Aplūkotā diskrēto sadalījumu īpašība rada ievērojamas grūtības, tabulējot un izmantojot šādus sadalījumus, jo nav iespējams precīzi uzturēt sadalījuma raksturlielumu tipiskās skaitliskās vērtības. Jo īpaši tas attiecas uz neparametrisko statistisko testu kritiskajām vērtībām un nozīmīguma līmeņiem (skatīt zemāk), jo šo testu statistikas sadalījums ir diskrēts.

Kvantiļu secībai statistikā ir liela nozīme R= ½. To sauc par mediānu (nejaušs mainīgais X vai tā izplatīšanas funkcija F(x)) un ir norādīts Es (X).Ģeometrijā ir jēdziens “mediāna” - taisna līnija, kas iet caur trijstūra virsotni un sadala tā pretējo malu uz pusēm. Matemātiskajā statistikā mediāna dala uz pusi nevis trijstūra malu, bet gadījuma lieluma sadalījumu: vienādība F(x 0,5)= 0,5 nozīmē, ka varbūtība nokļūt pa kreisi x 0,5 un varbūtība nokļūt pa labi x 0,5(vai tieši uz x 0,5) ir vienādi viens ar otru un vienādi ar ½, t.i.

P(X < x 0,5) = P(X > x 0,5) = ½.

Mediāna norāda sadalījuma "centru". No viena no mūsdienu jēdzieniem - stabilu statistisko procedūru teorijas - viedokļa mediāna ir labāka gadījuma lieluma īpašība nekā matemātiskā cerība. Apstrādājot mērījumu rezultātus kārtas skalā (skat. nodaļu par mērījumu teoriju), var izmantot mediānu, bet ne matemātisko cerību.

Nejauša lieluma raksturlielumam, piemēram, režīmam, ir skaidra nozīme - nejauša lieluma vērtība (vai vērtības), kas atbilst nepārtraukta nejauša lieluma varbūtības blīvuma lokālajam maksimumam vai diskrēta gadījuma lieluma varbūtības lokālajam maksimumam. .

Ja x 0– nejauša lieluma režīms ar blīvumu f(x), tad, kā zināms no diferenciālrēķina, .

Nejaušam mainīgajam var būt vairāki režīmi. Tātad vienmērīgam sadalījumam (1) katrs punkts X tāds, ka a< x < b , ir mode. Tomēr šis ir izņēmums. Lielākajai daļai nejaušo mainīgo lielumu, ko izmanto varbūtības statistiskajās lēmumu pieņemšanas metodēs un citos lietišķajos pētījumos, ir viens veids. Nejaušus lielumus, blīvumus, sadalījumus, kuriem ir viens režīms, sauc par unimodāliem.

Matemātiskās cerības diskrētiem gadījuma lielumiem ar ierobežotu vērtību skaitu ir apskatītas nodaļā “Notikumi un varbūtības”. Nepārtrauktam nejaušam mainīgajam X paredzamā vērtība M(X) apmierina vienlīdzību

kas ir formulas (5) analogs no nodaļas “Notikumi un varbūtības” 2. apgalvojuma.

5. piemērs. Vienmērīgi sadalīta gadījuma lieluma gaidīšana X vienāds

Šajā nodaļā aplūkotajiem nejaušajiem mainīgajiem ir patiesas visas tās matemātisko gaidu un dispersiju īpašības, kas tika aplūkotas iepriekš diskrētiem gadījuma mainīgajiem ar ierobežotu vērtību skaitu. Taču mēs nesniedzam šo īpašību pierādījumus, jo tās prasa iedziļināšanos matemātiskajos smalkumos, kas nav nepieciešams varbūtības-statistisko lēmumu pieņemšanas metožu izpratnei un kvalificētai pielietošanai.

komentēt.Šī mācību grāmata apzināti izvairās no matemātiskām smalkumiem, kas jo īpaši saistīti ar izmērāmu kopu un izmērāmu funkciju jēdzieniem, notikumu algebru utt. Tiem, kas vēlas apgūt šos jēdzienus, vajadzētu pievērsties specializētajai literatūrai, jo īpaši enciklopēdijai.

Katrs no trim raksturlielumiem - matemātiskā prognoze, mediāna, režīms - apraksta varbūtības sadalījuma “centru”. Jēdzienu "centrs" var definēt dažādi – tātad trīs dažādas īpašības. Tomēr svarīgai sadalījumu klasei — simetriskai unimodālai — visi trīs raksturlielumi sakrīt.

Izplatības blīvums f(x)– simetriskā sadalījuma blīvums, ja ir skaitlis x 0 tāds, ka

. (3)

Vienādība (3) nozīmē, ka funkcijas grafiks y = f(x) simetrisks attiecībā pret vertikālu līniju, kas iet caur simetrijas centru X = X 0 . No (3) izriet, ka simetriskā sadalījuma funkcija apmierina attiecību

(4)

Simetriskam sadalījumam ar vienu režīmu matemātiskā cerība, mediāna un režīms sakrīt un ir vienādi x 0.

Vissvarīgākais gadījums ir simetrija ap 0, t.i. x 0= 0. Tad (3) un (4) kļūst par vienādībām

(6)

attiecīgi. Iepriekš minētās attiecības parāda, ka nav nepieciešams tabulēt simetriskus sadalījumus visiem X, pietiek ar galdiņiem x > x 0.

Atzīmēsim vēl vienu simetrisko sadalījumu īpašību, kas pastāvīgi tiek izmantota varbūtības-statistiskajās lēmumu pieņemšanas un citos lietišķajos pētījumos. Nepārtrauktas izplatīšanas funkcijai

P(|X| < a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

Kur F– gadījuma lieluma sadalījuma funkcija X. Ja sadales funkcija F ir simetrisks ap 0, t.i. formula (6) tam ir derīga, tad

P(|X| < a) = 2F(a) – 1.

Bieži tiek izmantots cits attiecīgā apgalvojuma formulējums: ja

.

Ja un ir sadalījuma funkcijas kārtas un attiecīgi (sk. (2)) kvantiles, kas ir simetriskas ap 0, tad no (6) izriet, ka

No pozīcijas pazīmēm - matemātiskā gaida, mediāna, režīms - pāriesim pie nejaušā lieluma izplatības pazīmēm X: dispersija, standartnovirze un variācijas koeficients v. Diskrētu gadījuma lielumu dispersijas definīcija un īpašības tika apskatītas iepriekšējā nodaļā. Nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem

Standarta novirze ir dispersijas kvadrātsaknes nenegatīvā vērtība:

Variācijas koeficients ir standarta novirzes attiecība pret matemātisko cerību:

Variācijas koeficients tiek piemērots, kad M(X)> 0. Tas mēra starpību relatīvās vienībās, bet standarta novirze ir absolūtās vienībās.

