Pierakstiet teorēmu par impulsa izmaiņām. Relatīvās kustības dinamika
Skatīt:Šis raksts ir lasīts 14066 reizes
Pdf Izvēlieties valodu... Krievu Ukraiņu Angļu
Īss apskats
Viss materiāls tiek lejupielādēts iepriekš, pēc valodas izvēles
Kustības daudzums
Materiālā punkta impulss - vektora lielums, kas vienāds ar punkta masas un tā ātruma vektora reizinājumu.
Impulsa mērvienība ir (kg m/s).
Mehāniskās sistēmas impulss - vektora lielums, kas vienāds ar mehāniskās sistēmas impulsa ģeometrisko summu (galveno vektoru), ir vienāds ar visas sistēmas masas un tās masas centra ātruma reizinājumu.
Kad ķermenis (vai sistēma) pārvietojas tā, ka tā masas centrs ir nekustīgs, tad ķermeņa kustības apjoms ir vienāds ar nulli (piemēram, ķermeņa rotācija ap fiksētu asi, kas iet caur ķermeņa masas centru ).
Sarežģītas kustības gadījumā sistēmas kustības apjoms neraksturos kustības rotācijas daļu, rotējot ap masas centru. Tas ir, kustības apjoms raksturo tikai sistēmas translācijas kustību (kopā ar masas centru).
Impulsa spēks
Spēka impulss raksturo spēka darbību noteiktā laika periodā.
Spēka impulss ierobežotā laika periodā ir definēta kā atbilstošo elementāro impulsu integrālā summa.
Teorēma par materiāla punkta impulsa izmaiņām
(atšķirīgās formās e ):
Materiāla punkta impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar to spēku ģeometrisko summu, kas iedarbojas uz punktiem.
(V neatņemama forma ):
Materiāla punkta impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar to spēku impulsu ģeometrisko summu, kas tiek pielikti punktam šajā laika periodā.
Teorēma par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām
(diferenciālā formā ):
Sistēmas impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku ģeometrisko summu.
(integrālā formā ):
Sistēmas impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar ārējo spēku impulsu ģeometrisko summu, kas iedarbojas uz sistēmu šajā laika periodā.
Teorēma ļauj izslēgt no izskatīšanas acīmredzami nezināmus iekšējos spēkus.
Teorēma par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām un teorēma par masas centra kustību ir vienas teorēmas divas dažādas formas.
Sistēmas impulsa nezūdamības likums
- Ja visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku summa ir vienāda ar nulli, tad sistēmas impulsa vektors būs nemainīgs virzienā un lielumā.
- Ja visu darbojošos ārējo spēku projekciju summa uz jebkuru patvaļīgu asi ir vienāda ar nulli, tad impulsa projekcija uz šo asi ir nemainīga vērtība.
secinājumus:
- Saglabāšanas likumi norāda, ka iekšējie spēki nevar mainīt sistēmas kopējo kustības apjomu.
- Teorēma par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām raksturo nevis mehāniskās sistēmas rotācijas kustību, bet tikai translācijas kustību.
Dots piemērs: Nosakiet noteiktas masas diska impulsu, ja ir zināms tā leņķiskais ātrums un izmērs.
Piedziņas zobrata aprēķina piemērs
Piemērs cilindriskā zobrata aprēķināšanai. Veikta materiāla izvēle, pieļaujamo spriegumu aprēķins, kontakta un lieces stiprības aprēķins.
Sijas lieces problēmas risināšanas piemērs
Piemērā tika konstruētas šķērsspēku un lieces momentu diagrammas, atrasts bīstams posms un izvēlēts I-siju. Problēmā tika analizēta diagrammu uzbūve, izmantojot diferenciālās atkarības, un veikta dažādu sijas šķērsgriezumu salīdzinošā analīze.
