§6. Nehomogēna lineāro vienādojumu sistēma

Termins “sistēma” tiek lietots dažādās zinātnēs. Attiecīgi dažādās situācijās tiek izmantotas dažādas sistēmas definīcijas: no filozofiskas līdz formālai. Kursa vajadzībām vispiemērotākā ir šāda definīcija: sistēma ir elementu kopums, ko vieno savienojumi un kas darbojas kopā, lai sasniegtu mērķi.

Sistēmām ir raksturīgas vairākas īpašības, no kurām galvenās ir iedalītas trīs grupās: statiskā, dinamiskā un sintētiskā.

1.1 Sistēmu statiskās īpašības

Integritāte. Katra sistēma parādās kā kaut kas vienots, vesels, atsevišķs, atšķirīgs no visa pārējā. Šo īpašību sauc par sistēmas integritāti. Tas ļauj sadalīt visu pasauli divās daļās: sistēmā un vidē.

Atklātība. Izolētā sistēma, kas atšķiras no visa pārējā, nav izolēta no vides. Gluži pretēji, tie ir savienoti un apmainās ar dažāda veida resursiem (materiālu, enerģiju, informāciju utt.). Šī iezīme ir apzīmēta ar terminu "atvērtība".

Saiknes starp sistēmu un vidi ir virzītas: dažos veidos vide ietekmē sistēmu (sistēmas ievades), citos – sistēma ietekmē vidi, kaut ko dara vidē un kaut ko izvada vidē (sistēmas izvadi) . Sistēmas ieeju un izeju aprakstu sauc par melnās kastes modeli. Šādā modelī nav informācijas par sistēmas iekšējām iezīmēm. Neskatoties uz šķietamo vienkāršību, šāds modelis bieži vien ir diezgan pietiekams darbam ar sistēmu.

Daudzos gadījumos, pārvaldot iekārtas vai cilvēkus, informācija tikai par sistēmas ieejām un izejām ļauj veiksmīgi sasniegt mērķi. Tomēr šim modelim jāatbilst noteiktām prasībām. Piemēram, lietotājam var rasties grūtības, ja viņš nezina, ka dažos televizoru modeļos barošanas poga ir jāizvelk, nevis jānospiež. Tāpēc veiksmīgai vadībai modelī jāsatur visa informācija, kas nepieciešama mērķa sasniegšanai. Mēģinot izpildīt šo prasību, var rasties četru veidu kļūdas, kas izriet no tā, ka modelī vienmēr ir ierobežots savienojumu skaits, savukārt reālā sistēmā savienojumu skaits ir neierobežots.

Pirmā veida kļūda rodas, ja subjekts kļūdaini uzskata attiecības par nozīmīgu un nolemj to iekļaut modelī. Tas noved pie papildu, nevajadzīgu elementu parādīšanās modelī. Otrā veida kļūda, gluži pretēji, tiek pieļauta, kad tiek pieņemts lēmums izslēgt no modeļa it kā nebūtisku saistību, bez kuras faktiski mērķa sasniegšana ir apgrūtināta vai pat neiespējama.

Atbilde uz jautājumu, kura kļūda ir sliktāka, ir atkarīga no konteksta, kurā tā tiek uzdota. Ir skaidrs, ka kļūdas modeļa izmantošana neizbēgami rada zaudējumus. Zaudējumi var būt nelieli, pieņemami, nepanesami vai nepieņemami. 1. tipa kļūdas radītais kaitējums ir saistīts ar to, ka tajā esošā informācija ir lieka. Strādājot ar šādu modeli, nāksies tērēt resursus nevajadzīgas informācijas ierakstīšanai un apstrādei, piemēram, tērējot datora atmiņu un apstrādes laiku uz to. Tas var neietekmēt risinājuma kvalitāti, taču tas noteikti ietekmēs izmaksas un savlaicīgumu. Zaudējumi no otrā veida kļūdas ir kaitējums no tā, ka nav pietiekami daudz informācijas, lai pilnībā sasniegtu mērķi.

Tagad ir skaidrs, ka sliktākā kļūda ir tā, no kuras zaudējumi ir lielāki, un tas ir atkarīgs no konkrētiem apstākļiem. Piemēram, ja laiks ir kritisks faktors, tad pirmā veida kļūda kļūst daudz bīstamāka nekā otrā veida kļūda: laicīgi pieņemts lēmums, pat ja tas nav labākais, ir labāks par optimālu, bet novēlotu. .

Trešā veida kļūda tiek uzskatīta par neziņas sekām. Lai novērtētu noteiktas saiknes nozīmīgumu, jāzina, ka tā vispār pastāv. Ja tas nav zināms, tad jautājums par savienojuma iekļaušanu modelī vispār nav tā vērts. Ja šāds savienojums ir nenozīmīgs, tad praksē tā klātbūtne realitātē un neesamība modelī būs nemanāma. Ja savienojums ir nozīmīgs, radīsies līdzīgas grūtības kā ar II tipa kļūdu. Atšķirība ir tāda, ka 3. tipa kļūdu ir grūtāk labot: tas prasa jaunas zināšanas.

Ceturtā veida kļūda rodas, ja zināms būtisks savienojums ir kļūdaini attiecināts uz sistēmas ieeju vai izeju skaitu. Piemēram, ir labi zināms, ka 19. gadsimta Anglijā vīriešu, kas valkā cilindrus, veselība bija ievērojami labāka nekā vīriešiem, kuri valkā cepures. Diez vai no tā izriet, ka galvassegas veidu var uzskatīt par ievadi veselības stāvokļa prognozēšanas sistēmai.

Sistēmu iekšējā neviendabība, daļu atšķirīgums. Ja paskatās “melnajā kastē”, izrādās, ka sistēma ir neviendabīga, nevis monolīta. Var konstatēt, ka dažādās sistēmas daļās atšķiras dažādas īpašības. Sistēmas iekšējās neviendabīguma apraksts ir saistīts ar relatīvi viendabīgu apgabalu izolēšanu un robežu novilkšanu starp tām. Šādi parādās sistēmas daļu jēdziens. Papētot tuvāk, izrādās, ka arī identificētās lielās daļas ir neviendabīgas, kas prasa identificēt vēl mazākas daļas. Rezultāts ir hierarhisks sistēmas daļu apraksts, ko sauc par kompozīcijas modeli.

Informāciju par sistēmas sastāvu var izmantot darbam ar sistēmu. Mijiedarbības ar sistēmu mērķi var būt dažādi, līdz ar to var atšķirties arī vienas sistēmas kompozīcijas modeļi. No pirmā acu uzmetiena nav grūti atšķirt sistēmas daļas; Dažās sistēmās daļas rodas patvaļīgi, dabiskās augšanas un attīstības procesā (organismi, sabiedrības utt.). Mākslīgās sistēmas tiek apzināti montētas no iepriekš zināmām daļām (mehānismi, ēkas utt.). Ir arī jaukta tipa sistēmas, piemēram, dabas rezervāti un lauksaimniecības sistēmas. Savukārt no rektora, studenta, grāmatveža un biznesa vadītāja viedokļa augstskola sastāv no dažādām daļām. Lidmašīna sastāv no dažādām daļām no pilota, stjuartes un pasažiera viedokļa. Kompozīcijas modeļa izveides grūtības var attēlot trīs veidos.

Pirmkārt, veselumu var sadalīt daļās dažādos veidos. Šajā gadījumā sadalīšanas metodi nosaka mērķis. Piemēram, automašīnas sastāvs atšķirīgi tiek pasniegts iesācējiem auto entuziastiem, topošajiem profesionāliem autovadītājiem, mehāniķiem, kas gatavojas darbam autoservisā, un pārdevējiem automašīnu tirdzniecības vietās. Ir dabiski jautāt, vai sistēmas daļas “tiešām” pastāv? Atbilde ir ietverta attiecīgā īpašuma formulējumā: mēs runājam par atšķiramību, nevis par daļu atdalāmību. Jūs varat atšķirt mērķa sasniegšanai nepieciešamās sistēmas daļas, taču nevarat tās atdalīt.

Otrkārt, detaļu skaits kompozīcijas modelī ir atkarīgs arī no līmeņa, kurā tiek apturēta sistēmas sadrumstalotība. Daļas uz iegūtā hierarhiskā koka gala zariem sauc par elementiem. Dažādos apstākļos sadalīšanās tiek pārtraukta dažādos līmeņos. Piemēram, aprakstot gaidāmo darbu, pieredzējušam darbiniekam un iesācējam ir jāsniedz dažādas detalizētas instrukcijas. Tādējādi kompozīcijas modelis ir atkarīgs no tā, kas tiek uzskatīts par elementāru. Ir gadījumi, kad elementam ir dabisks, absolūts raksturs (šūna, indivīds, fonēma, elektrons).

Treškārt, jebkura sistēma ir daļa no lielākas sistēmas un dažreiz vairākas sistēmas vienlaikus. Arī šādu metasistēmu var sadalīt apakšsistēmās dažādos veidos. Tas nozīmē, ka sistēmas ārējā robeža ir relatīva, nosacīta. Sistēmas robežas tiek noteiktas, ņemot vērā subjekta mērķus, kurš izmantos sistēmas modeli.

Struktūra. Strukturētības īpašība ir tāda, ka sistēmas daļas nav izolētas, nav viena no otras neatkarīgas; tie ir savstarpēji saistīti un mijiedarbojas viens ar otru. Turklāt sistēmas īpašības būtiski ir atkarīgas no tā, kā tieši tās daļas mijiedarbojas. Tāpēc informācija par sistēmas elementu savienojumiem ir tik svarīga. Būtisko savienojumu sarakstu starp sistēmas elementiem sauc par sistēmas struktūras modeli. Jebkuras sistēmas piešķiršanu ar noteiktu struktūru sauc par strukturēšanu.

Strukturēšanas jēdziens vēl vairāk padziļina priekšstatu par sistēmas integritāti: savienojumi it kā tur daļas kopā un satur tos kopā kopumā. Integritāte, kas iepriekš tika atzīmēta kā ārēja īpašība, saņem apstiprinošu skaidrojumu no sistēmas iekšpuses – caur struktūru.

Konstruējot struktūras modeli, rodas arī zināmas grūtības. Pirmais no tiem ir saistīts ar faktu, ka struktūras modelis tiek noteikts pēc kompozīcijas modeļa izvēles, un tas ir atkarīgs no tā, kāds tieši ir sistēmas sastāvs. Bet pat ar fiksētu sastāvu struktūras modelis ir mainīgs. Tas ir saistīts ar iespēju definēt savienojumu nozīmi dažādos veidos. Piemēram, mūsdienīgam vadītājam ieteicams līdz ar viņa organizācijas formālo struktūru ņemt vērā arī neformālo attiecību pastāvēšanu starp darbiniekiem, kas ietekmē arī organizācijas darbību. Otrā grūtība izriet no tā, ka katrs sistēmas elements, savukārt, ir “maza melnā kaste”. Tātad, definējot katra struktūras modelī iekļautā elementa ieejas un izejas, ir iespējami visi četri kļūdu veidi.

1.2. SISTĒMU DINAMISKĀS ĪPAŠĪBAS

Funkcionalitāte. Procesi Y(t), kas rodas sistēmas izejās, tiek uzskatītas par tās funkcijām. Sistēmas funkcijas ir tās uzvedība ārējā vidē, darbības rezultāti un sistēmas radītie produkti.

No izvadu daudzveidības izriet daudz funkciju, no kurām katru var izmantot kāds un kaut kam. Tāpēc viena un tā pati sistēma var kalpot dažādiem mērķiem. Subjekts, kas izmanto sistēmu saviem mērķiem, dabiski novērtēs tās funkcijas un organizēs tās atbilstoši savām vajadzībām. Tā parādās jēdzieni galvenā, sekundārā, neitrāla, nevēlamā, liekā funkcija utt.

