Teorēmas par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām. Iespējamo kustību princips

Teorēmā aplūkotā sistēma var būt jebkura mehāniska sistēma, kas sastāv no jebkuriem ķermeņiem.

Teorēmas paziņojums

Mehāniskās sistēmas kustības apjoms (impulss) ir lielums, kas vienāds ar visu sistēmā iekļauto ķermeņu kustību (impulsu) summu. Ārējo spēku impulss, kas iedarbojas uz sistēmas ķermeņiem, ir visu ārējo spēku impulsu summa, kas iedarbojas uz sistēmas ķermeņiem.

( kg m/s)

Teorēma par sistēmas stāvokļu impulsa izmaiņām

Sistēmas impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar ārējo spēku impulsu, kas iedarbojas uz sistēmu tajā pašā laika periodā.

Sistēmas impulsa nezūdamības likums

Ja visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku summa ir nulle, tad sistēmas kustības apjoms (impulss) ir nemainīgs lielums.

, iegūstam teorēmas izteiksmi par sistēmas impulsa izmaiņām diferenciālā formā:

Integrējot abas iegūtās vienlīdzības puses patvaļīgi ņemtā laika periodā starp dažiem un , mēs iegūstam teorēmas izteiksmi par sistēmas impulsa izmaiņām integrālā formā:

Impulsa saglabāšanas likums (Impulsa saglabāšanas likums) norāda, ka visu sistēmas ķermeņu impulsu vektora summa ir nemainīga vērtība, ja uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku vektora summa ir vienāda ar nulli.

(impulsa moments m 2 kg s -1)

Teorēma par leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret centru

materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu centru ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret to pašu centru.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Teorēma par leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret asi

materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu asi ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz šo punktu attiecībā pret to pašu asi.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Apsveriet materiālo aspektu M masa m , pārvietojoties spēka ietekmē F (3.1. attēls). Pierakstīsim un konstruēsim leņķiskā impulsa (kinētiskā impulsa) vektoru M 0 materiāla punkts attiecībā pret centru O :

Atšķirsim leņķiskā impulsa (kinētiskā momenta) izteiksmi k 0) pēc laika:

Jo dr /dt = V , tad vektora reizinājums V ⊗ m ⋅ V (kolineārie vektori V Un m ⋅ V ) ir vienāds ar nulli. Tajā pašā laikā d(m ⋅ V) /dt = F saskaņā ar teorēmu par materiāla punkta impulsu. Tāpēc mēs to saņemam

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Kur r ⊗F = M 0 (F ) – vektors-spēka moments F attiecībā pret fiksētu centru O . Vektors k 0 ⊥ lidmašīna ( r , m ⊗V ), un vektoru M 0 (F ) ⊥ lidmašīna ( r ,F ), mums beidzot ir

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Vienādojums (3.4) izsaka teorēmu par materiāla punkta leņķiskā impulsa (leņķiskā impulsa) izmaiņām attiecībā pret centru: materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu centru ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret to pašu centru.

Projicējot vienādību (3.4) uz Dekarta koordinātu asīm, iegūstam

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Vienādības (3.5) izsaka teorēmu par materiāla punkta leņķiskā impulsa (kinētiskā impulsa) izmaiņām attiecībā pret asi: materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu asi ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz šo punktu attiecībā pret to pašu asi.

Apskatīsim sekas, kas izriet no teorēmas (3.4) un (3.5).

Secinājums 1. Apskatīsim gadījumu, kad spēks F visas kustības laikā punkts iet caur stacionāro centru O (centrālā spēka gadījums), t.i. Kad M 0 (F ) = 0. Tad no teorēmas (3.4.) izriet, ka k 0 = konst ,

tie. centrālā spēka gadījumā materiāla punkta leņķiskais impulss (kinētiskais moments) attiecībā pret šī spēka centru paliek nemainīgs pēc lieluma un virziena (3.2. attēls).

3.2.attēls

No stāvokļa k 0 = konst no tā izriet, ka kustīga punkta trajektorija ir plakana līkne, kuras plakne iet caur šī spēka centru.

Secinājums 2.Ļaujiet M z (F ) = 0, t.i. spēks šķērso asi z vai paralēli tai. Šajā gadījumā, kā redzams no trešā vienādojuma (3.5.), k z = konst ,

tie. ja spēka moments, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret jebkuru fiksētu asi, vienmēr ir nulle, tad punkta leņķiskais impulss (kinētiskais moments) attiecībā pret šo asi paliek nemainīgs.

