Kā noteikt, vai vektori ir lineāri atkarīgi vai neatkarīgi. Vektoru lineārā atkarība

Vektoru lineārā atkarība un lineārā neatkarība.
Vektoru bāze. Afīna koordinātu sistēma

Auditorijā ir rati ar šokolādes konfektēm, un katrs apmeklētājs šodien iegūs saldu pārīti - analītisko ģeometriju ar lineāro algebru. Šajā rakstā vienlaikus tiks apskatītas divas augstākās matemātikas sadaļas, un mēs redzēsim, kā tās pastāv līdzās vienā iesaiņojumā. Paņemiet pārtraukumu, apēdiet Twix! ...sasodīts, kas par muļķībām. Lai gan, labi, es negūšu punktus, galu galā jums vajadzētu būt pozitīvai attieksmei pret studijām.

Vektoru lineārā atkarība, lineārā vektora neatkarība, vektoru bāze un citiem terminiem ir ne tikai ģeometriska interpretācija, bet, galvenais, algebriska nozīme. Pats “vektora” jēdziens no lineārās algebras viedokļa ne vienmēr ir “parastais” vektors, ko mēs varam attēlot plaknē vai telpā. Jums nav tālu jāmeklē pierādījumi, mēģiniet uzzīmēt piecdimensiju telpas vektoru . Vai laika apstākļu vektors, pēc kura tikko devos uz Gismeteo: attiecīgi temperatūra un atmosfēras spiediens. Piemērs, protams, ir nepareizs no vektortelpas īpašību viedokļa, taču, neskatoties uz to, neviens neaizliedz formalizēt šos parametrus kā vektoru. Rudens elpa...

Nē, es netaisos jūs garlaikot ar teoriju, lineārām vektortelpām, uzdevums ir saprast definīcijas un teorēmas. Jaunie termini (lineārā atkarība, neatkarība, lineārā kombinācija, bāze u.c.) attiecas uz visiem vektoriem no algebriskā viedokļa, bet tiks doti ģeometriskie piemēri. Tādējādi viss ir vienkāršs, pieejams un skaidrs. Papildus analītiskās ģeometrijas problēmām mēs apsvērsim arī dažas tipiskas algebras problēmas. Lai apgūtu materiālu, ieteicams iepazīties ar nodarbībām Manekenu vektori Un Kā aprēķināt determinantu?

Plaknes vektoru lineārā atkarība un neatkarība.
Plaknes bāze un afīnu koordinātu sistēma

Apskatīsim jūsu datora galda plakni (tikai galds, naktsgaldiņš, grīda, griesti, kas jums patīk). Uzdevums sastāvēs no šādām darbībām:

1) Izvēlieties plaknes bāzi. Aptuveni runājot, galda virsmai ir garums un platums, tāpēc ir intuitīvi, ka pamata izveidošanai būs nepieciešami divi vektori. Ar vienu vektoru nepārprotami nepietiek, ar trim vektoriem ir par daudz.

2) Pamatojoties uz izvēlēto pamatu iestatīt koordinātu sistēmu(koordinātu režģis), lai piešķirtu koordinātas visiem objektiem tabulā.

Nebrīnieties, sākumā skaidrojumi būs uz pirkstiem. Turklāt uz jūsu. Lūdzu, novietojiet kreisais rādītājpirksts uz galda virsmas, lai viņš skatītos uz monitoru. Tas būs vektors. Tagad vieta labais mazais pirksts uz galda malas tādā pašā veidā - tā, lai tas būtu vērsts uz monitora ekrānu. Tas būs vektors. Pasmaidi, tu izskaties lieliski! Ko mēs varam teikt par vektoriem? Datu vektori kolineārs, kas nozīmē lineārs izteikti viens ar otru:
, labi vai otrādi: , kur kāds skaitlis atšķiras no nulles.

Šīs darbības attēlu varat redzēt klasē. Manekenu vektori, kur es izskaidroju noteikumu vektora reizināšanai ar skaitli.

Vai jūsu pirksti noliks pamatu datora galda plaknē? Acīmredzot nē. Kolineārie vektori pārvietojas uz priekšu un atpakaļ šķērsām vienatnē virzienā, un plaknei ir garums un platums.

Tādus vektorus sauc lineāri atkarīgi.

Atsauce: Vārdi “lineāri”, “lineāri” apzīmē faktu, ka matemātiskajos vienādojumos un izteiksmēs nav kvadrātu, kubu, citu pakāpju, logaritmu, sinusu utt. Ir tikai lineāras (1. pakāpes) izteiksmes un atkarības.

Divi plaknes vektori lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja tie ir kolineāri.

Sakrustiet pirkstus uz galda tā, lai starp tiem būtu kāds leņķis, kas nav 0 vai 180 grādi. Divi plaknes vektorilineārs Nav atkarīgi tad un tikai tad, ja tie nav kolineāri. Tātad pamats ir iegūts. Nav jākaunas, ka bāze izrādījās “šķība” ar dažāda garuma neperpendikulāriem vektoriem. Pavisam drīz redzēsim, ka tā uzbūvei ir piemērots ne tikai 90 grādu leņķis, bet ne tikai vienāda garuma vienību vektori

Jebkurš plaknes vektors vienīgais ceļš tiek paplašināts saskaņā ar pamatu:
, kur ir reālie skaitļi. Tiek izsaukti numuri vektora koordinātasšajā pamatā.

Runā arī, ka vektorspasniegts kā lineāra kombinācija bāzes vektori. Tas ir, izteiksme tiek saukta vektoru dekompozīcijapēc pamata vai lineāra kombinācija bāzes vektori.

