Trapecveida formulas smaguma centrs. Materiālu stiprības problēmu risināšana

6.1. Galvenā informācija

Paralēlo spēku centrs
Ļaujiet mums apsvērt divus paralēlus spēkus, kas vērsti vienā virzienā, un , ko piemēro ķermenim punktos A 1 un A 2 (6.1. att.). Šai spēku sistēmai ir rezultants, kura darbības līnija iet caur noteiktu punktu AR. Punkta pozīcija AR var atrast, izmantojot Varinjona teorēmu:

Ja pagriežat spēkus un tuvu punktiem A 1 un A 2 vienā virzienā un vienā leņķī, tad mēs iegūstam jaunu paralēlu salas sistēmu ar vienādiem moduļiem. Šajā gadījumā to rezultāts arī iet caur punktu AR. Šo punktu sauc par paralēlo spēku centru.
Apskatīsim paralēlu un vienādi virzītu spēku sistēmu, kas punktos pieliek cietam ķermenim. Šai sistēmai ir rezultāts.
Ja katru sistēmas spēku pagriež tuvu to pielietošanas punktiem vienā virzienā un vienā leņķī, tad tiks iegūtas jaunas vienādi virzītu paralēlu spēku sistēmas ar vienādiem moduļiem un pielietojuma punktiem. Šādu sistēmu rezultātam būs tāds pats modulis R, bet katru reizi citā virzienā. Saliekot spēkus F 1 un F 2 mēs atklājam, ka to rezultāts R 1, kas vienmēr iet caur punktu AR 1, kuras stāvokli nosaka vienlīdzība . Salokāms tālāk R 1 un F 3, mēs atrodam to rezultātu, kas vienmēr iet caur punktu AR 2 guļ uz taisnas līnijas A 3 AR 2. Pabeidzot spēku pievienošanas procesu līdz galam, mēs nonāksim pie secinājuma, ka visu spēku rezultāts patiešām vienmēr iet caur vienu un to pašu punktu AR, kura pozīcija attiecībā pret punktiem nemainīsies.
Punkts AR, caur kuru iet rezultējošās paralēlo spēku sistēmas darbības līnija jebkurai šo spēku rotācijai tuvu to pielikšanas punktiem vienā virzienā vienā un tajā pašā leņķī, sauc par paralēlo spēku centru (6.2. att.).

6.2.att

Noteiksim paralēlo spēku centra koordinātas. Kopš punkta pozīcijas AR attiecībā pret ķermeni ir nemainīgs, tad tā koordinātas nav atkarīgas no koordinātu sistēmas izvēles. Pagriezīsim visus spēkus ap to pielietojumu tā, lai tie kļūtu paralēli asij OU un piemēro Varinjona teorēmu rotētiem spēkiem. Jo R" ir šo spēku rezultants, tad saskaņā ar Varinjona teorēmu mums ir , jo , , mēs saņemam

No šejienes atrodam paralēlo spēku centra koordinātas zc:

Lai noteiktu koordinātas xc Izveidosim izteiksmi spēku momentam ap asi Oz.

Lai noteiktu koordinātas yc pagriezīsim visus spēkus tā, lai tie kļūtu paralēli asij Oz.

Paralēlo spēku centra pozīciju attiecībā pret izcelsmi (6.2. att.) var noteikt pēc tā rādiusa vektora:

6.2. Stingra ķermeņa smaguma centrs

Smaguma centrs stingra ķermeņa ir punkts, kas vienmēr ir saistīts ar šo ķermeni AR, caur kuru iet dotā ķermeņa radīto gravitācijas spēku darbības līnija jebkuram ķermeņa stāvoklim telpā.
Smaguma centrs tiek izmantots, pētot ķermeņu un nepārtrauktu vidi līdzsvara pozīciju stabilitāti gravitācijas ietekmē un dažos citos gadījumos, proti: materiālu stiprībā un konstrukcijas mehānikā - izmantojot Vereščagina likumu.
Ir divi veidi, kā noteikt ķermeņa smaguma centru: analītiski un eksperimentāli. Analītiskā metode smaguma centra noteikšanai tieši izriet no paralēlo spēku centra jēdziena.
Smaguma centra kā paralēlo spēku centra koordinātas nosaka pēc formulas:

Kur R- visa ķermeņa svars; pk- ķermeņa daļiņu svars; xk, yk, zk- ķermeņa daļiņu koordinātas.
Viendabīgam ķermenim visa ķermeņa un jebkuras tā daļas svars ir proporcionāls tilpumam P=Vγ, pk =vk γ, Kur γ - svars uz tilpuma vienību, V- ķermeņa apjoms. Izteicienu aizstāšana P, pk smaguma centra koordinātu noteikšanas formulā un, samazinot ar kopīgu koeficientu γ , mēs iegūstam:

