Matricas, operācijas ar matricām. apgrieztā matrica
1.kurss, augstākā matemātika, mācās matricas un pamata darbības ar tiem. Šeit sistematizējam pamatoperācijas, kuras var veikt ar matricām. Kur sākt iepazīšanos ar matricām? Protams, no visvienkāršākajām lietām – definīcijām, pamatjēdzieniem un vienkāršām operācijām. Garantējam, ka matricas sapratīs ikviens, kurš tām veltīs kaut nedaudz laika!
Matricas definīcija
Matrica ir taisnstūrveida elementu tabula. Nu vienkārši sakot – skaitļu tabula.
Parasti matricas apzīmē ar lielajiem latīņu burtiem. Piemēram, matrica A , matrica B un tā tālāk. Matricas var būt dažāda izmēra: taisnstūrveida, kvadrātveida, un ir arī rindu un kolonnu matricas, ko sauc par vektoriem. Matricas lielumu nosaka rindu un kolonnu skaits. Piemēram, uzrakstīsim taisnstūra izmēra matricu m ieslēgts n , Kur m – rindu skaits un n – kolonnu skaits.
Preces, kurām i=j (a11, a22, .. ) veido matricas galveno diagonāli un tiek sauktas par diagonāli.
Ko jūs varat darīt ar matricām? Pievienot/atņemt, reizināt ar skaitli, vairojas savā starpā, transponēt. Tagad par visām šīm pamatoperācijām ar matricām kārtībā.
Matricas saskaitīšanas un atņemšanas darbības
Uzreiz brīdināsim, ka var pievienot tikai tāda paša izmēra matricas. Rezultāts būs tāda paša izmēra matrica. Matricu pievienošana (vai atņemšana) ir vienkārša - jums vienkārši jāsaskaita tiem atbilstošie elementi . Sniegsim piemēru. Saskaitīsim divas matricas A un B, kuru izmērs ir pa divi.
Atņemšana tiek veikta pēc analoģijas, tikai ar pretēju zīmi.
Jebkuru matricu var reizināt ar patvaļīgu skaitli. Lai to izdarītu, katrs tā elements jāreizina ar šo skaitli. Piemēram, sareizināsim matricu A no pirmā piemēra ar skaitli 5:
Matricas reizināšanas operācija
Visas matricas nevar reizināt kopā. Piemēram, mums ir divas matricas - A un B. Tās var reizināt vienu ar otru tikai tad, ja matricas A kolonnu skaits ir vienāds ar matricas B rindu skaitu. katrs iegūtās matricas elements, kas atrodas i-tajā rindā un j-tajā kolonnā, būs vienāds ar atbilstošo elementu reizinājumu summu pirmā faktora i-tajā rindā un j-tajā kolonnā. otrais. Lai saprastu šo algoritmu, pierakstīsim, kā tiek reizinātas divas kvadrātveida matricas:
Un piemērs ar reāliem skaitļiem. Sareizināsim matricas:
Matricas transponēšanas darbība
Matricas transponēšana ir darbība, kurā tiek apmainītas atbilstošās rindas un kolonnas. Piemēram, transponēsim matricu A no pirmā piemēra:
Matricas determinants
Determinants jeb determinants ir viens no lineārās algebras pamatjēdzieniem. Reiz cilvēki izdomāja lineārus vienādojumus, un pēc tiem viņiem bija jāizdomā determinants. Galu galā tas viss ir jātiek galā ar jums, tāpēc pēdējais grūdiens!
Determinants ir kvadrātveida matricas skaitlisks raksturlielums, kas nepieciešams daudzu problēmu risināšanai.
Lai aprēķinātu vienkāršākās kvadrātveida matricas determinantu, jāaprēķina starpība starp galvenās un sekundārās diagonāles elementu reizinājumu.
Pirmās kārtas matricas determinants, kas sastāv no viena elementa, ir vienāds ar šo elementu.
Ko darīt, ja matrica ir trīs reiz trīs? Tas ir grūtāk, bet jūs to varat pārvaldīt.
Šādai matricai determinanta vērtība ir vienāda ar galvenās diagonāles elementu reizinājumu summu un to elementu reizinājumu summu, kas atrodas uz trijstūriem ar skaldni paralēli galvenajai diagonālei, no kuras reizinājums tiek atņemti sekundārās diagonāles elementi un to elementu reizinājums, kas atrodas uz trijstūriem ar paralēlās sekundārās diagonāles skaldni.
Par laimi, praksē reti ir nepieciešams aprēķināt lielu izmēru matricu determinantus.