Piemēram, mēs varam teikt, ka vektors ir sadalīts pa plaknes ortonormālo bāzi, vai arī mēs varam teikt, ka tas ir attēlots kā lineāra vektoru kombinācija.

Formulēsim pamata definīcija formāli: Lidmašīnas pamats sauc par lineāri neatkarīgu (nekolineāru) vektoru pāri, , kurā jebkura plaknes vektors ir lineāra bāzes vektoru kombinācija.

Būtisks definīcijas punkts ir fakts, ka tiek ņemti vektori noteiktā secībā. Bāzes – tās ir divas pilnīgi atšķirīgas bāzes! Kā saka, kreisās rokas mazo pirkstiņu nevar aizstāt labās rokas mazā pirkstiņa vietā.

Mēs esam izdomājuši pamatu, taču ar to nepietiek, lai iestatītu koordinātu režģi un piešķirtu koordinātas katram datora galda vienumam. Kāpēc ar to nepietiek? Vektori ir brīvi un klīst pa visu plakni. Tātad, kā piešķirt koordinātas tiem mazajiem netīrajiem plankumiem uz galda, kas palikuši pāri pēc mežonīgas nedēļas nogales? Ir nepieciešams sākuma punkts. Un šāds orientieris ir visiem pazīstams punkts - koordinātu izcelsme. Sapratīsim koordinātu sistēmu:

Sākšu ar “skolas” sistēmu. Jau ievadstundā Manekenu vektori Es uzsvēru dažas atšķirības starp taisnstūra koordinātu sistēmu un ortonormālo bāzi. Šeit ir standarta attēls:

Kad viņi runā par taisnstūra koordinātu sistēma, tad visbiežāk tie nozīmē izcelsmi, koordinātu asis un mērogu gar asīm. Mēģiniet meklētājā ierakstīt "taisnstūra koordinātu sistēma", un jūs redzēsiet, ka daudzi avoti jums pastāstīs par koordinātu asīm, kas pazīstamas no 5. līdz 6. klasei, un to, kā attēlot punktus plaknē.

No otras puses, šķiet, ka taisnstūrveida koordinātu sistēmu var pilnībā definēt ortonormālās bāzes izteiksmē. Un tā ir gandrīz taisnība. Formulējums ir šāds:

izcelsmi, Un ortonormāls ir noteikts pamats Dekarta taisnstūra plaknes koordinātu sistēma . Tas ir, taisnstūra koordinātu sistēma noteikti ir definēts ar vienu punktu un diviem ortogonāliem vektoriem. Tāpēc jūs redzat zīmējumu, ko es sniedzu iepriekš - ģeometriskos uzdevumos bieži (bet ne vienmēr) tiek zīmēti gan vektori, gan koordinātu asis.

Es domāju, ka visi to saprot, izmantojot punktu (izcelsmi) un ortonormālo bāzi JEBKURS PUNKTS lidmašīnā un JEBKURS VEKTORS lidmašīnā var piešķirt koordinātas. Tēlaini izsakoties, "visu lidmašīnā var numurēt."

Vai koordinātu vektoriem ir jābūt vienībām? Nē, tiem var būt patvaļīgs garums, kas atšķiras no nulles. Apsveriet punktu un divus ortogonālus vektorus ar patvaļīgu garumu, kas nav nulle:

Tādu pamatu sauc ortogonāls. Koordinātu izcelsmi ar vektoriem nosaka koordinātu režģis, un jebkuram plaknes punktam, jebkuram vektoram ir savas koordinātes noteiktā bāzē. Piemēram, vai. Acīmredzamā neērtība ir tā, ka koordinātu vektori vispār ir dažādi garumi, izņemot vienotību. Ja garumi ir vienādi ar vienību, tad iegūst parasto ortonormālo bāzi.

! Piezīme : ortogonālajā bāzē, kā arī zemāk plaknes un telpas afīnās bāzēs tiek ņemtas vērā vienības gar asīm NOSACĪJUMI. Piemēram, viena vienība pa x asi satur 4 cm, bet viena vienība pa ordinātu asi satur 2 cm. Ar šo informāciju pietiek, lai nepieciešamības gadījumā “nestandarta” koordinātas pārvērstu “mūsu parastajos centimetros”.

Un otrs jautājums, uz kuru faktiski jau ir atbildēts, vai leņķim starp bāzes vektoriem jābūt vienādam ar 90 grādiem? Nē! Kā teikts definīcijā, bāzes vektoriem jābūt tikai nekolineārs. Attiecīgi leņķis var būt jebkas, izņemot 0 un 180 grādus.

Punkts lidmašīnā sauca izcelsmi, Un nekolineārs vektori, , komplekts afīnās plaknes koordinātu sistēma :

Dažreiz šādu koordinātu sistēmu sauc slīpi sistēma. Kā piemērus zīmējumā ir parādīti punkti un vektori:

Kā jūs saprotat, afīna koordinātu sistēma ir vēl mazāk ērta; vektoru un segmentu garumu formulas, kuras mēs apspriedām nodarbības otrajā daļā, tajā nedarbojas Manekenu vektori, daudzas gardas formulas, kas saistītas ar vektoru skalārais reizinājums. Bet ir spēkā noteikumi par vektoru pievienošanu un vektora reizināšanu ar skaitli, formulas segmenta dalīšanai šajā saistībā, kā arī daži citi problēmu veidi, kurus mēs drīz apsvērsim.

