დიფერენციალური ფუნქცია არის პირველი დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა. ფუნქციის პირველი დიფერენციალური თვისებები

განმარტებით, ფუნქციის დიფერენციალური (პირველი დიფერენციალი) გამოითვლება ფორმულით
თუ - დამოუკიდებელი ცვლადი.

მაგალითი.

ვაჩვენოთ, რომ პირველი დიფერენციალური ფორმა უცვლელი რჩება (უცვლელია) იმ შემთხვევაშიც კი, როდესაც ფუნქციის არგუმენტი თავად არის ფუნქცია, ანუ რთული ფუნქციისთვის
.

დაე
დიფერენცირებადია, შემდეგ განსაზღვრებით

უფრო მეტიც, ამის დამტკიცება იყო საჭირო.

მაგალითები.

პირველი დიფერენციალური ფორმის დადასტურებული უცვლელობა საშუალებას გვაძლევს ვივარაუდოთ, რომ
ანუ წარმოებული ტოლია ფუნქციის დიფერენციალური თანაფარდობის მიმართ მისი არგუმენტის განსხვავება, მიუხედავად იმისა, არგუმენტი დამოუკიდებელი ცვლადია თუ ფუნქცია.

პარამეტრულად მითითებული ფუნქციის დიფერენციაცია

ნება If ფუნქცია
აქვს გადასაღებ მოედანზე პირიქით, მაშინ
შემდეგ თანასწორობები
კომპლექტზე განსაზღვრული პარამეტრულად მითითებული ფუნქცია, – პარამეტრი (შუალედური ცვლადი).

მაგალითი. ფუნქციის გრაფიკის დახატვა
.

აგებული მრუდი ე.წ ციკლოიდი(სურ. 25) და არის წერტილის ტრაექტორია 1 რადიუსის წრეზე, რომელიც მოძრაობს OX ღერძის გასწვრივ სრიალის გარეშე.

კომენტარი. ზოგჯერ, მაგრამ არა ყოველთვის, პარამეტრი შეიძლება აღმოიფხვრას პარამეტრული მრუდის განტოლებიდან.

მაგალითები.
წრის პარამეტრული განტოლებებია, რადგან, ცხადია,

– ელიფსის პარამეტრული განტოლებები, ვინაიდან

- პარაბოლის პარამეტრული განტოლებები

ვიპოვოთ პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებული:

პარამეტრულად მითითებული ფუნქციის წარმოებული ასევე პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციაა: .

განმარტება. ფუნქციის მეორე წარმოებულს ეწოდება მისი პირველი წარმოებულის წარმოებული.

წარმოებული რიგითი არის მისი წესრიგის წარმოებულის წარმოებული
.

აღნიშნეთ წარმოებულები მეორე და - ასეთი შეკვეთა:

მეორე წარმოებულის განსაზღვრებიდან და პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის დიფერენციაციის წესიდან გამომდინარეობს, რომ
მესამე წარმოებულის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა წარმოადგინოთ მეორე წარმოებული ფორმაში
და კვლავ გამოიყენეთ მიღებული წესი. უფრო მაღალი რიგის წარმოებულები გამოითვლება ანალოგიურად.

მაგალითი. იპოვეთ ფუნქციის პირველი და მეორე რიგის წარმოებულები

.

დიფერენციალური გამოთვლების ძირითადი თეორემები

თეორემა(ფერმა). დაუშვით ფუნქცია
აქვს წერტილში
ექსტრემალური. თუ არსებობს
, ეს

მტკიცებულება. დაე
მაგალითად, არის მინიმალური ქულა. მინიმალური წერტილის განმარტებით, არის ამ წერტილის მეზობლობა
, რომლის ფარგლებშიც
, ანუ
- ზრდა
წერტილში
. ა-პრიორიტეტი
გამოვთვალოთ ცალმხრივი წარმოებულები წერტილში
:

უთანასწორობის ზღვარზე გადასვლის თეორემით,

რადგან

, იმიტომ
მაგრამ პირობის მიხედვით
არსებობს, ამიტომ მარცხენა წარმოებული ტოლია მარჯვენას და ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ

ვარაუდი, რომ
– მაქსიმალურ ქულას იგივეს მივყავართ.

თეორემის გეომეტრიული მნიშვნელობა:

თეორემა(როლა). დაუშვით ფუნქცია
უწყვეტი
, დიფერენცირებადი
და
მაშინ არის
ისეთივე როგორც

მტკიცებულება. იმიტომ რომ
უწყვეტი
, შემდეგ ვაიერშტრასის მეორე თეორემით ის აღწევს
მათი უდიდესი
და ყველაზე ნაკლებად
მნიშვნელობები ან უკიდურეს წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.

