Matricas. Darbības uz matricām

Ņemiet vērā, ka matricas elementi var būt ne tikai skaitļi. Iedomāsimies, ka jūs aprakstāt grāmatas, kas atrodas jūsu grāmatu plauktā. Lai jūsu plaukts ir kārtībā un visas grāmatas atrodas stingri noteiktās vietās. Tabula, kurā būs jūsu bibliotēkas apraksts (pēc plauktiem un grāmatu secības plauktā), arī būs matrica. Bet šāda matrica nebūs skaitliska. Vēl viens piemērs. Ciparu vietā ir dažādas funkcijas, kuras vieno zināma atkarība. Iegūtā tabula tiks saukta arī par matricu. Citiem vārdiem sakot, matrica ir jebkura taisnstūra galds, kas sastāv no viendabīgs elementi. Šeit un tālāk mēs runāsim par matricām, kas veidotas no skaitļiem.

Matricu rakstīšanai iekavu vietā tiek izmantotas kvadrātiekavas vai taisnas dubultās vertikālās līnijas

(2.1*)

2. definīcija. Ja izteiksmē(1) m = n, tad viņi runā par kvadrātveida matrica, un ja , tad ak taisnstūrveida.

Atkarībā no m un n vērtībām tiek izdalīti daži īpaši matricu veidi:

Vissvarīgākā īpašība kvadrāts matrica ir viņa noteicējs vai noteicējs, kas sastāv no matricas elementiem un ir apzīmēts

Acīmredzot D E =1; .

3. definīcija. Ja , tad matrica A sauca nedeģenerēts vai nav īpašs.

4. definīcija. Ja detA = 0, tad matrica A sauca deģenerēts vai īpašs.

5. definīcija. Divas matricas A Un B tiek saukti vienāds un rakstiet A = B ja tiem ir vienādi izmēri un tiem atbilstošie elementi ir vienādi, t.i..

Piemēram, matricas un ir vienādas, jo tie ir vienādi pēc izmēra un katrs vienas matricas elements ir vienāds ar otras matricas attiecīgo elementu. Bet matricas nevar saukt par vienādām, lai gan abu matricu determinanti ir vienādi, un matricu izmēri ir vienādi, taču ne visi elementi, kas atrodas vienās vietās, ir vienādi. Matricas ir atšķirīgas, jo tām ir dažādi izmēri. Pirmā matrica ir 2x3 liela, bet otrā ir 3x2. Lai gan elementu skaits ir vienāds - 6 un paši elementi ir vienādi 1, 2, 3, 4, 5, 6, taču tie atrodas dažādās vietās katrā matricā. Bet matricas ir vienādas saskaņā ar 5. definīciju.

6. definīcija. Ja labojat noteiktu skaitu matricas kolonnu A un tikpat daudz rindu, tad elementi norādīto kolonnu un rindu krustpunktā veido kvadrātveida matricu n- kārta, kuras noteicošais sauca nepilngadīgais k – kārtas matrica A.

Piemērs. Pierakstiet trīs matricas otrās kārtas nepilngadīgos

Lineārās algebras uzdevumi. Matricas jēdziens. Matricu veidi. Darbības ar matricām. Matricas transformācijas uzdevumu risināšana.

Risinot dažādus uzdevumus matemātikā, bieži nākas saskarties ar skaitļu tabulām, ko sauc par matricām. Izmantojot matricas, ir ērti risināt lineāro vienādojumu sistēmas, veikt daudzas darbības ar vektoriem, risināt dažādas datorgrafikas problēmas un citas inženiertehniskās problēmas.

Matricu sauc taisnstūrveida skaitļu tabula, kas satur daudzumu m līnijas un noteiktu skaitu P kolonnas. Skaitļi T Un P sauc par matricas pasūtījumiem. Ja T = P, matricu sauc par kvadrātu, un skaitli m = n - viņas pasūtījums.

Turpmāk matricu rakstīšanai tiks izmantotas dubultās domuzīmes vai iekavas:

Or

Lai īsi apzīmētu matricu, bieži tiks izmantots vai nu viens lielais burts (piemēram, A) vai simbols || a ij ||, un dažreiz ar paskaidrojumu: A = || a ij || = (a ij), Kur (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n).

Skaitļi aij, iekļauti šajā matricā tiek saukti par tās elementiem. Ierakstā a ij pirmais indekss і nozīmē rindas numuru un otro indeksu j- kolonnas numurs. Kvadrātveida matricas gadījumā

(1.1)

Tiek ieviesti galvenās un sekundārās diagonāles jēdzieni. Matricas (1.1) galveno diagonāli sauc par diagonāli 11 līdz 12 … Ann iet no šīs matricas augšējā kreisā stūra uz tās apakšējo labo stūri. Tās pašas matricas sānu diagonāli sauc par diagonāli a n 1 a (n -1)2… a 1 n, iet no apakšējā kreisā stūra uz augšējo labo stūri.

Pamatoperācijas ar matricām un to īpašības.

Pāriesim pie pamatoperāciju definēšanas ar matricām.