Šeit mēs apskatījām pamatoperācijas ar matricām. Protams, reālajā dzīvē jūs, iespējams, nekad nesastapsit pat mājienu uz matricas vienādojumu sistēmu, vai, gluži pretēji, jūs varat saskarties ar daudz sarežģītākiem gadījumiem, kad jums patiešām ir jārauj smadzenes. Tieši šādiem gadījumiem pastāv profesionāli studentu pakalpojumi. Lūdziet palīdzību, saņemiet kvalitatīvu un detalizētu risinājumu, izbaudiet akadēmiskos panākumus un brīvo laiku.
Lekcija 1. “Matricas un pamatoperācijas uz tām. Noteicošie faktori
Definīcija. Matrica Izmērs m n, Kur m- rindu skaits, n- kolonnu skaits, ko sauc par skaitļu tabulu, kas sakārtota noteiktā secībā. Šos skaitļus sauc par matricas elementiem. Katra elementa atrašanās vietu unikāli nosaka rindas un kolonnas numurs, kuras krustpunktā tas atrodas. Matricas elementi ir norādītia ij, Kur i- rindas numurs un j- kolonnas numurs.
A =
Pamatoperācijas ar matricām.
Matrica var sastāvēt no vienas rindas vai vienas kolonnas. Vispārīgi runājot, matrica var sastāvēt pat no viena elementa.
Definīcija. Ja matricas kolonnu skaits ir vienāds ar rindu skaitu (m=n), tad matricu sauc kvadrāts.
Definīcija. Matricas skats:
= E
,
sauca identitātes matrica.
Definīcija. Ja a mn = a nm , tad tiek izsaukta matrica simetrisks.
Piemērs. 
- simetriskā matrica
Definīcija.
Formas kvadrātveida matrica 
sauca diagonāli matrica.
Saskaitīšana un atņemšana matricas tiek reducētas līdz atbilstošām darbībām ar to elementiem. Šo operāciju svarīgākais īpašums ir tas, ka tie definēts tikai tāda paša izmēra matricām. Tādējādi ir iespējams definēt matricas saskaitīšanas un atņemšanas darbības:
Definīcija. Summa (starpība) matricas ir matrica, kuras elementi ir attiecīgi sākotnējo matricu elementu summa (starpība).
c ij = a ij b ij
C = A + B = B + A.
Darbība reizināšana (dalīšana) jebkura izmēra matrica ar patvaļīgu skaitli tiek reducēta līdz katra matricas elementa reizināšanai (dalīšanai) ar šo skaitli.
(A+B) = A B A( ) = A A
Piemērs. Dotās matricas A = 
; B= 
, atrodiet 2A + B.
2A = 
, 2A + B = 
.
Matricas reizināšanas operācija.
Definīcija: Darbs matricas ir matrica, kuras elementus var aprēķināt, izmantojot šādas formulas:
A
B =
C;
.
No iepriekš minētās definīcijas ir skaidrs, ka matricas reizināšanas darbība ir definēta tikai matricām no kurām pirmās kolonnu skaits ir vienāds ar otrās rindu skaitu.
Matricas reizināšanas operācijas īpašības.
1) Matricas reizināšananav komutatīva , t.i. AB VA pat tad, ja ir definēti abi produkti. Taču, ja kādām matricām ir izpildīta sakarība AB = BA, tad šādas matricas saucmaināms.
Tipiskākais piemērs ir matrica, kas kommutē ar jebkuru citu tāda paša izmēra matricu.
Tikai tādas pašas kārtas kvadrātveida matricas var būt mainīgas.
A E = E A = A
Acīmredzot jebkurai matricai ir spēkā šāds īpašums:
A O = O; O A = O,
kur O- nulle matrica.
2) Matricas reizināšanas operācija asociatīvs, tie. ja ir definēti produkti AB un (AB)C, tad ir definēti BC un A(BC), un vienādība ir spēkā:
(AB)C=A(BC).
3) Matricas reizināšanas operācija sadales saistībā ar pievienošanu, t.i. ja izteiksmēm A(B+C) un (A+B)C ir jēga, tad attiecīgi:
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC.
4) Ja reizinājums AB ir definēts, tad jebkuram skaitlim pareiza ir šāda attiecība:
(AB) = ( A) B = A( B).
5) Ja reizinājums AB ir definēts, tad reizinājums B T A T ir definēts un spēkā ir vienādība:
(AB) T = B T A T, kur
indekss T apzīmē transponēts matrica.
6) Ņemiet vērā arī to, ka jebkurai kvadrātveida matricai det (AB) = detA detB.
Kas notika tas tiks apspriests tālāk.
Definīcija . Matricu B sauc transponēts matrica A un pāreja no A uz B transponēšana, ja katras matricas A rindas elementi ir ierakstīti tādā pašā secībā matricas B kolonnās.
A = 
; B = A T = 
;
citiem vārdiem sakot, b ji = a ij .
Iepriekšējā īpašuma (5) rezultātā mēs varam rakstīt, ka:
(ABC ) T = C T B T A T ,
ar nosacījumu, ka ir definēts matricu ABC reizinājums.
Piemērs.
Dotās matricas A = 
, B = , C = 
un numurs = 2. Atrodiet A T B+ C.
A T =
;
A T B =
=
=
;
C =
; A T B+ C = +
=
.
Piemērs. Atrodiet matricu A = un B = reizinājumu 
.
AB = = 
.
VA =
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Piemērs. Atrodiet matricu A= reizinājumu 
, B = 
AB =
= 
= 
.
Noteicošie faktori(noteicošie faktori).
Definīcija.
Noteicējs kvadrātveida matrica A= 
ir skaitlis, ko var aprēķināt no matricas elementiem, izmantojot formulu:
det A = 
, kur (1)
M 1 līdz– matricas determinants, kas iegūts no sākotnējās, dzēšot pirmo rindu un k-to kolonnu. Jāņem vērā, ka determinantiem ir tikai kvadrātveida matricas, t.i. matricas, kurās rindu skaits ir vienāds ar kolonnu skaitu.
F 
formula (1) ļauj aprēķināt matricas determinantu no pirmās rindas, der arī formula determinanta aprēķināšanai no pirmās kolonnas:
det A = 
(2)
Vispārīgi runājot, determinantu var aprēķināt no jebkuras matricas rindas vai kolonnas, t.i. formula ir pareiza:
detA = 
, i = 1,2,…,n. (3)
Acīmredzot dažādām matricām var būt vienādi determinanti.
Identitātes matricas determinants ir 1.
Norādītajai matricai A tiek izsaukts skaitlis M 1k papildu nepilngadīgais matricas elements a 1 k . Tādējādi varam secināt, ka katram matricas elementam ir savs papildu minors. Papildu nepilngadīgie ir tikai kvadrātveida matricās.
Definīcija. Papildus nepilngadīgais kvadrātmatricas patvaļīga elementa a ij ir vienāds ar matricas determinantu, kas iegūts no sākotnējās, dzēšot i-to rindu un j-to kolonnu.
Īpašums1. Svarīga determinantu īpašība ir šādas attiecības:
det A = det A T ;
Īpašums 2. det (A B) = det A det B.
3. īpašums. det (AB) = detA detB
4. īpašums. Ja kvadrātmatricā apmainīsiet jebkuras divas rindas (vai kolonnas), matricas determinants mainīs zīmi, nemainot absolūto vērtību.
5. īpašums. Reizinot matricas kolonnu (vai rindu) ar skaitli, tās determinants tiek reizināts ar šo skaitli.
6. īpašums. Ja matricā A rindas vai kolonnas ir lineāri atkarīgas, tad tās determinants ir vienāds ar nulli.
Definīcija: Tiek izsauktas matricas kolonnas (rindas). lineāri atkarīgi, ja ir to lineāra kombinācija, kas vienāda ar nulli un kurai ir netriviāli (nulles nevienlīdzīgi) risinājumi.
7. īpašums. Ja matricā ir nulles kolonna vai nulles rinda, tad tās determinants ir nulle. (Šis apgalvojums ir acīmredzams, jo determinantu var precīzi aprēķināt ar nulles rindu vai kolonnu.)
8. īpašums. Matricas determinants nemainīsies, ja vienas tās rindas (kolonnas) elementiem tiks pievienoti (atņemti) citas rindas (kolonnas) elementi, kas reizināti ar jebkuru skaitli, kas nav vienāds ar nulli.
9. īpašums. Ja šādas attiecības ir patiesas jebkuras matricas rindas vai kolonnas elementiem:d = d 1 d 2 , e = e 1 e 2 , f = det(AB).
1. metode: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.
Otrā metode: AB =
,
det (AB) = 7
18 - 8
19 = 126 –
– 152 = -26.
Šī rokasgrāmata palīdzēs jums uzzināt, kā veikt operācijas ar matricām: matricu saskaitīšana (atņemšana), matricas transponēšana, matricu reizināšana, apgrieztās matricas atrašana. Viss materiāls ir sniegts vienkāršā un pieejamā formā, ir sniegti atbilstoši piemēri, lai pat nesagatavots cilvēks varētu iemācīties veikt darbības ar matricām. Pašpārbaudei un pašpārbaudei varat bez maksas lejupielādēt matricas kalkulatoru >>>.
