Kā atrast vektora reizinājuma koordinātas. Krustprodukts - definīcijas, īpašības, formulas, piemēri un risinājumi

Šajā nodarbībā apskatīsim vēl divas darbības ar vektoriem: vektoru vektorreizinājums Un vektoru jauktais produkts (tūlītēja saite tiem, kam tas ir nepieciešams). Tas ir labi, dažreiz gadās, ka pilnīgai laimei papildus vektoru skalārais reizinājums, nepieciešams arvien vairāk. Tā ir vektora atkarība. Var šķist, ka mēs nokļūstam analītiskās ģeometrijas džungļos. Tas ir nepareizi. Šajā augstākās matemātikas sadaļā parasti ir maz koka, izņemot, iespējams, pietiekami daudz Pinokio. Patiesībā materiāls ir ļoti izplatīts un vienkāršs – diez vai sarežģītāks par to pašu skalārais produkts, būs vēl mazāk tipisko uzdevumu. Galvenais analītiskajā ģeometrijā, kā daudzi pārliecināsies vai jau ir pārliecinājušies, ir NEKLŪDĪT APRĒĶINOS. Atkārto kā burvestību un būsi laimīgs =)

Ja vektori kaut kur tālu mirdz, piemēram, zibens pie horizonta, tas nav svarīgi, sāciet ar stundu Manekenu vektori atjaunot vai atkārtoti iegūt pamatzināšanas par vektoriem. Gatavāki lasītāji ar informāciju var iepazīties selektīvi. Es centos apkopot vispilnīgāko piemēru krājumu, kas bieži sastopams praktiskajā darbā

Kas tevi uzreiz iepriecinās? Kad biju mazs, varēju žonglēt ar divām vai pat trim bumbiņām. Tas izdevās labi. Tagad jums nevajadzēs žonglēt vispār, jo mēs to apsvērsim tikai telpiskie vektori, un plakanie vektori ar divām koordinātām tiks izlaisti. Kāpēc? Tā radās šīs darbības - vektoru vektors un jauktais vektoru produkts ir definēts un darbojas trīsdimensiju telpā. Tas jau ir vieglāk!

Šī darbība, tāpat kā skalārais reizinājums, ietver divi vektori. Lai tie ir neiznīcīgi burti.

Pati darbība apzīmē aršādā veidā: . Ir arī citas iespējas, taču esmu pieradis vektoru vektorreizinājumu šādi apzīmēt kvadrātiekavās ar krustiņu.

Un uzreiz jautājums: ja iekšā vektoru skalārais reizinājums ir iesaistīti divi vektori, un šeit arī tiek reizināti divi vektori kāda ir atšķirība? Acīmredzamā atšķirība, pirmkārt, ir REZULTĀTĀ:

Vektoru skalārās reizinājuma rezultāts ir SKAITS:

Vektoru krustreizinājuma rezultāts ir VECTOR: , tas ir, mēs reizinām vektorus un atkal iegūstam vektoru. Slēgts klubs. Faktiski no šejienes cēlies operācijas nosaukums. Dažādā mācību literatūrā apzīmējumi var atšķirties arī es izmantošu burtu.

Šķērsprodukta definīcija

Vispirms būs definīcija ar bildi, tad komentāri.

Definīcija: vektora produkts nekolineārs vektori, pieņemts šādā secībā, ko sauc par VECTOR, garums kas ir skaitliski vienāds ar paralelograma laukumu, kas veidota uz šiem vektoriem; vektors ortogonāli vektoriem, un ir vērsta tā, lai pamatam būtu pareiza orientācija:

Sadalīsim definīciju pa daļām, šeit ir daudz interesantu lietu!

Tātad var izcelt šādus būtiskus punktus:

1) Sākotnējie vektori, kas apzīmēti ar sarkanām bultiņām, pēc definīcijas nav kolineārs. Nedaudz vēlāk būs lietderīgi apsvērt kolineāro vektoru gadījumu.

2) Tiek ņemti vektori stingri noteiktā secībā: – "a" tiek reizināts ar "būt", nevis “būt” ar “a”. Vektoru reizināšanas rezultāts ir VECTOR, kas ir norādīts zilā krāsā. Ja vektorus reizina apgrieztā secībā, iegūstam vienāda garuma un virzienā pretēju vektoru (aveņu krāsa). Tas ir, vienlīdzība ir patiesa .

3) Tagad iepazīsimies ar vektora reizinājuma ģeometrisko nozīmi. Tas ir ļoti svarīgs punkts! Zilā vektora GARUMS (un līdz ar to tumšsarkanā vektora) ir skaitliski vienāds ar uz vektoriem veidotā paralelograma AREA. Attēlā šis paralelograms ir iekrāsots melnā krāsā.

Piezīme : zīmējums ir shematisks, un, protams, vektora reizinājuma nominālais garums nav vienāds ar paralelograma laukumu.

