§7. ხაზოვანი სივრცეების მაგალითები

ხაზოვანი ჭურვი ასევე მოუწოდა გენერირებული ქვესივრცე X. ჩვეულებრივ აღინიშნება. ასევე ნათქვამია, რომ ხაზოვანი დიაპაზონი გადაჭიმულირამოდენიმე X .

Თვისებები

იხილეთ ასევე

ბმულები

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

• ჯანგარი
• გადახდის ბალანსი

ნახეთ, რა არის "ხაზოვანი გარსი" სხვა ლექსიკონებში:

LINEAR SHELL- M ყველა ქვესივრცის კვეთა, რომელიც შეიცავს ავექტორული სივრცის E სიმრავლეს. ამ შემთხვევაში, Mnas. ასევე A. M. I. ვოიცეხოვსკის მიერ გენერირებული ქვესივრცე ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ვექტორების ხაზოვანი კონვერტი

ვექტორების ხაზოვანი კონვერტი- ამ ვექტორების წრფივი კომბინაციების ნაკრები ∑αiai ყველა შესაძლო კოეფიციენტით (α1, …, αn)… ეკონომიკური და მათემატიკური ლექსიკონი

ვექტორების წრფივი დიაპაზონი- ამ ვექტორების წრფივი კომბინაციების სიმრავლე ყველა შესაძლო კოეფიციენტით (?1, ..., ?n). თემები ეკონომიკა EN ხაზოვანი კორპუსი…

წრფივი ალგებრა- მათემატიკური დისციპლინა, ალგებრის დარგი, რომელიც შეიცავს, კერძოდ, წრფივი განტოლებების, მატრიცების და დეტერმინანტების თეორიას, აგრეთვე ვექტორული (წრფივი) სივრცეების თეორიას. წრფივი დამოკიდებულების "ფორმის მიმართება: a1x1 + a2x2 + ... + ... ... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

ხაზოვანი დამოკიდებულება- „ფორმის მიმართება: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, სადაც a1, a2, …, an არის რიცხვები, რომელთაგან ერთი მაინც განსხვავდება ნულიდან; x1, x2, …, xn არის გარკვეული მათემატიკური ობიექტები, რომლებისთვისაც განსაზღვრულია შეკრების ოპერაციები… ეკონომიკური და მათემატიკური ლექსიკონი

ჭურვი- იხილეთ ხაზოვანი გარსი... ეკონომიკური და მათემატიკური ლექსიკონი

ხაზოვანი დამოკიდებულება

ხაზოვანი კომბინაცია- წრფივი სივრცე, ანუ ვექტორული სივრცე წრფივი ალგებრის შესწავლის მთავარი ობიექტია. სარჩევი 1 განმარტება 2 უმარტივესი თვისებები 3 დაკავშირებული განმარტებები და თვისებები ... ვიკიპედია

LINE GROUPარის n სასრული განზომილების ვექტორული სივრცის წრფივი გარდაქმნების ჯგუფი K ზოგიერთ სხეულზე. საფუძვლის არჩევანი V სივრცეში აცნობიერებს ლ.გ. მათემატიკური ენციკლოპედია

წიგნები

• ხაზოვანი ალგებრა. ღია კოდის პროგრამული უზრუნველყოფის სახელმძღვანელო და სახელოსნო შეიძინეთ 1471 UAH (მხოლოდ უკრაინაში)
• ხაზოვანი ალგებრა. სახელმძღვანელო და ვორქშოპი აკადემიური ბაკალავრიატისთვის, Kremer N.Sh.. ეს სახელმძღვანელო მოიცავს უამრავ ახალ ცნებას და დამატებით კითხვებს, როგორიცაა მატრიცული ნორმა, საფუძვლის კომპლიმენტის მეთოდი, წრფივი სივრცეების იზომორფიზმი, წრფივი ქვესივრცეები, წრფივი ...

მოდით იყოს ვექტორთა სისტემა ვექტორული სივრციდან ვმინდორზე პ.

განმარტება 2:ხაზოვანი გარსი ლსისტემები აარის სისტემის ვექტორთა ყველა წრფივი კომბინაციის ერთობლიობა ა. Დანიშნულება L(A).

შეიძლება აჩვენოს, რომ ნებისმიერი ორი სისტემისთვის ადა ბ,

აწრფივად გამოხატული მეშვეობით ბთუ და მხოლოდ თუ . (1)

აუდრის ბთუ და მხოლოდ თუ L(A)=L(B). (2)

მტკიცებულება გამომდინარეობს წინა საკუთრებიდან

3 ვექტორთა ნებისმიერი სისტემის წრფივი დიაპაზონი არის სივრცის ქვესივრცე ვ.

მტკიცებულება

აიღეთ ნებისმიერი ორი ვექტორი და L(A), რომელსაც აქვს შემდეგი გაფართოებები ვექტორებში დან ა: . მოდით შევამოწმოთ კრიტერიუმის 1) და 2) პირობების მიზანშეწონილობა:

ვინაიდან ეს არის სისტემის ვექტორების წრფივი კომბინაცია ა.