Un secinājums ir tāds, ka ērtākais afīnās koordinātu sistēmas īpašais gadījums ir Dekarta taisnstūrveida sistēma. Tāpēc tev viņa visbiežāk ir jāredz, mans dārgais. ...Tomēr viss šajā dzīvē ir relatīvs - ir daudzas situācijas, kurās slīps leņķis (vai kāds cits, piemēram, polārais) koordinātu sistēma. Un humanoīdiem varētu patikt šādas sistēmas =)

Pārejam uz praktisko daļu. Visas šīs nodarbības problēmas ir derīgas gan taisnstūra koordinātu sistēmai, gan vispārējam afīnam. Šeit nav nekā sarežģīta, viss materiāls ir pieejams pat skolēnam.

Kā noteikt plaknes vektoru kolinearitāti?

Tipiska lieta. Lai divi plaknes vektori ir kolineāras, ir nepieciešams un pietiekami, lai to atbilstošās koordinātas būtu proporcionālas Būtībā šī ir acīmredzamo attiecību detalizēta informācija par katru koordinātu.

1. piemērs

a) Pārbaudiet, vai vektori ir kolineāri .
b) Vai vektori veido pamatu? ?

Risinājums:
a) Noskaidrosim, vai ir vektoriem proporcionalitātes koeficients, lai vienādības būtu izpildītas:

Es noteikti pastāstīšu par šī noteikuma piemērošanas “nepatīkamo” versiju, kas praksē darbojas diezgan labi. Ideja ir nekavējoties izveidot proporciju un pārbaudīt, vai tā ir pareiza:

Izveidosim proporciju no vektoru atbilstošo koordinātu attiecībām:

Saīsināsim:
, tādējādi atbilstošās koordinātas ir proporcionālas, tāpēc

Attiecības var izveidot otrādi; šī ir līdzvērtīga iespēja:

Pašpārbaudei varat izmantot faktu, ka kolineārie vektori tiek lineāri izteikti viens caur otru. Šajā gadījumā notiek vienādības . To derīgumu var viegli pārbaudīt, veicot elementāras darbības ar vektoriem:

b) Divi plaknes vektori veido pamatu, ja tie nav kolineāri (lineāri neatkarīgi). Mēs pārbaudām vektoru kolinearitāti . Izveidosim sistēmu:

No pirmā vienādojuma izriet, ka no otrā vienādojuma izriet, ka , kas nozīmē sistēma ir nekonsekventa(nav risinājumu). Tādējādi atbilstošās vektoru koordinātas nav proporcionālas.

Secinājums: vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.

Vienkāršota risinājuma versija izskatās šādi:

Izveidosim proporciju no atbilstošām vektoru koordinātām :
, kas nozīmē, ka šie vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.

Parasti šo iespēju recenzenti nenoraida, taču problēma rodas gadījumos, kad dažas koordinātas ir vienādas ar nulli. Kā šis: . Vai arī šādi: . Vai arī šādi: . Kā šeit izmantot proporcijas? (patiesi, jūs nevarat dalīt ar nulli). Šī iemesla dēļ es nosaucu vienkāršoto risinājumu par “foppish”.

Atbilde: a) , b) forma.

Neliels radošs piemērs jūsu risinājumam:

2. piemērs

Pie kādas parametra vērtības atrodas vektori vai tie būs kolineāri?

Parauga risinājumā parametrs tiek atrasts caur proporciju.

Ir elegants algebrisks veids, kā pārbaudīt vektoru kolinearitāti. Sistematizēsim savas zināšanas un pievienosim tās kā piekto punktu:

Diviem plaknes vektoriem šādi apgalvojumi ir līdzvērtīgi:

2) vektori veido pamatu;
3) vektori nav kolineāri;

+ 5) determinants, kas sastāv no šo vektoru koordinātām, nav nulle.

Respektīvi, sekojošie pretējie apgalvojumi ir līdzvērtīgi:
1) vektori ir lineāri atkarīgi;
2) vektori neveido bāzi;
3) vektori ir kolineāri;
4) vektori var būt lineāri izteikti viens caur otru;
+ 5) determinants, kas sastāv no šo vektoru koordinātām, ir vienāds ar nulli.

Es ļoti, ļoti ceru, ka tagad jūs jau saprotat visus terminus un apgalvojumus, ar kuriem esat saskāries.

Apskatīsim tuvāk jauno, piekto punktu: divi plaknes vektori ir kolineāri tad un tikai tad, ja determinants, kas sastāv no doto vektoru koordinātām, ir vienāds ar nulli:. Lai lietotu šo funkciju, protams, jums tas ir jāspēj atrast noteicošos faktorus.

Izlemsim 1. piemērs otrajā veidā:

a) Aprēķināsim determinantu, ko veido vektoru koordinātas :
, kas nozīmē, ka šie vektori ir kolineāri.

b) Divi plaknes vektori veido pamatu, ja tie nav kolineāri (lineāri neatkarīgi). Aprēķināsim determinantu, ko veido vektora koordinātas :
, kas nozīmē, ka vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.

Atbilde: a) , b) forma.

Tas izskatās daudz kompaktāks un glītāks nekā risinājums ar proporcijām.

Ar aplūkotā materiāla palīdzību ir iespējams konstatēt ne tikai vektoru kolinearitāti, bet arī pierādīt nogriežņu un taisnes paralēlismu. Apskatīsim dažas problēmas ar konkrētām ģeometriskām formām.

3. piemērs

Ir dotas četrstūra virsotnes. Pierādīt, ka četrstūris ir paralelograms.