1. მოდით
, მაშინ

2. მოდით
იმიტომ რომ
ან
, ან
მიიღწევა ექსტრემალურ წერტილში
, მაგრამ ფერმას თეორემის მიხედვით
ქ.ე.დ.

თეორემა(ლაგრანჟი). დაუშვით ფუნქცია
უწყვეტი
და დიფერენცირებადი
, მაშინ არის
ისეთივე როგორც
.

თეორემის გეომეტრიული მნიშვნელობა:

იმიტომ რომ
, მაშინ სეკანტი ტანგენტის პარალელურია. ამრიგად, თეორემა ამბობს, რომ არსებობს სეკანტის პარალელი, რომელიც გადის A და B წერტილებზე.

მტკიცებულება. პუნქტების მეშვეობით A
და ბ
დავხატოთ სეკანტი AB. მისი განტოლება
განიხილეთ ფუნქცია

– მანძილი გრაფიკზე შესაბამის წერტილებსა და AB სექანტს შორის.

1.
უწყვეტი
როგორც უწყვეტი ფუნქციების განსხვავება.

2.
დიფერენცირებადი
როგორც დიფერენცირებადი ფუნქციების განსხვავება.

3.

ნიშნავს,
აკმაყოფილებს როლის თეორემის პირობებს, ამიტომ არსებობს
ისეთივე როგორც

თეორემა დადასტურდა.

კომენტარი.ფორმულა ე.წ ლაგრანჟის ფორმულა.

თეორემა(კოში). დაუშვით ფუნქციები
უწყვეტი
, დიფერენცირებადი
და
, მაშინ არის წერტილი
ისეთივე როგორც
.

მტკიცებულება. ეს ვაჩვენოთ
. თუ
, შემდეგ ფუნქცია
დააკმაყოფილებდა როლის თეორემის პირობებს, ამიტომ იქნებოდა წერტილი
ისეთივე როგორც
- პირობის წინააღმდეგობა. ნიშნავს,
და ფორმულის ორივე მხარე განსაზღვრულია. მოდით შევხედოთ დამხმარე ფუნქციას.

უწყვეტი
, დიფერენცირებადი
და
, ანუ
აკმაყოფილებს როლის თეორემის პირობებს. მაშინ არის წერტილი
, სადაც
, მაგრამ

ქ.ე.დ.

დადასტურებული ფორმულა ე.წ კოშის ფორმულა.

L'Hopital-ის წესი(L'Hopital-Bernoulli თეორემა). დაუშვით ფუნქციები
უწყვეტი
, დიფერენცირებადი
,
და
. გარდა ამისა, არსებობს სასრული ან უსასრულო
.

მაშინ არის

მტკიცებულება. ვინაიდან პირობით
, შემდეგ განვსაზღვრავთ
წერტილში
, ვარაუდით
მერე
უწყვეტი გახდება
. ეს ვაჩვენოთ

მოდი ვიჩვენოთ, რომ
მაშინ არის
ისეთივე როგორც
ფუნქციიდან გამომდინარე
on
აკმაყოფილებს როლის თეორემის პირობებს. მაგრამ პირობის მიხედვით
- წინააღმდეგობა. Ამიტომაც

. ფუნქციები
დააკმაყოფილოს კოშის თეორემის პირობები ნებისმიერ ინტერვალზე
, რომელიც შეიცავს
. მოდით დავწეროთ კოშის ფორმულა:

,
.

აქედან გვაქვს:
, რადგან თუ
, ეს
.

ბოლო ლიმიტში ცვლადის ხელახალი დიზაინით, მივიღებთ საჭიროს:

შენიშვნა 1. L'Hopital-ის წესი ძალაში რჩება მაშინაც კი, როცა
და
. ეს საშუალებას გვაძლევს გამოვავლინოთ არა მხოლოდ ტიპის გაურკვევლობა , არამედ ტიპიც :

.

შენიშვნა 2. თუ L'Hopital-ის წესის გამოყენების შემდეგ გაურკვევლობა არ გამოვლინდა, მაშინ ის კვლავ უნდა იქნას გამოყენებული.

მაგალითი.

კომენტარი 3 . L'Hopital-ის წესი გაურკვევლობების გამოვლენის უნივერსალური გზაა, მაგრამ არსებობს საზღვრები, რომლებიც შეიძლება გამოვლინდეს მხოლოდ ერთი ადრე შესწავლილი კონკრეტული ტექნიკის გამოყენებით.

