Teorēma par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām. Kustības daudzums

§1. Sistēmas impulss (sistēmas impulss)

Kustības daudzums (ķermeņa impulss) — vektora fiziskais daudzums, kas vienāds ar ķermeņa masas un tā ātruma reizinājumu:

Impulss (kustību apjoms) ir viena no svarīgākajām ķermeņa vai ķermeņu sistēmas kustības pazīmēm.

Rakstīsim II Ņūtona likums citā formā, ņemot vērā šo paātrinājumu Tad tāpēc

Spēka un tā darbības laika reizinājums ir vienāds ar ķermeņa impulsa pieaugumu:

Kur- spēka impulss, kas parāda, ka spēka rezultāts ir atkarīgs ne tikai no tā vērtības, bet arī no tā darbības ilguma.

Sistēmas kustības lielums (impulss) tiks saukts par vektora lielumu , vienāda ar visu sistēmas punktu kustības apjomu (impulsu) ģeometrisko summu (galveno vektoru) (2. att.):

No zīmējuma ir skaidrs, ka neatkarīgi no sistēmas punktu ātrumu vērtībām (ja vien šie ātrumi nav paralēli), vektorsvar iegūt jebkuras vērtības un pat būt vienāda ar nulli, ja daudzstūris ir veidots no vektoriem, tiks slēgts. Tāpēc pēc izmēranav iespējams pilnībā spriest par sistēmas kustības raksturu.

2. att. Sistēmas kustības daudzums

§2. Teorēma par impulsa (impulsa) izmaiņām

Ļaujiet spēkam iedarboties uz ķermeni ar masu m noteiktu īsu laika periodu Δt. Šī spēka ietekmē ķermeņa ātrums mainās par Līdz ar to laikā Δt ķermenis pārvietojās ar paātrinājumu:

No dinamikas pamatlikuma(Ņūtona otrais likums) ir šāds:

§3. Impulsa nezūdamības likums (impulsa saglabāšanas likums)

No teorēmas par sistēmas impulsa izmaiņām var iegūt šādas svarīgas sekas:

1) Lai visu ārējo spēku summa, kas iedarbojas uz slēgtu sistēmu, ir vienāda ar nulli:

Tad no Eq. no tā izriet, ka Q = = konst. Tādējādi, ja visu ārējo spēku summa, kas iedarbojas uz slēgtu sistēmu, ir vienāda ar nulli, tad sistēmas impulsa (impulsa) vektors būs nemainīgs pēc lieluma un virziena.

2) Lai ārējie spēki, kas iedarbojas uz sistēmu, būtu tādi, lai to projekciju summa uz kādu asi (piem. PAR x ) ir vienāds ar nulli:

Tad no Eq.no tā izriet, ka šajā gadījumāQ x= konst. Tātad, ja visu darbojošos ārējo spēku projekciju summa uz jebkuru asi ir vienāda ar nulli, tad sistēmas kustības apjoma (impulsa) projekcija uz šo asi ir nemainīga vērtība.

Šie rezultāti izsaka Sistēmas impulsa saglabāšanas likums: jebkura veida mijiedarbībai starp ķermeņiem, kas veido slēgtu sistēmu, šīs sistēmas kopējā impulsa vektors visu laiku paliek nemainīgs.

No tiem izriet, ka iekšējie spēki nevar mainīt sistēmas kopējo kustības apjomu.

Izolētas sistēmas kopējā impulsa saglabāšanas likums ir universāls dabas likums. Vispārīgākā gadījumā, kad sistēma nav slēgta, no plkstno tā izriet, ka atvērtās cilpas sistēmas kopējais impulss nepaliek nemainīgs. Tās izmaiņas laika vienībā ir vienādas ar visu ārējo spēku ģeometrisko summu.