Mēģināšu līdz minimumam samazināt teorētiskos aprēķinus, vietām iespējami skaidrojumi “uz pirkstiem” un nezinātnisku terminu lietošana. Solīdas teorijas cienītāji, lūdzu, neiesaistieties kritikā, mūsu uzdevums ir iemācīties veikt darbības ar matricām.
SUPERĀTRAI sagatavošanai par tēmu (kurš ir “uguns”) ir intensīvais pdf kurss Matrica, determinants un tests!
Matrica ir dažu taisnstūrveida tabula elementi. Kā elementi mēs apsvērsim skaitļus, tas ir, skaitliskās matricas. ELEMENTS ir termins. Terminu vēlams atcerēties, tas parādīsies bieži, nav nejaušība, ka tā izcelšanai izmantoju treknrakstu.
Apzīmējums: matricas parasti apzīmē ar lielajiem latīņu burtiem
Piemērs: Apsveriet matricu ar diviem pa trim:
Šī matrica sastāv no sešām elementi:
Visi skaitļi (elementi) matricas iekšpusē pastāv atsevišķi, tas ir, nav runas par atņemšanu: 
Tā ir tikai skaitļu tabula (kopa)!
Mēs arī vienosimies nepārkārtot cipariem, ja paskaidrojumos nav norādīts citādi. Katram numuram ir sava atrašanās vieta, un to nevar sajaukt!
Attiecīgajai matricai ir divas rindas: 
un trīs kolonnas: 
STANDARTS: runājot par matricas izmēriem, tad vispirms norāda rindu skaitu un tikai tad kolonnu skaitu. Mēs tikko esam sadalījuši matricu pa trīs.
Ja matricas rindu un kolonnu skaits ir vienāds, tad matrica tiek izsaukta kvadrāts, Piemēram: 
– trīs reizes trīs matrica.
Ja matricai ir viena kolonna vai viena rinda, tad šādas matricas arī sauc vektori.
Faktiski matricas jēdziens ir pazīstams jau kopš skolas laikiem. Apsveriet, piemēram, punktu ar koordinātām “x” un “y”: . Būtībā punkta koordinātas tiek ierakstītas matricā pa vienam. Starp citu, šeit ir piemērs, kāpēc skaitļu secībai ir nozīme: un ir divi pilnīgi atšķirīgi punkti plaknē.
Tagad pāriesim pie studijām operācijas ar matricām:
1) Pirmā darbība. Mīnusa noņemšana no matricas (mīnusa ievietošana matricā).
Atgriezīsimies pie mūsu matricas 
. Kā jūs droši vien pamanījāt, šajā matricā ir pārāk daudz negatīvu skaitļu. Tas ir ļoti neērti no dažādu darbību veikšanas ar matricu viedokļa, ir neērti rakstīt tik daudz mīnusu, un tas vienkārši izskatās neglīts dizainā.
Pārvietosim mīnusu ārpus matricas, mainot KATRAM matricas elementa zīmi:
Pie nulles, kā jūs saprotat, zīme nemainās arī Āfrikā.
Apgrieztais piemērs: 
. Tas izskatās neglīts.
Ieviesīsim matricā mīnusu, mainot KATRAM matricas elementa zīmi:
Nu sanāca daudz jaukāk. Un, pats galvenais, ar matricu būs VIEGLĀK veikt jebkādas darbības. Jo ir tāda matemātiska tautas zīme: jo vairāk mīnusu, jo vairāk neskaidrību un kļūdu.
2) Otrais cēliens. Matricas reizināšana ar skaitli.
Piemērs:
Tas ir vienkārši, lai reizinātu matricu ar skaitli, jums ir nepieciešams katrs matricas elements reizināts ar doto skaitli. Šajā gadījumā - trīs.
Vēl viens noderīgs piemērs:
– matricas reizināšana ar daļskaitli
Vispirms apskatīsim, ko darīt NAV VAJADZĪBAS:
Matricā NAV VAJADZĪGS ievadīt daļskaitli, pirmkārt, tas tikai sarežģī turpmākās darbības ar matricu, otrkārt, skolotājam apgrūtina risinājuma pārbaudi (īpaši, ja; 
– uzdevuma galīgā atbilde).
Un jo īpaši, NAV VAJADZĪBAS sadaliet katru matricas elementu ar mīnus septiņi:
No raksta Matemātika manekeniem vai kur sākt, mēs atceramies, ka augstākajā matemātikā viņi visos iespējamos veidos cenšas izvairīties no decimāldaļskaitļiem ar komatiem.
