Teorēma materiāla punkta impulsa maiņai ir sekas. Teorēmas par punkta un sistēmas impulsa izmaiņām

Ļaujiet materiālam punktam kustēties spēka ietekmē F. Ir jānosaka šī punkta kustība attiecībā pret kustīgo sistēmu Oxyz(skat. materiāla punkta komplekso kustību), kas pārvietojas zināmā veidā attiecībā pret stacionāru sistēmu O 1 x 1 y 1 z 1 .

Dinamikas pamatvienādojums stacionārā sistēmā

Pierakstīsim punkta absolūto paātrinājumu, izmantojot Koriolisa teorēmu

Kur a abs– absolūtais paātrinājums;

a rel– relatīvais paātrinājums;

a josla– pārnēsājams paātrinājums;

a kodols– Koriolisa paātrinājums.

Pārrakstīsim (25), ņemot vērā (26)

Iepazīstinām ar apzīmējumu
- pārnēsājams inerces spēks,
- Koriolisa inerces spēks. Tad vienādojums (27) iegūst formu

Dinamikas pamatvienādojums relatīvās kustības izpētei (28) ir uzrakstīts tāpat kā absolūtai kustībai, tikai pie spēkiem, kas iedarbojas uz punktu, jāpievieno inerces pārneses un Koriolisa spēki.

Vispārīgas teorēmas par materiāla punkta dinamiku

Risinot daudzas problēmas, varat izmantot iepriekš sagatavotas sagataves, kas iegūtas, pamatojoties uz Ņūtona otro likumu. Šādas problēmu risināšanas metodes ir apvienotas šajā sadaļā.

Teorēma par materiāla punkta impulsa izmaiņām

Iepazīstinām ar šādiem dinamiskiem raksturlielumiem:

1. Materiālā punkta impulss– vektora lielums, kas vienāds ar punkta masas un tā ātruma vektora reizinājumu

. (29)

2. Spēka impulss

Elementārs spēka impulss– vektora lielums, kas vienāds ar spēka vektora un elementāra laika intervāla reizinājumu

(30).

Tad pilns impulss

. (31)

Plkst F=const mēs saņemam S=Ft.

Kopējo impulsu noteiktā laika periodā var aprēķināt tikai divos gadījumos, kad spēks, kas iedarbojas uz punktu, ir nemainīgs vai atkarīgs no laika. Citos gadījumos spēks ir jāizsaka kā laika funkcija.

Impulsa (29) un impulsa (30) dimensiju vienādība ļauj izveidot kvantitatīvu sakarību starp tiem.

Apskatīsim materiāla punkta M kustību patvaļīga spēka iedarbībā F pa patvaļīgu trajektoriju.

PAR UD:
. (32)

Mēs atdalām mainīgos lielumus (32) un integrējam

. (33)

Rezultātā, ņemot vērā (31), iegūstam

. (34)

Vienādojums (34) izsaka šādu teorēmu.

Teorēma: Materiāla punkta impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar spēka impulsu, kas iedarbojas uz punktu tajā pašā laika intervālā.

Risinot uzdevumus, vienādojums (34) jāprojicē uz koordinātu asīm

Šo teorēmu ir ērti lietot, ja starp dotajiem un nezināmajiem lielumiem ir punkta masa, tā sākotnējais un beigu ātrums, spēki un kustības laiks.

Teorēma par materiāla punkta leņķiskā impulsa izmaiņām

M
materiāla punkta impulsa moments attiecībā pret centru ir vienāds ar punkta un pleca impulsa moduļa reizinājumu, t.i. īsākais attālums (perpendikulārs) no centra līdz taisnei, kas sakrīt ar ātruma vektoru

, (36)

. (37)

Sakarību starp spēka (cēloņa) momentu un impulsa (iedarbības) momentu nosaka šāda teorēma.

Pieņemsim dotās masas punktu M m pārvietojas spēka ietekmē F.

