Lineārā atkarība un neatkarība. Lineārā atkarība un neatkarība, īpašības, vektoru sistēmas izpēte lineārai atkarībai, piemēri un risinājumi Lineārās neatkarības teorēma

Lemma 1 : Ja matricā ar izmēru n n vismaz viena rinda (kolonna) ir nulle, tad matricas rindas (kolonnas) ir lineāri atkarīgas.

Pierādījums:Ļaujiet pirmajai rindai būt nulle

Kur a 10. Tas bija tas, kas tika prasīts.

Definīcija: Tiek izsaukta matrica, kuras elementi, kas atrodas zem galvenās diagonāles, ir vienādi ar nulli trīsstūrveida:

un ij = 0, i> j.

Lemma 2: Trīsstūrveida matricas determinants ir vienāds ar galvenās diagonāles elementu reizinājumu.

Pierādīšanu ir viegli veikt, indukējot matricas izmēru.

Teorēma par vektoru lineāro neatkarību.

A)Nepieciešamība: lineāri atkarīgi D=0 .

Pierādījums: Lai tie būtu lineāri atkarīgi, j=,

tas ir, ir j , ne visi ir vienādi ar nulli, j= , Kas a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n = , A j – matricas kolonnas A.Ļaujiet, piemēram, a n¹0.

Mums ir a j * = a j / a n , j£ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .

Aizstāsim pēdējo matricas kolonnu A ieslēgts

A n * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n = .

Saskaņā ar iepriekš pierādīto determinanta īpašību (tas nemainīsies, ja jebkurai kolonnai tiks pievienota cita kolonna matricā, kas reizināta ar skaitli), jaunās matricas determinants ir vienāds ar determinantu. oriģināls. Bet jaunajā matricā viena kolonna ir nulle, kas nozīmē, ka, izvēršot determinantu virs šīs kolonnas, mēs iegūstam D=0, Q.E.D.

b)Atbilstība: Izmēru matrica n nar lineāri neatkarīgām rindām To vienmēr var reducēt līdz trīsstūrveida formai, izmantojot transformācijas, kas nemaina determinanta absolūto vērtību. Turklāt no sākotnējās matricas rindu neatkarības izriet, ka tās determinants ir vienāds ar nulli.

1. Ja izmēru matricā n n ar lineāri neatkarīgu rindu elementu a 11 ir vienāds ar nulli, tad kolonna, kuras elements a 1 j ¹ 0. Saskaņā ar lemmu 1 šāds elements pastāv. Transformētās matricas determinants var atšķirties no sākotnējās matricas determinanta tikai ar zīmi.

2. No rindām ar cipariem i>1 atņemiet pirmo rindu, kas reizināta ar daļskaitli a i 1/a 11. Turklāt pirmajā rindu kolonnā ar cipariem i>1 jūs saņemsiet nulles elementus.

3. Sāksim aprēķināt iegūtās matricas determinantu, sadalot pa pirmo kolonnu. Tā kā visi elementi tajā, izņemot pirmo, ir vienādi ar nulli,

D jauns = 11 jauns (-1) 1+1 D 11 jauns,

Kur d 11 jauns ir mazāka izmēra matricas determinants.

Tālāk, lai aprēķinātu determinantu D 11 atkārtojiet 1., 2., 3. soļus, līdz pēdējais determinants izrādās lieluma matricas noteicējs 1 1. Tā kā 1. darbība maina tikai transformējamās matricas determinanta zīmi, bet 2. darbība determinanta vērtību nemaina vispār, tad līdz zīmei mēs galu galā iegūsim sākotnējās matricas determinantu. Šajā gadījumā, tā kā sākotnējās matricas rindu lineārās neatkarības dēļ 1. darbība vienmēr ir izpildīta, visi galvenās diagonāles elementi izrādīsies nevienlīdzīgi ar nulli. Tādējādi galīgais determinants saskaņā ar aprakstīto algoritmu ir vienāds ar nulles elementu reizinājumu galvenajā diagonālē. Tāpēc sākotnējās matricas determinants nav vienāds ar nulli. Q.E.D.