Vienīgais ir vēlamsŠajā piemērā matricai jāpievieno mīnuss:
Bet ja nu vienīgi VISI matricas elementi tika dalīti ar 7 bez pēdām, tad varētu (un vajag!) dalīt.
Piemērs:
Šajā gadījumā jūs varat VAJAG reiziniet visus matricas elementus ar , jo visi matricas skaitļi dalās ar 2 bez pēdām.
Piezīme: augstskolas matemātikas teorijā nav jēdziena “dalījums”. Tā vietā, lai teiktu “šis dalīts ar to”, vienmēr varat teikt “tas reizināts ar daļu”. Tas ir, dalīšana ir īpašs reizināšanas gadījums.
3) Trešais cēliens. Matricas transponēšana.
Lai transponētu matricu, tās rindas jāieraksta transponētās matricas kolonnās.
Piemērs:
Transponēt matricu
Šeit ir tikai viena rinda, un saskaņā ar likumu tā ir jāraksta kolonnā:
– transponētā matrica.
Transponētā matrica parasti tiek apzīmēta ar augšējo indeksu vai pirmzīmi augšējā labajā stūrī.
Soli pa solim piemērs:
Transponēt matricu 
Vispirms mēs pārrakstām pirmo rindu pirmajā kolonnā:
Tad mēs pārrakstām otro rindu otrajā kolonnā: 
Un visbeidzot mēs pārrakstām trešo rindu trešajā kolonnā:
Gatavs. Aptuveni runājot, transponēšana nozīmē matricas pagriešanu uz sāniem.
4) Ceturtais cēliens. Matricu summa (starpība)..
Matricu summa ir vienkārša darbība.
NE VISAS MATRIKAS VAR IZLOKOT. Lai veiktu matricu saskaitīšanu (atņemšanu), tām ir jābūt VIENĀDA IZMĒRA.
Piemēram, ja ir dota matrica divi reiz divi, tad to var pievienot tikai ar matricu divi reiz divi, nevis citu! 
Piemērs:
Pievienojiet matricas 
Un 
Lai pievienotu matricas, jāpievieno tām atbilstošie elementi:
Matricu atšķirībai noteikums ir līdzīgs, jāatrod atbilstošo elementu atšķirība.
Piemērs:
Atrodiet matricas atšķirību 
, 
Kā vienkāršāk atrisināt šo piemēru, lai neapjuktu? Lai to izdarītu, ieteicams atbrīvoties no nevajadzīgiem mīnusiem, pievienojiet matricai mīnusu:
Piezīme: augstskolas matemātikas teorijā nav jēdziena “atņemšana”. Tā vietā, lai teiktu “atņem šo no šī”, vienmēr varat teikt “pievienojiet tam negatīvu skaitli”. Tas ir, atņemšana ir īpašs saskaitīšanas gadījums.
5) Piektais cēliens. Matricas reizināšana.
Kādas matricas var reizināt?
Lai matrica tiktu reizināta ar matricu, tas ir nepieciešams lai matricas kolonnu skaits būtu vienāds ar matricas rindu skaitu.
Piemērs:
Vai ir iespējams reizināt matricu ar matricu?
Tas nozīmē, ka matricas datus var reizināt.
Bet, ja matricas ir pārkārtotas, tad šajā gadījumā reizināšana vairs nav iespējama!
Tāpēc reizināšana nav iespējama:
Nav tik reti sastopami uzdevumi ar viltību, kad skolēnam tiek lūgts reizināt matricas, kuru reizināšana acīmredzami nav iespējama.
Jāņem vērā, ka dažos gadījumos ir iespējams reizināt matricas abos veidos.
Piemēram, matricām ir iespējama gan reizināšana, gan reizināšana
MATRIKSAS DEFINĪCIJA. MATRIKU VEIDI
Matrica ar izmēru m× n sauc par komplektu m·n skaitļi, kas sakārtoti taisnstūra tabulā m līnijas un n kolonnas. Šī tabula parasti ir pievienota iekavās. Piemēram, matrica var izskatīties šādi:
Īsuma labad matricu var apzīmēt ar vienu lielo burtu, piemēram, A vai IN.
Kopumā lieluma matrica m× n uzraksti to šādi
.
Tiek izsaukti skaitļi, kas veido matricu matricas elementi. Matricas elementus ir ērti nodrošināt ar diviem indeksiem a ij: pirmais norāda rindas numuru, bet otrais norāda kolonnas numuru. Piemēram, a 23– elements atrodas 2. rindā, 3. kolonnā.