6. piemērs. Vienmērīgi sadalītam gadījuma mainīgajam X Noskaidrosim dispersiju, standartnovirzi un variācijas koeficientu. Atšķirība ir:

Mainot mainīgo, ir iespējams rakstīt:

Kur c = (b – a)/ 2. Tāpēc standarta novirze ir vienāda ar un variācijas koeficients ir:

Katram nejaušam mainīgajam X noteikt vēl trīs daudzumus - centrēts Y, normalizēts V un dots U. Centrēts nejaušais mainīgais Y ir atšķirība starp doto nejaušo mainīgo X un tās matemātiskās cerības M(X), tie. Y = X – M(X). Centrēta gadījuma mainīgā gaidīšana Y ir vienāds ar 0, un dispersija ir dotā nejaušā mainīgā lieluma dispersija: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). Sadales funkcija F Y(x) centrēts nejaušais mainīgais Y kas saistīti ar sadales funkciju F(x) sākotnējais nejaušais mainīgais X attiecība:

F Y(x) = F(x + M(X)).

Šo nejaušo mainīgo blīvums apmierina vienādību

f Y(x) = f(x + M(X)).

Normalizēts gadījuma lielums V ir dotā nejaušā mainīgā lieluma attiecība X līdz tās standarta novirzei, t.i. . Normalizēta gadījuma lieluma gaidas un dispersija V izteikts ar raksturlielumiem X Tātad:

,

Kur v– sākotnējā gadījuma lieluma variācijas koeficients X. Izplatīšanas funkcijai F V(x) un blīvums f V(x) normalizēts gadījuma mainīgais V mums ir:

Kur F(x) – sākotnējā gadījuma lieluma sadalījuma funkcija X, A f(x) – tā varbūtības blīvums.

Samazināts nejaušības lielums U ir centrēts un normalizēts gadījuma mainīgais:

.

Dotajam gadījuma mainīgajam

Normalizētie, centrētie un samazinātie nejaušie mainīgie tiek pastāvīgi izmantoti gan teorētiskajos pētījumos, gan algoritmos, programmatūras produktos, normatīvajā, tehniskajā un instrukciju dokumentācijā. Jo īpaši tāpēc, ka vienlīdzība ļauj vienkāršot metožu pamatojumu, teorēmu un aprēķinu formulu formulēšanu.

Tiek izmantotas nejaušo mainīgo transformācijas un vispārīgākas. Tātad ja Y = aX + b, Kur a Un b– tad daži skaitļi

7. piemērs. Ja tad Y ir reducētais gadījuma lielums, un formulas (8) pārvēršas formulās (7).

Ar katru nejaušo mainīgo X jūs varat saistīt daudzus nejaušus mainīgos Y, kas norādīts pēc formulas Y = aX + b dažādos a> 0 un b. Šo komplektu sauc mēroga maiņu ģimene, ko ģenerē nejaušais mainīgais X. Sadales funkcijas F Y(x) veido skalas nobīdes sadalījumu saimi, ko ģenerē sadalījuma funkcija F(x). Tā vietā Y = aX + b bieži izmanto ierakstīšanu

Numurs Ar tiek saukts par maiņas parametru un skaitli d- mēroga parametrs. Formula (9) to parāda X– noteikta daudzuma mērīšanas rezultāts – ieiet U– tā paša daudzuma mērīšanas rezultāts, ja mērīšanas sākumu pārceļ uz punktu Ar, un pēc tam izmantojiet jauno mērvienību, in d reizes lielāks nekā vecais.

Mēroga nobīdes saimei (9) X sadalījumu sauc par standarta. Lēmumu pieņemšanas un citu lietišķo pētījumu varbūtības statistiskajās metodēs tiek izmantots standarta normālais sadalījums, Veibula-Gņedenko standarta sadalījums, standarta gamma sadalījums utt. (skatīt zemāk).

Tiek izmantotas arī citas nejaušo mainīgo transformācijas. Piemēram, pozitīvam gadījuma mainīgajam X apsver Y= baļķis X, kur lg X– skaitļa decimāllogaritms X. Vienlīdzības ķēde

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

savieno sadales funkcijas X Un Y.

Apstrādājot datus, tiek izmantoti šādi gadījuma lieluma raksturlielumi X kā kārtības mirkļi q, t.i. nejauša lieluma matemātiskās cerības Xq, q= 1, 2, ... Tādējādi pati matemātiskā gaida ir secības moments 1. Diskrētam gadījuma mainīgajam secības moments q var aprēķināt kā

Nepārtrauktam nejaušam mainīgajam

Kārtības mirkļi q sauc arī par sākotnējiem kārtības brīžiem q, atšķirībā no radniecīgām īpašībām - centrālajiem kārtības momentiem q, dots pēc formulas

Tātad dispersija ir 2. kārtas centrālais moments.

Normālais sadalījums un centrālās robežas teorēma. Varbūtības-statistiskajās lēmumu pieņemšanas metodēs mēs bieži runājam par normālo sadalījumu. Dažreiz viņi mēģina to izmantot, lai modelētu sākotnējo datu sadalījumu (šie mēģinājumi ne vienmēr ir pamatoti - skatīt zemāk). Vēl svarīgāk ir tas, ka daudzas datu apstrādes metodes ir balstītas uz faktu, ka aprēķināto vērtību sadalījums ir tuvu normālam.

Ļaujiet X 1 , X 2 ,…, Xn M(X i) = m un dispersijas D(X i) = , i = 1, 2,…, n,... Kā izriet no iepriekšējās nodaļas rezultātiem,

Apsveriet samazināto gadījuma mainīgo U n par summu , proti,

Kā izriet no formulas (7), M(U n) = 0, D(U n) = 1.

(par identiski izplatītiem terminiem). Ļaujiet X 1 , X 2 ,…, Xn, … – neatkarīgi identiski sadalīti gadījuma lielumi ar matemātiskām cerībām M(X i) = m un dispersijas D(X i) = , i = 1, 2,…, n,... Tad jebkuram x ir limits

Kur F(x)– standarta normālā sadalījuma funkcija.

Vairāk par funkciju F(x) – zemāk (lasiet “phi no x”, jo F- grieķu lielais burts "phi").