Punkts AR, kuras koordinātas nosaka iegūtās formulas, sauc tilpuma smaguma centrs.
Ja ķermenis ir plāna viendabīga plāksne, tad smaguma centru nosaka pēc formulām:

Kur S- visas plāksnes laukums; sk- tās daļas laukums; xk, yk- plāksnes daļu smaguma centra koordinātas.
Punkts ARšajā gadījumā to sauc smaguma centra zona.
Ar tiek izsaukti izteiksmju skaitītāji, kas nosaka plaknes figūru smaguma centra koordinātas apgabala statiskie momenti attiecībā pret asīm plkst Un X:

Tad apgabala smaguma centru var noteikt pēc formulām:

Ķermeņiem, kuru garums ir daudzkārt lielāks par šķērsgriezuma izmēriem, nosaka līnijas smaguma centru. Līnijas smaguma centra koordinātas nosaka pēc formulas:

Kur L- līnijas garums; lk- tā daļu garums; xk, yk, zk- līnijas daļu smaguma centra koordinātas.

6.3. Ķermeņu smaguma centru koordinātu noteikšanas metodes

Pamatojoties uz iegūtajām formulām, var piedāvāt praktiskas metodes ķermeņu smaguma centru noteikšanai.
1. Simetrija. Ja ķermenim ir simetrijas centrs, tad smaguma centrs atrodas simetrijas centrā.
Ja ķermenim ir simetrijas plakne. Piemēram, XOU plakne, tad smaguma centrs atrodas šajā plaknē.
2. Sadalīšana. Ķermeņiem, kas sastāv no vienkāršas formas ķermeņiem, izmanto sadalīšanas metodi. Ķermenis ir sadalīts daļās, kuru smaguma centrs tiek noteikts ar simetrijas metodi. Visa ķermeņa smaguma centru nosaka tilpuma (laukuma) smaguma centra formulas.

Piemērs. Nosakiet plāksnes smaguma centru, kas parādīts attēlā zemāk (6.3. att.). Plāksni var dažādos veidos sadalīt taisnstūros un noteikt katra taisnstūra smaguma centra koordinātas un to laukumu.

6.3.att

Atbilde: xc=17,0 cm; yc= 18,0 cm.

3. Papildinājums. Šī metode ir īpašs sadalīšanas metodes gadījums. To lieto, ja ķermenim ir izgriezumi, šķēles utt., ja ir zināmas ķermeņa smaguma centra koordinātas bez izgriezuma.

Piemērs. Nosakiet apļveida plāksnes ar izgriezuma rādiusu smaguma centru r = 0,6 R(6.4. att.).

Att.6.4

Apaļai plāksnei ir simetrijas centrs. Novietosim koordinātu sākumpunktu plāksnes centrā. Plāksnes laukums bez izgriezuma, izgriezuma laukums. Kvadrātveida plāksne ar izgriezumu; .
Plāksnei ar izgriezumu ir simetrijas ass О1 x, tātad, yc=0.

4. Integrācija. Ja ķermeni nevar sadalīt ierobežotā skaitā detaļu, kuru smaguma centru pozīcijas ir zināmas, ķermeni sadala patvaļīgi mazos tilpumos, kuriem formula, izmantojot sadalīšanas metodi, iegūst šādu formu: .
Tad viņi iet uz robežu, novirzot elementāros apjomus uz nulli, t.i. līgumu apjomu punktos. Summas tiek aizstātas ar integrāļiem, kas paplašināti uz visu ķermeņa tilpumu, tad tilpuma smaguma centra koordinātu noteikšanas formulas iegūst šādu formu:

Formulas apgabala smaguma centra koordinātu noteikšanai:

Laukuma smaguma centra koordinātas jānosaka, pētot plākšņu līdzsvaru, aprēķinot Mora integrāli konstrukcijas mehānikā.

Piemērs. Nosakiet rādiusa apļveida loka smaguma centru R ar centrālo leņķi AOB= 2α (6.5. att.).

Rīsi. 6.5

Apļa loks ir simetrisks pret asi Ak, tāpēc loka smaguma centrs atrodas uz ass Ak, yс = 0.
Saskaņā ar līnijas smaguma centra formulu:

6.Eksperimentālā metode. Sarežģītas konfigurācijas nehomogēnu ķermeņu smaguma centrus var noteikt eksperimentāli: ar pakarināšanas un svēršanas metodi. Pirmā metode ir korpusa piekarināšana uz kabeļa dažādos punktos. Kabeļa virziens, uz kura ir piekārts ķermenis, norādīs gravitācijas virzienu. Šo virzienu krustpunkts nosaka ķermeņa smaguma centru.
Svēršanas metode ietver vispirms ķermeņa, piemēram, automašīnas, svara noteikšanu. Pēc tam uz svariem nosaka transportlīdzekļa aizmugurējās ass spiedienu uz balstu. Sastādot līdzsvara vienādojumu attiecībā pret punktu, piemēram, priekšējo riteņu asi, var aprēķināt attālumu no šīs ass līdz automašīnas smaguma centram (6.6. att.).