Ja matricai ir vienāds rindu skaits ar kolonnu skaitu, tad matrica tiek izsaukta kvadrāts, un tiek izsaukts tā rindu vai kolonnu skaits kārtībā matricas. Iepriekš minētajos piemēros otrā matrica ir kvadrātveida - tās secība ir 3, bet ceturtā matrica ir tās secība 1.
Tiek izsaukta matrica, kurā rindu skaits nav vienāds ar kolonnu skaitu taisnstūrveida. Piemēros šī ir pirmā matrica un trešā.
Ir arī matricas, kurām ir tikai viena rinda vai viena kolonna.
Tiek izsaukta matrica, kurā ir tikai viena rinda matrica - rinda(vai virkne) un matricu ar tikai vienu kolonnu matrica - kolonna.
Tiek izsaukta matrica, kuras visi elementi ir nulle null un tiek apzīmēts ar (0) vai vienkārši 0. Piemēram,
.
Galvenā diagonāle Kvadrātveida matricas diagonāli, kas virzās no augšējā kreisā uz apakšējo labo stūri.
Tiek izsaukta kvadrātveida matrica, kurā visi elementi zem galvenās diagonāles ir vienādi ar nulli trīsstūrveida matrica.
.
Tiek saukta kvadrātveida matrica, kurā visi elementi, izņemot tos, kas atrodas galvenajā diagonālē, ir vienādi ar nulli. diagonāli matrica. Piemēram, vai.
Tiek izsaukta diagonālā matrica, kurā visi diagonālie elementi ir vienādi ar vienu viens matrica un tiek apzīmēta ar burtu E. Piemēram, 3. kārtas identitātes matricai ir forma 
.
DARBĪBAS UZ MATRIKĀM
Matricas vienlīdzība. Divas matricas A Un B tiek uzskatīti par vienādiem, ja tiem ir vienāds rindu un kolonnu skaits un to attiecīgie elementi ir vienādi a ij = b ij. Tātad ja 
Un 
, Tas A=B, Ja a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Un a 22 = b 22.
Transponēt. Apsveriet patvaļīgu matricu A no m līnijas un n kolonnas. To var saistīt ar šādu matricu B no n līnijas un m kolonnas, kurās katra rinda ir matricas kolonna A ar tādu pašu numuru (tātad katra kolonna ir matricas rinda A ar to pašu numuru). Tātad ja 
, Tas 
.
Šī matrica B sauca transponēts matrica A, un pāreja no A Uz B transponēšana.
Tādējādi transponēšana ir matricas rindu un kolonnu lomu maiņa. Matrica transponēta matricā A, parasti apzīmē A T.
Komunikācija starp matricu A un tā transponēšanu var rakstīt formā .
Piemēram. Atrodiet dotās matricas transponēto.
Matricas pievienošana.Ļaujiet matricām A Un B sastāv no vienāda skaita rindu un vienāda kolonnu skaita, t.i. ir vienādi izmēri. Tad, lai pievienotu matricas A Un B nepieciešami matricas elementiem A pievienot matricas elementus B stāvot tajās pašās vietās. Tādējādi divu matricu summa A Un B sauc par matricu C, ko nosaka noteikums, piemēram,
Piemēri. Atrodiet matricu summu:
Ir viegli pārbaudīt, vai matricas pievienošana atbilst šādiem likumiem: komutatīva A+B=B+A un asociatīvā ( A+B)+C=A+(B+C).
Matricas reizināšana ar skaitli. Lai reizinātu matricu A uz numuru k ir nepieciešams katrs matricas elements A reiziniet ar šo skaitli. Tādējādi matricas produkts A uz numuru k ir jauna matrica, kuru nosaka likums 
vai .
Par jebkuriem cipariem a Un b un matricas A Un B pastāv šādas vienādības:
Piemēri.
Matricas reizināšana.Šī operācija tiek veikta saskaņā ar īpašu likumu. Pirmkārt, mēs atzīmējam, ka faktoru matricu izmēriem jābūt konsekventiem. Var reizināt tikai tās matricas, kurās pirmās matricas kolonnu skaits sakrīt ar otrās matricas rindu skaitu (t.i., pirmās rindas garums ir vienāds ar otrās kolonnas augstumu). Darbs matricas A nav matrica B sauc par jauno matricu C=AB, kuras elementus veido šādi:
Tā, piemēram, lai iegūtu produktu (t.i., matricā C) elements, kas atrodas 1. rindā un 3. kolonnā no 13, jums ir jāņem 1. rinda 1. matricā, 3. kolonna 2. un pēc tam jāreizina rindas elementi ar atbilstošajiem kolonnas elementiem un jāpievieno iegūtie produkti. Un citus produktu matricas elementus iegūst, izmantojot līdzīgu pirmās matricas rindu un otrās matricas kolonnu reizinājumu.