,
,

, (38)

. (39)

Aprēķināsim (39) atvasinājumu

. (40)

Apvienojot (40) un (38), mēs beidzot iegūstam

. (41)

(41) vienādojums izsaka šādu teorēmu.

Teorēma: Materiāla punkta leņķiskā impulsa vektora laika atvasinājums attiecībā pret kādu centru ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret to pašu centru.

Risinot uzdevumus, vienādojums (41) jāprojicē uz koordinātu asīm

(42) vienādojumos impulsa un spēka momentus aprēķina attiecībā pret koordinātu asīm.

No (41) izriet leņķiskā impulsa saglabāšanas likums (Keplera likums).

Ja spēka moments, kas iedarbojas uz materiālu punktu attiecībā pret jebkuru centru, ir nulle, tad punkta leņķiskais impulss attiecībā pret šo centru saglabā savu lielumu un virzienu.

Ja
, Tas
.

Teorēmu un saglabāšanas likumu izmanto problēmās, kas saistītas ar izliektu kustību, īpaši centrālo spēku iedarbībā.

Teorēmā aplūkotā sistēma var būt jebkura mehāniska sistēma, kas sastāv no jebkuriem ķermeņiem.

Teorēmas paziņojums

Mehāniskās sistēmas kustības apjoms (impulss) ir lielums, kas vienāds ar visu sistēmā iekļauto ķermeņu kustību (impulsu) summu. Ārējo spēku impulss, kas iedarbojas uz sistēmas ķermeņiem, ir visu ārējo spēku impulsu summa, kas iedarbojas uz sistēmas ķermeņiem.

( kg m/s)

Teorēma par sistēmas stāvokļu impulsa izmaiņām

Sistēmas impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar ārējo spēku impulsu, kas iedarbojas uz sistēmu tajā pašā laika periodā.

Sistēmas impulsa nezūdamības likums

Ja visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku summa ir nulle, tad sistēmas kustības apjoms (impulss) ir nemainīgs lielums.

, iegūstam teorēmas izteiksmi par sistēmas impulsa izmaiņām diferenciālā formā:

Integrējot abas iegūtās vienlīdzības puses patvaļīgi ņemtā laika periodā starp dažiem un , mēs iegūstam teorēmas izteiksmi par sistēmas impulsa izmaiņām integrālā formā:

Impulsa saglabāšanas likums (Impulsa saglabāšanas likums) norāda, ka visu sistēmas ķermeņu impulsu vektora summa ir nemainīga vērtība, ja uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku vektora summa ir vienāda ar nulli.

(impulsa moments m 2 kg s -1)

Teorēma par leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret centru

materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu centru ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret to pašu centru.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Teorēma par leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret asi

materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu asi ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz šo punktu attiecībā pret to pašu asi.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Apsveriet materiālo aspektu M masu m , pārvietojoties spēka ietekmē F (3.1. attēls). Pierakstīsim un konstruēsim leņķiskā impulsa (kinētiskā impulsa) vektoru M 0 materiāla punkts attiecībā pret centru O :

Atšķirsim leņķiskā impulsa (kinētiskā momenta) izteiksmi k 0) pēc laika:

Jo dr /dt = V , tad vektora reizinājums V ⊗ m ⋅ V (kolineārie vektori V Un m ⋅ V ) ir vienāds ar nulli. Tajā pašā laikā d(m ⋅ V) /dt = F saskaņā ar teorēmu par materiāla punkta impulsu. Tāpēc mēs to saņemam

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Kur r ⊗F = M 0 (F ) – vektors-spēka moments F attiecībā pret fiksētu centru O . Vektors k 0 ⊥ lidmašīna ( r , m ⊗V ), un vektoru M 0 (F ) ⊥ lidmašīna ( r ,F ), mums beidzot ir

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Vienādojums (3.4) izsaka teorēmu par materiāla punkta leņķiskā impulsa (leņķiskā impulsa) izmaiņām attiecībā pret centru: materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu centru ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret to pašu centru.