6.6.att

Dažkārt, risinot uzdevumus, vienlaicīgi ir jāizmanto dažādas smaguma centra koordinātu noteikšanas metodes.

6.4. Dažu vienkāršu ģeometrisku figūru smaguma centri

Bieži sastopamu formu (trīsstūris, loka loks, sektors, segments) ķermeņu smaguma centru noteikšanai ir ērti izmantot atsauces datus (6.1. tabula).

6.1. tabula

Dažu viendabīgu ķermeņu smaguma centra koordinātas

Apļveida loka smaguma centrs

Lokai ir simetrijas ass. Smaguma centrs atrodas uz šīs ass, t.i. y C = 0 .

dl- loka elements, dl = Rdφ, R- apļa rādiuss, x = Rcosφ, L= 2αR,

Tātad:

x C = R(sinα/α).

Apļveida sektora smaguma centrs

Rādiusa sektors R ar centrālo leņķi 2 α ir simetrijas ass Vērsis, kur atrodas smaguma centrs.

Mēs sadalām sektoru elementārajos sektoros, kurus var uzskatīt par trīsstūriem. Elementāro sektoru smaguma centri atrodas uz apļveida loka ar rādiusu (2/3) R.

Sektora smaguma centrs sakrīt ar loka smaguma centru AB:

Pusaplis:

37.Kinemātika. Punkta kinemātika. Punkta kustības noteikšanas metodes.

Kinemātika– mehānikas nozare, kurā materiālo ķermeņu kustība tiek pētīta no ģeometriskā viedokļa, neņemot vērā masu un uz tiem iedarbojošos spēkus. Veidi, kā norādīt punkta kustību: 1) naturālā, 2) koordināta, 3) vektora.

Punkta kinemātika- kinemātikas nozare, kas pēta materiālo punktu kustības matemātisko aprakstu. Kinemātikas galvenais uzdevums ir aprakstīt kustību, izmantojot matemātisko aparātu, nenoskaidrojot šīs kustības cēloņus.

Natural sp. norādīta punkta trajektorija, tā kustības likums pa šo trajektoriju, loka koordinātas sākums un virziens: s=f(t) – punkta kustības likums. Lineārai kustībai: x=f(t).

Koordinātu sp. punkta atrašanās vietu telpā nosaka trīs koordinātes, kuru izmaiņas nosaka punkta kustības likumu: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Ja kustība notiek plaknē, tad ir divi kustības vienādojumi. Kustības vienādojumi apraksta trajektorijas vienādojumu parametriskā formā. Izslēdzot parametru t no vienādojumiem, iegūstam trajektorijas vienādojumu parastajā formā: f(x,y)=0 (plaknei).

Vector sp. punkta pozīciju nosaka tā rādiusa vektors, kas novilkts no kāda centra. Tiek izsaukta līkne, kas novilkta līdz vektora beigām. hodogrāfsšis vektors. Tie. trajektorija – rādiusa vektora hodogrāfs.

38. Koordinātas un vektora saistība, punkta kustības precizēšanas koordinātas un dabiskās metodes.

VEKTORA METODES SAISTĪBA AR KOORDINĀTU UN DABISKO METODI izteikts ar koeficientiem:

kur ir trajektorijas pieskares vienība noteiktā punktā, kas vērsta uz attāluma atskaiti, un ir trajektorijas normālvienība noteiktā punktā, kas vērsta uz izliekuma centru (sk. 3. att.) .

KOORDINĀTU METODES SAISTĪBA AR DABĪGO. Trajektorijas vienādojums f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y iegūst no kustības vienādojumiem koordinātu formā, izslēdzot laiku t. Papildu analīze par vērtībām, ko var iegūt punkta koordinātas, nosaka to līknes posmu, kas ir trajektorija. Piemēram, ja punkta kustību nosaka vienādojumi: x=sin t; y=sin 2 t=x 2 , tad punkta trajektorija ir tas parabolas posms y=x 2, kuram -1≤x≤+1, 0≤x≤1. Attāluma skaitīšanas sākums un virziens tiek izvēlēti patvaļīgi, tas tālāk nosaka ātruma zīmi un sākotnējā attāluma lielumu un zīmi s 0 .

Kustības likumu nosaka atkarība:

zīme + vai - tiek noteikta atkarībā no pieņemtā attāluma mērīšanas virziena.

Punkta ātrums ir tā kustības kinemātiskais mērs, kas vienāds ar šī punkta rādiusa vektora laika atvasinājumu aplūkotajā atskaites sistēmā. Ātruma vektors ir vērsts pieskares punkta trajektorijai kustības virzienā

Ātruma vektors (v) ir attālums, ko ķermenis veic noteiktā virzienā laika vienībā. Lūdzu, ņemiet vērā, ka definīcija ātruma vektors ir ļoti līdzīgs ātruma definīcijai, izņemot vienu būtisku atšķirību: ķermeņa ātrums nenorāda kustības virzienu, bet ķermeņa ātruma vektors norāda gan kustības ātrumu, gan virzienu. Tāpēc ir nepieciešami divi mainīgie, kas raksturo ķermeņa ātruma vektoru: ātrums un virziens. Fizikālos lielumus, kuriem ir vērtība un virziens, sauc par vektora lielumiem.

Ātruma vektorsķermenis laiku pa laikam var mainīties. Ja mainās tā ātrums vai virziens, mainās arī ķermeņa ātrums. Pastāvīga ātruma vektors nozīmē nemainīgu ātrumu un nemainīgu virzienu, turpretī termins nemainīgs ātrums nozīmē tikai nemainīgu vērtību, neņemot vērā virzienu. Termins "ātruma vektors" bieži tiek lietots aizvietojot ar terminu "ātrums". Tie abi izsaka attālumu, ko ķermenis veic laika vienībā

Punkta paātrinājums ir tā ātruma izmaiņu mērs, kas vienāds ar šī punkta ātruma atvasinājumu attiecībā pret laiku vai punkta rādiusa vektora otro atvasinājumu attiecībā pret laiku. Paātrinājums raksturo ātruma vektora izmaiņas lielumā un virzienā un ir vērsts uz trajektorijas ieliekumu.

Paātrinājuma vektors

Šī ir ātruma izmaiņu attiecība pret laika periodu, kurā šīs izmaiņas notika. Vidējo paātrinājumu var noteikt pēc formulas:

Kur - paātrinājuma vektors.

Paātrinājuma vektora virziens sakrīt ar ātruma izmaiņu virzienu Δ = - 0 (šeit 0 ir sākotnējais ātrums, tas ir, ātrums, ar kādu ķermenis sāka paātrināties).

Laikā t1 (sk. 1.8. att.) ķermeņa ātrums ir 0. Laikā t2 ķermenim ir ātrums. Saskaņā ar vektoru atņemšanas likumu mēs atrodam ātruma izmaiņu vektoru Δ = - 0. Pēc tam jūs varat noteikt paātrinājumu šādi:

Pamatojoties uz iepriekš iegūtajām vispārīgajām formulām, ir iespējams norādīt konkrētas metodes ķermeņu smaguma centru koordinātu noteikšanai.

1. Simetrija. Ja viendabīgam ķermenim ir plakne, ass vai simetrijas centrs (7. att.), tad tā smaguma centrs atrodas attiecīgi simetrijas plaknē, simetrijas asī vai simetrijas centrā.

7. att

2. Sadalīšana.Ķermenis ir sadalīts ierobežotā skaitā daļās (8. att.), no kurām katrai ir zināma smaguma centra un laukuma atrašanās vieta.

8. att

3.Negatīvās zonas metode. Sadalīšanas metodes īpašs gadījums (9. att.). Tas attiecas uz korpusiem, kuriem ir izgriezumi, ja ir zināmi ķermeņa smaguma centri bez izgriezuma un izgriezuma daļas. Korpusu plāksnes formā ar izgriezumu attēlo cietas plāksnes (bez izgriezuma) ar laukumu S 1 un izgrieztās daļas laukumu S 2 kombinācija.

9. att

4.Grupēšanas metode. Tas ir labs papildinājums pēdējām divām metodēm. Pēc figūras sadalīšanas tās sastāvdaļu elementos ir ērti dažus no tiem apvienot vēlreiz, lai pēc tam vienkāršotu risinājumu, ņemot vērā šīs grupas simetriju.

Dažu viendabīgu ķermeņu smaguma centri.

1) Apļveida loka smaguma centrs. Apsveriet loku AB rādiuss R ar centrālu leņķi. Simetrijas dēļ šī loka smaguma centrs atrodas uz ass Vērsis(10. att.).

10. att

Atradīsim koordinātas, izmantojot formulu. Lai to izdarītu, uz loka atlasiet AB elements MM' garums, kura stāvokli nosaka leņķis. Koordināts X elements MM' būs . Šo vērtību aizstāšana X un d l un paturot prātā, ka integrālim jābūt paplašinātam visā loka garumā, mēs iegūstam:

Kur L- loka garums AB, vienāds ar .

No šejienes mēs beidzot atklājam, ka apļveida loka smaguma centrs atrodas uz tās simetrijas ass attālumā no centra PAR, vienāds

kur leņķi mēra radiānos.