ვინაიდან ის ასევე არის სისტემის ვექტორების წრფივი კომბინაცია ა.

ახლა განიხილეთ მატრიცა. მატრიცის რიგების ხაზოვანი გარსი აეწოდება მატრიცის მწკრივის სივრცე და აღინიშნება L r (A). მატრიცის სვეტების ხაზოვანი შეფუთვა აეწოდება სვეტის სივრცე და აღინიშნება L c (A). გაითვალისწინეთ, რომ მატრიცის მწკრივისა და სვეტის სივრცისთვის აარის სხვადასხვა არითმეტიკული სივრცის ქვესივრცეები P nდა პმშესაბამისად. განცხადების (2) გამოყენებით შეგვიძლია მივიდეთ შემდეგ დასკვნამდე:

თეორემა 3:თუ ერთი მატრიცა მიიღება მეორისგან ელემენტარული გარდაქმნების ჯაჭვით, მაშინ ასეთი მატრიცების მწკრივების სივრცეები ემთხვევა.

ქვესივრცეების ჯამი და გადაკვეთა

დაე ლდა მ- სივრცის ორი ქვესივრცე რ.

თანხა ლ+მეწოდება ვექტორთა სიმრავლე x+y , სად x ∈ლდა წ ∈მ. ცხადია, ვექტორების ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია L+Mეკუთვნის L+M, აქედან გამომდინარე L+Mარის სივრცის ქვესივრცე რ(შეიძლება ემთხვეოდეს სივრცეს რ).

გადაკვეთა ლ∩მქვესივრცეები ლდა მარის ვექტორთა ერთობლიობა, რომლებიც ერთდროულად ეკუთვნის ქვესივრცეებს ლდა მ(შეიძლება შედგებოდეს მხოლოდ ნულოვანი ვექტორისგან).

თეორემა 6.1. თვითნებური ქვესივრცეების ზომების ჯამი ლდა მსასრულ განზომილებიანი წრფივი სივრცე რუდრის ამ ქვესივრცეების ჯამის განზომილებას და ამ ქვესივრცეების გადაკვეთის განზომილებას:

ჩაბნელებული L+Dim M=Dim(L+M)+Dim(L∩M).

მტკიცებულება. აღნიშნეთ F=L+Mდა G=L∩M. დაე გ გ-განზომილებიანი ქვესივრცე. ჩვენ ვირჩევთ მასში საფუძველს. იმიტომ რომ გ⊂ლდა გ⊂მ, აქედან გამომდინარე, საფუძველი გშეიძლება დაემატოს საფუძველს ლდა ბაზისკენ მ. დაე, ქვესივრცის საფუძველი ლდა დაუშვით ქვესივრცის საფუძველი მ. ვაჩვენოთ, რომ ვექტორები

(6.1) ქმნის საფუძველს F=L+M. იმისათვის, რომ ვექტორებმა (6.1) შექმნან სივრცის საფუძველი ფისინი უნდა იყოს წრფივად დამოუკიდებელი და ნებისმიერი სივრცის ვექტორი ფშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ვექტორების წრფივი კომბინაციით (6.1).

დავამტკიცოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებლობა (6.1). მოდით ნულოვანი სივრცის ვექტორი ფწარმოდგენილია ვექტორების წრფივი კომბინაციით (6.1) რამდენიმე კოეფიციენტით:

(6.3)-ის მარცხენა მხარე არის ქვესივრცის ვექტორი ლ, ხოლო მარჯვენა მხარე არის ქვესივრცის ვექტორი მ. აქედან გამომდინარე ვექტორი

(6.4) ეკუთვნის ქვესივრცეს G=L∩M. მეორეს მხრივ, ვექტორი ვ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ქვესივრცის საბაზისო ვექტორების წრფივი კომბინაციით გ:

(6.5) (6.4) და (6.5) განტოლებიდან გვაქვს:

მაგრამ ვექტორები არის ქვესივრცის საფუძველი მ, მაშასადამე ისინი წრფივად დამოუკიდებელნი არიან და . შემდეგ (6.2) იღებს ფორმას:

ქვესივრცის საფუძვლის წრფივი დამოუკიდებლობის გამო ლჩვენ გვაქვს:

ვინაიდან (6.2) განტოლებაში ყველა კოეფიციენტი ნული აღმოჩნდა, ვექტორები

წრფივად დამოუკიდებელნი არიან. მაგრამ ნებისმიერი ვექტორი ზ საწყისი ფ(ქვესივრცეების ჯამის განმარტებით) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჯამით x+y , სად x ∈ ლწ ∈ მ. თავის მხრივ x წარმოდგენილია ვექტორების წრფივი კომბინაციით a წ - ვექტორების წრფივი კომბინაცია. აქედან გამომდინარე ვექტორები (6.10) ქმნიან ქვესივრცეს ფ. ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ვექტორები (6.10) ქმნიან საფუძველს F=L+M.