Matricas pievienošana. Divu matricu summa A = || a ij || , Kur Un B = || b ij || , Kur (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n) tie paši pasūtījumi T Un P ko sauc par matricu C = || c ij || (i = 1, 2, ..., t; j = 1, 2, ...., p) tie paši pasūtījumi T Un P, elementi ar ij kuras nosaka pēc formulas

, Kur (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.2)

Lai apzīmētu divu matricu summu, tiek izmantots apzīmējums C = A + B. Matricu summas sastādīšanas operāciju sauc par to saskaitīšanu. Tātad pēc definīcijas:

+ =

No matricu summas definīcijas jeb precīzāk no formulām (1.2.) uzreiz izriet, ka matricu saskaitīšanas darbībai ir tādas pašas īpašības kā reālu skaitļu saskaitīšanas darbībai, proti:

1) komutatīvais īpašums: A + B = B + A,

2) asociatīvais īpašums: ( A + B) + C = A + (B + C).

Šīs īpašības ļauj neuztraukties par matricas terminu secību, pievienojot divas vai vairākas matricas.

Matricas reizināšana ar skaitli. Matricas A reizinājums = || a ij || , kur (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) ar reālu skaitli l, sauc par matricu C = || c ij || (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), kuras elementus nosaka pēc formulas:

, Kur (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.3)

Lai apzīmētu matricas un skaitļa reizinājumu, tiek izmantots apzīmējums C = l A vai C = A l. Darbību, kurā matricas reizinājumu veido ar skaitli, sauc par matricas reizināšanu ar šo skaitli.

Tieši no formulas (1.3) ir skaidrs, ka matricas reizināšanai ar skaitli ir šādas īpašības:

1) asociatīvā īpašība attiecībā uz skaitlisko reizinātāju: (l m) A = l (m A);

2) sadalījuma īpašība attiecībā pret matricu summu: l (A + B) = l A + l B;

3) sadales īpašība attiecībā uz skaitļu summu: (l + m) A = l A + m A

komentēt. Divu matricu atšķirība A Un IN identiski pasūtījumi T Un P ir dabiski saukt šādu matricu AR tie paši pasūtījumi T Un P, kas summējas ar matricu B dod matricu A. Lai apzīmētu divu matricu atšķirību, izmanto dabisko apzīmējumu: C = A–B.

Ir ļoti viegli pārbaudīt atšķirību AR divas matricas A Un IN var iegūt pēc noteikuma C = A + (–1) V.

Matricu reizinājums vai matricas reizināšana.

Matricas produkts A = || a ij || , kur (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) kuru pasūtījumi ir attiecīgi vienādi T Un n, uz matricu B = || b ij || , Kur (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), kuru pasūtījumi ir attiecīgi vienādi n Un R, sauc par matricu C = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), kuru pasūtījumi ir attiecīgi vienādi T Un R kuras elementus nosaka pēc formulas:

Kur (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Lai apzīmētu matricas reizinājumu A uz matricu IN izmantot ierakstu C = A × B. Matricas produkta sastādīšanas darbība A uz matricu IN sauc par šo matricu reizināšanu.

No iepriekš formulētās definīcijas izriet, ka Matricu A nevar reizināt ar katru matricu B, ir nepieciešams, lai matricas kolonnu skaits A bija vienāds ar matricas rindu skaitu IN.

Formula (1.4) ir matricas C elementu sastādīšanas noteikums, kas ir matricas reizinājums A uz matricu IN.Šo noteikumu var formulēt mutiski: elements c i j, kas atrodas matricas C = A B i-tās rindas un j-tās kolonnas krustpunktā, ir vienāds ar matricas A i-tās rindas un j-tās atbilstošo elementu pāru reizinājumu summu. matricas B kolonna.

Kā šī noteikuma piemērošanas piemēru mēs piedāvājam formulu otrās kārtas kvadrātveida matricu reizināšanai.

× =

No formulas (1.4) izriet šādas matricas produkta īpašības: A uz matricas IN:

1) asociatīvais īpašums: (A B) C = A (B C);

2) sadales īpašība attiecībā pret matricu summu:

(A + B) C = A C + B C vai A (B + C) = A B + A C.

Jautājums par matricas reizinājuma komutatīvo īpašību A uz matricu IN ir jēga to iestatīt tikai kvadrātveida matricām A un B tāda pati kārtība.

Iesniegsim svarīgus īpašos matricu gadījumus, kuriem ir patiesa arī permutācijas īpašība. Divas matricas, kuru reizinājumam ir komutācijas īpašība, parasti sauc par komutāciju.

Starp kvadrātveida matricām mēs izceļam tā saukto diagonālo matricu klasi, no kurām katrai ir elementi, kas atrodas ārpus galvenās diagonāles, kas vienādi ar nulli. Katra diagonālā secības matrica P izskatās kā

D= (1.5)

Kur d 1, d 2,… ,dn- jebkuri cipari. Ir viegli redzēt, ka, ja visi šie skaitļi ir vienādi viens ar otru, t.i. d 1 = d 2 =… = d n tad jebkurai kvadrātmatricai A pasūtījums P vienlīdzība ir taisnība A D = D A.