Apskatīsim dažus piemērus:

a) atsitiena vai atsitiena parādība. Ja mēs uzskatām šauteni un lodi kā vienu sistēmu, tad pulvera gāzu spiediens šāviena laikā būs iekšējs spēks. Šis spēks nevar mainīt sistēmas kopējo impulsu. Bet, tā kā pulvera gāzes, iedarbojoties uz lodi, piešķir tai noteiktu kustību, kas vērsta uz priekšu, tām vienlaikus jādod šautenei tāda pati kustība pretējā virzienā. Tas izraisīs šautenes pārvietošanos atpakaļ, t.i. tā sauktā atgriešanās. Līdzīga parādība notiek šaujot ar ieroci (atgriešana).

b) Propellera (propellera) darbība. Propellers nodrošina kustību noteiktai gaisa (vai ūdens) masai pa dzenskrūves asi, metot šo masu atpakaļ. Ja mēs uzskatām izmesto masu un lidmašīnu (vai kuģi) par vienu sistēmu, tad propellera un vides mijiedarbības spēki kā iekšējie nevar mainīt šīs sistēmas kopējo kustības apjomu. Tāpēc, kad gaisa (ūdens) masa tiek izmesta atpakaļ, gaisa kuģis (vai kuģis) saņem atbilstošu ātrumu uz priekšu, lai kopējais attiecīgās sistēmas kustības apjoms būtu vienāds ar nulli, jo tas bija nulle pirms sākās kustība.

Līdzīgs efekts tiek panākts, iedarbojoties ar airiem vai lāpstiņām.

c) Reaktīvā piedziņa. Raķetē degvielas gāzveida sadegšanas produkti lielā ātrumā tiek izmesti no atveres raķetes astē (no reaktīvo dzinēja sprauslas). Spiediena spēki, kas darbojas šajā gadījumā, būs iekšējie spēki, un tie nevar mainīt kopējo raķešu sistēmas kustības apjomu - degvielas sadegšanas produktus. Bet, tā kā izplūstošajām gāzēm ir noteikta kustība, kas vērsta atpakaļ, raķete saņem atbilstošu ātrumu uz priekšu.

Pašpārbaudes jautājumi:

Kā tiek formulēta teorēma par sistēmas impulsa izmaiņām?

Pierakstiet teorēmas matemātisko izteiksmi par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām diferenciālā un integrālā formā.

Kurā gadījumā mehāniskās sistēmas impulss nemainās?

Kā tiek noteikts mainīga spēka impulss ierobežotā laika periodā? Kas raksturo spēka impulsu?

Kādas ir pastāvīgu un mainīgu spēka impulsu projekcijas uz koordinātu asīm?

Kāds ir rezultāta impulss?

Kā mainās moments, kas vienmērīgi pārvietojas pa apli?

Kāds ir mehāniskās sistēmas impulss?

Kāds ir spararata impulss, kas griežas ap fiksētu asi, kas iet caur tā smaguma centru?

Kādos apstākļos mehāniskās sistēmas impulss nemainās? Kādos apstākļos tā projekcija uz noteiktu asi nemainās?

Kāpēc ierocis ripo atpakaļ, kad tiek izšauts?

Vai iekšējie spēki var mainīt sistēmas impulsu vai tās daļas impulsu?

Kādi faktori nosaka raķetes brīvās kustības ātrumu?

Vai raķetes galīgais ātrums ir atkarīgs no degvielas sadegšanas laika?