Atcerēsimies vienu no ģeometriskajām formulām: Paralelograma laukums ir vienāds ar blakus esošo malu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājumu. Tāpēc, pamatojoties uz iepriekš minēto, ir spēkā formula vektora reizinājuma GARUMA aprēķināšanai:

Es uzsveru, ka formula ir par vektora GARU, nevis par pašu vektoru. Kāda ir praktiskā nozīme? Un nozīme ir tāda, ka analītiskās ģeometrijas problēmās paralelograma laukums bieži tiek atrasts, izmantojot vektora reizinājuma jēdzienu:

Iegūsim otro svarīgo formulu. Paralelograma diagonāle (sarkana punktēta līnija) sadala to divos vienādos trīsstūros. Tāpēc trīsstūra laukumu, kas veidots uz vektoriem (sarkans ēnojums), var atrast, izmantojot formulu:

4) Tikpat svarīgs fakts ir tas, ka vektors ir ortogonāls vektoriem, tas ir . Protams, arī pretēji vērstais vektors (aveņu bultiņa) ir ortogonāls sākotnējiem vektoriem.

5) Vektors ir vērsts tā, lai pamats Tā ir pa labi orientācija. Nodarbībā par pāreja uz jaunu pamatu Es runāju pietiekami detalizēti par plaknes orientācija, un tagad mēs sapratīsim, kas ir telpas orientācija. Es paskaidrošu uz jūsu pirkstiem labā roka. Garīgi apvienot rādītājpirksts ar vektoru un Vidējais pirksts ar vektoru. Gredzena pirksts un mazais pirksts nospiediet to plaukstā. Rezultātā īkšķis– vektora reizinājums pavērsies uz augšu. Tas ir uz labo pusi orientēts pamats (attēlā ir šis). Tagad mainiet vektorus ( rādītājpirksti un vidējie pirksti) vietām, kā rezultātā īkšķis pagriezīsies, un vektorreizinājums jau skatīsies uz leju. Tas ir arī uz labo pusi vērsts pamats. Jums var rasties jautājums: kuram pamatam ir kreisā orientācija? “Piešķirt” tiem pašiem pirkstiem kreisā roka vektorus un iegūstiet telpas kreiso pamatu un kreiso orientāciju (šajā gadījumā īkšķis atradīsies apakšējā vektora virzienā). Tēlaini izsakoties, šīs bāzes “sagriež” jeb orientē telpu dažādos virzienos. Un šo jēdzienu nevajadzētu uzskatīt par kaut ko tālu vai abstraktu - piemēram, telpas orientāciju maina visparastākais spogulis, un, ja jūs “izvelciet atstaroto objektu no skata stikla”, tad vispārīgā gadījumā nebūs iespējams to apvienot ar "oriģinālu". Starp citu, turiet trīs pirkstus pie spoguļa un analizējiet atspulgu ;-)

...cik labi, ka tu tagad par to zini orientēts pa labi un pa kreisi bāzes, jo dažu pasniedzēju izteikumi par orientācijas maiņu ir biedējoši =)

Kolineāro vektoru krustreizinājums

Definīcija ir detalizēti apspriesta, atliek noskaidrot, kas notiek, ja vektori ir kolineāri. Ja vektori ir kolineāri, tad tos var novietot uz vienas taisnes un arī mūsu paralelograms “salocās” vienā taisnē. Tādu laukums, kā saka matemātiķi, deģenerēts paralelograms ir vienāds ar nulli. Tas pats izriet no formulas - nulles vai 180 grādu sinuss ir vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka laukums ir nulle

Tādējādi, ja , tad Un . Lūdzu, ņemiet vērā, ka pats vektora reizinājums ir vienāds ar nulles vektoru, taču praksē tas bieži tiek atstāts novārtā un tiek rakstīts, ka tas ir arī vienāds ar nulli.

Īpašs gadījums ir vektora reizinājums ar sevi:

Izmantojot vektora reizinājumu, varat pārbaudīt trīsdimensiju vektoru kolinearitāti, un mēs, cita starpā, arī analizēsim šo problēmu.

Lai atrisinātu praktiskus piemērus, jums var būt nepieciešams trigonometriskā tabula lai no tā atrastu sinusu vērtības.

Nu, iekuram uguni:

1. piemērs

a) Atrodi vektoru vektorreizinājuma garumu, ja

b) Atrodiet uz vektoriem veidota paralelograma laukumu, ja

Risinājums: Nē, tā nav drukas kļūda, es apzināti izveidoju sākotnējos datus klauzulās. Jo risinājumu dizains būs atšķirīgs!

a) Saskaņā ar nosacījumu, jums ir jāatrod garums vektors (krustprodukts). Saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Ja jums jautāja par garumu, tad atbildē mēs norādām izmēru - vienības.

b) Saskaņā ar nosacījumu, jums ir jāatrod kvadrāts paralelograms, kas veidots uz vektoriem. Šī paralelograma laukums ir skaitliski vienāds ar vektora reizinājuma garumu:

Atbilde:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka atbilde vispār nerunā par vektorproduktu figūras laukums, attiecīgi izmērs ir kvadrāta vienības.