Pierādījums: Problēmā nav jāveido zīmējums, jo risinājums būs tīri analītisks. Atcerēsimies paralelograma definīciju:
Paralelogramma Tiek saukts četrstūris, kura pretējās malas ir paralēlas pa pāriem.

Tādējādi ir jāpierāda:
1) pretējo malu paralēlisms un;
2) pretējo malu paralēlisms un.

Mēs pierādam:

1) Atrodiet vektorus:

2) Atrodiet vektorus:

Rezultāts ir vienāds vektors (“saskaņā ar skolu” – vienādi vektori). Kolinearitāte ir diezgan acīmredzama, taču labāk ir skaidri noformēt lēmumu ar vienošanos. Aprēķināsim determinantu, ko veido vektora koordinātas:
, kas nozīmē, ka šie vektori ir kolineāri, un .

Secinājums: Četrstūra pretējās malas ir paralēlas pa pāriem, kas nozīmē, ka tas pēc definīcijas ir paralelograms. Q.E.D.

Vairāk labu un dažādu figūru:

4. piemērs

Ir dotas četrstūra virsotnes. Pierādīt, ka četrstūris ir trapece.

Stingrākai pierādījuma formulēšanai, protams, labāk ir iegūt trapeces definīciju, taču pietiek tikai atcerēties, kā tas izskatās.

Šis ir uzdevums, kas jums jāatrisina pašam. Pilns risinājums nodarbības beigās.

Un tagad ir pienācis laiks lēnām pāriet no lidmašīnas kosmosā:

Kā noteikt telpas vektoru kolinearitāti?

Noteikums ir ļoti līdzīgs. Lai divi telpas vektori būtu kolineāri, ir nepieciešams un pietiekami, lai to atbilstošās koordinātas būtu proporcionālas.

5. piemērs

Uzziniet, vai šādi telpas vektori ir kolineāri:

A) ;
b)
V)

Risinājums:
a) Pārbaudīsim, vai attiecīgajām vektoru koordinātām ir proporcionalitātes koeficients:

Sistēmai nav risinājuma, kas nozīmē, ka vektori nav kolineāri.

“Vienkāršots” tiek formalizēts, pārbaudot proporciju. Šajā gadījumā:
– atbilstošās koordinātas nav proporcionālas, kas nozīmē, ka vektori nav kolineāri.

Atbilde: vektori nav kolineāri.

b-c) Tie ir punkti neatkarīgam lēmumam. Izmēģiniet to divos veidos.

Ir metode telpisko vektoru kolinearitātes pārbaudei, izmantojot trešās kārtas determinantu; šī metode ir apskatīta rakstā. Vektoru vektorreizinājums.

Līdzīgi kā plaknes gadījumā aplūkotos rīkus var izmantot, lai pētītu telpisko segmentu un taisnu līniju paralēlismu.

Laipni lūdzam otrajā sadaļā:

Vektoru lineārā atkarība un neatkarība trīsdimensiju telpā.
Telpiskā bāze un afīnu koordinātu sistēma

Daudzi modeļi, kurus mēs pārbaudījām lidmašīnā, būs derīgi kosmosam. Es mēģināju samazināt teorijas piezīmes, jo lielākā daļa informācijas jau ir sakošļāta. Tomēr iesaku rūpīgi izlasīt ievaddaļu, jo parādīsies jauni termini un jēdzieni.

Tagad datora galda plaknes vietā mēs pētām trīsdimensiju telpu. Pirmkārt, izveidosim tā pamatu. Kāds tagad atrodas telpās, kāds ir ārā, bet jebkurā gadījumā mēs nevaram izvairīties no trim dimensijām: platums, garums un augstums. Tāpēc, lai izveidotu bāzi, būs nepieciešami trīs telpiskie vektori. Ar vienu vai diviem vektoriem nepietiek, ceturtais ir lieks.

Un atkal sasildāmies uz pirkstiem. Lūdzu, paceliet roku uz augšu un izklājiet to dažādos virzienos īkšķi, rādītājpirkstu un vidējo pirkstu. Tie būs vektori, tie skatās dažādos virzienos, tiem ir dažādi garumi un dažādi leņķi savā starpā. Apsveicam, trīsdimensiju telpas pamats ir gatavs! Starp citu, tas nav jādemonstrē skolotājiem, lai kā tu locītu pirkstus, bet no definīcijām nekur neizbēgt =)

Tālāk uzdosim sev svarīgu jautājumu: vai kādi trīs vektori veido trīsdimensiju telpas pamatu? Lūdzu, stingri piespiediet trīs pirkstus datora galda augšpusē. Kas notika? Trīs vektori atrodas vienā plaknē, un, rupji sakot, mēs esam zaudējuši vienu no dimensijām - augstumu. Šādi vektori ir koplanārs un, ir pilnīgi skaidrs, ka trīsdimensiju telpas pamats nav radīts.

Jāatzīmē, ka koplanāriem vektoriem nav jāatrodas vienā plaknē, tie var būt paralēlās plaknēs (tikai nedariet to ar pirkstiem, to izdarīja tikai Salvadors Dalī =)).

Definīcija: tiek saukti vektori koplanārs, ja ir plakne, kurai tie ir paralēli. Šeit ir loģiski piebilst, ka, ja šādas plaknes nav, tad vektori nebūs koplanāri.

