Pierādīt, ka vektori ir lineāri neatkarīgi. Vektoru sistēmas lineārā atkarība un lineārā neatkarība

Ļaujiet L – lineāra telpa virs lauka R . Ļaujiet А1, а2, …, а (*) ierobežota vektoru sistēma no L . Vektors IN = a1× A1 +a2× A2 + … + an× An (16) sauc Lineāra vektoru kombinācija ( *), vai viņi saka, ka vektors IN lineāri izteikts ar vektoru sistēmu (*).

14. definīcija. Tiek saukta vektoru sistēma (*). Lineāri atkarīgi , ja un tikai tad, ja eksistē nulle neskaitāma koeficientu kopa a1, a2, … , tāda, ka a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0. Ja a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tad tiek izsaukta sistēma (*). Lineāri neatkarīgs.

Lineārās atkarības un neatkarības īpašības.

10. Ja vektoru sistēma satur nulles vektoru, tad tā ir lineāri atkarīga.

Patiešām, ja sistēmā (*) vektors A1 = 0, Tas ir 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. Ja vektoru sistēmā ir divi proporcionāli vektori, tad tā ir lineāri atkarīga.

Ļaujiet A1 = L×a2. Tad 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Galīga vektoru sistēma (*) n ³ 2 ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja vismaz viens no tās vektoriem ir šīs sistēmas atlikušo vektoru lineāra kombinācija.

Þ Lai (*) ir lineāri atkarīgi. Tad ir koeficientu kopa, kas nav nulle, a1, a2, …, an, kam a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 . Nezaudējot vispārīgumu, mēs varam pieņemt, ka a1 ¹ 0. Tad pastāv A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Tātad, vektors A1 ir atlikušo vektoru lineāra kombinācija.

Ü Ļaujiet vienam no vektoriem (*) būt citu vektoru lineārai kombinācijai. Varam pieņemt, ka šis ir pirmais vektors, t.i. A1 = B2 A2+ … + miljardi A N, tātad (–1) × A1 + b2 A2+ … + miljardi A N= 0 , t.i., (*) ir lineāri atkarīgs.

komentēt. Izmantojot pēdējo īpašību, mēs varam definēt bezgalīgas vektoru sistēmas lineāro atkarību un neatkarību.

15. definīcija. Vektoru sistēma А1, а2, …, а , … (**) tiek saukts Lineāri atkarīgi, Ja vismaz viens no tā vektoriem ir kāda ierobežota skaita citu vektoru lineāra kombinācija. Pretējā gadījumā tiek izsaukta sistēma (**). Lineāri neatkarīgs.

40. Galīga vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga tad un tikai tad, ja nevienu no tās vektoriem nevar lineāri izteikt ar tās atlikušajiem vektoriem.

50. Ja vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, tad arī jebkura no tās apakšsistēmām ir lineāri neatkarīga.

60. Ja kāda noteiktas vektoru sistēmas apakšsistēma ir lineāri atkarīga, tad arī visa sistēma ir lineāri atkarīga.

Dotas divas vektoru sistēmas А1, а2, …, а , … (16) un В1, В2, …, Вs, … (17). Ja katru sistēmas (16) vektoru var attēlot kā lineāru kombināciju no ierobežota skaita sistēmas (17) vektoru, tad tiek uzskatīts, ka sistēma (17) ir lineāri izteikta caur sistēmu (16).

16. definīcija. Abas vektoru sistēmas sauc Līdzvērtīgs , ja katrs no tiem ir lineāri izteikts caur otru.

9. teorēma (pamata lineārās atkarības teorēma).

Lai notiek – divas ierobežotas vektoru sistēmas no L . Ja pirmā sistēma ir lineāri neatkarīga un lineāri izteikta caur otro, tad N£ s.

