Kā atrast notikuma varbūtības piemērus. Klasiskā un statistiskā varbūtības definīcija

Ekonomikā, tāpat kā citās cilvēka darbības jomās vai dabā, mums pastāvīgi jāsaskaras ar notikumiem, kurus nevar precīzi paredzēt. Tādējādi preces pārdošanas apjoms ir atkarīgs no pieprasījuma, kas var būtiski atšķirties, un no vairākiem citiem faktoriem, kurus ir gandrīz neiespējami ņemt vērā. Tāpēc, organizējot ražošanu un veicot pārdošanu, šādu darbību iznākums ir jāprognozē, balstoties vai nu uz savu iepriekšējo pieredzi, vai līdzīgu citu cilvēku pieredzi, vai intuīciju, kas lielā mērā balstās arī uz eksperimentāliem datiem.

Lai kaut kā novērtētu attiecīgo notikumu, ir jāņem vērā vai speciāli jāorganizē apstākļi, kādos šis notikums tiek fiksēts.

Tiek saukta noteiktu nosacījumu vai darbību īstenošana, lai identificētu attiecīgo notikumu pieredze vai eksperiments.

Pasākums saucas nejauši, ja pieredzes rezultātā var rasties vai arī nenotikt.

Pasākums saucas uzticams, ja tas noteikti parādās noteiktas pieredzes rezultātā, un neiespējami, ja tas nevar parādīties šajā pieredzē.

Piemēram, sniegputenis Maskavā 30. novembrī ir nejaušs notikums. Ikdienas saullēktu var uzskatīt par uzticamu notikumu. Snigšanu pie ekvatora var uzskatīt par neiespējamu notikumu.

Viens no galvenajiem uzdevumiem varbūtību teorijā ir uzdevums noteikt notikuma iespējamības kvantitatīvu mēru.

Notikumu algebra

Notikumi tiek saukti par nesaderīgiem, ja tos nevar novērot kopā vienā pieredzē. Tādējādi divu un trīs automašīnu atrašanās vienlaikus vienā pārdošanā esošajā veikalā ir divi nesavienojami notikumi.

Summa notikumi ir notikums, kas sastāv no vismaz viena no šiem notikumiem

Notikumu summas piemērs ir vismaz viena no divām precēm klātbūtne veikalā.

Darbs notikumi ir notikums, kas sastāv no visu šo notikumu vienlaicīgas iestāšanās

Notikums, kas sastāv no divu preču parādīšanās veikalā vienlaikus, ir notikumu produkts: - vienas preces parādīšanās, - citas preces parādīšanās.

Notikumi veido pilnīgu notikumu grupu, ja vismaz viens no tiem noteikti notiek pieredzē.

Piemērs. Ostā ir divas piestātnes kuģu uzņemšanai. Var uzskatīt trīs notikumus: - kuģu neesamību piestātnēs, - viena kuģa atrašanos vienā no piestātnēm, - divu kuģu atrašanos divās piestātnēs. Šie trīs notikumi veido pilnīgu notikumu grupu.

Pretēji tiek saukti divi unikāli iespējamie notikumi, kas veido pilnīgu grupu.

Ja vienu no notikumiem, kas ir pretējs, apzīmē ar , tad pretējo notikumu parasti apzīmē ar .

Klasiskās un statistiskās notikuma varbūtības definīcijas

Katrs no vienlīdz iespējamajiem testu (eksperimentu) rezultātiem tiek saukts par elementāru rezultātu. Tos parasti apzīmē ar burtiem. Piemēram, tiek mests kauliņš. Kopumā var būt seši elementāri rezultāti, pamatojoties uz punktu skaitu malās.

No elementāriem rezultātiem varat izveidot sarežģītāku notikumu. Tādējādi pāra punktu skaita notikumu nosaka trīs iznākumi: 2, 4, 6.

Attiecīgā notikuma iespējamības kvantitatīvais mērs ir varbūtība.

Visplašāk izmantotās notikuma varbūtības definīcijas ir: klasika Un statistikas.

Klasiskā varbūtības definīcija ir saistīta ar labvēlīga iznākuma jēdzienu.

Rezultāts tiek saukts labvēlīgs konkrētam notikumam, ja tā rašanās ir saistīta ar šī notikuma iestāšanos.

Iepriekš minētajā piemērā attiecīgajam notikumam — pāra punktu skaitam izliktajā pusē — ir trīs labvēlīgi rezultāti. Šajā gadījumā ģenerālis
iespējamo rezultātu skaits. Tas nozīmē, ka šeit var izmantot klasisko notikuma varbūtības definīciju.

Klasiskā definīcija ir vienāds ar labvēlīgo iznākumu skaita attiecību pret kopējo iespējamo iznākumu skaitu

kur ir notikuma varbūtība, ir notikumam labvēlīgo iznākumu skaits, ir kopējais iespējamo iznākumu skaits.

Aplūkotajā piemērā

Statistiskā varbūtības definīcija ir saistīta ar jēdzienu par notikuma relatīvo rašanās biežumu eksperimentos.

Notikuma relatīvo biežumu aprēķina, izmantojot formulu

kur ir notikuma gadījumu skaits eksperimentu (testu) sērijā.

Statistiskā definīcija. Notikuma varbūtība ir skaitlis, ap kuru relatīvā frekvence stabilizējas (kopas) ar neierobežotu eksperimentu skaita pieaugumu.

Praktiskajās problēmās notikuma iespējamība tiek uzskatīta par relatīvo biežumu pietiekami lielam izmēģinājumu skaitam.

No šīm notikuma varbūtības definīcijām ir skaidrs, ka nevienlīdzība vienmēr ir izpildīta

Lai noteiktu notikuma iespējamību, pamatojoties uz formulu (1.1), bieži tiek izmantotas kombinatoriskās formulas, kuras izmanto, lai atrastu labvēlīgo iznākumu skaitu un kopējo iespējamo iznākumu skaitu.

Kad monēta tiek iemesta, mēs varam teikt, ka tā nolaidīsies ar galvu uz augšu vai varbūtība šī ir 1/2. Protams, tas nenozīmē, ka, ja monēta tiek izmesta 10 reizes, tā noteikti piezemēsies uz galvām 5 reizes. Ja monēta ir "godīga" un ja tā tiek mētāta daudzas reizes, tad pusi no laika galvas piezemēsies ļoti tuvu. Tādējādi ir divu veidu varbūtības: eksperimentāls Un teorētiski .

Eksperimentālā un teorētiskā varbūtība

Ja mēs apmetam monētu lielu skaitu reižu – teiksim 1000 – un saskaitām, cik reižu tā nokrīt uz galvām, mēs varam noteikt varbūtību, ka tā nokrīt uz galvām. Ja galvas tiek mestas 503 reizes, mēs varam aprēķināt tās piezemēšanās varbūtību:
503/1000 vai 0,503.

Šis eksperimentāls varbūtības definīcija. Šī varbūtības definīcija nāk no datu novērošanas un izpētes, un tā ir diezgan izplatīta un ļoti noderīga. Šeit, piemēram, ir dažas varbūtības, kas tika noteiktas eksperimentāli:

1. Varbūtība, ka sieviete saslims ar krūts vēzi, ir 1/11.

2. Ja tu skūpstāsi ar kādu, kurš ir saaukstējies, tad varbūtība, ka arī tu saaukstēsies, ir 0,07.

3. Personai, kura tikko iznākusi no cietuma, ir 80% iespēja atgriezties cietumā.

Ja mēs apsveram monētas mešanu un ņemam vērā to, ka ir tikpat liela iespēja, ka tā parādīsies ar galvām vai astes, mēs varam aprēķināt varbūtību iegūt galviņas: 1/2. Šī ir varbūtības teorētiskā definīcija. Šeit ir dažas citas varbūtības, kas ir noteiktas teorētiski, izmantojot matemātiku:

1. Ja istabā ir 30 cilvēki, varbūtība, ka diviem no viņiem ir vienāda dzimšanas diena (izņemot gadu), ir 0,706.

2. Ceļojuma laikā tu satiec kādu, un sarunas laikā atklāj, ka tev ir kopīgs draugs. Tipiska reakcija: "Tas nevar būt!" Patiesībā šī frāze nav piemērota, jo šāda notikuma iespējamība ir diezgan augsta - nedaudz vairāk par 22%.

Tādējādi eksperimentālās varbūtības tiek noteiktas, izmantojot novērojumus un datu vākšanu. Teorētiskās varbūtības nosaka, izmantojot matemātisko spriešanu. Eksperimentālo un teorētisko varbūtību piemēri, piemēram, tie, kas tika apspriesti iepriekš, un jo īpaši tie, kurus mēs negaidām, liek mums saprast, cik svarīgi ir pētīt varbūtību. Jūs varat jautāt: "Kas ir patiesā varbūtība?" Patiesībā tāda nav. Eksperimentāli var noteikt varbūtības noteiktās robežās. Tās var sakrist vai nesakrist ar varbūtībām, kuras mēs iegūstam teorētiski. Ir situācijas, kurās ir daudz vieglāk noteikt vienu varbūtības veidu nekā citu. Piemēram, pietiktu ar teorētiskās varbūtības palīdzību atrast saaukstēšanās varbūtību.

Eksperimentālo varbūtību aprēķināšana

Vispirms apskatīsim varbūtības eksperimentālo definīciju. Pamatprincips, ko izmantojam šādu varbūtību aprēķināšanai, ir šāds.

Princips P (eksperimentāls)

Ja eksperimentā, kurā tiek veikti n novērojumi, situācija vai notikums E notiek m reizes n novērojumos, tad notikuma eksperimentālā varbūtība tiek uzskatīta par P (E) = m/n.

1. piemērs Socioloģiskā aptauja. Tika veikts eksperimentāls pētījums, lai noteiktu kreiļu, labroču un cilvēku, kuriem abas rokas ir vienādi attīstītas, skaitu.Rezultāti parādīti grafikā.

a) Nosakiet varbūtību, ka persona ir labā roka.

b) Nosakiet varbūtību, ka persona ir kreilis.

c) Nosaki varbūtību, ka cilvēks vienādi brīvi pārvalda abas rokas.

d) Lielākajā daļā Profesionālās boulinga asociācijas turnīru ir ierobežots līdz 120 spēlētājiem. Balstoties uz šī eksperimenta datiem, cik spēlētāju varētu būt kreili?

Risinājums

a) Labroču skaits ir 82, kreiļu skaits ir 17, un to cilvēku skaits, kuri vienādi brīvi pārvalda abas rokas, ir 1. Kopējais novērojumu skaits ir 100. Tādējādi iespējamība ka cilvēks ir labrocis, ir P
P = 82/100 jeb 0,82 vai 82%.

b) Varbūtība, ka cilvēks ir kreilis, ir P, kur
P = 17/100 vai 0,17 vai 17%.

c) Varbūtība, ka cilvēks vienādi brīvi pārvalda abas rokas, ir P, kur
P = 1/100 vai 0,01 vai 1%.

d) 120 boulinga spēlētāji, un no (b) varam sagaidīt, ka 17% ir kreiļi. No šejienes
17% no 120 = 0,17,120 = 20,4,
tas ir, mēs varam sagaidīt aptuveni 20 spēlētājus ar kreiļiem.

2. piemērs Kvalitātes kontrole . Ražotājam ir ļoti svarīgi saglabāt savu produktu kvalitāti augstā līmenī. Faktiski uzņēmumi nolīgst kvalitātes kontroles inspektorus, lai nodrošinātu šo procesu. Mērķis ir saražot pēc iespējas mazāku defektīvo produktu skaitu. Bet, tā kā uzņēmums katru dienu ražo tūkstošiem produktu, tas nevar atļauties pārbaudīt katru produktu, lai noteiktu, vai tas ir bojāts vai nē. Lai noskaidrotu, cik procentu produktu ir ar defektiem, uzņēmums pārbauda daudz mazāk preču.
USDA nosaka, ka 80% no audzētāju pārdotajām sēklām ir jādīgst. Lai noteiktu lauksaimniecības uzņēmuma ražoto sēklu kvalitāti, tiek iesētas 500 sēklas no saražotajām. Pēc tam tika aprēķināts, ka sadīgušas 417 sēklas.

a) Kāda ir varbūtība, ka sēklas uzdīgs?

b) Vai sēklas atbilst valdības standartiem?

Risinājums a) Mēs zinām, ka no 500 iestādītajām sēklām 417 uzdīgušas. Sēklu dīgtspējas varbūtība P, un
P = 417/500 = 0,834 jeb 83,4%.

b) Tā kā uzdīgušo sēklu procentuālais daudzums ir pārsniedzis 80%, sēklas atbilst valdības standartiem.

3. piemērs Televīzijas reitingi. Saskaņā ar statistiku Amerikas Savienotajās Valstīs ir 105 500 000 mājsaimniecību ar televizoriem. Katru nedēļu tiek apkopota un apstrādāta informācija par programmu skatīšanos. Nedēļas laikā 7 815 000 mājsaimniecību noklausījās populāro komēdiju seriālu “Everybody Loves Raymond” kanālā CBS un 8 302 000 mājsaimniecību populāro seriālu “Likums un kārtība” kanālā NBC (avots: Nielsen Media Research). Kāda ir varbūtība, ka vienas mājsaimniecības televizors noteiktās nedēļas laikā tiks noregulēts uz "Everybody Loves Raymond"? uz "Likums un kārtība"?

Risinājums Varbūtība, ka vienā mājsaimniecībā televizors ir noregulēts uz "Everybody Loves Raymond" ir P, un
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Iespēja, ka mājsaimniecības televizors tika noregulēts uz Likumu un kārtību, ir P, un
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Šos procentus sauc par vērtējumiem.