Projicējot vienādību (3.4) uz Dekarta koordinātu asīm, iegūstam

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Vienādības (3.5) izsaka teorēmu par materiāla punkta leņķiskā impulsa (kinētiskā impulsa) izmaiņām attiecībā pret asi: materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu asi ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz šo punktu attiecībā pret to pašu asi.

Apskatīsim sekas, kas izriet no teorēmas (3.4) un (3.5).

Secinājums 1. Apskatīsim gadījumu, kad spēks F visas kustības laikā punkts iet caur stacionāro centru O (centrālā spēka gadījums), t.i. Kad M 0 (F ) = 0. Tad no teorēmas (3.4) izriet, ka k 0 = konst ,

tie. centrālā spēka gadījumā materiāla punkta leņķiskais impulss (kinētiskais moments) attiecībā pret šī spēka centru paliek nemainīgs pēc lieluma un virziena (3.2. attēls).

3.2.attēls

No stāvokļa k 0 = konst no tā izriet, ka kustīga punkta trajektorija ir plakana līkne, kuras plakne iet caur šī spēka centru.

Secinājums 2.Ļaujiet M z (F ) = 0, t.i. spēks šķērso asi z vai paralēli tai. Šajā gadījumā, kā redzams no trešā vienādojuma (3.5.), k z = konst ,

tie. ja spēka moments, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret jebkuru fiksētu asi, vienmēr ir nulle, tad punkta leņķiskais impulss (kinētiskais moments) attiecībā pret šo asi paliek nemainīgs.

Pierādījums teorēmai par impulsa maiņu

Ļaujiet sistēmai sastāvēt no materiāliem punktiem ar masām un paātrinājumiem. Mēs sadalām visus spēkus, kas iedarbojas uz sistēmas ķermeņiem, divos veidos:

Ārējie spēki ir spēki, kas iedarbojas no ķermeņiem, kas nav iekļauti aplūkojamajā sistēmā. Ārējo spēku rezultants, kas iedarbojas uz materiālu punktu ar skaitli i apzīmēsim

Iekšējie spēki ir spēki, ar kuriem pašas sistēmas ķermeņi mijiedarbojas viens ar otru. Spēks, ar kādu uz punktu ar skaitli i punkts ar numuru ir derīgs k, mēs apzīmēsim , un ietekmes spēku i punkts ieslēgts k punkts - . Acīmredzot, kad, tad

Izmantojot ieviesto apzīmējumu, veidlapā rakstām Ņūtona otro likumu katram no aplūkojamajiem materiālajiem punktiem

Ņemot vērā, ka un, summējot visus Ņūtona otrā likuma vienādojumus, mēs iegūstam:

Izteiksme atspoguļo visu sistēmā darbojošos iekšējo spēku summu. Saskaņā ar Ņūtona trešo likumu šajā summā katrs spēks atbilst tādam spēkam, kas tāpēc ir spēkā Tā kā visa summa sastāv no šādiem pāriem, pati summa ir nulle. Tādējādi mēs varam rakstīt

Izmantojot sistēmas impulsa apzīmējumu, mēs iegūstam

Ņemot vērā ārējo spēku impulsa izmaiņas , mēs iegūstam teorēmas izteiksmi par sistēmas impulsa izmaiņām diferenciālā formā:

Tādējādi katrs no pēdējiem iegūtajiem vienādojumiem ļauj apgalvot: sistēmas impulsa izmaiņas notiek tikai ārējo spēku darbības rezultātā, un iekšējie spēki nevar ietekmēt šo vērtību.