2) Trijstūra laukuma smaguma centrs. Apsveriet trīsstūri, kas atrodas plaknē Oxy, kuras virsotņu koordinātas ir zināmas: A i(x i,y i), (i= 1,2,3). Trīsstūra sadalīšana šaurās sloksnēs paralēli sāniem A 1 A 2, mēs nonākam pie secinājuma, ka trijstūra smaguma centram jāpieder mediānai A 3 M 3 (11. att.).

11. att

Trīsstūra sadalīšana sloksnēs paralēli sāniem A 2 A 3, mēs varam pārbaudīt, vai tam jāatrodas uz mediānas A 1 M 1 . Tādējādi trijstūra smaguma centrs atrodas tā mediānu krustpunktā, kas, kā zināms, no katras mediānas atdala trešo daļu, skaitot no atbilstošās puses.

Jo īpaši attiecībā uz vidējo A 1 M 1 iegūstam, ņemot vērā, ka punkta koordinātas M 1 ir virsotņu koordinātu vidējais aritmētiskais A 2 un A 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Tādējādi trīsstūra smaguma centra koordinātas ir tā virsotņu koordinātu vidējā aritmētiskā vērtība:

x c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y i.

3) Apļveida sektora laukuma smaguma centrs. Apsveriet apļa sektoru ar rādiusu R ar centrālo leņķi 2α, kas atrodas simetriski attiecībā pret asi Vērsis(12. att.) .

Ir skaidrs, ka y c = 0, un attālumu no apļa centra, no kura šis sektors ir nogriezts, līdz tā smaguma centram var noteikt pēc formulas:

12. att

Vienkāršākais veids, kā aprēķināt šo integrāli, ir sadalot integrācijas domēnu elementārajos sektoros ar leņķi dφ. Precīzi līdz pirmās kārtas bezgalīgi maziem skaitļiem šādu sektoru var aizstāt ar trīsstūri, kura bāze ir vienāda ar R× dφ un augstums R. Šāda trīsstūra laukums dF=(1/2)R 2 ∙dφ, un tā smaguma centrs atrodas 2/3 attālumā R no virsotnes, tāpēc (5) ievietojam x = (2/3)R∙cosφ. Aizstāšana (5) F= α R 2, mēs iegūstam:

Izmantojot pēdējo formulu, mēs jo īpaši aprēķinām attālumu līdz smaguma centram puslokā.

Aizvietojot α = π/2 ar (2), mēs iegūstam: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

1. piemērs. Noteiksim attēlā parādītā viendabīgā ķermeņa smaguma centru. 13.

13. att

Korpuss ir viendabīgs, sastāv no divām daļām ar simetrisku formu. To smaguma centru koordinātas:

To apjomi:

Tāpēc ķermeņa smaguma centra koordinātas

2. piemērs. Atradīsim taisnā leņķī saliektas plāksnes smaguma centru. Izmēri ir zīmējumā (14. att.).

14. att

Smaguma centru koordinātas:

Apgabali:

15. att

Šajā problēmā ērtāk ir sadalīt korpusu divās daļās: lielā kvadrātā un kvadrātveida caurumā. Tikai cauruma laukums jāuzskata par negatīvu. Tad loksnes smaguma centra koordinātas ar caurumu:

koordinātas, jo ķermenim ir simetrijas ass (diagonāle).

4. piemērs. Stiepļu kronšteins (16. att.) sastāv no trim vienāda garuma sekcijām l.

16. att

Sadaļu smaguma centru koordinātas:

Tāpēc visa kronšteina smaguma centra koordinātas ir:

5. piemērs. Nosakiet kopnes smaguma centra stāvokli, kuras visiem stieņiem ir vienāds lineārais blīvums (17. att.).

Atgādināsim, ka fizikā ķermeņa blīvums ρ un tā īpatnējais svars g ir saistīts ar sakarību: γ= ρ g, Kur g- gravitācijas paātrinājums. Lai atrastu šāda viendabīga ķermeņa masu, jums jāreizina blīvums ar tā tilpumu.

17. att

Termins “lineārs” vai “lineārs” blīvums nozīmē, ka, lai noteiktu kopnes stieņa masu, lineārais blīvums jāreizina ar šī stieņa garumu.

Lai atrisinātu problēmu, varat izmantot sadalīšanas metodi. Attēlojot doto kopni kā 6 atsevišķu stieņu summu, mēs iegūstam:

Kur L i garums i th kopņu stienis, un x i, y i- tā smaguma centra koordinātas.

Šīs problēmas risinājumu var vienkāršot, sagrupējot pēdējos 5 kopnes stieņus. Ir viegli redzēt, ka tie veido figūru ar simetrijas centru, kas atrodas ceturtā stieņa vidū, kur atrodas šīs stieņu grupas smaguma centrs.

Tādējādi doto kopni var attēlot tikai ar divu stieņu grupu kombināciju.

Pirmā grupa sastāv no pirmā stieņa, par to L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m. Otrā stieņu grupa sastāv no pieciem stieņiem, tai L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Kopnes smaguma centra koordinātas tiek atrastas, izmantojot formulu:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4,2 + 20,2)/24 = 2 m.

Ņemiet vērā, ka centrs AR atrodas uz savienojošās taisnes AR 1 un AR 2 un sadala segmentu AR 1 AR 2 saistībā ar: AR 1 AR/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Pašpārbaudes jautājumi

Kā sauc paralēlo spēku centru?

Kā nosaka paralēlo spēku centra koordinātas?

Kā noteikt paralēlo spēku centru, kuru rezultāts ir nulle?

Kādas īpašības piemīt paralēlo spēku centram?

Kādas formulas izmanto, lai aprēķinātu paralēlo spēku centra koordinātas?

Kāds ir ķermeņa smaguma centrs?

Kāpēc Zemes gravitācijas spēkus, kas iedarbojas uz ķermeņa punktu, var uzskatīt par paralēlu spēku sistēmu?

Uzrakstiet nehomogēnu un viendabīgu ķermeņu smaguma centra stāvokļa noteikšanas formulu, plakano posmu smaguma centra stāvokļa noteikšanas formulu?

Pierakstiet formulu vienkāršu ģeometrisku formu smaguma centra stāvokļa noteikšanai: taisnstūris, trīsstūris, trapece un pusaplis?

Kāds ir laukuma statiskais moments?

Sniedziet piemēru ķermenim, kura smaguma centrs atrodas ārpus ķermeņa.

Kā simetrijas īpašības tiek izmantotas ķermeņu smaguma centru noteikšanā?

Kāda ir negatīvo svaru metodes būtība?

Kur atrodas apļa loka smaguma centrs?

Kādu grafisko konstrukciju var izmantot, lai atrastu trīsstūra smaguma centru?

Pierakstiet formulu, kas nosaka apļveida sektora smaguma centru.

Izmantojot formulas, kas nosaka trijstūra un apļveida sektora smaguma centrus, iegūstiet līdzīgu formulu riņķveida segmentam.

Kādas formulas izmanto, lai aprēķinātu viendabīgu ķermeņu, plakanu figūru un līniju smaguma centru koordinātas?

Ko sauc par plaknes figūras laukuma statisko momentu attiecībā pret asi, kā to aprēķina un kāds ir tā izmērs?

Kā noteikt apgabala smaguma centra stāvokli, ja ir zināms tā atsevišķo daļu smaguma centru novietojums?

Kādas palīgteorēmas izmanto, lai noteiktu smaguma centra stāvokli?

Inženierpraksē gadās, ka ir jāaprēķina sarežģītas plakanas figūras smaguma centra koordinātas, kas sastāv no vienkāršiem elementiem, kuriem ir zināma smaguma centra atrašanās vieta. Šis uzdevums ir daļa no uzdevuma noteikt...

Siju un stieņu salikto šķērsgriezumu ģeometriskie raksturlielumi. Bieži vien ar līdzīgiem jautājumiem nākas saskarties griešanas presformu projektētājiem, nosakot spiediena centra koordinātas, dažādu transportlīdzekļu iekraušanas shēmu izstrādātājiem, novietojot kravu, būvmetāla konstrukciju projektētājiem, izvēloties elementu šķērsgriezumus un, protams, studentiem, apgūstot disciplīnas “Teorētiskā mehānika” un “Materiālu stiprība”.

Elementāru figūru bibliotēka.

Simetriskām plaknes figūrām smaguma centrs sakrīt ar simetrijas centru. Elementāro objektu simetriskā grupā ietilpst: aplis, taisnstūris (ieskaitot kvadrātu), paralelograms (ieskaitot rombu), regulārs daudzstūris.

No desmit attēlā redzamajiem skaitļiem tikai divi ir pamata skaitļi. Tas nozīmē, ka, izmantojot trīsstūrus un apļu sektorus, jūs varat apvienot gandrīz jebkuru praktiski interesējošu figūru. Jebkuras patvaļīgas līknes var sadalīt sekcijās un aizstāt ar apļveida lokiem.

Atlikušās astoņas figūras ir visizplatītākās, tāpēc tās tika iekļautas šajā unikālajā bibliotēkā. Mūsu klasifikācijā šie elementi nav pamata. No diviem trijstūriem var izveidot taisnstūri, paralelogramu un trapecveida formu. Sešstūris ir četru trīsstūru summa. Apļa segments ir atšķirība starp apļa sektoru un trīsstūri. Apļa gredzenveida sektors ir divu sektoru atšķirība. Aplis ir apļa sektors ar leņķi α=2*π=360˚. Pusaplis attiecīgi ir apļa sektors ar leņķi α=π=180˚.