Pierādījums teorēmai par impulsa maiņu

Ļaujiet sistēmai sastāvēt no materiāliem punktiem ar masām un paātrinājumiem. Mēs sadalām visus spēkus, kas iedarbojas uz sistēmas ķermeņiem, divos veidos:

Ārējie spēki ir spēki, kas iedarbojas no ķermeņiem, kas nav iekļauti aplūkojamajā sistēmā. Ārējo spēku rezultants, kas iedarbojas uz materiālu punktu ar skaitli i apzīmēsim

Iekšējie spēki ir spēki, ar kuriem pašas sistēmas ķermeņi mijiedarbojas viens ar otru. Spēks, ar kādu uz punktu ar skaitli i punkts ar numuru ir derīgs k, mēs apzīmēsim , un ietekmes spēku i punkts ieslēgts k punkts - . Acīmredzot, kad, tad

Izmantojot ieviesto apzīmējumu, mēs rakstām Ņūtona otro likumu katram aplūkojamajam materiālam formā formā

Ņemot vērā, ka un, summējot visus Ņūtona otrā likuma vienādojumus, mēs iegūstam:

Izteiksme atspoguļo visu sistēmā darbojošos iekšējo spēku summu. Saskaņā ar Ņūtona trešo likumu šajā summā katrs spēks atbilst tādam spēkam, kas tāpēc ir spēkā Tā kā visa summa sastāv no šādiem pāriem, pati summa ir nulle. Tādējādi mēs varam rakstīt

Izmantojot sistēmas impulsa apzīmējumu, mēs iegūstam

Ņemot vērā ārējo spēku impulsa izmaiņas , mēs iegūstam teorēmas izteiksmi par sistēmas impulsa izmaiņām diferenciālā formā:

Tādējādi katrs no pēdējiem iegūtajiem vienādojumiem ļauj apgalvot: sistēmas impulsa izmaiņas notiek tikai ārējo spēku darbības rezultātā, un iekšējie spēki nevar ietekmēt šo vērtību.

Integrējot abas iegūtās vienādības puses patvaļīgi ņemtā laika intervālā starp dažiem un , iegūstam teorēmas izteiksmi par sistēmas impulsa izmaiņām integrālā formā:

kur un ir sistēmas kustības lieluma vērtības laika momentos un attiecīgi, un ir ārējo spēku impulss noteiktā laika periodā. Saskaņā ar iepriekš teikto un ieviestajiem apzīmējumiem,

Tāpat kā vienam materiālam punktam, mēs atvasināsim teorēmu par impulsa izmaiņām sistēmā dažādās formās.

Pārveidosim vienādojumu (teorēma par mehāniskās sistēmas masas centra kustību)

šādā veidā:

;

;

Iegūtais vienādojums izsaka teorēmu par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām diferenciālā formā: mehāniskās sistēmas impulsa atvasinājums attiecībā pret laiku ir vienāds ar ārējo spēku galveno vektoru, kas iedarbojas uz sistēmu. .

Projekcijās uz Dekarta koordinātu asīm:

; ; .

Ņemot vērā pēdējo vienādojumu abu pušu integrāļus laika gaitā, iegūstam teorēmu par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām integrālā formā: mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņas ir vienādas ar galvenā vektora impulsu. ārējie spēki, kas iedarbojas uz sistēmu .

.

Vai projekcijās uz Dekarta koordinātu asīm:

; ; .

Secinājumi no teorēmas (impulsa nezūdamības likumi)

Impulsa nezūdamības likums tiek iegūts kā teorēmas par impulsa izmaiņu īpašiem gadījumiem sistēmai atkarībā no ārējo spēku sistēmas īpašībām. Iekšējie spēki var būt jebkuri, jo tie neietekmē impulsa izmaiņas.

Ir divi iespējamie gadījumi:

1. Ja visu sistēmai pielikto ārējo spēku vektora summa ir vienāda ar nulli, tad sistēmas kustības apjoms ir nemainīgs pēc lieluma un virziena.

2. Ja ārējo spēku galvenā vektora projekcija uz jebkuru koordinātu asi un/vai un/vai ir vienāda ar nulli, tad impulsa projekcija uz šīm pašām asīm ir nemainīga vērtība, t.i. un/vai un/vai attiecīgi.

Līdzīgus ierakstus var veikt gan materiālam punktam, gan materiālam punktam.

Uzdevums. No pistoles, kuras masa M, masas šāviņš izlido horizontālā virzienā m ar ātrumu v. Atrodi ātrumu V ieroči pēc šaušanas.

Risinājums. Visi ārējie spēki, kas iedarbojas uz mehānisko ieroču-lādiņu sistēmu, ir vertikāli. Tas nozīmē, ka, pamatojoties uz teoriju par sistēmas impulsa izmaiņām, mums ir: .

Mehāniskās sistēmas kustības apjoms pirms apdedzināšanas:

Mehāniskās sistēmas kustības apjoms pēc šāviena:

.

Pielīdzinot izteiksmju labās puses, mēs iegūstam to

.

Zīme “-” iegūtajā formulā norāda, ka pēc šaušanas lielgabals ritēs atpakaļ virzienā, kas ir pretējs asij Vērsis.

2. PIEMĒRS. Šķidruma straume ar blīvumu plūst ar ātrumu V no caurules ar šķērsgriezuma laukumu F un leņķī ietriecas vertikālā sienā. Nosakiet šķidruma spiedienu uz sienas.