Stimulējamība. Daži procesi notiek arī sistēmas ieejās X(t), kas ietekmē sistēmu un pēc virknes pārveidojumu sistēmā pārvēršas par Y(t). Ietekme X(t) sauc par stimuliem, un pašu jebkuras sistēmas uzņēmību pret ārējām ietekmēm un tās uzvedības izmaiņas šo ietekmju ietekmē sauc par stimulējamību.

Sistēmas mainīgums laika gaitā. Jebkurā sistēmā notiek izmaiņas, kas ir jāņem vērā. Runājot par sistēmas modeli, mēs varam teikt, ka iekšējo mainīgo (parametru) vērtības var mainīties Z(t), sistēmas sastāvs un struktūra un jebkādas to kombinācijas. Arī šo izmaiņu raksturs var būt atšķirīgs. Tāpēc var apsvērt turpmāku izmaiņu klasifikāciju.

Acīmredzamākā klasifikācija ir pēc izmaiņu ātruma (lēni, ātri. Izmaiņu ātrumu mēra attiecībā pret jebkuru ātrumu, kas pieņemts kā standarts. Ir iespējams ieviest lielu skaitu ātruma gradāciju. Ir iespējams arī klasificēt tendences izmaiņas sistēmā attiecībā uz tās struktūru un sastāvu.

Var runāt par izmaiņām, kas neietekmē sistēmas struktūru: daži elementi tiek aizstāti ar citiem, kas ir līdzvērtīgi; iespējas Z(t) var mainīties, nemainot struktūru. Šāda veida sistēmas dinamiku sauc par tās funkcionēšanu. Izmaiņām var būt kvantitatīvs raksturs: sistēmas sastāvs palielinās, un, lai gan tās struktūra mainās automātiski, tas neietekmē sistēmas īpašības līdz noteiktam brīdim (piemēram, poligona paplašināšanai). Šādas izmaiņas sauc par sistēmas izaugsmi. Ar kvalitatīvām izmaiņām sistēmā mainās tās būtiskās īpašības. Ja šādas izmaiņas notiek pozitīvā virzienā, tās sauc par attīstību. Ar tiem pašiem resursiem izstrādāta sistēma sasniedz labākus rezultātus, un var parādīties jaunas pozitīvas īpašības (funkcijas). Tas ir saistīts ar sistēmas konsekvences un organizācijas līmeņa paaugstināšanos.

Izaugsme galvenokārt notiek materiālo resursu patēriņa dēļ, attīstība - informācijas asimilācijas un izmantošanas dēļ. Izaugsme un attīstība var notikt vienlaikus, taču tie nav obligāti saistīti. Izaugsme vienmēr ir ierobežota (ierobežoto materiālo resursu dēļ), un attīstība no ārpuses nav ierobežota, jo informācija par ārējo vidi ir neizsmeļama. Attīstība ir apmācības rezultāts, bet apmācību nevar veikt apmācāmā vietā. Tāpēc attīstībai ir iekšējs ierobežojums. Ja sistēma “nevēlas” mācīties, tā nevar un neattīstīsies.

Papildus augšanas un attīstības procesiem sistēmā var notikt arī reversie procesi. Izmaiņas, kas ir pretējas izaugsmei, sauc par lejupslīdi, saraušanos, samazināšanos. Izmaiņas, kas ir pretējas attīstībai, sauc par labvēlīgo īpašību degradāciju, zudumu vai vājināšanos.

Apsvērtās izmaiņas ir monotoniskas, tas ir, tās ir vērstas "vienā virzienā". Acīmredzot monotonas pārmaiņas nevar ilgt mūžīgi. Jebkuras sistēmas vēsturē var izdalīt lejupslīdes un kāpuma, stabilitātes un nestabilitātes periodus, kuru secība veido sistēmas individuālo dzīves ciklu.

Var izmantot citas sistēmā notiekošo procesu klasifikācijas: pēc prognozējamības procesi tiek iedalīti nejaušajos un deterministiskajos; Pēc laika atkarības veida procesus iedala monotoniskajos, periodiskajos, harmoniskajos, impulsa u.c.

Eksistence mainīgā vidē. Mainās ne tikai šī sistēma, bet arī visas pārējās. Aplūkojamai sistēmai tas izskatās kā nepārtrauktas izmaiņas vidē. Šis apstāklis ​​rada daudzas sekas pašai sistēmai, kurai jāpielāgojas jaunajiem apstākļiem, lai nepazustu. Apsverot konkrētu sistēmu, parasti tiek pievērsta uzmanība konkrētas sistēmas reakcijas īpašībām, piemēram, reakcijas ātrumam. Ja mēs uzskatām sistēmas, kas glabā informāciju (grāmatas, magnētiskie datu nesēji), tad reakcijas ātrumam uz ārējās vides izmaiņām jābūt minimālam, lai nodrošinātu informācijas saglabāšanu. No otras puses, vadības sistēmas reakcijas ātrumam ir jābūt daudzkārt lielākam par vides izmaiņu ātrumu, jo sistēmai ir jāizvēlas kontroles darbība pat pirms vides stāvokļa neatgriezeniskas izmaiņas.

1.3. SISTĒMU SINTĒTISKĀS ĪPAŠĪBAS

Parādīšanās. Elementu apvienošana sistēmā noved pie kvalitatīvi jaunu īpašību rašanās, kas nav atvasinātas no daļu īpašībām, kas raksturīgas tikai pašai sistēmai un pastāv tikai tik ilgi, kamēr sistēma ir viens vesels. Šādas sistēmas īpašības sauc
izvirzot (no angļu valodas “izcelties”).

Jauno īpašību piemērus var atrast dažādās jomās. Piemēram, neviena no lidmašīnas daļām nevar lidot, bet lidmašīna tomēr lido. Ūdens īpašības, no kurām daudzas nav pilnībā izprotamas, neizriet no ūdeņraža un skābekļa īpašībām.

Lai ir divas melnās kastes, no kurām katrai ir viena ieeja, viena izvade un tiek veikta viena darbība - pievienojot vienu skaitlim pie ievades. Savienojot šādus elementus saskaņā ar attēlā redzamo shēmu, mēs iegūstam sistēmu bez ieejām, bet ar divām izejām. Katrā darbības ciklā sistēma radīs lielāku skaitli, kamēr vienā ievadē parādīsies tikai pāra skaitļi, bet otrā - tikai nepāra skaitļi.

A	b
1.1.att. Sistēmas elementu pieslēgšana: a) sistēma ar divām izejām; b) elementu paralēlais savienojums

Ir vērts atzīmēt svarīgu gadījumu, kad sistēmas elementiem ir visas tās īpašības. Šī situācija ir raksturīga sistēmas fraktāļu konstrukcijai. Tajā pašā laikā daļu strukturēšanas principi ir tādi paši kā sistēmai kopumā. Fraktāļu sistēmas piemērs ir organizācija, kurā vadība visos hierarhijas līmeņos ir strukturēta identiski.

Nedalāmība daļās. Šis īpašums faktiski ir rašanās sekas. Tas tiek īpaši uzsvērts, jo tā praktiskā nozīme ir liela, un tā nenovērtēšana ir ļoti izplatīta parādība.

Kad daļa tiek izņemta no sistēmas, notiek divi svarīgi notikumi. Pirmkārt, tas maina sistēmas sastāvu un līdz ar to arī tās struktūru. Tā būs cita sistēma ar dažādām īpašībām. Otrkārt, no sistēmas noņemtais elements izturēsies citādi, jo mainīsies tā vide. Tas viss nozīmē, ka jāievēro piesardzība, apsverot elementu atsevišķi no pārējās sistēmas.

Inherence. Jo integrālāka ir sistēma (no angļu valodas raksturīgā - “būt daļai no kaut kā”), jo labāk tā ir koordinēta, pielāgota videi un ar to saderīga. Inherences pakāpe ir atšķirīga un var mainīties. Inherences kā vienu no sistēmas īpašībām lietderība ir saistīta ar to, ka no tā ir atkarīga izvēlētās funkcijas sistēmas realizācijas pakāpe un kvalitāte. Dabiskajās sistēmās iedzimtība palielinās dabiskās atlases rezultātā. Mākslīgās sistēmās dizaineram īpaša uzmanība jāpievērš raksturīgībai.

Dažos gadījumos inherence tiek nodrošināta ar starpposma, starpsistēmu palīdzību. Piemēri ir adapteri ārvalstu elektroierīču lietošanai kopā ar padomju stila rozetēm; starpprogrammatūra (piemēram, COM pakalpojums sistēmā Windows), kas ļauj divām dažādu ražotāju programmām sazināties savā starpā.

Lietderība. Cilvēka radītajās sistēmās gan struktūras, gan sastāva pakārtotība izvirzītā mērķa sasniegšanai ir tik acīmredzama, ka to var atzīt par jebkuras mākslīgas sistēmas pamatīpašību. Šo īpašumu sauc par lietderību. Mērķis, kuram sistēma tiek veidota, nosaka, kura parādīšanās īpašība nodrošinās mērķa sasniegšanu, un tas, savukārt, nosaka sistēmas struktūras un sastāva izvēli. Lai lietderības jēdzienu attiecinātu arī uz dabas sistēmām, nepieciešams precizēt mērķa jēdzienu. Noskaidrošana tiek veikta, izmantojot mākslīgu sistēmu kā piemēru.

Jebkuras mākslīgas sistēmas vēsture sākas kādā brīdī 0, kad esošā stāvokļa vektora Y 0 vērtība izrādās neapmierinoša, tas ir, rodas problemātiska situācija. Persona nav apmierināta ar šo nosacījumu un vēlas to mainīt. Lai viņu apmierina stāvokļa vektora Y* vērtības. Šī ir pirmā mērķa definīcija. Turklāt tiek atklāts, ka Y* šobrīd neeksistē un vairāku iemeslu dēļ to nevar sasniegt tuvākajā nākotnē. Otrais solis mērķa definēšanā ir atpazīt to kā vēlamo nākotnes stāvokli. Uzreiz kļūst skaidrs, ka nākotne nav ierobežota. Trešais solis mērķa jēdziena noskaidrošanā ir novērtēt laiku T*, kad noteiktos apstākļos var sasniegt vēlamo stāvokli Y*. Tagad mērķis kļūst divdimensiju, tas ir punkts (T*, Y*) grafikā. Uzdevums ir pāriet no punkta (0, Y 0) uz punktu (T*, Y*). Taču izrādās, ka šo ceļu var iet pa dažādām trajektorijām, un realizēt var tikai vienu no tām. Ļaujiet izvēlei krist uz trajektorijas Y*( t). Tādējādi mērķis tagad nozīmē ne tikai gala stāvokli (T*, Y*), bet arī visu trajektoriju Y*( t) (“starpmērķi”, “plāns”). Tātad mērķis ir vēlamie nākotnes stāvokļi Y*( t).

Pēc laika T* stāvoklis Y* kļūst reāls. Tāpēc kļūst iespējams definēt mērķi kā nākotnes reālo stāvokli. Tas ļauj teikt, ka dabas sistēmām piemīt arī lietderības īpašība, kas ļauj jebkuras dabas sistēmu aprakstam pieiet no vienotas pozīcijas. Galvenā atšķirība starp dabiskajām un mākslīgajām sistēmām ir tāda, ka dabiskās sistēmas, pakļaujoties dabas likumiem, realizē objektīvus mērķus, bet mākslīgās sistēmas tiek radītas subjektīvu mērķu īstenošanai.