Piemērs vārpstas vērpes problēmas risināšanai
Uzdevums ir pārbaudīt tērauda vārpstas izturību pie noteikta diametra, materiāla un pieļaujamā sprieguma. Risinājuma laikā tiek konstruētas griezes momentu, bīdes spriegumu un griezes leņķu diagrammas. Pašas vārpstas svars netiek ņemts vērā
Stieņa stiepes-saspiešanas problēmas risināšanas piemērs
Uzdevums ir pārbaudīt tērauda stieņa izturību pie norādītajiem pieļaujamajiem spriegumiem. Risinājuma laikā tiek konstruētas garenspēku, normālo spriegumu un pārvietojumu diagrammas. Paša stieņa svars netiek ņemts vērā
Kinētiskās enerģijas saglabāšanas teorēmas pielietojums
Problēmas risināšanas piemērs, izmantojot teorēmu par mehāniskās sistēmas kinētiskās enerģijas saglabāšanu
Punkta ātruma un paātrinājuma noteikšana, izmantojot dotos kustības vienādojumus
Piemērs uzdevuma risināšanai, lai noteiktu punkta ātrumu un paātrinājumu, izmantojot dotos kustības vienādojumus
Stingra ķermeņa punktu ātrumu un paātrinājumu noteikšana plaknes paralēlas kustības laikā
Piemērs problēmas risināšanai, lai noteiktu stingra ķermeņa punktu ātrumu un paātrinājumus plaknes paralēlas kustības laikā
Spēku noteikšana plakanas kopnes stieņos
Spēku noteikšanas problēmas plakanas kopnes stieņos risinājuma piemērs, izmantojot Ritter metodi un mezglu griešanas metodi
Teorēmas par leņķiskā impulsa izmaiņām pielietojums
Problēmas risināšanas piemērs, izmantojot teorēmu par kinētiskā impulsa izmaiņām, lai noteiktu ķermeņa leņķisko ātrumu, kas rotē ap fiksētu asi.
Materiāla punkta kustības diferenciālvienādojums spēka ietekmē F var attēlot šādā vektora formā:
Tā kā punkta masa m tiek pieņemts kā konstants, tad to var ievadīt zem atvasinājuma zīmes. Tad
Formula (1) izsaka teorēmu par punkta impulsa izmaiņām diferenciālā formā: pirmais atvasinājums attiecībā uz punkta impulsa laiku ir vienāds ar spēku, kas iedarbojas uz punktu.
Projekcijās uz koordinātu asīm (1) var attēlot kā
Ja abas puses (1) reizina ar dt, tad mēs iegūstam citu tās pašas teorēmas formu - impulsa teorēmu diferenciālā formā:
tie. punkta impulsa diferenciālis ir vienāds ar elementa impulsu spēkam, kas iedarbojas uz punktu.
Projicējot abas (2) daļas uz koordinātu asīm, mēs iegūstam
Integrējot abas (2) daļas no nulles līdz t (1. att.), mēs iegūstam
kur ir punkta ātrums dotajā brīdī t; - ātrums pie t = 0;
S- spēka impulss laika gaitā t.
Izteiksmi formā (3) bieži sauc par impulsa teorēmu ierobežotā (vai integrālā) formā: punkta impulsa izmaiņas jebkurā laika periodā ir vienādas ar spēka impulsu tajā pašā laika periodā.
Projekcijās uz koordinātu asīm šo teorēmu var attēlot šādā formā:
Materiālam punktam teorēma par impulsa izmaiņām jebkurā no formām būtībā neatšķiras no punkta kustības diferenciālvienādojumiem.
Teorēma par sistēmas impulsa izmaiņām
Sistēmas kustības lielums tiks saukts par vektora lielumu J, vienāds ar visu sistēmas punktu kustību apjomu ģeometrisko summu (galveno vektoru).
Apsveriet sistēmu, kas sastāv no n materiālie punkti. Sastādīsim šīs sistēmas kustību diferenciālvienādojumus un saskaitīsim tos pa vārdam. Tad mēs iegūstam:
Pēdējā summa iekšējo spēku īpašību dēļ ir vienāda ar nulli. Turklāt,
Visbeidzot mēs atrodam:
Vienādojums (4) izsaka teorēmu par sistēmas impulsa izmaiņām diferenciālā formā: sistēmas impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku ģeometrisko summu.
Atradīsim teorēmai citu izteiksmi. Ielaidies mirklī t= 0 sistēmas kustības apjoms ir Q 0, un uz doto brīdi t 1 kļūst vienāds 1. jautājums. Pēc tam reizinot abas vienādības puses (4) ar dt un integrējot, mēs iegūstam:
Vai arī kur:
(S - spēka impulss)
jo labās puses integrāļi dod ārējo spēku impulsus,
vienādojums (5) izsaka teorēmu par sistēmas impulsa izmaiņām integrālā formā: sistēmas impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar ārējo spēku impulsu summu, kas iedarbojas uz sistēmu tajā pašā laika periodā.
Projekcijās uz koordinātu asīm mums būs:
Impulsa saglabāšanas likums
No teorēmas par sistēmas impulsa izmaiņām var iegūt šādas svarīgas sekas:
1. Visu ārējo spēku summa, kas iedarbojas uz sistēmu, ir vienāda ar nulli:
Tad no (4) vienādojuma izriet, ka šajā gadījumā Q = konst.
Tādējādi ja visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku summa ir vienāda ar nulli, tad sistēmas impulsa vektors būs nemainīgs pēc lieluma un virziena.
2. 01 Lai ārējie spēki, kas iedarbojas uz sistēmu, būtu tādi, lai to projekciju summa uz kādu asi (piemēram, Ox) būtu vienāda ar nulli:
Tad no vienādojumiem (4`) izriet, ka šajā gadījumā Q = konst.
Tādējādi ja visu darbojošos ārējo spēku projekciju summa uz jebkuru asi ir vienāda ar nulli, tad sistēmas kustības apjoma projekcija uz šo asi ir nemainīga vērtība.
Šie rezultāti izsaka sistēmas impulsa nezūdamības likums. No tiem izriet, ka iekšējie spēki nevar mainīt sistēmas kopējo kustības apjomu.
Apskatīsim dažus piemērus:
· Fenomens par ruļļa atgriešanos. Ja mēs uzskatām šauteni un lodi kā vienu sistēmu, tad pulvera gāzu spiediens šāviena laikā būs iekšējs spēks. Šis spēks nevar mainīt sistēmas kopējo impulsu. Bet, tā kā pulvera gāzes, iedarbojoties uz lodi, piešķir tai noteiktu kustību, kas vērsta uz priekšu, tām vienlaikus jādod šautenei tāda pati kustība pretējā virzienā. Tas izraisīs šautenes pārvietošanos atpakaļ, t.i. tā sauktā atgriešanās. Līdzīga parādība notiek šaujot ar ieroci (atgriešana).
· Propellera (propellera) darbība. Propellers nodrošina kustību noteiktai gaisa (vai ūdens) masai pa dzenskrūves asi, metot šo masu atpakaļ. Ja mēs uzskatām izmesto masu un lidmašīnu (vai kuģi) par vienu sistēmu, tad propellera un vides mijiedarbības spēki kā iekšējie nevar mainīt šīs sistēmas kopējo kustības apjomu. Tāpēc, kad gaisa (ūdens) masa tiek izmesta atpakaļ, lidmašīna (vai kuģis) saņem atbilstošu ātrumu uz priekšu, lai kopējais attiecīgās sistēmas kustības apjoms būtu vienāds ar nulli, jo pirms kustības sākuma tā bija nulle. .
Līdzīgs efekts tiek panākts, iedarbojoties ar airiem vai lāpstiņām.
· R e c t i v e Propulsion Raķetē (raķetē) no raķetes astes atveres (no reaktīvo dzinēja sprauslas) lielā ātrumā tiek izmesti gāzveida degšanas produkti. Spiediena spēki, kas darbojas šajā gadījumā, būs iekšējie spēki, un tie nevar mainīt raķešu-pulvera gāzu sistēmas kopējo impulsu. Bet, tā kā izplūstošajām gāzēm ir noteikta kustība, kas vērsta atpakaļ, raķete saņem atbilstošu ātrumu uz priekšu.
Momentu teorēma par asi.
Apsveriet materiālo masas punktu m, pārvietojoties spēka ietekmē F. Atradīsim tam sakarību starp vektoru momentiem mV Un F attiecībā pret kādu fiksētu Z asi.
m z (F) = xF - yF (7)
Līdzīgi par vērtību m(mV), ja izņemts m būs ārpus iekavām
m z (mV) = m (xV - yV)(7`)
Ņemot vērā atvasinājumus attiecībā uz laiku no abām šīs vienlīdzības pusēm, mēs atklājam
Rezultātā iegūtās izteiksmes labajā pusē pirmā iekava ir vienāda ar 0, kopš dx/dt = V un dу/dt = V, otrā iekava saskaņā ar formulu (7) ir vienāda ar
mz(F), jo saskaņā ar dinamikas pamatlikumu:
Beidzot mums būs (8)
Iegūtais vienādojums izsaka momentu teorēmu ap asi: punkta impulsa momenta laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru asi ir vienāds ar iedarbojošā spēka momentu attiecībā pret to pašu asi. Līdzīga teorēma attiecas uz momentiem par jebkuru centru O.
Teorēmā aplūkotā sistēma var būt jebkura mehāniska sistēma, kas sastāv no jebkuriem ķermeņiem.
Teorēmas paziņojums
Mehāniskās sistēmas kustības apjoms (impulss) ir lielums, kas vienāds ar visu sistēmā iekļauto ķermeņu kustību (impulsu) summu. Ārējo spēku impulss, kas iedarbojas uz sistēmas ķermeņiem, ir visu ārējo spēku impulsu summa, kas iedarbojas uz sistēmas ķermeņiem.
( kg m/s)
Teorēma par sistēmas stāvokļu impulsa izmaiņām
Sistēmas impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar ārējo spēku impulsu, kas iedarbojas uz sistēmu tajā pašā laika periodā.
Sistēmas impulsa nezūdamības likums
Ja visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku summa ir nulle, tad sistēmas kustības apjoms (impulss) ir nemainīgs lielums.
,
iegūstam teorēmas izteiksmi par sistēmas impulsa izmaiņām diferenciālā formā:
Integrējot abas iegūtās vienlīdzības puses patvaļīgi ņemtā laika periodā starp dažiem un , mēs iegūstam teorēmas izteiksmi par sistēmas impulsa izmaiņām integrālā formā:
Impulsa saglabāšanas likums (Impulsa saglabāšanas likums) norāda, ka visu sistēmas ķermeņu impulsu vektora summa ir nemainīga vērtība, ja uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku vektora summa ir vienāda ar nulli.
(impulsa moments m 2 kg s -1)
Teorēma par leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret centru
materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu centru ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret to pašu centru.
dk 0 /dt = M 0 (F ) .
Teorēma par leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret asi
materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu asi ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz šo punktu attiecībā pret to pašu asi.
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .
Apsveriet materiālo aspektu M masu m , pārvietojoties spēka ietekmē F (3.1. attēls). Pierakstīsim un konstruēsim leņķiskā impulsa (kinētiskā impulsa) vektoru M 0 materiāla punkts attiecībā pret centru O :
Atšķirsim leņķiskā impulsa (kinētiskā momenta) izteiksmi k 0) pēc laika:
Jo dr /dt = V , tad vektora reizinājums V ⊗ m ⋅ V (kolineārie vektori V Un m ⋅ V ) ir vienāds ar nulli. Tajā pašā laikā d(m ⋅ V) /dt = F saskaņā ar teorēmu par materiāla punkta impulsu. Tāpēc mēs to saņemam
dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)
Kur r ⊗F = M 0 (F ) – vektors-spēka moments F attiecībā pret fiksētu centru O . Vektors k 0 ⊥ lidmašīna ( r , m ⊗V ), un vektoru M 0 (F ) ⊥ lidmašīna ( r ,F ), mums beidzot ir
dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)
Vienādojums (3.4) izsaka teorēmu par materiāla punkta leņķiskā impulsa (leņķiskā impulsa) izmaiņām attiecībā pret centru: materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu centru ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret to pašu centru.
Projicējot vienādību (3.4) uz Dekarta koordinātu asīm, iegūstam
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)
Vienādības (3.5) izsaka teorēmu par materiāla punkta leņķiskā impulsa (kinētiskā impulsa) izmaiņām attiecībā pret asi: materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu asi ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz šo punktu attiecībā pret to pašu asi.
Apskatīsim sekas, kas izriet no teorēmas (3.4) un (3.5).
Secinājums 1. Apskatīsim gadījumu, kad spēks F visas kustības laikā punkts iet caur stacionāro centru O (centrālā spēka gadījums), t.i. Kad M 0 (F ) = 0. Tad no teorēmas (3.4) izriet, ka k 0 = konst ,
tie. centrālā spēka gadījumā materiāla punkta leņķiskais impulss (kinētiskais moments) attiecībā pret šī spēka centru paliek nemainīgs pēc lieluma un virziena (3.2. attēls).
3.2.attēls
No stāvokļa k 0 = konst no tā izriet, ka kustīga punkta trajektorija ir plakana līkne, kuras plakne iet caur šī spēka centru.
Secinājums 2.Ļaujiet M z (F ) = 0, t.i. spēks šķērso asi z vai paralēli tai. Šajā gadījumā, kā redzams no trešā vienādojuma (3.5.), k z = konst ,
tie. ja spēka moments, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret jebkuru fiksētu asi, vienmēr ir nulle, tad punkta leņķiskais impulss (kinētiskais moments) attiecībā pret šo asi paliek nemainīgs.
Pierādījums teorēmai par impulsa maiņu
Ļaujiet sistēmai sastāvēt no materiāliem punktiem ar masām un paātrinājumiem. Mēs sadalām visus spēkus, kas iedarbojas uz sistēmas ķermeņiem, divos veidos:
Ārējie spēki ir spēki, kas iedarbojas no ķermeņiem, kas nav iekļauti aplūkojamajā sistēmā. Ārējo spēku rezultants, kas iedarbojas uz materiālu punktu ar skaitli i apzīmēsim
Iekšējie spēki ir spēki, ar kuriem pašas sistēmas ķermeņi mijiedarbojas viens ar otru. Spēks, ar kādu uz punktu ar skaitli i punkts ar numuru ir derīgs k, mēs apzīmēsim , un ietekmes spēku i punkts ieslēgts k punkts - . Acīmredzot, kad, tad
Izmantojot ieviesto apzīmējumu, veidlapā rakstām Ņūtona otro likumu katram no aplūkojamajiem materiālajiem punktiem
Ņemot vērā, ka 
un, summējot visus Ņūtona otrā likuma vienādojumus, mēs iegūstam:
Izteiksme atspoguļo visu sistēmā darbojošos iekšējo spēku summu. Saskaņā ar Ņūtona trešo likumu šajā summā katrs spēks atbilst tādam spēkam, kas tāpēc ir spēkā 
Tā kā visa summa sastāv no šādiem pāriem, pati summa ir nulle. Tādējādi mēs varam rakstīt
Izmantojot sistēmas impulsa apzīmējumu, mēs iegūstam
Ņemot vērā ārējo spēku impulsa izmaiņas 
, mēs iegūstam teorēmas izteiksmi par sistēmas impulsa izmaiņām diferenciālā formā:
Tādējādi katrs no pēdējiem iegūtajiem vienādojumiem ļauj apgalvot: sistēmas impulsa izmaiņas notiek tikai ārējo spēku darbības rezultātā, un iekšējie spēki nevar ietekmēt šo vērtību.
Integrējot abas iegūtās vienādības puses patvaļīgi ņemtā laika intervālā starp dažiem un , iegūstam teorēmas izteiksmi par sistēmas impulsa izmaiņām integrālā formā:
kur un ir sistēmas kustības lieluma vērtības laika momentos un attiecīgi, un ir ārējo spēku impulss noteiktā laika periodā. Saskaņā ar iepriekš teikto un ieviestajiem apzīmējumiem,
Tā kā punkta masa ir nemainīga un tā paātrinājums ir nemainīgs, tad vienādojumu, kas izsaka dinamikas pamatlikumu, var attēlot formā
Vienādojums vienlaikus izsaka teorēmu par punkta impulsa izmaiņām diferenciālā formā: laika atvasinājums punkta impulss ir vienāds ar to spēku ģeometrisko summu, kas iedarbojas uz punktu.
Integrēsim šo vienādojumu. Lai masa norāda m, kas pārvietojas spēka ietekmē (15. att.), ir uz doto brīdi t=0 ātrums, un šobrīd t 1-ātrums.
15. att
Tad mēs reizinām abas vienādības puses ar un ņemam no tām noteiktus integrāļus. Šajā gadījumā labajā pusē, kur integrācija notiek laika gaitā, integrāļu robežas būs 0 un t 1, un kreisajā pusē, kur ātrums ir integrēts, integrāļa robežas būs atbilstošās ātruma un . Tā kā integrālis ir vienāds ar , tad rezultātā mēs iegūstam:
.
Labajā pusē esošie integrāļi attēlo darbojošos spēku impulsus. Tāpēc mums beidzot būs:
.
Vienādojums izsaka teorēmu par punkta impulsa izmaiņām galīgajā formā: punkta impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar visu spēku impulsu ģeometrisko summu, kas iedarbojas uz punktu tajā pašā laika periodā ( rīsi. 15).
Risinot uzdevumus, vektoru vienādojumu vietā bieži izmanto projekciju vienādojumus.
Ja taisnvirziena kustība notiek pa asi Ak teorēmu izsaka pirmais no šiem vienādojumiem.
Pašpārbaudes jautājumi
Formulējiet mehānikas pamatlikumus.
Kādu vienādojumu sauc par dinamikas pamatvienādojumu?
Kāds ir cieto ķermeņu inerces mērs translācijas kustības laikā?
Vai ķermeņa svars ir atkarīgs no tā atrašanās vietas uz Zemes?
Kādu atskaites sistēmu sauc par inerciālo?
Kuram ķermenim tiek pielikts materiāla punkta inerces spēks un kāds ir tā modulis un virziens?
Paskaidrojiet atšķirību starp jēdzieniem "inerce" un "inerces spēks"?
Kādiem ķermeņiem tiek pielikts inerces spēks, kā tas tiek virzīts un pēc kādas formulas to var aprēķināt?
Kāds ir kineostatikas princips?
Kādi ir materiāla punkta tangenciālo un normālo inerces spēku moduļi un virzieni?
Kā sauc ķermeņa svaru? Kas ir SI masas vienība?
Kāds ir ķermeņa inerces mērs?
Pierakstīt dinamikas pamatlikumu vektora un diferenciāļa formā?
Uz materiālo punktu iedarbojas pastāvīgs spēks. Kā virzās punkts?
Kādu paātrinājumu saņems punkts, ja uz to iedarbosies spēks, kas vienāds ar divkāršu gravitācijas spēku?
Pēc divu materiālu punktu sadursmes ar masām m 1 =6 kg un m 2 =24 kg pirmais punkts saņēma paātrinājumu 1,6 m/s. Kāds ir paātrinājums, ko saņem otrais punkts?
Kurā materiāla punkta kustībā tā tangenciālais inerces spēks ir vienāds ar nulli un kādā kustībā tas ir normāls?
Kādas formulas izmanto, lai aprēķinātu tāda punkta rotācijas un centrbēdzes inerces spēku moduļus, kas pieder pie cieta ķermeņa, kas rotē ap fiksētu asi?
Kā formulēts punktu dinamikas pamatlikums?
Sniedziet spēku darbības neatkarības likuma formulējumu.
Pierakstiet materiāla punkta kustības diferenciālvienādojumus vektoru un koordinātu formā.
Noformulēt pirmās un otrās punktu dinamikas galvenās problēmas būtību.
Dodiet nosacījumus, no kuriem nosaka materiāla punkta kustības diferenciālvienādojumu integrācijas konstantes.
Kādus dinamikas vienādojumus sauc par materiāla punkta dabiskajiem kustības vienādojumiem?
Kādas ir divas galvenās punktu dinamikas problēmas, kas tiek atrisinātas, izmantojot materiāla punkta diferenciālās kustības?
Brīva materiāla punkta kustības diferenciālvienādojumi.
Kā tiek noteiktas konstantes, integrējot materiāla punkta kustības diferenciālvienādojumus?
Patvaļīgu konstantu vērtību noteikšana, kas parādās, integrējot materiāla punkta kustības diferenciālvienādojumus.
Kādi ir ķermeņa brīvās krišanas likumi?
Saskaņā ar kādiem likumiem kosmosā notiek ķermeņa horizontālās un vertikālās kustības, kas izmestas leņķī pret horizontu? Kāda ir tā kustības trajektorija un kādā leņķī ķermenim ir vislielākais lidojuma diapazons?
Kā aprēķināt mainīga spēka impulsu noteiktā laika periodā?
Kā sauc materiāla punkta impulsu?
Kā izteikt spēka elementāro darbu caur spēka pielikšanas punkta elementāro ceļu un kā - ar šī punkta loka koordinātas pieaugumu?
Kādos pārvietojumos ir gravitācijas darbs: a) pozitīvs, b) negatīvs, c) nulle?
Kā aprēķināt spēka jaudu, kas pielikts materiālam punktam, kas rotē ap fiksētu asi ar leņķisko ātrumu?
Formulējiet teorēmu par materiāla punkta impulsa izmaiņām.
Kādos apstākļos materiāla punkta impulss nemainās? Kādos apstākļos tā projekcija uz noteiktu asi nemainās?
Sniedziet teorēmas formulējumu par materiāla punkta kinētiskās enerģijas izmaiņām diferenciālā un galīgā formā.
Ko sauc par materiāla punkta leņķisko impulsu attiecībā pret: a) centru, b) asi?
Kā tiek formulēta teorēma par punkta leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret centru un attiecībā pret asi?
Kādos apstākļos punkta leņķiskais impulss attiecībā pret asi paliek nemainīgs?
Kā nosaka materiāla punkta leņķisko impulsu attiecībā pret centru un attiecībā pret asi? Kādas ir attiecības starp viņiem?
Kurā materiāla punkta impulsa vektora vietā tā moments attiecībā pret asi ir vienāds ar nulli?
Kāpēc materiāla punkta trajektorija, kas pārvietojas centrālā spēka ietekmē, atrodas vienā plaknē?
Kādu punkta kustību sauc par taisnvirzienu? Pierakstiet materiāla punkta taisnās kustības diferenciālvienādojumu.
Pierakstiet materiāla punkta plaknes kustības diferenciālvienādojumus.
Kādu materiāla punkta kustību apraksta pirmā veida Lagranža diferenciālvienādojumi?
Kādos gadījumos materiālu punktu sauc par nebrīvu un kādi ir šī punkta kustības diferenciālvienādojumi?
Sniedziet stacionāro un nestacionāro, holonomisko un neholonisko savienojumu definīcijas.
Kādus savienojumus sauc par divpusējām? Vienpusēji?
Kāda ir atbrīvošanās no saitēm principa būtība?
Kāda forma ir nebrīva materiāla punkta kustības diferenciālvienādojumiem Lagranža formā? Ko sauc par Lagranža reizinātāju?
Dodiet Koriolisa dinamiskās teorēmas formulējumu.
Kāda ir Galileja-Ņūtona relativitātes principa būtība?
Nosauciet kustības, kurās Koriolisa inerces spēks ir nulle.
Kāds modulis un kādā virzienā ir pārneses un Koriolisa inerces spēki?
Kāda ir atšķirība starp materiāla punkta relatīvās un absolūtās kustības diferenciālvienādojumiem?
Kā tiek noteikti pārneses un Koriolisa inerces spēki dažādos pārneses kustības gadījumos?
Kāda ir klasiskās mehānikas relativitātes principa būtība?
Kādas atskaites sistēmas sauc par inerciālām?
Kāds ir nosacījums materiāla punkta relatīvajai pārējai daļai?
Kuros zemes virsmas punktos gravitācijai ir vislielākās un vismazākās vērtības?
Ar ko izskaidrojama krītošo ķermeņu novirze uz austrumiem?
Kādā virzienā vertikāli izmests ķermenis novirzās?
Šahtā ar paātrinājumu tiek nolaists spainis A=4 m/s 2. Kausa gravitācija G=2 kN. Noteikt vannu atbalstošās virves spriegojuma spēku?
Divi materiāli punkti pārvietojas taisnā līnijā ar nemainīgu ātrumu 10 un 100 m/s. Vai mēs varam teikt, ka šiem punktiem tiek piemērotas līdzvērtīgas spēku sistēmas?
1) tas nav iespējams;
Diviem materiāla punktiem, kuru masa ir 5 un 15 kg, tiek pielikti vienādi spēki. Salīdziniet šo punktu paātrinājuma skaitliskās vērtības?
1) paātrinājumi ir vienādi;
2) punkta ar masu 15 kg paātrinājums ir trīs reizes mazāks par paātrinājumu punktam ar masu 5 kg.
Vai dinamikas problēmas var atrisināt, izmantojot līdzsvara vienādojumus?
Ļaujiet materiālam punktam kustēties spēka ietekmē F. Ir jānosaka šī punkta kustība attiecībā pret kustīgo sistēmu Oxyz(skat. materiāla punkta komplekso kustību), kas pārvietojas zināmā veidā attiecībā pret stacionāru sistēmu O 1 x 1 y 1 z 1 .
Dinamikas pamatvienādojums stacionārā sistēmā
Pierakstīsim punkta absolūto paātrinājumu, izmantojot Koriolisa teorēmu
Kur a abs– absolūtais paātrinājums;
a rel– relatīvais paātrinājums;
a josla– pārnēsājams paātrinājums;
a kodols– Koriolisa paātrinājums.
Pārrakstīsim (25), ņemot vērā (26)
Iepazīstinām ar apzīmējumu 
- pārnēsājams inerces spēks, 
- Koriolisa inerces spēks. Tad vienādojums (27) iegūst formu
Dinamikas pamatvienādojums relatīvās kustības izpētei (28) ir uzrakstīts tāpat kā absolūtai kustībai, tikai pie spēkiem, kas iedarbojas uz punktu, jāpievieno inerces pārneses un Koriolisa spēki.
Vispārīgas teorēmas par materiāla punkta dinamiku
Risinot daudzas problēmas, varat izmantot iepriekš sagatavotas sagataves, kas iegūtas, pamatojoties uz Ņūtona otro likumu. Šādas problēmu risināšanas metodes ir apvienotas šajā sadaļā.
Teorēma par materiāla punkta impulsa izmaiņām
Iepazīstinām ar šādiem dinamiskiem raksturlielumiem:
1. Materiālā punkta impulss– vektora lielums, kas vienāds ar punkta masas un tā ātruma vektora reizinājumu
.
(29)
2. Spēka impulss
Elementārs spēka impulss– vektora lielums, kas vienāds ar spēka vektora un elementāra laika intervāla reizinājumu
(30).
Tad pilns impulss
.
(31)
Plkst F=const mēs saņemam S=Ft.
Kopējo impulsu noteiktā laika periodā var aprēķināt tikai divos gadījumos, kad spēks, kas iedarbojas uz punktu, ir nemainīgs vai atkarīgs no laika. Citos gadījumos spēks ir jāizsaka kā laika funkcija.
Impulsa (29) un impulsa (30) dimensiju vienādība ļauj izveidot kvantitatīvu sakarību starp tiem.
Apskatīsim materiāla punkta M kustību patvaļīga spēka iedarbībā F pa patvaļīgu trajektoriju.
PAR 
UD: 
.
(32)
Mēs atdalām mainīgos lielumus (32) un integrējam
.
(33)
Rezultātā, ņemot vērā (31), iegūstam
.
(34)
Vienādojums (34) izsaka šādu teorēmu.
Teorēma: Materiāla punkta impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar spēka impulsu, kas iedarbojas uz punktu tajā pašā laika intervālā.
Risinot uzdevumus, vienādojums (34) jāprojicē uz koordinātu asīm
Šo teorēmu ir ērti lietot, ja starp dotajiem un nezināmajiem lielumiem ir punkta masa, tā sākotnējais un beigu ātrums, spēki un kustības laiks.
Teorēma par materiāla punkta leņķiskā impulsa izmaiņām
M 
materiāla punkta impulsa moments attiecībā pret centru ir vienāds ar punkta un pleca impulsa moduļa reizinājumu, t.i. īsākais attālums (perpendikulārs) no centra līdz taisnei, kas sakrīt ar ātruma vektoru
,
(36)
.
(37)
Sakarību starp spēka (cēloņa) momentu un impulsa (iedarbības) momentu nosaka šāda teorēma.
Pieņemsim dotās masas punktu M m pārvietojas spēka ietekmē F.
,
,
,
(38)
.
(39)
Aprēķināsim (39) atvasinājumu
.
(40)
Apvienojot (40) un (38), mēs beidzot iegūstam
.
(41)
(41) vienādojums izsaka šādu teorēmu.
Teorēma: Materiāla punkta leņķiskā impulsa vektora laika atvasinājums attiecībā pret kādu centru ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret to pašu centru.
Risinot uzdevumus, vienādojums (41) jāprojicē uz koordinātu asīm
(42) vienādojumos impulsa un spēka momentus aprēķina attiecībā pret koordinātu asīm.
No (41) izriet leņķiskā impulsa saglabāšanas likums (Keplera likums).
Ja spēka moments, kas iedarbojas uz materiālu punktu attiecībā pret jebkuru centru, ir nulle, tad punkta leņķiskais impulss attiecībā pret šo centru saglabā savu lielumu un virzienu.
Ja 
, Tas 
.
Teorēmu un saglabāšanas likumu izmanto problēmās, kas saistītas ar izliektu kustību, īpaši centrālo spēku iedarbībā.