Mēs vienmēr skatāmies, KAS mums jāatrod atbilstoši stāvoklim, un, pamatojoties uz to, formulējam skaidrs atbildi. Tas var šķist burtiski, taču viņu vidū ir daudz burtisku skolotāju, un ir liela iespēja, ka uzdevums tiks atgriezts pārskatīšanai. Lai gan šī nav īpaši tāla ķibele - ja atbilde ir nepareiza, tad rodas iespaids, ka cilvēks nesaprot vienkāršas lietas un/vai nav sapratis uzdevuma būtību. Šis punkts vienmēr ir jākontrolē, risinot jebkuru uzdevumu augstākajā matemātikā un arī citos mācību priekšmetos.

Kur pazuda lielais burts “en”? Principā to varēja papildus pievienot risinājumam, bet, lai saīsinātu ierakstu, es to nedarīju. Ceru, ka visi to saprot un apzīmē vienu un to pašu.

Populārs DIY risinājuma piemērs:

2. piemērs

Atrodiet uz vektoriem veidota trīsstūra laukumu, ja

Formula trijstūra laukuma atrašanai caur vektora reizinājumu ir dota definīcijas komentāros. Risinājums un atbilde ir stundas beigās.

Praksē uzdevums patiešām ir ļoti izplatīts, trijstūri parasti var jūs mocīt.

Lai atrisinātu citas problēmas, mums būs nepieciešams:

Vektoru vektorreizinājuma īpašības

Mēs jau esam apsvēruši dažas vektorprodukta īpašības, tomēr es tās iekļaušu šajā sarakstā.

Patvaļīgiem vektoriem un patvaļīgam skaitlim ir patiesas šādas īpašības:

1) Citos informācijas avotos šis vienums īpašībās parasti nav izcelts, taču praktiskā ziņā tas ir ļoti svarīgs. Tātad lai tas būtu.

2) – par īpašumu arī runāts augstāk, dažkārt sauc antikommutativitāte. Citiem vārdiem sakot, vektoru secībai ir nozīme.

3) – asociatīvais vai asociatīvs vektorproduktu likumi. Konstantes var viegli pārvietot ārpus vektora reizinājuma. Tiešām, kas viņiem tur jādara?

4) – izplatīšana vai sadales vektorproduktu likumi. Arī ar kronšteinu atvēršanu nav problēmu.

Lai to parādītu, apskatīsim īsu piemēru:

3. piemērs

Atrodi, ja

Risinājums: Nosacījums atkal prasa atrast vektora reizinājuma garumu. Krāsosim savu miniatūru:

(1) Saskaņā ar asociatīvajiem likumiem konstantes tiek ņemtas ārpus vektora reizinājuma darbības jomas.

(2) Mēs pārvietojam konstanti ārpus moduļa, un modulis “apēd” mīnusa zīmi. Garums nevar būt negatīvs.

(3) Pārējais ir skaidrs.

Atbilde:

Ir pienācis laiks ugunij pievienot vairāk malkas:

4. piemērs

Aprēķiniet uz vektoriem veidota trīsstūra laukumu, ja

Risinājums: Atrodiet trīsstūra laukumu, izmantojot formulu . Galvenais ir tas, ka vektori “tse” un “de” paši tiek parādīti kā vektoru summas. Algoritms šeit ir standarta un nedaudz atgādina nodarbības 3. un 4. piemēru Vektoru punktu reizinājums. Skaidrības labad mēs sadalīsim risinājumu trīs posmos:

1) Pirmajā solī mēs izsakām vektora reizinājumu caur vektora reizinājumu, patiesībā, izteiksim vektoru vektora izteiksmē. Par garumiem vēl nav ne vārda!

(1) Aizstāj vektoru izteiksmes.

(2) Izmantojot sadalījuma likumus, mēs atveram iekavas saskaņā ar polinomu reizināšanas likumu.

(3) Izmantojot asociatīvos likumus, mēs pārvietojam visas konstantes ārpus vektora reizinājuma. Ar nelielu pieredzi 2. un 3. darbību var veikt vienlaikus.

(4) Pirmais un pēdējais termins ir vienādi ar nulli (nulles vektors), pateicoties jaukajai īpašībai. Otrajā terminā mēs izmantojam vektora produkta antikomutativitātes īpašību:

(5) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus.

Rezultātā vektors izrādījās izteikts caur vektoru, kas bija jāsasniedz:

2) Otrajā solī mēs atrodam vajadzīgā vektora reizinājuma garumu. Šī darbība ir līdzīga 3. piemēram:

3) Atrodiet vajadzīgā trīsstūra laukumu:

Risinājuma 2.-3.posmu varēja rakstīt vienā rindā.