Centrālā robežu teorēma (CLT) ir ieguvusi savu nosaukumu, jo tā ir galvenais, visbiežāk izmantotais varbūtību teorijas un matemātiskās statistikas matemātiskais rezultāts. CLT vēsture ilgst aptuveni 200 gadus – no 1730. gada, kad angļu matemātiķis A. Moivrs (1667-1754) publicēja pirmos ar CLT saistītos rezultātus (skat. tālāk par Moivra-Laplasa teorēmu), līdz gada divdesmitajiem un trīsdesmitajiem gadiem. divdesmitais gadsimts, kad soms Dž. Lindebergs, francūzis Pols Levijs (1886-1971), dienvidslāvs V. Fellers (1906-1970), krievs A.Ya. Khinchin (1894-1959) un citi zinātnieki ieguva nepieciešamos un pietiekamus nosacījumus klasiskās centrālās robežu teorēmas derīgumam.

Apskatāmās tēmas attīstība ar to neapstājās - viņi pētīja nejaušos lielumus, kuriem nav dispersijas, t.i. tie, kuriem

(akadēmiķis B.V. Gņedenko u.c.), situācija, kad tiek summēti nejauši mainīgie (precīzāk, nejaušības elementi), kam ir sarežģītāks raksturs par skaitļiem (akadēmiķi Ju.V. Prohorovs, A.A. Borovkovs un viņu domubiedri) utt. .d.

Sadales funkcija F(x) tiek dota ar vienlīdzību

,

kur ir standarta normālā sadalījuma blīvums, kuram ir diezgan sarežģīta izteiksme:

.

Šeit =3,1415925… ir ģeometrijā zināms skaitlis, kas vienāds ar apkārtmēra attiecību pret diametru, e = 2,718281828... - naturālo logaritmu bāze (lai atcerētos šo skaitli, lūdzu, ņemiet vērā, ka 1828. gads ir rakstnieka L.N. Tolstoja dzimšanas gads). Kā zināms no matemātiskās analīzes,

Apstrādājot novērojumu rezultātus, normālā sadalījuma funkcija netiek aprēķināta, izmantojot dotās formulas, bet tiek atrasta, izmantojot īpašas tabulas vai datorprogrammas. Labākās “matemātiskās statistikas tabulas” krievu valodā sastādīja PSRS Zinātņu akadēmijas atbilstošie locekļi L.N. Boļševs un Ņ.V. Smirnovs.

Standarta normālā sadalījuma blīvuma forma izriet no matemātiskās teorijas, ko mēs šeit nevaram ņemt vērā, kā arī no CLT pierādījuma.

Ilustrācijai mēs piedāvājam nelielas sadales funkcijas tabulas F(x)(2. tabula) un tās kvantilēm (3. tabula). Funkcija F(x) simetrisks ap 0, kas atspoguļots 2-3 tabulā.

2. tabula.

Standarta normālā sadalījuma funkcija.

Ja nejaušais mainīgais X ir sadales funkcija F(x), Tas M(X) = 0, D(X) = 1. Šis apgalvojums ir pierādīts varbūtības teorijā, pamatojoties uz varbūtības blīvuma veidu. Tas atbilst līdzīgam apgalvojumam par reducētā gadījuma mainīgā lieluma īpašībām U n, kas ir diezgan dabiski, jo CLT norāda, ka ar neierobežotu terminu skaita pieaugumu sadales funkcija U n tiecas uz standarta normālā sadalījuma funkciju F(x), un jebkuram X.

3. tabula.

Standarta normālā sadalījuma kvantiles.

Ieviesīsim normālo sadalījumu saimes jēdzienu. Pēc definīcijas normālais sadalījums ir gadījuma lieluma sadalījums X, kam reducētā gadījuma lieluma sadalījums ir F(x). Kā izriet no sadalījumu skalas nobīdes saimju vispārīgajām īpašībām (skatīt iepriekš), normālais sadalījums ir nejauša lieluma sadalījums

Kur X– gadījuma lielums ar sadalījumu F(X), un m = M(Y), = D(Y). Normāls sadalījums ar nobīdes parametriem m un mērogs parasti ir norādīts N(m, ) (dažreiz tiek izmantots apzīmējums N(m, ) ).

Kā izriet no (8), normālā sadalījuma varbūtības blīvums N(m, ) Tur ir

Normālie sadalījumi veido mēroga nobīdes saimi. Šajā gadījumā mēroga parametrs ir d= 1/ , un maiņas parametrs c = - m/ .

Normālā sadalījuma trešās un ceturtās kārtas centrālajiem momentiem ir spēkā šādas vienādības:

Šīs vienādības veido pamatu klasiskajām metodēm, lai pārbaudītu, vai novērojumi atbilst normālam sadalījumam. Mūsdienās parasti tiek ieteikts pārbaudīt normālu, izmantojot kritēriju WŠapiro - Vilka. Normalitātes pārbaudes problēma ir aplūkota turpmāk.

Ja nejaušie mainīgie X 1 Un X 2 ir izplatīšanas funkcijas N(m 1 , 1) Un N(m 2 , 2) attiecīgi, tad X 1+ X 2 ir sadalījums Tāpēc, ja nejaušie mainīgie X 1 , X 2 ,…, Xn N(m, ) , tad to vidējais aritmētiskais

ir sadalījums N(m, ) . Šīs normālā sadalījuma īpašības pastāvīgi tiek izmantotas dažādās varbūtības un statistiskās lēmumu pieņemšanas metodēs, jo īpaši tehnoloģisko procesu statistiskajā regulēšanā un statistiskajā pieņemšanas kontrolē, pamatojoties uz kvantitatīviem kritērijiem.

Izmantojot normālo sadalījumu, tiek definēti trīs sadalījumi, kurus tagad bieži izmanto statistikas datu apstrādē.

Distribution (chi - square) – gadījuma lieluma sadalījums

kur ir nejaušie mainīgie X 1 , X 2 ,…, Xn neatkarīgi un tiem ir vienāds sadalījums N(0,1). Šajā gadījumā terminu skaits, t.i. n, sauc par hī kvadrāta sadalījuma “brīvības pakāpju skaitu”.

Izplatīšana t Stjudenta t ir gadījuma lieluma sadalījums

kur ir nejaušie mainīgie U Un X neatkarīgs, U ir standarta normālais sadalījums N(0,1) un X– či sadalījums – kvadrāts c n brīvības pakāpes. Kurā n tiek saukts par Studenta sadalījuma “brīvības pakāpju skaitu”. Šo izplatīšanu 1908. gadā ieviesa angļu statistiķis V. Gosets, kurš strādāja alus rūpnīcā. Šajā rūpnīcā ekonomisku un tehnisku lēmumu pieņemšanai tika izmantotas varbūtības un statistikas metodes, tāpēc tās vadība aizliedza V. Gosetam publicēt zinātniskus rakstus ar savu vārdu. Tādā veidā tika aizsargāti komercnoslēpumi un “know-how” V. Gosetas izstrādāto varbūtības un statistikas metožu veidā. Tomēr viņam bija iespēja publicēties ar pseidonīmu "Students". Gosset-Student vēsture liecina, ka vēl simts gadus vadītāji Lielbritānijā apzinājās lielāku varbūtības-statistisko lēmumu pieņemšanas metožu ekonomisko efektivitāti.