RISINĀJUMS. Pielietosim teorēmu par impulsa izmaiņām integrālā formā šķidruma tilpumam ar masu m atsitoties pret sienu noteiktā laika periodā t.

MEŠČERSKA VIENĀDĀJUMS

(mainīgas masas ķermeņa dinamikas pamatvienādojums)

Mūsdienu tehnoloģijās rodas gadījumi, kad punkta un sistēmas masa kustības laikā nepaliek nemainīga, bet mainās. Tā, piemēram, kosmosa raķešu lidojuma laikā sadegšanas produktu un atsevišķu nevajadzīgu raķešu daļu izmešanas dēļ masas izmaiņas sasniedz 90-95% no kopējās sākotnējās vērtības. Bet ne tikai kosmosa tehnoloģija var būt mainīgas masas kustības dinamikas piemērs. Tekstilrūpniecībā ir vērojamas būtiskas dažādu vārpstu, spoļu un ruļļu masas izmaiņas pie moderniem iekārtu un mašīnu darbības ātrumiem.

Apskatīsim galvenās iezīmes, kas saistītas ar masas izmaiņām, izmantojot mainīgas masas ķermeņa translācijas kustības piemēru. Dinamikas pamatlikumu nevar tieši attiecināt uz mainīgas masas ķermeni. Tāpēc iegūstam mainīgas masas punkta kustības diferenciālvienādojumus, pielietojot teorēmu par sistēmas impulsa izmaiņām.

Lai punktam ir masa m+dm pārvietojas ar ātrumu. Tad no punkta tiek atdalīta noteikta daļiņa ar masu dm pārvietojas ar ātrumu.

Ķermeņa kustības apjoms pirms daļiņas atdalīšanās:

Sistēmas, kas sastāv no ķermeņa un atdalītas daļiņas, kustības apjoms pēc tā atdalīšanas:

Tad impulsa izmaiņas:

Pamatojoties uz teorēmu par sistēmas impulsa izmaiņām:

Apzīmēsim daudzumu - daļiņas relatīvo ātrumu:

Apzīmēsim

Izmērs R sauc par reaktīvo spēku. Reaktīvais spēks ir dzinēja vilces spēks, ko izraisa gāzes izmešana no sprauslas.

Beidzot saņemam

-

Šī formula izsaka mainīgas masas ķermeņa dinamikas pamatvienādojumu (Meščerska formula). No pēdējās formulas izriet, ka mainīgas masas punkta kustības diferenciālvienādojumiem ir tāda pati forma kā nemainīgas masas punktam, izņemot papildu reaktīvo spēku, kas punktam tiek pielikts masas izmaiņu dēļ.

Mainīgas masas ķermeņa dinamikas pamatvienādojums norāda, ka šī ķermeņa paātrinājums veidojas ne tikai ārējo spēku, bet arī reaktīvā spēka ietekmē.

Reaktīvais spēks ir spēks, kas līdzīgs tam, ko izjūt šaujošais cilvēks - šaujot no pistoles, tas ir jūtams ar roku; Šaujot no šautenes, to uztver ar plecu.

Ciolkovska pirmā formula (vienpakāpes raķetei)

Ļaujiet mainīgas masas punktam vai raķetei kustēties taisnā līnijā tikai viena reaktīvā spēka ietekmē. Tā kā daudziem mūsdienu reaktīvo dzinējiem, kur ir maksimālais reaktīvais spēks (dzinēja vilce), ko pieļauj dzinēja konstrukcija; - gravitācijas spēks, kas iedarbojas uz dzinēju, kas atrodas uz zemes virsmas. Tie. iepriekš minētais ļauj neņemt vērā komponentu Meščerska vienādojumā un pieņemt šo vienādojumu tālākai analīzei šādā formā: ,

Apzīmēsim:

Degvielas rezerve (šķidruma reaktīvajiem dzinējiem - raķetes sausā masa (tās atlikušā masa pēc visas degvielas izdegšanas);

No raķetes atdalīto daļiņu masa; tiek uzskatīta par mainīgu vērtību, kas mainās no līdz .

Uzrakstīsim mainīgas masas punkta taisnvirziena kustības vienādojumu šādā formā:

Tā kā raķetes mainīgās masas noteikšanas formula ir

Tāpēc punkta kustības vienādojumi Ņemot abu pušu integrāļus, mēs iegūstam

Kur - raksturīgais ātrums- tas ir ātrums, ko raķete iegūst vilces spēka ietekmē pēc tam, kad no raķetes ir izplūdušas visas daļiņas (šķidruma reaktīvo dzinējiem - pēc tam, kad visa degviela ir izdegusi).

Ārpus integrālzīmes (ko var izdarīt, pamatojoties uz augstākās matemātikas zināmo vidējās vērtības teorēmu) ir no raķetes izmesto daļiņu vidējais ātrums.