Atbilde:

Aplūkotā problēma ir diezgan izplatīta testos, šeit ir piemērs, kā to atrisināt pats:

5. piemērs

Atrodi, ja

Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās. Redzēsim, cik uzmanīgs jūs bijāt, pētot iepriekšējos piemērus ;-)

Vektoru krustreizinājums koordinātēs

Formula ir patiešām vienkārša: determinanta augšējā rindā ierakstām koordinātu vektorus, otrajā un trešajā rindā "ieliekam" vektoru koordinātas un ievietojam stingrā kārtībā– vispirms “ve” vektora koordinātas, tad “dubultā-ve” vektora koordinātas. Ja vektori jāreizina citā secībā, tad rindas ir jāsamaina:

10. piemērs

Pārbaudiet, vai šādi telpas vektori ir kolineāri:
A)
b)

Risinājums: Pārbaude ir balstīta uz vienu no šīs nodarbības apgalvojumiem: ja vektori ir kolineāri, tad to vektora reizinājums ir vienāds ar nulli (nulles vektors): .

a) Atrodiet vektora reizinājumu:

Tādējādi vektori nav kolineāri.

b) Atrodiet vektora reizinājumu:

Atbilde a) nav kolineārs, b)

Šeit, iespējams, ir visa pamatinformācija par vektoru vektoru reizinājumu.

Šī sadaļa nebūs ļoti liela, jo ir maz problēmu, ja tiek izmantots vektoru jauktais produkts. Patiesībā viss būs atkarīgs no definīcijas, ģeometriskās nozīmes un pāris darba formulām.

Jaukts vektoru reizinājums ir trīs vektoru reizinājums:

Tāpēc viņi sastājās rindā kā vilciens un nevar sagaidīt, kad tiks identificēti.

Pirmkārt, atkal definīcija un attēls:

Definīcija: Jaukts darbs ne-kopplanārs vektori, pieņemts šādā secībā, zvanīja paralēlskaldņu tilpums, kas veidots uz šiem vektoriem, aprīkots ar “+” zīmi, ja pamats ir pareizs, un “–” zīmi, ja pamats ir pa kreisi.

Taisīsim zīmējumu. Mums neredzamās līnijas tiek vilktas ar punktētām līnijām:

Iedziļināsimies definīcijā:

2) Tiek ņemti vektori noteiktā secībā, tas ir, vektoru pārkārtošanās produktā, kā jūs varētu nojaust, nenotiek bez sekām.

3) Pirms komentēt ģeometrisko nozīmi, es atzīmēšu acīmredzamu faktu: vektoru jauktais reizinājums ir SKAITS: . Mācību literatūrā dizains var būt nedaudz atšķirīgs, jaukto produktu esmu pieradis apzīmēt ar burtu, bet aprēķinu rezultātu - ar burtu “pe”.

A-prioritāte jauktais produkts ir paralēlskaldņa tilpums, kas veidota uz vektoriem (attēls zīmēts ar sarkaniem vektoriem un melnām līnijām). Tas ir, skaitlis ir vienāds ar dotā paralēlskaldņa tilpumu.

Piezīme : Zīmējums ir shematisks.

4) Neraizēsimies atkal par pamata un telpas orientācijas jēdzienu. Pēdējās daļas nozīme ir tāda, ka skaļumam var pievienot mīnusa zīmi. Vienkāršiem vārdiem sakot, jaukts produkts var būt negatīvs: .

Tieši no definīcijas izriet formula paralēlskaldņa tilpuma aprēķināšanai, kas veidota uz vektoriem.

Vektoru mākslas darbs ir pseidovektors, kas ir perpendikulārs plaknei, kas konstruēta no diviem faktoriem, kas ir bināras darbības “vektoru reizināšanas” rezultāts pār vektoriem trīsdimensiju eiklīda telpā. Vektora reizinājumam nav komutativitātes un asociatīvās īpašību (tas ir pretkomutatīvs), un atšķirībā no vektoru skalārā reizinājuma ir vektors. Plaši izmanto daudzos inženierzinātņu un fizikas lietojumos. Piemēram, leņķiskais impulss un Lorenca spēks ir matemātiski ierakstīti kā vektora reizinājums. Šķērsreizinājums ir noderīgs vektoru perpendikulitātes "mērīšanai" – divu vektoru krustreizinājuma modulis ir vienāds ar to moduļu reizinājumu, ja tie ir perpendikulāri, un samazinās līdz nullei, ja vektori ir paralēli vai antiparalēli.

Vektoru reizinājumu var definēt dažādi, un teorētiski jebkura izmēra n telpā var aprēķināt n-1 vektoru reizinājumu, tādējādi iegūstot vienu vektoru, kas ir perpendikulārs tiem visiem. Bet, ja reizinājums ir ierobežots ar netriviāliem bināriem reizinājumiem ar vektoru rezultātiem, tad tradicionālo vektoru reizinājumu nosaka tikai trīsdimensiju un septiņu dimensiju telpās. Vektora reizinājuma rezultāts, tāpat kā skalārais reizinājums, ir atkarīgs no Eiklīda telpas metrikas.

Atšķirībā no formulas skalārās reizinājuma vektoru aprēķināšanai no koordinātām trīsdimensiju taisnstūra koordinātu sistēmā, šķērsreizinājuma formula ir atkarīga no taisnstūra koordinātu sistēmas orientācijas jeb, citiem vārdiem sakot, no tās “hiralitātes”.

Definīcija:
Vektora a un vektora b vektorreizinājums telpā R3 ir vektors c, kas atbilst šādām prasībām:
vektora c garums ir vienāds ar vektoru a un b garumu un starp tiem esošā leņķa φ sinusa reizinājumu:
|c|=|a||b|sin φ;
vektors c ir ortogonāls katram vektoram a un b;
vektors c ir vērsts tā, lai vektoru abc trīskāršs būtu ar labo roku;
telpas R7 gadījumā ir nepieciešama vektoru trīskārša a, b, c asociativitāte.
Apzīmējums:
c===a × b

Rīsi. 1. Paralelograma laukums ir vienāds ar vektora reizinājuma moduli

Šķērsprodukta ģeometriskās īpašības:
Nepieciešams un pietiekams nosacījums divu nulles vektoru kolinearitātei ir tas, ka to vektoru reizinājums ir vienāds ar nulli.

Vairāku produktu modulis vienāds ar laukumu S paralelograms, kas konstruēts uz vektoriem, kas reducēti līdz kopējam sākumam a Un b(skat. 1. att.).

Ja e- vektoriem ortogonāls vienības vektors a Un b un izvēlējās tā, ka trīs a,b,e- pareizi, un S ir uz tiem konstruētā paralelograma laukums (reducēts līdz kopējam sākumam), tad ir derīga vektora reizinājuma formula:
=S e

2. att. Paralēlskaldņa tilpums, izmantojot vektoru un skalāro reizinājumu; punktētās līnijas parāda vektora c projekcijas uz a × b un vektora a projekcijas uz b × c, pirmais solis ir atrast skalāros reizinājumus

Ja c- daži vektori, π - jebkura plakne, kas satur šo vektoru, e- vienības vektors, kas atrodas plaknē π un ortogonāli pret c,g- plaknei ortogonāls mērvienības vektors π un vērsta tā, ka vektoru trīskāršs ekg ir pareizi, tad par jebkuru gulēšanu lidmašīnā π vektors a formula ir pareiza:
=Pr e a |c|g
kur Pr e a ir vektora e projekcija uz a
|c|-vektora c modulis

Izmantojot vektoru un skalārus reizinājumus, varat aprēķināt paralēlskaldņa tilpumu, kas veidots uz vektoriem, kas samazināti līdz kopējam sākumam. a, b Un c. Šādu trīs vektoru reizinājumu sauc par jauktu.
V=|a (b×c)|
Attēlā parādīts, ka šo tilpumu var atrast divos veidos: ģeometriskais rezultāts tiek saglabāts pat tad, ja tiek apmainīti “skalāra” un “vektora” produkti:
V=a×b c=a b×c

Šķērsprodukta lielums ir atkarīgs no leņķa sinusa starp sākotnējiem vektoriem, tāpēc šķērsreizinājumu var uztvert kā vektoru “perpendikulitātes” pakāpi, tāpat kā skalāro reizinājumu var uzskatīt par “paralelitātes” pakāpi. ”. Divu vienību vektoru vektorreizinājums ir vienāds ar 1 (vienības vektors), ja sākotnējie vektori ir perpendikulāri, un vienāda ar 0 (nulles vektors), ja vektori ir paralēli vai antiparalēli.

Šķērsreizinājuma izteiksme Dekarta koordinātēs
Ja divi vektori a Un b definētas ar to taisnstūrveida Dekarta koordinātām vai, precīzāk, attēlotas ortonormālā bāzē
a=(ax,ay,az)
b=(b x ,b y ,b z)
un koordinātu sistēma ir labā roka, tad to vektora reizinājumam ir forma
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Lai atcerētos šo formulu:
i =∑ε ijk a j b k
Kur ε ijk- Levi-Civita simbols.

7.1. Šķērsprodukta definīcija

Trīs nekopplanāri vektori a, b un c, ņemti norādītajā secībā, veido labās puses tripletu, ja no trešā vektora c beigām redzams īsākais pagrieziens no pirmā vektora a uz otro vektoru b jābūt pretēji pulksteņrādītāja virzienam, un kreisais trijnieks, ja pulksteņrādītāja virzienā (sk. 16. att.).

Vektora a un vektora b vektorreizinājumu sauc par vektoru c, kas:

1. Perpendikulāri vektoriem a un b, t.i., c ^ a un c ^ b ;

2. Tā garums ir skaitliski vienāds ar paralelograma laukumu, kas konstruēts uz vektoriem a unb kā uz sāniem (skat. 17. att.), t.i.