Pierādījums. Izliksimies tā N> S. Atbilstoši teorēmas nosacījumiem

locītavu Tā kā vienādojumu skaits ir lielāks par nezināmo skaitu, sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Tāpēc tam ir nulle atšķirīga vērtība X10, x20, …, xN0. Šīm vērtībām būs patiesa vienādība (18), kas ir pretrunā ar faktu, ka vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga. Tātad mūsu pieņēmums ir nepareizs. Tāpēc N£ s.

Sekas. Ja divas ekvivalentas vektoru sistēmas ir ierobežotas un lineāri neatkarīgas, tad tajās ir vienāds skaits vektoru.

17. definīcija. Vektoru sistēmu sauc Maksimālā lineāri neatkarīga vektoru sistēma Lineārā telpa L , ja tas ir lineāri neatkarīgs, bet, pievienojot tam jebkuru vektoru no L , kas nav iekļauts šajā sistēmā, tas kļūst lineāri atkarīgs.

10. teorēma. Jebkuras divas galīgas maksimāli lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas no L Satur tādu pašu vektoru skaitu.

Pierādījums izriet no fakta, ka jebkuras divas maksimāli lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas ir līdzvērtīgas .

Ir viegli pierādīt, ka jebkura lineāri neatkarīga telpas vektoru sistēma L var paplašināt līdz maksimālai lineāri neatkarīgai vektoru sistēmai šajā telpā.

Piemēri:

1. Visu kolineāro ģeometrisko vektoru kopā jebkura sistēma, kas sastāv no viena vektora, kas nav nulle, ir maksimāli lineāri neatkarīga.

2. Visu koplanāro ģeometrisko vektoru kopā jebkuri divi nekolineāri vektori veido maksimāli lineāri neatkarīgu sistēmu.

3. Trīsdimensiju eiklīda telpas visu iespējamo ģeometrisko vektoru kopā jebkura trīs nekopplanāru vektoru sistēma ir maksimāli lineāri neatkarīga.

4. Visu polinomu kopā grādi nav augstāki par N Ar reāliem (kompleksajiem) koeficientiem, polinomu sistēma 1, x, x2, … , xn Ir maksimāli lineāri neatkarīgs.

5. Visu polinomu kopā ar reāliem (kompleksiem) koeficientiem maksimāli lineāri neatkarīgas sistēmas piemēri ir

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1-x), (1-x)2, … , (1-x)N,...

6. Dimensiju matricu kopa M´ N ir lineāra telpa (atzīmējiet šo). Maksimālas lineāri neatkarīgas sistēmas piemērs šajā telpā ir matricu sistēma E11= , E12 =, …, EMn = .

Dota vektoru sistēma C1, c2, …, sk (*). Tiek izsaukta vektoru apakšsistēma no (*). Maksimāli lineāri neatkarīgs Apakšsistēma Sistēmas ( *) , ja tas ir lineāri neatkarīgs, bet, pievienojot tam jebkuru citu šīs sistēmas vektoru, tas kļūst lineāri atkarīgs. Ja sistēma (*) ir ierobežota, tad jebkurā no tās maksimāli lineāri neatkarīgajām apakšsistēmām ir vienāds skaits vektoru. (Pierādi pats). Tiek izsaukts vektoru skaits sistēmas maksimāli lineāri neatkarīgajā apakšsistēmā (*). Rangs Šī sistēma. Acīmredzot līdzvērtīgām vektoru sistēmām ir vienādas rindas.

Definīcija. Lineāra vektoru kombinācija a 1 , ..., a n ar koeficientiem x 1 , ..., x n sauc par vektoru

x 1 a 1 + ... + x n a n .

triviāls, ja visi koeficienti x 1 , ..., x n ir vienādi ar nulli.

Definīcija. Tiek izsaukta lineārā kombinācija x 1 a 1 + ... + x n a n nav triviāls, ja vismaz viens no koeficientiem x 1, ..., x n nav vienāds ar nulli.

lineāri neatkarīgs, ja nav netriviālas šo vektoru kombinācijas, kas vienādas ar nulles vektoru.

Tas ir, vektori a 1, ..., a n ir lineāri neatkarīgi, ja x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 tad un tikai tad, ja x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definīcija. Tiek izsaukti vektori a 1, ..., a n lineāri atkarīgi, ja ir netriviāla šo vektoru kombinācija, kas vienāda ar nulles vektoru.

Lineāri atkarīgo vektoru īpašības:

2 un 3 dimensiju vektoriem.

Divi lineāri atkarīgi vektori ir kolineāri. (Kolineārie vektori ir lineāri atkarīgi.)

Trīsdimensiju vektoriem.

Trīs lineāri atkarīgi vektori ir koplanāri. (Trīs koplanāri vektori ir lineāri atkarīgi.)

• N-dimensiju vektoriem.

  n + 1 vektori vienmēr ir lineāri atkarīgi.

Lineārās atkarības un vektoru lineārās neatkarības problēmu piemēri:

1. piemērs. Pārbaudiet, vai vektori a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) ir lineāri neatkarīgi .

Risinājums:

Vektori būs lineāri atkarīgi, jo vektoru izmērs ir mazāks par vektoru skaitu.

Piemērs 2. Pārbaudiet, vai vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) ir lineāri neatkarīgi.

Risinājums:

atņemiet otro no pirmās rindas; pievienojiet otro rindiņu trešajai rindai:

Šis risinājums parāda, ka sistēmai ir daudz risinājumu, tas ir, pastāv skaitļu x 1, x 2, x 3 vērtību kombinācija, kas nav nulles tāda, ka vektoru a, b, c lineārā kombinācija ir vienāda ar nulles vektors, piemēram:

A + b + c = 0

tas nozīmē, ka vektori a, b, c ir lineāri atkarīgi.

Atbilde: vektori a, b, c ir lineāri atkarīgi.

Piemērs 3. Pārbaudiet, vai vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) ir lineāri neatkarīgi.

Risinājums:Ļaujiet mums atrast koeficientu vērtības, pie kurām šo vektoru lineārā kombinācija būs vienāda ar nulles vektoru.

Šo vektora vienādojumu var uzrakstīt kā lineāru vienādojumu sistēmu

Atrisināsim šo sistēmu, izmantojot Gausa metodi

atņemiet pirmo no otrās rindas; atņemiet pirmo no trešās rindas:

atņemiet otro no pirmās rindas; pievienojiet otru trešajai rindai.

Citiem vārdiem sakot, vektoru grupas lineārā atkarība nozīmē, ka starp tiem ir vektors, ko var attēlot ar citu šīs grupas vektoru lineāru kombināciju.

Teiksim. Tad

Tāpēc vektors x lineāri atkarīgi no šīs grupas vektoriem.

Vektori x, y, ..., z sauc par lineāriem neatkarīgi vektori, ja no vienādības (0) izriet, ka

α=β= ...= γ=0.

Tas ir, vektoru grupas ir lineāri neatkarīgas, ja nevienu vektoru nevar attēlot ar citu šīs grupas vektoru lineāru kombināciju.

Vektoru lineārās atkarības noteikšana

Doti m virknes vektori n secībā:

Pēc Gausa izņēmuma mēs reducējam matricu (2) uz augšējo trīsstūrveida formu. Pēdējās kolonnas elementi mainās tikai tad, kad rindas tiek pārkārtotas. Pēc m izslēgšanas soļiem mēs iegūstam:

Kur i 1 , i 2 , ..., i m - rindu indeksi, kas iegūti ar iespējamo rindu permutāciju. Ņemot vērā iegūtās rindas no rindu indeksiem, mēs izslēdzam tās, kas atbilst nulles rindas vektoram. Atlikušās līnijas veido lineāri neatkarīgus vektorus. Ņemiet vērā, ka, sastādot matricu (2), mainot rindu vektoru secību, var iegūt citu lineāri neatkarīgu vektoru grupu. Bet apakštelpa, ko veido abas šīs vektoru grupas, sakrīt.

Mēs ieviesām lineāras operācijas ar vektoriemļauj izveidot dažādas izteiksmes vektoru lielumi un pārveidot tos, izmantojot šīm darbībām iestatītos rekvizītus.

Pamatojoties uz doto vektoru kopu a 1, ..., a n, varat izveidot formas izteiksmi

kur a 1, ... un n ir patvaļīgi reāli skaitļi. Šo izteiksmi sauc vektoru lineāra kombinācija a 1, ..., a n. Skaitļi α i, i = 1, n, attēlo lineārās kombinācijas koeficienti. Tiek saukta arī vektoru kopa vektoru sistēma.

Saistībā ar ieviesto vektoru lineārās kombinācijas jēdzienu rodas problēma, aprakstot vektoru kopu, ko var uzrakstīt kā lineāru kombināciju no dotās vektoru sistēmas a 1, ..., a n. Turklāt ir dabiski jautājumi par apstākļiem, kādos pastāv vektora attēlojums lineāras kombinācijas formā, un par šāda attēlojuma unikalitāti.

Definīcija 2.1. Tiek izsaukti vektori a 1, ... un n lineāri atkarīgi, ja ir tāda koeficientu kopa α 1 , ... , α n, ka

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2.)

un vismaz viens no šiem koeficientiem nav nulle. Ja norādītā koeficientu kopa nepastāv, tad tiek izsaukti vektori lineāri neatkarīgs.

Ja α 1 = ... = α n = 0, tad acīmredzot α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Paturot to prātā, mēs varam teikt tā: vektori a 1, ... un n ir lineāri neatkarīgi, ja no vienādības (2.2) izriet, ka visi koeficienti α 1 , ... , α n ir vienādi ar nulli.

Sekojošā teorēma izskaidro, kāpēc jauno jēdzienu sauc par terminu "atkarība" (vai "neatkarība"), un sniedz vienkāršu lineāras atkarības kritēriju.

Teorēma 2.1. Lai vektori a 1, ... un n, n > 1 būtu lineāri atkarīgi, ir nepieciešams un pietiekami, lai viens no tiem būtu pārējo lineāra kombinācija.

◄ Nepieciešamība. Pieņemsim, ka vektori a 1, ... un n ir lineāri atkarīgi. Saskaņā ar lineārās atkarības 2.1. definīciju vienādībā (2.2) kreisajā pusē ir vismaz viens koeficients, kas nav nulle, piemēram, α 1. Atstājot pirmo termiņu vienādības kreisajā pusē, pārējos pārvietojam uz labo pusi, mainot to zīmes, kā parasti. Iegūto vienādību dalot ar α 1, iegūstam

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

tie. vektora a 1 attēlojums kā atlikušo vektoru a 2, ..., a n lineāra kombinācija.

Atbilstība. Pieņemsim, piemēram, pirmo vektoru a 1 var attēlot kā atlikušo vektoru lineāru kombināciju: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Pārnesot visus terminus no labās puses uz kreiso, iegūstam 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, t.i. vektoru a 1, ..., a n lineāra kombinācija ar koeficientiem α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, vienāda ar nulles vektors.Šajā lineārajā kombinācijā ne visi koeficienti ir nulle. Saskaņā ar 2.1. definīciju vektori a 1, ... un n ir lineāri atkarīgi.

Lineārās atkarības definīcija un kritērijs ir formulēti tā, lai norādītu uz divu vai vairāku vektoru klātbūtni. Tomēr mēs varam runāt arī par viena vektora lineāro atkarību. Lai realizētu šo iespēju, tā vietā, lai “vektori ir lineāri atkarīgi”, jums jāsaka: “vektoru sistēma ir lineāri atkarīga”. Ir viegli saprast, ka izteiciens “viena vektora sistēma ir lineāri atkarīga” nozīmē, ka šis viens vektors ir nulle (lineārā kombinācijā ir tikai viens koeficients, un tas nedrīkst būt vienāds ar nulli).

Lineārās atkarības jēdzienam ir vienkārša ģeometriskā interpretācija. Šie trīs apgalvojumi precizē šo interpretāciju.

Teorēma 2.2. Divi vektori ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja tie ir kolineārs.

◄ Ja vektori a un b ir lineāri atkarīgi, tad viens no tiem, piemēram, a, tiek izteikts caur otru, t.i. a = λb kādam reālam skaitlim λ. Saskaņā ar definīciju 1.7 darbojas vektori uz skaitli, vektori a un b ir kolineāri.

Tagad vektori a un b ir kolineāri. Ja tie abi ir nulle, tad ir acīmredzams, ka tie ir lineāri atkarīgi, jo jebkura to lineāra kombinācija ir vienāda ar nulles vektoru. Lai viens no šiem vektoriem nebūtu vienāds ar 0, piemēram, vektors b. Ar λ apzīmēsim vektoru garumu attiecību: λ = |a|/|b|. Kollineārie vektori var būt vienvirziena vai pretēji vērsta. Pēdējā gadījumā mēs mainām λ zīmi. Tad, pārbaudot 1.7. definīciju, mēs esam pārliecināti, ka a = λb. Saskaņā ar 2.1. teorēmu vektori a un b ir lineāri atkarīgi.

Piezīme 2.1. Divu vektoru gadījumā, ņemot vērā lineārās atkarības kritēriju, pārbaudīto teorēmu var pārformulēt šādi: divi vektori ir kolineāri tad un tikai tad, ja viens no tiem ir attēlots kā otra reizinājums ar skaitli. Tas ir ērts divu vektoru kolinearitātes kritērijs.

Teorēma 2.3. Trīs vektori ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja tie ir koplanārs.

◄ Ja trīs vektori a, b, c ir lineāri atkarīgi, tad saskaņā ar 2.1. teorēmu viens no tiem, piemēram, a, ir pārējo lineāra kombinācija: a = βb + γс. Apvienosim vektoru b un c sākumpunktus punktā A. Tad vektoriem βb, γс būs kopīgs sākums punktā A un gar saskaņā ar paralelograma likumu to summa ir tie. vektors a būs vektors ar izcelsmi A un beigas, kas ir uz komponentu vektoriem veidota paralelograma virsotne. Tādējādi visi vektori atrodas vienā plaknē, t.i., vienā plaknē.

Lai vektori a, b, c ir vienāplaknē. Ja viens no šiem vektoriem ir nulle, tad tā acīmredzot būs pārējo lineāra kombinācija. Pietiek ņemt visus lineārās kombinācijas koeficientus, kas vienādi ar nulli. Tāpēc mēs varam pieņemt, ka visi trīs vektori nav nulle. Saderīgs sākās no šiem vektoriem kopējā punktā O. Lai to gali būtu attiecīgi punkti A, B, C (2.1. att.). Caur punktu C novelkam taisnes paralēli līnijām, kas iet caur punktu pāriem O, A un O, B. Apzīmējot krustošanās punktus kā A" un B", iegūstam paralelogramu OA"CB", tāpēc OC" = OA" + OB". Vektors OA" un nulles vektors a = OA ir kolineāri, un tāpēc pirmo no tiem var iegūt, reizinot otro ar reālu skaitli α:OA" = αOA. Tāpat OB" = βOB, β ∈ R. Rezultātā iegūstam, ka OC" = α OA + βOB, t.i., vektors c ir vektoru a un b lineāra kombinācija. Saskaņā ar 2.1. teorēmu vektori a, b, c ir lineāri atkarīgi.

Teorēma 2.4. Jebkuri četri vektori ir lineāri atkarīgi.

