომელიც წერტილის %%a%% პუნქციურ მიდამოებში აბსოლუტური სიდიდით მეტია დადებით მუდმივზე არის b.b. ფუნქცია %%x \a%%–ზე. კერძოდ, პროდუქტი ბ.ბ. ფუნქცია %%x \ to a%%–ით და ფუნქცია, რომელსაც აქვს სასრული არანულოვანი ზღვარი %%a%% წერტილში იქნება b.b. ფუნქცია %%x \a%%–ზე.

ფუნქციის ჯამი, რომელიც შემოსაზღვრულია %%a%% წერტილის ზოგიერთ პუნქციასთან და b.b. ფუნქციები %%x \ to a%% არის b.b. ფუნქცია %%x \a%%–ზე.

მაგალითად, ფუნქციები %%x - \sin x%% და %%x + \cos x%% არის b.b. %%x \ to \infty%%.

3. ჯამი ორი ბ.ბ. ფუნქციონირებს %%x \ to a%% -ზე არის გაურკვევლობა. ტერმინების ნიშნიდან გამომდინარე, ასეთი თანხის ცვლილების ბუნება შეიძლება ძალიან განსხვავებული იყოს.

   მაგალითი

   მოცემული იყოს %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%%. ფუნქციონირებს %%x \ to \infty%%. შემდეგ:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - ბ.ბ. ფუნქცია %%x \ to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - ბ.მ. ფუნქცია %%x \ to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% არ აქვს ლიმიტი %%x \ to \infty%%.

რიცხვითი ფუნქციის განმარტება. ფუნქციების დაზუსტების მეთოდები.

მოდით იყოს D სიმრავლე R რიცხვით წრფეზე. თუ თითოეული x, რომელიც ეკუთვნის D-ს, ასოცირდება ერთ რიცხვთან y=f(x), მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ მოცემულია f ფუნქცია.

ფუნქციების დაზუსტების მეთოდები:

1) ცხრილი – სასრულ სიმრავლეზე განსაზღვრული ფუნქციებისთვის.

2) ანალიტიკური

3) გრაფიკული

2 და 3 – უსასრულო სიმრავლეზე განსაზღვრული ფუნქციებისთვის.

ინვერსიული ფუნქციის კონცეფცია.

თუ ფუნქცია y=f(x) ისეთია, რომ x არგუმენტის სხვადასხვა მნიშვნელობები შეესაბამება ფუნქციის სხვადასხვა მნიშვნელობებს, მაშინ x ცვლადი შეიძლება გამოისახოს y ცვლადის ფუნქციად: x=g(y ). g ფუნქციას f-ის შებრუნებული ეწოდება და აღინიშნება f^(-1).

რთული ფუნქციის კონცეფცია.

რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტი არის ნებისმიერი სხვა ფუნქცია.

მოცემულია f(x) და g(x) ფუნქციები. მოდით, მათგან ორი რთული ფუნქცია გავაკეთოთ. f ფუნქციის გარეგნულად (მთავარი) და g ფუნქციის შინაგანად მიჩნევით, მივიღებთ კომპლექსურ ფუნქციას u(x)=f(g(x)).

თანმიმდევრობის ლიმიტის განსაზღვრა.

რიცხვს a ეწოდება მიმდევრობის ზღვარი (xn), თუ რომელიმე პოზიტიურს აქვს რიცხვი n0, საიდანაც მიმდევრობის ყველა წევრი განსხვავდება a-სგან ε-ზე ნაკლებით (ე. ა პუნქტიდან):

კონვერგენტული მიმდევრობების ზღვრების გამოთვლის წესები.

1. ყველა კონვერგენტულ მიმდევრობას აქვს მხოლოდ ერთი ზღვარი. 2. თუ (xn) მიმდევრობის ყველა ელემენტი უდრის C-ს (მუდმივი), მაშინ (xn) მიმდევრობის ზღვარიც უდრის C. 3. ; 4. ; 5. .

შეზღუდული თანმიმდევრობის განსაზღვრა.

(x n) მიმდევრობას შეზღუდული ეწოდება, თუ X=(x n) რიცხვთა სიმრავლე შემოსაზღვრულია: .

უსასრულოდ მცირე მიმდევრობის განმარტება.

მიმდევრობას (x n) ეწოდება უსასრულო მცირე, თუ რომელიმესთვის (რაც არ უნდა იყოს პატარა) >0 არის რიცხვი n 0 ისეთი, რომ ნებისმიერი n>n 0-ისთვის უტოლობა |x n |< .

უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობის განმარტება.

მიმდევრობა უსასრულოდ დიდია, თუ რომელიმე (რაოდენ დიდიც არ უნდა იყოს) რიცხვისთვის A>0 არის რიცხვი n 0 ისეთი, რომ ყოველი რიცხვისთვის n>n 0 მოქმედებს უტოლობა |x n |>A.

მონოტონური მიმდევრობების განმარტება.

ერთფეროვანი თანმიმდევრობა: 1) მზარდი ifx n x n +1 ყველა n-სთვის, 4) არ მზარდი, თუ x n x n +1 ყველა n-სთვის.

ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრა წერტილში.

y=f(x) ფუნქციის ზღვარი x 0 წერტილში (ან x x 0-ზე) არის რიცხვი a თუ არგუმენტის ნებისმიერი თანმიმდევრობის (x n) მნიშვნელობებისთვის x 0-მდე (ყველა x n x 0), ფუნქციის (f(xn)) მნიშვნელობების თანმიმდევრობა კონვერგირდება ლიმიტამდე a.

უსასრულოდ მცირე ფუნქციის განმარტება.

ფ-ია f(x) არის უსასრულოდ მცირე, როგორც x→A, თუ .

უსასრულოდ დიდი ფუნქციის განმარტება.

ფ-ია f(x) ამბობენ, რომ უსასრულოდ დიდია x→A-სთვის, თუ .

უსასრულო და დიდის გამოთვლა

უსასრულოდ მცირე გაანგარიშება- უსასრულო სიდიდეებით შესრულებული გამოთვლები, რომლებშიც მიღებული შედეგი განიხილება როგორც უსასრულო მცირეთა უსასრულო ჯამი. უსასრულო მცირეთა გამოთვლა არის დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების ზოგადი კონცეფცია, რომელიც საფუძვლად უდევს თანამედროვე უმაღლესი მათემატიკას. უსასრულო სიდიდის ცნება მჭიდროდაა დაკავშირებული ლიმიტის ცნებასთან.

უსასრულოდ მცირე

ქვემიმდევრობა ა ნდაურეკა უსასრულოდ მცირე, თუ . მაგალითად, რიცხვების თანმიმდევრობა უსასრულოდ მცირეა.

ფუნქციას ეძახიან უსასრულო პატარა წერტილის სიახლოვეს x 0 თუ .

ფუნქციას ეძახიან უსასრულოდ მცირე უსასრულობაში, თუ ან .

ასევე უსასრულოდ მცირე არის ფუნქცია, რომელიც არის განსხვავება ფუნქციასა და მის ზღვარს შორის, ანუ თუ , ეს ვ(x) − ა = α( x) , .

უსაზღვროდ დიდი რაოდენობით

ქვემიმდევრობა ა ნდაურეკა უსასრულოდ დიდი, თუ .

ფუნქციას ეძახიან უსასრულოდ დიდი წერტილის სიახლოვეს x 0 თუ .

ფუნქციას ეძახიან უსასრულოდ დიდი უსასრულობაში, თუ ან .

ყველა შემთხვევაში, უსასრულობა თანასწორობის უფლებით იგულისხმება გარკვეული ნიშნით (ან „პლუს“ ან „მინუს“). ეს არის, მაგალითად, ფუნქცია xცოდვა xარ არის უსასრულოდ დიდი at.

უსასრულოდ მცირე და უსასრულოდ დიდის თვისებები

უსასრულოდ მცირე სიდიდეების შედარება

როგორ შევადაროთ უსასრულოდ მცირე რაოდენობა?
უსასრულო სიდიდეების თანაფარდობა ქმნის ე.წ.

განმარტებები

დავუშვათ, რომ გვაქვს უსასრულო მცირე მნიშვნელობები α( x) და β( x) (ან, რაც არ არის მნიშვნელოვანი განმარტებისთვის, უსასრულოდ მცირე მიმდევრობები).

ასეთი ლიმიტების გამოსათვლელად მოსახერხებელია L'Hopital-ის წესის გამოყენება.

შედარების მაგალითები

ექვივალენტური მნიშვნელობები

განმარტება

თუ , მაშინ α და β უსასრულო სიდიდეებს უწოდებენ ექვივალენტი ().
აშკარაა, რომ ეკვივალენტური სიდიდეები არის ერთი და იგივე სიმცირის რიგის უსასრულო სიდიდის განსაკუთრებული შემთხვევა.

როდესაც შემდეგი ეკვივალენტური მიმართებები მოქმედებს: , , .