Kopumā, ja mēs reizinām matricu A = (a ij) Izmērs m× n uz matricu B = (b ij) Izmērs n× lpp, tad mēs iegūstam matricu C Izmērs m× lpp, kuras elementus aprēķina šādi: elements c ij tiek iegūts elementu reizinājuma rezultātā i matricas rinda A uz atbilstošajiem elementiem j matricas kolonna B un to papildinājumi.
No šī noteikuma izriet, ka jūs vienmēr varat reizināt divas vienādas kārtas kvadrātveida matricas, un rezultātā mēs iegūstam tādas pašas kārtas kvadrātmatricu. Jo īpaši kvadrātveida matricu vienmēr var reizināt ar sevi, t.i. kvadrātā.
Vēl viens svarīgs gadījums ir rindu matricas reizināšana ar kolonnu matricu, un pirmās platumam jābūt vienādam ar otrās augstumu, tādējādi iegūstot pirmās kārtas matricu (t.i., vienu elementu). Tiešām,
.
Piemēri.
Tādējādi šie vienkāršie piemēri parāda, ka matricas, vispārīgi runājot, nepārvietojas viena ar otru, t.i. A∙B ≠ B∙A . Tāpēc, reizinot matricas, jums rūpīgi jāuzrauga faktoru secība.
Var pārbaudīt, ka matricas reizināšana pakļaujas asociatīvajiem un sadales likumiem, t.i. (AB)C=A(BC) Un (A+B)C=AC+BC.
To ir viegli pārbaudīt arī, reizinot kvadrātveida matricu A uz identitātes matricu E tādā pašā secībā mēs atkal iegūstam matricu A, un AE=EA=A.
Var atzīmēt šādu interesantu faktu. Kā zināms, 2 nulle neatšķirīgu skaitļu reizinājums nav vienāds ar 0. Matricām tas tā var nebūt, t.i. 2 nulles matricu reizinājums var izrādīties vienāds ar nulles matricu.
Piemēram, Ja 
, Tas
.
DETERMINANTU JĒDZIENS
Dota otrās kārtas matrica - kvadrātveida matrica, kas sastāv no divām rindām un divām kolonnām .
Otrās kārtas noteicējs kas atbilst noteiktai matricai, ir skaitlis, kas iegūts šādi: no 11 līdz 22 līdz 12 līdz 21.
Determinants ir norādīts ar simbolu 
.
Tātad, lai atrastu otrās kārtas determinantu, no galvenās diagonāles elementu reizinājuma ir jāatņem otrās diagonāles elementu reizinājums.
Piemēri. Aprēķināt otrās kārtas determinantus.
Līdzīgi mēs varam apsvērt trešās kārtas matricu un tai atbilstošo determinantu.
Trešās kārtas determinants, kas atbilst noteiktai trešās kārtas kvadrātveida matricai, ir skaitlis, kas apzīmēts un iegūts šādi:
.
Tādējādi šī formula dod trešās kārtas determinanta izvēršanu pirmās rindas elementu izteiksmē 11, 12, 13 un samazina trešās kārtas determinanta aprēķinu uz otrās kārtas determinantu aprēķinu.
Piemēri. Aprēķiniet trešās kārtas determinantu.
Līdzīgi var ieviest determinantu jēdzienus ceturtais, piektais utt. rīkojumus, pazeminot to secību, izvēršot 1. rindas elementos, mainot terminu zīmes “+” un “–”.
Tātad, atšķirībā no matricas, kas ir skaitļu tabula, determinants ir skaitlis, kas noteiktā veidā tiek piešķirts matricai.
Matrica dimensija ir taisnstūra tabula, kas sastāv no elementiem, kas atrodas iekšā m līnijas un n kolonnas.
Matricas elementi (pirmais rādītājs i− rindas numurs, otrais rādītājs j− kolonnas numurs) var būt cipari, funkcijas utt. Matricas apzīmē ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem.
Matricu sauc kvadrāts, ja tajā ir vienāds rindu skaits ar kolonnu skaitu ( m = n). Šajā gadījumā numurs n sauc par matricas secību, un pašu matricu sauc par matricu n-tais pasūtījums.
Elementi ar vienādiem indeksiem 
formā galvenā diagonāle kvadrātveida matrica un elementi (t.i., kuru indeksu summa ir vienāda ar n+1)
− sānu diagonāle.
Viens matrica ir kvadrātveida matrica, kuras visi galvenās diagonāles elementi ir vienādi ar 1, bet pārējie elementi ir vienādi ar 0. To apzīmē ar burtu E.