მაგრამ აშკარად
, ვინაიდან მრიცხველის ხარისხი უდრის მნიშვნელის ხარისხს, ხოლო ზღვარი უდრის კოეფიციენტების თანაფარდობას უმაღლეს ხარისხებზე

რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი მიგვიყვანს დიფერენციალის ერთ ღირსშესანიშნავ და მნიშვნელოვან თვისებამდე.

დაე ფუნქციები იყოს ისეთი, რომ მათგან კომპლექსური ფუნქცია შედგეს: . თუ წარმოებულები არსებობს, მაშინ - V წესით - არსებობს წარმოებულიც

თუმცა მისი წარმოებულის ჩანაცვლებით გამოსახულებით (7) და აღვნიშნავთ, რომ არსებობს x-ის დიფერენციალი t-ის ფუნქციით, საბოლოოდ მივიღებთ:

ე.ი. დავუბრუნდეთ დიფერენციალის წინა ფორმას!

ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ დიფერენციალური ფორმა შეიძლება შენარჩუნდეს მაშინაც კი, თუ ძველი დამოუკიდებელი ცვლადი შეიცვლება ახლით. ჩვენ ყოველთვის თავისუფლად შეგვიძლია დავწეროთ y დიფერენციალი (5) სახით, მიუხედავად იმისა, x დამოუკიდებელი ცვლადია თუ არა; ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ თუ t არჩეულია დამოუკიდებელ ცვლადად, მაშინ ეს ნიშნავს არა თვითნებურ ზრდას, არამედ x-ის დიფერენციალს, როგორც ფუნქცია ამ თვისებას, ეწოდება დიფერენციალური ფორმის ინვარიანტობა.

ვინაიდან ფორმულა (5) პირდაპირ იძლევა ფორმულას (6), რომელიც გამოხატავს წარმოებულს დიფერენციალებით, ბოლო ფორმულა ძალაში რჩება, მიუხედავად იმისა, თუ რომელი დამოუკიდებელი ცვლადი (რა თქმა უნდა, ორივე შემთხვევაში იგივეა) აღნიშნული დიფერენციაციები გამოითვლება.

მოდით, მაგალითად, ასე

მოდით ახლა დავაყენოთ შემდეგ გვექნება ასევე: ადვილია იმის შემოწმება, რომ ფორმულა

იძლევა მხოლოდ სხვა გამოხატულებას ზემოთ გამოთვლილი წარმოებულისთვის.

ეს გარემოება განსაკუთრებით მოსახერხებელია გამოსაყენებლად იმ შემთხვევებში, როდესაც y-ის დამოკიდებულება x-ზე პირდაპირ არ არის მითითებული, მაგრამ სამაგიეროდ ორივე ცვლადის x და y დამოკიდებულება რომელიმე მესამე, დამხმარე ცვლადზე (ე.წ. პარამეტრზე) მითითებულია:

თუ ვივარაუდებთ, რომ ორივე ფუნქციას აქვს წარმოებული და რომ პირველისთვის არის შებრუნებული ფუნქცია, რომელსაც აქვს წარმოებული, ადვილი მისახვედრია, რომ მაშინ y ასევე აღმოჩნდება x-ის ფუნქცია:

რომლის წარმოებულიც არსებობს. ამ წარმოებულის გაანგარიშება შეიძლება განხორციელდეს ზემოაღნიშნული წესის მიხედვით:

x-ზე y-ის პირდაპირი დამოკიდებულების აღდგენის გარეშე.

მაგალითად, თუ წარმოებული შეიძლება განისაზღვროს როგორც ზემოთ, დამოკიდებულების გამოყენების გარეშე.

თუ x და y-ს განვიხილავთ, როგორც სიბრტყის წერტილის მართკუთხა კოორდინატებს, მაშინ განტოლებები (8) ანიჭებენ t პარამეტრის თითოეულ მნიშვნელობას გარკვეულ წერტილს, რომელიც t-ის ცვლილებით აღწერს მრუდს სიბრტყეზე. განტოლებებს (8) უწოდებენ ამ მრუდის პარამეტრულ განტოლებებს.