თეორემა

ამ თეორემას აქვს პრაქტიკული მნიშვნელობა ლიმიტების პოვნისას (იხ. მაგალითი).

გამოყენების მაგალითი

ისტორიული ჩანახატი

"უსასრულოდ მცირე" კონცეფცია განიხილებოდა ჯერ კიდევ ძველ დროში განუყოფელი ატომების კონცეფციასთან დაკავშირებით, მაგრამ არ იყო შეტანილი კლასიკურ მათემატიკაში. იგი კვლავ აღორძინდა მე-16 საუკუნეში „განყოფის მეთოდის“ მოსვლასთან ერთად - შესასწავლი ფიგურის დაყოფა უსასრულოდ მცირე მონაკვეთებად.

მე-17 საუკუნეში მოხდა უსასრულოდ მცირე გამოთვლების ალგებრიზაცია. მათი განსაზღვრა დაიწყეს, როგორც რიცხვითი სიდიდეები, რომლებიც ნაკლებია ნებისმიერ სასრულ (არანულოვან) სიდიდეზე და მაინც არ არის ნულის ტოლი. ანალიზის ხელოვნება მდგომარეობდა უსასრულო მცირე ზომის (დიფერენციალების) შემცველი მიმართების შედგენაში და შემდეგ მის ინტეგრირებაში.

ძველი სკოლის მათემატიკოსებმა ეს კონცეფცია გამოსცადეს უსასრულოდ მცირემკაცრი კრიტიკა. მიშელ როლელმა დაწერა, რომ ახალი გაანგარიშება არის " გენიალური შეცდომების ნაკრები"; ვოლტერმა კაუსტიკურად შენიშნა, რომ კალკულუსი არის ნივთების გამოთვლისა და ზუსტად გაზომვის ხელოვნება, რომელთა არსებობის დამტკიცება შეუძლებელია. ჰაიგენსმაც კი აღიარა, რომ მას არ ესმოდა უმაღლესი წოდების დიფერენციალური მნიშვნელობა.

ბედის ირონიად შეიძლება ჩაითვალოს არასტანდარტული ანალიზის საუკუნის შუა ხანებში გაჩენა, რამაც დაამტკიცა, რომ თავდაპირველი თვალსაზრისი - ფაქტობრივი უსასრულო - ასევე თანმიმდევრული იყო და შეიძლება გამოეყენებინათ ანალიზისთვის.

იხილეთ ასევე

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

ნახეთ, რა არის „უსასრულოდ დიდი“ სხვა ლექსიკონებში:

ცვლადი რაოდენობა Y არის უსასრულო მცირე რაოდენობის X-ის შებრუნებული, ანუ Y = 1/X... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ცვლადი y არის უსასრულო x-ის შებრუნებული, ანუ y = 1/x. * * * უსასრულოდ დიდი უსასრულოდ დიდი, ცვლადი რაოდენობა Y, შებრუნებული უსასრულოდ მცირე რაოდენობით X, ანუ Y = 1/X ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

მათემატიკაში ცვლადი სიდიდე, რომელიც ცვლილების მოცემულ პროცესში ხდება და რჩება ნებისმიერ წინასწარ განსაზღვრულ რიცხვზე მეტი აბსოლუტური მნიშვნელობით. შესწავლა ბ.ბ. რაოდენობები შეიძლება შემცირდეს უსასრულო მცირეების შესასწავლად (იხ.... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

ფუნქცია y=f(x)დაურეკა უსასრულოდ მცირეზე x→aან როდის x→∞, თუ ან , ე.ი. უსასრულოდ მცირე ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის ზღვარი მოცემულ წერტილში არის ნული.

მაგალითები.

1. ფუნქცია f(x)=(x-1) 2 არის უსასრულოდ მცირე x→1, ვინაიდან (იხ. სურათი).

2. ფუნქცია f(x)= ტგ x– უსასრულოდ მცირე ზე x→0.

3. f(x)= ჟურნალი (1+ x) – უსასრულო ზე x→0.

4. f(x) = 1/x– უსასრულოდ მცირე ზე x→∞.

მოდით დავამყაროთ შემდეგი მნიშვნელოვანი ურთიერთობა:

თეორემა.თუ ფუნქცია y=f(x)წარმომადგენლობით x→aროგორც მუდმივი რიცხვის ჯამი ბდა უსასრულოდ მცირე სიდიდე α(x): f (x)=b+ α(x)რომ .

პირიქით, თუ, მაშინ f (x)=b+α(x), სად ნაჯახი)– უსასრულოდ მცირე ზე x→a.