ქვესივრცეების ფუძეების შესწავლა ლდა მდა ქვესივრცის საფუძველი F=L+M(6.10), გვაქვს: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. აქედან გამომდინარე:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

ქვესივრცეების პირდაპირი ჯამი

განმარტება 6.2. სივრცე ფარის ქვესივრცეების პირდაპირი ჯამი ლდა მთუ თითოეული ვექტორი x სივრცე ფშეიძლება წარმოდგენილი იყოს მხოლოდ ჯამის სახით x=y+z , სად წ ∈L და ზ ∈მ.

პირდაპირი ჯამი აღინიშნება ლ⊕მ. ამბობენ, რომ თუ F=L⊕მ, ეს ფიშლება მისი ქვესივრცეების პირდაპირ ჯამად ლდა მ.

თეორემა 6.2. Იმისათვის, რომ ნ- განზომილებიანი სივრცე რიყო ქვესივრცეების პირდაპირი ჯამი ლდა მ, საკმარისია გადაკვეთა ლდა მშეიცავს მხოლოდ ნულოვან ელემენტს და რომ R-ის განზომილება უდრის ქვესივრცეების ზომების ჯამს ლდა მ.

მტკიცებულება. მოდით ავირჩიოთ ზოგიერთი საფუძველი L ქვესივრცეში და ზოგიერთი საფუძველი M ქვესივრცეში. მოდით დავამტკიცოთ ეს

(6.11) არის სივრცის საფუძველი რ. თეორემის ჰიპოთეზის მიხედვით, სივრცის განზომილება R nუდრის ქვესივრცეების ჯამს ლდა მ (n=l+m). საკმარისია ელემენტების წრფივი დამოუკიდებლობის დასამტკიცებლად (6.11). მოდით ნულოვანი სივრცის ვექტორი რწარმოდგენილია ვექტორების წრფივი კომბინაციით (6.11) რამდენიმე კოეფიციენტით:

(6.13) ვინაიდან (6.13) მარცხენა მხარე არის ქვესივრცის ვექტორი ლ, ხოლო მარჯვენა მხარე არის ქვესივრცის ვექტორი მდა ლ∩მ=0 , ეს

(6.14) მაგრამ ვექტორები და ქვესივრცეების ფუძეებია ლდა მშესაბამისად. აქედან გამომდინარე, ისინი ხაზობრივად დამოუკიდებლები არიან. მერე

(6.15) ჩვენ დავადგინეთ, რომ (6.12) მოქმედებს მხოლოდ (6.15) პირობით და ეს ადასტურებს ვექტორების წრფივ დამოუკიდებლობას (6.11). ამიტომ ისინი ქმნიან საფუძველს რ.

მოდით x∈R. ჩვენ ვაფართოვებთ მას საფუძვლის თვალსაზრისით (6.11):

(6.16) (6.16)-დან გვაქვს:

(6.18) (6.17) და (6.18)-დან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი ვექტორი რშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ვექტორების ჯამით x 1 ∈ლდა x 2 ∈მ. რჩება იმის დასამტკიცებლად, რომ ეს წარმოდგენა უნიკალურია. მოდით, წარმომადგენლობის გარდა (6.17), ასევე გვქონდეს შემდეგი წარმოდგენა:

(6.19) გამოკლებით (6.19) (6.17), მივიღებთ

(6.20) მას შემდეგ, რაც , და ლ∩მ=0 , შემდეგ და . აქედან გამომდინარე და. ■

თეორემა 8.4 ქვესივრცეების ჯამის განზომილების შესახებ. თუ და არის სასრული განზომილებიანი წრფივი სივრცის ქვესივრცეები, მაშინ ქვესივრცეების ჯამის განზომილება უდრის მათი ზომების ჯამს მათი გადაკვეთის განზომილების გარეშე ( გრასმანის ფორმულა):

მართლაც, მოდით იყოს კვეთის საფუძველი. მოდით შევავსოთ იგი ვექტორთა მოწესრიგებული სიმრავლით ქვესივრცის საფუძვლამდე და ვექტორთა მოწესრიგებული სიმრავლით ქვესივრცის საფუძვლამდე. ასეთი დამატება შესაძლებელია თეორემა 8.2-ით. ვექტორთა ამ სამი კომპლექტიდან ჩვენ შევადგენთ ვექტორთა მოწესრიგებულ სიმრავლეს. მოდით ვაჩვენოთ, რომ ეს ვექტორები სივრცის გენერატორები არიან. მართლაც, ამ სივრცის ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ვექტორების წრფივი კომბინაცია მოწესრიგებული სიმრავლიდან.

აქედან გამომდინარე,. დავამტკიცოთ, რომ გენერატორები წრფივად დამოუკიდებელია და ამიტომ ისინი სივრცის საფუძველია. მართლაც, გავაკეთოთ ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია და გავატოლოთ ნულოვანი ვექტორთან: . ამ გაფართოების ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია: ვექტორული სივრცის ქვესივრცეები ორწრფივი ფორმით არის ყველა ვექტორის ერთობლიობა თითოეულ ვექტორზე დან . ეს ნაკრები არის ვექტორული ქვესივრცე, რომელიც ჩვეულებრივ აღინიშნება .