Fišera sadalījums ir gadījuma lieluma sadalījums

kur ir nejaušie mainīgie X 1 Un X 2 ir neatkarīgi un tiem ir hī kvadrāta sadalījumi ar brīvības pakāpju skaitu k 1 Un k 2 attiecīgi. Tajā pašā laikā pāris (k 1 , k 2 ) – Fišera sadalījuma “brīvības pakāpju” pāris, proti, k 1 ir skaitītāja brīvības pakāpju skaits, un k 2 – saucēja brīvības pakāpju skaits. Gadījuma lieluma F sadalījums ir nosaukts izcilā angļu statistiķa R. Fišera (1890-1962) vārdā, kurš to aktīvi izmantoja savos darbos.

Hī kvadrāta izteiksmes, Stjudenta un Fišera sadalījuma funkcijas, to blīvumi un raksturlielumi, kā arī tabulas ir atrodamas specializētajā literatūrā (sk., piemēram,).

Kā jau minēts, parastie sadalījumi tagad bieži tiek izmantoti varbūtības modeļos dažādās lietotās jomās. Kāds ir iemesls, kāpēc šī divu parametru sadalījumu saime ir tik plaši izplatīta? To precizē sekojošā teorēma.

Centrālās robežas teorēma(atšķirīgi izplatītiem terminiem). Ļaujiet X 1 , X 2 ,…, Xn,… - neatkarīgi gadījuma mainīgie ar matemātiskām cerībām M(X 1 ), M(X 2 ),…, M(X n), ... un dispersijas D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), ... attiecīgi. Ļaujiet

Pēc tam, ja ir izpildīti noteikti nosacījumi, kas nodrošina kādu no terminiem nelielu ieguldījumu U n,

jebkuram X.

Mēs šeit neformulēsim attiecīgos nosacījumus. Tos var atrast specializētajā literatūrā (sk., piemēram,). "CPT darbības nosacījumu noskaidrošana ir izcilo krievu zinātnieku A. A. Markova (1857-1922) un jo īpaši A. M. Ļapunova (1857-1918) nopelns.

Centrālā robežu teorēma parāda, ka gadījumā, ja mērījuma (novērošanas) rezultāts veidojas daudzu cēloņu ietekmē, katrs no tiem dod tikai nelielu ieguldījumu, un tiek noteikts kopējais rezultāts. aditīvi, t.i. pieskaitot, tad mērījuma (novērošanas) rezultāta sadalījums ir tuvs normālam.

Dažreiz tiek uzskatīts, ka, lai sadalījums būtu normāls, pietiek ar to, ka mērījuma (novērošanas) rezultāts X veidojas daudzu iemeslu ietekmē, no kuriem katram ir neliela ietekme. Tas ir nepareizi. Svarīgi ir tas, kā šie cēloņi darbojas. Ja piedeva, tad X ir aptuveni normāls sadalījums. Ja reizinot(t.i. individuālo cēloņu darbības tiek reizinātas un nesaskaitītas), tad sadale X tuvu ne normālam, bet t.s. logaritmiski normāls, t.i. Nav X, un log X ir aptuveni normāls sadalījums. Ja nav pamata uzskatīt, ka darbojas viens no šiem diviem gala rezultāta veidošanās mehānismiem (vai kāds cits precīzi definēts mehānisms), tad par sadali X neko konkrētu nevar pateikt.

No iepriekš minētā izriet, ka konkrētajā pielietotajā problēmā mērījumu rezultātu (novērojumu) normālums parasti nav nosakāms no vispārīgiem apsvērumiem, tas ir jāpārbauda, ​​izmantojot statistikas kritērijus. Vai arī izmantot neparametriskas statistikas metodes, kas nav balstītas uz pieņēmumiem par mērījumu rezultātu (novērojumu) sadalījuma funkciju piederību vienai vai otrai parametru saimei.

Nepārtrauktas sadales, ko izmanto varbūtības un statistikas lēmumu pieņemšanas metodēs. Papildus skalas nobīdes normālo sadalījumu saimei plaši tiek izmantotas vairākas citas sadalījumu ģimenes - lognormālais, eksponenciālais, Veibula-Gņedenko, gamma sadalījums. Apskatīsim šīs ģimenes.

Izlases vērtība X ir lognormāls sadalījums, ja gadījuma mainīgais Y= baļķis X ir normāls sadalījums. Tad Z= baļķis X = 2,3026…Y ir arī normāls sadalījums N(a 1 ,σ 1), kur ln X- naturālais logaritms X. Lognormālā sadalījuma blīvums ir:

No centrālās robežu teorēmas izriet, ka reizinājums X = X 1 X 2 … Xn neatkarīgi pozitīvi gadījuma mainīgie X i, i = 1, 2,…, n, brīvībā n var tuvināt ar lognormālo sadalījumu. Konkrēti, algu vai ienākumu veidošanās multiplikatīvais modelis liek ieteikt algu un ienākumu sadalījumu tuvināt ar logaritmiski normāliem likumiem. Krievijai šis ieteikums izrādījās pamatots - statistikas dati to apstiprina.

Ir arī citi varbūtības modeļi, kas noved pie lognormālā likuma. Klasisku šāda modeļa piemēru sniedza A. N. Kolmogorovs, kurš no fiziski pamatotas postulātu sistēmas nonāca pie secinājuma, ka daļiņu izmēri, sasmalcinot rūdas, ogļu u.c. lodīšu dzirnavās ir lognormāls sadalījums.

Pāriesim pie citas sadalījumu saimes, kas plaši izmantota dažādās varbūtības-statistiskās lēmumu pieņemšanas un citos lietišķajos pētījumos – eksponenciālo sadalījumu saimei. Sāksim ar varbūtības modeli, kas noved pie šādiem sadalījumiem. Lai to izdarītu, apsveriet "notikumu plūsmu", t.i. notikumu secība, kas notiek viens pēc otra noteiktos laika momentos. Piemēri: zvanu plūsma telefona centrālē; iekārtu bojājumu plūsma tehnoloģiskajā ķēdē; produktu atteices plūsma produkta testēšanas laikā; klientu pieprasījumu plūsma uz bankas filiāli; pircēju plūsma, kas piesakās precēm un pakalpojumiem utt. Notikumu plūsmu teorijā ir spēkā centrālajai robežteorēmai līdzīga teorēma, taču tā nav par gadījuma lielumu summēšanu, bet gan par notikumu plūsmu summēšanu. Mēs uzskatām kopējo plūsmu, kas sastāv no liela skaita neatkarīgu plūsmu, no kurām nevienai nav dominējošas ietekmes uz kopējo plūsmu. Piemēram, zvanu plūsma, kas ienāk telefona centrālē, sastāv no liela skaita neatkarīgu zvanu plūsmu, kas nāk no atsevišķiem abonentiem. Ir pierādīts, ka gadījumā, ja plūsmu raksturlielumi nav atkarīgi no laika, kopējo plūsmu pilnībā raksturo viens skaitlis - plūsmas intensitāte. Kopējai plūsmai ņemiet vērā nejaušo mainīgo X- laika intervāla ilgums starp secīgiem notikumiem. Tās izplatīšanas funkcijai ir forma