მრუდის პარამეტრული განმარტების შემთხვევაში, ფორმულა (10) საშუალებას გაძლევთ პირდაპირ დააყენოთ ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტი განტოლებების (8) გამოყენებით, მრუდის მითითების გარეშე (9) განტოლების გამოყენებით; ზუსტად,

კომენტარი. წარმოებულის გამოხატვის უნარი დიფერენციალებით აღებული ნებისმიერი ცვლადის მიმართ, კერძოდ, მივყავართ იმ ფაქტს, რომ ფორმულები

ლაიბნიცის აღნიშვნებით გამოხატავს შებრუნებული ფუნქციისა და რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესებს, ხდება მარტივი ალგებრული იდენტობები (რადგან ყველა დიფერენციალი აქ შეიძლება იქნას მიღებული იმავე ცვლადის მიმართ). თუმცა არ უნდა ვიფიქროთ, რომ ეს ახალ დასკვნას იძლევა ზემოხსენებულ ფორმულებზე: ჯერ ერთი, აქ არ დადასტურდა მარცხენა წარმოებულების არსებობა, მთავარია, არსებითად გამოვიყენეთ დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა. , რაც თავისთავად V წესის შედეგია.

თუ დამოუკიდებელი ცვლადების დიფერენცირებადი ფუნქცია და მისი ჯამური დიფერენციალური dz ტოლია ახლა დავუშვათ, რომ წერტილში ((,?/) ფუნქციებს »?) და r)) აქვთ უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები (და rf, და at) მიმართ. შესაბამისი წერტილის (x, y) ნაწილობრივი წარმოებულები არსებობს და არის უწყვეტი, და შედეგად ფუნქცია r = f(x, y) დიფერენცირებადია ამ პირობებში, ფუნქციას აქვს წარმოებულები 17-ე წერტილში კომპლექსური ფუნქცია დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა იმპლიციტური ფუნქციები ტანგენტური სიბრტყე და ზედაპირის ნორმალური ტანგენტი ზედაპირის მთლიანი დიფერენციალური სიბრტყის გეომეტრიული მნიშვნელობა როგორც ფორმულებიდან ჩანს (2), u და u უწყვეტია. წერტილში ((,*?). მაშასადამე, წერტილის ფუნქცია დიფერენცირებადია; £ და m] დამოუკიდებელი ცვლადების ფუნქციის ჯამური დიფერენციალური ფორმულის მიხედვით, გვაქვს ტოლობის მარჯვენა მხარეს ჩანაცვლება (3). ) u და u მათი გამონათქვამები (2) ფორმულებიდან, ვიღებთ ან, რომ პირობის მიხედვით, ფუნქციებს ((,17) წერტილში აქვთ უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები, მაშინ ისინი დიფერენცირებადია ამ წერტილში და ურთიერთობებიდან (4) და (5) მივიღებთ, რომ (1) და (6) ფორმულების შედარება აჩვენებს, რომ z = /(z, y) ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი გამოიხატება იმავე ფორმის ფორმულით, როგორც იმ შემთხვევაში, როდესაც x არგუმენტები და /(z, y) ფუნქციის y დამოუკიდებელი ცვლადებია და იმ შემთხვევაში, როდესაც ეს არგუმენტები, თავის მხრივ, ზოგიერთი ცვლადის ფუნქციებია. ამრიგად, რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ჯამურ დიფერენციალს აქვს ფორმის უცვლელობის თვისება. კომენტარი. ჯამური დიფერენციალური ფორმის უცვლელობიდან გამომდინარეობს: თუ xnx და y არის ცვლადების ნებისმიერი სასრული რაოდენობის დიფერენცირებადი ფუნქციები, მაშინ ფორმულა რჩება ძალაში, სადაც არის ორი ცვლადის ფუნქცია განსაზღვრული G დომენში xOy თვითმფრინავზე. თუ თითოეული x მნიშვნელობისთვის გარკვეული ინტერვალიდან (xo - 0, xo + ^o) არის ზუსტად ერთი მნიშვნელობა y, რომელიც x-თან ერთად აკმაყოფილებს განტოლებას (1), მაშინ ეს განსაზღვრავს ფუნქციას y = y(x), რომლისთვისაც ტოლობა იწერება იდენტურად x-ის გასწვრივ მითითებულ ინტერვალში. ამ შემთხვევაში, განტოლება (1) განმარტავს y-ს, როგორც x-ის იმპლიციტურ ფუნქციას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლებით განსაზღვრულ ფუნქციას, რომელიც არ არის გადაწყვეტილი y-სთან მიმართებაში, ეწოდება იმპლიციტური ფუნქცია,” ის ხდება აშკარა, თუ y-ის დამოკიდებულება x-ზე პირდაპირ არის მოცემული მაგალითები: 1. განტოლება განსაზღვრავს მნიშვნელობას y-ზე მთელი OcW рх, როგორც x-ის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია: 2. განტოლებით y სიდიდე განისაზღვრება, როგორც x-ის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია. განტოლება დაკმაყოფილებულია x = 0, y = 0 მნიშვნელობების წყვილით. ჩვენ განვიხილავთ * პარამეტრს და განვიხილავთ ფუნქციებს. კითხვა იმის შესახებ, არის თუ არა არჩეული xo-სთვის O-ს შესაბამისი უნიკალური მნიშვნელობა, ისეთია, რომ წყვილი (აკმაყოფილებს განტოლებას (2) x ay მრუდების და ერთი წერტილის გადაკვეთამდე. მოდით ავაშენოთ მათი გრაფიკები xOy-ზე. სიბრტყე (სურ. 11) მრუდი » = x + c sin y, სადაც x ითვლება პარამეტრად, მიიღება პარალელური გადაყვანით Ox ღერძის გასწვრივ და მრუდი z = z sin y გეომეტრიულად აშკარაა, რომ ნებისმიერი x მრუდეებს x = y და z = t + c $1py აქვთ უნიკალური პუნქტი, რომლის ორდინატორი არის x-ის ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება (2) განტოლებით 3. განტოლება არ განსაზღვრავს x-ის რეალურ ფუნქციას გარკვეული გაგებით, შეგვიძლია ვისაუბროთ რამდენიმე ცვლადის იმპლიციტურ ფუნქციებზე. მოცემული წერტილის რომელიღაც სამეზობლოში (®o> 0 თეორემა 8 (იმპლიციტური ფუნქციის არსებობა) დაკმაყოფილდეს შემდეგი პირობები: 1) ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია გარკვეულ მართკუთხედში, რომლის ცენტრია წერტილში. მიუთითეთ ფუნქცია y) გადაიქცევა n\l-ად, 3) D მართკუთხედში არსებობს და უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები 4) Y) როდესაც რაიმე საკმარისად ma/sueo დადებითი რიცხვი e არის ამ სამეზობლოს სამეზობლო, არის ერთი უწყვეტი ფუნქცია y. = f(x) (ნახ. 12), რომელიც იღებს მნიშვნელობას), აკმაყოფილებს განტოლებას \y - yol და აქცევს განტოლებას (1) იდენტურად: ეს ფუნქცია განუწყვეტლივ დიფერენცირებადია Xq წერტილის სიახლოვეს და გამოვიყვანოთ ფორმულა (3) წარმოებულისთვის. იმპლიციტური ფუნქციის, ამ წარმოებულის არსებობა დასადასტურებლად მიჩნეული. მოდით y = f(x) იყოს (1) განტოლებით განსაზღვრული იმპლიციტური დიფერენცირებადი ფუნქცია. შემდეგ ინტერვალში) არის იდენტობა რთული ფუნქციის დიფერენციალური დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა იმპლიციტური ფუნქციები ტანგენტური სიბრტყე და ზედაპირის ნორმალური ტანგენტი ზედაპირის სიბრტყე სრული დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა ნორმალური ზედაპირის მიმართ ამ ინტერვალი რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის მიხედვით გვაქვს უნიკალური იმ გაგებით, რომ ნებისმიერ წერტილს (x , y), რომელიც მდებარეობს წერტილის (xo, yo) მიმდებარე მრუდზე“ აქვს განტოლებით დაკავშირებული კოორდინატები. მაშასადამე, y = f(x)-ით ვიღებთ ამას და, შესაბამისად, მაგალითს. იპოვეთ j* ფუნქციიდან y = y(x), განსაზღვრული განტოლებით ამ შემთხვევაში აქედან, ფორმულის (3) ძალით შენიშვნა. თეორემა უზრუნველყოფს პირობებს ერთი იმპლიციტური ფუნქციის არსებობისთვის, რომლის გრაფიკი გადის მოცემულ წერტილში (xo, oo). საკმარისი, მაგრამ არა აუცილებელი. ფაქტობრივად, განვიხილოთ განტოლება აქ არის უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლი 0(0,0) წერტილში. თუმცა, ამ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნები, რომელიც უდრის ნულს პრობლემაზე. მოყვანილი იყოს განტოლება - ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას (G). 