◄ Pierādīšanu veicam pēc tās pašas shēmas kā teorēmā 2.3. Apsveriet patvaļīgus četrus vektorus a, b, c un d. Ja viens no četriem vektoriem ir nulle vai starp tiem ir divi kolineāri vektori, vai trīs no četriem vektoriem ir koplanāri, tad šie četri vektori ir lineāri atkarīgi. Piemēram, ja vektori a un b ir kolineāri, tad mēs varam izveidot to lineāro kombināciju αa + βb = 0 ar koeficientiem, kas nav nulle, un pēc tam pievienot šai kombinācijai atlikušos divus vektorus, par koeficientiem ņemot nulles. Iegūstam četru vektoru lineāru kombināciju, kas vienāda ar 0, kurā ir koeficienti, kas nav nulle.

Tādējādi mēs varam pieņemt, ka starp atlasītajiem četriem vektoriem neviens vektors nav nulle, neviens nav kolineārs un neviens nav trīs kopplanārs. Par kopējo sākumu izvēlēsimies punktu O. Tad vektoru a, b, c, d gali būs daži punkti A, B, C, D (2.2. att.). Caur punktu D novelkam trīs plaknes paralēli plaknēm OBC, OCA, OAB un lai A", B", C" ir šo plakņu krustošanās punkti attiecīgi ar taisnēm OA, OB, OS. Iegūstam a paralēlskaldnis OA" C "B" C" B"DA", un vektori a, b, c atrodas uz tā malām, kas iziet no virsotnes O. Tā kā četrstūris OC"DC" ir paralelograms, tad OD = OC" + OC". Savukārt segments OC" ir diagonāls paralelograms OA"C"B", tātad OC" = OA" + OB" un OD = OA" + OB" + OC" .

Atliek atzīmēt, ka vektoru pāri OA ≠ 0 un OA" , OB ≠ 0 un OB" , OC ≠ 0 un OC" ir kolineāri, un tāpēc ir iespējams izvēlēties koeficientus α, β, γ tā, lai OA" = αOA, OB" = βOB un OC" = γOC. Beidzot iegūstam OD = αOA + βOB + γOC. Līdz ar to OD vektors tiek izteikts caur pārējiem trim vektoriem, un visi četri vektori saskaņā ar 2.1. teorēmu ir lineāri atkarīgi.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Risinājums. Mēs meklējam vispārīgu risinājumu vienādojumu sistēmai

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gausa metode. Lai to izdarītu, mēs ierakstām šo viendabīgo sistēmu koordinātēs:

Sistēmas matrica

Atļautajai sistēmai ir šāda forma: (r A = 2, n= 3). Sistēma ir kooperatīva un nenoteikta. Tās vispārīgais risinājums ( x 2 — brīvs mainīgais): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Piemēram, konkrēta risinājuma, kas nav nulle, klātbūtne norāda, ka vektori a 1 , a 2 , a 3 lineāri atkarīgi.

2. piemērs.

Uzziniet, vai dotā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga vai lineāri neatkarīga:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Risinājums. Apsveriet viendabīgu vienādojumu sistēmu a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

vai izvērstā veidā (pēc koordinātām)

Sistēma ir viendabīga. Ja tas nav deģenerēts, tad tam ir unikāls risinājums. Viendabīgas sistēmas gadījumā ir nulles (triviāls) risinājums. Tas nozīmē, ka šajā gadījumā vektoru sistēma ir neatkarīga. Ja sistēma ir deģenerēta, tad tai ir risinājumi, kas atšķiras no nulles, un tāpēc tā ir atkarīga.

Mēs pārbaudām sistēmas deģenerāciju:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistēma nav deģenerēta un līdz ar to arī vektori a 1 , a 2 , a 3 lineāri neatkarīgs.

Uzdevumi. Uzziniet, vai dotā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga vai lineāri neatkarīga:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Pierādīt, ka vektoru sistēma būs lineāri atkarīga, ja tā satur:

a) divi vienādi vektori;

b) divi proporcionāli vektori.