1. jautājums Eksāmens

1. Sistēmu analīzes metodoloģija. Sistēmas jēdziens. Sistēmas statiskās īpašības. Atklātība. Grūtības melnās kastes modeļa konstruēšanā. Sastāva neviendabīgums. Grūtības kompozīcijas modeļa konstruēšanā. Struktūra. Grūtības struktūras modeļa konstruēšanā.

Statiskās īpašības Nosauksim konkrēta sistēmas stāvokļa pazīmes. Tas ir tas, kas sistēmai ir jebkurā fiksētā laika brīdī.

Atklātība - sistēmas otrais īpašums. Izolēta sistēma, kas atšķiras no visa pārējā, nav izolēta no vides. Gluži pretēji, tie ir saistīti un savstarpēji apmainās ar jebkāda veida resursiem (materiālu, enerģiju, informāciju utt.). Atcerēsimies, ka saiknes starp sistēmu un vidi ir virzītas; pēc dažiem domām, vide ietekmē sistēmu (tos sauc par sistēmas ievadiem), pēc citiem sistēma ietekmē vidi, kaut ko dara vidē, ražo kaut ko vidē (šādus savienojumus sauc par sistēmas izvadiem). Tiek izsaukts sistēmas ieeju un izeju saraksts melnās kastes modelis . Šim modelim trūkst informācijas par sistēmas iekšējām iezīmēm. Neskatoties uz melnās kastes modeļa (šķietamo) vienkāršību un satura nabadzību, ar šo modeli bieži vien pietiek darbam ar sistēmu.

Grūtības melnās kastes modeļa veidošanā . Visi no tiem izriet no tā, ka modelī vienmēr ir ierobežots savienojumu saraksts, savukārt to skaits reālā sistēmā ir neierobežots. Rodas jautājums: kurš no tiem ir jāiekļauj modelī un kurš nav? Mēs jau zinām atbildi: modelim ir jāatspoguļo visi savienojumi, kas ir dabiski

mērķa sasniegšanu.

Četru veidu kļūdas, veidojot melnās kastes modeli:

Pirmā veida kļūda rodas, ja subjekts saikni uzskata par nozīmīgu un nolemj to iekļaut modelī, lai gan patiesībā tā ir nenozīmīga attiecībā pret mērķi un to nevar ņemt vērā. Tas noved pie tā, ka modelī parādās “papildu” elementi, kas būtībā ir nevajadzīgi.

Otrā veida kļūdu, gluži pretēji, pieļauj subjekts, kad viņš nolemj, ka dotā saikne ir nenozīmīga un nav pelnījusi iekļauties modelī, lai gan patiesībā bez tās mūsu mērķi nevar sasniegt pilnībā vai pat vispār.

Trešā veida kļūda tiek uzskatīta par neziņas sekām. Lai novērtētu noteiktas saiknes nozīmīgumu, jāzina, ka tā vispār pastāv. Ja tas nav zināms, jautājums par tā iekļaušanu vai neiekļaušanu modelī vispār nerodas: modeļi satur tikai to, ko mēs zinām. Bet, tā kā mums nav aizdomas par noteiktas saiknes esamību, tā nepārstāj pastāvēt un izpausties realitātē. Un tad viss ir atkarīgs no tā, cik tas ir nozīmīgs mūsu mērķa sasniegšanai. Ja tas ir nenozīmīgs, tad praksē mēs nepamanīsim tā klātbūtni realitātē un neesamību modelī. Ja tas ir nozīmīgs, mēs piedzīvosim tādas pašas grūtības kā ar otrā veida kļūdu. Atšķirība ir tāda, ka trešā veida kļūdu ir grūtāk labot: jāiegūst jaunas zināšanas.

Ceturtā veida kļūda var rasties, ja zināms un atpazīts nozīmīgs savienojums ir nepareizi piešķirts ieeju vai izeju skaitam.

Iekšējā neviendabīgums: daļu atšķiramība (sistēmas trešā īpašība). Ja paskatās “melnajā kastē”, izrādās, ka sistēma nav viendabīga, nav monolīta; var konstatēt, ka dažādās vietās atšķiras dažādas īpašības. Sistēmas iekšējās neviendabīguma apraksts ir saistīts ar relatīvi viendabīgu apgabalu izolēšanu un robežu novilkšanu starp tām. Šādi parādās sistēmas daļu jēdziens. Papētot tuvāk, izrādās, ka arī atlasītās lielās daļas nav viendabīgas, kas prasa identificēt vēl mazākas detaļas. Rezultāts ir hierarhisks sistēmas daļu saraksts, ko mēs sauksim par sistēmas kompozīcijas modeli.

Grūtības kompozīcijas modeļa veidošanā kas ikvienam ir jāpārvar, var tikt pārstāvēti trīs pozīcijās:

Pirmkārt. Visu var sadalīt daļās dažādos veidos (piemēram, sagriežot maizes klaipu dažāda izmēra un formas šķēlēs). Un kā tieši tas ir nepieciešams? Atbilde: veids, kas nepieciešams, lai sasniegtu savu mērķi.

Otrkārt. Detaļu skaits kompozīcijas modelī ir atkarīgs arī no līmeņa, kurā tiek apturēta sistēmas sadrumstalotība. Tiek izsauktas daļas uz iegūtā hierarhiskā koka gala zariem elementi .

Trešais. Jebkura sistēma ir daļa no kādas lielākas sistēmas (un bieži vien ir daļa no vairākām sistēmām vienlaikus). Un arī šo metasistēmu var dažādos veidos sadalīt apakšsistēmās. Tas nozīmē, ka sistēmas ārējā robeža ir relatīva, nosacīta. Pat sistēmas “acīmredzamā” robeža (cilvēka āda, uzņēmuma žogs utt.) noteiktos apstākļos izrādās nepietiekama, lai šajos apstākļos noteiktu robežu.

Strukturālisms Ceturtā statiskā īpašība ir tāda, ka sistēmas daļas nav viena no otras neatkarīgas vai izolētas; tie ir savstarpēji saistīti un mijiedarbojas viens ar otru. Turklāt visas sistēmas īpašības ir ļoti atkarīgas no tā, kā tieši tās daļas mijiedarbojas. Tāpēc informācija par savienojumiem starp daļām ir tik svarīga. Būtisko savienojumu sarakstu starp sistēmas elementiem sauc par sistēmas struktūras modeli. Jebkuras sistēmas nedalāmība pēc noteiktas struktūras tiks saukta par ceturto sistēmu statisko īpašību - strukturētību.

Grūtības struktūras modeļa veidošanā . Mēs uzsveram, ka konkrētai sistēmai var piedāvāt daudz dažādu struktūras modeļu. Skaidrs, ka noteikta mērķa sasniegšanai ir nepieciešams viens konkrēts, piemērotākais to modelis. Grūtības izvēlēties no esošajiem vai izveidot modeli tieši mūsu gadījumam izriet no tā, ka pēc definīcijas struktūras modelis ir būtisku savienojumu saraksts.

Pirmā grūtība ir saistīta ar to, ka struktūras modelis tiek noteikts pēc kompozīcijas modeļa izvēles, un tas ir atkarīgs no tā, kāds tieši ir sistēmas sastāvs. Bet pat ar fiksētu sastāvu struktūras modelis ir mainīgs - sakarā ar iespēju atšķirīgi definēt savienojumu nozīmi.

Otrā grūtība izriet no tā, ka katrs sistēmas elements ir “maza melnā kaste”. Tātad, nosakot katra struktūras modelī iekļautā elementa ievades un izvades, IR IESPĒJAMAS visu četru veidu kļūdas.

2. Sistēmu analīzes metodoloģija. Sistēmas jēdziens. Sistēmas dinamiskās īpašības: funkcionalitāte, stimulācija, sistēmas mainīgums laika gaitā, eksistence mainīgā vidē. Sistēmas sintētiskās īpašības: rašanās, nesadalāmība daļās, raksturīgums, lietderība.

Sistēmas dinamiskās īpašības:

Funkcionalitāte - sistēmas piektais īpašums. Par tās funkcijām tiek uzskatīti procesi Y(t), kas notiek sistēmas izejās (Y(1)^(уi(t), Ур(1), -, Ун(0). Sistēmas funkcijas - tā ir tā uzvedība ārējā vidē; sistēmas veiktās izmaiņas vidē; savas darbības rezultātus; sistēmas ražotie produkti. No izeju daudzveidības izriet funkciju daudzveidība, no kurām katru var izmantot kāds un kaut kam. Tāpēc viena un tā pati sistēma var kalpot dažādiem mērķiem.

Stimulējamība - sistēmas sestais īpašums. Sistēmas ieejās notiek arī noteikti procesi X(t) = (x^(t), X2 (t), x^(t)), kas ietekmē sistēmu, pagriežas (pēc virknes transformāciju sistēmā) uz Y(t). Sauksim ietekmes X(t) par stimuliem, un jebkuras sistēmas uzņēmību pret ārējām ietekmēm un tās uzvedības izmaiņas šo ietekmju ietekmē sauksim par stimulējamību.

Sistēmas mainīgums laika gaitā - sistēmas septītais īpašums. Jebkurā sistēmā notiek izmaiņas, kas jāņem vērā; paredzēt un iekļaut nākotnes sistēmas izstrādē; veicināt vai neitralizēt tās, paātrinot vai palēninot tās, strādājot ar esošo sistēmu. Sistēmā var mainīties jebkas, taču mūsu modeļu izteiksmē mēs varam sniegt vizuālu izmaiņu klasifikāciju: iekšējo mainīgo (parametru) vērtības Z(t), sistēmas sastāvs un struktūra, kā arī jebkuras to kombinācijas. mainīt.

Eksistence mainīgā vidē - sistēmas astotais īpašums. Mainās ne tikai šī sistēma, bet arī visas pārējās. Noteiktai sistēmai tas izskatās kā nepārtrauktas vides izmaiņas. Esamības neizbēgamība pastāvīgi mainīgā vidē rada daudzas sekas pašai sistēmai, sākot no nepieciešamības tai pielāgoties ārējām izmaiņām, lai nepazustu, līdz dažādām citām sistēmas reakcijām. Apsverot konkrētu sistēmu noteiktam mērķim, uzmanība tiek pievērsta dažām specifiskām tās reakcijas iezīmēm.

Sistēmas sintētiskās īpašības:

Sintētisks . Šis termins apzīmē vispārinošas, kolektīvas, integrālas īpašības, kas ņem vērā iepriekš teikto, bet liek uzsvaru uz sistēmas mijiedarbību ar vidi, uz integritāti visvispārīgākajā nozīmē.

Parādīšanās - sistēmas devītais īpašums. Varbūt šis īpašums vairāk nekā jebkurš cits runā par sistēmu būtību. Daļu apvienošana sistēmā rada kvalitatīvi jaunas sistēmas īpašības, kuras nav reducējamas uz detaļu īpašībām, nav atvasinātas no detaļu īpašībām, ir raksturīgas tikai pašai sistēmai un pastāv tikai tad, kad sistēma ir viens vesels. Sistēma ir vairāk nekā vienkārša detaļu kolekcija. Sistēmas īpašības, kas tai raksturīgas tiek saukti par izcelsmi (no angļu valodas “to arise”).

Nedalāmība daļās - sistēmas desmitais īpašums. Lai gan šis īpašums ir vienkāršas parādīšanās sekas, tā praktiskā nozīme ir tik liela un tā nenovērtēšana tik izplatīta, ka ieteicams to uzsvērt atsevišķi. Ja mums ir vajadzīga pati sistēma, nevis kaut kas cits, tad to nevar sadalīt daļās. Kad daļa tiek NOŅEMTA no sistēmas, notiek divi svarīgi notikumi.