3. Vektori a, b un c veido labās puses trīskāršu.

Šķērsreizinājumu apzīmē ar x b vai [a,b]. Šādas attiecības starp vienību vektoriem i tieši izriet no vektora reizinājuma definīcijas, j Un k(sk. 18. att.):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Pierādīsim, piemēram, to i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, bet | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektori i, j un k veido labo trīskāršu (skat. 16. att.).

7.2. Šķērsprodukta īpašības

1. Pārkārtojot faktorus, vektora reizinājums maina zīmi, t.i. un xb =(b xa) (sk. 19. att.).

Vektori a xb un b xa ir kolineāri, tiem ir vienādi moduļi (paralelograma laukums paliek nemainīgs), bet ir pretēji vērsti (pretējas orientācijas trīskārši a, b, a xb un a, b, b x a). Tas ir axb = -(b xa).

2. Vektora reizinājumam ir kombinēšanas īpašība attiecībā pret skalāro koeficientu, t.i., l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Lai l >0. Vektors l (a xb) ir perpendikulārs vektoriem a un b. Vektors ( l a)x b ir arī perpendikulāra vektoriem a un b(vektori a, l bet guļ vienā plaknē). Tas nozīmē, ka vektori l(a xb) un ( l a)x b kolineārs. Ir skaidrs, ka viņu virzieni sakrīt. Viņiem ir vienāds garums:

Tāpēc l(a xb)= l a xb. Tas ir pierādīts līdzīgi l<0.

3. Divi nulles vektori a un b ir kolineāri tad un tikai tad, ja to vektora reizinājums ir vienāds ar nulles vektoru, t.i., a ||b<=>un xb =0.

Jo īpaši i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektora reizinājumam ir sadalījuma īpašība:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Mēs pieņemsim bez pierādījumiem.

7.3. Šķērsprodukta izteikšana koordinātu izteiksmē

Mēs izmantosim vektoru i krustojumu tabulu, j un k:

ja īsākā ceļa virziens no pirmā vektora līdz otrajam sakrīt ar bultiņas virzienu, tad reizinājums ir vienāds ar trešo vektoru, ja nesakrīt, trešo vektoru ņem ar mīnusa zīmi.

Doti divi vektori a =a x i +a y j+a z k un b = b x i+b g j+b z k. Atradīsim šo vektoru vektorreizinājumu, reizinot tos kā polinomus (atbilstoši vektora reizinājuma īpašībām):

Iegūto formulu var uzrakstīt vēl īsāk:

jo vienādības labā puse (7.1) atbilst trešās kārtas determinanta izvērsumam pirmās rindas elementu izteiksmē Vienādību (7.2) ir viegli atcerēties.

7.4. Daži šķērsprodukta pielietojumi

Vektoru kolinearitātes noteikšana

Paralelograma un trijstūra laukuma atrašana

Saskaņā ar vektoru vektora reizinājuma definīciju A un b |a xb | =|a | * |b |sin g, t.i., S pāri = |a x b |. Un tāpēc D S =1/2|a x b |.

Spēka momenta noteikšana par punktu

Pieliek spēku punktā A F = ABļaujiet tai iet PAR- kāds punkts telpā (skat. 20. att.).

No fizikas ir zināms, ka spēka moments F attiecībā pret punktu PAR sauc par vektoru M, kas iet caur punktu PAR Un:

1) perpendikulāri plaknei, kas iet caur punktiem O, A, B;

2) skaitliski vienāds ar spēka reizinājumu uz vienu roku

3) veido taisno trīskāršu ar vektoriem OA un A B.

Tāpēc M = OA x F.

Lineārā rotācijas ātruma atrašana

Ātrums v punkts M cietam ķermenim, kas rotē ar leņķisko ātrumu w ap fiksētu asi, nosaka ar Eilera formulu v =w xr, kur r =OM, kur O ir kāds fiksēts ass punkts (sk. 21. att.).

Angļu: Wikipedia padara vietni drošāku. Jūs izmantojat vecu tīmekļa pārlūkprogrammu, kas turpmāk nevarēs izveidot savienojumu ar Wikipedia. Lūdzu, atjauniniet savu ierīci vai sazinieties ar IT administratoru.

中文: The以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）.

spāņu: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Izmantots está use un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el elfuuro. Aktuāli sazinoties ar informāciju par administratoru. Más abajo hay una aktualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt paplašina vietnes drošību. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus paņēmienus un angļu valodas sont disponibles ci-dessous.

日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています.

Vācu valoda: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät vai sprich deinen IT-administrator an. Ausführlichere (un technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

itāļu valoda: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Palieciet un izmantojiet tīmekļa pārlūkprogrammu, kas nav saistīta ar Vikipēdijas grado di connettersi futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico in inglese.

ungāru: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A pārlūku, amit izmantosz, nav iespējams slēdzi a nākotnē. Használj modernebb programmatūrat vai norādīja, ka problēmat a sistēmasgazdádnak. Alább lasīt a detalizētāku skaidrojumu (angolul).

Svenska: Wikipedia skat sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Atjaunināt IT administratoru. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Mēs noņemam nedrošo TLS protokola versiju atbalstu, jo īpaši TLSv1.0 un TLSv1.1, ko izmanto jūsu pārlūkprogrammas programmatūra, lai izveidotu savienojumu ar mūsu vietnēm. To parasti izraisa novecojušas pārlūkprogrammas vai vecāki Android viedtālruņi. Vai arī tie varētu būt traucējumi no korporatīvās vai personīgās "Web Security" programmatūras, kas faktiski samazina savienojuma drošību.

Lai piekļūtu mūsu vietnēm, jums ir jājaunina sava tīmekļa pārlūkprogramma vai citādi jānovērš šī problēma. Šis ziņojums paliks līdz 2020. gada 1. janvārim. Pēc šī datuma jūsu pārlūkprogramma nevarēs izveidot savienojumu ar mūsu serveriem.

Mēs izmantosim vektoru i, j un k krustojumu tabulu:

ja īsākā ceļa virziens no pirmā vektora līdz otrajam sakrīt ar bultiņas virzienu, tad reizinājums ir vienāds ar trešo vektoru, ja nesakrīt, trešo vektoru ņem ar mīnusa zīmi.

Doti divi vektori a=axi +ayj +azk un b =bxi +byj +bzk. Atradīsim šo vektoru vektorreizinājumu, reizinot tos kā polinomus (atbilstoši vektora reizinājuma īpašībām):
Iegūto formulu var uzrakstīt vēl īsāk: jo vienādības labā puse (7.1) atbilst trešās kārtas determinanta izvērsumam pirmās rindas elementu izteiksmē Vienādību (7.2) ir viegli atcerēties.

7.4. Daži šķērsprodukta pielietojumi

Vektoru kolinearitātes noteikšana.
Paralelograma un trijstūra laukuma atrašana

Saskaņā ar vektoru a un b vektorreizinājuma definīciju |a xb | = |a| * |b |dzied, t.i., S pāri = |a x b |. Un tāpēc DS =1/2|a x b |.

Spēka momenta noteikšana par punktu

Pieliek spēku F =AB punktā A un lai O ir kāds telpas punkts No fizikas ir zināms, ka spēka F moments attiecībā pret punktu O ir vektors M, kas iet caur punktu O un:

1) perpendikulāri plaknei, kas iet caur punktiem O, A, B;

2) ir skaitliski vienāds ar pleca spēka reizinājumu 3) veido labās puses trīskāršu ar vektoriem OA un A B.

Tāpēc M = OA x F. Lineārā rotācijas ātruma atrašana

Cieta ķermeņa punkta M ātrumu v, kas rotē ar leņķisko ātrumu w ap fiksētu asi, nosaka Eilera formula v =w xr, kur r = OM, kur O ir kāds fiksēts ass punkts (sk. 21).

Leņķis starp vektoriem

No divu vektoru skalārās reizinājuma definīcijas izriet, ka Ja vektori un ir norādīti ar koordinātām un , tad formula (1.6.3.1) tiks uzrakstīta šādi:

Uz vektoriem veidota paralelograma laukums

Segmentu garumu, attālumu starp punktiem, virsmas laukumu un ķermeņu tilpumu mērīšanas problēmas pieder pie svarīgas problēmu klases, ko parasti sauc par metrisko. Iepriekšējā sadaļā mēs uzzinājām, kā izmantot vektoru algebru, lai aprēķinātu līniju segmentu garumus un attālumus starp punktiem. Tagad mēs meklēsim veidus, kā aprēķināt platības un apjomus. Vektoralgebra ļauj izvirzīt un atrisināt šādas problēmas tikai diezgan vienkāršiem gadījumiem. Lai aprēķinātu patvaļīgu virsmu laukumus un patvaļīgu ķermeņu tilpumus, ir nepieciešamas analīzes metodes. Savukārt analīzes metodes būtiski paļaujas uz vektora algebras sniegtajiem rezultātiem.

Lai atrisinātu problēmu, mēs izvēlējāmies diezgan garu un sarežģītu ceļu, ko ierosināja Hilberts Strengs, kas saistīts ar daudzām ģeometriskām transformācijām un rūpīgiem algebriskiem aprēķiniem. Mēs izvēlējāmies šo ceļu, neskatoties uz to, ka ir arī citas pieejas, kas ātrāk noved pie mērķa, jo tas mums šķita tiešs un dabisks. Tiešais ceļš zinātnē ne vienmēr ir vieglākais. Pieredzējuši cilvēki par to zina un dod priekšroku apļveida ceļiem, taču, ja nemēģināsit braukt taisni, jūs varat palikt neziņā par dažiem teorijas smalkumiem.