სტატიაში აღწერილია წრფივი ალგებრის საფუძვლები: წრფივი სივრცე, მისი თვისებები, საფუძვლის ცნება, სივრცის ზომები, წრფივი დიაპაზონი, წრფივი სივრცეების ურთიერთობა და მატრიცების წოდება.

ხაზოვანი სივრცე

Რამოდენიმე ლდაურეკა ხაზოვანი სივრცე,თუ მისი ყველა ელემენტისთვის ორი ელემენტის მიმატებისა და ელემენტის რიცხვზე გამრავლების მოქმედებები მეჯგუფი ვეილის აქსიომები. წრფივი სივრცის ელემენტები ე.წ ვექტორები. ეს არის სრული განმარტება; უფრო მოკლედ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ წრფივი სივრცე არის ელემენტების ერთობლიობა, რომლისთვისაც განისაზღვრება ორი ელემენტის დამატებისა და ელემენტის რიცხვზე გამრავლების ოპერაციები.

ვეილის აქსიომები.

ჰერმან ვეილივარაუდობენ, რომ გეომეტრიაში გვაქვს ორი ტიპის ობიექტი ( ვექტორები და წერტილები), რომლის თვისებები აღწერილია შემდეგი აქსიომებით, რომლებიც იყო განყოფილების საფუძველი წრფივი ალგებრა. აქსიომები მოხერხებულად შეიძლება დაიყოს 3 ჯგუფად.

ჯგუფი I

1. ნებისმიერი x და y ვექტორებისთვის x+y=y+x ტოლობა დაკმაყოფილებულია;
2. ნებისმიერი x, y და z ვექტორებისთვის x+(y+z)=(x+y)+z;
3. არის ვექტორი o ისეთი, რომ ნებისმიერი x ვექტორისთვის x + o = x ტოლობა მართალია;
4. ნებისმიერი ვექტორისთვის Xარის ვექტორი (-x) ისეთი, რომ x+(-x)=o;
5. ნებისმიერი ვექტორისთვის Xადგილი აქვს ტოლობას 1x=x;
6. ნებისმიერი ვექტორისთვის Xდა ზედა ნებისმიერი რიცხვი λ, ტოლობა λ( X+ზე)=λ X+λ ზე;
7. ნებისმიერი ვექტორისთვის Xდა ნებისმიერი რიცხვი λ და μ გვაქვს ტოლობა (λ+μ) X=λ X+μ X;
8. ნებისმიერი ვექტორისთვის Xდა ნებისმიერი რიცხვი λ და μ, ტოლობა λ(μ X)=(λμ) X;

II ჯგუფი

I ჯგუფი განსაზღვრავს კონცეფციას ვექტორების წრფივი კომბინაცია, წრფივი დამოკიდებულება და წრფივი დამოუკიდებლობა.ეს საშუალებას გვაძლევს ჩამოვაყალიბოთ კიდევ ორი ​​აქსიომა:

1. არსებობს n წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორი;
2. ნებისმიერი (n+1) ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული.

პლანიმეტრიისთვის n=2, სტერეომეტრიისთვის n=3.

III ჯგუფი

ეს ჯგუფი ვარაუდობს, რომ არსებობს სკალარული გამრავლების ოპერაცია, რომელიც აკავშირებს ვექტორთა წყვილს Xდა ზენომერი ( x, y). სადაც:

1. ნებისმიერი ვექტორისთვის Xდა ზეთანასწორობა მოქმედებს ( x, y)=(y, x);
2. ნებისმიერი ვექტორისთვის X , ზედა ზთანასწორობა მოქმედებს ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. ნებისმიერი ვექტორისთვის Xდა ზედა ნებისმიერი რიცხვი λ, ტოლობა (λ x, y)=λ( x, y);
4. ნებისმიერი x ვექტორისთვის უტოლობა ( x, x)≥0 და ( x, x)=0 თუ და მხოლოდ თუ X=0.

ხაზოვანი სივრცის თვისებები

უმეტესწილად, წრფივი სივრცის თვისებები დაფუძნებულია ვეილის აქსიომებზე:

1. ვექტორი ო, რომლის არსებობა გარანტირებულია აქსიომ 3-ით, ცალსახად არის განსაზღვრული;
2. ვექტორი(- X), რომლის არსებობა გარანტირებულია აქსიომ 4-ით, ცალსახად არის განსაზღვრული;
3. ნებისმიერი ორი ვექტორისთვის ადა ბსივრცის კუთვნილება ლ, არსებობს მხოლოდ ერთი ვექტორი X, ასევე ეკუთვნის სივრცეს ლ, რომელიც არის განტოლების ამონახსნი a+x=ბდა უწოდა ვექტორული განსხვავება ბ-ა.

განმარტება.ქვეჯგუფი L'ხაზოვანი სივრცე ლდაურეკა წრფივი ქვესივრცესივრცე ლ, თუ ის თავად არის წრფივი სივრცე, რომელშიც ვექტორების ჯამი და ვექტორის ნამრავლი რიცხვით განისაზღვრება ისევე, როგორც ლ.

განმარტება. ხაზოვანი გარსი ლ(x1, x2, x3, ..., xk) ვექტორები x1, x2, x3,და xkარის ამ ვექტორების ყველა წრფივი კომბინაციის ერთობლიობა. ხაზოვანი დიაპაზონის შესახებ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ

-ხაზოვანი დიაპაზონი არის წრფივი ქვესივრცე;

– წრფივი დიაპაზონი არის მინიმალური წრფივი ქვესივრცე, რომელიც შეიცავს ვექტორებს x1, x2, x3,და xk.

განმარტება.წრფივ სივრცეს ეწოდება n-განზომილებიანი, თუ ის აკმაყოფილებს ვეილის აქსიომების სისტემის II ჯგუფს. რიცხვი n ეწოდება განზომილებაწრფივი სივრცე და დაწერე dimL=n.

საფუძველიარის ნებისმიერი შეკვეთილი სისტემა ნსივრცის წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორები . საფუძვლის მნიშვნელობა ისეთია, რომ ვექტორები, რომლებიც ქმნიან საფუძველს, შეიძლება გამოყენებულ იქნას სივრცეში ნებისმიერი ვექტორის აღსაწერად.

თეორემა.ნებისმიერი n წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორი L სივრცეში ქმნის საფუძველს.

იზომორფიზმი.

განმარტება. ხაზოვანი სივრცეები ლდა L'იზომორფულს უწოდებენ, თუ მათ ელემენტებს შორის შესაძლებელია დადგინდეს ასეთი ერთ-ერთი შესაბამისობა x↔x', Რა:

1. თუ x↔x', y↔y', ეს x+y↔x'+y';
2. თუ x↔x', შემდეგ λ x↔λ X'.

ეს მიმოწერა ე.წ იზომორფიზმი. იზომორფიზმი საშუალებას გვაძლევს გავაკეთოთ შემდეგი მტკიცებულებები:

• თუ ორი სივრცე იზომორფულია, მაშინ მათი ზომები ტოლია;
• ნებისმიერი ორი წრფივი სივრცე ერთსა და იმავე ველზე და იმავე განზომილებაში არის იზომორფული.

1. მრავალწევრთა სიმრავლე პ ნ (x) გრადუსი არ არის უფრო მაღალი ნ.

2. Რამოდენიმე ნ-ტერმინების მიმდევრობები (ტერმინი შეკრებით და სკალარით გამრავლებით).

3 . უამრავი თვისება C [ ა , ბ ] უწყვეტი [ ა, ბ] და წერტილის მიმატებით და სკალარით გამრავლებით.

4. ფუნქციების ნაკრები, რომელიც განსაზღვრულია [ ა, ბ] და ქრება ზოგიერთ ფიქსირებულ შიდა წერტილში გ: ვ (გ) = 0 და სკალარით შეკრებისა და გამრავლების წერტილოვანი ოპერაციებით.

5. კომპლექტი R + თუ x ⊕ წ  x  წ, ⊙x x  .

§8. ქვესივრცის განმარტება

ნება კომპლექტი ვარის წრფივი სივრცის ქვესიმრავლე ვ (ვ  ვ) და ისეთი რომ

ა)  x, წვ  x ⊕ წვ;

ბ)  xვ,    ⊙ xვ.

აქ შეკრების და გამრავლების მოქმედებები იგივეა, რაც სივრცეში ვ(მათ სივრცით გამოწვეულს უწოდებენ ვ).

ასეთი სიმრავლე ვსივრცის ქვესივრცე ეწოდება ვ.

7  . ქვესივრცე ვთავად არის სივრცე.

◀ მის დასამტკიცებლად საკმარისია ნეიტრალური ელემენტის და საპირისპირო ელემენტის არსებობის დამტკიცება. ტოლობები 0⊙ x=  და (–1)⊙ X = –Xდაამტკიცოს რა არის საჭირო.

ქვესივრცე, რომელიც შედგება მხოლოდ ნეიტრალური ელემენტისგან () და ქვესივრცისგან, რომელიც ემთხვევა თავად სივრცეს. ვ, სივრცის ტრივიალურ ქვესივრცეებს ​​უწოდებენ ვ.

§9. ვექტორთა წრფივი კომბინაცია. ვექტორთა სისტემის წრფივი დიაპაზონი

მოდით ვექტორები ე 1 ,ე 2 , …ე ნ ვდა  1,  2 , …  ნ .

ვექტორი x=  1 ე 1 +  2 ე 2 + … +  ნ ე ნ = წრფივი ეწოდებავექტორების კომბინაცია ე 1 , ე 2 , … , ე ნკოეფიციენტებით  1,  2 , …  ნ .

თუ წრფივ კომბინაციაში ყველა კოეფიციენტი ნულია, მაშინ წრფივი კომბინაცია დაურეკატრივიალური.

ვექტორების მრავალი შესაძლო წრფივი კომბინაცია
წრფივი დიაპაზონი ეწოდებავექტორთა ეს სისტემა და აღინიშნება:

ℒ(ე 1 , ე 2 , …, ე ნ) = ℒ
.

8  . ℒ(ე 1 , ე 2 , …, ე ნ

◀ სკალარით შეკრებისა და გამრავლების სისწორე გამომდინარეობს იქიდან, რომ ℒ( ე 1 , ე 2 , …, ე ნ) არის ყველა შესაძლო წრფივი კომბინაციის ერთობლიობა. ნეიტრალური ელემენტი არის ტრივიალური ხაზოვანი კომბინაცია. ელემენტისთვის X=
საპირისპირო ელემენტია x =
. ასევე დაკმაყოფილებულია აქსიომები, რომლებსაც ოპერაციები უნდა აკმაყოფილებდეს. ამრიგად, ℒ( ე 1 , ე 2 , …, ე ნ) არის წრფივი სივრცე.

ნებისმიერი წრფივი სივრცე შეიცავს, ზოგად შემთხვევაში, უსასრულო რაოდენობის სხვა წრფივი სივრცეები (ქვესივრცეები) - ხაზოვანი ჭურვები.

მომავალში შევეცდებით ვუპასუხოთ შემდეგ კითხვებს:

როდის შედგება ვექტორების სხვადასხვა სისტემის წრფივი დიაპაზონი ერთი და იგივე ვექტორებისგან (ე.ი. ემთხვევა)?

2) რა არის ვექტორების მინიმალური რაოდენობა, რომელიც განსაზღვრავს ერთსა და იმავე წრფივ დიაპაზონს?

3) არის თუ არა თავდაპირველი სივრცე ვექტორების ზოგიერთი სისტემის წრფივი დიაპაზონი?

§10. ვექტორების სრული სისტემები

თუ სივრცეში ვარსებობს ვექტორების სასრული ნაკრები
ისეთი რომ, ℒ
 ვ, შემდეგ ვექტორთა სისტემა
სრულ სისტემას უწოდებენ ვ, და ამბობენ, რომ სივრცე სასრულ განზომილებიანია. ამრიგად, ვექტორთა სისტემა ე 1 , ე 2 , …, ე ნ ვსრული ეწოდება ვსისტემა, ე.ი. თუ

Xვ   1 ,  2 , …  ნ ისეთი, რომ x=  1 ე 1 +  2 ე 2 + … +  ნ ე ნ .

თუ სივრცეში ვარ არსებობს სასრული სრული სისტემა (და სრული სისტემა ყოველთვის არსებობს - მაგალითად, ყველა სივრცის ვექტორების სიმრავლე ვ), შემდეგ სივრცე ვუსასრულო ეწოდება.

9  . თუ
სავსე ვვექტორთა სისტემა და წ ვ, ეს ( ე 1 , ე 2 , …, ე ნ , წ) ასევე სრული სისტემაა.

◀ საკმარისია წრფივ კომბინაციებში წმიიღეთ 0-ის ტოლი.

მოდით იყოს ვექტორების სისტემა . ხაზოვანი გარსი ვექტორული სისტემებიმოცემული სისტემის ვექტორთა ყველა წრფივი კომბინაციის სიმრავლეს ეწოდება, ე.ი.

ხაზოვანი გარსის თვისებები: თუ , მაშინ და .

ხაზოვან გარსს აქვს დახურვის თვისება წრფივი მოქმედებების მიმართ (რიცხვზე შეკრების და გამრავლების ოპერაციები).

სივრცის ქვესიმრავლე, რომელსაც აქვს დახურვის თვისება რიცხვებით შეკრებისა და გამრავლების მოქმედებების მიმართ, ეწოდებასივრცის წრფივი ქვესივრცე .

ვექტორთა სისტემის წრფივი დიაპაზონი არის სივრცის წრფივი ქვესივრცე.

ვექტორთა სისტემას ეწოდება საფუძველი , თუ

ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება გამოისახოს როგორც საბაზისო ვექტორების წრფივი კომბინაცია:

2. ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

ლემა ვექტორის გაფართოების კოეფიციენტები ცალსახად არის განსაზღვრული საფუძვლის თვალსაზრისით.

ვექტორი , რომელიც შედგება ვექტორის გაფართოების კოეფიციენტებისგან საფუძველზე ეწოდება ვექტორის კოორდინატულ ვექტორს საფუძველზე .

Დანიშნულება . ეს ჩანაწერი ხაზს უსვამს იმას, რომ ვექტორის კოორდინატები დამოკიდებულია საფუძველზე.

ხაზოვანი სივრცეები

განმარტებები

მიეცით თვითნებური ხასიათის ელემენტების ნაკრები. მოდით განისაზღვროს ორი ოპერაცია ამ სიმრავლის ელემენტებისთვის: დამატება და გამრავლება ნებისმიერზე რეალური ნომერი: და დააყენეთ დახურულიამ ოპერაციებთან დაკავშირებით: . დაე, ეს ოპერაციები დაემორჩილოს აქსიომებს:

3. არის ნულოვანი ვექტორი თვისებით ;

4. თითოეულისთვის არის შებრუნებული ვექტორი თვისებით;

6. ამისთვის, ;

7. ამისთვის, ;

მაშინ ასეთი ნაკრები ე.წ წრფივი (ვექტორული) სივრცე, მის ელემენტებს ე.წ ვექტორებიდა - ხაზგასმით აღვნიშნო მათი განსხვავება რიცხვებისგან - ამ უკანასკნელებს უწოდებენ სკალარები 1) . სივრცე, რომელიც შედგება მხოლოდ ერთი ნულოვანი ვექტორისგან, ეწოდება ტრივიალური .

თუ აქსიომებში 6 - 8 დავუშვებთ გამრავლებას რთული სკალერებით, მაშინ ასეთ წრფივ სივრცეს ე.წ. ყოვლისმომცველი. მსჯელობის გასამარტივებლად, ყველგან ქვემოთ განვიხილავთ მხოლოდ რეალურ სივრცეებს.

წრფივი სივრცე არის ჯგუფი შეკრების მოქმედების მიმართ და აბელიური ჯგუფი.

ელემენტარულია ნულოვანი ვექტორის უნიკალურობის და ვექტორის ინვერსიის უნიკალურობის დამტკიცება: , მას ჩვეულებრივ მოიხსენიებენ როგორც .

წრფივი სივრცის ქვესიმრავლე, რომელიც თავისთავად არის წრფივი სივრცე (ანუ დახურულია ვექტორის მიმატებით და თვითნებური სკალრით გამრავლებით) ეწოდება. წრფივი ქვესივრცესივრცეები. ტრივიალური ქვესივრცეებიწრფივ სივრცეს უწოდებენ საკუთარ თავს და სივრცეს, რომელიც შედგება ერთი ნულოვანი ვექტორისგან.

მაგალითი.რეალური რიცხვების მოწესრიგებული სამმაგების სივრცე

ტოლობებით განსაზღვრული ოპერაციები:

გეომეტრიული ინტერპრეტაცია აშკარაა: ვექტორი სივრცეში, „მიმაგრებული“ საწყისთან, შეიძლება იყოს მოცემული მისი დასასრულის კოორდინატებში. ფიგურაში ასევე ნაჩვენებია სივრცის ტიპიური ქვესივრცე: თვითმფრინავი, რომელიც გადის საწყისზე. უფრო ზუსტად, ელემენტები არის ვექტორები, რომლებიც იწყება საწყისიდან და მთავრდება სიბრტყის წერტილებში. ასეთი სიმრავლის დახურვა ვექტორების დამატებით და მათი გაფართოებით 2) აშკარაა.

ამ გეომეტრიული ინტერპრეტაციის საფუძველზე, ხშირად საუბრობენ თვითნებური წრფივი სივრცის ვექტორზე, როგორც წერტილი სივრცეში. ამ პუნქტს ზოგჯერ მოიხსენიებენ, როგორც "ვექტორის დასასრულს". გარდა ასოციაციური აღქმის მოხერხებულობისა, ამ სიტყვებს არავითარი ფორმალური მნიშვნელობა არ ენიჭება: ხაზოვანი სივრცის აქსიომატიკაში „ვექტორული დასასრულის“ ცნება არ არსებობს.

მაგალითი.იმავე მაგალითზე დაყრდნობით, შესაძლებელია ვექტორული სივრცის სხვა ინტერპრეტაციის მიცემა (თანდაყოლილი, სხვათა შორის, უკვე სიტყვა „ვექტორი“ 3) - ის განსაზღვრავს წერტილების „ცვლის“ ერთობლიობას. კოსმოსი. ეს ძვრები - ან ნებისმიერი სივრცითი ფიგურის პარალელური თარგმანი - არჩეულია სიბრტყის პარალელურად.

საერთოდ, ვექტორის ცნების ასეთი ინტერპრეტაციებით ყველაფერი არც ისე მარტივია. ცდილობს მიმართოს მის ფიზიკურ მნიშვნელობას – როგორც საგანს, რომელსაც აქვს ღირებულებადა მიმართულება- გამოიწვიოს მკაცრი მათემატიკოსების სამართლიანი წინააღმდეგობა. ვექტორის, როგორც ვექტორული სივრცის ელემენტის განმარტება ძალიან მოგვაგონებს ეპიზოდს საფლავებისტანისლავ ლემის ცნობილი ფანტასტიკური მოთხრობიდან (იხილეთ ☞აქ). მოდი, ფორმალიზმზე ნუ დავკიდებთ, არამედ გამოვიკვლიოთ ეს ბუნდოვანი ობიექტი მის კონკრეტულ გამოვლინებებში.

მაგალითი.ბუნებრივი განზოგადება არის სივრცე: მწკრივების ან სვეტების ვექტორული სივრცე . ქვესივრცის განსაზღვრის ერთ-ერთი გზა არის შეზღუდვების ნაკრების განსაზღვრა.

მაგალითი.წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის ამონახსნების ნაკრები:

ქმნის სივრცის წრფივ ქვესივრცეს. მართლაც, თუ

სისტემის გადაწყვეტა, მაშინ

იგივე გამოსავალი ნებისმიერისთვის. თუ

მაშინ სისტემის კიდევ ერთი გამოსავალი

ესეც მისი გადაწყვეტილება იქნება.

რატომ ბევრი სისტემური გადაწყვეტა ჰეტეროგენული განტოლებები არ ქმნის წრფივ ქვესივრცეს?

მაგალითი.შემდგომი განზოგადებით, შეგვიძლია განვიხილოთ "უსასრულო" სტრიქონების სივრცე ან თანმიმდევრობები , რომელიც, როგორც წესი, არის მათემატიკური ანალიზის ობიექტი - მიმდევრობებისა და სერიების განხილვისას. შეგიძლიათ სტრიქონები (მიმდევრობა) განიხილოთ „ორივე მიმართულებით უსასრულო“ - ისინი გამოიყენება სიგნალის თეორიაში.

მაგალითი.-მატრიცების სიმრავლე რეალური ელემენტებით მატრიცის შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციებით რეალურ რიცხვებზე ქმნის წრფივ სივრცეს.

კვადრატული რიგის მატრიცების სივრცეში შეიძლება განვასხვავოთ ორი ქვესივრცე: სიმეტრიული მატრიცების ქვესივრცე და დახრილ-სიმეტრიული მატრიცების ქვესივრცე. გარდა ამისა, ქვესივრცეები ქმნიან თითოეულ კომპლექტს: ზედა სამკუთხა, ქვედა სამკუთხა და დიაგონალური მატრიცები.

მაგალითი.ერთი ცვლადი ხარისხის მრავალწევრების სიმრავლე ზუსტად ტოლია კოეფიციენტების (საიდან არის რომელიმე სიმრავლე ან ) მრავალწევრების მიმატებისა და რიცხვზე გამრავლების ჩვეულებრივი ოპერაციებით. არ იქმნება ხაზოვანი სივრცე. რატომ? - იმიტომ, რომ შეკრების ქვეშ არ იხურება: მრავალწევრების ჯამი და არ იქნება მე-ე ხარისხის მრავალწევრი. მაგრამ აქ არის ხარისხიანი მრავალწევრების ნაკრები არა უფრო მაღალი

ხაზოვანი სივრცის ფორმები; მხოლოდ ამ სიმრავლეს ასევე უნდა მიეცეს იდენტურად ნულოვანი მრავალწევრი 4) . აშკარა ქვესივრცეებია. გარდა ამისა, ქვესივრცეები იქნება მაქსიმუმ ლუწითა და კენტი მრავალწევრების სიმრავლე. ყველა შესაძლო მრავალწევრების სიმრავლე (გრადუსების შეზღუდვის გარეშე) ასევე ქმნის წრფივ სივრცეს.

მაგალითი.წინა შემთხვევის განზოგადება არის მაქსიმუმ რამდენიმე ხარისხის ცვლადის მრავალწევრების სივრცე კოეფიციენტებით დან. მაგალითად, წრფივი მრავალწევრების სიმრავლე

ქმნის ხაზოვან სივრცეს. ხარისხის ერთგვაროვანი მრავალწევრების (ფორმების) სიმრავლე (ამ სიმრავლეს იდენტური ნულოვანი მრავალწევრის დამატებით) ასევე წრფივი სივრცეა.

ზემოაღნიშნული განმარტების მიხედვით, სტრიქონების სიმრავლე მთელი რიცხვითი კომპონენტებით

განიხილება კომპონენტურად შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციებთან მიმართებაში მთელი რიცხვი სკალარები, არ არის წრფივი სივრცე. თუმცა, ყველა აქსიომა 1 - 8 შენარჩუნდება, თუ მხოლოდ მთელი რიცხვების სკალერებით გამრავლებას დავუშვებთ. ამ განყოფილებაში ჩვენ არ გავამახვილებთ ყურადღებას ამ ობიექტზე, მაგრამ ის საკმაოდ გამოსადეგია დისკრეტულ მათემატიკაში, მაგალითად ☞ კოდირების თეორიაში. ხაზოვანი სივრცეები სასრულ ველებზე განხილულია ☞ აქ.

ცვლადები იზომორფულია მე-ე რიგის სიმეტრიული მატრიცების სივრცის მიმართ. იზომორფიზმი დგინდება კორესპონდენციით, რომელსაც ილუსტრირებას მოვახდენთ შემთხვევისთვის:

იზომორფიზმის კონცეფცია დანერგილია ისე, რომ ობიექტების შესწავლა, რომლებიც წარმოიქმნება ალგებრის სხვადასხვა ზონაში, მაგრამ ოპერაციების "მსგავსი" თვისებებით, ხორციელდება ერთი ნიმუშის მაგალითის გამოყენებით, მასზე შედეგების შემუშავება, რაც შემდეგ შეიძლება იაფი იყოს. გამეორებული. რომელი წრფივი სივრცე ავიღოთ „ნიმუშისთვის“? - იხილეთ შემდეგი აბზაცის დასასრული