Nulle matrica− ir matrica, kuras visi elementi ir vienādi ar 0. Nulles matrica var būt jebkura izmēra.
Uz numuru lineāras operācijas ar matricām attiecas:
1) matricas pievienošana;
2) matricu reizināšana ar skaitli.
Matricas pievienošanas operācija ir definēta tikai tādas pašas dimensijas matricām.
Divu matricu summa A Un IN sauc par matricu AR, kuras visi elementi ir vienādi ar atbilstošo matricas elementu summām A Un IN:
.
Matricas produkts A uz numuru k sauc par matricu IN, kuras visi elementi ir vienādi ar atbilstošajiem šīs matricas elementiem A, reizināts ar skaitli k:
Darbība matricas reizināšana tiek ieviests matricām, kas atbilst nosacījumam: pirmās matricas kolonnu skaits ir vienāds ar otrās matricas rindu skaitu.
Matricas produkts A izmēriem uz matricu IN dimensiju sauc par matricu AR izmēri, elements i-th līnija un j kura kolonna ir vienāda ar elementu reizinājumu summu i matricas rinda A uz atbilstošajiem elementiem j matricas kolonna IN:
Matricu reizinājums (atšķirībā no reālo skaitļu reizinājuma) nepakļaujas komutatīvajam likumam, t.i. vispār A IN IN A.
1.2. Noteicošie faktori. Determinantu īpašības
Determinanta jēdziens tiek ieviests tikai kvadrātveida matricām.
Otrās kārtas matricas determinants ir skaitlis, kas aprēķināts saskaņā ar šādu noteikumu
.
3. kārtas matricas determinants 
ir skaitlis, kas aprēķināts saskaņā ar šādu noteikumu:
Pirmais no terminiem ar “+” zīmi ir to elementu reizinājums, kas atrodas matricas galvenajā diagonālē (). Pārējie divi satur elementus, kas atrodas trīsstūru virsotnēs, kuru pamatne ir paralēla galvenajai diagonālei (i). Zīme “-” ietver sekundārās diagonāles () elementu reizinājumus un elementus, kas veido trīsstūrus, kuru pamatnes ir paralēlas šai diagonālei (un).
Šo 3. kārtas determinanta aprēķināšanas noteikumu sauc par trīsstūra likumu (vai Sarrusa likumu).
Determinantu īpašības Apskatīsim 3. kārtas determinantu piemēru.
1. Aizstājot visas determinanta rindas ar kolonnām ar tādiem pašiem numuriem kā rindām, determinants nemaina savu vērtību, t.i. determinanta rindas un kolonnas ir vienādas
.
2. Pārkārtojot divas rindas (kolonnas), determinants maina savu zīmi.
3. Ja visi noteiktas rindas (kolonnas) elementi ir nulles, tad determinants ir 0.
4. Visu rindas (kolonnas) elementu kopējo koeficientu var ņemt ārpus determinanta zīmes.
5. Determinants, kas satur divas identiskas rindas (kolonnas), ir vienāds ar 0.
6. Determinants, kas satur divas proporcionālas rindas (kolonnas), ir vienāds ar nulli.
7. Ja katrs noteiktas determinanta kolonnas (rindas) elements attēlo divu terminu summu, tad determinants ir vienāds ar divu determinantu summu, no kuriem viens satur pirmos vienumus tajā pašā kolonnā (rindā), bet otrs satur otro. Pārējie abu determinantu elementi ir vienādi. Tātad,
.
8. Determinants nemainīsies, ja kādas tās kolonnas (rindas) elementiem pievienos citas kolonnas (rindas) atbilstošos elementus, reizinot ar to pašu skaitli.
Nākamā determinanta īpašība ir saistīta ar minora un algebriskā komplementa jēdzieniem.
Nepilngadīga determinanta elements ir determinants, kas iegūts no dotā, izsvītrojot rindu un kolonnu, kuru krustpunktā šis elements atrodas.
Piemēram, determinanta mazais elements sauc par determinantu.
Algebriskais papildinājums noteicošo elementu sauc par tā minoru, kas reizināts ar, kur i- rindas numurs, j− kolonnas numurs, kuras krustpunktā atrodas elements. Parasti tiek apzīmēts algebriskais papildinājums. 3. kārtas determinantam elementam algebriskais papildinājums
9. Determinants ir vienāds ar jebkuras rindas (kolonnas) elementu reizinājumu summu ar tiem atbilstošajiem algebriskajiem papildinājumiem.
Piemēram, determinantu var izvērst pirmās rindas elementos
,
vai otrā kolonna
To aprēķināšanai tiek izmantotas determinantu īpašības.