Trīs koplanāri vektori vienmēr ir lineāri atkarīgi, tas ir, tie ir lineāri izteikti viens caur otru. Vienkāršības labad iedomāsimies vēlreiz, ka tie atrodas vienā plaknē. Pirmkārt, vektori ir ne tikai koplanāri, tie var būt arī kolineāri, tad jebkuru vektoru var izteikt caur jebkuru vektoru. Otrajā gadījumā, ja, piemēram, vektori nav kolineāri, tad trešais vektors caur tiem tiek izteikts unikālā veidā: (un kāpēc to ir viegli uzminēt no iepriekšējās sadaļas materiāliem).

Arī otrādi ir taisnība: trīs nekopplanāri vektori vienmēr ir lineāri neatkarīgi, tas ir, tie nekādā veidā netiek izteikti viens ar otru. Un, protams, tikai šādi vektori var veidot trīsdimensiju telpas pamatu.

Definīcija: Trīsdimensiju telpas pamats sauc par lineāri neatkarīgu (ne-kopplanāru) vektoru trīskāršu, pieņemts noteiktā secībā, un jebkurš telpas vektors vienīgais ceļš ir sadalīts noteiktā bāzē, kur ir vektora koordinātas šajā bāzē

Atgādināšu, ka var arī teikt, ka vektors ir attēlots formā lineāra kombinācija bāzes vektori.

Koordinātu sistēmas jēdziens tiek ieviests tieši tādā pašā veidā kā plaknes gadījumā; pietiek ar vienu punktu un jebkuriem trim lineāri neatkarīgiem vektoriem:

izcelsmi, Un ne-kopplanārs vektori, pieņemts noteiktā secībā, komplekts trīsdimensiju telpas afīna koordinātu sistēma :

Protams, koordinātu režģis ir “slīps” un neērts, bet tomēr izveidotā koordinātu sistēma ļauj mums noteikti noteikt jebkura vektora koordinātas un jebkura telpas punkta koordinātas. Līdzīgi kā plaknē, dažas formulas, kuras jau minēju, nedarbosies telpas afīnās koordinātu sistēmā.

Vispazīstamākais un ērtākais afīnās koordinātu sistēmas īpašais gadījums, kā visi uzminē, ir taisnstūra telpas koordinātu sistēma:

Punkts telpā, ko sauc izcelsmi, Un ortonormāls ir noteikts pamats Dekarta taisnstūra telpas koordinātu sistēma . Pazīstams attēls:

Pirms pāriet pie praktiskiem uzdevumiem, vēlreiz sistematizējam informāciju:

Trīs telpas vektoriem šādi apgalvojumi ir līdzvērtīgi:
1) vektori ir lineāri neatkarīgi;
2) vektori veido pamatu;
3) vektori nav koplanāri;
4) vektorus nevar lineāri izteikt viens caur otru;
5) determinants, kas sastāv no šo vektoru koordinātām, atšķiras no nulles.

Manuprāt, ir saprotami pretēji apgalvojumi.

Telpas vektoru lineāro atkarību/neatkarību tradicionāli pārbauda, ​​izmantojot determinantu (5. punkts). Atlikušie praktiskie uzdevumi būs izteikti algebriska rakstura. Ir pienācis laiks nolikt ģeometrijas nūju un vadīt lineārās algebras beisbola nūju:

Trīs telpas vektori ir koplanāri tad un tikai tad, ja determinants, kas sastāv no doto vektoru koordinātām, ir vienāds ar nulli: .

Vēlos vērst jūsu uzmanību uz nelielu tehnisku niansi: vektoru koordinātas var rakstīt ne tikai kolonnās, bet arī rindās (determinanta vērtība tāpēc nemainīsies - skatiet determinantu īpašības). Bet tas ir daudz labāk kolonnās, jo tas ir izdevīgāk dažu praktisku problēmu risināšanai.

Tiem lasītājiem, kuri ir nedaudz aizmirsuši determinantu aprēķināšanas metodes vai, iespējams, tos vispār maz saprot, iesaku vienu no savām vecākajām nodarbībām: Kā aprēķināt determinantu?

6. piemērs

Pārbaudiet, vai trīsdimensiju telpas pamatā ir šādi vektori:

Risinājums: Patiesībā viss risinājums ir determinanta aprēķināšana.

a) Aprēķināsim determinantu, ko veido vektora koordinātas (determinants tiek atklāts pirmajā rindā):

, kas nozīmē, ka vektori ir lineāri neatkarīgi (nav koplanāri) un veido trīsdimensiju telpas pamatu.

Atbilde: šie vektori veido pamatu

b) Šis ir neatkarīga lēmuma punkts. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ir arī radoši uzdevumi:

7. piemērs

Pie kādas parametra vērtības vektori būs koplanāri?

Risinājums: Vektori ir vienādi tad un tikai tad, ja determinants, kas sastāv no šo vektoru koordinātām, ir vienāds ar nulli:

Būtībā jums ir jāatrisina vienādojums ar determinantu. Mēs sitamies uz nullēm kā pūķi uz jerboas — vislabāk ir atvērt noteicēju otrajā rindā un nekavējoties atbrīvoties no mīnusiem:

Mēs veicam turpmākus vienkāršojumus un reducējam jautājumu līdz vienkāršākajam lineārajam vienādojumam:

Atbilde: plkst

Šeit to ir viegli pārbaudīt; lai to izdarītu, iegūtā vērtība ir jāaizstāj ar sākotnējo determinantu un jāpārliecinās, ka , atverot to vēlreiz.