Mūsu izvēlētajā ceļā dabiski parādās tādi jēdzieni kā telpiskā orientācija, determinants, vektors un jaukti produkti. Īpaši skaidri, it kā zem mikroskopa, atklājas determinanta un tā īpašību ģeometriskā nozīme. Tradicionāli determinanta jēdziens tiek ieviests lineāro vienādojumu sistēmu teorijā, taču tieši šādu sistēmu risināšanai determinants ir gandrīz bezjēdzīgs. Determinanta ģeometriskā nozīme ir būtiska vektoru un tenzoru algebrai.

Tagad būsim pacietīgi un sāksim ar vienkāršākajiem un saprotamākajiem gadījumiem.

1. Vektori ir orientēti pa Dekarta koordinātu sistēmas koordinātu asīm.

Ļaujiet vektoram a būt vērstam pa x asi, bet vektoram b pa y asi. Attēlā 21. attēlā parādītas četras dažādas vektoru izvietojuma iespējas attiecībā pret koordinātu asīm.

Vektori a un b koordinātu formā: kur a un b apzīmē atbilstošā vektora lielumu, bet a ir vektora koordinātas zīme.

Tā kā vektori ir ortogonāli, uz tiem konstruētie paralelogrami ir taisnstūri. Viņu platības ir vienkārši to pušu rezultāts. Izteiksim šos reizinājumus ar vektoru koordinātām visiem četriem gadījumiem.

Visas četras platības aprēķināšanas formulas ir vienādas, izņemot zīmi. Jūs varētu vienkārši aizvērt acis un pierakstīt, ka visos gadījumos. Tomēr produktīvāka izrādās cita iespēja: piešķirt zīmei kādu nozīmi. Uzmanīgi apskatīsim att. 21. Gadījumos, kad vektora rotācija pret vektoru tiek veikta pulksteņrādītāja virzienā. Tajos gadījumos, kad formulā esam spiesti izmantot mīnusa zīmi, vektora rotācija pret vektoru tiek veikta pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Šis novērojums ļauj zīmi laukumu izteiksmēs saistīt ar plaknes orientāciju.

Taisnstūra laukums, kas veidots uz vektoriem a un b ar plusa vai mīnusa zīmi, tiks uzskatīts par orientētu laukumu, un zīme tiks saistīta ar vektoru norādīto orientāciju. Orientētai zonai mēs varam uzrakstīt vienu formulu visiem četriem aplūkotajiem gadījumiem: . Virs burta S tiek ieviesta “vektora” joslas zīme, lai atšķirtu parasto laukumu, kas vienmēr ir pozitīvs, no orientētā.

Turklāt ir acīmredzams, ka tie paši vektori, ņemti citā secībā, nosaka pretēju orientāciju, tāpēc . Mēs tikai turpināsim apzīmēt apgabalu ar burtu S un tāpēc .

Tagad, kad šķiet, ka uz platības jēdziena paplašināšanas rēķina esam saņēmuši vispārīgu izteicienu, vērīgais lasītājs teiks, ka neesam izskatījuši visas iespējas. Patiešām, papildus četrām vektoru atrašanās vietas iespējām, kas parādītas attēlā. 21, ir vēl četri (22. att.) Vēlreiz ierakstīsim vektorus koordinātu formā: Izteiksim laukumus caur vektoru koordinātām. 4. . Zīmes jaunajos izteicienos nav mainījušās, bet diemžēl ir mainījusies orientācija attiecībā pret iepriekšējiem četriem gadījumiem. Tāpēc orientētajai zonai esam spiesti rakstīt: . Lai gan cerība uz ģeniālu vienkāršību nebija pamatota, mēs joprojām varam pierakstīt vispārīgu izteiksmi visiem četriem gadījumiem.

Tas ir, uz vektoriem veidota taisnstūra orientētais laukums, tāpat kā uz malām, ir vienāds ar determinantu, kas sastāv no vektoru koordinātām, kā uz kolonnām.

Mēs uzskatām, ka lasītājs ir iepazinies ar determinantu teoriju, tāpēc mēs pie šī jēdziena sīkāk nekavējamies. Tomēr mēs sniedzam atbilstošas ​​definīcijas, lai mainītu uzsvaru un parādītu, ka šo jēdzienu var iegūt no tīri ģeometriskiem apsvērumiem. , , ir dažādas apzīmējuma formas vienam un tam pašam jēdzienam — determinants, kas sastāv no vektora koordinātām, piemēram, kolonnām. Vienlīdzība var uzskatīt par tā definīciju divdimensiju gadījumam.

2. Vektors b nav paralēls x asij; vektors a/ ir patvaļīgs vektors.

Lai šo gadījumu reducētu uz jau zināmajiem, apskatīsim dažas ģeometriskās transformācijas paralelogramam, kas veidots uz vektoriem un (att. vektoru jauktie produkti un tā īpašības