Determinantu un matricu teorijas elementi. Kopsavilkums: Matricu un determinantu teorija

Nosūtiet savu labo darbu zināšanu bāzē ir vienkārši. Izmantojiet zemāk esošo veidlapu

Studenti, maģistranti, jaunie zinātnieki, kuri izmanto zināšanu bāzi savās studijās un darbā, būs jums ļoti pateicīgi.

Determinantu teorijas elementi

Determinants ir skaitlis, kas uzrakstīts kvadrātveida skaitļu tabulas veidā, kas aprēķināts saskaņā ar noteiktiem noteikumiem.

Piemēram, katra no tabulām (1.1) sastāv no vienāda skaita rindu un kolonnu un attēlo skaitli, kura aprēķinu noteikumi tiks apspriesti turpmāk.

Rindu un kolonnu skaits nosaka determinanta secību. Tādējādi determinants 1.1a) ir trešās kārtas, determinants 1.1b) ir otrās kārtas, 1.1c) ir pirmās kārtas. Kā redzat, pirmās kārtas noteicošais faktors ir pats skaitlis.

Taisnas vertikālas iekavas galda malās ir noteicēja zīme un simbols. Vai determinants ir norādīts ar grieķu alfabēta lielo burtu? (delta).

Vispārīgā formā n-tās kārtas determinants tiek rakstīts šādi:

Katrs elements A ij determinantam ir divi indeksi: pirmais indekss i norāda rindas numuru, sekunde j- kolonnas numurs, kuras krustpunktā atrodas elements. Tātad determinanta 1.1a) elementiem A 11 , A 22 , A 23 , A 32 ir attiecīgi vienādi ar 2, 5, 4, 3.

2. kārtas determinants tiek aprēķināts, izmantojot formulu

Otrās kārtas determinants ir vienāds ar elementu reizinājumu galvenajā diagonālē mīnus elementu reizinājumu sekundārajā diagonālē.

Lai aprēķinātu 3. kārtas determinantu, tiek izmantota “trijstūra metode” un Sarrusa metode. Bet parasti praksē, lai aprēķinātu 3. kārtas determinantu, tiek izmantota tā sauktā efektīvā pasūtījuma samazināšanas metode, par kuru tiks runāts tālāk.

Trīsstūra metode

Aprēķinot determinantu, izmantojot šo metodi, ir ērti izmantot tā grafisko attēlojumu. Attēlā 1.1 un 1.2, 3. kārtas determinanta elementi shematiski attēloti ar punktiem.

Rīsi. 1.1 att. 1.2

Aprēķinot determinantu, elementu reizinājums, kas savienots ar taisnām līnijām, atbilst diagrammai attēlā. 1.1, ņem ar plus zīmi, un elementu reizinājumu, kas savienoti saskaņā ar diagrammu attēlā. 1.2, ņem ar mīnusa zīmi. Šo darbību rezultātā aprēķinam izmantotā formula ir šāda:

Aprēķiniet 3. kārtas determinantu.

Sarrus metode

Lai to īstenotu, jums ir jāpiešķir pirmās divas kolonnas pa labi no determinanta, jāsastāda to elementu produkti, kas atrodas galvenajā diagonālē un tai paralēlās līnijās, un jāņem tie ar plus zīmi. Pēc tam sastādiet to elementu produktus, kas atrodas sānu diagonālē un paralēli tai ar mīnusa zīmi.

Shēma determinanta aprēķināšanai, izmantojot Sarrus metodi.

Aprēķiniet 1.2. piemērā norādīto determinantu, izmantojot Sarrus metodi.

Noteicošā elementa mazais un algebriskais papildinājums

Nepilngadīga M ij elements A ij sauc par determinantu ( n-1) -kārtība, kas iegūta no determinanta n-kārtība, izsvītrojot i-th līnija un j kolonnu (t.i., izsvītrojot rindu un kolonnu, kuras krustpunktā atrodas elements A ij).

Atrodiet mazāko elementu daļu A 23 Un A 34 4. kārtas noteicējs.

Elements A 23 atrodas 2. rindā un 3. kolonnā. Šajā piemērā A 23 =4. Izsvītrojot 2. rindu un 3. kolonnu šī elementa krustpunktā (metodoloģiskos nolūkos attēlotas ar vertikālām un horizontālām punktētām līnijām), iegūstam šī elementa mazo M 23. Tas jau būs 3. kārtas noteicējs.

Aprēķinot nepilngadīgos, rindas un kolonnas izsvītrošanas operācija tiek veikta garīgi. To izdarījuši, mēs saņemam

Algebriskais papildinājums A ij elements A ij noteicējs n Kārtība ir šī elementa minoritāte, kas ņemta ar zīmi (-1) i + j, Kur i+ j- rindu un kolonnu numuru summa, pie kuras pieder elements A ij. Tie. a-priory A ij=(-1) i + jM ij

Ir skaidrs, ka, ja summa i+ j- tad skaitlis ir pāra A ij=M ij, Ja i+ j- tad skaitlis ir nepāra A ij= - M ij.

Determinantam atrodiet elementu algebriskos papildinājumus A 23 Un A 31 .

Elementam A 23 i=2, j=3 un i+ j=5 ir nepāra skaitlis, tāpēc

Elementam A 31 i=3, j=1 un i+ j=4 ir pāra skaitlis, kas nozīmē

Determinantu īpašības

1. Ja determinantā tiek apmainītas jebkuras divas paralēlas rindas (divas rindas vai divas kolonnas), determinanta zīme mainās uz pretēju.

Apmainiet 2 paralēlas kolonnas (1. un 2.).

Apmainiet 2 paralēlas līnijas (1. un 3.).

2. No noteicošās zīmes var izņemt jebkuras rindas (rindas vai kolonnas) elementu kopējo faktoru.

Determinanta īpašības, kas vienādas ar nulli

3. Ja visi noteiktas rindas elementi determinantā ir vienādi ar nulli, šāds determinants ir vienāds ar nulli.

4. Ja determinantā jebkuras rindas elementi ir proporcionāli paralēlas sērijas elementiem, determinants ir vienāds ar nulli.

Determinanta nemainīguma (nemainības) īpašības.

5. Ja determinantā tiek apmainītas rindas un kolonnas, determinants nemainīsies.

6. Determinants nemainīsies, ja jebkuras sērijas elementiem pievienos jebkuras paralēlas sērijas elementus, vispirms reizinot ar noteiktu skaitli.

Īpašums 6 tiek plaši izmantots determinantu aprēķināšanai, izmantojot tā saukto efektīvā pasūtījuma samazināšanas metodi. Lietojot šo metodi, ir nepieciešams vienā rindā (vienā rindā vai kolonnā) novest visus elementus, izņemot vienu, līdz nullei. Determinanta elements, kas nav nulle, būs vienāds ar nulli, ja to pieskaita vienāda lieluma, bet pretējas zīmes skaitlim.

Parādīsim ar piemēru, kā tas tiek darīts.

Izmantojot rekvizītus 2 un 6, samaziniet determinantu līdz determinantam, kuram jebkurā rindā ir divas nulles.

Izmantojot īpašību 2, mēs vienkāršojam determinantu, kā kopējos faktorus noņemot 2 no 1. rindas, 4 no 2. rindas un 2 no 3. rindas.

Jo elements A 22 ir vienāds ar nulli, tad, lai atrisinātu problēmu, pietiek ar jebkuru 2. rindas vai 2. kolonnas elementu samazināt līdz nullei. Ir vairāki veidi, kā to izdarīt.

Piemēram, ņemsim elementu A 21 =2 līdz nullei. Lai to izdarītu, pamatojoties uz 6. rekvizītu, reiziniet visu trešo kolonnu ar (-2) un pievienojiet to pirmajai. Veicot šo operāciju, mēs iegūstam

Ir iespējams atcelt elementu A 12 =2, tad otrajā kolonnā iegūsim divus elementus, kas vienādi ar nulli. Lai to izdarītu, jums jāreizina 3. rinda ar (-2) un jāpievieno iegūtās vērtības pirmajai rindai.

Jebkuras kārtas determinanta aprēķins

Noteikums jebkuras kārtas determinanta aprēķināšanai ir balstīts uz Laplasa teorēmu.

Laplasa teorēma

Determinants ir vienāds ar jebkuras rindas (rindas vai kolonnas) elementu pāru reizinājumu summu pēc to algebriskajiem papildinājumiem.

Saskaņā ar šo teorēmu determinantu var aprēķināt, sadalot to pa jebkuras rindas vai jebkuras kolonnas elementiem.

Parasti n-tās kārtas determinantu var paplašināt un aprēķināt šādos veidos:

Aprēķiniet determinantu, izmantojot Laplasa teorēmu, sadalot to 3. rindas elementos un 1. kolonnas elementos.

Mēs aprēķinām determinantu, izvēršot to pa 3. līniju

Aprēķināsim determinantu, izvēršot to virs pirmās kolonnas

Efektīva pasūtījumu samazināšanas metode

Determinanta aprēķināšanas sarežģītība, izmantojot Laplasa teorēmu, būs ievērojami mazāka, ja tā paplašinājumā rindā vai kolonnā ir tikai viens termins. Šāds paplašinājums tiks iegūts, ja rindā (vai kolonnā), pa kuru tiek izvērsts determinants, visi elementi, izņemot vienu, ir vienādi ar nulli. Determinanta elementu “nulles” metode tika apspriesta iepriekš.

Aprēķiniet determinantu, izmantojot efektīvās kārtas samazināšanas metodi.

Jo 3. kārtas determinants, tad “nullē” jebkurus 2 determinanta elementus. Šim nolūkam ir ērti ņemt 2. kolonnu, kuras elements A 22 = - 1. Lai elementam A 21 bija vienāda ar nulli, 1. kolonna jāpievieno 2. kolonnai. Lai elements A 23 bija vienāda ar nulli, jums jāreizina 2. kolonna ar 2 un jāpievieno 3. Pēc šo darbību veikšanas dotais determinants tiek pārveidots par determinantu

Tagad mēs izvēršam šo determinantu pa 2. līniju

Determinanta aprēķinssagriežot to trīsstūra formā

Determinantu, kuram visi elementi virs vai zem galvenās diagonāles ir vienādi ar nulli, sauc par trīsstūra determinantu. Šajā gadījumā determinants ir vienāds ar tā galvenās diagonāles elementu reizinājumu.

Determinanta reducēšana līdz trīsstūrveida formai vienmēr ir iespējama, pamatojoties uz tā īpašībām.

Tiek dots determinants. Samaziniet to līdz trīsstūrveida formai un aprēķiniet.

“Noņemsim nulli”, piemēram, visus elementus, kas atrodas virs galvenās diagonāles. Lai to izdarītu, jums ir jāveic trīs darbības: 1. darbība - pievienojiet pirmo rindu ar pēdējo, mēs iegūstam A 13 = 0. 2. darbība - reizinot pēdējo rindu ar (-2) un saskaitot ar 2., iegūstam A 23 = 0. Šo darbību secīgā izpilde ir parādīta zemāk.

Lai atiestatītu elementu A 12 pievienojiet 1. un 2. rindiņu

Matricas teorijas elementi

Matrica ir skaitļu tabula vai citi elementi, kas satur m līnijas un n kolonnas.

Vispārīgs matricas skats

Matricai, tāpat kā determinantam, ir elementi, kas aprīkoti ar dubultu indeksu. Indeksu nozīme ir tāda pati kā determinantiem.

Ja determinants ir vienāds ar skaitli, tad matrica netiek pielīdzināta nevienam citam vienkāršākam objektam.

Iekavas matricas malās ir tās zīme vai simbols (bet ne taisnās iekavas, kas apzīmē determinantu). Īsuma labad matrica tiek apzīmēta ar lielajiem burtiem A, B, C utt.

Matricai ir izmērs, ko nosaka tās rindu un kolonnu skaits, kas tiek uzrakstīts kā - A m n.

Piemēram, 23. izmēra ciparu matricai ir forma, 31. izmēram ir forma, 14. izmēram ir forma utt.

Matricu, kurā rindu skaits ir vienāds ar kolonnu skaitu, sauc par kvadrātu. Šajā gadījumā, kas attiecas uz determinantiem, mēs runājam par matricas secību.

Piemēram, 3. kārtas skaitliskajai matricai ir forma

Matricu veidi

Matricu, kas sastāv no vienas rindas, sauc par rindu matricu

Matricu, kas sastāv no vienas kolonnas, sauc par kolonnas matricu

Matricu sauc par kvadrātu n-th order, ja tās rindu skaits ir vienāds ar kolonnu skaitu un ir vienāds ar n.

Piemēram, 3. kārtas kvadrātveida matrica.

Diagonālā matrica ir kvadrātveida matrica, kurā visi elementi ir nulle, izņemot tos, kas atrodas galvenajā diagonālē. Galvenā diagonāle ir diagonāle, kas iet no augšējā kreisā stūra uz apakšējo labo stūri.

Piemēram, trešās kārtas diagonālā matrica.

Diagonālo matricu, kuras visi elementi ir vienādi ar vienu, sauc par identitāti un apzīmē ar burtu E vai numur 1

Nulles matrica ir matrica, kurā visi elementi ir vienādi ar nulli.

Augšējā trīsstūrveida matrica ir matrica, kurā visi elementi, kas atrodas zem galvenās diagonāles, ir vienādi ar nulli.

Apakšējā trīsstūrveida matrica ir matrica, kurā visi elementi, kas atrodas virs galvenās diagonāles, ir vienādi ar nulli.

Piemēram

Augšējā trīsstūrveida matrica

Apakšējā trīsstūrveida matrica

Ja matricā A samainot rindas ar kolonnām, iegūstam transponētu matricu, kuru apzīmē ar simbolu A*.

Piemēram, ņemot vērā matricu,

matrica transponēta attiecībā pret to A*

Kvadrātveida matrica A ir determinants, ko apzīmē ar det A(det ir saīsināts franču vārds, kas nozīmē "noteicējs").

Piemēram, matricai A

pierakstām tā noteicēju

Visas darbības ar matricas determinantu ir tādas pašas kā iepriekš aprakstītās.

Matricu, kuras determinants ir vienāds ar nulli, sauc par īpašu, deģenerētu vai vienskaitli. Matricu, kurai tās determinants nav vienāds ar nulli, sauc par nevienskaitli vai nevienskaitli.

savienība vai pievienotā matrica.

Ja dotajai kvadrātmatricai A noteikt visu tā elementu algebriskos papildinājumus un pēc tam tos transponēt, tad šādi iegūtā matrica tiks saukta par sabiedroto vai adjoēto matricai A un ir norādīts ar simbolu A

Matricas atrašanai A.

Matricas determinanta sastādīšana A

Mēs nosakām visu determinanta elementu algebriskos papildinājumus, izmantojot formulu

Transponējot iegūtos algebriskos komplementus, mēs iegūstam sabiedroto vai adjungēto matricu A attiecībā pret doto matricu A.

Darbības uz matricām

Matricas vienlīdzība

Divas matricas A Un IN tiek uzskatīti par vienādiem, ja:

a) tiem abiem ir vienāds izmērs;

b) šo matricu attiecīgie elementi ir vienādi viens ar otru. Atbilstošie elementi ir elementi ar vienādiem indeksiem.

Matricu saskaitīšana un atņemšana

Varat pievienot un atņemt tikai vienas dimensijas matricas. Divu matricu summa (starpība). A Un IN būs trešā matrica AR, kuras elementi AR ij vienāds ar atbilstošo matricas elementu summu (starpību). A Un IN. Saskaņā ar definīciju matricas elementi AR ir saskaņā ar noteikumu.

Piemēram, ja

Matricu summas (starpības) jēdziens attiecas uz jebkuru ierobežotu skaitu matricu. Šajā gadījumā matricu summa atbilst šādiem likumiem:

a) komutatīva A + B = B + A;

b) asociatīvs AR + (A + B) = (B + C)+ A.

Matricas reizināšana ar skaitli.

Lai reizinātu matricu ar skaitli, katrs matricas elements jāreizina ar šo skaitli.

Sekas. Visu matricas elementu kopējo faktoru var izņemt no matricas zīmes.

Piemēram, .

Kā redzat, matricu pievienošanas, atņemšanas un matricas reizināšanas ar skaitli darbības ir līdzīgas darbībām ar skaitļiem. Matricas reizināšana ir īpaša darbība.

Divu matricu reizinājums.

Ne visas matricas var reizināt. Divu matricu reizinājums A Un IN norādītajā secībā A IN iespējams tikai tad, ja kolonnu skaits ir pirmais faktors A vienāds ar otrā faktora rindu skaitu IN.

Piemēram, .

Matricas izmērs A 33, matricas izmērs IN 23.Darbs A IN neiespējami, darbs IN A Var būt.

Divu matricu A un B reizinājums ir trešā matrica C, kuras elements C ij ir vienāds ar pirmā faktora i-tās rindas un otrā faktora j-tās kolonnas elementu pāru reizinājumu summu. faktors.

Tika parādīts, ka šajā gadījumā ir iespējama matricu reizinājums IN A

No divu matricu reizinājuma pastāvēšanas noteikuma izriet, ka divu matricu reizinājums vispārējā gadījumā nepakļaujas komutatīvajam likumam, t.i. A IN? IN A. Ja konkrētā gadījumā izrādās, ka A B = B A, tad šādas matricas sauc par maināmām vai komutatīvām.

Matricas algebrā divu matricu reizinājums var būt nulles matrica pat tad, ja neviena no faktoru matricām nav nulle, pretēji parastajai algebrai.

Piemēram, atradīsim matricu reizinājumu A IN, Ja

Varat reizināt vairākas matricas. Ja jūs varat reizināt matricas A, IN un šo matricu reizinājumu var reizināt ar matricu AR, tad ir iespējams sastādīt produktu ( A IN) AR Un A(IN AR). Šajā gadījumā reizināšanas kombinācijas likums notiek ( A IN) AR = A(IN AR).

apgrieztā matrica

Ja divas matricas A Un IN vienāda izmēra, un to produktu A IN ir identitātes matrica E, tad matricu B sauc par A apgriezto un apzīmē A -1 , t.i. A A -1 = E.

apgrieztā matrica A -1 vienāds ar savienības matricas attiecību A uz matricas determinantu A

No tā ir skaidrs, ka, lai pastāvētu apgrieztā matrica A -1 ir nepieciešams un pietiekami, lai matrica det A? 0, t.i., lai matrica A nebija deģenerēts.

Matricas atrašanai A -1 .

Matricas determinanta vērtības noteikšana A

Jo det A? 0, pastāv apgrieztā matrica. Piemērā 2.1. noteiktam determinantam tika atrasta sabiedrotā matrica

A-prioritāte

Matricas rangs

Vairāku matemātisko un lietišķo problēmu risināšanai un izpētei svarīgs ir matricas ranga jēdziens.

Apsveriet matricu A Izmērs m n

Izvēlieties nejauši matricā Ak līnijas un k kolonnas. Elementi, kas atrodas atlasīto rindu un kolonnu krustpunktā, veido kvadrātveida matricu k- pēc tāda pasūtījuma. Šīs matricas noteicēju sauc par mazo k-matricas A secība. Izvēlieties k līnijas un k kolonnas var izmantot dažādos veidos, kā rezultātā rodas dažādi nepilngadīgie k- pēc tāda pasūtījuma. Pirmās kārtas nepilngadīgie ir paši elementi. Acīmredzot lielākais iespējamais nepilngadīgo skaits ir vienāds ar mazāko no skaitļiem m Un n. Starp izveidotajiem dažādu kārtu nepilngadīgajiem būs tādi, kas ir vienādi ar nulli un nav vienādi ar nulli.

Augstākā matricas, kas nav nulles, secība A sauc par matricas rangu.

Matricas rangs A apzīmē ar rangu A vai r( A).

Ja matricas rangs A vienāds r, tad tas nozīmē, ka matricai ir mazākā secība, kas nav nulle r, bet katrs nepilngadīgais ir lielākas kārtības nekā r vienāds ar nulli.

No matricas ranga definīcijas izriet, ka:

a) matricas rangs A m n nepārsniedz mazāko no saviem izmēriem, t.i. r(A) ? min(m, n);

b) r(A) = 0 tad un tikai tad, ja visi matricas elementi ir vienādi ar nulli, t.i. A = 0;

c) kvadrātveida matricai n-tais pasūtījums r(A) = n, ja matrica nav vienskaitlī.

Apskatīsim piemēru matricas ranga noteikšanai, izmantojot nepilngadīgo robežu metodi. Tās būtība ir secīgi uzskaitīt matricas minorus un atrast augstākās kārtas, kas nav nulles minora.

Aprēķiniet matricas rangu.

Matricai A 3 4 r(A) ? min (3,4) = 3. Pārbaudīsim, vai matricas rangs ir vienāds ar 3, lai to izdarītu, mēs aprēķinām visus trešās kārtas nepilngadīgos (no tiem ir tikai 4, tos iegūst, izdzēšot vienu no matricas kolonnām).

Tā kā visi trešās kārtas nepilngadīgie ir nulle, r(A) ? 2. Tā kā, piemēram, ir otrās kārtas nulle minora

Tas r(A) = 2.

Jebkuru matricas minoru, kas nav nulle un kuras secība ir vienāda ar tās rangu, tiek saukta par šīs matricas pamata minoru.

Matricai var būt vairāk nekā viena pamata minora, bet vairākas. Tomēr visu bāzes nepilngadīgo kārtas ir vienādas un vienādas ar matricas pakāpi.

Rindas un kolonnas, kas veido mazo pamatu, sauc par bāzi.

Katra matricas rinda (kolonna) ir pamata rindu (kolonnu) lineāra kombinācija.

Līdzīgi dokumenti

Otrās kārtas determinantu jēdziens un būtība. Divu lineāru vienādojumu sistēmas pamatu apsvēršana divos nezināmajos. N-tās kārtas determinantu un to aprēķināšanas metožu izpēte. n lineāru vienādojumu sistēmas ar n nezināmajiem pazīmes.

prezentācija, pievienota 14.11.2014


Otrās un trešās kārtas noteicēji. Permutācijas un aizstāšanas. Nepilngadīgie un algebriskie papildinājumi. Metožu pielietošana determinanta reducēšanai līdz trīsstūrveida formai, determinanta attēlošanai kā determinantu summai un lineāro faktoru izdalīšanai.

kursa darbs, pievienots 19.07.2013


Matricas jēdziens un lineāras darbības uz tām. Matricas saskaitīšanas darbības īpašības. Otrās un trešās kārtas noteicēji. Sarrusa noteikuma piemērošana. Determinantu risināšanas pamatmetodes. Elementārās matricas transformācijas. Apgrieztās matricas īpašības.

apmācība, pievienota 03.04.2010


Lineārās algebras uzdevumi un metodes. Determinantu īpašības un to aprēķināšanas secība. Apgrieztās matricas atrašana, izmantojot Gausa metodi. Aprēķinu algoritma izstrāde programmā Pascal ABC determinantu aprēķināšanai un apgrieztās matricas atrašanai.

kursa darbs, pievienots 01.02.2013


Determinantu jēdziens un mērķis, to vispārīgie raksturojumi, aprēķina metodes un īpašības. Matricas algebra. Lineāro vienādojumu sistēmas un to atrisināšana. Vektoru algebra, tās likumi un principi. Šķērsprodukta īpašības un pielietojums.

tests, pievienots 01.04.2012


Lineārās algebras elementi. Matricu veidi un darbības ar tām. Matricu determinantu īpašības un to aprēķināšana. Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana matricas formā, izmantojot Krāmera formulas un Gausa metodi. Diferenciālrēķina un integrālrēķina elementi.

pamācība, pievienota 06.11.2011


Skaitlis, kas raksturo kvadrātveida matricu. Matricas pirmās un otrās kārtas determinanta aprēķins. Izmantojot trīsstūra noteikumu. Kāda determinanta elementa algebriskais papildinājums. Divu determinanta rindu vai kolonnu pārkārtošana.

prezentācija, pievienota 21.09.2013


Matricas ranga jēdziens. Ļeontjeva diversificētas ekonomikas modelis. Skalārā reizinājuma īpašības. Vektora sadalīšana pa koordinātu asīm. Mazais un algebriskais papildinājums. Otrās un trešās kārtas noteicēji. Plakne un taisna līnija telpā.

lekciju kurss, pievienots 30.10.2013


Determinantu teorija P. Laplasa, O. Košī un K. Džeikobi darbos. Otrās kārtas determinanti un divu lineāru vienādojumu sistēmas divos nezināmajos. Trešās kārtas determinanti un determinantu īpašības. Vienādojumu sistēmas atrisināšana, izmantojot Krāmera likumu.

prezentācija, pievienota 31.10.2016


Otrās un trešās kārtas determinanti, determinantu īpašības. Divi veidi, kā aprēķināt trešās kārtas determinantu. Dekompozīcijas teorēma. Krāmera teorēma, kas sniedz praktisku veidu, kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas, izmantojot determinantus.

Otrās un trešās kārtas noteicēji.

Tiek izsaukti skaitļi m un n izmēriem matricas.

Matricu sauc kvadrāts, ja m = n. Šajā gadījumā tiek izsaukts skaitlis n kārtībā kvadrātveida matrica.

Katru kvadrātveida matricu var saistīt ar skaitli, kas tiek unikāli noteikts, izmantojot visus matricas elementus. Šo skaitli sauc par determinantu.

Otrās kārtas noteicējs ir skaitlis, kas iegūts, izmantojot 2. kārtas kvadrātmatricas elementus šādi: .

Šajā gadījumā no to elementu reizinājuma, kas atrodas tā sauktajā matricas galvenajā diagonālē (no augšējā kreisā stūra uz apakšējo labo stūri), tiek atņemts to elementu reizinājums, kas atrodas otrajā jeb sekundārajā diagonālē. .

Trešās kārtas determinants ir skaitlis, kas noteikts, izmantojot 3. kārtas kvadrātveida matricas elementus šādi:

komentēt. Lai atvieglotu šīs formulas iegaumēšanu, varat izmantot tā saukto Cramer (trijstūri) likumu. Tas ir šādi: elementi, kuru produkti ir iekļauti determinantā ar “+” zīmi, ir sakārtoti šādi:

Veidojot divus trīsstūrus, simetriski galvenajai diagonālei. Elementi, kuru produkti ir iekļauti determinantā ar “-” zīmi, atrodas līdzīgi attiecībā pret sekundāro diagonāli:

14. Kārtības noteicēji. (augstākas kārtas noteicošie faktori)

Determinants n matricai atbilstošā secībā n'n, numuru sauc:

Pamatmetodes determinantu aprēķināšanai:

1) Pasūtījuma samazināšanas metode Noteicošais faktors ir balstīts uz attiecībām: (1)

Kur sauc par th elementa algebrisko papildinājumu. Nepilngadīga th elementu sauc par determinantu n-1 secība, kas iegūta no sākotnējā noteicēja, dzēšot i-tā līnija un j kolonnā.

Attiecību (1) sauc par determinanta paplašināšanu i- tā līnija. Līdzīgi mēs varam uzrakstīt determinanta paplašinājumu gar kolonnu:

Teorēma: Vienādība ir spēkā jebkurai kvadrātmatricai ,

kur un ir Kronecker simbols

2) Reducēšanas metode līdz trīsstūrveida formai ir balstīta uz determinantu septīto īpašību.

Piemērs: Aprēķiniet determinantu: atņemiet pirmo rindu no visām pārējām.

3) Atkārtošanās attiecību metode ļauj izteikt doto determinantu ar tāda paša veida, bet zemākas kārtas determinantu.

Permutācijas, inversijas.

Jebkurš skaitļu 1, 2, ... izkārtojums, n kādā noteiktā secībā, saukta pārkārtošanās no n rakstzīmes (cipari).

Vispārīgs permutācijas skats: .

Neviens no tiem permutācijā nenotiek divas reizes.

Permutāciju sauc pat , ja tā elementi veido pāra skaitu inversiju, un nepāra citādi.

Skaitļi k un p permutācijā ir inversija (traucējums), ja k > p, bet k šajā permutācijā ir pirms p.

Trīs permutāciju īpašības.

1. īpašums: Dažādu permutāciju skaits ir vienāds ar ( , skan: " n faktoriāls").

Pierādījums. Permutāciju skaits sakrīt ar veidu, kādos var izveidot dažādas permutācijas. Sastādot permutācijas kā j 1 varat ņemt jebkuru no skaitļiem 1, 2, ..., n, ko dod n iespējas. Ja j 1 jau ir atlasīts, pēc tam kā j 2 varat paņemt vienu no atlikušajiem n– 1 cipari un to veidu skaits, ko varat izvēlēties j 1 un j 2 būs vienādi utt. Permutācijas pēdējo numuru var izvēlēties tikai vienā veidā, kas dod veidus un līdz ar to arī permutācijas.

2. īpašums: Katra transponēšana maina permutācijas paritāti.

Pierādījums.1. gadījums. Transponētie skaitļi atrodas permutācijā viens otram blakus, t.i. tas izskatās (..., k,lpp, ...), šeit elipse (...) iezīmē skaitļus, kas transponēšanas laikā paliek savās vietās. Transponēšana pārvērš to par formas permutāciju (..., lpp, k,...). Šajās permutācijās katrs no skaitļiem k,R veic tādas pašas inversijas, skaitļiem paliekot vietā. Ja skaitļi k Un lpp iepriekš nav apkopojuši inversijas (t.i. k < R), tad jaunajā permutācijā parādīsies vēl viena inversija un inversiju skaits palielināsies par vienu; ja k Un R veidoja inversiju, tad pēc transponēšanas inversiju skaits samazināsies par vienu. Jebkurā gadījumā permutācijas paritāte mainās.

3. īpašums: Pārkārtojot, determinants maina zīmi.

17. Determinantu īpašības: transponētās matricas determinants, rindu maiņa determinantā, matricas determinants ar identiskām rindām.

1. īpašums. Transponēšanas laikā determinants nemainās, t.i.

Pierādījums.

komentēt. Tālāk norādītās determinantu īpašības tiks formulētas tikai virknēm. Turklāt no rekvizīta 1 izriet, ka kolonnām būs tādas pašas īpašības.

6. īpašums. Pārkārtojot divas determinanta rindas, to reizina ar –1.

Pierādījums.

4. īpašums. Determinants ar divām vienādām virknēm ir 0:

Pierādījums:

18. Determinantu īpašības: determinanta sadalīšanās virknē.

Nepilngadīga determinanta elements ir determinants, kas iegūts no dotā elementa, izsvītrojot rindu un kolonnu, kurā parādās atlasītais elements.

Apzīmējums: izvēlētais determinanta elements, tā minoritāte.

Piemērs. Priekš

Algebriskais papildinājums determinanta elementu sauc par tā minoru, ja šī elementa i+j indeksu summa ir pāra skaitlis, vai skaitli, kas ir pretējs mazajam, ja i+j ir nepāra, t.i.

Apsvērsim citu veidu, kā aprēķināt trešās kārtas determinantus - tā saukto rindas vai kolonnas paplašināšanu. Lai to izdarītu, mēs pierādām šādu teorēmu:

Teorēma: Determinants ir vienāds ar jebkuras tā rindas vai kolonnas elementu un to algebrisko papildinājumu reizinājumu summu, t.i.: kur i=1,2,3.

Pierādījums.

Pierādīsim teorēmu determinanta pirmajai rindai, jo jebkurai citai rindai vai kolonnai var veikt līdzīgu spriešanu un iegūt tādu pašu rezultātu.

Atradīsim pirmās rindas elementu algebriskos papildinājumus:

Šo īpašību varat pierādīt pats, salīdzinot vienādības kreisās un labās puses vērtības, kas atrastas, izmantojot definīciju 1.5.

45. vidusskola.

Maskavas pilsēta.

“B” 10. klases skolnieks Gorohovs Jevgeņijs

Kursa darbs (melnraksts).

Ievads matricu un determinantu teorijā .

1996. gads

1. Matricas.

1.1. Matricas jēdziens.

Matrica ir taisnstūrveida skaitļu tabula, kas satur noteiktu daudzumu m līnijas un noteiktu skaitu n kolonnas. Skaitļi m Un n tiek saukti pasūtījumus matricas. Ja m = n , matricu sauc par kvadrātu un skaitli m = n - viņa kārtībā .

1.2. Pamatoperācijas ar matricām.

Pamata aritmētiskās darbības ar matricām ir matricas reizināšana ar skaitli, matricu saskaitīšana un reizināšana.

Pāriesim pie pamatoperāciju definēšanas ar matricām.

Matricas pievienošana : divu matricu summa, piemēram: A Un B , kurā ir vienāds rindu un kolonnu skaits, citiem vārdiem sakot, vienādas secības m Un n sauc par matricu C = ( AR ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) tie paši pasūtījumi m Un n , elementi Cij kas ir vienādi.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Lai apzīmētu divu matricu summu, tiek izmantots apzīmējums C = A + B. Summēšanas matricu darbību sauc par to papildinājums

Tātad pēc definīcijas mums ir:

+ =

=

No matricu summas definīcijas vai precīzāk no formulas ( 1.2 ) no tā uzreiz izriet, ka matricu saskaitīšanas darbībai ir tādas pašas īpašības kā reālu skaitļu saskaitīšanas darbībai, proti:

komutatīvais īpašums: A + B = B + A

apvienojot īpašumu: (A + B) + C = A + (B + C)

Šīs īpašības ļauj neuztraukties par matricas terminu secību, pievienojot divas vai vairākas matricas.

Matricas reizināšana ar skaitli :

Matricas produkts uz reālu skaitli sauc par matricu C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , kuras elementi ir vienādi

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Lai apzīmētu matricas un skaitļa reizinājumu, tiek izmantots apzīmējums C= A vai C=A . Darbību, kurā matricas reizinājumu veido ar skaitli, sauc par matricas reizināšanu ar šo skaitli.

Tieši no formulas ( 1.3 ) ir skaidrs, ka matricas reizināšanai ar skaitli ir šādas īpašības:

sadales īpašība attiecībā uz matricu summu:

( A + B) = A+ B

asociatīvā īpašība attiecībā uz skaitlisko faktoru:

( ) A= ( A)

sadales īpašība attiecībā uz skaitļu summu:

( + ) A= A + A .

komentēt : Divu matricu atšķirība A Un B identisku secību ir dabiski saukt šādu matricu C vienādas kārtas, kuras summējot ar matricu B dod matricu A . Lai apzīmētu atšķirību starp divām matricām, tiek izmantots dabisks apzīmējums: C = A – B.

Matricas reizināšana :

Matricas produkts A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , kuru pasūtījumi ir attiecīgi vienādi m Un n , uz matricu B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , kuru pasūtījumi ir attiecīgi vienādi n Un lpp , sauc par matricu C= (AR ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , kuru pasūtījumi ir attiecīgi vienādi m Un lpp , un elementi Cij , kas definēts pēc formulas

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Lai apzīmētu matricas reizinājumu A uz matricu B izmantot ierakstu

C=AB . Matricas produkta sastādīšanas darbība A uz matricu B sauca reizināšana šīs matricas. No iepriekš formulētās definīcijas izriet, ka matrica A nevar reizināt ar nevienu matricu B : ir nepieciešams, lai matricas kolonnu skaits A bija vienāds matricas rindu skaits B . Lai abiem darbiem AB Un BA. bija ne tikai definētas, bet arī bija vienāda secība, ir nepieciešams un pietiekams, ka abas matricas A Un B bija tādas pašas kārtas kvadrātveida matricas.

Formula ( 1.4 ) ir matricas elementu sastādīšanas noteikums C ,

kas ir matricas reizinājums A uz matricu B . Šo noteikumu var formulēt mutiski: Elements Cij , stāvot krustojumā i rinda un j- matricas kolonna C=AB , ir vienāds atbilstošo elementu pāru reizinājumu summa i rinda matricas A Un j- matricas kolonna B . Kā šī noteikuma piemērošanas piemēru mēs piedāvājam formulu otrās kārtas kvadrātveida matricu reizināšanai

=

No formulas ( 1.4 ) seko šādas matricas produkta īpašības: A uz matricu B :

asociatīvais īpašums: ( AB)C = A(BC);

sadales īpašība attiecībā uz matricu summu:

(A + B) C = AC + BC vai A (B + C) = AB + AC.

Ir jēga izvirzīt jautājumu par matricu reizinājuma permutācijas īpašību tikai tādas pašas kārtas kvadrātveida matricām. To parāda elementāri piemēri divu vienādas kārtas kvadrātmatricu reizinājumiem, vispārīgi runājot, nav komutācijas īpašības. Patiesībā, ja mēs ieliekam

A= , B = , Tas AB = , A BA =

Parasti tiek izsauktas tās pašas matricas, kurām reizinājumam ir komutācijas īpašība pārvietošanās uz darbu.

Starp kvadrātveida matricām mēs izceļam tā saukto klasi diagonāli matricas, no kurām katrā ir elementi, kas atrodas ārpus galvenās diagonāles, kas vienādi ar nulli. Starp visām diagonālajām matricām ar elementiem, kas sakrīt galvenajā diagonālē, divām matricām ir īpaši svarīga loma. Pirmo no šīm matricām iegūst, ja visi galvenās diagonāles elementi ir vienādi ar vienu, un to sauc par identitātes matricu n- E . Otro matricu iegūst, ja visi elementi ir vienādi ar nulli, un to sauc par nulles matricu n- secībā un tiek apzīmēts ar simbolu O . Pieņemsim, ka pastāv patvaļīga matrica A , Tad

AE=EA=A , AO=OA=O .

Pirmā no formulām raksturo identitātes matricas īpašo lomu E , līdzīgi kā skaitļa lomai 1 reizinot reālos skaitļus. Kas attiecas uz nulles matricas īpašo lomu PAR , tad to atklāj ne tikai otrā no formulām, bet arī elementāra pārbaudāma vienādība: A+O=O+A=A . Nulles matricas jēdzienu var ieviest nevis kvadrātveida matricām.

2. Noteicošie faktori.

2.1. Determinanta jēdziens.

Pirmkārt, jāatceras, ka determinanti pastāv tikai kvadrātveida matricām, jo ​​cita veida matricām determinantu nav. Lineāro vienādojumu sistēmu teorijā un dažos citos jautājumos ir ērti izmantot šo jēdzienu noteicējs , vai noteicējs .

2.2. Determinantu aprēķins.

Apsveriet jebkurus četrus skaitļus, kas rakstīti matricas formā divi rindās un katrs divas kolonnas , Noteicējs vai noteicējs , kas sastāv no cipariem šajā tabulā, ir skaitlis ad-bc , apzīmē šādi: . Tādu determinantu sauc otrās kārtas noteicējs , jo tās sastādīšanai tika ņemta divu rindu un divu kolonnu tabula. Skaitļus, kas veido determinantu, sauc par tā elementi ; tajā pašā laikā viņi saka, ka elementi a Un d meikaps galvenā diagonāle determinants un elementi b Un c viņa sānu diagonāle . Redzams, ka determinants ir vienāds ar elementu pāru reizinājumu starpību, kas atrodas tā galvenajā un sekundārajā diagonālē. Trešās un jebkuras citas kārtas determinants ir aptuveni vienāds, proti: Pieņemsim, ka mums ir kvadrātveida matrica . Šādas matricas determinants ir šāda izteiksme: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31. . Kā redzat, tas tiek aprēķināts diezgan viegli, ja atceraties noteiktu secību. Ar pozitīvu zīmi ir galvenā diagonāle un no elementiem veidoti trijstūri, kuriem ir mala, kas ir paralēla galvenajai diagonālei, šajā gadījumā tie ir trīsstūri a12a23a31 , a13a21a32 .

Sānu diagonālei un tai paralēlajiem trijstūriem ir negatīva zīme, t.i. a11a23a32 , a12a21a33 . Tādā veidā var atrast jebkuras kārtas noteicējus. Bet ir gadījumi, kad šī metode kļūst diezgan sarežģīta, piemēram, ja matricā ir daudz elementu, un, lai aprēķinātu determinantu, jums jātērē daudz laika un uzmanības.

Ir vienkāršāks veids, kā aprēķināt determinantu n- ak pasūtījums, kur n 2 . Vienosimies jebkuru elementu saukt par nepilngadīgu Aij matricas n- pirmās kārtas determinants, kas atbilst matricai, kas tiek iegūta no matricas dzēšanas rezultātā i rinda un j- kolonna (tā rinda un kolonna, kuras krustpunktā atrodas elements Aij ). Nepilngadīgais elements Aij mēs apzīmēsim ar simbolu . Šajā apzīmējumā augšējais indekss apzīmē rindas numuru, apakšējais indekss apzīmē kolonnas numuru un augšējo joslu M nozīmē, ka norādītā rinda un kolonna ir izsvītrotas. Kārtības noteicējs n , kas atbilst matricai, mēs saucam skaitli, kas vienāds ar un apzīmē ar simbolu .

Teorēma 1.1 Neatkarīgi no rindas numura i ( i = 1, 2…, n) , par noteicēju n- ir derīga pirmās kārtas formula

= det A =

sauca es- rinda . Mēs uzsveram, ka šajā formulā eksponents, līdz kuram tiek paaugstināts skaitlis (-1), ir vienāds ar to rindu un kolonnu skaitļu summu, kuru krustpunktā elements atrodas Aij .

Teorēma 1.2 Neatkarīgi no kolonnas numura j ( j = 1, 2…, n) , par noteicēju n ir derīga pasūtījuma formula

= det A =

sauca šī noteicošā faktora paplašināšana j- kolonna .

2.3. Determinantu pamatīpašības.

Determinantiem ir arī īpašības, kas atvieglo to aprēķināšanu. Tātad tālāk mēs nosakām vairākas īpašības, kas piemīt patvaļīgam determinantam n -tais pasūtījums.

1 . Rindas-kolonnas vienlīdzības rekvizīts . Transponēšana jebkuras matricas vai determinanta ir darbība, kuras rezultātā rindas un kolonnas tiek apmainītas, saglabājot to secību. Matricas transponēšanas rezultātā A iegūto matricu sauc par matricu, ko sauc par transponētu attiecībā pret matricu A un ir norādīts ar simbolu A .

Determinanta pirmā īpašība tiek formulēta šādi: transponēšanas laikā tiek saglabāta determinanta vērtība, t.i. = .

2 . Antisimetrijas īpašība, pārkārtojot divas rindas (vai divas kolonnas) . Ja tiek apmainītas divas rindas (vai divas kolonnas), determinants saglabā savu absolūto vērtību, bet maina zīmi uz pretējo. Otrās kārtas determinantam šo īpašību var pārbaudīt elementāri (no otrās kārtas determinanta aprēķināšanas formulas uzreiz izriet, ka determinanti atšķiras tikai pēc zīmes).

3 . Determinanta lineārā īpašība. Mēs teiksim, ka kāda virkne ( a) ir lineāra kombinācija no pārējām divām virknēm ( b Un c ) ar koeficientiem Un . Lineāro īpašību var formulēt šādi: ja determinantā n -tais pasūtījums daži i Rinda ir lineāra divu rindu kombinācija ar koeficientiem Un , Tas = + , Kur

– noteicējs, kam ir i Rinda ir vienāda ar vienu no divām lineārās kombinācijas rindām, un visas pārējās rindas ir tādas pašas kā , A - noteicējs, kam ir es- i virkne ir vienāda ar otro no divām virknēm, un visas pārējās virknes ir tādas pašas kā .

Šīs trīs īpašības ir galvenās determinanta īpašības, kas atklāj tā būtību. Šīs piecas īpašības ir loģiskas sekas trīs galvenās īpašības.

Secinājums 1. Determinants ar divām identiskām rindām (vai kolonnām) ir vienāds ar nulli.

Secinājums 2. Visu determinanta rindas (vai kolonnas) elementu reizināšana ar skaitli a ir līdzvērtīgs determinanta reizināšanai ar šo skaitli a . Citiem vārdiem sakot, determinanta noteiktas rindas (vai kādas kolonnas) visu elementu kopējo faktoru var izņemt no šī determinanta zīmes.

Secinājums 3. Ja visi noteiktas rindas (vai kādas kolonnas) elementi ir vienādi ar nulli, tad pats determinants ir vienāds ar nulli.

Secinājums 4. Ja determinanta divu rindu (vai divu kolonnu) elementi ir proporcionāli, tad determinants ir vienāds ar nulli.

Secinājums 5. Ja noteiktas determinanta rindas (vai kādas kolonnas) elementiem pievienojam atbilstošos citas rindas (citas kolonnas) elementus, reizina ar patvaļīgu koeficientu , tad determinanta vērtība nemainās. Secinājums 5, tāpat kā lineārā īpašība, pieļauj vispārīgāku formulējumu, ko es došu virknēm: ja noteiktas determinanta rindas elementiem pievienojam atbilstošos virknes elementus, kas ir vairāku citu rindu lineāra kombinācija. šī determinanta (ar jebkuriem koeficientiem), tad determinanta vērtība nemainīsies . 5. secinājums tiek plaši izmantots konkrētu determinantu aprēķināšanā.

3. Lineāro vienādojumu sistēmas.

3.1. Pamatdefinīcijas.

…….

3.2. Lineāro vienādojumu sistēmu savietojamības nosacījums.

…….

3.3. Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ar Krāmera metodi.

Ir zināms, ka, izmantojot matricas, mēs varam atrisināt dažādas vienādojumu sistēmas, un šīs sistēmas var būt jebkura izmēra un ar jebkādu mainīgo skaitu. Ar dažiem atvasinājumiem un formulām milzīgu vienādojumu sistēmu risināšana kļūst diezgan ātra un vienkāršāka.

Jo īpaši es aprakstīšu Krāmera un Gausa metodes. Vienkāršākais veids ir Cramer metode (man), vai, kā to sauc arī, Cramer formula. Tātad, pieņemsim, ka mums ir kāda vienādojumu sistēma . Galvenais noteicošais faktors, kā jūs jau pamanījāt, ir matrica, ko veido mainīgo lielumu koeficienti. Tie parādās arī kolonnu secībā, t.i., pirmajā kolonnā ir atrodami koeficienti x , otrajā ailē plkst y , un tā tālāk. Tas ir ļoti svarīgi, jo turpmākajās darbībās katru mainīgā lieluma koeficientu kolonnu aizstāsim ar vienādojuma atbilžu kolonnu. Tātad, kā jau teicu, mēs aizstājam kolonnu pie pirmā mainīgā ar atbilžu kolonnu, tad otrajā, protams, viss ir atkarīgs no tā, cik mainīgo mums jāatrod.

1 = , 2 = , 3 = .

Tad jums ir jāatrod noteicošie faktori sistēmas noteicējs .

3.4. Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ar Gausa metodi.

…….

4. Apgrieztā matrica.

4.1. Inversās matricas jēdziens.

4.2. Apgrieztās matricas aprēķins.

Bibliogrāfija.

V. A. Iļjins, E. G. Pozņaks “Lineārā algebra”

2. G. D. Kims, E. V. Šikins “Elementārās transformācijas lineārajā algebrā”

1. tēma. Matricas un matricas determinanti

Ko mēs mācāmies:

Lineārās algebras pamatjēdzieni: matrica, determinants.

Ko mēs iemācīsimies:

Veikt darbības ar matricām;

Aprēķināt ar otrās un trešās kārtas determinantiem.

Tēma 1.1. Matricas jēdziens. Darbības uz matricām

∆ Matrica ir taisnstūrveida tabula, kas sastāv no rindām un kolonnām, kas piepildīta ar dažiem matemātiskiem objektiem.

Matricas apzīmē ar lielajiem latīņu burtiem, pati tabula ir likta iekavās (retāk kvadrātā vai citās formās).

Elementi A ij sauca matricas elementi . Pirmais indekss i– rindas numurs, otraisj- kolonnas numurs. Visbiežāk elementi ir skaitļi.

Ieraksts "matrica" A ir izmērs m× n» nozīmē, ka mēs runājam par matricu, kas sastāv nom līnijas un n kolonnas.

Ja m = 1, a n > 1, tad matrica irmatrica - rinda . Ja m > 1, a n = 1, tad matrica irmatrica - kolonna .

Matrica, kurā rindu skaits sakrīt ar kolonnu skaitu (m= n), sauca kvadrāts .

.

Elementi a 11 , a 22 ,…, a nn kvadrātveida matricaA (Izmērs n× n) formā galvenā diagonāle , elementi a 1 n , a 2 n -1 ,…, a n 1 - sānu diagonāle .

Matricā
elementi 5; 7 veido galveno diagonāli, elementi –5; 8 – sānu diagonāle.

Matricas A Un B tiek saukti vienāds (A= B), ja tiem ir vienāds izmērs un to elementi vienādās pozīcijās sakrīt, t.i.A ij = b ij .

Identitātes matrica ir kvadrātveida matrica, kurā galvenās diagonāles elementi ir vienādi ar vienu, bet pārējie elementi ir vienādi ar nulli. Identitātes matricu parasti apzīmē ar E.

Matrica transponēts uz A izmēra matricum× n, sauc par matricu A T izmērs n× m, iegūts no matricas A, ja tās rindas ir ierakstītas kolonnās, bet kolonnas - rindās.

Aritmētiskās darbības ar matricām.

Atrast matricu summa A Un B vienādas dimensijas, ir jāpievieno elementi ar vienādiem indeksiem (stāv vienādās vietās):

.

Matricas pievienošana ir komutatīva, tas ir, A + B = B + A.

Atrast matricas atšķirība A Un B vienādas dimensijas, ir jāatrod atšķirība elementiem ar vienādiem indeksiem:

.

Uz reizināšanas matrica Auz numuru k, Katrs matricas elements jāreizina ar šo skaitli:

.

Darbs matricas AB var definēt tikai matricāmA Izmērs m× n Un B Izmērs n× lpp, t.i. matricas kolonnu skaitsA jābūt vienādam ar matricas rindu skaituIN. Kurā A· B= C, matrica C ir izmērs m× lpp, un tā elements c ij tiek atrasts kā skalārs produktsith matricas rindas A ieslēgts jth matricas kolonnaB: ( i=1,2,…, m; j=1,2,…, lpp).

!! Patiesībā katra rinda ir vajadzīga matricas A (stāvu pa kreisi) reiziniet skalāri ar katru matricas kolonnu B (stāv labajā pusē).

Matricu reizinājums nav komutatīvs, tas irА·В ≠ В·А . ▲

☺ Ir nepieciešams analizēt piemērus, lai konsolidētu teorētisko materiālu.

Piemērs 1. Matricu lieluma noteikšana.

2. piemērs. Matricas elementu definīcija.

Matricas elementā A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

Matricas elementā A 21 = 2, A 13 = 0.

3. piemērs: matricas transponēšanas veikšana.

,

4. piemērs. Darbību veikšana ar matricām.

Atrast 2 A- B, Ja , .

Risinājums. .

Piemērs 5. Atrodiet matricu reizinājumu Un .

Risinājums. Matricas izmērsA – 3 × 2 , matricas IN – 2 × 2 . Tāpēc produktsA·B jūs varat to atrast. Mēs iegūstam:

Darbs VA nevar atrast.

Piemērs 6. Atrast A 3 ja A =
.

Risinājums. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

6. piemērs. Atrodiet 2 A 2 + 3 A + 5 E plkst
,
.

Risinājums. ,

,
,

,
.

Uzdevumi, kas jāizpilda

1. Aizpildiet tabulu.

2. Veikt darbības ar matricām
Un
:

3. Veikt matricas reizināšanu:

4. Transponēt matricas:

? 1. Kas ir matrica?

2. Kā atšķirt matricu no citiem lineārās algebras elementiem?

3. Kā noteikt matricas izmēru? Kāpēc tas ir vajadzīgs?

4. Ko nozīmē ieraksts? A ij ?

5. Sniedziet skaidrojumu šādiem jēdzieniem: matricas galvenā diagonāle, sekundārā diagonāle.

6. Kādas darbības var veikt ar matricām?

7. Izskaidrojiet matricas reizināšanas darbības būtību?

8. Vai var reizināt jebkuru matricu? Kāpēc?

Tēma 1.2. Otrās un trešās kārtas determinanti : m metodes to aprēķināšanai

∆ Ja A ir kvadrātmatrica n-th order, tad mēs varam saistīt ar to numuru sauc noteicējs n-tā kārtība un apzīmē ar |A|. Tas ir, determinants ir uzrakstīts kā matrica, bet iekavu vietā tas ir ievietots taisnās iekavās.

!! Dažreiz noteicējus sauc par determinantiem angļu valodā, tas ir = det A.

1. kārtas noteicējs (lieluma matricas A determinants1 × 1 ) ir pats elements, ko satur matrica A, tas ir.

2. kārtas noteicējs (matricas determinants Izmērs 2 × 2 ) ir skaitlis, ko var atrast, izmantojot kārtulu:

(matricas galvenās diagonāles elementu reizinājums mīnus elementu reizinājums sekundārajā diagonālē).

3. kārtas noteicējs (matricas determinants Izmērs 3 × 3 ) ir skaitlis, ko var atrast, izmantojot “trijstūri” noteikumu:

Lai aprēķinātu 3. kārtas determinantus, var izmantot vienkāršāku noteikumu – virzienu (paralēlu līniju) likumu.

Norādes noteikums : Ar pirmajām divām kolonnām pievieno determinanta tiesības, elementu reizinājumus galvenajā diagonālē un tai paralēlajās diagonālēs ņem ar plus zīmi; un sekundārās diagonāles un tai paralēlo diagonāļu elementu reizinājumi ir ar mīnusa zīmi.

!! Lai aprēķinātu determinantus, varat izmantot to īpašības, kas ir derīgas jebkuras kārtas determinantiem.

Determinantu īpašības:

1° . Matricas A determinants transponēšanas laikā nemainās, t.i. |A| = |A T |. Šī īpašība raksturo rindu un kolonnu vienādību.

2° . Pārkārtojot divas rindas (divas kolonnas), determinants saglabā savu iepriekšējo vērtību, bet zīme tiek apgriezta.

4° . Ja kāda rinda vai kolonna satur kopīgu faktoru, tad to var izņemt no noteicošās zīmes.

Secinājums 4.1. Ja jebkuras determinanta sērijas visi elementi ir vienādi ar nulli, tad determinants ir vienāds ar nulli.

Secinājums 4.2. Ja jebkuras determinanta sērijas elementi ir proporcionāli tai paralēlas sērijas atbilstošajiem elementiem, tad determinants ir vienāds ar nulli.▲

☺ Ir nepieciešams analizēt determinantu aprēķināšanas noteikumus.

1. piemērs: aprēķinsotrās kārtas noteicošie faktori,
.

Risinājums.

45. vidusskola.

Maskavas pilsēta.

“B” 10. klases skolnieks Gorohovs Jevgeņijs

Kursa darbs (melnraksts).

Ievads matricu un determinantu teorijā .

1. Matricas.................................................. ...................................................... ............................................................ ..............................

1.1 Matricas jēdziens.................................................. ...................................................... ...................................................

1.2 Pamatoperācijas ar matricām................................................ ...................................................... ..............

2. Noteicošie faktori................................................. ...................................................... ............................................................ ........

2.1 Determinanta jēdziens................................................ ...................................................... ..........................................

2.2 Determinantu aprēķins.................................................. ...................................................... ...........................

2.3 Determinantu pamatīpašības................................................ ...................................................... ..............

3. Lineāro vienādojumu sistēmas................................................ ...................................................... ..............

3.1 Pamatdefinīcijas................................................ ...................................................... ......................................

3.2. Konsekvences nosacījums lineāro vienādojumu sistēmām................................................... ......................................

3.3 Lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšana, izmantojot Krāmera metodi................................................ ......................................

3.4. Lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšana, izmantojot Gausa metodi................................................ ........................

4. Apgrieztā matrica.................................................. ...................................................... ...................................................

4.1. Inversās matricas jēdziens................................................ ...................................................... ..............................

4.2. Apgrieztās matricas aprēķins................................................ ...................................................... ..........................

Bibliogrāfija................................................. .................................................. ......................................

Matrica ir taisnstūrveida skaitļu tabula, kas satur noteiktu daudzumu m līnijas un noteiktu skaitu n kolonnas. Skaitļi m Un n tiek saukti pasūtījumus matricas. Ja m = n , matricu sauc par kvadrātu un skaitli m = n -- viņu kārtībā .

Pamata aritmētiskās darbības ar matricām ir matricas reizināšana ar skaitli, matricu saskaitīšana un reizināšana.

Pāriesim pie pamatoperāciju definēšanas ar matricām.

Matricas pievienošana: divu matricu summa, piemēram: A Un B , kurā ir vienāds rindu un kolonnu skaits, citiem vārdiem sakot, vienādas secības m Un n sauc par matricu C = ( AR ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) tie paši pasūtījumi m Un n , elementi Cij kas ir vienādi.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Lai apzīmētu divu matricu summu, tiek izmantots apzīmējums C = A + B. Summēšanas matricu darbību sauc par to papildinājums

Tātad pēc definīcijas mums ir:

+ =

=

No matricu summas definīcijas vai precīzāk no formulas ( 1.2 ) no tā uzreiz izriet, ka matricu saskaitīšanas darbībai ir tādas pašas īpašības kā reālu skaitļu saskaitīšanas darbībai, proti:

1) komutatīvais īpašums: A + B = B + A

2) apvienojot īpašumu: (A + B) + C = A + (B + C)

Šīs īpašības ļauj neuztraukties par matricas terminu secību, pievienojot divas vai vairākas matricas.

Matricas reizināšana ar skaitli :

Matricas produkts reālu skaitli sauc par matricu C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , kuras elementi ir vienādi

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Lai apzīmētu matricas un skaitļa reizinājumu, tiek izmantots apzīmējums C= A vai C=A . Darbību, kurā matricas reizinājumu veido ar skaitli, sauc par matricas reizināšanu ar šo skaitli.

Tieši no formulas ( 1.3 ) ir skaidrs, ka matricas reizināšanai ar skaitli ir šādas īpašības:

1) sadales īpašība attiecībā uz matricu summu:

( A + B) = A+ B

2) asociatīvā īpašība attiecībā uz skaitlisko faktoru:

() A= ( A)

3) sadales īpašība attiecībā uz skaitļu summu:

( + ) A= A + A .

komentēt :Divu matricu atšķirība A Un B identisku secību ir dabiski saukt šādu matricu C vienādas kārtas, kuras summējot ar matricu B dod matricu A . Lai apzīmētu atšķirību starp divām matricām, tiek izmantots dabisks apzīmējums: C = A – B.

Matricas reizināšana :

Matricas produkts A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , kuru pasūtījumi ir attiecīgi vienādi m Un n , uz matricu B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , kuru pasūtījumi ir attiecīgi vienādi n Un lpp , sauc par matricu C= (AR ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , kuru pasūtījumi ir attiecīgi vienādi m Un lpp , un elementi Cij , kas definēts pēc formulas

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Lai apzīmētu matricas reizinājumu A uz matricu B izmantot ierakstu

C=AB . Matricas produkta sastādīšanas darbība A uz matricu B sauca reizināšanašīs matricas. No iepriekš formulētās definīcijas izriet, ka matrica A nevar reizināt ar nevienu matricu B : ir nepieciešams, lai matricas kolonnu skaits A bija vienāds matricas rindu skaits B . Lai abiem darbiem AB Un BA. bija ne tikai definētas, bet arī bija vienāda secība, ir nepieciešams un pietiekams, ka abas matricas A Un B bija tādas pašas kārtas kvadrātveida matricas.

Formula ( 1.4 ) ir matricas elementu sastādīšanas noteikums C ,

kas ir matricas reizinājums A uz matricu B . Šo noteikumu var formulēt mutiski: Elements Cij , stāvot krustojumā i rinda un j- matricas kolonna C=AB , ir vienāds atbilstošo elementu pāru reizinājumu summa i rinda matricas A Un j- matricas kolonna B . Kā šī noteikuma piemērošanas piemēru mēs piedāvājam formulu otrās kārtas kvadrātveida matricu reizināšanai

No formulas ( 1.4 ) seko šādas matricas produkta īpašības: A uz matricu B :

1) asociatīvais īpašums: ( AB)C = A(BC);

2) sadales īpašība attiecībā uz matricu summu:

(A + B) C = AC + BC vai A (B + C) = AB + AC.

Ir jēga izvirzīt jautājumu par matricu reizinājuma permutācijas īpašību tikai tādas pašas kārtas kvadrātveida matricām. Elementāri piemēri parāda, ka divu vienādas kārtas kvadrātveida matricu reizinājumam, vispārīgi runājot, nav komutācijas īpašības. Patiesībā, ja mēs ieliekam

A = , B = , Tas AB = , A BA =

Parasti tiek izsauktas tās pašas matricas, kurām reizinājumam ir komutācijas īpašība pārvietošanās uz darbu.

Starp kvadrātveida matricām mēs izceļam tā saukto klasi diagonāli matricas, no kurām katrā ir elementi, kas atrodas ārpus galvenās diagonāles, kas vienādi ar nulli. Starp visām diagonālajām matricām ar elementiem, kas sakrīt galvenajā diagonālē, divām matricām ir īpaši svarīga loma. Pirmo no šīm matricām iegūst, ja visi galvenās diagonāles elementi ir vienādi ar vienu, un to sauc par identitātes matricu n- E . Otro matricu iegūst, ja visi elementi ir vienādi ar nulli, un to sauc par nulles matricu n- secībā un tiek apzīmēts ar simbolu O . Pieņemsim, ka pastāv patvaļīga matrica A , Tad

AE=EA=A , AO=OA=O .

Pirmā no formulām raksturo identitātes matricas īpašo lomu E, līdzīgi kā skaitļa lomai 1 reizinot reālos skaitļus. Kas attiecas uz nulles matricas īpašo lomu PAR, tad to atklāj ne tikai otrā no formulām, bet arī elementāra pārbaudāma vienādība: A+O=O+A=A . Nulles matricas jēdzienu var ieviest nevis kvadrātveida matricām.

Pirmkārt, jāatceras, ka determinanti pastāv tikai kvadrātveida matricām, jo ​​cita veida matricām determinantu nav. Lineāro vienādojumu sistēmu teorijā un dažos citos jautājumos ir ērti izmantot šo jēdzienu noteicējs, vai noteicējs .

Apskatīsim jebkurus četrus skaitļus, kas ierakstīti matricas formā divi rindās un divas kolonnas , Noteicējs vai noteicējs, kas sastāv no cipariem šajā tabulā, ir skaitlis ad-bc , apzīmē šādi: .Tādu noteicēju sauc otrās kārtas noteicējs, jo tās sastādīšanai tika ņemta divu rindu un divu kolonnu tabula. Skaitļus, kas veido determinantu, sauc par tā elementi; tajā pašā laikā viņi saka, ka elementi a Un d meikaps galvenā diagonāle determinants un elementi b Un c viņa sānu diagonāle. Redzams, ka determinants ir vienāds ar elementu pāru reizinājumu starpību, kas atrodas tā galvenajā un sekundārajā diagonālē. Trešās un jebkuras citas kārtas determinants ir aptuveni vienāds, proti: Pieņemsim, ka mums ir kvadrātveida matrica . Šādas matricas determinants ir šāda izteiksme: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31. . Kā redzat, tas tiek aprēķināts diezgan viegli, ja atceraties noteiktu secību. Ar pozitīvu zīmi ir galvenā diagonāle un no elementiem veidoti trijstūri, kuriem ir mala, kas ir paralēla galvenajai diagonālei, šajā gadījumā tie ir trīsstūri a12a23a31, a13a21a32 .

Sānu diagonālei un tai paralēlajiem trijstūriem ir negatīva zīme, t.i. a11a23a32 , a12a21a33 . Tādā veidā var atrast jebkuras kārtas noteicējus. Bet ir gadījumi, kad šī metode kļūst diezgan sarežģīta, piemēram, ja matricā ir daudz elementu, un, lai aprēķinātu determinantu, jums jātērē daudz laika un uzmanības.

Ir vienkāršāks veids, kā aprēķināt determinantu n- ak pasūtījums, kur n2 . Vienosimies jebkuru elementu saukt par nepilngadīgu Aij matricas n- pirmās kārtas determinants, kas atbilst matricai, kas tiek iegūta no matricas dzēšanas rezultātā i rinda un j- kolonna (tā rinda un kolonna, kuras krustpunktā atrodas elements Aij ). Nepilngadīgais elements Aij tiks apzīmēts ar simbolu . Šajā apzīmējumā augšējais indekss apzīmē rindas numuru, apakšējais indekss apzīmē kolonnas numuru un augšējo joslu M nozīmē, ka norādītā rinda un kolonna ir izsvītrotas. Kārtības noteicējs n , kas atbilst matricai, mēs saucam skaitli, kas vienāds ar un apzīmē ar simbolu .

Teorēma 1.1 Neatkarīgi no rindas numura i ( i = 1, 2…, n) , par noteicēju n- ir derīga pirmās kārtas formula

= det A =

sauca es- rinda . Mēs uzsveram, ka šajā formulā eksponents, līdz kuram tiek paaugstināts skaitlis (-1), ir vienāds ar to rindu un kolonnu skaitļu summu, kuru krustpunktā elements atrodas Aij .

Teorēma 1.2 Neatkarīgi no kolonnas numura j ( j = 1, 2…, n) , par noteicēju n ir derīga pasūtījuma formula

= det A =

sauca šī noteicošā faktora paplašināšana j- kolonna .

Determinantiem ir arī īpašības, kas atvieglo to aprēķināšanu. Tātad tālāk mēs nosakām vairākas īpašības, kas piemīt patvaļīgam determinantam n -tais pasūtījums.

1. Rindas-kolonnas vienlīdzības rekvizīts . Transponēšana jebkuras matricas vai determinanta ir darbība, kuras rezultātā rindas un kolonnas tiek apmainītas, saglabājot to secību. Matricas transponēšanas rezultātā A iegūto matricu sauc par matricu, ko sauc par transponētu attiecībā pret matricu A un ir norādīts ar simbolu A .

Determinanta pirmo īpašību formulē šādi: transponējot tiek saglabāta determinanta vērtība, t.i., = .

2. Antisimetrijas īpašība, pārkārtojot divas rindas (vai divas kolonnas). Ja tiek apmainītas divas rindas (vai divas kolonnas), determinants saglabā savu absolūto vērtību, bet maina zīmi uz pretējo. Otrās kārtas determinantam šo īpašību var pārbaudīt elementāri (no otrās kārtas determinanta aprēķināšanas formulas uzreiz izriet, ka determinanti atšķiras tikai pēc zīmes).

3. Determinanta lineārā īpašība. Mēs teiksim, ka kāda virkne ( a) ir lineāra kombinācija no pārējām divām virknēm ( b Un c ) ar koeficientiem un . Lineāro īpašību var formulēt šādi: ja determinantā n kāds pasūtījums i Rinda ir divu rindu lineāra kombinācija ar koeficientiem un , tad = + , kur

- noteicējs, kam ir i Rinda ir vienāda ar vienu no divām lineārās kombinācijas rindām, un visas pārējās rindas ir tādas pašas kā , a ir noteicošais faktors, kuram es- i virkne ir vienāda ar otro no divām virknēm, un visas pārējās virknes ir tādas pašas kā .

Šīs trīs īpašības ir galvenās determinanta īpašības, kas atklāj tā būtību. Šīs piecas īpašības ir loģiskas sekas trīs galvenās īpašības.

Secinājums 1. Determinants ar divām identiskām rindām (vai kolonnām) ir vienāds ar nulli.

Secinājums 2. Visu determinanta rindas (vai kolonnas) elementu reizināšana ar skaitli a ir līdzvērtīgs determinanta reizināšanai ar šo skaitli a . Citiem vārdiem sakot, determinanta noteiktas rindas (vai kādas kolonnas) visu elementu kopējo faktoru var izņemt no šī determinanta zīmes.

Secinājums 3. Ja visi noteiktas rindas (vai kādas kolonnas) elementi ir vienādi ar nulli, tad pats determinants ir vienāds ar nulli.

Secinājums 4. Ja determinanta divu rindu (vai divu kolonnu) elementi ir proporcionāli, tad determinants ir vienāds ar nulli.

Secinājums 5. Ja noteiktas determinanta rindas (vai kādas kolonnas) elementiem pievienojam citas rindas (citas kolonnas) atbilstošos elementus, reizinot ar patvaļīgu koeficientu , tad determinanta vērtība nemainās. Secinājums 5, tāpat kā lineārā īpašība, pieļauj vispārīgāku formulējumu, ko es došu virknēm: ja noteiktas determinanta rindas elementiem pievienojam atbilstošos virknes elementus, kas ir vairāku citu rindu lineāra kombinācija. šī determinanta (ar jebkuriem koeficientiem), tad determinanta vērtība nemainīsies . 5. secinājums tiek plaši izmantots konkrētu determinantu aprēķināšanā.

Ir zināms, ka, izmantojot matricas, mēs varam atrisināt dažādas vienādojumu sistēmas, un šīs sistēmas var būt jebkura izmēra un ar jebkādu mainīgo skaitu. Ar dažiem atvasinājumiem un formulām milzīgu vienādojumu sistēmu risināšana kļūst diezgan ātra un vienkāršāka.

Jo īpaši es aprakstīšu Krāmera un Gausa metodes. Vienkāršākais veids ir Cramer metode (man), vai, kā to sauc arī, Cramer formula. Tātad, pieņemsim, ka mums ir kāda vienādojumu sistēma

, Matricas formā šo sistēmu var uzrakstīt šādi: A= , kur vienādojumu atbildes būs pēdējā ailē. Tagad mēs iepazīstināsim ar fundamentālā noteicēja jēdzienu; šajā gadījumā tas izskatīsies šādi:

= . Galvenais noteicošais faktors, kā jūs jau pamanījāt, ir matrica, ko veido mainīgo lielumu koeficienti. Tie parādās arī kolonnu secībā, t.i., pirmajā kolonnā ir atrodami koeficienti x , otrajā ailē plkst y , un tā tālāk. Tas ir ļoti svarīgi, jo turpmākajās darbībās katru mainīgā lieluma koeficientu kolonnu aizstāsim ar vienādojuma atbilžu kolonnu. Tātad, kā jau teicu, mēs aizstājam kolonnu pie pirmā mainīgā ar atbilžu kolonnu, tad otrajā, protams, viss ir atkarīgs no tā, cik mainīgo mums jāatrod.

1 = , 2 = , 3 = .

Tad jums jāatrod noteicošie faktori 1, 2, 3. Jūs jau zināt, kā atrast trešās kārtas noteicēju. A Šeit mēs piemērojam Krāmera likumu. Tas izskatās šādi:

x1 = , x2 = , x3 = – šim gadījumam, bet kopumā tas izskatās šādi: x i = . Tiek saukts determinants, kas sastāv no nezināmo faktoru koeficientiem sistēmas noteicējs .

1. V. A. Iļjins, E. G. Pozņaks “Lineārā algebra”

2. G. D. Kims, E. V. Šikins “Elementārās transformācijas lineārajā algebrā”