Integrējot abas iegūtās vienādības puses patvaļīgi ņemtā laika intervālā starp dažiem un , iegūstam teorēmas izteiksmi par sistēmas impulsa izmaiņām integrālā formā:

kur un ir sistēmas kustības lieluma vērtības laika momentos un attiecīgi, un ir ārējo spēku impulss noteiktā laika periodā. Saskaņā ar iepriekš teikto un ieviestajiem apzīmējumiem,

Materiālajam punktam dinamikas pamatlikumu var attēlot kā

Reizinot abas šīs attiecības puses kreisajā pusē vektorāli ar rādiusa vektoru (3.9. att.), iegūstam

(3.32)

Šīs formulas labajā pusē ir spēka moments attiecībā pret punktu O. Mēs pārveidojam kreiso pusi, piemērojot vektora reizinājuma atvasinājuma formulu

Bet kā paralēlo vektoru vektorreizinājums. Pēc tam mēs saņemam

(3.33)

Pirmais atvasinājums attiecībā uz punkta impulsa momenta laiku attiecībā pret jebkuru centru ir vienāds ar spēka momentu attiecībā pret to pašu centru.

3.12. attēls

; ;

Dotiem ievades datiem sistēmas leņķiskais impulss

Teorēma par sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām. Mēs pieliekam radušos ārējos un iekšējos spēkus katram sistēmas punktam. Katram sistēmas punktam var pielietot teorēmu par leņķiskā impulsa izmaiņām, piemēram, formā (3.33)

Summējot visus sistēmas punktus un ņemot vērā, ka atvasinājumu summa ir vienāda ar summas atvasinājumu, iegūstam

Nosakot sistēmas kinētisko momentu un ārējo un iekšējo spēku īpašības

Tāpēc iegūto attiecību var attēlot kā

Sistēmas leņķiskā impulsa pirmais atvasinājums attiecībā pret jebkuru punktu ir vienāds ar ārējo spēku galveno momentu, kas iedarbojas uz sistēmu attiecībā pret to pašu punktu.

3.3.5. Spēka darbs

1) Spēka elementārais darbs ir vienāds ar spēka skalāro reizinājumu un spēka pielikšanas punkta vektora diferenciālo rādiusu (3.13. att.)

3.13. attēls

Izteiksmi (3.36) var uzrakstīt arī šādās līdzvērtīgās formās

kur ir spēka projekcija uz spēka pielikšanas punkta ātruma virzienu.

2) Spēka darbs pie galīgās pārvietošanas

Integrējot elementāro spēka darbu, mēs iegūstam šādas izteiksmes spēka darbam pie galīgās nobīdes no punkta A uz punktu B

3) Pastāvīga spēka darbs

Ja spēks ir nemainīgs, tad no (3.38) tas izriet

Pastāvīga spēka darbs nav atkarīgs no trajektorijas formas, bet ir atkarīgs tikai no spēka pielikšanas punkta nobīdes vektora.

4) Svara spēka darbs

Svara spēkam (3.14. att.) un no (3.39.) iegūstam

3.14. attēls

Ja kustība notiek no punkta B uz punktu A, tad

Vispār

“+” zīme atbilst spēka pielikšanas punkta kustībai uz leju, zīme “-” – uz augšu.

4) Elastīgā spēka darbs

Lai atsperes ass ir vērsta pa x asi (3.15. att.), un atsperes gals virzās no punkta 1 uz punktu 2, tad no (3.38) iegūstam.

Ja atsperes stīvums ir Ar, tā tad

A (3.41)

Ja atsperes gals virzās no punkta 0 uz punktu 1, tad šajā izteiksmē mēs aizstājam , , tad elastīgā spēka darbs iegūs formu

(3.42)

kur ir pavasara pagarinājums.

3.15. attēls

5) Rotējošam ķermenim pieliktā spēka darbs. Šī brīža darbs.

Attēlā 3.16. attēlā parādīts rotējošs ķermenis, kuram tiek pielikts patvaļīgs spēks. Rotācijas laikā šī spēka pielikšanas punkts pārvietojas pa apli.

Kas sastāv no n materiālie punkti. Izvēlēsimies noteiktu punktu no šīs sistēmas Mj ar masu m j. Kā zināms, uz šo punktu iedarbojas ārējie un iekšējie spēki.