Skatīt:Šis raksts ir lasīts 23264 reizes

Pdf Izvēlieties valodu... Krievu Ukraiņu Angļu

Īss apskats

Viss materiāls tiek lejupielādēts iepriekš, pēc valodas izvēles

Materiālu punktu mehāniskā sistēma jeb ķermeņi ir tāds to kopums, kurā katra punkta (vai ķermeņa) pozīcija un kustība ir atkarīga no pārējo stāvokļa un kustības.
Materiāls ķermenis tiek uzskatīts par materiālu punktu (daļiņu) sistēmu, kas veido šo ķermeni.
Ar ārējiem spēkiem ir tie spēki, kas iedarbojas uz mehāniskās sistēmas punktiem vai ķermeņiem no punktiem vai ķermeņiem, kas nepieder šai sistēmai.
Ar iekšējiem spēkiem, ir spēki, kas iedarbojas uz mehāniskās sistēmas punktiem vai ķermeņiem no vienas un tās pašas sistēmas punktiem vai ķermeņiem, t.i. ar kuriem dotās sistēmas punkti vai ķermeņi mijiedarbojas viens ar otru.
Sistēmas ārējie un iekšējie spēki savukārt var būt aktīvi un reaģējoši
Sistēmas svars vienāds ar visu sistēmas punktu vai ķermeņu masu algebrisko summu vienmērīgā gravitācijas laukā, kurā jebkuras ķermeņa daļiņas svars ir proporcionāls tās masai. Tāpēc masu sadalījumu ķermenī var noteikt pēc tā smaguma centra - ģeometriskā punkta - stāvokļa AR, kuras koordinātas sauc par mehāniskās sistēmas masas centru vai inerces centru
Teorēma par mehāniskās sistēmas masas centra kustību: mehāniskās sistēmas masas centrs pārvietojas kā materiāls punkts, kura masa ir vienāda ar sistēmas masu un kuram tiek pielikti visi ārējie spēki, kas iedarbojas uz sistēmu
Secinājumi:

Mehānisku sistēmu vai stingru ķermeni var uzskatīt par materiālu punktu atkarībā no tās kustības rakstura, nevis no izmēra.
Iekšējos spēkus neņem vērā teorēmā par masas centra kustību.
Teorēma par masas centra kustību raksturo nevis mehāniskās sistēmas rotācijas kustību, bet tikai translācijas kustību.

Likums par sistēmas masas centra kustības saglabāšanu:
1. Ja ārējo spēku summa (galvenais vektors) pastāvīgi ir vienāda ar nulli, tad mehāniskās sistēmas masas centrs atrodas miera stāvoklī vai kustas vienmērīgi un taisni.
2. Ja visu ārējo spēku projekciju summa uz jebkuru asi ir vienāda ar nulli, tad sistēmas masas centra ātruma projekcija uz to pašu asi ir nemainīga vērtība.

Teorēma par impulsa maiņu.

Materiālā punkta kustības apjoms un ir vektora lielums, kas ir vienāds ar punkta masas un tā ātruma vektora reizinājumu.
Impulsa mērvienība ir (kg m/s).
Mehāniskās sistēmas impulss- vektora lielums, kas vienāds ar visu sistēmas punktu impulsa ģeometrisko summu (galveno vektoru). Vai arī sistēmas impulss ir vienāds ar visas sistēmas masas un tās masas centra ātruma reizinājumu.
Kad ķermenis (vai sistēma) pārvietojas tā, ka tā masas centrs ir nekustīgs, tad ķermeņa kustības apjoms ir vienāds ar nulli (piemēram, ķermeņa rotācija ap fiksētu asi, kas iet caur ķermeņa masas centru ķermenis).
Ja ķermeņa kustība ir sarežģīta, tad tā neraksturos kustības rotācijas daļu, rotējot ap masas centru. Tas ir, kustības apjoms raksturo tikai sistēmas translācijas kustību (kopā ar masas centru).
Impulsa spēks raksturo spēka darbību noteiktā laika periodā.
Spēka impulsu uz noteiktu laika periodu definē kā atbilstošo elementāro impulsu integrālo summu
Teorēma par materiāla punkta impulsa izmaiņām:
(diferenciālā formā): materiāla punkta impulsa atvasinājums laika gaitā ir vienāds ar to spēku ģeometrisko summu, kas iedarbojas uz punktiem
(integrālā formā): impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar to spēku impulsu ģeometrisko summu, kas pielikti punktam tajā pašā laika periodā.

Teorēma par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām
(diferenciālā formā): Sistēmas impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku ģeometrisko summu.
(integrālā formā): Sistēmas impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar to impulsu ģeometrisko summu, kas iedarbojas uz ārējo spēku sistēmu tajā pašā laika periodā.
Teorēma ļauj izslēgt no izskatīšanas acīmredzami nezināmus iekšējos spēkus.
Teorēma par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām un teorēma par masas centra kustību ir vienas teorēmas divas dažādas formas.
Sistēmas impulsa nezūdamības likums.