(10)

Šo sadalījumu sauc par eksponenciālo sadalījumu, jo formula (10) ietver eksponenciālo funkciju e -λ x. Vērtība 1/λ ir mēroga parametrs. Dažreiz tiek ieviests arī maiņas parametrs Ar, gadījuma lieluma sadalījumu sauc par eksponenciālu X + s, kur sadale X ir dota ar formulu (10).

Eksponenciālie sadalījumi ir īpašs gadījums ts. Veibuls - Gņedenko sadalījumi. Tie ir nosaukti pēc inženiera V. Veibula vārdiem, kurš ieviesa šos sadalījumus noguruma testu rezultātu analīzes praksē, un matemātiķa B. V. Gņedenko (1912-1995), kurš saņēma šādu sadalījumu kā robežas, pētot maksimālo testa rezultātus. Ļaujiet X- nejaušs lielums, kas raksturo produkta, sarežģītas sistēmas, elementa (t.i., resursa, darbības laiku līdz ierobežojošam stāvoklim utt.) darbības ilgumu, uzņēmuma darbības ilgumu vai dzīvas būtnes mūžu utt. Neveiksmes intensitātei ir svarīga loma

(11)

Kur F(x) Un f(x) - gadījuma lieluma sadalījuma funkcija un blīvums X.

Aprakstīsim tipisko atteices līmeņa uzvedību. Visu laika intervālu var iedalīt trīs periodos. Pirmajā no tām funkcija λ(x) ir augstas vērtības un skaidra tendence samazināties (visbiežāk tas samazinās monotoni). To var izskaidrot ar to, ka attiecīgajā partijā ir preces vienības ar acīmredzamiem un slēptiem defektiem, kas izraisa salīdzinoši strauju šo preču vienību atteici. Pirmo periodu sauc par “uzlaušanas periodu” (vai “uzlaušanas periodu”). Uz to parasti attiecas garantijas laiks.

Pēc tam nāk normālas darbības periods, ko raksturo aptuveni nemainīgs un salīdzinoši zems atteices līmenis. Bojājumu raksturs šajā periodā ir pēkšņs (negadījumi, apkalpojošā personāla kļūdas utt.) un nav atkarīgs no izstrādājuma vienības darbības ilguma.

Visbeidzot, pēdējais darbības periods ir novecošanās un nodiluma periods. Bojājumu raksturs šajā periodā ir neatgriezeniskas fizikālās, mehāniskās un ķīmiskās izmaiņas materiālos, kas izraisa pakāpenisku izstrādājuma vienības kvalitātes pasliktināšanos un galīgo bojājumu.

Katram periodam ir sava veida funkcija λ(x). Apskatīsim jaudas atkarību klasi

λ(x) = λ 0bx b -1 , (12)

Kur λ 0 > 0 un b> 0 — daži skaitliski parametri. Vērtības b < 1, b= 0 un b> 1 atbilst atteices veidam attiecīgi iebraukšanas, normālas darbības un novecošanas periodos.

Attiecības (11) ar noteiktu neveiksmju līmeni λ(x)- funkcijas diferenciālvienādojums F(x). No diferenciālvienādojumu teorijas izriet, ka

(13)

Aizstājot (12) ar (13), mēs iegūstam to

(14)

Ar formulu (14) doto sadalījumu sauc par Veibula - Gņedenko sadalījumu. Tāpēc ka

tad no formulas (14) izriet, ka daudzums A, kas norādīts ar formulu (15), ir mēroga parametrs. Dažreiz tiek ieviests arī maiņas parametrs, t.i. Tiek izsauktas Veibula-Gņedenko sadalījuma funkcijas F(x - c), Kur F(x) ir dots ar formulu (14) dažiem λ 0 un b.

Veibula-Gņedenko sadalījuma blīvumam ir forma

(16)

Kur a> 0 - mēroga parametrs, b> 0 — formas parametrs, Ar- maiņas parametrs. Šajā gadījumā parametrs A no formulas (16) ir saistīta ar parametru λ 0 no formulas (14) ar attiecību, kas norādīta formulā (15).

Eksponenciālais sadalījums ir ļoti īpašs Veibula-Gņedenko sadalījuma gadījums, kas atbilst formas parametra vērtībai b = 1.

Veibula-Gņedenko sadalījums tiek izmantots arī tādu situāciju varbūtības modeļu konstruēšanā, kurās objekta uzvedību nosaka “vājākais posms”. Pastāv līdzība ar ķēdi, kuras drošību nosaka saite, kurai ir vismazākā izturība. Citiem vārdiem sakot, ļaujiet X 1 , X 2 ,…, Xn- neatkarīgi identiski sadalīti nejauši mainīgie,

X(1)=min( X 1, X 2,…, X n), X(n)=max( X 1, X 2,…, X n).

Vairākās lietišķās problēmās tām ir svarīga loma X(1) Un X(n) , jo īpaši, pētot noteiktu vērtību maksimālās iespējamās vērtības ("ierakstus"), piemēram, apdrošināšanas maksājumus vai zaudējumus komerciālo risku dēļ, pētot tērauda elastības un izturības robežas, vairākus uzticamības raksturlielumus utt. . Ir parādīts, ka lieliem n sadalījumiem X(1) Un X(n) , kā likums, tos labi apraksta Veibula-Gņedenko sadalījumi. Fundamentāls ieguldījums sadalījumu izpētē X(1) Un X(n) ieguldījis padomju matemātiķis B. V. Gņedenko. V. Veibula, E. Gumbela, V.B darbi veltīti iegūto rezultātu izmantošanai ekonomikā, menedžmentā, tehnoloģijās un citās jomās. Ņevzorova, E.M. Kudlajevs un daudzi citi speciālisti.