Pielietosim to uz punktu Mj visu iekšējo spēku rezultāts F j i un visu ārējo spēku rezultāts F j e(2.2. attēls). Par izvēlēto materiāla punktu Mj(kā brīvam punktam) ierakstām teorēmu par impulsa izmaiņām diferenciālā formā (2.3):

Uzrakstīsim līdzīgus vienādojumus visiem mehāniskās sistēmas punktiem (j=1,2,3,…,n).

2.2.attēls

Saskaitīsim visu pa gabalu n vienādojumi:

∑d(m j × V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j × V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Šeit ∑m j × V j = Q– mehāniskās sistēmas kustības apjoms;
∑F j e = R e– visu ārējo spēku galvenais vektors, kas iedarbojas uz mehānisko sistēmu;
∑F j i = R i =0– galvenais sistēmas iekšējo spēku vektors (pēc iekšējo spēku īpašībām tas ir vienāds ar nulli).

Visbeidzot, mehāniskajai sistēmai mēs iegūstam

dQ/dt = R e. (2.11)

Izteiksme (2.11) ir teorēma par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām diferenciālā formā (vektora izteiksmē): mehāniskās sistēmas impulsa vektora laika atvasinājums ir vienāds ar visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku galveno vektoru.

Projicējot vektora vienādību (2.11) uz Dekarta koordinātu asīm, iegūstam izteiksmes teorēmai par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām koordinātu (skalārā) izteiksmē:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

tie. mehāniskās sistēmas impulsa projekcijas laika atvasinājums uz jebkuru asi ir vienāds ar visu ārējo spēku, kas iedarbojas uz šo mehānisko sistēmu, galvenā vektora projekciju uz šo asi.

Reizinot abas vienādības puses (2.12) ar dt, mēs iegūstam teorēmu citā diferenciālā formā:

dQ = R e × dt = δS e, (2.13)

tie. mehāniskās sistēmas diferenciālais impulss ir vienāds ar visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku galvenā vektora elementāro impulsu (elementāro impulsu summu).

Integrējot vienādību (2.13) laika maiņa no 0 uz t, iegūstam teorēmu par mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņām galīgā (integrālā) formā (vektora izteiksmē):

Q - Q 0 = S e,

tie. mehāniskās sistēmas impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar galvenā vektora kopējo impulsu (kopējo impulsu summu) visiem ārējiem spēkiem, kas iedarbojas uz sistēmu tajā pašā laika periodā.

Projicējot vektora vienādību (2.14) uz Dekarta koordinātu asīm, iegūstam izteiksmes teorēmai projekcijās (skalārā izteiksmē):

tie. mehāniskās sistēmas impulsa projekcijas izmaiņas uz jebkuru asi noteiktā laika periodā ir vienādas ar visu ārējo spēku galvenā vektora kopējā impulsa (kopējo impulsu summas) projekciju uz to pašu asi. iedarbojoties uz mehānisko sistēmu tajā pašā laika periodā.

No aplūkotās teorēmas (2.11) – (2.15) izriet šādas sekas:

1. Ja R e = ∑F j e = 0, Tas Q = konst– mums ir mehāniskas sistēmas impulsa vektora nezūdamības likums: ja galvenais vektors R e no visiem ārējiem spēkiem, kas iedarbojas uz mehānisko sistēmu, ir vienāds ar nulli, tad šīs sistēmas impulsa vektors paliek nemainīgs pēc lieluma un virziena un vienāds ar tā sākotnējo vērtību Q 0, t.i. Q = Q 0.
2. Ja R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Tas Q x = konst– mums ir likums par projekcijas uz mehāniskās sistēmas impulsa asi saglabāšanas likumu: ja visu mehānisko sistēmu iedarbojošo spēku galvenā vektora projekcija uz jebkuru asi ir nulle, tad projekcija uz to pašu asi šīs sistēmas impulsa vektors būs nemainīga vērtība un vienāds ar projekciju uz šīs ass sākuma impulsa vektoru, t.i. Q x = Q 0x.

Teorēmas diferenciālajai formai par materiāla sistēmas impulsa izmaiņām ir svarīgi un interesanti pielietojumi kontinuuma mehānikā. No (2.11) mēs varam iegūt Eilera teorēmu.

Materiāla punkta kustības diferenciālvienādojums spēka ietekmē F var attēlot šādā vektora formā:

Tā kā punkta masa m tiek pieņemts kā konstants, tad to var ievadīt zem atvasinājuma zīmes. Tad

Formula (1) izsaka teorēmu par punkta impulsa izmaiņām diferenciālā formā: pirmais atvasinājums attiecībā uz punkta impulsa laiku ir vienāds ar spēku, kas iedarbojas uz punktu.

Projekcijās uz koordinātu asīm (1) var attēlot kā

Ja abas puses (1) reizina ar dt, tad mēs iegūstam citu tās pašas teorēmas formu - impulsa teorēmu diferenciālā formā:

tie. punkta impulsa diferenciālis ir vienāds ar elementa impulsu spēkam, kas iedarbojas uz punktu.

Projicējot abas (2) daļas uz koordinātu asīm, mēs iegūstam

Integrējot abas (2) daļas no nulles līdz t (1. att.), mēs iegūstam

kur ir punkta ātrums dotajā brīdī t; - ātrums pie t = 0;

S- spēka impulss laika gaitā t.

Izteiksmi formā (3) bieži sauc par impulsa teorēmu ierobežotā (vai integrālā) formā: punkta impulsa izmaiņas jebkurā laika periodā ir vienādas ar spēka impulsu tajā pašā laika periodā.

Projekcijās uz koordinātu asīm šo teorēmu var attēlot šādā formā:

Materiālam punktam teorēma par impulsa izmaiņām jebkurā no formām būtībā neatšķiras no punkta kustības diferenciālvienādojumiem.

Teorēma par sistēmas impulsa izmaiņām

Sistēmas kustības lielums tiks saukts par vektora lielumu J, vienāds ar visu sistēmas punktu kustību apjomu ģeometrisko summu (galveno vektoru).

Apsveriet sistēmu, kas sastāv no n materiālie punkti. Sastādīsim šīs sistēmas kustību diferenciālvienādojumus un saskaitīsim tos pa vārdam. Tad mēs iegūstam:

Pēdējā summa iekšējo spēku īpašību dēļ ir vienāda ar nulli. Turklāt,

Visbeidzot mēs atrodam:

Vienādojums (4) izsaka teorēmu par sistēmas impulsa izmaiņām diferenciālā formā: sistēmas impulsa laika atvasinājums ir vienāds ar visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku ģeometrisko summu.

Atradīsim teorēmai citu izteiksmi. Ielaidies mirklī t= 0 sistēmas kustības apjoms ir Q 0, un uz doto brīdi t 1 kļūst vienāds 1. jautājums. Pēc tam reizinot abas vienādības puses (4) ar dt un integrējot, mēs iegūstam:

Vai arī kur:

(S - spēka impulss)

jo labās puses integrāļi dod ārējo spēku impulsus,

vienādojums (5) izsaka teorēmu par sistēmas impulsa izmaiņām integrālā formā: sistēmas impulsa izmaiņas noteiktā laika periodā ir vienādas ar ārējo spēku impulsu summu, kas iedarbojas uz sistēmu tajā pašā laika periodā.

Projekcijās uz koordinātu asīm mums būs:

Impulsa saglabāšanas likums

No teorēmas par sistēmas impulsa izmaiņām var iegūt šādas svarīgas sekas:

1. Visu ārējo spēku summa, kas iedarbojas uz sistēmu, ir vienāda ar nulli:

Tad no (4) vienādojuma izriet, ka šajā gadījumā Q = konst.

Tādējādi ja visu uz sistēmu iedarbojošo ārējo spēku summa ir vienāda ar nulli, tad sistēmas impulsa vektors būs nemainīgs pēc lieluma un virziena.