Pirmkārt, tas maina sistēmas sastāvu un līdz ar to arī tās struktūru. Tā būs cita sistēma ar dažādām īpašībām. Tā kā iepriekšējai sistēmai ir daudz īpašību, daži īpašumi, kas saistīti ar šo konkrēto daļu, pazudīs pavisam (tas var būt vai var nebūt radušies. Daži īpašumi mainīsies, bet tiks daļēji saglabāti. Un dažas sistēmas īpašības parasti ir mazsvarīgas ir saistītas ar izņemtā daļa Vēlreiz uzsvērsim, vai kādas daļas izņemšanai no sistēmas būs būtiska ietekme, tas ir seku izvērtēšanas jautājums.

Otras svarīgas sekas, ko izraisa daļas noņemšana no sistēmas, ir tādas, ka daļa sistēmā un ārpus tās nav viens un tas pats. Tā īpašības mainās tāpēc, ka objekta īpašības izpaužas mijiedarbībā ar apkārtējiem objektiem, un, noņemot no sistēmas, elementa vide kļūst pavisam cita.

Nepārtrauktība - sistēmas vienpadsmitais īpašums. Mēs teiksim, jo ​​sistēma ir raksturīgāka (no angļu valodas inherent - būt par kaut ko neatņemamu sastāvdaļu), jo labāk tā ir saskaņota, pielāgota videi, saderīga ar to. Inherences pakāpe ir dažāda un var mainīties (mācīšanās, aizmirstība, evolūcija, reforma, attīstība, degradācija utt.). Tas, ka visas sistēmas ir atvērtas, nenozīmē, ka tās visas ir vienlīdz labi saderīgas ar vidi.

Iespējamība - sistēmas divpadsmitā īpašība. Cilvēka radītajās sistēmās visa (gan sastāva, gan struktūras) pakļaušana izvirzītajam mērķim ir tik acīmredzama, ka tā ir jāatzīst par jebkuras mākslīgas sistēmas pamatīpašību. Mērķis, kuram sistēma tiek veidota, nosaka, kura parādīšanās īpašība nodrošinās mērķa īstenošanu, un tas savukārt nosaka sistēmas sastāva un struktūras izvēli. Viena no sistēmas definīcijām ir nosaka: sistēma ir līdzeklis mērķa sasniegšanai. Saprotams, ka, ja izvirzīto mērķi nevar sasniegt, izmantojot esošās iespējas, tad subjekts no apkārtējiem objektiem saliek jaunu sistēmu, kas īpaši izveidota, lai palīdzētu sasniegt šo mērķi. Ir vērts atzīmēt, ka mērķis reti viennozīmīgi nosaka veidojamās sistēmas sastāvu un struktūru: ir svarīgi, lai vēlamā funkcija tiktu īstenota, un to bieži var sasniegt dažādos veidos.

3. Sistēmu analīzes metodoloģija. Modeļi un simulācija. Modeļa kā sistēmas jēdziens. Analīze un sintēze kā modeļu konstruēšanas metodes. Mākslīgā un dabiskā modeļu klasifikācija. Modeļu atbilstība priekšmeta kultūrai.

Atkarībā no tā, kas mums jāzina, jāpaskaidro – kā sistēma ir strukturēta vai kā tā mijiedarbojas ar vidi, izšķir divas izziņas metodes: 1) analītisks; 2) sintētiskais.

Analīzes procedūra sastāv no sekojošu trīs darbību secīgas veikšanas; 1) sadalīt sarežģītu veselumu mazākās daļās, iespējams, vienkāršākās; 2) sniedz skaidru skaidrojumu par saņemtajiem fragmentiem; 3) apvienot daļu skaidrojumu veseluma skaidrojumā. Ja kāda sistēmas daļa paliek neskaidra, sadalīšanas darbība tiek atkārtota un mēs atkal mēģinām izskaidrot jaunus, vēl mazākus fragmentus.

Pirmais analīzes produkts, kā redzams diagrammā, ir sistēmas elementu saraksts, t.i. . sistēmas kompozīcijas modelis . Otrais analīzes produkts ir sistēmas struktūras modelis . Trešais analīzes produkts ir melnās kastes modelis katram sistēmas elementam.

Sintētiskā metode sastāv no secīgas trīs operāciju veikšanas: 1) lielākas sistēmas (metasistēmas) identificēšana, kuras sastāvdaļa ir iekļauta mūs interesējošā sistēma; 2) metasistēmas sastāva un struktūras apsvēršana (tās analīze): 3) skaidrojums par lomu, ko mūsu sistēma ieņem metasistēmā, izmantojot tās savienojumus ar citām metasistēmas apakšsistēmām. Sintēzes galaprodukts ir zināšanas par mūsu sistēmas sakariem ar citām metasistēmas daļām, t.i. melnās kastes modelis. Bet, lai to izveidotu, mums vienlaikus bija jāveido metasistēmas sastāva un struktūras modeļi kā blakusprodukti.

Analīze un sintēze nav pretējas, bet papildina viena otru. Turklāt analīzē ir sintētiskais komponents, un sintēzē ir metasistēmas analīze.

Ir divu veidu klasifikācijas: mākslīgi un dabiski . Ar mākslīgo klasifikāciju sadalīšana klasēs tiek veikta “kā nākas”, t.i. pamatojoties uz izvirzīto mērķi - tik daudzām klasēm un ar tādām robežām, kādas nosaka mērķis. Klasifikācija tiek veikta nedaudz savādāk, ja aplūkojamā kopa ir nepārprotami neviendabīga. Šķiet, ka dabiskās grupas (statistikā tās sauc par klasteriem) vēlas tikt definētas kā klases , (tātad arī dabiskās klasifikācijas nosaukums) . Tomēr jāpatur prātā, ka dabiskā klasifikācija ir tikai vienkāršots, rupjš realitātes modelis .

Modeļu atbilstība priekšmeta kultūrai . Lai modelis realizētu savu modeļa funkciju, nepietiek ar paša modeļa klātbūtni. Ir nepieciešams, ka modelis bija saderīgs, atbilst videi, kas modelim ir lietotāja kultūra (modeļu pasaule). Šo nosacījumu, ņemot vērā sistēmu īpašības, sauc par inherenci: modeļa raksturīgība kultūrai ir nepieciešama modelēšanas prasība. Modeļa iedzimtības pakāpe var mainīties: palielināties (lietotāju apmācība, adaptera, piemēram, Rosetta akmens u.c.) izskats vai samazināties (aizmirstība, kultūras iznīcināšana) vides vai paša modeļa izmaiņu dēļ. Tādējādi modelēšanas metasistēmā jāiekļauj vēl viens elements – kultūra.

4. Sistēmu analīzes metodoloģija. Kontrole. Piecas vadības sastāvdaļas. Septiņi kontroles veidi.

Kontrole - mērķtiecīga ietekme uz sistēmu.

Pieci vadības komponenti:

Pirmā vadības sastāvdaļa ir pats vadības objekts, pārvaldītā sistēma.

Otra obligātā vadības sistēmas sastāvdaļa ir vadības mērķis.

Vadības darbība U(t) ir trešā vadības sastāvdaļa . Tas, ka sistēmas ieejas un izejas ir savstarpēji savienotas ar noteiktu sakarību Y(t)=S, ļauj cerēt, ka ir vadības darbība, kurā izejā tiek realizēts mērķis V*(t).

Sistēmas modelis kļūst par ceturto vadības procesa sastāvdaļu.

Jāveic visas kontrolei nepieciešamās darbības. Šī funkcija parasti tiek piešķirta sistēmai, kas īpaši izveidota šim nolūkam. (vadības procesa piektā sastāvdaļa). To sauc par vadības bloku vai vadības sistēmu (apakšsistēmu), vadības ierīci un tā tālāk. Patiesībā Vadības bloks var būt vadāmas sistēmas apakšsistēma (piemēram, avodouiravle1gae - rūpnīcas daļa, autopilots - lidmašīnas daļa), bet tā var būt arī ārēja sistēma (piemēram, ministrija padotības uzņēmumam, piemēram, lidlauka dispečers lidmašīnas nolaišanās).

Septiņi kontroles veidi:

Pirmais vadības veids ir vienkārša sistēmas vadība jeb programmas vadība.

Otrs kontroles veids ir sarežģītas sistēmas kontrole.

Trešais kontroles veids ir kontrole pēc parametriem jeb regulēšana.

Ceturtais vadības veids ir vadība pēc struktūras.

Piektais vadības veids ir vadība pēc mērķiem.

Sestais vadības veids ir lielu sistēmu vadība.

Septītais kontroles veids. Papildus pirmajam kontroles veidam, kad ir pieejams viss mērķa sasniegšanai nepieciešamais, pārējie aplūkotie kontroles veidi ir saistīti ar tādu faktoru pārvarēšanu, kas traucē sasniegt mērķi: informācijas trūkums par kontroles objektu (otrais veids), ārējie nelieli traucējumi, kas nedaudz novirza sistēmu no mērķa trajektorijas (trešais tips), neatbilstība starp sistēmas radošajām īpašībām un izvirzīto mērķi (ceturtais veids), materiālo resursu trūkums, kas padara mērķi nesasniedzamu un prasa tā nomaiņu (piektais veids). ), laika trūkums, lai atrastu labāko risinājumu (sestais veids).

5. Sistēmas analīzes tehnoloģija. Sistēmu izpētes panākumu nosacījumi. Sistēmiskās izpētes posmi: problēmas novēršana, problēmas diagnosticēšana, ieinteresēto pušu saraksta sastādīšana, problēmu kombinācijas noteikšana.

Sistēmu izpētes panākumu nosacījumi :

piekļuves garantija jebkurai nepieciešamajai informācijai (tajā pašā laikā analītiķis no savas puses garantē konfidencialitāti);

organizāciju augstāko amatpersonu personīgās līdzdalības garantija - obligātie dalībnieki problēmsituācijā (problēmu saturošo un problēmu risināšanas sistēmu vadītāji);

atteikšanās no prasības iepriekš formulēt nepieciešamo rezultātu (“tehniskās specifikācijas”), jo ir daudz uzlabojošu iejaukšanos, un tās nav iepriekš zināmas, it īpaši, kura tiks izvēlēta īstenošanai.

Problēmas novēršana – uzdevums ir formulēt problēmu un to dokumentēt. Problēmas formulējumu izstrādā pats klients; Analītiķa uzdevums ir noskaidrot, par ko klients sūdzas, ar ko viņš ir neapmierināts. Tā ir klienta problēma, kā viņš to redz. Tajā pašā laikā jums jācenšas neietekmēt viņa viedokli un to nesagrozīt.

Problēmas diagnostika . Kuru no problēmu risināšanas metodēm izmantot, lai atrisinātu doto problēmu, ir atkarīgs no tā, vai mēs izvēlamies ietekmēt visneapmierinātāko subjektu vai iejaukties realitātē, ar kuru viņš ir neapmierināts (var būt gadījumi, kad ir ieteicama abu ietekmju kombinācija). Šī posma uzdevums ir noteikt diagnozi – noteikt, kāda veida problēma tā ir.

Ieinteresēto pušu saraksta sastādīšana .Mūsu galvenais mērķis ir īstenot uzlabojumus. Katram posmam vajadzētu mūs tam pietuvināt vienu soli, taču mums īpaši jārūpējas, lai šis solis būtu pareizajā virzienā, nevis otrā virzienā. Lai pēc tam ņemtu vērā visu problēmsituācijas dalībnieku intereses (un tieši uz to balstās intervences uzlabošanas koncepcija), vispirms ir jānoskaidro, kurš ir iesaistīts problēmsituācijā un jāizveido saraksts. no viņiem. Tajā pašā laikā ir svarīgi nepalaist garām nevienu; galu galā nav iespējams ņemt vērā kāda mums nezināma intereses, un neviena nerēķināšanās draud, ka mūsu iejaukšanās neuzlabosies. Tādējādi problēmsituācijas dalībnieku sarakstam ir jābūt pilnīgam.