Ja visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku summa ir vienāda ar nulli, tad sistēmas impulsa vektors būs nemainīgs virzienā un lielumā.
Ja visu darbojošos ārējo spēku projekciju summa uz jebkuru patvaļīgu asi ir vienāda ar nulli, tad impulsa projekcija uz šo asi ir nemainīga vērtība.

Saglabāšanas likumi norāda, ka iekšējie spēki nevar mainīt sistēmas kopējo kustības apjomu.

Spēku klasifikācija, kas iedarbojas uz mehānisku sistēmu
Iekšējo spēku īpašības
Sistēmas masa. Masas centrs
Mehāniskās sistēmas kustību diferenciālvienādojumi
Teorēma par mehāniskās sistēmas masas centra kustību
Sistēmas masas centra kustības saglabāšanas likums
Momenta maiņas teorēma
Sistēmas impulsa nezūdamības likums

Valoda: krievu, ukraiņu

Izmērs: 248K

Piedziņas zobrata aprēķina piemērs
Piemērs cilindriskā zobrata aprēķināšanai. Veikta materiāla izvēle, pieļaujamo spriegumu aprēķins, kontakta un lieces stiprības aprēķins.

Sijas lieces problēmas risināšanas piemērs
Piemērā tika konstruētas šķērsspēku un lieces momentu diagrammas, atrasts bīstams posms un izvēlēts I-siju. Problēmā tika analizēta diagrammu konstrukcija, izmantojot diferenciālās atkarības, un veikta dažādu sijas šķērsgriezumu salīdzinošā analīze.

Vārpstas vērpes problēmas risināšanas piemērs
Uzdevums ir pārbaudīt tērauda vārpstas izturību pie noteikta diametra, materiāla un pieļaujamā sprieguma. Risinājuma laikā tiek konstruētas griezes momentu, bīdes spriegumu un griezes leņķu diagrammas. Pašas vārpstas svars netiek ņemts vērā

Stieņa stiepes-saspiešanas problēmas risināšanas piemērs
Uzdevums ir pārbaudīt tērauda stieņa izturību pie noteiktiem pieļaujamiem spriegumiem. Risinājuma laikā tiek konstruētas garenspēku, normālo spriegumu un pārvietojumu diagrammas. Paša stieņa svars netiek ņemts vērā

Kinētiskās enerģijas saglabāšanas teorēmas pielietojums
Problēmas risināšanas piemērs, izmantojot teorēmu par mehāniskās sistēmas kinētiskās enerģijas saglabāšanu

Punkta ātruma un paātrinājuma noteikšana, izmantojot dotos kustības vienādojumus
Piemērs uzdevuma risināšanai, lai noteiktu punkta ātrumu un paātrinājumu, izmantojot dotos kustības vienādojumus

Stingra ķermeņa punktu ātrumu un paātrinājumu noteikšana plaknes paralēlas kustības laikā
Piemērs problēmas risināšanai, lai noteiktu cieta ķermeņa punktu ātrumu un paātrinājumus plaknes paralēlas kustības laikā

Sistēmas kustības apjoms izsaukt visu sistēmas materiālo punktu kustības lielumu ģeometrisko summu

Lai noskaidrotu (70) fizisko nozīmi, aprēķināsim (64) atvasinājumu.

. (71)

Atrisinot (70) un (71) kopā, mēs iegūstam

. (72)

Tādējādi mehāniskās sistēmas impulsa vektoru nosaka sistēmas masas un tās masas centra ātruma reizinājums.

Aprēķināsim (72) atvasinājumu

. (73)

Atrisinot (73) un (67) kopā, mēs iegūstam

. (74)

(74) vienādojums izsaka šādu teorēmu.