Noslēgumā apskatīsim vēl vienu tipisku problēmu, kurai ir vairāk algebrisks raksturs un kas tradicionāli tiek iekļauta lineārās algebras kursā. Tas ir tik izplatīts, ka ir pelnījis savu tēmu:

Pierādīt, ka 3 vektori veido trīsdimensiju telpas pamatu
un atrodiet šajā bāzē 4. vektora koordinātas

8. piemērs

Ir doti vektori. Parādiet, ka vektori veido pamatu trīsdimensiju telpā, un atrodiet vektora koordinātas šajā bāzē.

Risinājums: Pirmkārt, aplūkosim nosacījumu. Pēc nosacījuma ir doti četri vektori, un, kā redzat, tiem jau ir zināmas koordinātas. Kas ir šis pamats, mūs neinteresē. Un interesants ir sekojošais: trīs vektori var izveidot jaunu pamatu. Un pirmais posms pilnībā sakrīt ar 6. piemēra risinājumu; ir jāpārbauda, ​​vai vektori patiešām ir lineāri neatkarīgi:

Aprēķināsim determinantu, ko veido vektora koordinātas:

, kas nozīmē, ka vektori ir lineāri neatkarīgi un veido trīsdimensiju telpas pamatu.

! Svarīgs : vektora koordinātas Obligāti pierakstīt kolonnās determinants, nevis virknēs. Pretējā gadījumā turpmākajā risinājuma algoritmā radīsies neskaidrības.

Vektoru sistēmu sauc lineāri atkarīgi, ja ir skaitļi, starp kuriem vismaz viens atšķiras no nulles, lai vienādība https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ">.

Ja šī vienādība ir izpildīta tikai tad, ja visi , tad tiek izsaukta vektoru sistēma lineāri neatkarīgs.

Teorēma. Vektoru sistēma būs lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja vismaz viens no tā vektoriem ir pārējo lineāra kombinācija.

1. piemērs. Polinoms ir lineāra polinomu kombinācija https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomi veido lineāri neatkarīgu sistēmu, jo polinoms https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

2. piemērs. Matricas sistēma , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> ir lineāri neatkarīga, jo lineāra kombinācija ir vienāda ar nulles matrica tikai gadījumā, ja https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineāri atkarīgs.

Risinājums.

Izveidosim šo vektoru lineāru kombināciju https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" augstums = 22">.

Pielīdzinot vienādas vektoru koordinātas, mēs iegūstam https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Beidzot saņemam

Un

Sistēmai ir unikāls triviāls risinājums, tāpēc šo vektoru lineāra kombinācija ir vienāda ar nulli tikai tad, ja visi koeficienti ir vienādi ar nulli. Tāpēc šī vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.

4. piemērs. Vektori ir lineāri neatkarīgi. Kādas būs vektoru sistēmas?

a).;

b).?

Risinājums.

a). Izveidosim lineāru kombināciju un pielīdzināsim to nullei

Izmantojot operāciju īpašības ar vektoriem lineārajā telpā, formā pārrakstām pēdējo vienādību

Tā kā vektori ir lineāri neatkarīgi, koeficientiem pie ir jābūt vienādiem ar nulli, t.i..gif" width="12" height="23 src=">

Iegūtajai vienādojumu sistēmai ir unikāls triviāls risinājums .

Kopš vienlīdzības (*) izpildīts tikai tad, ja https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> — lineāri neatkarīgs;

b). Izveidosim vienādību https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Izmantojot līdzīgu argumentāciju, mēs iegūstam

Atrisinot vienādojumu sistēmu ar Gausa metodi, iegūstam

vai

Pēdējā sistēmā ir bezgalīgs skaits risinājumu https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Tādējādi pastāv ne- nulles koeficientu kopa, kurai ir vienādība (**) . Tāpēc vektoru sistēma – lineāri atkarīgi.

5. piemērs Vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, un vektoru sistēma ir lineāri atkarīga..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Vienlīdzībā (***) . Patiešām, pie , sistēma būtu lineāri atkarīga.

No attiecībām (***) mēs saņemam vai Apzīmēsim .

Mēs saņemam

Problēmas patstāvīgam risinājumam (klasē)

1. Sistēma, kas satur nulles vektoru, ir lineāri atkarīga.

2. Sistēma, kas sastāv no viena vektora A, ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, a=0.

3. Sistēma, kas sastāv no diviem vektoriem, ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja vektori ir proporcionāli (tas ir, vienu no tiem iegūst no otra, reizinot ar skaitli).

4. Ja lineāri atkarīgai sistēmai pievienojat vektoru, iegūstat lineāri atkarīgu sistēmu.

5. Ja vektoru noņem no lineāri neatkarīgas sistēmas, tad iegūtā vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.

6. Ja sistēma S ir lineāri neatkarīgs, bet, pievienojot vektoru, kļūst lineāri atkarīgs b, tad vektors b lineāri izteikts ar sistēmas vektoriem S.

c). Matricu sistēma , , otrās kārtas matricu telpā.

10. Ļaujiet vektoru sistēmai a,b,c vektora telpa ir lineāri neatkarīga. Pierādiet šādu vektoru sistēmu lineāro neatkarību:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– patvaļīgs skaitlis

c).a+b, a+c, b+c.

11. Ļaujiet a,b,c– trīs vektori uz plaknes, no kuriem var izveidot trīsstūri. Vai šie vektori būs lineāri atkarīgi?

12. Ir doti divi vektori a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Atrodiet vēl divus četrdimensiju vektorus a3 una4 lai sistēma a1,a2,a3,a4 bija lineāri neatkarīgs .