Skatīt:Šis raksts ir lasīts 14066 reizes

Pdf Izvēlieties valodu... Krievu Ukraiņu Angļu

Īss apskats

Viss materiāls tiek lejupielādēts iepriekš, pēc valodas izvēles

Kustības daudzums

Materiālā punkta impulss - vektora lielums, kas vienāds ar punkta masas un tā ātruma vektora reizinājumu.

Impulsa mērvienība ir (kg m/s).

Mehāniskās sistēmas impulss - vektora lielums, kas vienāds ar mehāniskās sistēmas impulsa ģeometrisko summu (galveno vektoru), ir vienāds ar visas sistēmas masas un tās masas centra ātruma reizinājumu.

Kad ķermenis (vai sistēma) pārvietojas tā, ka tā masas centrs ir nekustīgs, tad ķermeņa kustības apjoms ir vienāds ar nulli (piemēram, ķermeņa rotācija ap fiksētu asi, kas iet caur ķermeņa masas centru ).

Sarežģītas kustības gadījumā sistēmas kustības apjoms neraksturos kustības rotācijas daļu, rotējot ap masas centru. Tas ir, kustības apjoms raksturo tikai sistēmas translācijas kustību (kopā ar masas centru).

Impulsa spēks

Spēka impulss raksturo spēka darbību noteiktā laika periodā.

Spēka impulss ierobežotā laika periodā ir definēta kā atbilstošo elementāro impulsu integrālā summa.

Teorēma par materiāla punkta impulsa izmaiņām

(atšķirīgās formās e ):

Materiāla punkta impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar to spēku ģeometrisko summu, kas iedarbojas uz punktiem.

(V neatņemama forma ):

Materiāla punkta impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar to spēku impulsu ģeometrisko summu, kas tiek pielikti punktam šajā laika periodā.

Teorēma par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām

(diferenciālā formā ):

Sistēmas impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku ģeometrisko summu.

(integrālā formā ):

Sistēmas impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar ārējo spēku impulsu ģeometrisko summu, kas iedarbojas uz sistēmu šajā laika periodā.

Teorēma ļauj izslēgt no izskatīšanas acīmredzami nezināmus iekšējos spēkus.

Teorēma par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām un teorēma par masas centra kustību ir vienas teorēmas divas dažādas formas.

Sistēmas impulsa nezūdamības likums

1. Ja visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku summa ir vienāda ar nulli, tad sistēmas impulsa vektors būs nemainīgs virzienā un lielumā.
2. Ja visu darbojošos ārējo spēku projekciju summa uz jebkuru patvaļīgu asi ir vienāda ar nulli, tad impulsa projekcija uz šo asi ir nemainīga vērtība.

secinājumus:

1. Saglabāšanas likumi norāda, ka iekšējie spēki nevar mainīt sistēmas kopējo kustības apjomu.
2. Teorēma par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām raksturo nevis mehāniskās sistēmas rotācijas kustību, bet tikai translācijas kustību.

Dots piemērs: Nosakiet noteiktas masas diska impulsu, ja ir zināms tā leņķiskais ātrums un izmērs.

Piedziņas zobrata aprēķina piemērs
Piemērs cilindriskā zobrata aprēķināšanai. Veikta materiāla izvēle, pieļaujamo spriegumu aprēķins, kontakta un lieces stiprības aprēķins.

Sijas lieces problēmas risināšanas piemērs
Piemērā tika konstruētas šķērsspēku un lieces momentu diagrammas, atrasts bīstams posms un izvēlēts I-siju. Problēmā tika analizēta diagrammu konstrukcija, izmantojot diferenciālās atkarības, un veikta dažādu sijas šķērsgriezumu salīdzinošā analīze.

Piemērs vārpstas vērpes problēmas risināšanai
Uzdevums ir pārbaudīt tērauda vārpstas izturību pie noteikta diametra, materiāla un pieļaujamā sprieguma. Risinājuma laikā tiek konstruētas griezes momentu, bīdes spriegumu un griezes leņķu diagrammas. Pašas vārpstas svars netiek ņemts vērā

Stieņa stiepes-saspiešanas problēmas risināšanas piemērs
Uzdevums ir pārbaudīt tērauda stieņa izturību pie noteiktiem pieļaujamiem spriegumiem. Risinājuma laikā tiek konstruētas garenspēku, normālo spriegumu un pārvietojumu diagrammas. Paša stieņa svars netiek ņemts vērā

Kinētiskās enerģijas saglabāšanas teorēmas pielietojums
Problēmas risināšanas piemērs, izmantojot teorēmu par mehāniskās sistēmas kinētiskās enerģijas saglabāšanu

Punkta ātruma un paātrinājuma noteikšana, izmantojot dotos kustības vienādojumus
Piemērs uzdevuma risināšanai, lai noteiktu punkta ātrumu un paātrinājumu, izmantojot dotos kustības vienādojumus

Stingra ķermeņa punktu ātrumu un paātrinājumu noteikšana plaknes paralēlas kustības laikā
Piemērs problēmas risināšanai, lai noteiktu cieta ķermeņa punktu ātrumu un paātrinājumus plaknes paralēlas kustības laikā

Spēku noteikšana plakanas kopnes stieņos
Spēku noteikšanas problēmas plakanas kopnes stieņos risinājuma piemērs, izmantojot Ritter metodi un mezglu griešanas metodi

Teorēmas pielietojums par leņķiskā impulsa izmaiņām
Problēmas risināšanas piemērs, izmantojot teorēmu par kinētiskā impulsa izmaiņām, lai noteiktu ķermeņa leņķisko ātrumu, kas rotē ap fiksētu asi.

(matemātiskās simfonijas fragmenti)

Saikni starp spēka impulsu un Ņūtona dinamikas pamatvienādojumu izsaka teorēma par materiāla punkta impulsa izmaiņām.

Teorēma. Materiāla punkta impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar spēka impulsu (), kas iedarbojas uz materiālo punktu tajā pašā laika periodā.Šīs teorēmas matemātisko pierādījumu var saukt par matemātiskās simfonijas fragmentu. Šeit viņš ir.

Materiāla punkta diferenciālais impulss ir vienāds ar elementāro impulsu spēkam, kas iedarbojas uz materiālo punktu. Integrējot izteiksmi (128) materiāla punkta diferenciālajam impulsam

(129)

Teorēma ir pierādīta un matemātiķi savu misiju uzskata par pabeigtu, bet inženieriem, kuru liktenis ir svēti ticēt matemātiķiem, rodas jautājumi, izmantojot pārbaudīto vienādojumu (129). Taču tos stingri bloķē matemātisko darbību secība un skaistums (128. un 129.), kas fascinē un mudina saukt tās par matemātiskās simfonijas fragmentu. Cik daudz inženieru paaudžu vienojās ar matemātiķiem un bija bijībā par savu matemātisko simbolu noslēpumu! Bet tad bija inženieris, kurš nepiekrita matemātiķiem un uzdeva viņiem jautājumus.

Cienījamie matemātiķi! Kāpēc nevienā no jūsu teorētiskās mehānikas mācību grāmatām nav apskatīts jūsu simfoniskā rezultāta (129) pielietošanas process praksē, piemēram, aprakstot automašīnas paātrināšanas procesu? Vienādojuma (129) kreisā puse ir ļoti skaidra. Automašīna sāk paātrinājumu no ātruma un beidz to, piemēram, pie ātruma. Ir pilnīgi dabiski, ka vienādojums (129) kļūst

Un uzreiz rodas pirmais jautājums: kā no vienādojuma (130) noteikt spēku, kura ietekmē automašīna tiek paātrināta līdz 10 m/s ātrumam? Atbilde uz šo jautājumu nav atrodama nevienā no neskaitāmajām teorētiskās mehānikas mācību grāmatām. Ejam tālāk. Pēc paātrinājuma automašīna sāk vienmērīgi kustēties ar ātrumu 10 m/s. Kāds spēks kustina mašīnu?????????? Man neatliek nekas cits kā sarkt kopā ar matemātiķiem. Pirmais Ņūtona dinamikas likums nosaka, ka automašīnai pārvietojoties vienmērīgi, uz to neiedarbojas nekādi spēki, un automašīna, tēlaini izsakoties, šķauda pie šī likuma, patērē benzīnu un strādā, pārvietojoties, piemēram, 100 km attālumā. Kur ir spēks, kas veica darbu, lai pārvietotu automašīnu 100 km? Simfoniskais matemātiskais vienādojums (130) klusē, bet dzīve turpinās un prasa atbildi. Mēs sākam viņu meklēt.

Tā kā automašīna pārvietojas taisni un vienmērīgi, spēks, kas to kustina, ir nemainīgs pēc lieluma un virziena, un vienādojums (130) kļūst

(131)

Tātad vienādojums (131) šajā gadījumā apraksta ķermeņa paātrināto kustību. Ar ko ir vienāds spēks? Kā izteikt tās izmaiņas laika gaitā? Matemātiķi dod priekšroku apiet šo jautājumu un atstāt to inženieru ziņā, uzskatot, ka viņiem ir jāmeklē atbilde uz šo jautājumu. Inženieriem atliek tikai viena iespēja - ņemt vērā, ka, ja pēc ķermeņa paātrinātās kustības pabeigšanas sākas vienmērīgas kustības fāze, ko pavada nemainīga spēka darbība, uzrādīt vienādojumu (131) pārejas moments no paātrinātas uz vienmērīgu kustību šajā formā

(132)

Bultiņa šajā vienādojumā nenozīmē šī vienādojuma integrēšanas rezultātu, bet gan pārejas procesu no tā integrālās formas uz vienkāršotu formu. Spēks šajā vienādojumā ir līdzvērtīgs vidējam spēkam, kas mainīja ķermeņa impulsu no nulles uz galīgo vērtību. Tātad, cienījamie matemātiķi un teorētiskie fiziķi, jūsu metodes trūkums jūsu impulsa lieluma noteikšanai liek mums vienkāršot spēka noteikšanas procedūru, un šī spēka darbības laika noteikšanas metodes trūkums parasti liek mums bezcerīga pozīcija un mēs esam spiesti izmantot izteiksmi, lai analizētu ķermeņa impulsa maiņas procesu. Rezultāts ir tāds, ka jo ilgāk spēks darbojas, jo lielāks ir tā impulss. Tas nepārprotami ir pretrunā ar sen iedibināto ideju, ka jo īsāks ir tā darbības ilgums, jo lielāks ir spēka impulss.

Pievērsīsim uzmanību tam, ka materiāla punkta impulsa (spēka impulsa) izmaiņas tā paātrinātās kustības laikā notiek Ņūtona spēka un kustības pretestības spēku ietekmē mehānisko pretestību radīto spēku veidā un inerces spēks. Taču Ņūtona dinamika lielākajā daļā problēmu ignorē inerces spēku, un Mehanodinamika apgalvo, ka ķermeņa impulsa izmaiņas tā paātrinātās kustības laikā notiek tāpēc, ka Ņūtona spēks pārsniedz kustības pretestības spēkus, tostarp inerces spēks.

Kad ķermenis pārvietojas lēnā kustībā, piemēram, automašīnai ar izslēgtu pārnesumu, nav Ņūtona spēka, un automašīnas impulsa izmaiņas notiek tāpēc, ka kustības pretestības spēki pārsniedz kustības spēku. inerce, kas pārvieto automašīnu, kad tā pārvietojas lēni.

Kā mēs tagad varam atgriezt atzīmēto “simfonisko” matemātisko darbību rezultātus (128) galvenajā cēloņu un seku attiecību sistēmā? Ir tikai viena izeja - atrast jaunu definīciju jēdzieniem “spēka impulss” un “trieciena spēks”. Lai to izdarītu, sadaliet abas vienādojuma (132) puses ar laiku t. Rezultātā mums būs

. (133)

Ņemsim vērā, ka izteiksme mV/t ir materiāla punkta vai ķermeņa impulsa maiņas ātrums (mV/t). Ja ņemam vērā, ka V/t ir paātrinājums, tad mV/t ir spēks, kas maina ķermeņa impulsu. Viena un tā pati dimensija vienādības zīmes kreisajā un labajā pusē dod mums tiesības spēku F saukt par trieciena spēku un apzīmēt ar simbolu, bet impulsu S - trieciena impulsu un apzīmēt ar simbolu. Tas noved pie jaunas trieciena spēka definīcijas. Trieciena spēks, kas iedarbojas uz materiālu punktu vai ķermeni, ir vienāds ar materiālā punkta vai ķermeņa impulsa izmaiņu attiecību pret šo izmaiņu laiku.

Īpašu uzmanību pievērsīsim tam, ka trieciena impulsa (134) veidošanā piedalās tikai Ņūtona spēks, kas mainīja automašīnas ātrumu no nulles uz maksimālo - , tāpēc vienādojums (134) pilnībā pieder Ņūtona dinamikai. Tā kā ātruma lielumu ir daudz vieglāk noteikt eksperimentāli nekā paātrinājumu, formula (134) ir ļoti ērta aprēķiniem.

Šis neparastais rezultāts izriet no (134) vienādojuma.

Pievērsīsim uzmanību tam, ka saskaņā ar jaunajiem mehanodinamikas likumiem spēka impulsa ģenerators materiāla punkta vai ķermeņa paātrinātās kustības laikā ir Ņūtona spēks. Tas veido punkta vai ķermeņa kustības paātrinājumu, pie kura automātiski rodas inerces spēks, kas vērsts pretēji Ņūtona spēkam un triecienam Ņūtona spēkam jāpārvar inerces spēka darbība, tāpēc inerces spēks ir jāatspoguļo inerces spēkam. spēku līdzsvars vienādojuma (134) kreisajā pusē. Tā kā inerces spēks ir vienāds ar punkta vai ķermeņa masu, kas reizināta ar palēninājumu, ko tas veido, tad vienādojums (134) kļūst

(136)

Cienījamie matemātiķi! Jūs redzat, kādu formu ir ieguvis matemātiskais modelis, kas apraksta trieciena impulsu, kas paātrina trieciena ķermeņa kustību no nulles ātruma līdz maksimālajam V (11). Tagad pārbaudīsim tā darbību, nosakot trieciena impulsu, kas ir vienāds ar trieciena spēku, kas izšāva SShG 2. spēka agregātu (120. att.), un mēs atstāsim jums bezjēdzīgo vienādojumu (132). Lai nesarežģītu prezentāciju, pagaidām formulu (134) atstāsim mierā un izmantosim formulas, kas uzrāda spēku vidējās vērtības. Jūs redzat, kādā amatā jūs ievietojat inženieri, kurš mēģina atrisināt konkrētu problēmu.

Sāksim ar Ņūtona dinamiku. Eksperti konstatēja, ka 2. spēka agregāts pacēlās 14 m augstumā. Tā kā tas pacēlās gravitācijas laukā, h = 14 m augstumā tā potenciālā enerģija izrādījās vienāda ar

un vidējā kinētiskā enerģija bija vienāda ar

Rīsi. 120. Turbīnu telpas foto pirms katastrofas

No kinētiskās (138) un potenciālās (137) enerģijas vienādības izriet jaudas agregāta vidējais pieauguma ātrums (121., 122. att.)

Rīsi. 121. Turbīnu telpas fotons pēc katastrofas

Atbilstoši jaunajiem mehanodinamikas likumiem spēka agregāta kāpums sastāvēja no divām fāzēm (123. att.): pirmā fāze OA - paātrināta celšanās un otrā fāze AB - lēna kāpšana , , .

Viņu darbības laiks un attālums ir aptuveni vienādi (). Tad barošanas bloka paaugstināšanas paātrinātās fāzes kinemātiskais vienādojums tiks uzrakstīts šādi:

. (140)

Rīsi. 122. Skats uz energobloka aku un pašu energobloku pēc katastrofas

Spēka vienības pieauguma ātruma izmaiņu likumam pirmajā fāzē ir forma

. (141)

Rīsi. 123. Spēka agregāta lidojuma ātruma V izmaiņu regularitāte

Aizstājot laiku no vienādojuma (140) vienādojumā (141), mums ir

. (142)

Bloka pacelšanas laiks pirmajā fāzē tiek noteikts pēc formulas (140)

. (143)

Tad kopējais spēka agregāta pacelšanas laiks 14 m augstumā būs vienāds ar . Spēka agregāta un pārsega masa ir 2580 tonnas. Saskaņā ar Ņūtona dinamiku spēks, kas pacēla spēka agregātu, ir vienāds ar

Cienījamie matemātiķi! Mēs sekojam jūsu simfoniskajiem matemātiskajiem rezultātiem un pierakstām jūsu formulu (129), kas izriet no Ņūtona dinamikas, lai noteiktu trieciena impulsu, kas iedarbināja 2. spēka agregātu.

un uzdodiet pamatjautājumu: kā noteikt trieciena impulsa ilgumu, kas iedarbināja 2. spēka agregātu????????????

Dārgs!!! Atcerieties, cik daudz krīta uz tāfelēm ir uzrakstījušas jūsu kolēģu paaudzes, nepārdomāti mācot studentiem, kā noteikt trieciena impulsu, un neviens nepaskaidroja, kā noteikt trieciena impulsa ilgumu katrā konkrētajā gadījumā. Teiksiet, ka trieciena impulsa ilgums ir vienāds ar spēka agregāta ātruma maiņas laika intervālu no nulles līdz, pieņemsim, maksimālajai vērtībai 16,75 m/s (139). Tas ir formulā (143) un ir vienāds ar 0,84 s. Pagaidām piekrītam jums un nosakām trieciena impulsa vidējo vērtību

Tūlīt rodas jautājums: kāpēc trieciena impulsa lielums (146) ir mazāks par Ņūtona spēku 50600 tonnu? Jums, dārgie matemātiķi, nav atbildes. Ejam tālāk.

Saskaņā ar Ņūtona dinamiku galvenais spēks, kas pretojās spēka agregāta kāpumam, bija gravitācija. Tā kā šis spēks ir vērsts pret spēka agregāta kustību, tas rada palēninājumu, kas ir vienāds ar brīvā kritiena paātrinājumu. Tad gravitācijas spēks, kas iedarbojas uz spēka agregātu, kas lido uz augšu, ir vienāds ar

Ņūtona dinamikā nav ņemti vērā citi spēki, kas neļāva iedarboties 50 600 tonnu (144) Ņūtona spēkam, un mehanodinamika apgalvo, ka spēka agregāta kāpumam pretojās arī inerces spēks, kas vienāds ar

Tūlīt rodas jautājums: kā atrast spēka agregāta kustības palēninājuma apjomu? Ņūtona dinamika klusē, bet mehanodinamika atbild: Ņūtona spēka darbības brīdī, kas pacēla spēka agregātu, tam pretojās: gravitācijas spēks un inerces spēks, tātad uz jaudu iedarbojošo spēku vienādojums. vienība tajā brīdī ir rakstīta šādi.

Kustības apjoms ir mehāniskās kustības mērs, ja mehāniskā kustība pārvēršas mehāniskā. Piemēram, biljarda bumbas mehāniskā kustība (22. att.) pirms trieciena pārvēršas bumbiņu mehāniskā kustībā pēc trieciena. Punktam impulss ir vienāds ar reizinājumu.

Spēka mērs šajā gadījumā ir spēka impulss

. (9.1)

Impulss nosaka spēka darbību noteiktā laika periodā . Materiālam punktam teorēmu par impulsa izmaiņām var izmantot diferenciālā formā
(9.2) vai integrālā (galīgā) forma
. (9.3)

Materiāla punkta impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar visu spēku impulsu, kas pielikti punktam tajā pašā laikā.

22. attēls

Risinot uzdevumus, projekcijās uz koordinātu asīm biežāk tiek izmantota teorēma (9.3).
;

; (9.4)

.

Izmantojot teorēmu par punkta impulsa izmaiņu, var atrisināt problēmas, kurās uz punktu vai ķermeni, kas pārvietojas translatīvi, iedarbojas pastāvīgi vai mainīgi spēki, kas ir atkarīgi no laika, un dotie un meklētie lielumi ietver laiku kustība un ātrums kustības sākumā un beigās. Uzdevumi, izmantojot teorēmu, tiek atrisināti šādā secībā:

1. izvēlēties koordinātu sistēmu;

2. attēlo visus dotos (aktīvos) spēkus un reakcijas, kas iedarbojas uz punktu;

3. pierakstiet teorēmu par punkta impulsa izmaiņām projekcijās uz izvēlētajām koordinātu asīm;

4. noteikt nepieciešamos daudzumus.

12. PIEMĒRS.

Āmurs ar svaru G=2t no augstuma h=1m uzkrīt uz sagataves laikā t=0,01s un apzīmogo detaļu (23. att.). Nosakiet āmura vidējo spiediena spēku uz sagatavi.

Mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar ārējo spēku impulsu summu, kas darbojas tajā pašā laikā. Dažreiz ir ērtāk izmantot teorēmu par impulsa izmaiņām projekcijā uz koordinātu asīm
; (9.8)
. (9.9)

Impulsa saglabāšanas likums nosaka, ka, ja nav ārēju spēku, mehāniskās sistēmas impulss paliek nemainīgs. Iekšējo spēku darbība nevar mainīt sistēmas impulsu. No (9.6) vienādojuma ir skaidrs, ka kad
,
.

Ja
, Tas
vai
.

D

dzenskrūve vai dzenskrūve, reaktīvo dzinējspēks. Kalmāri pārvietojas rāvienos, izmetot ūdeni no muskuļu maisa kā ūdens lielgabals (25. att.). Atgrūtajam ūdenim ir noteikta kustība, kas vērsta atpakaļ. Kalmārs saņem atbilstošu ātrumu kustība uz priekšu reaktīvā vilces spēka dēļ , jo pirms kalmārs izlec spēku līdzsvarots ar gravitāciju .

Teorēmas pielietošana par impulsa izmaiņām ļauj izslēgt visus iekšējos spēkus no izskatīšanas.

13. PIEMĒRS.

Vinča A ar trumuli ar rādiusu r uzstādīta uz dzelzceļa platformas, kas brīvi stāv uz sliedēm (26. att.). Vinča ir paredzēta kravas B ar masu m 1 pārvietošanai pa platformu. Platformas svars ar vinču m 2. Vinčas trumulis griežas saskaņā ar likumu
. Sākotnējā brīdī sistēma bija mobila. Neņemot vērā berzi, pēc vinčas ieslēgšanas atrodiet platformas ātruma izmaiņu likumu.

R RISINĀJUMS.

1. Uzskatiet platformu, vinču un kravu kā vienotu mehānisku sistēmu, uz kuru iedarbojas ārējie spēki: kravas smagums. un platformas un reakcijas Un
.

2. Tā kā visi ārējie spēki ir perpendikulāri x asij, t.i.
, mēs piemērojam mehāniskās sistēmas impulsa saglabāšanas likumu projekcijā uz x asi:
. Sākotnējā brīdī sistēma bija nekustīga, tāpēc

Izteiksim sistēmas kustības apjomu patvaļīgā laika momentā. Platforma virzās uz priekšu ar ātrumu , kravai tiek veikta sarežģīta kustība, kas sastāv no relatīvas kustības pa platformu ar ātrumu un pārnēsājama kustība kopā ar platformu ātrumā ., kur
. Platforma pārvietosies virzienā, kas ir pretējs kravas relatīvajai kustībai.

14. PIEMĒRS.

Kur ,
-- attiecīgi plāksnes un slodzes kustības apjoms.

;
, Kur - slodzes absolūtais ātrums D. No (1) vienādības izriet, ka K 1x + K 2x =C 1 vai m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. (2) Lai noteiktu V Dx, uzskata, ka slodzes D kustība ir sarežģīta, ņemot vērā tās kustību attiecībā pret plāksni un pašas plāksnes kustību par pārnēsājamu, tad
, (3)
;vai projekcijā uz x asi: . (4) Aizstāsim (4) ar (2):
. (5) Integrācijas konstanti C 1 nosakām no sākuma nosacījumiem: pie t=0 u=u 0 ; (m 1 + m 2) u 0 =C 1. (6) Aizvietojot konstantes C 1 vērtību vienādojumā (5), iegūstam

jaunkundze.