2. 01 Lai ārējie spēki, kas iedarbojas uz sistēmu, būtu tādi, lai to projekciju summa uz kādu asi (piemēram, Ox) būtu vienāda ar nulli:

Tad no vienādojumiem (4`) izriet, ka šajā gadījumā Q = konst.

Tādējādi ja visu darbojošos ārējo spēku projekciju summa uz jebkuru asi ir vienāda ar nulli, tad sistēmas kustības apjoma projekcija uz šo asi ir nemainīga vērtība.

Šie rezultāti izsaka sistēmas impulsa nezūdamības likums. No tiem izriet, ka iekšējie spēki nevar mainīt sistēmas kopējo kustības apjomu.

Apskatīsim dažus piemērus:

· Fenomens par ruļļa atgriešanos. Ja mēs uzskatām šauteni un lodi kā vienu sistēmu, tad pulvera gāzu spiediens šāviena laikā būs iekšējs spēks. Šis spēks nevar mainīt sistēmas kopējo impulsu. Bet, tā kā pulvera gāzes, iedarbojoties uz lodi, piešķir tai noteiktu kustību, kas vērsta uz priekšu, tām vienlaikus jādod šautenei tāda pati kustība pretējā virzienā. Tas izraisīs šautenes pārvietošanos atpakaļ, t.i. tā sauktā atgriešanās. Līdzīga parādība notiek šaujot ar ieroci (atgriešana).

· Propellera (propellera) darbība. Propellers nodrošina kustību noteiktai gaisa (vai ūdens) masai pa dzenskrūves asi, metot šo masu atpakaļ. Ja mēs uzskatām izmesto masu un lidmašīnu (vai kuģi) par vienu sistēmu, tad propellera un vides mijiedarbības spēki kā iekšējie nevar mainīt šīs sistēmas kopējo kustības apjomu. Tāpēc, kad gaisa (ūdens) masa tiek izmesta atpakaļ, lidmašīna (vai kuģis) saņem atbilstošu ātrumu uz priekšu, lai kopējais attiecīgās sistēmas kustības apjoms būtu vienāds ar nulli, jo pirms kustības sākuma tā bija nulle. .

Līdzīgs efekts tiek panākts, iedarbojoties ar airiem vai lāpstiņām.

· R e c t i v e Propulsion Raķetē (raķetē) no raķetes astes atveres (no reaktīvo dzinēja sprauslas) lielā ātrumā tiek izmesti gāzveida degšanas produkti. Spiediena spēki, kas darbojas šajā gadījumā, būs iekšējie spēki, un tie nevar mainīt raķešu-pulvera gāzu sistēmas kopējo impulsu. Bet, tā kā izplūstošajām gāzēm ir noteikta kustība, kas vērsta atpakaļ, raķete saņem atbilstošu ātrumu uz priekšu.

Momentu teorēma par asi.

Apsveriet materiālo masas punktu m, pārvietojoties spēka ietekmē F. Atradīsim tam sakarību starp vektoru momentiem mV Un F attiecībā pret kādu fiksētu Z asi.

m z (F) = xF - yF (7)

Līdzīgi par vērtību m(mV), ja izņemts m būs ārpus iekavām

m z (mV) = m (xV - yV)(7`)

Ņemot vērā atvasinājumus attiecībā uz laiku no abām šīs vienlīdzības pusēm, mēs atklājam

Rezultātā iegūtās izteiksmes labajā pusē pirmā iekava ir vienāda ar 0, kopš dx/dt = V un dу/dt = V, otrā iekava saskaņā ar formulu (7) ir vienāda ar

mz(F), jo saskaņā ar dinamikas pamatlikumu:

Beidzot mums būs (8)

Iegūtais vienādojums izsaka momentu teorēmu ap asi: punkta impulsa momenta laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru asi ir vienāds ar iedarbojošā spēka momentu attiecībā pret to pašu asi. Līdzīga teorēma attiecas uz momentiem par jebkuru centru O.