Šajā rakstā mēs apskatīsim:

• kas ir kolineārie vektori;
• kādi ir vektoru kolinearitātes nosacījumi;
• kādas kolineāro vektoru īpašības pastāv;
• kāda ir kolineāro vektoru lineārā atkarība.

Kolineārie vektori ir vektori, kas ir paralēli vienai taisnei vai atrodas uz vienas taisnes.

1. piemērs

Nosacījumi vektoru kolinearitātei

Divi vektori ir kolineāri, ja ir spēkā kāds no šiem nosacījumiem:

• nosacījums 1 . Vektori a un b ir kolineāri, ja ir tāds skaitlis λ, ka a = λ b;
• 2. nosacījums . Vektori a un b ir kolineāri ar vienādām koordinātu attiecībām:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• 3. nosacījums . Vektori a un b ir kolineāri, ja krustreizinājums un nulles vektors ir vienādi:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

1. piezīme

2. nosacījums nav piemērojams, ja viena no vektora koordinātām ir nulle.

2. piezīme

3. nosacījums attiecas tikai uz tiem vektoriem, kas ir norādīti telpā.

Problēmu piemēri vektoru kolinearitātes pētīšanai

Mēs pārbaudām vektoru a = (1; 3) un b = (2; 1) kolinearitāti.

Kā atrisināt?

Šajā gadījumā ir nepieciešams izmantot 2. kolinearitātes nosacījumu. Dotiem vektoriem tas izskatās šādi:

Vienlīdzība ir nepatiesa. No tā mēs varam secināt, ka vektori a un b nav kolineāri.

Atbilde : a | | b

2. piemērs

Kāda vektora a = (1; 2) un b = (- 1; m) vērtība m ir nepieciešama, lai vektori būtu kolineāri?

Kā atrisināt?

Izmantojot otro kolinearitātes nosacījumu, vektori būs kolineāri, ja to koordinātas ir proporcionālas:

Tas parāda, ka m = - 2.

Atbilde: m = -2.

Vektoru sistēmu lineārās atkarības un lineārās neatkarības kritēriji

Vektoru sistēma vektoru telpā ir lineāri atkarīga tikai tad, ja vienu no sistēmas vektoriem var izteikt ar šīs sistēmas atlikušajiem vektoriem.

Pierādījums

Ļaujiet sistēmai e 1 , e 2 , . . . , e n ir lineāri atkarīgs. Uzrakstīsim šīs sistēmas lineāru kombināciju, kas vienāda ar nulles vektoru:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

kurā vismaz viens no kombinācijas koeficientiem nav vienāds ar nulli.

Ļaujiet a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Mēs sadalām abas vienādības puses ar koeficientu, kas nav nulle:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Apzīmēsim:

A k - 1 a m , kur m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Šajā gadījumā:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

vai e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

No tā izriet, ka viens no sistēmas vektoriem tiek izteikts caur visiem pārējiem sistēmas vektoriem. Kas ir tas, kas bija jāpierāda (utt.).

Atbilstība

Lai viens no vektoriem ir lineāri izteikts caur visiem pārējiem sistēmas vektoriem:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Mēs pārvietojam vektoru e k uz šīs vienādības labo pusi:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Tā kā vektora e k koeficients ir vienāds ar -1 ≠ 0, mēs iegūstam netriviālu nulles attēlojumu ar vektoru sistēmu e 1, e 2, . . . , e n , un tas savukārt nozīmē, ka šī vektoru sistēma ir lineāri atkarīga. Kas ir tas, kas bija jāpierāda (utt.).

Sekas:

• Vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, ja nevienu no tās vektoriem nevar izteikt ar visiem citiem sistēmas vektoriem.
• Vektoru sistēma, kas satur nulles vektoru vai divus vienādus vektorus, ir lineāri atkarīga.

Lineāri atkarīgo vektoru īpašības

1. Divdimensiju un trīsdimensiju vektoriem ir izpildīts šāds nosacījums: divi lineāri atkarīgi vektori ir kolineāri. Divi kolineārie vektori ir lineāri atkarīgi.
2. Trīsdimensiju vektoriem ir izpildīts šāds nosacījums: trīs lineāri atkarīgi vektori ir koplanāri. (3 koplanārie vektori ir lineāri atkarīgi).
3. N-dimensiju vektoriem ir izpildīts šāds nosacījums: n + 1 vektori vienmēr ir lineāri atkarīgi.

Piemēri problēmu risināšanai, kas saistītas ar vektoru lineāro atkarību vai lineāro neatkarību

Pārbaudīsim vektoru a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 lineāro neatkarību.

Risinājums. Vektori ir lineāri atkarīgi, jo vektoru izmērs ir mazāks par vektoru skaitu.

4. piemērs

Pārbaudīsim vektoru a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 lineāro neatkarību.

Risinājums. Mēs atrodam koeficientu vērtības, pie kurām lineārā kombinācija būs vienāda ar nulles vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Mēs rakstām vektora vienādojumu lineārā formā:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Mēs atrisinām šo sistēmu, izmantojot Gausa metodi:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

No 2. rindas atņemam 1., no 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

No 1. rindas atņemam 2., 3. pievienojam 2.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

No risinājuma izriet, ka sistēmai ir daudz risinājumu. Tas nozīmē, ka pastāv tādu skaitļu x 1, x 2, x 3 vērtību kombinācija, kas nav vienāda ar nulli, kurām a, b, c lineārā kombinācija ir vienāda ar nulles vektoru. Tāpēc vektori a, b, c ir lineāri atkarīgi. ​​​​​​​

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Ļaujiet L ir patvaļīga lineāra telpa, a i Î L,- tā elementi (vektori).