Problēmas nekārtības identificēšana . Ieinteresētajām personām ir intereses, kas mums jāņem vērā. Bet, lai to izdarītu, jums tie ir jāzina. Pagaidām mums ir tikai procentu turētāju saraksts. Pirmā informācija, kas jāiegūst par ieinteresēto personu, ir viņa paša vērtējums par situāciju, kas ir problemātiska mūsu klientam. Tas var būt dažādi: daļai no ieinteresētajām pusēm var būt savas problēmas (negatīvs vērtējums), dažas ir pilnībā apmierinātas (pozitīvs vērtējums), citas var būt neitrālas attiecībā uz realitāti. Tādā veidā tas kļūs skaidrāks<выражение л ица:^ каждого стейкхолдера. По сути, мы должны выполнить работу, которую делали на первом этапе с клиентом, но теперь с каждым стейкхолдером в отдельности.

6. Sistēmas analīzes tehnoloģija. Sistēmas analīzes operācijas. Sistēmas izpētes posmi: konfiguratora noteikšana, mērķa identifikācija, kritēriju noteikšana, eksperimentālā izpēte.

Sistēmas analīzes operācijas . Ja klients piekrīt līguma nosacījumiem, analītiķis pāriet uz pirmo posmu, kuru pabeidzis, sāk otro un tā tālāk līdz pēdējam posmam, kura beigās jāsaņem īstenotā pilnveidojošā iejaukšanās.

Konfiguratora definīcija . Nepieciešams nosacījums veiksmīgam problēmas risinājumam ir adekvāta problēmsituācijas modeļa klātbūtne, ar tā palīdzību būs iespējams pārbaudīt un salīdzināt piedāvāto darbību iespējas. Šis modelis (vai modeļu kopa) neizbēgami ir jākonstruē, izmantojot kādas valodas (vai valodu) līdzekļus. Rodas jautājums, cik un kādas valodas ir nepieciešamas, lai risinātu šo problēmu un kā tās izvēlēties. To sauc par konfiguratoru. minimālais profesionālo valodu komplekts, kas ļauj sniegt pilnīgu (adekvātu) problēmsituācijas un tās transformāciju aprakstu. Viss darbs problēmu risināšanas laikā notiks konfiguratora valodās. Un tikai uz tiem. Konfiguratora definēšana ir šī posma uzdevums. Mēs uzsveram, ka konfigurators nav mākslīgs sistēmu analītiķu izgudrojums, kas izgudrots, lai atvieglotu viņu darbu. No vienas puses, konfiguratoru nosaka problēmas būtība. No otras puses, konfiguratoru var uzskatīt par kārtējo sistēmu ĪPAŠUMU, kā līdzekli, ar kuru sistēma risina savu problēmu.

Mērķa noteikšana . Mēģinot īstenot uzlabojumu intervenci, mums ir jānodrošina, lai neviena no ieinteresētajām pusēm to neuzskatītu negatīvi. Cilvēki pārmaiņas vērtē pozitīvi, ja tās tuvina viņu mērķim, un negatīvi, ja tās attālina no tā. Tāpēc, lai izstrādātu intervenci, ir jāzina visu ieinteresēto pušu mērķi. Protams, galvenais informācijas avots ir pats ieinteresētais.

Kritēriju definīcija . Problēmas risināšanas gaitā būs jāsalīdzina piedāvātie varianti, jānovērtē, cik lielā mērā mērķis ir sasniegts vai no tā novirzīts, un jāuzrauga notikumu gaita. Tas tiek panākts, izceļot dažas aplūkojamo objektu un procesu iezīmes. Šīm zīmēm jābūt saistītām ar apskatāmo objektu vai procesu iezīmēm, kas mūs interesē, un tām jābūt pieejamām novērošanai un mērīšanai. Pēc tam, pamatojoties uz iegūtajiem mērījumu rezultātiem, varēsim veikt nepieciešamo kontroli. Šādas īpašības sauc par kritērijiem. Katram pētījumam (arī mūsu) būs nepieciešami kritēriji. Cik, kādus un kā izvēlēties kritērijus? Pirmkārt, par kritēriju skaitu. Acīmredzot, jo mazāk kritēriju būs nepieciešams, jo vieglāk būs veikt salīdzinājumus. Tas ir, ir vēlams samazināt kritēriju skaitu, būtu jauki to samazināt līdz vienam. Kritēriju izvēle . Kritēriji ir kvalitatīvo mērķu kvantitatīvie modeļi. Faktiski izveidotie kritēriji nākotnē savā ziņā reprezentē un aizvieto mērķus: optimizācijai pēc kritērijiem ir jānodrošina maksimāla tuvināšana mērķim. Protams, kritēriji nav identiski mērķim, tie ir mērķa, tā modeļa līdzība. Kritērija vērtības noteikšana konkrētai alternatīvai būtībā ir tās piemērotības pakāpes mērīšana kā līdzeklis mērķa sasniegšanai.

Sistēmu eksperimentālā izpēte. Eksperiments un modelis. Bieži vien trūkstošo informāciju par sistēmu var iegūt tikai no pašas sistēmas, veicot speciāli šim nolūkam paredzētu eksperimentu. Eksperimenta protokolā esošā informācija tiek iegūta, pakļaujot iegūtos datus apstrādei un pārveidošanai formā, kas piemērota iekļaušanai sistēmas modelī. Pēdējais solis ir modeļa labošana, modelī iekļaujot saņemto informāciju. Ir viegli saprast, ka modeļa uzlabošanai ir nepieciešams eksperiments. Ir arī svarīgi saprast, ka eksperimentēšana nav iespējama bez modeļa. Viņi atrodas vienā ciklā. Tomēr rotācija šajā ciklā neatgādina griežamo riteni, bet gan ripojošu sniega piku - ar katru apgriezienu tā kļūst lielāka un smagāka.

7. Sistēmas analīzes tehnoloģija. Sistēmas izpētes posmi: modeļu veidošana un uzlabošana, alternatīvu ģenerēšana, lēmumu pieņemšana, +.

Modeļu uzbūve un uzlabošana. Sistēmu analīzē ir nepieciešams problēmas modelis un situācija iespējams "zaudēt". intervences iespējas, lai nogrieztu ne tikai tos, kas neuzlabosies, bet arī atlasītu no tiem, kas uzlabo visvairāk (pēc mūsu kritērijiem), kuri uzlabojas. Jāuzsver, ka ieguldījums situācijas modeļa veidošanā tiek dots katrā iepriekšējā un visos turpmākajos posmos (gan ar savu ieguldījumu, gan ar lēmumu atgriezties kādā agrīnā stadijā, lai modeli papildinātu ar informāciju). Tāpēc patiesībā nav atsevišķa, īpaša “modeļa veidošanas posma”, un tomēr ir vērts koncentrēties uz modeļu veidošanas iezīmēm vai drīzāk to "būvniecības pabeigšana" (t.i., pievienojot jaunus elementus vai noņemot nevajadzīgos).

Alternatīvu ģenerēšana . Aprakstītajā tehnoloģijā šī darbība tiek veikta divos posmos:

noteikt neatbilstības starp problēmas un mērķa maisījumiem. Ir skaidri jānoformulē atšķirības starp organizācijas pašreizējo (un neapmierinošo) stāvokli un nākotnes, visvēlamāko, ideālāko stāvokli, uz kuru tai ir jātiecas. Šīs atšķirības ir tās nepilnības, kuru novēršana ir jāplāno;

piedāvājot iespējamās iespējas atklāto neatbilstību novēršanai vai samazināšanai. Darbībām, procedūrām, noteikumiem, projektiem, programmām un politikām — visām vadības sastāvdaļām — jābūt izstrādātām īstenošanai.

2.4.1. Definīcija. Dota mums nehomogēna lineāro vienādojumu sistēma

Apsveriet viendabīgu sistēmu

kuras koeficientu matrica sakrīt ar sistēmas (2.4.1.) koeficientu matricu. Tad tiek izsaukta sistēma (2.4.2). samazināta viendabīga sistēma (2.4.1).

2.4.2. Teorēma. Nehomogēnas sistēmas vispārējais risinājums ir vienāds ar kāda konkrēta nehomogēnas sistēmas risinājuma un reducētās viendabīgās sistēmas vispārējā risinājuma summu.

Tādējādi, lai rastu vispārīgu risinājumu nehomogēnās sistēmas (2.4.1.) gadījumā, pietiek:

1) Izpētiet to saderību. Saderības gadījumā:

2) Atrast reducētās viendabīgās sistēmas vispārīgo risinājumu.

3) Atrodiet kādu konkrētu risinājumu oriģinālajam (neviendabīgajam).

4) Saskaitot atrasto konkrēto risinājumu un dotā vispārīgo risinājumu, atrodiet sākotnējās sistēmas vispārējo risinājumu.

2.4.3. Vingrinājums. Izpētiet sistēmas saderību un saderības gadījumā atrodiet tās vispārējo risinājumu konkrētā un vispārīgā dotā summas veidā.

Risinājums. a) Lai atrisinātu problēmu, mēs izmantojam iepriekš minēto shēmu:

1) Mēs pārbaudām sistēmas saderību (ar nepilngadīgo robežu metodi): Galvenās matricas rangs ir 3 (sk. 2.2.5. uzdevuma atrisinājumu a), un maksimālās kārtas nepilngadīgais, kas nav nulle, sastāv no 1. elementiem, 2., 4. rinda un 1., 3., 4. kolonna. Lai atrastu paplašinātās matricas rangu, mēs to norobežojam ar paplašinātās matricas 3. rindu un 6. kolonnu: =0. nozīmē, rg A =rg=3, un sistēma ir konsekventa. Jo īpaši tas ir līdzvērtīgs sistēmai

2) Atradīsim vispārīgu risinājumu X 0 samazināta viendabīga sistēma

X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}

(sk. 2.2.5. uzdevuma a) risinājumu).

3) Atradīsim jebkuru konkrētu sākotnējās sistēmas risinājumu x h . Lai to izdarītu, sistēmā (2.4.3), kas ir līdzvērtīga oriģinālajai, brīvie nezināmie x 2 un x Mēs pieņemam, ka 5 ir vienāds, piemēram, ar nulli (šie ir ērtākie dati):

un atrisiniet iegūto sistēmu: x 1 =- , x 3 =- , x 4 =-5. Tādējādi (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ ir īpašs sistēmas risinājums.

4) Atrodiet sākotnējās sistēmas vispārīgo risinājumu X n :

X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=

={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.

komentēt. Salīdziniet saņemto atbildi ar otro atbildi 1.2.1. piemērā c). Lai iegūtu atbildi pirmajā formā par 1.2.1. c) tiek ņemti pamata nezināmie x 1 , x 3 , x 5 (kuram nepilngadīgais arī nav vienāds ar nulli), un kā brīvs ¾ x 2 un x 4 .

§3. Dažas lietojumprogrammas.

3.1. Par matricu vienādojumu jautājumu. Mēs jums to atgādinām matricas vienādojums virs lauka F ir vienādojums, kurā nezināmais ir matrica virs lauka F .

Vienkāršākie matricas vienādojumi ir formas vienādojumi

AX=B , XA =B (2.5.1)

Kur A , B ¾ dotā (zināmā) matrica virs lauka F , A X ¾ tādas matricas, kuru aizstāšanas rezultātā vienādojumi (2.5.1.) pārvēršas patiesās matricas vienādībās. Jo īpaši noteiktu sistēmu matricas metode ir reducēta līdz matricas vienādojuma atrisināšanai.

Gadījumā, ja matricas A vienādojumos (2.5.1) ir nedeģenerēti, tiem ir attiecīgi risinājumi X =A B Un X =BA. .