Pāriesim pie gamma sadalījumu saimes. Tos plaši izmanto ekonomikā un vadībā, uzticamības un testēšanas teorijā un praksē, dažādās tehnoloģiju jomās, meteoroloģijā u.c. Jo īpaši daudzās situācijās gamma sadalījums ir atkarīgs no tādiem lielumiem kā produkta kopējais kalpošanas laiks, vadošo putekļu daļiņu ķēdes garums, laiks, kad izstrādājums korozijas laikā sasniedz ierobežojošo stāvokli, darbības laiks līdz produktam. k- atteikums, k= 1, 2, … utt. Hronisku slimību pacientu dzīves ilgums un laiks, lai sasniegtu noteiktu efektu ārstēšanas laikā, dažos gadījumos ir gamma sadalījums. Šis sadalījums ir vispiemērotākais, lai raksturotu pieprasījumu krājumu pārvaldības (loģistikas) ekonomiskajos un matemātiskajos modeļos.

Gamma sadalījuma blīvumam ir forma

(17)

Varbūtības blīvumu formulā (17) nosaka trīs parametri a, b, c, Kur a>0, b>0. Kurā a ir formas parametrs, b- mēroga parametrs un Ar- maiņas parametrs. Faktors 1/Γ(a) normalizējas, tas tika ieviests

Šeit Γ(a)- viena no matemātikā izmantotajām īpašajām funkcijām, tā sauktā "gamma funkcija", pēc kuras tiek nosaukts sadalījums, kas dots ar formulu (17),

Pie fiksēta A formula (17) norāda skalas nobīdes sadalījumu saimi, ko ģenerē sadalījums ar blīvumu

(18)

Formas (18) sadalījumu sauc par standarta gamma sadalījumu. To iegūst no formulas (17) plkst b= 1 un Ar= 0.

Īpašs gamma sadalījumu gadījums A= 1 ir eksponenciāli sadalījumi (ar λ = 1/b). Ar dabisko A Un Ar=0 gamma sadalījumus sauc par Erlang sadalījumiem. No dāņu zinātnieka K.A Erlanga (1878-1929), Kopenhāgenas telefonkompānijas darbinieka darbiem, kurš studējis 1908.-1922. telefona tīklu funkcionēšana, sākās rindu teorijas attīstība. Šī teorija nodarbojas ar varbūtības un statistisko sistēmu modelēšanu, kurās tiek apkalpota pieprasījumu plūsma, lai pieņemtu optimālus lēmumus. Erlang sadalījumi tiek izmantoti tajās pašās lietojumprogrammu jomās, kurās tiek izmantoti eksponenciālie sadalījumi. Tas ir balstīts uz šādu matemātisko faktu: k neatkarīgu gadījuma lielumu summa, kas eksponenciāli sadalīti ar vienādiem parametriem λ un Ar, ir gamma sadalījums ar formas parametru a =k, mēroga parametrs b= 1/λ un maiņas parametrs kc. Plkst Ar= 0 mēs iegūstam Erlang sadalījumu.

Ja nejaušais mainīgais X ir gamma sadalījums ar formas parametru A tāds, ka d = 2 a- vesels skaitlis, b= 1 un Ar= 0, tad 2 X ir hī kvadrāta sadalījums ar d brīvības pakāpes.

Izlases vērtība X ar gvmma sadalījumu ir šādas īpašības:

Paredzamā vērtība M(X) =ab + c,

dispersija D(X) = σ 2 = ab 2 ,

Variācijas koeficients

Asimetrija

Pārmērīgs

Normālais sadalījums ir gamma sadalījuma galējs gadījums. Precīzāk, lai Z ir gadījuma lielums ar standarta gamma sadalījumu, ko nosaka formula (18). Tad

jebkuram reālam skaitlim X, Kur F(x)- standarta normālā sadalījuma funkcija N(0,1).

Lietišķajos pētījumos tiek izmantotas arī citas parametriskas sadalījumu ģimenes, no kurām slavenākās ir Pīrsona līkņu sistēma, Edžvorta un Čārljē sērijas. Tie šeit netiek ņemti vērā.

Diskrēts sadalījumi, ko izmanto varbūtības un statistikas lēmumu pieņemšanas metodēs. Visbiežāk tiek izmantotas trīs diskrēto sadalījumu ģimenes – binomiālais, hiperģeometriskais un Puasona, kā arī dažas citas ģimenes – ģeometriskais, negatīvais binomiālais, daudznomas, negatīvais hiperģeometriskais utt.

Kā jau minēts, binomiālais sadalījums notiek neatkarīgos izmēģinājumos, no kuriem katrā ar varbūtību R parādās notikums A. Ja kopējais izmēģinājumu skaits n dots, tad pārbaužu skaits Y, kurā notikums parādījās A, ir binomiāls sadalījums. Binomiālajam sadalījumam varbūtība, ka tas tiks pieņemts kā nejaušs mainīgais, ir Y vērtības y tiek noteikts pēc formulas

Kombināciju skaits no n elementi y, zināms no kombinatorikas. Visiem y, izņemot 0, 1, 2, …, n, mums ir P(Y= y)= 0. Binomiālais sadalījums ar fiksētu izlases lielumu n tiek norādīts ar parametru lpp, t.i. binomiālie sadalījumi veido viena parametra saimi. Tos izmanto izlases pētījumu datu analīzē, jo īpaši patērētāju preferenču izpētē, preču kvalitātes selektīvai kontrolei pēc vienpakāpes kontroles plāniem, pārbaudot indivīdu populācijas demogrāfijā, socioloģijā, medicīnā, bioloģijā u.c. .

Ja Y 1 Un Y 2 - neatkarīgi binomiālie gadījuma lielumi ar vienādu parametru lpp 0 , noteikts no paraugiem ar tilpumiem n 1 Un n 2 attiecīgi, tad Y 1 + Y 2 - binomiāls gadījuma mainīgais ar sadalījumu (19) ar R = lpp 0 Un n = n 1 + n 2 . Šī piezīme paplašina binomiālā sadalījuma pielietojamību, ļaujot apvienot vairāku testu grupu rezultātus, ja ir pamats uzskatīt, ka visām šīm grupām atbilst viens un tas pats parametrs.

Binoma sadalījuma raksturlielumi tika aprēķināti agrāk:

M(Y) = n.p., D(Y) = n.p.( 1- lpp).

Sadaļā "Notikumi un varbūtības" ir pierādīts lielo skaitļu likums binomiālam nejaušam mainīgajam:

jebkuram. Izmantojot centrālo robežu teorēmu, lielo skaitļu likumu var precizēt, norādot, cik Y/ n atšķiras no R.

De Moivre-Laplasa teorēma. Jebkuriem cipariem a un b, a< b, mums ir

Kur F(X) ir standarta normālā sadalījuma funkcija ar matemātisko cerību 0 un dispersiju 1.

Lai to pierādītu, pietiek izmantot attēlojumu Y neatkarīgu gadījuma lielumu summas veidā, kas atbilst atsevišķu testu rezultātiem, formulas par M(Y) Un D(Y) un centrālā robežu teorēma.

Šī teorēma ir paredzēta šim gadījumam R= ½ 1730. gadā pierādīja angļu matemātiķis A. Moivrs (1667-1754). Iepriekš minētajā formulējumā to 1810. gadā pierādīja franču matemātiķis Pjērs Saimons Laplass (1749 - 1827).

Hiperģeometriskais sadalījums notiek selektīvās kontroles laikā ierobežotai objektu kopai ar tilpumu N saskaņā ar alternatīvu kritēriju. Katrs kontrolētais objekts tiek klasificēts vai nu kā atribūts A vai kam nav šīs īpašības. Hiperģeometriskajam sadalījumam ir nejaušs mainīgais Y, vienāds ar objektu skaitu, kuriem ir atribūts A nejaušā tilpuma paraugā n, Kur n< N. Piemēram, numurs Y bojātas preces vienības nejaušā tilpuma paraugā n no partijas apjoma N ir hiperģeometrisks sadalījums, ja n< N. Vēl viens piemērs ir loterija. Ļaujiet zīmei A biļete ir zīme "būt uzvarētājam". Ļaujiet kopējais biļešu skaits N, un kāda persona ieguvusi n no viņiem. Tad šīs personas laimēto biļešu skaitam ir hiperģeometrisks sadalījums.

Hiperģeometriskā sadalījuma gadījumā varbūtība, ka gadījuma lielums Y pieņems vērtību y, ir šāda forma

(20)

Kur D– objektu skaits, kuriem ir atribūts A, aplūkotajā apjoma komplektā N. Kurā yņem vērtības no max(0, n - (N - D)) līdz min( n, D), citas lietas y varbūtība formulā (20) ir vienāda ar 0. Tādējādi hiperģeometrisko sadalījumu nosaka trīs parametri - populācijas apjoms N, objektu skaits D tajā, kam piemīt attiecīgā īpašība A, un parauga lielumu n.

Vienkārša nejauša tilpuma paraugu ņemšana n no kopējā apjoma N ir izlases veidā iegūta izlase, kurā kāda no kopām n objektiem ir tāda pati varbūtība tikt atlasītiem. Respondentu (intervēto) izlases vai gabalpreču vienību izlases metodes ir apskatītas instrukciju, metodiskos un normatīvajos dokumentos. Viena no atlases metodēm ir šāda: objekti tiek atlasīti viens no otra, un katrā solī katram atlikušajam komplektā esošajam objektam ir vienāda iespēja tikt atlasītam. Literatūrā aplūkojamajam paraugu veidam tiek lietoti arī termini “nejaušs paraugs” un “nejaušs paraugs bez atgriešanās”.

Tā kā iedzīvotāju apjomi (partija) N un paraugi n parasti ir zināmi, tad novērtējamais hiperģeometriskā sadalījuma parametrs ir D. Produktu kvalitātes vadības statistiskajās metodēs D– parasti bojāto vienību skaits partijā. Interesanti ir arī sadalījuma raksturlielumi D/ N– defektu līmenis.

Hiperģeometriskam sadalījumam

Pēdējais faktors dispersijas izteiksmē ir tuvu 1, ja N>10 n. Ja veicat nomaiņu lpp = D/ N, tad hiperģeometriskā sadalījuma matemātiskās cerības un dispersijas izteiksmes pārvērtīsies par binomiskā sadalījuma matemātiskās cerības un dispersijas izteiksmēm. Tā nav nejaušība. To var parādīt

plkst N>10 n, Kur lpp = D/ N. Ierobežojošā attiecība ir spēkā

un šo ierobežojošo attiecību var izmantot, kad N>10 n.

Trešais plaši izmantotais diskrētais sadalījums ir Puasona sadalījums. Nejaušajam lielumam Y ir Puasona sadalījums, ja

,

kur λ ir Puasona sadalījuma parametrs un P(Y= y)= 0 visiem pārējiem y(ja y=0 tas tiek apzīmēts ar 0! =1). Puasona izplatīšanai

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Šis sadalījums ir nosaukts franču matemātiķa S. D. Puasona (1781-1840) vārdā, kurš pirmo reizi to ieguva 1837. gadā. Puasona sadalījums ir binomiālā sadalījuma ierobežojošais gadījums, kad varbūtība R pasākuma īstenošana ir neliela, bet testu skaits n lieliski, un n.p.= λ. Precīzāk, robežsakarība ir spēkā

Tāpēc Puasona sadalījumu (vecajā terminoloģijā “izplatīšanas likums”) bieži sauc arī par “reto notikumu likumu”.

Puasona sadalījuma izcelsme ir notikumu plūsmas teorijā (skatīt iepriekš). Ir pierādīts, ka visvienkāršākajai plūsmai ar nemainīgu intensitāti Λ notikumu (izsaukumu) skaits, kas notika laikā t, ir Puasona sadalījums ar parametru λ = Λ t. Tāpēc varbūtība, ka laikā t neviens notikums nenotiks, vienāds ar e - Λ t, t.i. intervāla garuma sadalījuma funkcija starp notikumiem ir eksponenciāla.

Puasona sadalījums tiek izmantots, analizējot patērētāju izlases mārketinga aptauju rezultātus, aprēķinot statistiskās pieņemšanas kontroles plānu darbības raksturlielumus mazo defektu pieņemšanas līmeņa vērtību gadījumā, lai aprakstītu statistiski kontrolētas iekārtas bojājumu skaitu. tehnoloģiskais process laika vienībā, saņemto “pakalpojumu prasību” skaits laika vienībā rindu sistēmā, nelaimes gadījumu un reto slimību statistiskie modeļi u.c.

Literatūrā aplūkoti citu diskrēto sadalījumu parametrisko saišu apraksti un to praktiskās izmantošanas iespējas.

Dažos gadījumos, piemēram, pētot cenas, izlaides apjomus vai kopējo laiku starp kļūmēm uzticamības problēmās, sadalījuma funkcijas ir nemainīgas noteiktos intervālos, kuros pētīto nejaušo lielumu vērtības nevar samazināties.

Iepriekšējā n° mēs ieviesām sadalījuma sēriju kā izsmeļošu raksturlielumu (sadales likumu) pārtrauktam nejaušam mainīgajam. Tomēr šī īpašība nav universāla; tas pastāv tikai pārtrauktiem gadījuma mainīgajiem. Ir viegli saprast, ka šādu raksturlielumu nevar konstruēt nepārtrauktam gadījuma mainīgajam. Patiešām, nepārtrauktam nejaušam mainīgajam ir bezgalīgs skaits iespējamo vērtību, kas pilnībā aizpilda noteiktu intervālu (tā saukto “skaitāmo kopu”). Nav iespējams izveidot tabulu, kurā uzskaitītas visas iespējamās šāda nejaušā mainīgā vērtības. Turklāt, kā mēs redzēsim vēlāk, katrai atsevišķai nepārtraukta gadījuma mainīgā vērtībai parasti nav nekādas nulles atšķirības. Līdz ar to nepārtrauktam gadījuma mainīgajam nav sadalījuma sērijas tādā nozīmē, kādā tā pastāv pārtrauktam mainīgajam. Tomēr dažādas nejauša lieluma iespējamo vērtību apgabali joprojām nav vienādi ticami, un nepārtrauktam mainīgajam pastāv “varbūtības sadalījums”, lai gan ne tādā pašā nozīmē kā pārtrauktajam.

Lai kvantitatīvi raksturotu šo varbūtību sadalījumu, ir ērti izmantot nevis notikuma varbūtību, bet gan notikuma varbūtību, kur ir kāds strāvas mainīgais. Šī notikuma iespējamība acīmredzami ir atkarīga no , ir kāda funkcija . Šo funkciju sauc par gadījuma lieluma sadalījuma funkciju, un to apzīmē ar:

. (5.2.1)

Sadalījuma funkciju dažreiz sauc arī par kumulatīvā sadalījuma funkciju vai kumulatīvā sadalījuma likumu.

Sadalījuma funkcija ir visuniversālākā gadījuma lieluma īpašība. Tas pastāv visiem nejaušajiem mainīgajiem: gan nepārtrauktiem, gan nepārtrauktiem. Sadalījuma funkcija pilnībā raksturo nejaušu lielumu no varbūtības viedokļa, t.i. ir viena no sadales likuma formām.

Formulēsim dažas sadales funkcijas vispārīgās īpašības.

1. Sadalījuma funkcija ir tās argumenta nesamazināma funkcija, t.i. plkst.

2. Pie mīnus bezgalības sadalījuma funkcija ir vienāda ar nulli:.

3. Pie plus bezgalības sadalījuma funkcija ir vienāda ar vienu: .

Nesniedzot šo īpašību stingru pierādījumu, mēs tās ilustrēsim, izmantojot vizuālu ģeometrisku interpretāciju. Lai to izdarītu, par nejaušu punktu uz Vērša ass uzskatīsim nejaušu lielumu (5.2.1. att.), kas eksperimenta rezultātā var ieņemt vienu vai otru pozīciju. Tad sadalījuma funkcija ir varbūtība, ka nejaušs punkts eksperimenta rezultātā nokritīs pa kreisi no punkta.

Mēs palielināsim , tas ir, virzīsim punktu pa labi pa abscisu asi. Acīmredzot šajā gadījumā varbūtība, ka nejaušs punkts nokritīs pa kreisi, nevar samazināties; tāpēc sadalījuma funkcija nevar samazināties, palielinoties.

Lai par to pārliecinātos , mēs uz nenoteiktu laiku pārvietosim punktu pa abscisu pa kreisi. Šajā gadījumā trāpījums nejaušā punktā pa kreisi limitā kļūst par neiespējamu notikumu; Ir dabiski uzskatīt, ka šī notikuma iespējamība tiecas uz nulli, t.i. .

Līdzīgā veidā, pārvietojot punktu pa labi bez ierobežojumiem, mēs pārliecināmies, ka , jo notikums kļūst uzticams limitā.

Sadalījuma funkcijas grafiks vispārīgā gadījumā ir nesamazinošas funkcijas grafiks (5.2.2. att.), kuras vērtības sākas no 0 un sasniedz 1, un atsevišķos punktos funkcijai var būt lēcieni ( pārtraukumi).

Zinot pārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma sēriju, var viegli izveidot šī mainīgā sadalījuma funkciju. Tiešām,

,

kur nevienlīdzība zem summas zīmes norāda, ka summēšana attiecas uz visām vērtībām, kas ir mazākas par .

Kad pašreizējais mainīgais iet caur kādu no iespējamām pārtrauktās vērtības vērtībām, sadalījuma funkcija pēkšņi mainās, un lēciena lielums ir vienāds ar šīs vērtības varbūtību.

Piemērs 1. Tiek veikts viens eksperiments, kurā notikums var parādīties un var nebūt. Notikuma iespējamība ir 0,3. Nejaušs mainīgais – notikuma gadījumu skaits eksperimentā (raksturīgs notikuma gadījuma mainīgais). Izveidojiet tās sadales funkciju.

Risinājums. Vērtību sadalījuma sērijai ir šāda forma:

Konstruēsim vērtības sadalījuma funkciju:

Sadalījuma funkcijas grafiks ir parādīts attēlā. 5.2.3. Pārtraukuma punktos funkcija iegūst vērtības, kas zīmējumā atzīmētas ar punktiem (funkcija ir nepārtraukta kreisajā pusē).

2. piemērs. Iepriekšējā piemēra apstākļos tiek veikti 4 neatkarīgi eksperimenti. Izveidojiet sadalījuma funkciju notikuma gadījumu skaitam.

Risinājums. Apzīmēsim notikuma gadījumu skaitu četros eksperimentos. Šim daudzumam ir sadalījuma sērija

Konstruēsim nejauša lieluma sadalījuma funkciju:

3) plkst ;

Praksē parasti nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija ir funkcija, kas ir nepārtraukta visos punktos, kā parādīts attēlā. 5.2.6. Tomēr ir iespējams konstruēt piemērus nejaušiem mainīgajiem, kuru iespējamās vērtības nepārtraukti aizpilda noteiktu intervālu, bet kuriem sadalījuma funkcija nav visur nepārtraukta, bet atsevišķos punktos cieš no nepārtrauktības (5.2.7. att.) .

Šādus nejaušības lielumus sauc par jauktiem. Jauktas vērtības piemērs ir iznīcināšanas laukums, ko mērķim rada bumba, kuras iznīcinošās darbības rādiuss ir vienāds ar R (5.2.8. att.).

Šī nejaušā lieluma vērtības nepārtraukti aizpilda intervālu no 0 līdz , kas notiek I un II tipa bumbu pozīcijās, ir ar noteiktu galīgu varbūtību, un šīs vērtības atbilst sadalījuma funkcijas lēcieniem, savukārt starpvērtībās. (III tipa pozīcija) sadales funkcija ir nepārtraukta. Vēl viens jaukta gadījuma lieluma piemērs ir ierīces bezatteices darbības laiks T, kas pārbaudīts laikā t. Šī gadījuma lieluma sadalījuma funkcija ir nepārtraukta visur, izņemot punktu t.