Definīcija 3.3.1. Izteiksme , Kur, - patvaļīgi reāli skaitļi, ko sauc par lineāru kombināciju vektori a 1 , a 2 ,…, a n.

Ja vektors R = , tad viņi tā saka R sadalās vektoros a 1 , a 2 ,…, a n.

Definīcija 3.3.2. Tiek saukta lineāra vektoru kombinācija nav triviāls, ja starp skaitļiem ir vismaz viens, kas nav nulle. Pretējā gadījumā tiek saukta lineārā kombinācija triviāls.

3. definīcija.3.3 . Vektori a 1 , a 2 ,…, a n tiek saukti par lineāri atkarīgiem, ja pastāv netriviāla to lineāra kombinācija

= 0 .

3. definīcija.3.4. Vektori a 1 , a 2 ,…, a n tiek saukti par lineāri neatkarīgiem, ja vienādība = 0 ir iespējama tikai tad, ja visi skaitļi l 1, l 2,…, l n vienlaikus ir vienādi ar nulli.

Ņemiet vērā, ka jebkuru elementu, kas nav nulle a 1, var uzskatīt par lineāri neatkarīgu sistēmu, jo vienādība l a 1 = 0 iespējams tikai tad, ja l= 0.

Teorēma 3.3.1. Nepieciešams un pietiekams nosacījums lineārajai atkarībai a 1 , a 2 ,…, a n ir iespēja sadalīt vismaz vienu no šiem elementiem pārējos.

Pierādījums. Nepieciešamība. Ļaujiet elementiem a 1 , a 2 ,…, a n lineāri atkarīgi. Tas nozīmē, ka = 0 , un vismaz viens no cipariem l 1, l 2,…, l n atšķiras no nulles. Ļaujiet skaidrībai l 1 ¹ 0. Tad

t.i., elements a 1 tiek sadalīts elementos a 2 , a 3 , …, a n.

Atbilstība. Ļaujiet elementu a 1 sadalīt elementos a 2 , a 3 , …, a n, t.i., a 1 = . Tad = 0 , tāpēc pastāv netriviāla lineāra vektoru kombinācija a 1 , a 2 ,…, a n, vienāds 0 , tāpēc tie ir lineāri atkarīgi .

Teorēma 3.3.2. Ja vismaz viens no elementiem a 1 , a 2 ,…, a n nulle, tad šie vektori ir lineāri atkarīgi.

Pierādījums . Ļaujiet a n= 0 , tad = 0 , kas nozīmē šo elementu lineāro atkarību.

Teorēma 3.3.3. Ja starp n vektoriem ir kāds p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Pierādījums. Noteiktības labad elementi a 1 , a 2 ,…, a lpp lineāri atkarīgi. Tas nozīmē, ka ir tāda netriviāla lineāra kombinācija, ka = 0 . Norādītā vienādība tiks saglabāta, ja elementu pievienosim abām tā daļām. Tad + = 0 , un vismaz viens no cipariem l 1, l 2,…, lp atšķiras no nulles. Tāpēc vektori a 1 , a 2 ,…, a n ir lineāri atkarīgi.

Secinājums 3.3.1. Ja n elementi ir lineāri neatkarīgi, tad jebkurš k no tiem ir lineāri neatkarīgi (k< n).

Teorēma 3.3.4. Ja vektori a 1 , a 2 ,…, a n- 1 ir lineāri neatkarīgi, un elementi a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n ir lineāri atkarīgi, tad vektors a n var izvērst vektoros a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Pierādījums. Tā kā ar nosacījumu a 1 , a 2 ,…,a n- 1, a n ir lineāri atkarīgi, tad pastāv netriviāla to lineāra kombinācija = 0 , un (pretējā gadījumā vektori a 1 , a 2 ,…, a izrādīsies lineāri atkarīgi n- 1). Bet tad vektors

Q.E.D.

Citiem vārdiem sakot, vektoru grupas lineārā atkarība nozīmē, ka starp tiem ir vektors, ko var attēlot ar citu šīs grupas vektoru lineāru kombināciju.

Teiksim. Tad

Tāpēc vektors x lineāri atkarīgi no šīs grupas vektoriem.

Vektori x, y, ..., z sauc par lineāriem neatkarīgi vektori, ja no vienādības (0) izriet, ka

α=β= ...= γ=0.

Tas ir, vektoru grupas ir lineāri neatkarīgas, ja nevienu vektoru nevar attēlot ar citu šīs grupas vektoru lineāru kombināciju.

Vektoru lineārās atkarības noteikšana

Doti m virknes vektori n secībā:

Pēc Gausa izņēmuma mēs reducējam matricu (2) uz augšējo trīsstūrveida formu. Pēdējās kolonnas elementi mainās tikai tad, kad rindas tiek pārkārtotas. Pēc m izslēgšanas soļiem mēs iegūstam:

Kur i 1 , i 2 , ..., i m - rindu indeksi, kas iegūti ar iespējamo rindu permutāciju. Ņemot vērā iegūtās rindas no rindu indeksiem, mēs izslēdzam tās, kas atbilst nulles rindas vektoram. Atlikušās līnijas veido lineāri neatkarīgus vektorus. Ņemiet vērā, ka, sastādot matricu (2), mainot rindu vektoru secību, var iegūt citu lineāri neatkarīgu vektoru grupu. Bet apakštelpa, ko veido abas šīs vektoru grupas, sakrīt.