Teorēma: Sistēmas impulsa vektora laika atvasinājums ir vienāds ar visu sistēmas ārējo spēku ģeometrisko summu.

Risinot uzdevumus, vienādojums (74) jāprojicē uz koordinātu asīm:

. (75)

No (74) un (75) analīzes izriet šādi: sistēmas impulsa nezūdamības likums: Ja visu sistēmas spēku summa ir nulle, tad tās impulsa vektors saglabā savu lielumu un virzienu.

Ja
, Tas
,J = konst . (76)

Konkrētā gadījumā šo likumu var izpildīt pa vienu no koordinātu asīm.

Ja
, Tas, J z = konst. (77)

Teorēmu par impulsa izmaiņām ieteicams izmantot gadījumos, kad sistēmā ietilpst šķidri un gāzveida ķermeņi.

Teorēma par mehāniskās sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām

Kustības apjoms raksturo tikai kustības translācijas komponentu. Lai raksturotu ķermeņa rotācijas kustību, ir ieviests sistēmas galvenā leņķiskā impulsa jēdziens attiecībā pret doto centru (kinētiskais moments).

Sistēmas kinētiskais moments attiecībā pret doto centru ir visu tā punktu kustības lielumu momentu ģeometriskā summa attiecībā pret to pašu centru

. (78)

Projicējot (22) uz koordinātu asīm, mēs varam iegūt izteiksmi kinētiskajam momentam attiecībā pret koordinātu asīm

. (79)

Ķermeņa kinētiskais moments attiecībā pret asīm vienāds ar ķermeņa inerces momenta attiecībā pret šo asi un ķermeņa leņķiskā ātruma reizinājumu

. (80)

No (80) izriet, ka kinētiskais moments raksturo tikai kustības rotācijas komponenti.

Spēka rotācijas darbības raksturlielums ir tā moments attiecībā pret rotācijas asi.

Teorēma par leņķiskā impulsa izmaiņām nosaka saistību starp rotācijas kustības raksturlielumu un spēku, kas izraisa šo kustību.

Teorēma: Sistēmas leņķiskā impulsa vektora laika atvasinājums attiecībā pret kādu centru ir vienāds ar visu sistēmas ārējo spēku momentu ģeometrisko summu attiecībā prettas pats centrs

. (81)

Risinot inženiertehniskos uzdevumus (81), nepieciešams projektēt uz koordinātu asīm

Viņu veiktā (81) un (82) analīze nozīmē leņķiskā impulsa saglabāšanas likums: Ja visu ārējo spēku momentu summa attiecībā pret centru (vai asi) ir vienāda ar nulli, tad sistēmas kinētiskais moments attiecībā pret šo centru (vai asi) saglabā savu lielumu un virzienu.

vai

Kinētisko momentu nevar mainīt, iedarbojoties sistēmas iekšējiem spēkiem, taču šo spēku ietekmē ir iespējams mainīt inerces momentu un līdz ar to arī leņķisko ātrumu.

Tāpat kā vienam materiālam punktam, mēs atvasināsim teorēmu par impulsa izmaiņām sistēmā dažādās formās.

Pārveidosim vienādojumu (teorēma par mehāniskās sistēmas masas centra kustību)

šādā veidā:

;

Iegūtais vienādojums izsaka teorēmu par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām diferenciālā formā: mehāniskās sistēmas impulsa atvasinājums attiecībā pret laiku ir vienāds ar ārējo spēku galveno vektoru, kas iedarbojas uz sistēmu. .

Projekcijās uz Dekarta koordinātu asīm:

; ; .

Ņemot vērā pēdējo vienādojumu abu pušu integrāļus laika gaitā, iegūstam teorēmu par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām integrālā formā: mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņas ir vienādas ar galvenā vektora impulsu. ārējie spēki, kas iedarbojas uz sistēmu .

Vai projekcijās uz Dekarta koordinātu asīm:

; ; .

Secinājumi no teorēmas (impulsa nezūdamības likumi)

Impulsa nezūdamības likums tiek iegūts kā teorēmas par impulsa izmaiņu īpašiem gadījumiem sistēmai atkarībā no ārējo spēku sistēmas īpašībām. Iekšējie spēki var būt jebkuri, jo tie neietekmē impulsa izmaiņas.

Ir divi iespējamie gadījumi:

1. Ja visu sistēmai pielikto ārējo spēku vektora summa ir vienāda ar nulli, tad sistēmas kustības apjoms ir nemainīgs pēc lieluma un virziena.

2. Ja ārējo spēku galvenā vektora projekcija uz jebkuru koordinātu asi un/vai un/vai ir vienāda ar nulli, tad impulsa projekcija uz šīm pašām asīm ir nemainīga vērtība, t.i. un/vai un/vai attiecīgi.

Līdzīgus ierakstus var veikt par materiālo punktu un par materiālo punktu.

Uzdevums. No pistoles, kuras masa M, masas šāviņš izlido horizontālā virzienā m ar ātrumu v. Atrodi ātrumu V ieroči pēc šaušanas.

Risinājums. Visi ārējie spēki, kas iedarbojas uz mehānisko ieroču-lādiņu sistēmu, ir vertikāli. Tas nozīmē, ka, pamatojoties uz teoriju par sistēmas impulsa izmaiņām, mums ir: .

Mehāniskās sistēmas kustības apjoms pirms apdedzināšanas:

Mehāniskās sistēmas kustības apjoms pēc šāviena:

Pielīdzinot izteiksmju labās puses, mēs iegūstam to

Zīme “-” iegūtajā formulā norāda, ka pēc šaušanas lielgabals ritēs atpakaļ virzienā, kas ir pretējs asij Vērsis.

2. PIEMĒRS. Šķidruma plūsma ar blīvumu plūst ar ātrumu V no caurules ar šķērsgriezuma laukumu F un leņķī atsitās pret vertikālu sienu. Nosakiet šķidruma spiedienu uz sienas.

RISINĀJUMS. Pielietosim teorēmu par impulsa izmaiņām integrālā formā šķidruma tilpumam ar masu m atsitoties pret sienu noteiktā laika periodā t.

MEŠČERSKA VIENĀDĀJUMS

(mainīgas masas ķermeņa dinamikas pamatvienādojums)

Mūsdienu tehnoloģijās rodas gadījumi, kad punkta un sistēmas masa kustības laikā nepaliek nemainīga, bet mainās. Tā, piemēram, kosmosa raķešu lidojuma laikā sadegšanas produktu un atsevišķu nevajadzīgu raķešu daļu izmešanas dēļ masas izmaiņas sasniedz 90-95% no kopējās sākotnējās vērtības. Bet ne tikai kosmosa tehnoloģija var būt mainīgas masas kustības dinamikas piemērs. Tekstilrūpniecībā ir vērojamas būtiskas dažādu vārpstu, spoļu un ruļļu masas izmaiņas pie moderniem mašīnu un mašīnu darbības ātrumiem.

Apskatīsim galvenās iezīmes, kas saistītas ar masas izmaiņām, izmantojot mainīgas masas ķermeņa translācijas kustības piemēru. Dinamikas pamatlikumu nevar tieši attiecināt uz mainīgas masas ķermeni. Tāpēc iegūstam mainīgas masas punkta kustības diferenciālvienādojumus, pielietojot teorēmu par sistēmas impulsa izmaiņām.

Lai punktam ir masa m+dm pārvietojas ar ātrumu. Tad no punkta tiek atdalīta noteikta daļiņa ar masu dm pārvietojas ar ātrumu.

Ķermeņa kustības apjoms pirms daļiņas atdalīšanās:

Sistēmas, kas sastāv no ķermeņa un atdalītas daļiņas, kustības apjoms pēc tā atdalīšanas:

Tad impulsa izmaiņas:

Pamatojoties uz teorēmu par sistēmas impulsa izmaiņām:

Apzīmēsim daudzumu - daļiņas relatīvo ātrumu:

Apzīmēsim

Izmērs R sauc par reaktīvo spēku. Reaktīvais spēks ir dzinēja vilces spēks, ko izraisa gāzes izmešana no sprauslas.

Beidzot saņemam

Šī formula izsaka mainīgas masas ķermeņa dinamikas pamatvienādojumu (Meščerska formula). No pēdējās formulas izriet, ka mainīgas masas punkta kustības diferenciālvienādojumiem ir tāda pati forma kā nemainīgas masas punktam, izņemot papildu reaktīvo spēku, kas punktam tiek pielikts masas izmaiņu dēļ.

Mainīgas masas ķermeņa dinamikas pamatvienādojums norāda, ka šī ķermeņa paātrinājums veidojas ne tikai ārējo spēku, bet arī reaktīvā spēka ietekmē.

Reaktīvais spēks ir spēks, kas līdzīgs tam, ko izjūt šaujošais cilvēks - šaujot no pistoles, tas ir jūtams ar roku; Šaujot no šautenes, to uztver ar plecu.

Ciolkovska pirmā formula (vienpakāpes raķetei)

Ļaujiet mainīgas masas punktam vai raķetei kustēties taisnā līnijā tikai viena reaktīvā spēka ietekmē. Tā kā daudziem mūsdienu reaktīvo dzinējiem , kur ir maksimālais reaktīvais spēks, ko pieļauj dzinēja konstrukcija (dzinēja vilce); - gravitācijas spēks, kas iedarbojas uz dzinēju, kas atrodas uz zemes virsmas. Tie. iepriekš minētais ļauj neņemt vērā komponentu Meščerska vienādojumā un pieņemt šo vienādojumu tālākai analīzei šādā formā: ,

Apzīmēsim:

Degvielas rezerve (šķidruma reaktīvajiem dzinējiem - raķetes sausā masa (tās atlikušā masa pēc visas degvielas izdegšanas);

No raķetes atdalīto daļiņu masa; tiek uzskatīta par mainīgu vērtību, kas mainās no līdz .

Uzrakstīsim mainīgas masas punkta taisnvirziena kustības vienādojumu šādā formā:

Tā kā raķetes mainīgās masas noteikšanas formula ir

Tāpēc punkta kustības vienādojumi Ņemot abu pušu integrāļus, mēs iegūstam

Kur - raksturīgais ātrums- tas ir ātrums, ko raķete iegūst vilces spēka ietekmē pēc tam, kad no raķetes ir izplūdušas visas daļiņas (šķidruma reaktīvo dzinējiem - pēc tam, kad visa degviela ir izdegusi).

Ārpus integrālzīmes (ko var izdarīt, pamatojoties uz augstākās matemātikas zināmo vidējās vērtības teorēmu) ir no raķetes izmesto daļiņu vidējais ātrums.

un mehāniskā sistēma

Materiāla punkta impulss ir mehāniskās kustības vektormērs, kas vienāds ar punkta masas un tā ātruma reizinājumu. Impulsa mērvienība SI sistēmā ir
. Mehāniskās sistēmas kustības apjoms ir vienāds ar visu sistēmu veidojošo materiālu punktu kustību apjomu summu:

. (5.2)

Pārveidosim iegūto formulu

Saskaņā ar formulu (4.2)
, Tāpēc

Tādējādi mehāniskās sistēmas impulss ir vienāds ar tās masas un masas centra ātruma reizinājumu:

. (5.3)

Tā kā sistēmas kustības apjomu nosaka tikai viena tās punkta (masas centra) kustība, tas nevar būt pilnīgs sistēmas kustības raksturojums. Patiešām, jebkurai sistēmas kustībai, kad tās masas centrs paliek nekustīgs, sistēmas impulss ir nulle. Piemēram, tas notiek, kad stingrs ķermenis griežas ap fiksētu asi, kas iet caur tā masas centru.

Ieviesīsim atsauces sistēmu Cxyz, kura izcelsme ir mehāniskās sistēmas masas centrā AR un pārvietojas translatīvi attiecībā pret inerciālo sistēmu
(5.1. att.). Pēc tam katra punkta kustība
var uzskatīt par sarežģītu: pārnēsājama kustība kopā ar cirvjiem Cxyz un kustība attiecībā pret šīm asīm. Sakarā ar cirvju progresīvo kustību Cxyz katra punkta pārnēsājamais ātrums ir vienāds ar sistēmas masas centra ātrumu, un sistēmas kustības apjoms, kas noteikts pēc formulas (5.3), raksturo tikai tās translācijas pārvietojamo kustību.

5.3. Impulsa spēks

Lai raksturotu spēka darbību noteiktā laika periodā, lielumu sauc spēka impulss . Spēka elementārais impulss ir spēka darbības vektormērs, kas vienāds ar spēka reizinājumu ar tā darbības elementāro laika intervālu:

. (5.4)

Spēka impulsa SI vienība ir
, t.i. Spēka impulsa un impulsa izmēri ir vienādi.

Spēka impulss ierobežotā laika periodā
ir vienāds ar noteiktu elementārā impulsa integrāli:

. (5.5)

Pastāvīga spēka impulss ir vienāds ar spēka un tā darbības laika reizinājumu:

. (5.6)

Kopumā spēka impulsu var noteikt pēc tā projekcijām uz koordinātu asīm:

. (5.7)

5.4. Momenta maiņas teorēma

materiālais punkts

Dinamikas pamatvienādojumā (1.2) materiāla punkta masa ir nemainīgs lielums, tā paātrinājums
, kas ļauj uzrakstīt šo vienādojumu šādā formā:

. (5.8)

Rezultātā radušās attiecības ļauj formulēt teorēma par materiāla punkta impulsa izmaiņām diferenciālā formā: Materiāla punkta impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar to spēku ģeometrisko summu (galveno vektoru), kas iedarbojas uz punktu.

Tagad mēs iegūstam šīs teorēmas integrālo formu. No attiecības (5.8) izriet, ka

Integrēsim abas vienlīdzības puses laika momentiem atbilstošās robežās Un ,

. (5.9)

Labajā pusē esošie integrāļi attēlo spēku impulsus, kas iedarbojas uz punktu, tāpēc pēc kreisās puses integrēšanas iegūstam

. (5.10)

Tādējādi tas ir pierādīts teorēma par materiāla punkta impulsa izmaiņām neatņemamā formā: Materiāla punkta impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar to spēku impulsu ģeometrisko summu, kas iedarbojas uz punktu tajā pašā laika periodā.

Vektoru vienādojums (5.10) atbilst trīs vienādojumu sistēmai projekcijās uz koordinātu asīm:

;

; (5.11)

1. piemērs. Ķermenis pārvietojas translācijas virzienā pa slīpu plakni, veidojot leņķi α ar horizontu. Sākotnējā brīdī tam bija ātrums , kas vērsta uz augšu pa slīpu plakni (5.2. att.).

Pēc kāda laika ķermeņa ātrums kļūst vienāds ar nulli, ja berzes koeficients ir vienāds ar f ?

Ņemsim translācijas kustīgu ķermeni kā materiālu punktu un ņemsim vērā spēkus, kas uz to iedarbojas. Tā ir gravitācija
, normāla plaknes reakcija un berzes spēks . Novirzīsim asi x pa slīpo plakni uz augšu un uzrakstiet sistēmas (5.11.) 1. vienādojumu.

kur ir kustības lielumu projekcijas un pastāvīgu spēku impulsu projekcijas
,Un ir vienādi ar spēku projekciju un kustības laika reizinājumiem:

Tā kā ķermeņa paātrinājums ir vērsts pa slīpo plakni, projekciju summa uz asi y no visiem spēkiem, kas iedarbojas uz ķermeni, ir vienāds ar nulli:
, no kā izriet, ka
. Atradīsim berzes spēku

un no (5.12) vienādojuma iegūstam

no kurienes mēs nosakām ķermeņa kustības laiku