Gadījumā, ja vismaz viena no matricām vienādojumu (2.5.1.) kreisajā pusē ir vienskaitlī, šī metode vairs nav piemērota, jo atbilstošā apgrieztā matrica A neeksistē. Šajā gadījumā vienādojumu (2.5.1.) risinājumu meklēšana tiek reducēta uz sistēmu risināšanu.

Bet vispirms ieviesīsim dažus jēdzienus.

Sauksim visu sistēmas risinājumu kopu vispārējs lēmums . Sauksim atsevišķi ņemtu nenoteiktas sistēmas risinājumu privāts risinājums .

3.1.1. Piemērs. Atrisiniet matricas vienādojumu virs lauka R.

A) X = ; b) X = ; V) X = .

Risinājums. a) Tā kā =0, tad formula X =A B nav piemērots šī vienādojuma risināšanai. Ja darbā XA =B matrica A ir 2 rindas, tad matrica X ir 2 kolonnas. Līniju skaits X jāatbilst rindu skaitam B . Tāpēc X ir 2 rindas. Tādējādi X ¾ kāda otrās kārtas kvadrātveida matrica: X = . Aizstāsim X sākotnējā vienādojumā:

Reizinot matricas (2.5.2) kreisajā pusē, mēs nonākam pie vienādības

Divas matricas ir vienādas tad un tikai tad, ja tām ir vienādi izmēri un to atbilstošie elementi ir vienādi. Tāpēc (2.5.3) ir ekvivalents sistēmai

Šī sistēma ir līdzvērtīga sistēmai

Atrisinot to, piemēram, izmantojot Gausa metodi, mēs nonākam pie risinājumu kopas (5-2 b , b , -2d , d ), Kur b , d darbojas neatkarīgi viens no otra R. Tādējādi X = .

b) Līdzīgi kā a) mums ir X = un.

Šī sistēma ir nekonsekventa (pārbaudiet to!). Tāpēc šim matricas vienādojumam nav risinājumu.

c) Apzīmēsim šo vienādojumu ar AX =B . Jo A ir 3 kolonnas un B tad ir 2 kolonnas X ¾ kāda matrica ar izmēru 3´2: X = . Tāpēc mums ir šāda ekvivalences ķēde:

Pēdējo sistēmu atrisinām, izmantojot Gausa metodi (komentārus izlaižam)

Tādējādi mēs nonākam pie sistēmas

kura risinājums ir (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Kur z , w darbojas neatkarīgi viens no otra R.

Atbilde: a) X = , b , d Î R.

b) Risinājumu nav.

V) X = z , w Î R.

3.2. Par jautājumu par matricu maināmību. Kopumā matricu reizinājums ir nemaināms, tas ir, ja A Un B tāds, ka AB Un BA. ir definēti, tad, vispārīgi runājot, AB ¹ BA. . Bet identitātes matricas piemērs E parāda, ka ir iespējama arī maināmība A.E. =E.A. jebkurai matricai A , ja vien A.E. Un E.A. tika noteikti.

Šajā sadaļā mēs apskatīsim problēmas, kas saistītas ar visu to matricu kopas atrašanu, kuras pārvietojas ar doto matricu. Tādējādi

Nezināms x 1 , y 2 un z 3 var iegūt jebkuru vērtību: x 1 =a , y 2 =b , z 3 =g . Tad

Tādējādi X = .

Atbilde. A) X d ¾ jebkurš skaitlis.

b) X ¾ formas matricu kopa , kur a , b Un g ¾ jebkuri skaitļi.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu (SLAE) risināšana neapšaubāmi ir vissvarīgākā tēma lineārās algebras kursā. Liels skaits problēmu no visām matemātikas nozarēm nonāk līdz lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai. Šie faktori izskaidro šī raksta iemeslu. Raksta materiāls ir atlasīts un strukturēts tā, lai ar tā palīdzību jūs varētu

• izvēlēties optimālo metodi lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas atrisināšanai,
• studēt izvēlētās metodes teoriju,
• atrisiniet savu lineāro vienādojumu sistēmu, apsverot detalizētus tipisku piemēru un problēmu risinājumus.

Īss raksta materiāla apraksts.

Pirmkārt, mēs sniedzam visas nepieciešamās definīcijas, jēdzienus un ieviešam apzīmējumus.

Tālāk apskatīsim metodes lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un kurām ir unikāls risinājums. Pirmkārt, mēs koncentrēsimies uz Krāmera metodi, otrkārt, parādīsim matricas metodi šādu vienādojumu sistēmu risināšanai un, treškārt, analizēsim Gausa metodi (nezināmu mainīgo secīgas likvidēšanas metodi). Lai nostiprinātu teoriju, mēs noteikti atrisināsim vairākus SLAE dažādos veidos.

Pēc tam pāriesim pie lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanas vispārīgās formas, kurās vienādojumu skaits nesakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu vai sistēmas galvenā matrica ir vienskaitlī. Formulēsim Kronecker-Capelli teorēmu, kas ļauj noteikt SLAE saderību. Analizēsim sistēmu risinājumu (ja tās ir savietojamas), izmantojot matricas bāzes minora jēdzienu. Mēs arī apsvērsim Gausa metodi un detalizēti aprakstīsim piemēru risinājumus.

Noteikti pakavēsimies pie lineāro algebrisko vienādojumu viendabīgu un nehomogēnu sistēmu vispārīgā risinājuma struktūras. Sniegsim fundamentālas risinājumu sistēmas jēdzienu un parādīsim, kā tiek uzrakstīts SLAE vispārējais risinājums, izmantojot fundamentālās risinājumu sistēmas vektorus. Lai labāk izprastu, apskatīsim dažus piemērus.

Noslēgumā aplūkosim vienādojumu sistēmas, kuras var reducēt uz lineāriem, kā arī dažādas problēmas, kuru risināšanā rodas SLAE.

Lapas navigācija.

Definīcijas, jēdzieni, apzīmējumi.

Apskatīsim p lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas ar n nezināmiem formas mainīgajiem (p var būt vienāds ar n)

Nezināmi mainīgie, - koeficienti (daži reāli vai kompleksie skaitļi), - brīvie termini (arī reālie vai kompleksie skaitļi).

Šo SLAE ierakstīšanas veidu sauc koordinēt.

IN matricas formašīs vienādojumu sistēmas rakstīšanai ir forma,
Kur - sistēmas galvenā matrica, - nezināmu mainīgo kolonnu matrica, - brīvo terminu kolonnu matrica.

Ja matricai A kā (n+1) kolonnu pievienojam brīvo terminu matricas kolonnu, iegūstam t.s. paplašināta matrica lineāro vienādojumu sistēmas. Parasti paplašināto matricu apzīmē ar burtu T, un brīvo terminu kolonnu no pārējām kolonnām atdala vertikāla līnija, tas ir,

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas atrisināšana To sauc par nezināmu mainīgo vērtību kopu, kas visus sistēmas vienādojumus pārvērš identitātēs. Matricas vienādojums noteiktām nezināmo mainīgo vērtībām arī kļūst par identitāti.

Ja vienādojumu sistēmai ir vismaz viens risinājums, tad to sauc locītavu.

Ja vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu, tad to sauc nav locītavu.

Ja SLAE ir unikāls risinājums, tad to sauc noteikti; ja ir vairāki risinājumi, tad – nenoteikts.

Ja visu sistēmas vienādojumu brīvie termini ir vienādi ar nulli , tad sistēma tiek izsaukta viendabīgs, citādi - neviendabīgs.

Lineāro algebrisko vienādojumu elementāru sistēmu risināšana.

Ja sistēmas vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un tās galvenās matricas determinants nav vienāds ar nulli, tad šādi SLAE tiks izsaukti elementārs. Šādām vienādojumu sistēmām ir unikāls risinājums, un homogēnas sistēmas gadījumā visi nezināmie mainīgie ir vienādi ar nulli.

Mēs sākām mācīties šādus SLAE vidusskolā. Atrisinot tos, mēs paņēmām vienu vienādojumu, izteicām vienu nezināmu mainīgo ar citiem un aizstājām to atlikušajos vienādojumos, pēc tam paņēmām nākamo vienādojumu, izteicām nākamo nezināmo mainīgo un aizstājām to citos vienādojumos utt. Vai arī viņi izmantoja pievienošanas metodi, tas ir, viņi pievienoja divus vai vairākus vienādojumus, lai novērstu dažus nezināmus mainīgos. Mēs sīkāk nepakavēsimies pie šīm metodēm, jo ​​tās būtībā ir Gausa metodes modifikācijas.

Galvenās lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas metodes ir Krāmera metode, matricas metode un Gausa metode. Sakārtosim tos.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot Krāmera metodi.

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina lineāro algebrisko vienādojumu sistēma

kurā vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un sistēmas galvenās matricas determinants atšķiras no nulles, tas ir, .

Ļaut būt sistēmas galvenās matricas determinants, un - matricu determinanti, kas iegūti no A ar aizstāšanu 1., 2., …, nth kolonnu attiecīgi uz brīvo dalībnieku kolonnu:

Izmantojot šo apzīmējumu, nezināmi mainīgie tiek aprēķināti, izmantojot Krāmera metodes formulas kā . Šādi tiek atrasts risinājums lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai, izmantojot Krāmera metodi.

Piemērs.

Krāmera metode .

Risinājums.

Sistēmas galvenajai matricai ir forma . Aprēķināsim tā determinantu (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Tā kā sistēmas galvenās matricas determinants nav nulle, sistēmai ir unikāls risinājums, ko var atrast ar Krāmera metodi.

Sastādīsim un aprēķināsim nepieciešamos determinantus (determinantu iegūstam, matricas A pirmo kolonnu aizstājot ar brīvo terminu kolonnu, determinantu, otro kolonnu aizstājot ar brīvo terminu kolonnu un matricas A trešo kolonnu aizstājot ar brīvo terminu kolonnu) :

Nezināmu mainīgo atrašana, izmantojot formulas :

Atbilde:

Galvenais Krāmera metodes trūkums (ja to var saukt par trūkumu) ir determinantu aprēķināšanas sarežģītība, ja vienādojumu skaits sistēmā ir lielāks par trim.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana ar matricas metodi (izmantojot apgriezto matricu).

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma tiks dota matricas formā, kur matricas A izmērs ir n x n un tās determinants nav nulle.

Tā kā , matrica A ir invertējama, tas ir, pastāv apgrieztā matrica. Ja abas vienādības puses reizinām ar kreiso, iegūstam formulu nezināmu mainīgo matricas kolonnas atrašanai. Tādā veidā mēs ieguvām risinājumu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai, izmantojot matricas metodi.

Piemērs.

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu matricas metode.

Risinājums.

Pārrakstīsim vienādojumu sistēmu matricas formā:

Jo

tad SLAE var atrisināt, izmantojot matricas metodi. Izmantojot apgriezto matricu, šīs sistēmas risinājumu var atrast kā .

Konstruēsim apgriezto matricu, izmantojot matricu no matricas A elementu algebriskām pievienošanas (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Atliek aprēķināt nezināmo mainīgo matricu, reizinot apgriezto matricu uz bezmaksas dalībnieku matricas kolonnu (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Atbilde:

vai citā apzīmējumā x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Galvenā problēma, meklējot risinājumus lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām, izmantojot matricas metodi, ir apgrieztās matricas atrašanas sarežģītība, īpaši kvadrātmatricām, kuru secība ir augstāka par trešo.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ar Gausa metodi.

Pieņemsim, ka jāatrod risinājums n lineāru vienādojumu sistēmai ar n nezināmiem mainīgajiem
kuras galvenās matricas determinants atšķiras no nulles.