Saliktas figūras smaguma centra koordinātu aprēķins programmā Excel.

Vienmēr ir vieglāk nodot un uztvert informāciju, ņemot vērā piemēru, nekā izpētīt jautājumu, izmantojot tīri teorētiskus aprēķinus. Apskatīsim problēmas risinājumu “Kā atrast smaguma centru?” izmantojot saliktās figūras piemēru, kas parādīts attēlā zem šī teksta.

Saliktā sadaļa ir taisnstūris (ar izmēriem a1 = 80 mm, b1 =40 mm), kuram augšējā kreisajā pusē tika pievienots vienādsānu trīsstūris (ar pamatnes izmēru a2 =24 mm un augstums h2 =42 mm) un no kura no augšas labās puses tika izgriezts pusloks (ar centru ar koordinātām x03 =50 mm un y03 =40 mm, rādiuss r3 =26 mm).

Mēs izmantosim programmu, kas palīdzēs veikt aprēķinus MS Excel vai programma OOo Aprēķ . Jebkurš no viņiem viegli tiks galā ar mūsu uzdevumu!

Šūnās ar dzeltens mēs to aizpildīsim palīgprovizoriskais aprēķinus .

Mēs aprēķinām rezultātus šūnās ar gaiši dzeltenu pildījumu.

Zils fonts ir sākotnējie dati .

Melns fonts ir starpposma aprēķinu rezultāti .

sarkans fonts ir galīgais aprēķinu rezultāti .

Mēs sākam problēmas risināšanu - sākam meklēt sekcijas smaguma centra koordinātas.

Sākotnējie dati:

1. Attiecīgi rakstīsim elementāro figūru nosaukumus, kas veido saliktu sadaļu

uz šūnu D3: Taisnstūris

uz šūnu E3: Trīsstūris

uz šūnu F3: Pusaplis

2. Izmantojot šajā rakstā sniegto "Elementāro figūru bibliotēku", mēs noteiksim saliktās sadaļas elementu smaguma centru koordinātas. xci Un yci mm attiecībā pret patvaļīgi izvēlētām asīm 0x un 0y un ierakstiet

uz šūnu D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

uz šūnu D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

uz šūnu E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

uz šūnu E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

uz šūnu F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

uz šūnu F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Aprēķināsim elementu laukumus F 1 , F 2 , F3 mm2, atkal izmantojot formulas no sadaļas “Elementāro figūru bibliotēka”

šūnā D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

šūnā E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

šūnā F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Trešā elementa - pusloka - laukums ir negatīvs, jo tas ir izgriezums - tukša vieta!

Smaguma centra koordinātu aprēķins:

4. Nosakiet galīgās figūras kopējo laukumu F0 mm2

apvienotajā šūnā D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Aprēķināsim saliktas figūras statiskos momentus Sx Un Sy mm3 attiecībā pret atlasītajām asīm 0x un 0y

apvienotajā šūnā D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 * F2 + yc3 * F3

apvienotajā šūnā D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 * F2 + xc3 * F3

6. Un visbeidzot, aprēķināsim saliktās sekcijas smaguma centra koordinātas Xc Un Yc mm izvēlētajā koordinātu sistēmā 0x - 0g

apvienotajā šūnā D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

apvienotajā šūnā D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc = Sx/F0

Problēma ir atrisināta, aprēķins programmā Excel ir pabeigts - ir atrastas posma smaguma centra koordinātas, kas sastādītas, izmantojot trīs vienkāršus elementus!

Secinājums.

Piemērs rakstā izvēlēts ļoti vienkāršs, lai būtu vieglāk izprast sarežģīta posma smaguma centra aprēķināšanas metodiku. Metode ir tāda, ka jebkura sarežģīta figūra ir jāsadala vienkāršos elementos ar zināmām smaguma centru atrašanās vietām un jāveic galīgie aprēķini visai sekcijai.

Ja sekciju veido velmēti profili - leņķi un kanāli, tad nav nepieciešams tos sadalīt taisnstūros un kvadrātos ar izgrieztiem apļveida “π/2” sektoriem. Šo profilu smaguma centru koordinātas ir norādītas GOST tabulās, tas ir, gan leņķis, gan kanāls būs pamata elementārie elementi jūsu salikto sekciju aprēķinos (nav jēgas runāt par I-sijām, caurules, stieņi un sešstūri - tās ir centrāli simetriskas sekcijas).

Koordinātu asu atrašanās vieta, protams, neietekmē figūras smaguma centra stāvokli! Tāpēc izvēlieties koordinātu sistēmu, kas vienkāršos aprēķinus. Ja es, piemēram, mūsu piemērā pagrieztu koordinātu sistēmu par 45˚ pulksteņrādītāja virzienā, tad taisnstūra, trijstūra un pusloka smaguma centru koordinātu aprēķināšana pārvērstos par citu atsevišķu un apgrūtinošu aprēķinu posmu, ko nevar veikt. galvā”.

Tālāk norādītais Excel aprēķinu fails šajā gadījumā nav programma. Drīzāk tā ir kalkulatora skice, algoritms, veidne, kas seko katrā konkrētajā gadījumā izveidojiet savu formulu secību šūnām ar spilgti dzeltenu aizpildījumu.

Tātad, jūs tagad zināt, kā atrast jebkuras sadaļas smaguma centru! Patvaļīgu sarežģītu kompozītmateriālu sekciju visu ģeometrisko raksturlielumu pilnīgs aprēķins tiks apskatīts vienā no nākamajiem sadaļas “” rakstiem. Sekojiet jaunumiem emuārā.

Priekš saņemšana informācija par jaunu rakstu iznākšanu un priekš darba programmu failu lejupielāde Aicinu abonēt sludinājumus logā, kas atrodas raksta beigās, vai logā lapas augšpusē.

Ievadot savu e-pasta adresi un noklikšķinot uz pogas “Saņemt paziņojumus par rakstu”. NEAIZMIRSTI APSTIPRINĀT SAVU ABONEMENTU noklikšķinot uz saites vēstulē, kas nekavējoties pie jums atnāks uz norādīto e-pasta adresi (dažkārt mapē « Spams » )!

Daži vārdi par stiklu, monētu un divām dakšām, kas ir attēlotas “ilustrācijas ikonā” pašā raksta sākumā. Daudzi no jums noteikti ir pazīstami ar šo “triku”, kas izraisa apbrīnas pilnus skatienus no bērniem un nezinātājiem. Šī raksta tēma ir smaguma centrs. Tieši viņš un atbalsta punkts, spēlējoties ar mūsu apziņu un pieredzi, vienkārši apmāna mūsu prātus!

Sistēmas “dakša+monēta” smaguma centrs vienmēr atrodas fiksēts attālums vertikāli uz leju no monētas malas, kas savukārt ir atbalsta punkts. Tā ir stabila līdzsvara pozīcija! Ja sakratat dakšas, uzreiz kļūst redzams, ka sistēma tiecas ieņemt savu iepriekšējo stabilo pozīciju! Iedomājieties svārstu - fiksācijas punktu (= monētas atbalsta punkts uz stikla malas), svārsta stieņa asi (= mūsu gadījumā ass ir virtuāla, jo abu dakšu masa ir izkliedēts dažādos telpas virzienos) un slodze ass apakšā (= visas “dakšu” sistēmas smaguma centrs + monēta”). Ja sākat novirzīt svārstu no vertikāles jebkurā virzienā (uz priekšu, atpakaļ, pa kreisi, pa labi), tad gravitācijas ietekmē tas neizbēgami atgriezīsies sākotnējā stāvoklī. vienmērīgs līdzsvara stāvoklis(tas pats notiek ar mūsu dakšām un monētu)!

Ja nesaproti, bet gribi saprast, izdomā pats. Ir ļoti interesanti pašam “turp nokļūt”! Piebildīšu, ka tāds pats stabila līdzsvara izmantošanas princips ir īstenots arī rotaļlietā Vanka-stand-up. Tikai šīs rotaļlietas smaguma centrs atrodas virs atbalsta punkta, bet zem atbalsta virsmas puslodes centra.

Es vienmēr priecājos redzēt jūsu komentārus, dārgie lasītāji!!!

Jautājiet, CIEŅA autora darbs, lejupielādēt failu PĒC ABONĒŠANAS par rakstu paziņojumiem.

Aprēķinu rezultāts ir atkarīgs ne tikai no šķērsgriezuma laukuma, tāpēc, risinot materiālu stiprības problēmas, nevar iztikt bez noteikšanas figūru ģeometriskās īpašības: statiskie, aksiālie, polārie un centrbēdzes inerces momenti. Obligāti jāspēj noteikt sekcijas smaguma centra pozīciju (norādītie ģeometriskie raksturlielumi ir atkarīgi no smaguma centra stāvokļa). Papildus vienkāršu figūru ģeometriskie raksturlielumi: taisnstūris, kvadrāts, vienādsānu un taisnstūra trīsstūri, aplis, pusloks. Ir norādīts smaguma centrs un galveno centrālo asu novietojums, un tiek noteikti ģeometriskie raksturlielumi attiecībā pret tiem, ja sijas materiāls ir viendabīgs.

Taisnstūra un kvadrāta ģeometriskie raksturlielumi

Taisnstūra (kvadrāta) aksiālie inerces momenti

Taisnstūra trīsstūra ģeometriskie raksturlielumi

Taisnleņķa trijstūra aksiālie inerces momenti

Vienādsānu trīsstūra ģeometriskie raksturlielumi

Vienādsānu trijstūra aksiālie inerces momenti