2. pielikums

Tālāk sniegti vairāki vektoru sistēmu lineārās atkarības un attiecīgi lineārās neatkarības kritēriji.

Teorēma. (Nepieciešams un pietiekams nosacījums vektoru lineārajai atkarībai.)

Vektoru sistēma ir atkarīga tad un tikai tad, ja viens no sistēmas vektoriem ir lineāri izteikts caur citiem šīs sistēmas vektoriem.

Pierādījums. Nepieciešamība. Ļaujiet sistēmai būt lineāri atkarīgai. Tad pēc definīcijas tas attēlo nulles vektoru netriviāli, t.i. ir šīs vektoru sistēmas netriviāla kombinācija, kas vienāda ar nulles vektoru:

kur vismaz viens no šīs lineārās kombinācijas koeficientiem nav vienāds ar nulli. Ļaujiet, .

Sadalīsim abas iepriekšējās vienādības puses ar šo koeficientu, kas nav nulle (t.i., reiziniet ar:

Apzīmēsim: , kur .

tie. viens no sistēmas vektoriem ir lineāri izteikts caur citiem šīs sistēmas vektoriem utt.

Atbilstība. Lai viens no sistēmas vektoriem tiktu lineāri izteikts caur citiem šīs sistēmas vektoriem:

Pārvietosim vektoru pa labi no šīs vienādības:

Tā kā vektora koeficients ir vienāds ar , tad mums ir netriviāls nulles attēlojums ar vektoru sistēmu, kas nozīmē, ka šī vektoru sistēma ir lineāri atkarīga utt.

Teorēma ir pierādīta.

Sekas.

1. Vektoru sistēma vektoru telpā ir lineāri neatkarīga tad un tikai tad, ja neviens no sistēmas vektoriem nav lineāri izteikts citu šīs sistēmas vektoru izteiksmē.

2. Vektoru sistēma, kas satur nulles vektoru vai divus vienādus vektorus, ir lineāri atkarīga.

Pierādījums.

1) Nepieciešamība. Lai sistēma būtu lineāri neatkarīga. Pieņemsim pretējo, un pastāv sistēmas vektors, kas lineāri izteikts caur citiem šīs sistēmas vektoriem. Tad saskaņā ar teorēmu sistēma ir lineāri atkarīga un mēs nonākam pie pretrunas.

Atbilstība. Lai neviens no sistēmas vektoriem nav izteikts ar citiem. Pieņemsim pretējo. Lai sistēma ir lineāri atkarīga, bet tad no teorēmas izriet, ka pastāv sistēmas vektors, kas lineāri izteikts caur citiem šīs sistēmas vektoriem, un mēs atkal nonākam pie pretrunas.

2a) Ļaujiet sistēmai satur nulles vektoru. Noteiktības labad pieņemsim, ka vektors :. Tad vienlīdzība ir acīmredzama

tie. viens no sistēmas vektoriem ir lineāri izteikts caur pārējiem šīs sistēmas vektoriem. No teorēmas izriet, ka šāda vektoru sistēma ir lineāri atkarīga utt.

Ņemiet vērā, ka šo faktu var pierādīt tieši no lineāri atkarīgas vektoru sistēmas.

Kopš , ir acīmredzama šāda vienlīdzība

Šis ir nulles vektora netriviāls attēlojums, kas nozīmē, ka sistēma ir lineāri atkarīga.

2b) Pieņemsim, ka sistēmai ir divi vienādi vektori. Ļaujiet par . Tad vienlīdzība ir acīmredzama

Tie. pirmais vektors ir lineāri izteikts caur atlikušajiem tās pašas sistēmas vektoriem. No teorēmas izriet, ka šī sistēma ir lineāri atkarīga utt.

Līdzīgi kā iepriekšējais, šo apgalvojumu var tieši pierādīt ar lineāri atkarīgas sistēmas definīciju. Tad šī sistēma nulles vektoru attēlo netriviāli

no kurienes izriet sistēmas lineārā atkarība.

Teorēma ir pierādīta.

Sekas. Sistēma, kas sastāv no viena vektora, ir lineāri neatkarīga tad un tikai tad, ja šis vektors nav nulle.

Ļaujiet L – lineāra telpa virs lauka R . Ļaujiet А1, а2, …, аn (*) ierobežota vektoru sistēma no L . Vektors IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) sauc Lineāra vektoru kombinācija ( *), vai arī viņi saka, ka tas ir vektors IN lineāri izteikts ar vektoru sistēmu (*).

14. definīcija. Tiek saukta vektoru sistēma (*). Lineāri atkarīgi , ja un tikai tad, ja eksistē nulle neskaitāma koeficientu kopa a1, a2, … , tāda, ka a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Ja a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tad tiek izsaukta sistēma (*). Lineāri neatkarīgs.

Lineārās atkarības un neatkarības īpašības.

10. Ja vektoru sistēma satur nulles vektoru, tad tā ir lineāri atkarīga.

Patiešām, ja sistēmā (*) vektors A1 = 0, Tas ir 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. Ja vektoru sistēmā ir divi proporcionāli vektori, tad tā ir lineāri atkarīga.

Ļaujiet A1 = L×a2. Tad 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Galīga vektoru sistēma (*) n ³ 2 ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja vismaz viens no tās vektoriem ir šīs sistēmas atlikušo vektoru lineāra kombinācija.

Þ Lai (*) ir lineāri atkarīgi. Tad ir koeficientu kopa, kas nav nulle, a1, a2, …, an, kam a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Nezaudējot vispārīgumu, mēs varam pieņemt, ka a1 ¹ 0. Tad pastāv A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Tātad, vektors A1 ir atlikušo vektoru lineāra kombinācija.

Ü Ļaujiet vienam no vektoriem (*) būt citu vektoru lineārai kombinācijai. Varam pieņemt, ka šis ir pirmais vektors, t.i. A1 = B2 A2+ … + miljardi A N, tātad (–1) × A1 + b2 A2+ … + miljardi A N= 0 , t.i., (*) ir lineāri atkarīgs.

komentēt. Izmantojot pēdējo īpašību, mēs varam definēt bezgalīgas vektoru sistēmas lineāro atkarību un neatkarību.

15. definīcija. Vektoru sistēma А1, а2, …, аn , … (**) tiek saukts Lineāri atkarīgi, Ja vismaz viens no tā vektoriem ir kāda ierobežota skaita citu vektoru lineāra kombinācija. Pretējā gadījumā tiek izsaukta sistēma (**). Lineāri neatkarīgs.

40. Galīga vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga tad un tikai tad, ja nevienu no tās vektoriem nevar lineāri izteikt ar tās atlikušajiem vektoriem.

50. Ja vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, tad arī jebkura no tās apakšsistēmām ir lineāri neatkarīga.

60. Ja kāda noteiktas vektoru sistēmas apakšsistēma ir lineāri atkarīga, tad arī visa sistēma ir lineāri atkarīga.

Dotas divas vektoru sistēmas А1, а2, …, аn , … (16) un В1, В2, …, Вs, … (17). Ja katru sistēmas (16) vektoru var attēlot kā lineāru kombināciju no ierobežota skaita sistēmas (17) vektoru, tad tiek uzskatīts, ka sistēma (17) ir lineāri izteikta caur sistēmu (16).

16. definīcija. Abas vektoru sistēmas sauc Līdzvērtīgs , ja katrs no tiem ir lineāri izteikts caur otru.

9. teorēma (pamata lineārās atkarības teorēma).

Lai notiek – divas ierobežotas vektoru sistēmas no L . Ja pirmā sistēma ir lineāri neatkarīga un lineāri izteikta caur otro, tad N£ s.

Pierādījums. Izliksimies tā N> S. Atbilstoši teorēmas nosacījumiem

locītavu Tā kā vienādojumu skaits ir lielāks par nezināmo skaitu, sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Tāpēc tam ir nulle atšķirīga vērtība X10, x20, …, xN0. Šīm vērtībām būs patiesa vienādība (18), kas ir pretrunā ar faktu, ka vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga. Tātad mūsu pieņēmums ir nepareizs. Tāpēc N£ s.

Sekas. Ja divas ekvivalentas vektoru sistēmas ir ierobežotas un lineāri neatkarīgas, tad tajās ir vienāds skaits vektoru.

17. definīcija. Vektoru sistēmu sauc Maksimālā lineāri neatkarīga vektoru sistēma Lineāra telpa L , ja tas ir lineāri neatkarīgs, bet, pievienojot tam jebkuru vektoru no L , kas nav iekļauts šajā sistēmā, tas kļūst lineāri atkarīgs.

10. teorēma. Jebkuras divas galīgas maksimāli lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas no L Satur tādu pašu vektoru skaitu.

Pierādījums izriet no fakta, ka jebkuras divas maksimāli lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas ir līdzvērtīgas .

Ir viegli pierādīt, ka jebkura lineāri neatkarīga telpas vektoru sistēma L var paplašināt līdz maksimālai lineāri neatkarīgai vektoru sistēmai šajā telpā.

Piemēri:

1. Visu kolineāro ģeometrisko vektoru kopā jebkura sistēma, kas sastāv no viena vektora, kas nav nulle, ir maksimāli lineāri neatkarīga.

2. Visu koplanāro ģeometrisko vektoru kopā jebkuri divi nekolineāri vektori veido maksimāli lineāri neatkarīgu sistēmu.

3. Trīsdimensiju eiklīda telpas visu iespējamo ģeometrisko vektoru kopā jebkura trīs nekopplanāru vektoru sistēma ir maksimāli lineāri neatkarīga.

4. Visu polinomu kopā grādi nav augstāki par N Ar reāliem (kompleksajiem) koeficientiem, polinomu sistēma 1, x, x2, … , xn Ir maksimāli lineāri neatkarīgs.

5. Visu polinomu kopā ar reāliem (kompleksiem) koeficientiem maksimāli lineāri neatkarīgas sistēmas piemēri ir

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1-x), (1-x)2, … , (1-x)N,...

6. Dimensiju matricu kopa M´ N ir lineāra telpa (atzīmējiet šo). Maksimālas lineāri neatkarīgas sistēmas piemērs šajā telpā ir matricu sistēma E11= , E12 =, …, EMn = .

Dota vektoru sistēma C1, c2, …, sk (*). Tiek izsaukta vektoru apakšsistēma no (*). Maksimāli lineāri neatkarīgs Apakšsistēma Sistēmas ( *) , ja tas ir lineāri neatkarīgs, bet, pievienojot tam jebkuru citu šīs sistēmas vektoru, tas kļūst lineāri atkarīgs. Ja sistēma (*) ir ierobežota, tad jebkurā no tās maksimāli lineāri neatkarīgajām apakšsistēmām ir vienāds skaits vektoru. (Pierādi pats). Tiek izsaukts vektoru skaits sistēmas maksimāli lineāri neatkarīgajā apakšsistēmā (*). Rangs Šī sistēma. Acīmredzot līdzvērtīgām vektoru sistēmām ir vienādas rindas.

1. teorēma (Par ortogonālo vektoru lineāro neatkarību). Ļaujiet Tad vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.

Izveidosim lineāru kombināciju ∑λ i x i =0 un ņemsim vērā skalāro reizinājumu (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, bet ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

1. definīcija. Vektoru sistēmavai (e i ,e j)=δ ij — Kronecker simbols, sauc par ortonormālu (ONS).

2. definīcija. Patvaļīgam bezgalīgas dimensijas Eiklīda telpas patvaļīgam elementam x un patvaļīgai ortonormālai elementu sistēmai elementa x Furjē sēriju virs sistēmas sauc par formāli sastādītu formas bezgalīgu summu (sēriju). , kurā reālos skaitļus λ i sauc par Furjē koeficientiem elementa x sistēmā, kur λ i =(x,e i).

Komentārs. (Protams, rodas jautājums par šīs sērijas konverģenci. Lai izpētītu šo problēmu, mēs nofiksējam patvaļīgu skaitli n un uzzinām, kas Furjē rindas n-to daļējo summu atšķir no jebkuras citas ortonormālās sistēmas pirmo n elementu lineāras kombinācijas.)

2. teorēma. Jebkuram fiksētam skaitlim n starp visām formas summām elementa Furjē rindas n-tajai daļējai summai ir vismazākā novirze no elementa x saskaņā ar dotās Eiklīda telpas normu

Ņemot vērā sistēmas ortonormalitāti un Furjē koeficienta definīciju, varam rakstīt

Šīs izteiksmes minimums tiek sasniegts pie c i =λ i, jo šajā gadījumā nenegatīvā pirmā summa labajā pusē vienmēr pazūd, un pārējie noteikumi nav atkarīgi no c i.

Piemērs. Apsveriet trigonometrisko sistēmu

visu Rīmaņa integrējamo funkciju f(x) telpā uz segmenta [-π,π]. Ir viegli pārbaudīt, vai tā ir ONS, un tad funkcijas f(x) Furjē sērijai ir forma kur .

Komentārs. (Trigonometrisko Furjē sēriju parasti raksta formā Tad )

Patvaļīga ONS bezgalīgas dimensijas Eiklīda telpā bez papildu pieņēmumiem, vispārīgi runājot, nav šīs telpas pamats. Intuitīvā līmenī, nesniedzot stingras definīcijas, mēs aprakstīsim lietas būtību. Patvaļīgā bezgalīgajā Eiklīda telpā E ņem vērā ONS, kur (e i ,e j)=δ ij ir Kronekera simbols. Lai M ir Eiklīda telpas apakštelpa, un k=M ⊥ ir apakštelpa, kas ir ortogonāla pret M tā, ka Eiklīda telpa E=M+M ⊥ . Vektora x∈E projekcija apakštelpā M ir vektors ∈M, kur

Mēs meklēsim tās izplešanās koeficientu α k vērtības, kurām atlikušais (atlikuma kvadrāts) h 2 =||x-|| 2 būs minimums:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Ir skaidrs, ka šai izteiksmei būs minimālā vērtība pie α k =0, kas ir triviāla, un pie α k = (x, e k). Tad ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. No šejienes iegūstam Besela nevienādību ∑α k 2 ||x|| 2. Pie ρ=0 ortonormālu vektoru sistēmu (ONS) sauc par pilnīgu ortonormālu sistēmu Steklova izpratnē (PONS). No šejienes mēs varam iegūt Steklova-Parseval vienādību ∑α k 2 =||x|| 2 - “Pitagora teorēma” bezgalīgajām eiklīda telpām, kas ir pilnīgas Steklova izpratnē. Tagad būtu jāpierāda, ka, lai jebkurš vektors telpā tiktu unikāli attēlots Furjē rindas veidā, kas tai saplūst, ir nepieciešams un pietiekams, lai pastāvētu Steklova-Parsevala vienādība. Vektoru sistēma pic=""> ONB formas vektoru sistēma Apsveriet rindas daļējo summu Tad kā saplūstošas ​​sērijas aste. Tādējādi vektoru sistēma ir PONS un veido ONB.

Piemērs. Trigonometriskā sistēma

visu Rīmaņa integrējamo funkciju telpā f(x) segmentā [-π,π] ir PONS un veido ONB.

Funkcijas tiek izsauktas lineāri neatkarīgs, Ja

(ir atļauta tikai triviāla lineāra funkciju kombinācija, kas ir identiski vienāda ar nulli). Atšķirībā no vektoru lineārās neatkarības, šeit lineārā kombinācija ir identiska nullei, nevis vienlīdzība. Tas ir saprotams, jo jebkurai argumenta vērtībai ir jāizpilda lineāras kombinācijas vienādība ar nulli.

Funkcijas tiek izsauktas lineāri atkarīgi, ja ir tāda konstantu kopa, kas nav nulles (ne visas konstantes ir vienādas ar nulli), lai (pastāv netriviāla lineāra funkciju kombinācija, kas identiski vienāda ar nulli).

Teorēma.Lai funkcijas būtu lineāri atkarīgas, ir nepieciešams un pietiekami, lai kāda no tām būtu lineāri izteikta caur pārējām (attēlota kā to lineārā kombinācija).

Pierādi šo teorēmu pats, tā ir pierādīta tāpat kā līdzīga teorēma par vektoru lineāro atkarību.

Vronska noteicējs.

Vronska determinants funkcijām tiek ieviests kā determinants, kura kolonnas ir šo funkciju atvasinājumi no nulles (pašas funkcijas) līdz n-1.

.

Teorēma. Ja funkcijas tad ir lineāri atkarīgi

Pierādījums. Tā kā funkcijas ir lineāri atkarīgi, tad jebkurš no tiem tiek lineāri izteikts caur citiem, piemēram,

Identitāti var atšķirt, tātad

Tad Vronska determinanta pirmā kolonna tiek lineāri izteikta caur pārējām kolonnām, tāpēc Vronska determinants ir identiski vienāds ar nulli.

Teorēma.Lai lineāra homogēna n-tās kārtas diferenciālvienādojuma atrisinājumi būtu lineāri atkarīgi, ir nepieciešams un pietiekami, ka.

Pierādījums. Nepieciešamība izriet no iepriekšējās teorēmas.

Atbilstība. Labosim kādu punktu. Tā kā , šajā punktā aprēķinātās determinanta kolonnas ir lineāri atkarīgi vektori.

, ka attiecības ir apmierinātas

Tā kā lineāra viendabīga vienādojuma risinājumu lineāra kombinācija ir tā atrisinājums, mēs varam ieviest formas risinājumu

Risinājumu lineāra kombinācija ar vienādiem koeficientiem.

Ņemiet vērā, ka šis risinājums atbilst nulles sākuma nosacījumiem, tas izriet no iepriekš uzrakstītās vienādojumu sistēmas. Taču lineāra viendabīga vienādojuma triviālais risinājums apmierina arī tos pašus nulles sākuma nosacījumus. Tāpēc no Košī teorēmas izriet, ka ieviestais risinājums ir identiski vienāds ar triviālo, tāpēc

tāpēc risinājumi ir lineāri atkarīgi.

Sekas.Ja Vronska determinants, kas veidots uz lineāra viendabīga vienādojuma risinājumiem, izzūd vismaz vienā punktā, tad tas ir identiski vienāds ar nulli.

Pierādījums. Ja , tad risinājumi ir lineāri atkarīgi, tāpēc .

Teorēma.1. Risinājumu lineārajai atkarībai tas ir nepieciešams un pietiekams(vai ).

2. Risinājumu lineārai neatkarībai tas ir nepieciešams un pietiekams.

Pierādījums. Pirmais apgalvojums izriet no iepriekš pierādītās teorēmas un secinājuma. Otro apgalvojumu var viegli pierādīt ar pretrunu.

Ļaujiet risinājumiem būt lineāri neatkarīgiem. Ja , tad risinājumi ir lineāri atkarīgi. Pretruna. Tāpēc .

Ļaujiet . Ja risinājumi ir lineāri atkarīgi, tad , tātad pretruna. Tāpēc risinājumi ir lineāri neatkarīgi.

Sekas.Vronska determinanta izzušana vismaz vienā punktā ir kritērijs risinājumu lineārajai atkarībai no lineāra homogēna vienādojuma.

Atšķirība starp Vronska determinantu un nulli ir lineāra homogēna vienādojuma risinājumu lineāras neatkarības kritērijs.

Teorēma.Lineāra viendabīga n-tās kārtas vienādojuma atrisinājumu telpas dimensija ir vienāda ar n.

Pierādījums.

a) Pierādīsim, ka pastāv n lineāri neatkarīgi risinājumi lineāram homogēnam n-tās kārtas diferenciālvienādojumam. Apskatīsim risinājumus , kas atbilst šādiem sākotnējiem nosacījumiem:

...........................................................

Tādi risinājumi pastāv. Patiešām, saskaņā ar Košī teorēmu, caur punktu iet caur vienu integrālo līkni — risinājumu. Caur punktu risinājums iet caur punktu

- risinājums, caur punktu - risinājums.

Šie risinājumi ir lineāri neatkarīgi, jo .

b) Parādīsim, ka jebkurš lineāra viendabīga vienādojuma risinājums ir lineāri izteikts caur šiem risinājumiem (ir to lineārā kombinācija).

Apskatīsim divus risinājumus. Viens - patvaļīgs risinājums ar sākotnējiem nosacījumiem . Godīga attiecība