Gausa metodes būtība sastāv no nezināmu mainīgo secīgas likvidēšanas: pirmkārt, x 1 tiek izslēgts no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot no otrā, pēc tam x 2 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no trešā, un tā tālāk, līdz paliek tikai nezināmais mainīgais x n pēdējā vienādojumā. Šo sistēmu vienādojumu pārveidošanas procesu, lai secīgi likvidētu nezināmus mainīgos, sauc tiešā Gausa metode. Pēc Gausa metodes virziena uz priekšu pabeigšanas no pēdējā vienādojuma tiek atrasts x n, izmantojot šo vērtību no priekšpēdējā vienādojuma, tiek aprēķināts x n-1 un tā tālāk, no pirmā vienādojuma tiek atrasts x 1. Nezināmu mainīgo aprēķina procesu, pārejot no pēdējā sistēmas vienādojuma uz pirmo, sauc apgriezta Gausa metode.

Īsi aprakstīsim nezināmo mainīgo likvidēšanas algoritmu.

Mēs pieņemsim, ka , jo mēs vienmēr varam to panākt, mainot sistēmas vienādojumus. Izslēgsim nezināmo mainīgo x 1 no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot ar otro. Lai to izdarītu, sistēmas otrajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar , trešajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar , un tā tālāk, n-tajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar . Pēc šādām transformācijām vienādojumu sistēma iegūs formu

kur un .

Mēs būtu nonākuši pie tāda paša rezultāta, ja mēs būtu izteikuši x 1 ar citiem nezināmiem mainīgajiem sistēmas pirmajā vienādojumā un aizvietojuši iegūto izteiksmi visos citos vienādojumos. Tādējādi mainīgais x 1 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no otrā.

Tālāk mēs rīkojamies līdzīgi, bet tikai ar daļu no iegūtās sistēmas, kas ir atzīmēta attēlā

Lai to izdarītu, sistēmas trešajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar , ceturtajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar , un tā tālāk, n-tajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar . Vienādojumu sistēma pēc šādām transformācijām iegūs formu

kur un . Tādējādi mainīgais x 2 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no trešā.

Tālāk mēs pārejam pie nezināmā x 3 likvidēšanas, kamēr mēs rīkojamies līdzīgi ar attēlā atzīmēto sistēmas daļu

Tātad mēs turpinām tiešo Gausa metodes virzību, līdz sistēma iegūst formu

No šī brīža mēs sākam apgrieztu Gausa metodi: mēs aprēķinām x n no pēdējā vienādojuma kā , izmantojot iegūto x n vērtību, mēs atrodam x n-1 no priekšpēdējā vienādojuma, un tā tālāk, mēs atrodam x 1 no pirmā vienādojuma. .

Piemērs.

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu Gausa metode.

Risinājums.

Izslēgsim nezināmo mainīgo x 1 no sistēmas otrā un trešā vienādojuma. Lai to izdarītu, abām otrā un trešā vienādojuma pusēm pievienojam atbilstošās pirmā vienādojuma daļas, kas attiecīgi reizinātas ar un ar:

Tagad mēs izslēdzam x 2 no trešā vienādojuma, tā kreisajai un labajai pusei pievienojot otrā vienādojuma kreiso un labo pusi, reizinot ar:

Tas pabeidz Gausa metodes virzienu uz priekšu, mēs sākam apgriezto gājienu.

No iegūtās vienādojumu sistēmas pēdējā vienādojuma mēs atrodam x 3:

No otrā vienādojuma iegūstam .

No pirmā vienādojuma mēs atrodam atlikušo nezināmo mainīgo un tādējādi pabeidzam Gausa metodes apvērsumu.

Atbilde:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Vispārīgas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana.

Kopumā sistēmas p vienādojumu skaits nesakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu n:

Šādiem SLAE var nebūt risinājumu, tiem var būt viens risinājums vai arī bezgalīgi daudz risinājumu. Šis apgalvojums attiecas arī uz vienādojumu sistēmām, kuru galvenā matrica ir kvadrātveida un vienskaitļa.

Kronekera-Kapella teorēma.

Pirms lineāro vienādojumu sistēmas risinājuma atrašanas ir jānosaka tās savietojamība. Atbildi uz jautājumu, kad SLAE ir saderīgs un kad tas ir nekonsekvents, sniedz Kronekera-Kapella teorēma:
Lai p vienādojumu sistēma ar n nezināmajiem (p var būt vienāds ar n) būtu konsekventa, ir nepieciešams un pietiekami, lai sistēmas galvenās matricas rangs būtu vienāds ar paplašinātās matricas rangu, tas ir, , Rank(A)=Rangs(T).

Apskatīsim, piemēram, Kronekera-Kapella teorēmas pielietojumu lineāro vienādojumu sistēmas saderības noteikšanai.

Piemērs.

Uzziniet, vai lineāro vienādojumu sistēmai ir risinājumus.

Risinājums.

. Izmantosim nepilngadīgo robežu metodi. Otrās kārtas nepilngadīgais atšķiras no nulles. Apskatīsim trešās kārtas nepilngadīgos, kas robežojas ar to:

Tā kā visi trešās kārtas blakus esošie nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, galvenās matricas rangs ir vienāds ar diviem.

Savukārt paplašinātās matricas rangs ir vienāds ar trīs, jo nepilngadīgais ir trešās kārtas

atšķiras no nulles.

Tādējādi Diapazons (A), tāpēc, izmantojot Kronecker-Capelli teorēmu, mēs varam secināt, ka sākotnējā lineāro vienādojumu sistēma ir nekonsekventa.

Atbilde:

Sistēmai nav risinājumu.

Tātad, mēs esam iemācījušies noteikt sistēmas nekonsekvenci, izmantojot Kronecker-Capelli teorēmu.

Bet kā rast risinājumu SLAE, ja tā saderība ir noteikta?

Lai to izdarītu, mums ir nepieciešams matricas pamata minora jēdziens un teorēma par matricas rangu.

Tiek izsaukts matricas A augstākās kārtas minors, kas atšķiras no nulles pamata.

No pamata minora definīcijas izriet, ka tā secība ir vienāda ar matricas rangu. Matricai A, kas atšķiras no nulles, vienmēr var būt viena pamata minora.

Piemēram, apsveriet matricu .

Visas šīs matricas trešās kārtas minorās ir vienādas ar nulli, jo šīs matricas trešās rindas elementi ir pirmās un otrās rindas atbilstošo elementu summa.

Tālāk norādītie otrās kārtas nepilngadīgie ir pamata, jo tie nav nulle

Nepilngadīgie nav pamata, jo tie ir vienādi ar nulli.

Matricas rangu teorēma.

Ja matricas pakāpes p pēc n rangs ir vienāds ar r, tad visi matricas rindu (un kolonnu) elementi, kas neveido izvēlēto bāzes minoritāti, tiek lineāri izteikti atbilstoši veidojošo rindas (un kolonnas) elementiem. pamats minors.

Ko mums saka matricas ranga teorēma?

Ja saskaņā ar Kronekera–Kapella teorēmu esam konstatējuši sistēmas saderību, tad izvēlamies jebkuru sistēmas galvenās matricas pamata minoru (tā secība ir vienāda ar r) un izslēdzam no sistēmas visus vienādojumus, kas to dara. neveido izvēlēto pamata minoritāti. Šādā veidā iegūtais SLAE būs līdzvērtīgs sākotnējam, jo ​​izmestie vienādojumi joprojām ir lieki (saskaņā ar matricas rangu teorēmu tie ir atlikušo vienādojumu lineāra kombinācija).

Rezultātā pēc nevajadzīgu sistēmas vienādojumu atmešanas ir iespējami divi gadījumi.

Ja vienādojumu skaits r iegūtajā sistēmā ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu, tad tas būs noteikts un vienīgo risinājumu var atrast ar Krāmera metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Piemērs.

.

Risinājums.

Sistēmas galvenās matricas rangs ir vienāds ar divi, jo nepilngadīgais ir otrās kārtas atšķiras no nulles. Paplašināts Matricas rangs ir arī vienāds ar divi, jo vienīgā trešās kārtas nepilngadīgā ir nulle

un iepriekš aplūkotais otrās kārtas nepilngadīgais atšķiras no nulles. Pamatojoties uz Kronekera–Kapelli teorēmu, varam apgalvot sākotnējās lineāro vienādojumu sistēmas savietojamību, jo Rank(A)=Ranks(T)=2.

Par pamatu ņemam nepilngadīgo . To veido pirmā un otrā vienādojuma koeficienti:


Sistēmas trešais vienādojums nepiedalās pamata minora veidošanā, tāpēc mēs to izslēdzam no sistēmas, pamatojoties uz teorēmu par matricas rangu:


Tādā veidā mēs ieguvām elementāru lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu. Atrisināsim to, izmantojot Krāmera metodi:


Atbilde:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ja vienādojumu skaits r iegūtajā SLAE ir mazāks par nezināmo mainīgo skaitu n, tad vienādojumu kreisajā pusē terminus, kas veido pamatu, atstājam minorus, un atlikušos nosacījumus pārnesam uz sistēmas vienādojumi ar pretējo zīmi.

Tiek izsaukti nezināmie mainīgie (r no tiem), kas paliek vienādojumu kreisajā pusē galvenais.

Tiek saukti nezināmie mainīgie (ir n - r gabali), kas atrodas labajā pusē bezmaksas.

Tagad mēs uzskatām, ka brīvie nezināmie mainīgie var iegūt patvaļīgas vērtības, savukārt r galvenie nezināmie mainīgie tiks izteikti ar brīviem nezināmiem mainīgajiem unikālā veidā. To izteiksmi var atrast, atrisinot iegūto SLAE, izmantojot Cramer metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Apskatīsim to ar piemēru.

Piemērs.

Atrisiniet lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu .

Risinājums.

Atradīsim sistēmas galvenās matricas rangu ar nepilngadīgo robežu metodi. Pieņemsim 1 1 = 1 kā pirmās kārtas minoru, kas nav nulle. Sāksim meklēt otrās kārtas nepilngadīgo, kas nav nulle un kas robežojas ar šo nepilngadīgo:


Tā atradām otrās kārtas nepilngadīgo, kas nav nulle. Sāksim meklēt trešās kārtas nepilngadīgo, kas nav nulles robeža:


Tādējādi galvenās matricas rangs ir trīs. Paplašinātās matricas rangs ir arī vienāds ar trīs, tas ir, sistēma ir konsekventa.

Par pamatu ņemam atrasto trešās kārtas nepilngadīgo, kas nav nulle.

Skaidrības labad mēs parādām elementus, kas veido pamatu minora:


Sistēmas vienādojumu kreisajā pusē atstājam pamata minorā iesaistītos terminus, bet pārējos ar pretējām zīmēm pārnesam uz labajām pusēm:


Dosim brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem x 2 un x 5 patvaļīgas vērtības, tas ir, mēs pieņemam , kur ir patvaļīgi skaitļi. Šajā gadījumā SLAE būs forma


Atrisināsim iegūto lineāro algebrisko vienādojumu elementāro sistēmu, izmantojot Krāmera metodi:


Līdz ar to,.

Savā atbildē neaizmirstiet norādīt brīvos nezināmos mainīgos.

Atbilde:

Kur ir patvaļīgi skaitļi.

Apkopojiet.

Lai atrisinātu vispārīgo lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu, vispirms nosakām tās saderību, izmantojot Kronecker-Capelli teorēmu. Ja galvenās matricas rangs nav vienāds ar paplašinātās matricas rangu, mēs secinām, ka sistēma nav savietojama.

Ja galvenās matricas rangs ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu, mēs izvēlamies pamata minoru un atmetam sistēmas vienādojumus, kas nepiedalās izvēlētās bāzes minora veidošanā.

Ja bāzes minora secība ir vienāda ar nezināmo mainīgo skaitu, tad SLAE ir unikāls risinājums, kuru var atrast ar jebkuru mums zināmu metodi.

Ja pamata minora secība ir mazāka par nezināmo mainīgo skaitu, tad sistēmas vienādojumu kreisajā pusē mēs atstājam terminus ar galvenajiem nezināmajiem mainīgajiem, atlikušos vārdus pārnesam uz labajām pusēm un piešķiram patvaļīgas vērtības brīvie nezināmie mainīgie. No iegūtās lineāro vienādojumu sistēmas mēs atrodam galvenos nezināmos mainīgos, izmantojot Cramer metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Gausa metode vispārīgas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai.

Gausa metodi var izmantot, lai atrisinātu jebkura veida lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas, iepriekš nepārbaudot to konsekvenci. Nezināmo mainīgo secīgas likvidēšanas process ļauj izdarīt secinājumu gan par SLAE saderību, gan nesaderību, un, ja risinājums pastāv, tas ļauj to atrast.

No skaitļošanas viedokļa priekšroka dodama Gausa metodei.

Detalizētu tās aprakstu un analizētos piemērus skatiet rakstā Gausa metode vispārējo lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai.

Vispārīga risinājuma rakstīšana viendabīgām un nehomogēnām lineārām algebriskām sistēmām, izmantojot fundamentālās risinājumu sistēmas vektorus.

Šajā sadaļā runāsim par vienlaicīgām viendabīgām un nehomogēnām lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām, kurām ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Vispirms apskatīsim viendabīgas sistēmas.

Fundamentāla risinājumu sistēma homogēna p lineāru algebrisko vienādojumu sistēma ar n nezināmiem mainīgajiem ir (n – r) šīs sistēmas lineāri neatkarīgu risinājumu kopums, kur r ir sistēmas galvenās matricas pamatmolra secība.

Ja viendabīga SLAE lineāri neatkarīgus risinājumus apzīmējam kā X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ir kolonnu matricas ar izmēru n ar 1) , tad šīs viendabīgās sistēmas vispārējais atrisinājums tiek attēlots kā pamata risinājumu sistēmas vektoru lineāra kombinācija ar patvaļīgiem konstantiem koeficientiem C 1, C 2, ..., C (n-r), tas ir, .

Ko nozīmē termins homogēnas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas vispārējs risinājums (oroslau)?

Nozīme ir vienkārša: formula norāda visus iespējamos sākotnējā SLAE risinājumus, citiem vārdiem sakot, ņemot jebkuru patvaļīgu konstantu vērtību kopu C 1, C 2, ..., C (n-r), izmantojot formulu mēs iegūt vienu no sākotnējā viendabīgā SLAE šķīdumiem.

Tādējādi, ja mēs atrodam fundamentālu risinājumu sistēmu, tad visus šīs viendabīgās SLAE risinājumus varam definēt kā .

Parādīsim viendabīga SLAE fundamentālas risinājumu sistēmas konstruēšanas procesu.

Mēs izvēlamies sākotnējās lineāro vienādojumu sistēmas pamata minoru, izslēdzam no sistēmas visus pārējos vienādojumus un visus terminus, kas satur brīvus nezināmos mainīgos, pārnesam uz sistēmas vienādojumu labajām pusēm ar pretējām zīmēm. Dosim brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem vērtības 1,0,0,...,0 un aprēķināsim galvenos nezināmos, risinot iegūto elementāro lineāro vienādojumu sistēmu jebkādā veidā, piemēram, izmantojot Cramer metodi. Tā rezultātā tiks iegūts X (1) - pirmais pamatsistēmas risinājums. Ja brīvajiem nezināmajiem piešķiram vērtības 0,1,0,0,…,0 un aprēķinām galvenos nezināmos, iegūstam X (2) . Un tā tālāk. Ja brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem piešķiram vērtības 0.0,…,0.1 un aprēķinām galvenos nezināmos, iegūstam X (n-r) . Tādā veidā tiks izveidota viendabīga SLAE fundamentāla risinājumu sistēma un tās vispārīgo risinājumu var ierakstīt formā .

Nehomogēnām lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām vispārējais risinājums tiek attēlots formā , kur ir atbilstošās viendabīgās sistēmas vispārējais risinājums un ir sākotnējās nehomogēnās SLAE konkrētais risinājums, ko iegūstam, brīvajiem nezināmajiem piešķirot vērtības. ​0,0,…,0 un aprēķinot galveno nezināmo vērtības.

Apskatīsim piemērus.

Piemērs.

Atrodiet viendabīgas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risinājumu pamatsistēmu un vispārīgo risinājumu .

Risinājums.

Viendabīgu lineāro vienādojumu sistēmu galvenās matricas rangs vienmēr ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu. Atradīsim galvenās matricas rangu, izmantojot nepilngadīgo robežu metodi. Kā pirmās kārtas minoru, kas nav nulle, mēs ņemam sistēmas galvenās matricas elementu a 1 1 = 9. Atradīsim otrās kārtas malējo, kas robežojas ar nulli:

Atrasts otrās kārtas nepilngadīgais, kas atšķiras no nulles. Iziesim cauri trešās kārtas nepilngadīgajiem, kas robežojas ar to, meklējot vienu, kas nav nulle:

Visi trešās kārtas robežojošie nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tāpēc galvenās un paplašinātās matricas rangs ir vienāds ar diviem. Ņemsim. Skaidrības labad atzīmēsim sistēmas elementus, kas to veido:

Sākotnējā SLAE trešais vienādojums nepiedalās pamata minora veidošanā, tāpēc to var izslēgt:

Vienādojumu labajā pusē atstājam terminus, kas satur galvenos nezināmos, un labajā pusē pārnesam terminus ar brīvajiem nezināmajiem:

Izveidosim fundamentālu risinājumu sistēmu sākotnējai viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai. Šī SLAE pamata risinājumu sistēma sastāv no diviem risinājumiem, jo ​​sākotnējā SLAE ir četri nezināmi mainīgie, un tā bāzes minora secība ir vienāda ar diviem. Lai atrastu X (1), mēs piešķiram brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem vērtības x 2 = 1, x 4 = 0, pēc tam atrodam galvenos nezināmos no vienādojumu sistēmas
.

§6. Nehomogēna lineāro vienādojumu sistēma

Ja lineāro vienādojumu sistēmā (7.1) vismaz viens no brīvajiem terminiem V i atšķiras no nulles, tad šādu sistēmu sauc neviendabīgs.

Dota nehomogēna lineāru vienādojumu sistēma, kuru var attēlot vektora formā kā

, i = 1,2,.. .,Uz, (7.13)

Apsveriet atbilstošo viendabīgo sistēmu

i = 1,2,... ,Uz. (7.14)

Ļaujiet vektoram
ir nehomogēnās sistēmas (7.13) risinājums un vektors
ir homogēnās sistēmas (7.14.) risinājums. Tad ir viegli redzēt, ka vektors
ir arī nehomogēnās sistēmas (7.13.) risinājums. Tiešām

Tagad, izmantojot formulu (7.12) homogēnā vienādojuma vispārējam risinājumam, mums ir

Kur
jebkuri skaitļi no R, A
– viendabīgas sistēmas fundamentālie risinājumi.

Tādējādi nehomogēnas sistēmas risinājums ir tās konkrētā risinājuma un atbilstošās viendabīgās sistēmas vispārējā risinājuma kombinācija.

Tiek izsaukts risinājums (7.15.). nehomogēnas lineāro vienādojumu sistēmas vispārējs risinājums. No (7.15) izriet, ka vienlaicīgai nehomogēnai lineāro vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums, ja rangs r(A) galvenā matrica A atbilst skaitlim n nezināmas sistēmas (Cramer sistēma), ja r(A)  n, tad sistēmai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits un šī risinājumu kopa ir ekvivalenta atbilstošās viendabīgās dimensiju vienādojumu sistēmas atrisinājumu apakštelpai n– r.

Piemēri.

1. Dota nehomogēna vienādojumu sistēma, kurā vienādojumu skaits Uz= 3, un nezināmo skaits n = 4.

X 1 – X 2 + X 3 –2X 4 = 1,

X 1 – X 2 + 2X 3 – X 4 = 2,

5X 1 – 5X 2 + 8X 3 – 7X 4 = 3.

Noteiksim galvenās matricas rindas A un paplašināts A * no šīs sistēmas. Tāpēc ka A Un A * nulles matricas un k = 3  n, tāpēc 1  r (A), r * (A * )  3. Apsveriet matricu otrās kārtas minorās A Un A * :

Tādējādi starp matricu otrās kārtas nepilngadīgajiem A Un A * ir nepilngadīgais, kas nav nulle, tāpēc 2 r(A),r * (A * )  3. Tagad apskatīsim trešās kārtas nepilngadīgos

, jo pirmā un otrā kolonna ir proporcionālas. Tāpat arī nepilngadīgajiem
.

Un tā visi galvenās matricas trešās kārtas nepilngadīgie A tāpēc ir vienādi ar nulli r(A) = 2. Paplašinātai matricai A * ir arī trešās kārtas nepilngadīgie

Tāpēc paplašinātās matricas trešās kārtas nepilngadīgo vidū A * ir nepilngadīgais, kas nav nulle, tāpēc r * (A * ) = 3. Tas nozīmē, ka r(A)  r * (A * ) un tad, pamatojoties uz Kornekera–Capelli teorēmu, mēs secinām, ka šī sistēma ir nekonsekventa.

2. Atrisiniet vienādojumu sistēmu

3X 1 + 2X 2 + X 3 + X 4 = 1,

3X 1 + 2X 2 – X 3 – 2X 4 = 2.

Šai sistēmai
un tāpēc 1 r(A),r * (A * )  2. Apsveriet matricas A Un A * otrās kārtas nepilngadīgie

Tādējādi r(A)= r * (A * ) = 2, un tāpēc sistēma ir konsekventa. Kā bāzes mainīgos mēs izvēlamies jebkurus divus mainīgos, kuriem otrās kārtas mazais, kas sastāv no šo mainīgo koeficientiem, nav vienāds ar nulli. Šādi mainīgie varētu būt, piemēram,

X 3 un X 4 jo
Tad mums ir

X 3 + X 4 = 1 – 3X 1 – 2X 2 ,

– X 3 – 2X 4 = 2 – 3X 1 – 2X 2 .

Definēsim konkrētu risinājumu neviendabīga sistēma. Lai to izdarītu, liksim X 1 = X 2 = 0.

X 3 + X 4 = 1,

– X 3 – 2X 4 = 2.

Šīs sistēmas risinājums: X 3 = 4, X 4 = – 3, tāpēc = (0,0,4, –3).

Tagad mēs nosakām atbilstošā viendabīgā vienādojuma vispārējo risinājumu

X 3 + X 4 = – 3X 1 – 2X 2 ,

–X 3 – 2X 4 = – 3X 1 – 2X 2 .

Liekam: X 1 = 1, X 2 = 0

X 3 + X 4 = –3,

–X 3 – 2X 4 = –3.

Šīs sistēmas risinājums X 3 = –9, X 4 = 6.

Tādējādi

Tagad liksim X 1 = 0, X 2 = 1

X 3 + X 4 = –2,

–X 3 – 2X 4 = –2.

Risinājums: X 3 = – 6, X 4 = 4, un pēc tam

Pēc tam, kad ir noteikts konkrēts risinājums , nehomogēni vienādojumi un fundamentālie risinājumi
Un atbilstošā homogēnā vienādojuma, mēs pierakstām nehomogēnā vienādojuma vispārējo atrisinājumu.

Kur
jebkuri skaitļi no R.