Teorētiskā varbūtība

Pieņemsim, ka mēs veicam eksperimentu, piemēram, metam monētu vai šautriņas, izvelkam kārti no klāja vai pārbaudām produktu kvalitāti uz montāžas līnijas. Katrs iespējamais šāda eksperimenta rezultāts tiek saukts Izceļošana . Tiek izsaukta visu iespējamo rezultātu kopa iznākuma telpa . Pasākums tas ir rezultātu kopums, tas ir, rezultātu telpas apakškopa.

4. piemērs Šautriņu mešana. Pieņemsim, ka šautriņu mešanas eksperimentā šautra trāpa mērķī. Atrodiet katru no šīm iespējām:

b) Iznākuma telpa

Risinājums
a) Rezultāti ir šādi: sitiens ar melno (B), sarkano (R) un balto (B).

b) Rezultātu telpa ir (sitot melnu, trāpot sarkanu, trāpot baltu), ko var uzrakstīt vienkārši kā (H, K, B).

5. piemērs Kauliņu mešana. Kauliņš ir kubs ar sešām malām, uz kurām katrā ir no viena līdz sešiem punktiem.

Pieņemsim, ka mēs metam kauliņu. Atrast
a) Rezultāti
b) Iznākuma telpa

Risinājums
a) Rezultāti: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Iznākuma laukums (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Mēs apzīmējam varbūtību, ka notikums E notiek kā P(E). Piemēram, “monēta piezemēsies uz galvām” var apzīmēt ar H. Tad P(H) apzīmē varbūtību, ka monēta nonāks uz galvām. Ja visiem eksperimenta rezultātiem ir vienāda iestāšanās iespējamība, tiek uzskatīts, ka tie ir vienādi iespējami. Lai redzētu atšķirības starp notikumiem, kas ir vienlīdz iespējami, un notikumiem, kas nav iespējami, apsveriet tālāk norādīto mērķi.

Mērķim A melnā, sarkanā un baltā trāpījuma notikumi ir vienlīdz iespējami, jo melnais, sarkanais un baltais sektors ir vienāds. Tomēr mērķim B zonas ar šīm krāsām nav vienādas, tas ir, trāpījums tajās nav vienlīdz iespējams.

Princips P (teorētiskais)

Ja notikums E var notikt m veidā no n iespējamiem vienādi iespējamiem rezultātiem no iznākuma telpas S, tad teorētiskā varbūtība notikumi, P(E) ir
P(E) = m/n.

6. piemērs Kāda ir iespēja mest kauliņu, lai iegūtu 3?

Risinājums Uz kauliņa ir 6 vienādi iespējamie iznākumi, un ir tikai viena iespēja mest skaitli 3. Tad varbūtība P būs P(3) = 1/6.

7. piemērs Kāda ir varbūtība, ka uz kauliņa tiks izmests pāra skaitlis?

Risinājums Notikums ir pāra skaitļa mešana. Tas var notikt 3 veidos (ja metat 2, 4 vai 6). Vienlīdz iespējamo iznākumu skaits ir 6. Tad varbūtība P(pāra) = 3/6 jeb 1/2.

Mēs izmantosim vairākus piemērus, kas ietver standarta 52 kāršu komplektu. Šis klājs sastāv no kārtīm, kas parādītas attēlā zemāk.

8. piemērs Kāda ir iespējamība izvilkt dūzi no labi sajauktas kāršu klāja?

Risinājums Ir 52 iznākumi (kāršu skaits kavā), tie ir vienādi iespējami (ja klāja ir labi sajaukta), un ir 4 veidi, kā izvilkt dūzi, tāpēc pēc P principa varbūtība
P (izvelciet dūzi) = 4/52 vai 1/13.

9. piemērs Pieņemsim, ka mēs, neskatoties, izvēlamies vienu bumbu no maisa ar 3 sarkanām bumbiņām un 4 zaļajām bumbiņām. Kāda ir iespējamība izvēlēties sarkanu bumbiņu?

Risinājums Jebkuras bumbiņas vilkšanai ir 7 vienādi iespējamie iznākumi, un, tā kā sarkanās bumbiņas izvilkšanas veidu skaits ir 3, mēs iegūstam
P (sarkanās bumbas izvēle) = 3/7.

Šie apgalvojumi ir P principa rezultāti.

Varbūtības īpašības

a) Ja notikums E nevar notikt, tad P(E) = 0.
b) Ja notikums E noteikti notiks, tad P(E) = 1.
c) Varbūtība, ka notiks notikums E, ir skaitlis no 0 līdz 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Piemēram, monētas mešanas gadījumā gadījumam, kad monēta nokrīt uz tās malas, varbūtība ir nulle. Varbūtība, ka monētai ir galva vai aste, ir 1.

10. piemērs Pieņemsim, ka no 52 kāršu klāja tiek izvilktas 2 kārtis. Kāda ir varbūtība, ka abi ir virsotnes?

Risinājums Veidu skaits n, kā izvilkt 2 kārtis no labi sajaukta 52 kāršu klāja, ir 52 C 2 . Tā kā 13 no 52 kārtīm ir lāpstas, 2 pīķu izvilkšanas veidu skaits ir 13 C 2 . Tad
P (velk 2 virsotnes) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

11. piemērs Pieņemsim, ka no 6 vīriešu un 4 sieviešu grupas nejauši tiek izvēlēti 3 cilvēki. Kāda ir varbūtība, ka tiks izvēlēts 1 vīrietis un 2 sievietes?

Risinājums Veidu skaits, kā atlasīt trīs cilvēkus no 10 cilvēku grupas, ir 10 C 3. Vienu vīrieti var izvēlēties 6 C 1 veidos, un 2 sievietes var izvēlēties 4 C 2 veidos. Saskaņā ar skaitīšanas pamatprincipu veidu skaits, kā izvēlēties 1 vīrieti un 2 sievietes, ir 6 C 1. 4 C 2 . Tad varbūtība, ka tiks izvēlēts 1 vīrietis un 2 sievietes
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

12. piemērs Kauliņu mešana. Kāda ir varbūtība, ka uz diviem kauliņiem kopā izmetīs 8?

Risinājums Katram kauliņam ir 6 iespējamie rezultāti. Rezultāti tiek dubultoti, kas nozīmē, ka ir 6,6 vai 36 iespējamie veidi, kā var parādīties skaitļi uz diviem kauliņiem. (Labāk, ja kubi ir atšķirīgi, teiksim, ka viens ir sarkans, bet otrs zils — tas palīdzēs vizualizēt rezultātu.)

Ciparu pāri, kuru summa ir 8, ir parādīti zemāk esošajā attēlā. Ir 5 iespējamie veidi, kā iegūt summu, kas vienāda ar 8, tāpēc varbūtība ir 5/36.

Vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumos matemātikā ir arī sarežģītākas varbūtības problēmas (nekā mēs aplūkojām 1. daļā), kur jāpiemēro saskaitīšanas, varbūtību reizināšanas noteikums un jānošķir saderīgi un nesaderīgi notikumi.

Tātad, teorija.

Kopīgi un nekopīgi pasākumi

Notikumi tiek saukti par nesaderīgiem, ja viens no tiem izslēdz citu rašanos. Tas ir, var notikt tikai viens vai otrs konkrēts notikums.

Piemēram, metot kauliņu, varat atšķirt tādus notikumus kā pāra punktu skaita iegūšana un nepāra punktu skaita iegūšana. Šie notikumi nav savienojami.

Notikumi tiek saukti par kopīgiem, ja viena no tiem iestāšanās neizslēdz otra rašanos.

Piemēram, metot kauliņu, jūs varat atšķirt tādus notikumus kā nepāra punktu skaita ripināšana un tāda punktu skaita ripināšana, kas ir trīs reizes reizināts. Kad tiek izmests trīs, notiek abi notikumi.

Notikumu summa

Vairāku notikumu summa (vai kombinācija) ir notikums, kas sastāv no vismaz viena no šiem notikumiem.

Kurā divu nesaderīgu notikumu summa ir šo notikumu varbūtību summa:

Piemēram, iespēja iegūt 5 vai 6 punktus uz kauliņa ar vienu metienu būs , jo abi notikumi (5 vai 6 metiens) ir pretrunīgi un viena vai otra notikuma iestāšanās iespējamība tiek aprēķināta šādi:

Varbūtība divu kopīgu pasākumu summa vienāds ar šo notikumu varbūtību summu, neņemot vērā to kopīgo rašanos:

Piemēram, tirdzniecības centrā divi identiski automāti pārdod kafiju. Varbūtība, ka kafijas automātā beigsies kafija līdz dienas beigām, ir 0,3. Varbūtība, ka abos automātos beigsies kafija, ir 0,12. Noskaidrosim varbūtību, ka līdz dienas beigām kafija beigsies vismaz vienā no automātiem (tas ir, vai nu vienā, vai otrā, vai abos uzreiz).

Pirmā notikuma iespējamība “kafija beigsies pirmajā automātā”, kā arī otrā notikuma iespējamība “kafija beigsies otrajā automātā” saskaņā ar nosacījumu ir vienāda ar 0,3. Pasākumi notiek sadarbībā.

Pirmo divu notikumu kopīgas rašanās iespējamība saskaņā ar nosacījumu ir 0,12.

Tas nozīmē, ka varbūtība, ka dienas beigās kafija beigsies vismaz vienā no automātiem, ir

Atkarīgi un neatkarīgi notikumi

Divus nejaušus notikumus A un B sauc par neatkarīgiem, ja viena no tiem iestāšanās nemaina otra iestāšanās iespējamību. Pretējā gadījumā notikumus A un B sauc par atkarīgiem.

Piemēram, ja vienlaicīgi tiek ripināti divi kauliņi, viens no tiem, piemēram, 1, un otrs, 5, ir neatkarīgi notikumi.

Varbūtību reizinājums

Vairāku notikumu produkts (vai krustojums) ir notikums, kas sastāv no visu šo notikumu kopīgas norises.

Ja rodas divi neatkarīgi notikumi A un B ar varbūtībām P(A) un P(B), tad notikumu A un B iestāšanās iespējamība vienlaikus ir vienāda ar varbūtību reizinājumu:

Piemēram, mēs esam ieinteresēti redzēt sešinieku, kas parādās uz kauliņa divas reizes pēc kārtas. Abi notikumi ir neatkarīgi, un varbūtība, ka katrs no tiem notiks atsevišķi, ir . Varbūtība, ka notiks abi šie notikumi, tiks aprēķināta, izmantojot iepriekš minēto formulu: .

Skatiet uzdevumu izlasi, lai praktizētu tēmu.

Varbūtība ir kāda notikuma iestāšanās iespējamības pakāpe (relatīvais mērs, kvantitatīvais novērtējums). Ja kāda iespējama notikuma reāli iestāšanās iemesli ir lielāki par pretējo, tad šo notikumu sauc par iespējamu, pretējā gadījumā – par maz ticamu vai maz ticamu. Pozitīvo iemeslu pārsvars pār negatīvajiem un otrādi var būt dažādās pakāpēs, kā rezultātā varbūtība (un varbūtība) var būt lielāka vai mazāka. Tāpēc varbūtība bieži tiek novērtēta kvalitatīvā līmenī, īpaši gadījumos, kad vairāk vai mazāk precīzs kvantitatīvs novērtējums ir neiespējams vai ārkārtīgi sarežģīts. Iespējamas dažādas varbūtības “līmeņu” gradācijas.
Varbūtības izpēte no matemātiskā viedokļa veido īpašu disciplīnu - varbūtības teoriju. Varbūtības teorijā un matemātiskajā statistikā varbūtības jēdziens tiek formalizēts kā notikuma skaitlisks raksturlielums - varbūtības mērs (vai tā vērtība) - pasākums notikumu kopai (elementāru notikumu kopas apakškopas), ņemot vērtības no
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Nozīme
(\displaystyle 1)
Atbilst uzticamam notikumam. Neiespējama notikuma varbūtība ir 0 (pretējais parasti ne vienmēr ir patiess). Ja notikuma iestāšanās varbūtība ir
(\displaystyle p)
Tad tā nenotikšanas varbūtība ir vienāda ar
(\displaystyle 1-p)
Jo īpaši varbūtība
(\displaystyle 1/2)
Nozīmē vienādu notikuma iestāšanās un nenotikšanas varbūtību.
Klasiskā varbūtības definīcija balstās uz iznākumu vienādas varbūtības jēdzienu. Varbūtība ir noteiktam notikumam labvēlīgo iznākumu skaita attiecība pret kopējo vienādi iespējamo iznākumu skaitu. Piemēram, varbūtība iegūt galvas vai astes nejaušā monētas mešanā ir 1/2, ja pieņem, ka notiek tikai šīs divas iespējas un ka tās ir vienlīdz iespējamas. Šo klasisko varbūtības “definīciju” var vispārināt bezgalīga skaita iespējamo vērtību gadījumā, piemēram, ja kāds notikums var notikt ar vienādu varbūtību jebkurā ierobežota apgabala punktā (punktu skaits ir bezgalīgs). telpa (plakne), tad varbūtība, ka tas notiks kādā šī iespējamā apgabala daļā, ir vienāda ar šīs daļas tilpuma (laukuma) attiecību pret visu iespējamo punktu apgabala tilpumu (laukumu).
Empīriskā varbūtības “definīcija” ir saistīta ar notikuma biežumu, balstoties uz to, ka ar pietiekami lielu izmēģinājumu skaitu biežumam ir jātiecas uz šī notikuma objektīvo iespējamības pakāpi. Mūsdienu varbūtības teorijas prezentācijā varbūtība tiek definēta aksiomātiski, kā abstraktās kopas mēru teorijas īpašs gadījums. Taču savienojošā saikne starp abstrakto mēru un varbūtību, kas izsaka notikuma iestāšanās iespējamības pakāpi, ir tieši tā novērošanas biežums.
Atsevišķu parādību varbūtības aprakstīšana ir kļuvusi plaši izplatīta mūsdienu zinātnē, jo īpaši ekonometrijā, makroskopisko (termodinamisko) sistēmu statistiskajā fizikā, kur pat klasiskā deterministiskā daļiņu kustības apraksta gadījumā visas sistēmas deterministisks apraksts. nešķiet praktiski iespējama vai piemērota. Kvantu fizikā aprakstītajiem procesiem pašiem ir varbūtības raksturs.

Kas ir varbūtība?

Pirmo reizi saskaroties ar šo terminu, es nebūtu sapratis, kas tas ir. Tāpēc es centīšos paskaidrot skaidri.

Varbūtība ir iespēja, ka notiks mūsu vēlamais notikums.

Piemēram, jūs nolēmāt doties uz drauga māju, atceraties ieeju un pat grīdu, kurā viņš dzīvo. Bet es aizmirsu dzīvokļa numuru un atrašanās vietu. Un tagad jūs stāvat uz kāpnēm, un jūsu priekšā ir durvis, no kurām izvēlēties.

Kāda ir iespēja (varbūtība), ka, piezvanot pie pirmā durvīm, durvis atvērs tavs draugs? Ir tikai dzīvokļi, un draugs dzīvo tikai aiz viena no tiem. Ar vienādām iespējām varam izvēlēties jebkuras durvis.

Bet kāda ir šī iespēja?

Durvis, labās durvis. Varbūtība uzminēt, zvanot pie pirmā durvju zvana: . Tas ir, vienu reizi no trim jūs precīzi uzminēsit.

Mēs vēlamies zināt, vienreiz piezvanot, cik bieži uzminēsim durvis? Apskatīsim visas iespējas:

Tu zvanīji 1 durvis
Tu zvanīji 2 durvis
Tu zvanīji 3 durvis

Tagad apskatīsim visas iespējas, kur varētu būt draugs:

A. Aiz muguras 1 durvis
b. Aiz muguras 2 durvis
V. Aiz muguras 3 durvis

Salīdzināsim visas iespējas tabulas formā. Atzīme norāda opcijas, kad jūsu izvēle sakrīt ar drauga atrašanās vietu, krusts - ja tā nesakrīt.

Kā tu visu redzi Var būt iespējas jūsu drauga atrašanās vieta un jūsu izvēle, uz kurām durvīm zvanīt.

A visiem labvēlīgiem rezultātiem . Tas ir, jūs vienreiz uzminēsit, vienreiz piezvanot pie durvīm, t.i. .

Tā ir varbūtība - labvēlīga iznākuma (ja jūsu izvēle sakrīt ar drauga atrašanās vietu) attiecība pret iespējamo notikumu skaitu.

Definīcija ir formula. Varbūtību parasti apzīmē ar p, tāpēc:

Nav īpaši ērti uzrakstīt šādu formulu, tāpēc mēs ņemsim par - labvēlīgo iznākumu skaitu un par - kopējo rezultātu skaitu.

Varbūtību var uzrakstīt procentos; lai to izdarītu, iegūtais rezultāts jāreizina ar:

Vārds “iznākumi”, iespējams, piesaistīja jūsu uzmanību. Tā kā matemātiķi dažādas darbības (mūsu gadījumā šāda darbība ir durvju zvans) sauc par eksperimentiem, tad šādu eksperimentu rezultātu parasti sauc par rezultātu.

Ir gan labvēlīgi, gan nelabvēlīgi rezultāti.

Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Pieņemsim, ka piezvanījām kādām durvīm, bet mums tās atvēra svešinieks. Mēs neuzminējām pareizi. Kāda ir varbūtība, ka, ja mēs piezvanīsim kādām no atlikušajām durvīm, mūsu draugs tās mums atvērs?

Ja jūs tā domājāt, tad tā ir kļūda. Izdomāsim.

Mums ir palikušas divas durvis. Tātad mums ir iespējamie soļi:

1) Zvaniet 1 durvis
2) Zvaniet 2 durvis

Draugs, neskatoties uz to visu, noteikti ir aiz viena no viņiem (galu galā viņš nebija aiz tā, kuram mēs saucām):

a) draugs par 1 durvis
b) draugs par 2 durvis

Uzzīmēsim tabulu vēlreiz:

Kā redzat, ir tikai iespējas, no kurām ir labvēlīgas. Tas ir, varbūtība ir vienāda.

Kāpēc ne?

Situācija, ko mēs apsvērām, ir atkarīgu notikumu piemērs. Pirmais notikums ir pirmais durvju zvans, otrais notikums ir otrais durvju zvans.

Un tos sauc par atkarīgiem, jo tie ietekmē šādas darbības. Galu galā, ja pēc pirmā zvana uz durvju zvanu atbildētu draugs, kāda būtu varbūtība, ka viņš ir aiz kāda no pārējiem diviem? Pa labi, .

Bet, ja ir atkarīgi notikumi, tad arī jābūt neatkarīgs? Tieši tā, tie notiek.

Mācību grāmatas piemērs ir monētas mešana.

Vienreiz iemet monētu. Kāda ir varbūtība iegūt galvas, piemēram? Pareizi – jo ir visas iespējas (galvas vai astes, varbūtību, ka monēta piezemēsies uz tās malas, ņemsim vērā), bet tas der tikai mums.
Bet tas nāca klajā ar galvu. Labi, metīsim vēlreiz. Kāda ir iespējamība iegūt galvu tagad? Nekas nav mainījies, viss ir pa vecam. Cik daudz iespēju? Divas. Cik mēs esam apmierināti? Viens.

Un lai tas nāk klajā vismaz tūkstoš reižu pēc kārtas. Varbūtība uzreiz iegūt galvas būs tāda pati. Vienmēr ir iespējas, turklāt labvēlīgas.

Atkarīgos notikumus ir viegli atšķirt no neatkarīgiem:

Ja eksperimentu veic vienreiz (vienreiz met monētu, vienreiz piezvana pie durvīm utt.), tad notikumi vienmēr ir neatkarīgi.
Ja eksperiments tiek veikts vairākas reizes (vienreiz tiek iemesta monēta, vairākas reizes tiek zvanīts pie durvīm), tad pirmais notikums vienmēr ir neatkarīgs. Un tad, ja mainās labvēlīgo skaits vai visu iznākumu skaits, tad notikumi ir atkarīgi, un, ja nē, tie ir neatkarīgi.

Nedaudz trenēsimies varbūtības noteikšanā.

1. piemērs.

Monēta tiek izmesta divas reizes. Kāda ir varbūtība iegūt galvu divas reizes pēc kārtas?

Risinājums:

Apsvērsim visas iespējamās iespējas:

Ērglis-ērglis
Galvas-astes
Astes-Galvas
Astes-astes

Kā redzat, ir tikai iespējas. No tiem mēs esam tikai apmierināti. Tas ir, varbūtība:

Ja nosacījums vienkārši lūdz atrast varbūtību, tad atbilde ir jāsniedz decimāldaļskaitļa veidā. Ja būtu norādīts, ka atbilde jāsniedz procentos, tad mēs reizinātu ar.

Atbilde:

2. piemērs.

Šokolādes kastītē visas šokolādes ir iepakotas vienā iesaiņojumā. Toties no saldumiem - ar riekstiem, ar konjaku, ar ķiršiem, ar karameli un ar nugu.

Kāda ir iespējamība paņemt vienu konfekti un iegūt konfekti ar riekstiem? Norādiet savu atbildi procentos.

Risinājums:

Cik daudz iespējamo rezultātu ir? .

Tas ir, ja paņem vienu konfekti, tā būs viena no kastītē pieejamajām konfektēm.

Cik daudz labvēlīgu rezultātu?

Jo kastītē ir tikai šokolādes konfektes ar riekstiem.

Atbilde:

3. piemērs.

Balonu kastē. no kuriem ir balts un melns.

Kāda ir iespējamība uzzīmēt baltu bumbiņu?
Kastītei pievienojām vēl melnas bumbiņas. Kāda tagad ir iespēja uzzīmēt baltu bumbiņu?

Risinājums:

a) Kastē ir tikai bumbiņas. No tiem ir balti.

Varbūtība ir:

b) Tagad kastē ir vairāk bumbiņu. Un balto palikuši tikpat daudz - .

Atbilde:

Kopējā varbūtība

Visu iespējamo notikumu varbūtība ir vienāda ar ().

Pieņemsim, ka kastē ir sarkanas un zaļas bumbiņas. Kāda ir iespējamība uzzīmēt sarkanu bumbiņu? Zaļā bumba? Sarkana vai zaļa bumba?

Sarkanas bumbiņas uzzīmēšanas varbūtība

Zaļā bumba:

Sarkana vai zaļa bumba:

Kā redzat, visu iespējamo notikumu summa ir vienāda ar (). Izpratne par šo punktu palīdzēs atrisināt daudzas problēmas.

4. piemērs.

Kastītē ir marķieri: zaļa, sarkana, zila, dzeltena, melna.

Kāda ir varbūtība, ka tiks uzzīmēts NAV sarkans marķieris?

Risinājums:

Saskaitīsim skaitli labvēlīgus rezultātus.

NAV sarkans marķieris, tas nozīmē zaļu, zilu, dzeltenu vai melnu.

Visu notikumu iespējamība. Un tādu notikumu varbūtība, kurus mēs uzskatām par nelabvēlīgiem (kad izņemam sarkano marķieri), ir .

Tādējādi iespējamība, ka tiks izvilkta NAV sarkana flomāstera galu, ir .

Atbilde:

Varbūtība, ka notikums nenotiks, ir vienāda ar mīnus iespējamību, ka notikums notiks.

Neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanas noteikums

Jūs jau zināt, kas ir neatkarīgi notikumi.

Ko darīt, ja jāatrod iespējamība, ka pēc kārtas notiks divi (vai vairāki) neatkarīgi notikumi?

Pieņemsim, ka mēs vēlamies zināt, kāda ir iespējamība, ka, vienu reizi apmetot monētu, galvas redzēsim divas reizes?

Mēs jau esam apsvēruši - .

Ko darīt, ja mēs vienu reizi izmetam monētu? Kāda ir iespējamība redzēt ērgli divas reizes pēc kārtas?

Kopējais iespējamo variantu skaits:

Ērglis-ērglis-ērglis
Galvas-galvas-astes
Galvas-astes-galvas
Galvas-astes-astes
Astes-galvas-galvas
Astes-galvas-astes
Astes-astes-galvas
Astes-astes-astes

Es nezinu, kā jūs, bet es vairākas reizes pieļāvu kļūdas, veidojot šo sarakstu. Oho! Un vienīgais variants (pirmais) mums ir piemērots.

5 metieniem jūs pats varat izveidot sarakstu ar iespējamiem rezultātiem. Bet matemātiķi nav tik strādīgi kā jūs.

Tāpēc viņi vispirms pamanīja un pēc tam pierādīja, ka noteiktas neatkarīgu notikumu secības iespējamība katru reizi samazinās par viena notikuma iespējamību.

Citiem vārdiem sakot,

Apskatīsim tās pašas neveiksmīgās monētas piemēru.

Vai ir iespēja tikt galā ar izaicinājumu? . Tagad mēs vienu reizi apmetam monētu.

Kāda ir iespējamība, ka galvām sanāks pēc kārtas?

Šis noteikums darbojas ne tikai tad, ja mums tiek lūgts atrast iespējamību, ka viens un tas pats notikums notiks vairākas reizes pēc kārtas.

Ja mēs secīgiem metieniem vēlamies atrast secību TAILS-HEADS-TAILS, mēs darītu tāpat.

Astes iegūšanas varbūtība ir , galvas - .

Varbūtība iegūt secību TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

To var pārbaudīt pats, izveidojot tabulu.

Noteikums nesaderīgu notikumu varbūtību pievienošanai.

Tāpēc apstājieties! Jauna definīcija.

Izdomāsim. Paņemsim savu nolietoto monētu un iemetīsim to vienreiz.
Iespējamie varianti:

Ērglis-ērglis-ērglis
Galvas-galvas-astes
Galvas-astes-galvas
Galvas-astes-astes
Astes-galvas-galvas
Astes-galvas-astes
Astes-astes-galvas
Astes-astes-astes

Tātad nesavienojami notikumi ir noteikta, dota notikumu secība. - tie ir nesavienojami notikumi.

Ja vēlamies noteikt, kāda ir divu (vai vairāku) nesavienojamu notikumu iespējamība, tad mēs saskaitām šo notikumu varbūtības.

Jums jāsaprot, ka galvas vai astes ir divi neatkarīgi notikumi.

Ja vēlamies noteikt secības (vai jebkuras citas) rašanās varbūtību, tad izmantojam varbūtību reizināšanas noteikumu.
Kāda ir iespējamība, ka ar pirmo mešanu dabū galvu, bet otrajā un trešajā metienā – astes?

Bet, ja mēs vēlamies zināt, kāda ir varbūtība iegūt kādu no vairākām sekvencēm, piemēram, kad galviņas parādās tieši vienu reizi, t.i. opcijas un tad mums ir jāsaskaita šo secību varbūtības.

Kopējās iespējas mums ir piemērotas.

To pašu var iegūt, saskaitot katras secības rašanās varbūtības:

Tādējādi mēs pievienojam varbūtības, ja vēlamies noteikt noteiktu, nekonsekventu notikumu secību iespējamību.

Ir lielisks noteikums, kas palīdzēs jums izvairīties no apjukuma, kad reizināt un kad pievienot:

Atgriezīsimies pie piemēra, kad mēs vienu reizi iemetām monētu un vēlējāmies uzzināt varbūtību, ka vienu reizi ieraudzīsim galvas.
Kas notiks?

Jāizkrīt:
(galvas UN astes UN astes) VAI (astes UN astes UN astes) VAI (astes UN astes UN galvas).
Tas izrādās šādi:

Apskatīsim dažus piemērus.

5. piemērs.

Kastītē ir zīmuļi. sarkana, zaļa, oranža un dzeltena un melna. Kāda ir iespēja uzzīmēt sarkanus vai zaļus zīmuļus?

Risinājums:

Kas notiks? Mums ir jāvelk (sarkans VAI zaļš).

Tagad ir skaidrs, saskaitīsim šo notikumu varbūtības:

Atbilde:

6. piemērs.

Ja ar kauliņu met divas reizes, kāda ir iespējamība, ka kopā iegūsit 8?

Risinājums.

Kā mēs varam iegūt punktus?

(un) vai (un) vai (un) vai (un) vai (un).

Varbūtība iegūt vienu (jebkuru) seju ir .

Mēs aprēķinām varbūtību:

Atbilde:

Apmācība.

Es domāju, ka tagad jūs saprotat, kad ir jāaprēķina varbūtības, kad tās jāpievieno un kad jāreizina. Vai ne? Mazliet trenēsimies.

Uzdevumi:

Paņemsim kāršu klāju, kurā ir kārtis, tostarp lāpstas, sirdis, 13 nūjas un 13 dimanti. No līdz katra tērpa dūzim.

Kāda ir iespējamība, ka nūjas tiks ievilktas pēc kārtas (mēs pirmo izvilkto kārti ieliekam atpakaļ kavā un sajaucam)?
Kāda ir varbūtība, ka tiks izvilkta melnā kārts (pītas vai nūjas)?
Kāda ir varbūtība uzzīmēt attēlu (džeks, dāma, karalis vai dūzis)?
Kāda ir iespējamība uzzīmēt divus attēlus pēc kārtas (noņemam no klāja pirmo izvilkto kārti)?
Kāda ir varbūtība, ņemot divas kārtis, savākt kombināciju - (džeks, dāma vai karalis) un dūzi?Kāršu izvilkšanas secībai nav nozīmes.

Atbildes:

Katras vērtības kāršu komplektā tas nozīmē:
Notikumi ir atkarīgi, jo pēc pirmās kārts izņemšanas kāršu skaits klājā samazinājās (tāpat kā “attēlu” skaits). Sākotnēji kavā ir džeki, dāmas, karaļi un dūži, kas nozīmē varbūtību, ka ar pirmo kārti tiks izvilkts “attēls”:
Tā kā mēs noņemam pirmo kārti no klāja, tas nozīmē, ka kavā jau ir palikušas kārtis, ieskaitot attēlus. Varbūtība uzzīmēt attēlu ar otro karti:
Tā kā mūs interesē situācija, kad no klāja izņemam “attēlu” UN “attēlu”, mums ir jāreizina varbūtības:
Atbilde:
Pēc pirmās kārts izņemšanas kāršu skaits kavā samazināsies, tāpēc mums ir piemērotas divas iespējas:
1) Pirmā kārts ir dūzis, otrā ir džeks, dāma vai karalis
2) Ar pirmo kārti izņemam džeku, dāmu vai karali, bet ar otro – dūzi. (dūzis un (džeks vai dāma, vai karalis)) vai ((džeks vai dāma vai karalis) un dūzis). Neaizmirstiet par kāršu skaita samazināšanu klājā!

Ja visas problēmas varēji atrisināt pats, tad tu esi lielisks! Tagad vienotajā valsts eksāmenā varbūtības teorijas problēmas plēsīsiet kā riekstus!

VARBŪTĪBU TEORIJA. VIDĒJAIS LĪMENIS

Apskatīsim piemēru. Pieņemsim, ka metam kauliņu. Kas tas par kaulu, vai jūs zināt? Tas ir tas, ko viņi sauc par kubu ar cipariem uz tā virsmām. Cik seju, tik skaitļu: no līdz cik? Pirms tam.

Tāpēc mēs ripinām kauliņus un vēlamies, lai tas parādās vai. Un mēs to saņemam.

Varbūtības teorijā viņi saka, kas noticis labvēlīgs notikums(nejaukt ar pārtikušu).

Ja tā notiktu, pasākums arī būtu labvēlīgs. Kopumā var notikt tikai divi labvēlīgi notikumi.

Cik ir nelabvēlīgu? Tā kā ir totāli iespējamie notikumi, tas nozīmē, ka nelabvēlīgie ir notikumi (tas ir, ja vai izkrīt).

Definīcija:

Varbūtība ir labvēlīgo notikumu skaita attiecība pret visu iespējamo notikumu skaitu. Tas ir, varbūtība parāda, kāda daļa no visiem iespējamiem notikumiem ir labvēlīgi.

Tie apzīmē varbūtību ar latīņu burtu (acīmredzot no angļu vārda probability - varbūtība).

Ir ierasts mērīt varbūtību procentos (sk. tēmas un). Lai to izdarītu, varbūtības vērtība ir jāreizina ar. Kauliņu piemērā varbūtība.

Un procentos: .

Piemēri (izlemiet paši):

Kāda ir iespēja iegūt galvu, metot monētu? Kāda ir galviņu nolaišanās varbūtība?
Kāda ir varbūtība iegūt pāra skaitli, metot kauliņu? Kurš no tiem ir nepāra?
Vienkāršu, zilu un sarkanu zīmuļu kastītē. Mēs nejauši uzzīmējam vienu zīmuli. Kāda ir varbūtība iegūt vienkāršu?

Risinājumi:

Cik daudz iespēju ir? Galvas un astes - tikai divas. Cik no tiem ir labvēlīgi? Tikai viens ir ērglis. Tātad varbūtība
Tas pats ir ar astēm: .
Kopējās opcijas: (cik malu ir kubam, tik daudz dažādu iespēju). Labvēlīgie: (tie visi ir pāra skaitļi:).
Varbūtība. Protams, tas pats ir ar nepāra skaitļiem.
Kopā: . Labvēlīgs: . Varbūtība: .

Kopējā varbūtība

Visi kastē esošie zīmuļi ir zaļi. Kāda ir iespējamība uzzīmēt sarkanu zīmuli? Nav izredžu: varbūtība (galu galā labvēlīgi notikumi -).

Šādu notikumu sauc par neiespējamu.

Kāda ir varbūtība uzzīmēt zaļu zīmuli? Ir tieši tikpat labvēlīgu notikumu, cik notikumu kopumā (visi notikumi ir labvēlīgi). Tātad varbūtība ir vienāda ar vai.

Šādu notikumu sauc par uzticamu.

Ja kastē ir zaļi un sarkani zīmuļi, kāda ir varbūtība, ka uzzīmēsiet zaļu vai sarkanu krāsu? Jau atkal. Ņemsim vērā: varbūtība izvilkt zaļo ir vienāda, un sarkanā ir vienāda.

Kopumā šīs varbūtības ir tieši vienādas. Tas ir, visu iespējamo notikumu varbūtību summa ir vienāda ar vai.

Piemērs:

Zīmuļu kastē starp tiem ir zils, sarkans, zaļš, vienkāršs, dzeltens, bet pārējie ir oranži. Kāda ir varbūtība, ka netiks uzzīmēta zaļa krāsa?

Risinājums:

Mēs atceramies, ka visas varbūtības summējas. Un varbūtība kļūt zaļai ir vienāda. Tas nozīmē, ka varbūtība neuzzīmēt zaļo ir vienāda.

Atcerieties šo triku: Varbūtība, ka notikums nenotiks, ir vienāda ar mīnus iespējamību, ka notikums notiks.

Neatkarīgi notikumi un reizināšanas likums

Jūs vienu reizi apmetat monētu un vēlaties, lai tā abas reizes parādās. Kāda ir tā iespējamība?

Izskatīsim visas iespējamās iespējas un noteiksim, cik to ir:

Galvas-galvas, astes-galvas, galvas-astes, astes-astes. Kas vēl?

Kopējās iespējas. No tiem mums ir piemērots tikai viens: Ērglis-Ērglis. Kopumā varbūtība ir vienāda.

Labi. Tagad uzmetīsim vienu monētu. Veiciet matemātiku pats. Vai notika? (atbilde).

Iespējams, esat pamanījuši, ka, pieskaitot katru nākamo metienu, varbūtība samazinās uz pusi. Vispārējo noteikumu sauc reizināšanas noteikums:

Neatkarīgu notikumu iespējamības mainās.

Kas ir neatkarīgi notikumi? Viss ir loģiski: tie ir tie, kas nav atkarīgi viens no otra. Piemēram, kad mēs metam monētu vairākas reizes, katru reizi tiek veikts jauns metiens, kura rezultāts nav atkarīgs no visiem iepriekšējiem metieniem. Tikpat viegli varam iemest divas dažādas monētas vienlaicīgi.

Vairāk piemēru:

Kauliņi tiek izmesti divreiz. Kāda ir iespēja to iegūt abas reizes?
Monēta tiek izmesta vienu reizi. Kāda ir iespējamība, ka tas pirmo reizi parādīsies ar galvu un pēc tam divas reizes?
Spēlētājs met divus kauliņus. Kāda ir varbūtība, ka uz tiem esošo skaitļu summa būs vienāda?

Atbildes:

Notikumi ir neatkarīgi, tas nozīmē, ka darbojas reizināšanas kārtula: .
Galvu varbūtība ir vienāda. Astes varbūtība ir tāda pati. Reizināt:
12 var iegūt tikai tad, ja ir izripināti divi -ki: .

Nesaderīgi notikumi un pievienošanas noteikums

Notikumi, kas papildina viens otru līdz pilnīgai iespējamībai, tiek saukti par nesaderīgiem. Kā norāda nosaukums, tie nevar notikt vienlaicīgi. Piemēram, ja mēs apmetam monētu, tai var parādīties gan galviņas, gan astes.

Piemērs.

Zīmuļu kastē starp tiem ir zils, sarkans, zaļš, vienkāršs, dzeltens, bet pārējie ir oranži. Kāda ir varbūtība uzzīmēt zaļu vai sarkanu?

Risinājums.

Zaļā zīmuļa uzzīmēšanas varbūtība ir vienāda. Sarkans - .

Labvēlīgi notikumi kopumā: zaļš + sarkans. Tas nozīmē, ka varbūtība uzzīmēt zaļu vai sarkanu ir vienāda.

To pašu varbūtību var attēlot šādā formā: .

Šis ir pievienošanas noteikums: nesaderīgu notikumu varbūtības summējas.

Jaukta tipa problēmas

Piemērs.

Monēta tiek izmesta divas reizes. Kāda ir iespējamība, ka ruļļu rezultāti būs atšķirīgi?

Risinājums.

Tas nozīmē, ka, ja pirmais rezultāts ir galvas, otrajam jābūt astes un otrādi. Izrādās, ka ir divi neatkarīgu notikumu pāri, un šie pāri nav savienojami viens ar otru. Kā neapjukt, kur pavairot un kur pievienot.

Šādām situācijām ir vienkāršs noteikums. Mēģiniet aprakstīt, kas notiks, izmantojot saikļus “UN” vai “OR”. Piemēram, šajā gadījumā:

Tam vajadzētu parādīties (galvas un astes) vai (astes un galvas).

Ja ir savienojums “un”, būs reizināšana, bet tur, kur ir “vai”, būs saskaitīšana:

Izmēģiniet to pats:

Kāda ir iespējamība, ka, ja monētu iemet divreiz, monēta abas reizes nonāks vienā pusē?
Kauliņi tiek izmesti divreiz. Kāda ir varbūtība iegūt kopējo punktu skaitu?

Risinājumi:

(Galvas krita un astes krita) vai (astes krita un astes krita): .
Kādas ir iespējas? Un. Pēc tam:
Nokrita (un) vai (un) vai (un): .

Vēl viens piemērs:

Vienreiz iemet monētu. Kāda ir varbūtība, ka galvas parādīsies vismaz vienu reizi?

Risinājums:

Ak, kā es negribu iet cauri iespējām... Galvas-astes-astes, Ērglis-galvas-astes,... Bet nevajag! Atcerēsimies par kopējo varbūtību. Vai tu atceries? Kāda ir varbūtība, ka ērglis nekad neizkritīs? Tas ir vienkārši: galvas visu laiku lido, tāpēc.

VARBŪTĪBU TEORIJA. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Varbūtība ir labvēlīgo notikumu skaita attiecība pret visu iespējamo notikumu skaitu.

Neatkarīgi pasākumi

Divi notikumi ir neatkarīgi, ja viena iestāšanās nemaina otra iestāšanās iespējamību.

Kopējā varbūtība

Visu iespējamo notikumu varbūtība ir vienāda ar ().

Varbūtība, ka notikums nenotiks, ir vienāda ar mīnus iespējamību, ka notikums notiks.

Neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanas noteikums

Noteiktas neatkarīgu notikumu secības varbūtība ir vienāda ar katra notikuma varbūtību reizinājumu

Nesaderīgi notikumi

Nesaderīgi notikumi ir tādi, kas eksperimenta rezultātā nevar notikt vienlaicīgi. Vairāki nesaderīgi notikumi veido pilnīgu notikumu grupu.

Nesaderīgu notikumu iespējamības summējas.

Aprakstījuši, kam jānotiek, izmantojot saikļus “UN” vai “OR”, “UN” vietā liekam reizināšanas zīmi, bet “OR” vietā pievienojam saskaitīšanas zīmi.

Kļūsti par YouClever studentu,

Sagatavoties vienotajam valsts eksāmenam vai vienotajam valsts eksāmenam matemātikā,

Un arī bez ierobežojumiem iegūstiet piekļuvi YouClever mācību grāmatai...