მტკიცებულება.

1. დავამტკიცოთ განცხადების პირველი ნაწილი. თანასწორობიდან f(x)=b+α(x)უნდა |f(x) – b|=| α|. მაგრამ მას შემდეგ ნაჯახი)არის უსასრულოდ მცირე, მაშინ თვითნებური ε-სთვის არის δ – წერტილის სამეზობლო ა,ყველას თვალწინ xსაიდანაც, ღირებულებები ნაჯახი)დააკმაყოფილოს ურთიერთობა |α(x)|< ე. მერე |f(x) – b|< ე. და ეს იმას ნიშნავს.

2. თუ , მაშინ ნებისმიერი ε >0 ყველასთვის Xზოგიერთი δ – წერტილის მეზობლობა ანება |f(x) – b|< ე. მაგრამ თუ აღვნიშნავთ f(x) – b= α, ეს |α(x)|< ε, რაც იმას ნიშნავს ა- უსასრულოდ მცირე.

განვიხილოთ უსასრულოდ მცირე ფუნქციების ძირითადი თვისებები.

თეორემა 1.ორი, სამი და ზოგადად ნებისმიერი სასრული რაოდენობის უსასრულო რიცხვის ალგებრული ჯამი უსასრულო მცირე ფუნქციაა.

მტკიცებულება. მოდით დავამტკიცოთ ორი ტერმინი. დაე f(x)=α(x)+β(x), სად და . ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი თვითნებური მცირე ε > ნაპოვნია 0 δ> 0, ისეთი, რომ ამისთვის x, უთანასწორობის დაკმაყოფილება |x – a|<δ , შესრულებული |f(x)|< ε.

მაშ ასე, დავაფიქსიროთ თვითნებური რიცხვი ε > 0. ვინაიდან თეორემის პირობების მიხედვით α(x)არის უსასრულოდ მცირე ფუნქცია, მაშინ არის ასეთი δ 1 > 0, რაც არის |x – a|< δ 1 გვაქვს |α(x)|< ε / 2. ანალოგიურად, მას შემდეგ β(x)არის უსასრულოდ მცირე, მაშინ არის ასეთი δ 2 > 0, რაც არის |x – a|< δ 2 გვაქვს | β(x)|< ε / 2.

Მოდი ავიღოთ δ=წთ(δ 1 , δ2 } .მერე პუნქტის მეზობლად არადიუსი δ თითოეული უტოლობა დაკმაყოფილდება |α(x)|< ε / 2 და | β(x)|< ε / 2. ამიტომ, ამ სამეზობლოში იქნება

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

იმათ. |f(x)|< ε, რაც დასამტკიცებელია.

თეორემა 2.უსასრულოდ მცირე ფუნქციის პროდუქტი ნაჯახი)შეზღუდული ფუნქციისთვის f(x)ზე x→a(ან როდის x→∞) არის უსასრულო მცირე ფუნქცია.

მტკიცებულება. ფუნქციიდან გამომდინარე f(x)შეზღუდულია, მაშინ არის რაოდენობა მისეთი, რომ ყველა ღირებულებისთვის xპუნქტის რომელიღაც უბნიდან a|f(x)|≤M.უფრო მეტიც, მას შემდეგ ნაჯახი)არის უსასრულოდ მცირე ფუნქცია x→a, შემდეგ თვითნებური ε > 0 არის წერტილის სამეზობლო ა, რომელშიც უთანასწორობა შენარჩუნდება |α(x)|< ε /მ. შემდეგ ამ უბნებიდან უფრო პატარა გვაქვს | αf|< ε /მ= ე. და ეს იმას ნიშნავს აფ- უსასრულოდ მცირე. შემთხვევისთვის x→∞მტკიცებულება ხორციელდება ანალოგიურად.

დადასტურებული თეორემიდან გამომდინარეობს:

დასკვნა 1.თუ და, მაშინ.

დასკვნა 2.თუ c=კონსტ, მაშინ.

თეორემა 3.უსასრულოდ მცირე ფუნქციის თანაფარდობა α(x)თითო ფუნქციაზე f(x), რომლის ზღვარი განსხვავდება ნულისაგან, უსასრულოდ მცირე ფუნქციაა.

მტკიცებულება. დაე . შემდეგ 1 /f(x)არის შეზღუდული ფუნქცია. მაშასადამე, წილადი არის უსასრულოდ მცირე ფუნქციისა და შეზღუდული ფუნქციის ნამრავლი, ე.ი. ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა.