Pieskares īpašības. Pieskares līnija Pieskares likums

Definīcija. Riņķa pieskare ir taisna līnija plaknē, kurai ir tieši viens kopīgs punkts ar apli.

Šeit ir daži piemēri:

Aplis ar centru O pieskaras taisnai līnijai l punktā A

No jebkuras vietas MĀrpus apļa var novilkt tieši divas pieskares

Atšķirība starp tangensu l, sekants B.C. un taisni m, kam nav kopīgu punktu ar apli

Te varētu arī beigt, bet prakse rāda, ka nepietiek tikai ar definīcijas iegaumēšanu – ir jāiemācās saskatīt zīmējumos pieskares, jāzina to īpašības un, turklāt, pareizi jāpraktizē šo īpašību pielietošanā, risinot reālas problēmas. Mēs to visu darīsim šodien.

Tangenšu pamatīpašības

Lai atrisinātu jebkuru problēmu, jums jāzina četras galvenās īpašības. Divas no tām ir aprakstītas jebkurā uzziņu grāmatā/mācību grāmatā, bet pēdējās divas kaut kā aizmirstas, bet velti.

1. Pieskares segmenti, kas novilkti no viena punkta, ir vienādi

Nedaudz augstāk mēs jau runājām par divām pieskarēm, kas novilktas no viena punkta M. Tātad:

No viena punkta novilkta riņķa pieskares segmenti ir vienādi.

Segmenti A.M. Un B.M. vienāds

2. Pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts līdz pieskares punktam

Apskatīsim vēlreiz augstāk redzamo attēlu. Zīmēsim rādiusus O.A. Un O.B., pēc kura mēs atklājam, ka leņķi OAM Un O.B.M.- taisni.

Saskares punktam novilktais rādiuss ir perpendikulārs pieskarei.

Šo faktu var izmantot bez pierādījumiem jebkurā problēmā:

Pieskares punktam novilkti rādiusi ir perpendikulāri pieskarēm

Starp citu, ņemiet vērā: ja zīmējat segmentu OM, tad mēs iegūstam divus vienādus trīsstūrus: OAM Un O.B.M..

3. Attiecības starp tangensu un sekantu

Bet tas ir nopietnāks fakts, un lielākā daļa skolēnu to nezina. Apsveriet tangensu un sekantu, kas iet caur vienu un to pašu punktu M. Protams, sekants mums iedos divus segmentus: apļa iekšpusē (segments B.C.- to sauc arī par akordu) un ārpusi (to sauc arī par ārējo daļu). M.C.).

Visa sekanta un tā ārējās daļas reizinājums ir vienāds ar pieskares segmenta kvadrātu

Sekanta un pieskares saistība

4. Leņķis starp tangenti un hordu

Vēl progresīvāks fakts, ko bieži izmanto sarežģītu problēmu risināšanai. Es ļoti iesaku to nodot ekspluatācijā.

Leņķis starp pieskari un hordu ir vienāds ar ierakstīto leņķi, ko ierobežo šī horda.

No kurienes rodas jēga? B? Reālās problēmās tas parasti “uznirst” kaut kur stāvoklī. Tāpēc ir svarīgi iemācīties atpazīt šo konfigurāciju zīmējumos.

Dažreiz tam ir nozīme :)

\[(\Large(\text(Centrālais un ierakstītie leņķi)))\]

Definīcijas

Centrālais leņķis ir leņķis, kura virsotne atrodas apļa centrā.

Ierakstītais leņķis ir leņķis, kura virsotne atrodas uz apļa.

Apļa loka pakāpes mērs ir tā centrālā leņķa pakāpes mērs, kas to aptver.

Teorēma

Ierakstītā leņķa pakāpes mērs ir vienāds ar pusi no loka pakāpes, uz kuras tas balstās.

Pierādījums

Pierādīšanu veiksim divos posmos: pirmkārt, pierādīsim apgalvojuma derīgumu gadījumam, kad viena no ierakstītā leņķa malām satur diametru. Lai punkts $B$ ir ierakstītā leņķa $ABC$ virsotne un $BC$ ir apļa diametrs:

Trijstūris $AOB$ ir vienādsānu, $AO = OB$ , $\angle AOC$ ir ārējs, tad $\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC$, kur $\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)$.

Tagad apsveriet patvaļīgu ierakstītu leņķi $ABC$ . Uzzīmēsim apļa diametru $BD$ no ierakstītā leņķa virsotnes. Ir divi iespējamie gadījumi:

1) diametrs sagriež leņķi divos leņķos $\angle ABD, \angle CBD$ (katram no tiem teorēma ir patiesa, kā pierādīts iepriekš, tāpēc tā ir patiesa arī sākotnējam leņķim, kas ir šo summu summa divi un līdz ar to vienāds ar pusi no loku summas, uz kurām tie balstās, tas ir, vienāda ar pusi no loka, uz kura tie balstās). Rīsi. 1.

2) diametrs nesagrieza leņķi divos leņķos, tad mums ir vēl divi jauni ierakstīti leņķi $\angle ABD, \angle CBD$, kuru pusē ir diametrs, tāpēc tiem ir patiesa teorēma, tad tas attiecas arī uz sākotnējo leņķi (kas ir vienāds ar šo divu leņķu starpību, kas nozīmē, ka tas ir vienāds ar to loku starpību, uz kuriem tie balstās, tas ir, vienāds ar pusi no loka, uz kura tas balstās) . Rīsi. 2.

Sekas

1. Ierakstītie leņķi, kas atrodas vienā lokā, ir vienādi.

2. Ierakstīts leņķis, kas noslēgts ar pusloku, ir taisns leņķis.

3. Ierakstītais leņķis ir vienāds ar pusi no centrālā leņķa, ko nosaka tas pats loks.

\[(\Large(\text(Apļa pieskare)))\]

Definīcijas

Ir trīs veidu līnijas un apļa relatīvās pozīcijas:

1) taisne $a$ krusto apli divos punktos. Šādu līniju sauc par sekantu. Šajā gadījumā attālums $d$ no apļa centra līdz taisnei ir mazāks par apļa rādiusu $R$ (3. att.).

2) taisne $b$ krusto apli vienā punktā. Šādu taisni sauc par pieskares punktu, un to kopējo punktu $B$ sauc par pieskares punktu. Šajā gadījumā $d=R$ (4. att.).

Teorēma

1. Riņķa pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts līdz pieskares punktam.

2. Ja taisne iet caur riņķa rādiusa galu un ir perpendikulāra šim rādiusam, tad tā ir riņķa līnijas pieskare.

Sekas

Pieskares segmenti, kas novilkti no viena punkta uz apli, ir vienādi.

Pierādījums

Uzzīmēsim divas pieskares $KA$ un $KB$ aplim no punkta $K$:

Tas nozīmē, ka $OA\perp KA, OB\perp KB$ ir kā rādiusi. Taisni trīsstūri $\trijstūris KAO$ un $\trijstūris KBO$ ir vienādi kājā un hipotenūzā, tāpēc $KA=KB$ .

Sekas

Apļa centrs $O$ atrodas uz leņķa $AKB$ bisektrise, ko veido divas pieskares, kas novilktas no viena punkta $K$ .

\[(\Large(\text(Teorēmas, kas saistītas ar leņķiem)))\]

Teorēma par leņķi starp sekantiem

Leņķis starp diviem sekantiem, kas novilkti no viena un tā paša punkta, ir vienāds ar pusi starpību grādu mēros lielākajos un mazākajos lokos, ko tie nogriež.

Pierādījums

Lai $M$ ir punkts, no kura tiek novilkti divi sekanti, kā parādīts attēlā:

Parādīsim to $\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\angle DAB$ ir trijstūra $MAD$ ārējais leņķis $\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA$, kur $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA$, bet leņķi $\angle DAB$ un $\angle MDA$ ir ierakstīti, tad $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$, kas bija tas, kas bija jāpierāda.

Teorēma par leņķi starp krustojošām akordiem

Leņķis starp divām krustojošām hordām ir vienāds ar pusi no to izgriezto loku grādu mēru summas: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Pierādījums

$\angle BMA = \angle CMD$ kā vertikāla.

No trīsstūra $AMD$ : $\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)$.

Bet $\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD$, no kā mēs to secinām \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ smaids\over(CD)).\]

Teorēma par leņķi starp akordu un pieskari

Leņķis starp pieskares punktu un horu, kas iet cauri pieskares punktam, ir vienāds ar pusi no loka pakāpes, ko aptver horda.

Pierādījums

Ļaujiet taisnei $a$ pieskarties aplim punktā $A$, $AB$ ir šī apļa horda, $O$ ir tā centrs. Ļaujiet līnijai, kurā ir $OB$, krustojas ar $a$ punktā $M$ . Pierādīsim to $\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)$.

Apzīmēsim $\angle OAB = \alpha$ . Tā kā $OA$ un $OB$ ir rādiusi, tad $OA = OB$ un $\angle OBA = \angle OAB = \alpha$. Tādējādi $\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$.