1) რამდენი ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია (2") აკმაყოფილებს განტოლებას (!")? 2) რამდენი ერთმნიშვნელოვანი უწყვეტი ფუნქცია აკმაყოფილებს განტოლებას (!) 3) რამდენი ერთმნიშვნელოვანი დიფერენცირებადი ფუნქცია აკმაყოფილებს განტოლებას (!)? 4) რამდენი ერთმნიშვნელოვანი უწყვეტი ფუნქცია აკმაყოფილებს „განტოლებას (1“), თუნდაც საკმარისად მცირე იყოს? თეორემა 8-ის მსგავსი არსებობის თეორემა ასევე მოქმედებს ორი ცვლადის იმპლიციტური ფუნქციის z - z(x, y) შემთხვევაში, რომელიც განისაზღვრება განტოლებით თეორემა 9. დაკმაყოფილდეს შემდეგი პირობები დ) განსაზღვრულია ფუნქცია და უწყვეტი D დომენში არსებობს და უწყვეტი კოეფიციენტები წარმოებულები. მაშინ ნებისმიერი საკმარისად მცირე e > 0 არის Γ2 წერტილის (®o»Yo)/, რომელშიც არის უნიკალური უწყვეტი ფუნქცია z - /; (x, y), მნიშვნელობის აღება x = x0, y = y0, პირობის დაკმაყოფილება და (4) განტოლების შეცვლა იდენტობაში: ამ შემთხვევაში, ფუნქციას Q დომენში აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები და GG მოდით ვიპოვოთ გამონათქვამები ამ წარმოებულებისთვის. მოდით განტოლებამ განისაზღვროს z, როგორც xnu ცვლადის დამოუკიდებელი ცვლადების z = /(x, y) ერთმნიშვნელოვანი და დიფერენცირებადი ფუნქცია. თუ z-ის ნაცვლად ამ განტოლებაში ჩავანაცვლებთ f(x, y) ფუნქციას, მივიღებთ იდენტურობას, შესაბამისად, y, z ფუნქციის x და y-ის მიმართ მთლიანი ნაწილობრივი წარმოებულები, სადაც z = /(z, y). ), ასევე უნდა იყოს ნულის ტოლი. დიფერენცირებით, ჩვენ აღმოვაჩენთ, სადაც ეს ფორმულები იძლევა გამონათქვამებს ორი დამოუკიდებელი ცვლადის იმპლიციტური ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულებისთვის. მაგალითი. იპოვეთ მე-4 განტოლებით მოცემული x(r,y) ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები. აქედან გვაქვს §11. ტანგენტური სიბრტყე და ნორმალური ზედაპირის მიმართ 11.1. წინასწარი ინფორმაცია გვქონდეს ზედაპირი S განსაზღვრული განტოლებით Defined*. (1) ზედაპირის M(x, y, z) წერტილს ეწოდება ამ ზედაპირის ჩვეულებრივი წერტილი, თუ M წერტილში სამივე წარმოებული არსებობს და უწყვეტია და ერთი მათგანი მაინც არ არის ნულოვანი. თუ (1) ზედაპირის My, z) წერტილში სამივე წარმოებული ნულის ტოლია ან ამ წარმოებულებიდან ერთი მაინც არ არსებობს, მაშინ M წერტილს ზედაპირის სინგულარული წერტილი ეწოდება. მაგალითი. განვიხილოთ წრიული კონუსი (ნახ. 13). აქ ერთადერთი განსაკუთრებული დახვეწილი წერტილი არის კოორდინატების წარმოშობა 0(0,0,0): ამ მომენტში ნაწილობრივი წარმოებულები ერთდროულად ქრება. ბრინჯი. 13 განვიხილოთ სივრცითი მრუდი L, რომელიც განისაზღვრება პარამეტრული განტოლებებით. მოდით, ფუნქციებს ჰქონდეთ უწყვეტი წარმოებულები. გამოვრიცხოთ განხილვიდან მრუდის ცალკეული წერტილები, რომლებშიც Let იყოს L მრუდის ჩვეულებრივი წერტილი, რომელიც განისაზღვრება to პარამეტრის მნიშვნელობით. მაშინ არის წერტილის მრუდის ტანგენსი ვექტორი. ზედაპირის ტანგენტური სიბრტყე 5 აიღეთ ჩვეულებრივი წერტილი S ზედაპირზე და დახაზეთ მრუდი L, რომელიც მდებარეობს ზედაპირზე და მოცემულია პარამეტრული განტოლებებით. "/(0" C(0) აქვს უწყვეტი წარმოებულები, არსად (a)p), რომლებიც ერთდროულად ქრება, მრუდის L წერტილის ტანგენსი ამ წერტილში ეწოდება ტანგენტს 5 ზედაპირზე. 2) ჩანაცვლებულია განტოლებაში (1), მაშინ, რადგან მრუდი L დევს S ზედაპირზე, განტოლება (1) იქცევა იდენტურობაში t-ის მიმართ: ამ იდენტობის დიფერენცირება t-ის მიმართ, კომპლექსის დიფერენცირების წესის გამოყენებით. ფუნქცია, ვიღებთ (3)-ის მარცხენა მხარეს გამოსახულებას ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი: P წერტილში, z ვექტორი მიმართულია მრუდზე L ამ წერტილში (ნახ. 14). , ეს დამოკიდებულია მხოლოდ ამ წერტილის კოორდინატებზე და ფუნქციის ტიპზე ^"(x, y, z) და არ არის დამოკიდებული P წერტილში გამავალი მრუდის ტიპზე. ვინაიდან P - ზედაპირის ჩვეულებრივი წერტილი 5, მაშინ n ვექტორის სიგრძე განსხვავდება ნულისაგან ის ფაქტი, რომ სკალარული ნამრავლი ნიშნავს, რომ ვექტორი r მრუდის ტანგენტი P წერტილში არის n ვექტორის პერპენდიკულარული (ნახ. 14). ეს არგუმენტები ძალაში რჩება ნებისმიერი მრუდის მიმართ, რომელიც გადის P წერტილში და მდებარეობს S ზედაპირზე. შესაბამისად, ნებისმიერი ტანგენსი 5 ზედაპირზე P წერტილში პერპენდიკულარულია n ვექტორზე და, შესაბამისად, ყველა ეს წრფე ერთ სიბრტყეშია. ასევე n ვექტორის პერპენდიკულარული განმარტება. სიბრტყეს, რომელშიც განთავსებულია ყველა ტანგენსი 5 ზედაპირზე, რომელიც გადის მოცემულ P G 5 ჩვეულებრივ წერტილს, ეწოდება ზედაპირის ტანგენტური სიბრტყე P წერტილში (სურ. 15). კომპლექსური ფუნქციის ვექტორული დიფერენციალი დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა იმპლიციტური ფუნქციები ტანგენტური სიბრტყე და ზედაპირის ნორმალური ტანგენტი ზედაპირის ტანგენტური სიბრტყე სრული დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა ზედაპირის მიმართ ნორმალური არის ზედაპირთან ტანგენტის სიბრტყის ნორმალური ვექტორი წერტილი P. აქედან დაუყოვნებლივ ვიღებთ ტანგენსტური სიბრტყის განტოლებას ZG ზედაპირზე (ამ ზედაპირის ჩვეულებრივ წერტილში P0 (®o, Uo): თუ ზედაპირი 5 მოცემულია განტოლებით, მაშინ ამ განტოლების ჩაწერით იქიდანაც მივიღებთ წერტილში ტანგენტის სიბრტყის განტოლებას, ის ასე გამოიყურება 11. 3. ჯამური დიფერენციალის გეომეტრიული მნიშვნელობა თუ ჩავსვამთ ფორმულაში (7), მაშინ ის მიიღებს ფორმას. (8)-ის მარჯვენა მხარე წარმოადგენს z ფუნქციის ჯამურ დიფერენციალს M0(x0) yо) წერტილში სიბრტყე xOy> ისე, რომ ამდენად, ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი z = /(x, y) ორი დამოუკიდებელი ცვლადის x და y M0 წერტილში, რომელიც შეესაბამება ცვლადების Dx და Du ნამატებს და y, უდრის ნამატს. z - z0 მიმართავს 5 ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის z წერტილს Z>(xo» Uo» /(, Uo)) M0(xo, Uo) წერტილიდან წერტილამდე გადაადგილებისას - 11.4. ზედაპირის ნორმალური განმარტება. სწორ ხაზს, რომელიც გადის ზედაპირის Po(xo, y0, r0) წერტილზე, რომელიც პერპენდიკულარულია ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყეზე Po წერტილში, ეწოდება ნორმალური ზედაპირის Pq წერტილში. ვექტორი)L ნორმალურის მიმართული ვექტორია და მის განტოლებებს აქვს ფორმა, თუ ზედაპირი 5 მოცემულია განტოლებით, მაშინ ნორმალურის განტოლებები წერტილში) ასე გამოიყურება: წერტილში აქ, წერტილში (0, 0) ეს წარმოებულები ნულის ტოლია: ხოლო ტანგენტის სიბრტყის განტოლება 0 (0,0,0) წერტილში იღებს შემდეგ ფორმას: (xOy სიბრტყე). ნორმალური განტოლებები

დიფერენციალური ფუნქციის ფორმულას აქვს ფორმა

სად არის დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენციალი.

მოდით ახლა მივცეთ რთული (განსხვავებადი) ფუნქცია, სადაც,. შემდეგ რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის გამოყენებით ვიპოვით

რადგან .

Ისე, , ე.ი. დიფერენციალურ ფორმულას აქვს იგივე ფორმა დამოუკიდებელი ცვლადისთვის და შუალედური არგუმენტისთვის, რომელიც არის დიფერენცირებადი ფუნქცია.

ამ ქონებას ჩვეულებრივ საკუთრებას უწოდებენ ფორმულის ან დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა. გაითვალისწინეთ, რომ წარმოებულს არ აქვს ეს თვისება.

კავშირი უწყვეტობასა და დიფერენციალურობას შორის.

თეორემა (ფუნქციის დიფერენცირებულობის აუცილებელი პირობა).თუ ფუნქცია არის დიფერენცირებადი წერტილში, მაშინ ის უწყვეტია ამ წერტილში.

მტკიცებულება.დაუშვით ფუნქცია y=ვ(x) წერტილში დიფერენცირებადი X 0 . ამ ეტაპზე არგუმენტს ვაძლევთ ნამატს  X. ფუნქცია გაიზრდება  ზე. მოდი ვიპოვოთ.

აქედან გამომდინარე, y=ვ(x) უწყვეტი წერტილში X 0 .

შედეგი.თუ X 0 არის ფუნქციის შეწყვეტის წერტილი, მაშინ მასზე ფუნქცია არ არის დიფერენცირებადი.

თეორემის საპირისპირო არ არის ჭეშმარიტი. უწყვეტობა არ ნიშნავს დიფერენციალურობას.

დიფერენციალური. გეომეტრიული მნიშვნელობა. დიფერენციალურის გამოყენება სავარაუდო გამოთვლებზე.

განმარტება

ფუნქციის დიფერენციალიეწოდება ფუნქციის ნაზრდის წრფივი ფარდობითი ნაწილი. იგი დანიშნულია კაკილი. ამრიგად:

კომენტარი

ფუნქციის დიფერენციალი შეადგენს მისი ზრდის ძირითად ნაწილს.

კომენტარი

ფუნქციის დიფერენციალური კონცეფციის პარალელურად შემოტანილია არგუმენტის დიფერენციალური ცნება. ა-პრიორიტეტი არგუმენტის დიფერენციალიარის არგუმენტის ზრდა:

კომენტარი

ფუნქციის დიფერენციალური ფორმულა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

აქედან ჩვენ ამას ვიღებთ

ასე რომ, ეს ნიშნავს, რომ წარმოებული შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადი - ფუნქციისა და არგუმენტის დიფერენციალთა თანაფარდობა.

დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა

ფუნქციის დიფერენციალი წერტილში უდრის ამ წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე გამოსახული ტანგენტის ორდინატულ ზრდას, რომელიც შეესაბამება არგუმენტის ზრდას.

დიფერენცირების ძირითადი წესები. მუდმივის წარმოებული, ჯამის წარმოებული.

დაე, ფუნქციებს ჰქონდეთ წარმოებულები წერტილში. მერე

1. მუდმივიშეიძლება ამოღებულ იქნეს წარმოებული ნიშნიდან.

5. დიფერენციალური მუდმივინულის ტოლი.

2. ჯამის/განსხვავების წარმოებული.

ორი ფუნქციის ჯამის/განსხვავების წარმოებული უდრის თითოეული ფუნქციის წარმოებულების ჯამს/განსხვავებას.

დიფერენცირების ძირითადი წესები. პროდუქტის წარმოებული.

3. პროდუქტის წარმოებული.

დიფერენცირების ძირითადი წესები. რთული და შებრუნებული ფუნქციის წარმოებული.

5. რთული ფუნქციის წარმოებული.

რთული ფუნქციის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციის წარმოებულს შუალედური არგუმენტის მიმართ, გამრავლებული შუალედური არგუმენტის წარმოებულზე მთავარ არგუმენტთან მიმართებაში.

და მათ აქვთ წარმოებულები წერტილებში, შესაბამისად. მერე

თეორემა

(შებრუნებული ფუნქციის წარმოებულის შესახებ)

თუ ფუნქცია უწყვეტი და მკაცრად მონოტონურია წერტილის რომელიმე მეზობლად და დიფერენცირებადია ამ წერტილში, მაშინ შებრუნებულ ფუნქციას აქვს წარმოებული წერტილი და .

დიფერენციაციის ფორმულები. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული.