Visu integrāļu tabula. Integrācijas pamatmetodes

Antiderivatīvu ("integrāļu") tabula. Integrāļu tabula. Tabulas nenoteiktie integrāļi. (Vienkāršākie integrāļi un integrāļi ar parametru). Formulas integrēšanai pa daļām. Ņūtona-Leibnica formula.

Formulas integrēšanai pa daļām. Integrācijas noteikumi.

Atvasinājumu tabula. Tabulas atvasinājumi. Produkta atvasinājums. Koeficienta atvasinājums. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Ja x ir neatkarīgs mainīgais, tad:

Logaritmu īpašības. Logaritmu pamatformulas. Decimālskaitļi (lg) un naturālie logaritmi (ln).

Naturālais logaritms ln (logaritms uz bāzi e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; log(1)=0

Teilora sērija. Teilora sērijas funkcijas paplašināšana.

Izrādās, ka lielākā daļa praktiski saskaras matemātiskās funkcijas var attēlot ar jebkuru precizitāti noteikta punkta tuvumā pakāpju rindu veidā, kas satur mainīgā pakāpes pieaugošā secībā. Piemēram, punkta x=1 tuvumā:

Lietojot sēriju sauc Teilora rindas, jauktas funkcijas, kas satur, piemēram, algebriskas, trigonometriskas un eksponenciālas funkcijas, var izteikt kā tīri algebriskas funkcijas. Izmantojot sērijas, jūs bieži varat ātri veikt diferenciāciju un integrāciju.

Teilora sērijai punkta a tuvumā ir šāda forma:

1) , kur f(x) ir funkcija, kurai ir visu secību atvasinājumi pie x = a. R n — Teilora sērijas atlikušo terminu nosaka izteiksme

2)

Rindas k-to koeficientu (pie x k) nosaka pēc formulas

3) Īpašs Teilora sērijas gadījums ir Maclaurin (=McLaren) sērija (izplešanās notiek ap punktu a=0)

pie a=0

sērijas dalībnieki tiek noteikti pēc formulas

Taylor sērijas lietošanas nosacījumi.

1. Lai funkcija f(x) tiktu izvērsta Teilora virknē intervālā (-R;R), ir nepieciešams un pietiekami, ka Teilora (Maklaurīna (=Maklarens)) formulas atlikušais termins šim. funkcijai ir tendence uz nulli kā k →∞ norādītajā intervālā (-R;R).

2. Nepieciešams, lai punktā, kura tuvumā mēs konstruēsim Teilora sēriju, ir dotās funkcijas atvasinājumi.

Teilora sērijas īpašības.

Ja f ir analītiska funkcija, tad tās Teilora rinda jebkurā f definīcijas apgabala punktā a saplūst ar f kādā a apkārtnē.

Ir bezgalīgi diferencējamas funkcijas, kuru Teilora rinda saplūst, bet tajā pašā laikā atšķiras no funkcijas jebkurā a apkārtnē. Piemēram:

Teilora sērijas tiek izmantotas funkcijas tuvināšanai (tuvināšana ir zinātniska metode, kas sastāv no dažu objektu aizstāšanas ar citiem, vienā vai otrā nozīmē tuvu oriģinālajiem, bet vienkāršākiem) funkcijas ar polinomiem. Jo īpaši linearizācija ((no linearis - lineāra), viena no slēgtu nelineāro sistēmu aptuvenās attēlošanas metodēm, kurā nelineāras sistēmas izpēte tiek aizstāta ar lineāras sistēmas analīzi, kas savā ziņā ir līdzvērtīga oriģinālajai. .) vienādojumi rodas, izvēršot Teilora sēriju un nogriežot visus vienumus virs pirmās kārtas.

Tādējādi gandrīz jebkuru funkciju var attēlot kā polinomu ar noteiktu precizitāti.

Dažu izplatītu jaudas funkciju paplašināšanas piemēri Maklarīna sērijās (=McLaren, Taylor 0 punkta tuvumā) un Teilors 1. punkta tuvumā. Teilora un Maklarena sēriju galveno funkciju paplašināšanas pirmie termini.

Dažu izplatītu jaudas funkciju paplašinājumu piemēri Maclaurin sērijā (=McLaren, Taylor 0 punkta tuvumā)

Dažu izplatītu Teilora sērijas paplašinājumu piemēri 1. punkta tuvumā

Antiderivatīvā funkcija un nenoteikts integrālis

Fakts 1. Integrācija ir diferenciācijas apgrieztā darbība, proti, funkcijas atjaunošana no zināmā šīs funkcijas atvasinājuma. Tādējādi funkcija ir atjaunota F(x) tiek saukts antiderivatīvs funkcijai f(x).

Definīcija 1. Funkcija F(x f(x) ar noteiktu intervālu X, ja visām vērtībām x no šī intervāla spēkā ir vienādība F "(x)=f(x), tas ir, šī funkcija f(x) ir antiderivatīvās funkcijas atvasinājums F(x). .

Piemēram, funkcija F(x) = grēks x ir funkcijas antiatvasinājums f(x) = cos x visā skaitļu rindā, jo jebkurai x vērtībai (grēks x)" = (cos x) .

Definīcija 2. Funkcijas nenoteiktais integrālis f(x) ir visu tā antiatvasinājumu kopums. Šajā gadījumā tiek izmantots apzīmējums

∫

f(x)dx

kur ir zīme ∫ sauc par integrālo zīmi, funkciju f(x) – integrācijas funkcija un f(x)dx – integrācijas izteiksme.

Tādējādi, ja F(x) – daži antiderivatīvs priekš f(x), Tas

∫

f(x)dx = F(x) +C

Kur C - patvaļīga konstante (konstante).

Lai saprastu funkcijas antiatvasinājumu kopas kā nenoteikta integrāļa nozīmi, ir piemērota šāda analoģija. Lai ir durvis (tradicionālās koka durvis). Tās funkcija ir “būt durvīm”. No kā izgatavotas durvis? Izgatavots no koka. Tas nozīmē, ka funkcijas “būt durvīm”, tas ir, tās nenoteiktā integrāļa, integrāda antiatvasinājumu kopa ir funkcija “būt kokam + C”, kur C ir konstante, kas šajā kontekstā var apzīmē, piemēram, koka veidu. Tāpat kā durvis tiek izgatavotas no koka, izmantojot dažus instrumentus, funkcijas atvasinājums tiek “izgatavots” no antiatvasinātās funkcijas, izmantojot formulas, ko apguvām, pētot atvasinājumu .

Tad parasto priekšmetu un to atbilstošo antiatvasinājumu (“būt durvīm” - “būt kokam”, “būt karotei” – “būt metālam” utt.) funkciju tabula ir līdzīga pamata tabulai. nenoteiktie integrāļi, kas tiks norādīti tālāk. Nenoteikto integrāļu tabulā ir uzskaitītas kopīgās funkcijas, norādot antiatvasinājumus, no kuriem šīs funkcijas ir “izgatavotas”. Daļai no nenoteiktā integrāļa atrašanas problēmām ir doti integrāļi, kurus var integrēt tieši bez īpašas piepūles, tas ir, izmantojot nenoteikto integrāļu tabulu. Sarežģītākos uzdevumos vispirms ir jāpārveido integrands, lai varētu izmantot tabulu integrāļus.

2. fakts. Atjaunojot funkciju kā antiatvasinājumu, jāņem vērā patvaļīga konstante (konstante) C, un lai nerakstītu antiatvasinājumu sarakstu ar dažādām konstantēm no 1 līdz bezgalībai, jums ir jāuzraksta antiatvasinājumu kopa ar patvaļīgu konstanti C, piemēram, šādi: 5 x³+C. Tātad antiatvasinājuma izteiksmē ir iekļauta patvaļīga konstante (konstante), jo antiatvasinājums var būt funkcija, piemēram, 5 x³+4 vai 5 x³+3 un diferencējot, 4 vai 3, vai jebkura cita konstante iet uz nulli.

Uzdosim integrācijas problēmu: šai funkcijai f(x) atrast šādu funkciju F(x), kura atvasinājums vienāds ar f(x).

1. piemērs. Atrodiet funkcijas antiatvasinājumu kopu

Risinājums. Šai funkcijai antiderivatīvs ir funkcija

Funkcija F(x) sauc par funkcijas antiatvasinājumu f(x), ja atvasinājums F(x) ir vienāds ar f(x), vai, kas ir viens un tas pats, diferenciālis F(x) ir vienāds f(x) dx, t.i.

(2)

Tāpēc funkcija ir funkcijas antiatvasinājums. Tomēr tas nav vienīgais antiatvasinājums . Tie kalpo arī kā funkcijas

Kur AR– patvaļīga konstante. To var pārbaudīt ar diferenciāciju.

Tādējādi, ja funkcijai ir viens antiatvasinājums, tad tai ir bezgalīgs skaits antiatvasinājumu, kas atšķiras ar konstantu terminu. Visi funkcijas antiatvasinājumi ir uzrakstīti iepriekš minētajā formā. Tas izriet no šādas teorēmas.

Teorēma (formāls fakta paziņojums 2). Ja F(x) – funkcijas antiatvasinājums f(x) ar noteiktu intervālu X, tad jebkuru citu antiderivatīvu par f(x) vienā un tajā pašā intervālā var attēlot formā F(x) + C, Kur AR– patvaļīga konstante.

Nākamajā piemērā mēs pievēršamies integrāļu tabulai, kas tiks dota 3. punktā pēc nenoteiktā integrāļa īpašībām. Mēs to darām pirms visas tabulas lasīšanas, lai iepriekš minētā būtība būtu skaidra. Un pēc tabulas un rekvizītiem mēs tos izmantosim pilnībā integrācijas laikā.

2. piemērs. Atrodiet antiderivatīvu funkciju kopas:

Risinājums. Mēs atrodam antiderivatīvu funkciju kopas, no kurām šīs funkcijas ir “izgatavotas”. Pieminot formulas no integrāļu tabulas, pagaidām vienkārši pieņem, ka tur tādas formulas ir, un nedaudz tālāk pētīsim pašu nenoteikto integrāļu tabulu.

1) Piemērojot formulu (7) no integrāļu tabulas for n= 3, mēs iegūstam

2) Izmantojot formulu (10) no integrāļu tabulas for n= 1/3, mums ir

3) Kopš

tad saskaņā ar formulu (7) ar n= -1/4 mēs atrodam

Tā nav pati funkcija, kas ir rakstīta zem integrālās zīmes. f, un tā reizinājums pēc diferenciāļa dx. Tas tiek darīts galvenokārt, lai norādītu, ar kuru mainīgo tiek meklēts antiatvasinājums. Piemēram,

, ;

šeit abos gadījumos integrands ir vienāds ar , bet tā nenoteiktie integrāļi aplūkotajos gadījumos izrādās atšķirīgi. Pirmajā gadījumā šī funkcija tiek uzskatīta par mainīgā lieluma funkciju x, bet otrajā - kā funkcija no z .

Funkcijas nenoteiktā integrāļa atrašanas procesu sauc par šīs funkcijas integrēšanu.

Nenoteiktā integrāļa ģeometriskā nozīme

Pieņemsim, ka mums jāatrod līkne y=F(x) un mēs jau zinām, ka pieskares leņķa pieskare katrā tā punktā ir dota funkcija f(x)šī punkta abscisa.

Atbilstoši atvasinājuma ģeometriskajai nozīmei pieskares slīpuma leņķa tangenss noteiktā līknes punktā y=F(x) vienāds ar atvasinājuma vērtību F"(x). Tāpēc mums ir jāatrod šāda funkcija F(x), par kuru F"(x)=f(x). Uzdevumā nepieciešamā funkcija F(x) ir antiatvasinājums no f(x). Problēmas nosacījumus apmierina nevis viena līkne, bet gan līkņu saime. y=F(x)- vienu no šīm līknēm un jebkuru citu līkni no tās var iegūt, paralēli tulkojot pa asi Oy.

Sauksim antiderivatīvās funkcijas grafiku f(x) integrālā līkne. Ja F"(x)=f(x), tad funkcijas grafiks y=F(x) ir integrālā līkne.

3. fakts. Nenoteikto integrāli ģeometriski attēlo visu integrāļu līkņu saime , kā attēlā zemāk. Katras līknes attālumu no koordinātu sākuma nosaka patvaļīga integrācijas konstante C.

Nenoteiktā integrāļa īpašības

4. fakts. 1. teorēma. Nenoteikta integrāļa atvasinājums ir vienāds ar integrandu, un tā diferenciālis ir vienāds ar integrandu.

5. fakts. 2. teorēma. Funkcijas diferenciāļa nenoteiktais integrālis f(x) ir vienāds ar funkciju f(x) līdz nemainīgam termiņam , t.i.

(3)

1. un 2. teorēma parāda, ka diferenciācija un integrācija ir savstarpēji apgrieztas darbības.

6. fakts. 3. teorēma. Konstanto faktoru integrandā var izņemt no nenoteiktā integrāļa zīmes , t.i.

Integrācija ir viena no galvenajām matemātiskās analīzes operācijām. Zināmo antiatvasinājumu tabulas var būt noderīgas, taču tagad, pēc datoralgebras sistēmu parādīšanās, tās zaudē savu nozīmi. Zemāk ir saraksts ar visbiežāk sastopamajiem primitīviem.

Pamatintegrāļu tabula

Vēl viena kompakta iespēja

Trigonometrisko funkciju integrāļu tabula

No racionālām funkcijām

No neracionālām funkcijām

Transcendentālo funkciju integrāļi

"C" ir patvaļīga integrācijas konstante, ko nosaka, ja ir zināma integrāļa vērtība jebkurā punktā. Katrai funkcijai ir bezgalīgs skaits antiatvasinājumu.

Lielākajai daļai skolēnu un studentu ir problēmas ar integrāļu aprēķināšanu. Šī lapa satur integrālās tabulas no trigonometriskām, racionālām, iracionālām un transcendentālām funkcijām, kas palīdzēs risinājumā. Jums palīdzēs arī atvasinājumu tabula.

Video - kā atrast integrāļus

>>Integrācijas metodes

Integrācijas pamatmetodes

Integrāļa, noteiktā un nenoteiktā integrāļa definīcija, integrāļu tabula, Ņūtona-Leibnica formula, integrācija pa daļām, integrāļu aprēķināšanas piemēri.

Nenoteikts integrālis

Tiek izsaukta funkcija F(x), kas diferencējama noteiktā intervālā X funkcijas antiatvasinājums f(x) vai f(x) integrālis, ja katram x ∈X ir spēkā šāda vienādība:

F " (x) = f (x). (8.1)

Visu antiatvasinājumu atrašanu noteiktai funkcijai sauc par tās integrācija. Nenoteikta integrāla funkcija f(x) dotajā intervālā X ir visu funkcijas f(x) antiatvasinājumu funkciju kopa; apzīmējums -

Ja F(x) ir kāds funkcijas f(x) antiatvasinājums, tad ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

kur C ir patvaļīga konstante.

Integrāļu tabula

Tieši no definīcijas iegūstam nenoteiktā integrāļa galvenās īpašības un tabulas integrāļu sarakstu:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Tabulu integrāļu saraksts

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctāns x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Mainīga nomaiņa

Lai integrētu daudzas funkcijas, izmantojiet mainīgo aizstāšanas metodi vai aizstāšanas, kas ļauj samazināt integrāļus tabulas formā.

Ja funkcija f(z) ir nepārtraukta uz [α,β], funkcijai z =g(x) ir nepārtraukts atvasinājums un α ≤ g(x) ≤ β, tad

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Turklāt pēc integrācijas labajā pusē ir jāveic aizstāšana z=g(x).

Lai to pierādītu, pietiek uzrakstīt oriģinālo integrāli formā:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Piemēram:

1)

2) .

Integrācijas metode pa daļām

Lai u = f(x) un v = g(x) ir funkcijas, kurām ir nepārtrauktas . Tad saskaņā ar darbu

d(uv))= udv + vdu vai udv = d(uv) - vdu.

Izteiksmei d(uv) antiatvasinājums acīmredzami būs uv, tāpēc formula ir spēkā:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Šī formula izsaka noteikumu integrācija pa daļām. Tas noved pie izteiksmes udv=uv"dx integrācijas līdz izteiksmes vdu=vu"dx integrācijai.

Ļaujiet, piemēram, atrast ∫xcosx dx. Ieliksim u = x, dv = cosxdx, tātad du=dx, v=sinx. Tad

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Integrācijas pa daļām noteikumam ir ierobežotāka darbības joma nekā mainīgo lielumu aizstāšanai. Bet ir veselas integrāļu klases, piemēram,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax un citi, kas tiek precīzi aprēķināti, izmantojot integrāciju pa daļām.

Noteikts integrālis

Noteikta integrāļa jēdziens tiek ieviests šādi. Lai funkcija f(x) ir definēta uz intervāla. Sadalīsim segmentu [a,b] n daļas pa punktiem a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Tiek izsaukta summa f(ξ i)Δ x i formā integrālā summa, un tā robežu pie λ = maxΔx i → 0, ja tā pastāv un ir ierobežota, sauc noteikts integrālis funkcijas f(x) of a pirms tam b un ir apzīmēts:

F(ξ i)Δx i (8.5.).

Šajā gadījumā tiek izsaukta funkcija f(x). integrējams intervālā, tiek izsaukti skaitļi a un b integrāļa apakšējās un augšējās robežas.

Šādas īpašības ir patiesas noteiktam integrālim:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Tiek saukts pēdējais īpašums vidējās vērtības teorēma.

Ļaut f (x) ir nepārtraukts uz . Tad šajā segmentā ir nenoteikts integrālis

∫f(x)dx = F(x) + C

un notiek Ņūtona-Leibnica formula, savienojot noteiktu integrāli ar nenoteikto integrāli:

F(b) - F(a). (8.6)

Ģeometriskā interpretācija: noteiktais integrālis ir līknes trapeces laukums, ko no augšas ierobežo līkne y=f(x), taisnes x = a un x = b un ass segments Vērsis.

Nepareizi integrāļi

Tiek saukti integrāļi ar bezgalīgiem ierobežojumiem un pārtrauktu (neierobežotu) funkciju integrāļi ne savu. Nepareizi pirmā veida integrāļi - Tie ir integrāļi bezgalīgā intervālā, kas definēti šādi:

(8.7)

Ja šī robeža pastāv un ir ierobežota, tad to sauc konverģents nepareizs f(x) integrālis uz intervāla [a,+ ∞), un tiek izsaukta funkcija f(x). integrējams bezgalīgā intervālā[a,+ ∞). Pretējā gadījumā tiek teikts, ka integrālis ir nepastāv vai atšķiras.

Nepareizi integrāļi intervālos (-∞,b] un (-∞, + ∞) tiek definēti līdzīgi:

Definēsim neierobežotas funkcijas integrāļa jēdzienu. Ja f(x) ir nepārtraukts visām vērtībām x segments , izņemot punktu c, kurā f(x) ir bezgalīga pārtraukums, tad nepareizs otrā veida integrālis f(x) sākot no a līdz b summa tiek saukta:

ja šīs robežas pastāv un ir ierobežotas. Apzīmējums:

Integrāļu aprēķinu piemēri

Piemērs 3.30. Aprēķināt ∫dx/(x+2).

Risinājums. Apzīmēsim t = x+2, tad dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Piemērs 3.31. Atrodiet ∫ tgxdx.

Risinājums.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Ļaujiet t=cosx, tad ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Risinājums.

Piemērs3.33. Atrast.

Risinājums. =

.

Piemērs3.34 . Atrodiet ∫arctgxdx.

Risinājums. Integrēsim pa daļām. Apzīmēsim u=arctgx, dv=dx. Tad du = dx/(x 2 +1), v=x, no kurienes ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; jo
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Piemērs3.35 . Aprēķināt ∫lnxdx.

Risinājums. Piemērojot integrāciju pēc detaļu formulas, mēs iegūstam:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Tad ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Piemērs3.36 . Aprēķināt ∫e x sinxdx.

Risinājums. Apzīmēsim u = e x, dv = sinxdx, tad du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Mēs arī integrāli ∫e x cosxdx integrējam pa daļām: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Mums ir:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Mēs ieguvām sakarību ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, no kuras 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Piemērs 3.37. Aprēķināt J = ∫cos(lnx)dx/x.

Risinājums. Tā kā dx/x = dlnx, tad J= ∫cos(lnx)d(lnx). Aizstājot lnx ar t, mēs nonākam pie tabulas integrāļa J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Piemērs 3.38 . Aprēķināt J = .

Risinājums.Ņemot vērā, ka = d(lnx), mēs aizstājam lnx = t. Tad J = .