Tā kā $OA$ ir pieskares punkta rādiuss, tad $OA\perp a$, tas ir, $\angle OAM = 90^\circ$, tāpēc $\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)$.

Teorēma par lokiem, kas pakļauti vienādiem akordiem

Vienādas akordas veido vienādus lokus, kas ir mazāki par puslokiem.

Un otrādi: vienādas lokas tiek pakļautas vienādiem akordiem.

Pierādījums

1) Ļaujiet $AB=CD$ . Pierādīsim, ka loka mazākie pusloki .

Tāpēc no trim pusēm $\angle AOB=\angle COD$ . Bet tāpēc $\angle AOB, \angle COD$ - centrālie leņķi, ko atbalsta loki $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$ attiecīgi, tad $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) Ja $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, Tas $\trijstūris AOB=\trijstūris COD$ abās pusēs $AO=BO=CO=DO$ un leņķi starp tām $\angle AOB=\angle COD$ . Tāpēc un $AB=CD$ .

Teorēma

Ja rādiuss sadala hordu uz pusēm, tad tas ir tai perpendikulārs.

Ir arī otrādi: ja rādiuss ir perpendikulārs hordam, tad krustošanās punktā tas sadala to uz pusēm.

Pierādījums

1) Ļaujiet $AN=NB$ . Pierādīsim, ka $OQ\perp AB$ .

Apsveriet $\trijstūri AOB$ : tas ir vienādsānu, jo $OA=OB$ – apļa rādiusi. Jo $ON$ ir mediāna, kas novilkta uz pamatni, tad tā ir arī augstums, tāpēc $ON\perp AB$ .

2) Pieņemsim $OQ\perp AB$ . Pierādīsim, ka $AN=NB$ .

Tāpat $\trijstūris AOB$ ir vienādsānu, $ON$ ir augstums, tāpēc $ON$ ir mediāna. Tāpēc $AN=NB$ .

\[(\Large(\text(Teorēmas, kas saistītas ar segmentu garumiem)))\]

Teorēma par akordu segmentu reizinājumu

Ja krustojas divi riņķa akordi, tad vienas hordas segmentu reizinājums ir vienāds ar otra horda posmu reizinājumu.

Pierādījums

Ļaujiet akordiem $AB$ un $CD$ krustoties punktā $E$ .

Apsveriet trīsstūrus $ADE$ un $CBE$ . Šajos trīsstūros leņķi $1$ un $2$ ir vienādi, jo tie ir ierakstīti un balstās uz viena loka $BD$, un leņķi $3$ un $4$ ir vienādi. kā vertikāli. Trijstūri $ADE$ un $CBE$ ir līdzīgi (pamatojoties uz pirmo trīsstūru līdzības kritēriju).

Tad $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, no kura $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Pieskares un sekantes teorēma

Pieskares segmenta kvadrāts ir vienāds ar sekanta un tā ārējās daļas reizinājumu.

Pierādījums

Ļaujiet pieskarei iet caur punktu $M$ un pieskarieties aplim punktā $A$ . Ļaujiet sekantam iziet caur punktu $M$ un krustot apli punktos $B$ un $C$ tā, lai $MB< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

Apsveriet trīsstūrus $MBA$ un $MCA$ : $\angle M$ ir kopīgs, $\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)$. Saskaņā ar teorēmu par leņķi starp tangensu un sekantu, $\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA$. Tādējādi trīsstūri $MBA$ un $MCA$ ir līdzīgi divos leņķos.

No trīsstūru $MBA$ un $MCA$ līdzības mums ir: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$, kas ir ekvivalents $MB\cdot MC = MA^2$ .

Sekas

No punkta $O$ ārējās daļas novilkta sekanta reizinājums nav atkarīgs no no punkta $O$ novilktā sekanta izvēles.

Punkti $x_0\in\mathbb(R)$ , un tajā ir atšķirīgs: $f \in \mathcal(D)(x_0)$ . Funkcijas grafika pieskares līnija $f$ punktā $x_0$ sauc par lineāras funkcijas grafiku, ko dod vienādojums $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb(R)$ .

Ja funkcija

f

ir punktā

x_0

bezgalīgs atvasinājums

f"(x_0) = \pm \infty,

tad pieskares līnija šajā punktā ir vienādojuma dotā vertikālā līnija

x = x_0.

komentēt

No definīcijas tieši izriet, ka pieskares līnijas grafiks iet caur punktu $(x_0,f(x_0))$ . Stūris $\alpha$ starp līknes pieskari un Vērša asi apmierina vienādojumu

$\operatora nosaukums(tg)\,\alpha = f"(x_0)= k,$

Kur $\operatora nosaukums(tg)$ apzīmē tangensu un $\operatora nosaukums (k)$ - pieskares slīpuma koeficients. Atvasinājums punktā $x_0$ vienāds ar funkcijas grafika pieskares slīpumu $y = f(x)$ šajā brīdī.

Tangenss kā sekanta robežpozīcija

Ļaujiet $f\kolons U(x_0) \līdz \R$ Un $x_1 \in U(x_0).$ Tad taisna līnija, kas iet caur punktiem $(x_0,f(x_0))$ Un $(x_1,f(x_1))$ ko dod vienādojums

$y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

Šī līnija iet caur punktu $(x_0,f(x_0))$ jebkuram $x_1\in U(x_0),$ un tā slīpuma leņķi $\alpha(x_1)$ apmierina vienādojumu

$\operatora nosaukums(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

Atvasinātās funkcijas esamības dēļ $f$ punktā $x_0,$ dodas uz limitu plkst $x_1 \līdz x_0,$ mēs atklājam, ka ir robeža

$\lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatora nosaukums(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

un arktangenta un ierobežojošā leņķa nepārtrauktības dēļ

$\alpha = \operatora nosaukums(arctg)\,f"(x_0).$

Līnija, kas iet caur punktu $(x_0,f(x_0))$ un kam ir atbilstošs maksimālais slīpuma leņķis $\operatora nosaukums(tg)\,\alpha = f"(x_0),$ tiek dots ar tangensu vienādojumu:

$y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0).$

Pieskares aplim

Taisni, kurai ir viens kopīgs punkts ar riņķi un kura atrodas vienā plaknē ar to, sauc par riņķa pieskari.

Īpašības

Riņķa pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts līdz pieskares punktam.
No viena punkta novilkta riņķa pieskares segmenti ir vienādi un veido vienādus leņķus ar taisnu līniju, kas iet caur šo punktu un apļa centru.
Pieskares segmenta garums, kas novilkts uz riņķa vienības rādiusu, kas ņemts starp pieskares punktu un pieskares krustpunktu ar staru, kas novilkts no apļa centra, ir pieskares leņķim starp šo staru un virziens no apļa centra līdz pieskares punktam. "Tangens" no lat. pieskares- "tangence".

Variācijas un vispārinājumi

Vienpusējās pustangences

Ja ir pareizais atvasinājums $f"_+(x_0)< \infty,$ Tas labais pustangenss uz funkcijas grafiku $f$ punktā $x_0$ sauc par staru

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x\geqslant x_0.

Ja ir kreisais atvasinājums $f"_-(x_0)< \infty,$ Tas kreisais pustangenss uz funkcijas grafiku $f$ punktā $x_0$ sauc par staru

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x\leqslant x_0.

Ja ir bezgalīgs labais atvasinājums $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $f$ punktā $x_0$ sauc par staru

x = x_0,\;  y\geqslant f(x_0)\;  (y \leqslant f(x_0)).

Ja ir bezgalīgs kreisais atvasinājums $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ tad funkcijas grafika labais pustangenss $f$ punktā $x_0$ sauc par staru

x = x_0,\;  y \leqslant f(x_0)\;  (y \geqslant f(x_0)).

Skatīt arī

Normāls, binormāls

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Tangenciālā līnija"

Literatūra

Toponogovs V.A. Līkņu un virsmu diferenciālģeometrija. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
// Brokhausa un Efrona enciklopēdiskā vārdnīca: 86 sējumos (82 sējumi un 4 papildu sējumi). - Sanktpēterburga. , 1890-1907.

Pieskares līniju raksturojošs fragments

- Vietām! - jaunais virsnieks kliedza uz karavīriem, kas pulcējās ap Pjēru. Šis jaunais virsnieks, acīmredzot, pirmo vai otro reizi pildīja savu amatu un tāpēc īpaši skaidri un formāli izturējās gan pret karavīriem, gan pret komandieri.
Lielgabalu un šauteņu ripošana pastiprinājās visā laukā, īpaši pa kreisi, kur bija Bagrationa zibšņi, taču šāvienu dūmu dēļ no vietas, kur atradās Pjērs, gandrīz neko nevarēja redzēt. Turklāt visu Pjēra uzmanību piesaistīja šķietami ģimenes (nošķirtas no visiem pārējiem) cilvēku loka, kas atradās uz akumulatora, novērošana. Viņa pirmo neapzināto priecīgo satraukumu, ko radīja kaujas lauka skats un skaņas, tagad, īpaši pēc šī vientuļā pļavā guļošā karavīra skata, nomainīja cita sajūta. Tagad, sēžot grāvja nogāzē, viņš vēroja sev apkārt esošās sejas.
Pulksten desmitiem divdesmit cilvēku jau bija aiznesti no akumulatora; divi lielgabali tika salauzti, lādiņi trāpīja akumulatorā arvien biežāk, un tāla darbības rādiusa lodes lidoja iekšā, dūcot un svilpojot. Taču cilvēki, kas atradās pie akumulatora, to nelikās pamanījuši; No visām pusēm skanēja jautra runa un joki.
- Činenka! - karavīrs kliedza uz tuvojošos granātu, kas lidoja ar svilpi. - Ne šeit! Uz kājniekiem! – cits smiedamies piebilda, pamanot, ka granāta pārlido un atsitās pret aizsegu rindām.
- Ko, draugs? - cits karavīrs pasmējās par cilvēku, kurš notupās zem lidojošās lielgabala lodes.
Vairāki karavīri sapulcējās pie vaļņa, skatoties uz priekšā notiekošo.
"Un viņi noņēma ķēdi, redziet, viņi atgriezās," viņi teica, norādot pāri vārpstai.
"Turiet prātā savu darbu," vecais apakšvirsnieks uzkliedza viņiem. "Mēs esam devušies atpakaļ, tāpēc ir pienācis laiks atgriezties." - Un apakšvirsnieks, paņēmis vienu no karavīriem aiz pleca, pagrūda viņu ar ceļgalu. Bija smiekli.
- Ritieties pretī piektajam lielgabalam! - viņi kliedza no vienas puses.
"Uzreiz draudzīgāk, burlatska stilā," bija dzirdami jautri to cilvēku, kuri mainīja ieroci, saucieni.
"Ak, es gandrīz nogāzu mūsu kunga cepuri," sarkans jokdaris pasmējās Pjēram, rādot zobus. "Eh, neveikls," viņš pārmetoši piebilda lielgabala lodei, kas atsitās pret riteni un vīrieša kāju.
- Ejiet, lapsas! - cits pasmējās par locīšanas miličiem, kas iekļūst akumulatorā aiz ievainotā vīrieša.
- Vai putra nav garšīga? Ak, vārnas, tās nokāva! - viņi kliedza uz miličiem, kuri vilcinājās karavīra priekšā ar nogrieztu kāju.
"Kaut kas cits, bērns," viņi atdarināja vīriešus. – Viņiem nepatīk aizraušanās.
Pjērs pamanīja, kā pēc katras lielgabala lodes, kas trāpīja, pēc katra zaudējuma vispārējā atmoda uzliesmoja arvien vairāk.
Kā no tuvojoša negaisa mākoņa, arvien biežāk, gaišāk un gaišāk visu šo cilvēku sejās uzplaiksnīja slēptas, uzliesmojošas uguns zibeņi (it kā atspēkojot notiekošo).
Pjērs negaidīja kaujas lauku un nebija ieinteresēts zināt, kas tur notiek: viņš bija pilnībā iegrimis apcerē par šo arvien uzliesmojošo uguni, kas tāpat (viņš juta) uzliesmoja viņa dvēselē.
Pulksten desmitos kājnieku karavīri, kas atradās baterijas priekšā krūmos un gar Kamenkas upi, atkāpās. No baterijas bija redzams, kā viņi skrēja tai garām, nesot ievainotos uz ieročiem. Kāds ģenerālis ar savu svītu iegāja pilskalnā un, aprunājies ar pulkvedi, dusmīgi paskatījās uz Pjēru, atkal nokāpa lejā, pavēlēdams aiz baterijas novietotajam kājnieku pārsegu apgulties, lai būtu mazāk pakļauts šāvieniem. Pēc tam kājnieku rindās pa labi no baterijas atskanēja bungas un komandas saucieni, un no baterijas bija redzams, kā kājnieku rindas virzās uz priekšu.
Pjērs paskatījās caur šahtu. Viena seja īpaši piesaistīja viņa uzmanību. Tas bija virsnieks, kurš ar bāli jaunu seju gāja atmuguriski, nesot nolaistu zobenu, un nemierīgi skatījās apkārt.
Kājnieku karavīru rindas pazuda dūmos, un bija dzirdami viņu ilgstošie kliedzieni un biežās apšaudes. Dažas minūtes vēlāk no turienes gāja daudz ievainoto un nestuvju. Čaulas sāka trāpīt akumulatorā vēl biežāk. Vairāki cilvēki gulēja neiztīrīti. Karavīri rosīgāk un jautrāk pārvietojās ap ieročiem. Pjēram neviens vairs nepievērsa uzmanību. Reizi vai divas uz viņu dusmīgi kliedza par to, ka viņš bija ceļā. Vecākais virsnieks ar sarauktu seju lieliem, straujiem soļiem virzījās no viena ieroča pie otra. Jaunais virsnieks, vēl vairāk pietvīcis, vēl cītīgāk komandēja karavīrus. Karavīri šāva, griezās, lādēja un ar saspringtu aizrautību darīja savu darbu. Ejot viņi atlēca, it kā uz atsperēm.

Sekants, tangenss - to visu ģeometrijas stundās varēja dzirdēt simtiem reižu. Bet skolas beigšana ir aiz muguras, paiet gadi, un visas šīs zināšanas aizmirstas. Kas jums jāatceras?

Esence

Jēdziens “apļa pieskare”, iespējams, ir pazīstams ikvienam. Bet maz ticams, ka ikviens spēs ātri formulēt tā definīciju. Tikmēr pieskare ir taisna līnija, kas atrodas vienā plaknē ar apli, kas to šķērso tikai vienā punktā. To var būt ļoti daudz, taču tiem visiem ir tādas pašas īpašības, kas tiks aplūkotas turpmāk. Kā jūs varētu nojaust, pieskares punkts ir vieta, kur krustojas aplis un taisne. Katrā konkrētajā gadījumā ir tikai viens, bet, ja to būs vairāk, tad tas būs sekants.

Atklāšanas un izpētes vēsture

Jēdziens tangenss parādījās senos laikos. Šo taisnu līniju konstruēšana, vispirms uz apli, un pēc tam uz elipsēm, parabolām un hiperbolām, izmantojot lineālu un kompasu, tika veikta ģeometrijas attīstības sākumposmā. Vēsture, protams, nav saglabājusi atklājēja vārdu, taču ir acīmredzams, ka jau tajā laikā cilvēki bija diezgan pazīstami ar riņķa pieskares īpašībām.

Jaunajos laikos interese par šo parādību atkal uzliesmoja - sākās jauna šīs koncepcijas izpētes kārta, kas apvienota ar jaunu līkņu atklāšanu. Tādējādi Galileo ieviesa cikloīda jēdzienu, un Fermā un Dekarts izveidoja tam pieskares. Kas attiecas uz apļiem, tad šķiet, ka šajā apvidū senčiem nav atstāti nekādi noslēpumi.

Īpašības

Rādiuss, kas novilkts uz krustojuma punktu, būs Šis

galvenā, bet ne vienīgā īpašība, kas piemīt riņķa pieskarei. Vēl viena svarīga iezīme ietver divas taisnas līnijas. Tātad caur vienu punktu, kas atrodas ārpus apļa, var novilkt divas pieskares, un to segmenti būs vienādi. Par šo tēmu ir vēl viena teorēma, taču to reti māca kā daļu no standarta skolas kursa, lai gan tā ir ārkārtīgi ērta dažu problēmu risināšanai. Tas izklausās šādi. No viena punkta, kas atrodas ārpus apļa, tam tiek novilkta pieskare un sekants. Tiek veidoti segmenti AB, AC un AD. A ir līniju krustpunkts, B ir pieskares punkts, C un D ir krustojumi. Šajā gadījumā būs spēkā šāda vienādība: riņķa pieskares garums kvadrātā būs vienāds ar segmentu AC un AD reizinājumu.

No iepriekšminētā izriet svarīgs secinājums. Katram apļa punktam var izveidot pieskari, bet tikai vienu. Pierādījums tam ir pavisam vienkāršs: teorētiski nometot uz tā perpendikulu no rādiusa, mēs uzzinām, ka izveidotais trīsstūris nevar pastāvēt. Un tas nozīmē, ka tangenss ir vienīgais.

Būvniecība

Starp citām ģeometrijas problēmām ir īpaša kategorija, kā likums, nav

mīlēja skolēni un studenti. Lai atrisinātu šīs kategorijas problēmas, jums ir nepieciešams tikai kompass un lineāls. Tie ir būvniecības uzdevumi. Ir arī tādi, kas paredzēti pieskares konstruēšanai.

Tātad, ņemot vērā apli un punktu, kas atrodas ārpus tā robežām. Un caur tiem ir jāizvelk tangenss. Kā to izdarīt? Pirmkārt, jums ir jānozīmē segments starp apļa O centru un doto punktu. Pēc tam izmantojiet kompasu, lai sadalītu to uz pusēm. Lai to izdarītu, jums jāiestata rādiuss - nedaudz vairāk par pusi no attāluma starp sākotnējā apļa centru un šo punktu. Pēc tam jums ir jāizveido divi krustojoši loki. Turklāt kompasa rādiuss nav jāmaina, un katras apļa daļas centrs būs attiecīgi sākotnējais punkts un O. Ir jāsavieno loku krustojumi, kas sadalīs segmentu uz pusēm. Iestatiet kompasa rādiusu, kas vienāds ar šo attālumu. Pēc tam izveidojiet citu apli ar centru krustpunktā. Uz tā atradīsies gan sākotnējais punkts, gan O. Šajā gadījumā būs vēl divi krustojumi ar uzdevumā norādīto apli. Tie būs kontaktpunkti sākotnēji norādītajam punktam.

Tā bija apļa pieskares konstrukcija, kas noveda pie dzimšanas

diferenciālrēķins. Pirmo darbu par šo tēmu publicēja slavenais vācu matemātiķis Leibnics. Tas paredzēja iespēju atrast maksimumus, minimumus un pieskares neatkarīgi no daļskaitļiem un iracionāliem lielumiem. Nu, tagad to izmanto daudziem citiem aprēķiniem.

Turklāt apļa pieskare ir saistīta ar pieskares ģeometrisko nozīmi. No šejienes cēlies tās nosaukums. Tulkojumā no latīņu valodas tangens nozīmē "pieskare". Tādējādi šī koncepcija ir saistīta ne tikai ar ģeometriju un diferenciālrēķinu, bet arī ar trigonometriju.

Divi apļi

Pieskares ne vienmēr ietekmē tikai vienu figūru. Ja uz vienu apli var novilkt milzīgu skaitu taisnu līniju, tad kāpēc gan ne otrādi? Var. Bet uzdevums šajā gadījumā kļūst nopietni sarežģīts, jo divu apļu pieskare var neiet cauri nevienam punktam, un visu šo figūru relatīvais novietojums var būt ļoti liels.

savādāk.

Veidi un šķirnes

Ja mēs runājam par diviem apļiem un vienu vai vairākām taisnēm, pat ja ir zināms, ka tās ir pieskares, nav uzreiz skaidrs, kā visas šīs figūras atrodas viena pret otru. Pamatojoties uz to, tiek izdalītas vairākas šķirnes. Tādējādi apļiem var būt viens vai divi kopīgi punkti vai arī to nav vispār. Pirmajā gadījumā tie krustosies, bet otrajā tie pieskarsies. Un šeit izšķir divas šķirnes. Ja viens aplis ir it kā iegults otrajā, tad pieskares sauc par iekšējo, ja nē, tad par ārējo. Jūs varat saprast figūru relatīvo stāvokli ne tikai pamatojoties uz zīmējumu, bet arī ar informāciju par to rādiusu summu un attālumu starp to centriem. Ja šie divi lielumi ir vienādi, tad apļi pieskaras. Ja pirmais ir lielāks, tie krustojas, un, ja tas ir mazāks, tad tiem nav kopīgu punktu.

Tas pats attiecas uz taisnām līnijām. Jebkuriem diviem apļiem, kuriem nav kopīgu punktu, varat

izveidot četras pieskares. Divas no tām krustosies starp figūrām, tās sauc par iekšējām. Pāris citi ir ārēji.

Ja mēs runājam par apļiem, kuriem ir viens kopīgs punkts, tad problēma ir ievērojami vienkāršota. Fakts ir tāds, ka neatkarīgi no to relatīvā stāvokļa šajā gadījumā tiem būs tikai viena pieskare. Un tas iet cauri viņu krustojuma punktam. Tātad celtniecība nebūs grūta.

Ja figūrām ir divi krustošanās punkti, tad tām var konstruēt taisni, kas pieskaras gan vienas, gan otras aplim, bet tikai ārējai. Šīs problēmas risinājums ir līdzīgs tam, kas tiks apspriests tālāk.

Problēmu risināšana

Gan iekšējo, gan ārējo pieskare diviem apļiem nav tik vienkārši konstruējama, lai gan šo problēmu var atrisināt. Fakts ir tāds, ka šim nolūkam tiek izmantota palīgfigūra, tāpēc šī metode ir jāizdomā pašam

diezgan problemātiski. Tātad ir doti divi apļi ar dažādiem rādiusiem un centriem O1 un O2. Viņiem ir jākonstruē divi pieskares pāri.

Pirmkārt, jums ir jāizveido palīgierīce netālu no lielākā apļa centra. Šajā gadījumā uz kompasa ir jānosaka atšķirība starp divu sākotnējo skaitļu rādiusiem. Papildu apļa pieskares konstruē no mazākā apļa centra. Pēc tam no O1 un O2 uz šīm līnijām tiek novilkti perpendikuli, līdz tie krustojas ar sākotnējām figūrām. Kā izriet no pieskares pamatīpašības, tiek atrasti nepieciešamie punkti uz abiem apļiem. Problēma ir atrisināta, vismaz pirmā daļa.

Lai izveidotu iekšējās pieskares, jums tas būs jāatrisina praktiski

līdzīgs uzdevums. Atkal jums būs nepieciešama papildu figūra, taču šoreiz tās rādiuss būs vienāds ar sākotnējo figūru summu. Pieskares tai tiek konstruētas no viena no šiem apļiem centra. Tālāko risinājuma gaitu var saprast no iepriekšējā piemēra.

Pieskares aplim vai pat diviem vai vairāk nav tik grūts uzdevums. Protams, matemātiķi jau sen vairs nerisina šādas problēmas manuāli un uztic aprēķinus īpašām programmām. Bet nevajadzētu domāt, ka tagad tas nav jāspēj izdarīt pašam, jo, lai pareizi noformulētu uzdevumu datoram, jums ir daudz jādara un jāsaprot. Diemžēl pastāv bažas, ka pēc galīgās pārejas uz zināšanu kontroles pārbaudes formu būvniecības uzdevumi skolēniem sagādās arvien lielākas grūtības.

Kas attiecas uz kopīgu pieskares atrašanu lielākam skaitam apļu, tas ne vienmēr ir iespējams, pat ja tie atrodas vienā plaknē. Bet dažos gadījumos jūs varat atrast šādu taisnu līniju.

Piemēri no dzīves

Praksē bieži sastopama divu apļu kopīga pieskare, lai gan tas ne vienmēr ir pamanāms. Konveijeri, bloku sistēmas, skriemeļu transmisijas siksnas, diegu nospriegošana šujmašīnā un pat tikai velosipēda ķēde - tie visi ir reāli piemēri. Tāpēc nevajadzētu domāt, ka ģeometriskās problēmas paliek tikai teorētiski: inženierzinātnēs, fizikā, būvniecībā un daudzās citās jomās tās atrod praktisku pielietojumu.

Tiešs ( MN), kam ir tikai viens kopīgs punkts ar apli ( A), sauca pieskares uz apli.

Šajā gadījumā tiek saukts kopējais punkts saskarsmes punkts.

Esamības iespēja pieskares, un turklāt izvilkts caur jebkuru punktu aplis, kā pieskares punkts, tiek pierādīts šādi teorēma.

Lai tas ir jāizpilda aplis ar centru O pieskares caur punktu A. Lai to izdarītu no punkta A, kā no centra, mēs aprakstām loka rādiuss A.O., un no punkta O, kā centru, mēs krustojam šo loku punktos B Un AR kompasa risinājums, kas vienāds ar dotā apļa diametru.

Pēc tērēšanas tad akordi O.B. Un OS, savienojiet punktu A ar punktiem D Un E, kurā šie akordi krustojas ar doto apli. Tieša AD Un A.E. - apļa pieskares O. Patiešām, no konstrukcijas tas ir skaidrs trijstūri AOB Un AOC vienādsānu(AO = AB = AC) ar pamatnēm O.B. Un OS, vienāds ar apļa diametru O.

Jo O.D. Un O.E.- rādiusi, tad D - vidū O.B., A E- vidus OS, Līdzekļi AD Un A.E. - mediānas, kas novilkta uz vienādsānu trīsstūru pamatiem un tāpēc ir perpendikulāra šīm pamatnēm. Ja taisni D.A. Un E.A. perpendikulāri rādiusiem O.D. Un O.E., tad viņi - pieskares.

Sekas.

Divas pieskares, kas novilktas no viena punkta uz apli, ir vienādas un veido vienādus leņķus ar taisni, kas savieno šo punktu ar centru.

Tātad AD=AE un ∠ OAD = ∠OAE jo taisnie trīsstūri AOD Un AOE, kam kopīgs hipotenūza A.O. un vienāds kājas O.D. Un O.E.(kā rādiusi), ir vienādi. Ņemiet vērā, ka šeit vārds "tangence" faktiski nozīmē " pieskares segments” no dotā punkta līdz saskares punktam.