Starp visām diagonālajām matricām (1.5) ar elementiem, kas sakrīt d 1 = d 2 =… = dn= = dĪpaši svarīga loma ir divām matricām. Pirmo no šīm matricām iegūst ar d = 1, sauc par identitātes matricu n E. Otrā matrica tiek iegūta, kad d = 0, sauc par nulles matricu n-th order un ir apzīmēts ar simbolu O. Tādējādi

E= O=

Sakarā ar to, kas tika pierādīts iepriekš A E = E A Un A O = O A. Turklāt to ir viegli parādīt

A E = E A = A, A O = O A = 0. (1.6)

Pirmā no formulām (1.6) raksturo identitātes matricas īpašo lomu E, līdzīgi kā skaitļa 1 lomai, reizinot reālos skaitļus. Kas attiecas uz nulles matricas īpašo lomu PAR, tad to atklāj ne tikai otrā no formulām (1.7), bet arī elementāra pārbaudāmā vienādība

A + 0 = 0 + A = A.

Nobeigumā atzīmējam, ka nulles matricas jēdzienu var ieviest arī nekvadrātveida matricām (nulle tiek saukta jebkura matrica, kuras visi elementi ir vienādi ar nulli).

Bloku matricas

Pieņemsim, ka kāda matrica A = || a ij || izmantojot horizontālās un vertikālās līnijas, to sadala atsevišķās taisnstūra šūnās, no kurām katra ir mazāka izmēra matrica un tiek saukta par sākotnējās matricas bloku. Šajā gadījumā kļūst iespējams apsvērt sākotnējo matricu A kā kādu jaunu (tā saukto bloku) matricu A = || A a b ||, kura elementi ir norādītie bloki. Mēs apzīmējam šos elementus ar lielo burtu, lai uzsvērtu, ka tie kopumā ir matricas, nevis skaitļi, un (tāpat kā parastie ciparu elementi) mēs nodrošinām divus indeksus, no kuriem pirmais norāda "bloka" rindas numuru, bet otrais. - kolonnas “bloks” » numurs.

Piemēram, matrica

var uzskatīt par bloku matricu

kuru elementi ir šādi bloki:

Ievērības cienīgs ir fakts, ka galvenās darbības ar bloku matricām tiek veiktas pēc tiem pašiem noteikumiem, pēc kuriem tās tiek veiktas ar parastajām ciparu matricām, tikai bloki darbojas kā elementi.

Determinanta jēdziens.

Apsveriet jebkuras kārtas patvaļīgu kvadrātveida matricu P:

A= (1.7)

Ar katru šādu matricu mēs saistām precīzi definētu skaitlisko raksturlielumu, ko sauc par determinantu, kas atbilst šai matricai.

Ja pasūtījums n matrica (1.7) ir vienāda ar vienu, tad šī matrica sastāv no viena elementa un es j pirmās kārtas determinants, kas atbilst šādai matricai, mēs sauksim šī elementa vērtību.

tad šādai matricai atbilstošais otrās kārtas determinants ir skaitlis, kas vienāds ar no 11 līdz 22 līdz 12 līdz 21 un apzīmē ar vienu no simboliem:

Tātad, pēc definīcijas

(1.9)

Formula (1.9) ir noteikums otrās kārtas determinanta konstruēšanai no atbilstošās matricas elementiem. Šī noteikuma verbālais formulējums ir šāds: otrās kārtas determinants, kas atbilst matricai (1.8), ir vienāds ar starpību starp elementu reizinājumu šīs matricas galvenajā diagonālē un elementu reizinājumu tās sekundārajā diagonālē. Otrās un augstākās kārtas determinanti tiek plaši izmantoti lineāro vienādojumu sistēmu risināšanā.

Apskatīsim, kā tie tiek izpildīti operācijas ar matricām MathCad sistēmā . Vienkāršākās matricas algebras darbības MathCad tiek realizētas operatoru veidā. Operatoru rakstīšana pēc nozīmes ir pēc iespējas tuvāka to matemātiskajai darbībai. Katrs operators ir izteikts ar atbilstošu simbolu. Apskatīsim matricu un vektoru darbības programmā MathCad 2001. Vektori ir īpašs dimensiju matricu gadījums n x 1, tāpēc uz tām ir derīgas visas tās pašas darbības kā matricām, ja vien nav īpaši norādīti ierobežojumi (piemēram, dažas darbības ir piemērojamas tikai kvadrātmatricām n x n). Dažas darbības ir derīgas tikai vektoriem (piemēram, skalārais reizinājums), un dažas, neskatoties uz to pašu pareizrakstību, darbojas atšķirīgi uz vektoriem un matricām.

q Pēc pogas OK nospiešanas atveras matricas elementu ievadīšanas lauks. Lai ievadītu matricas elementu, novietojiet kursoru atzīmētajā vietā un ievadiet ciparu vai izteiksmi no tastatūras.

Lai veiktu jebkuru darbību, izmantojot rīkjoslu, jums ir nepieciešams:

q atlasiet matricu un noklikšķiniet uz darbības pogas panelī,

q vai noklikšķiniet uz pogas panelī un ievadiet matricas nosaukumu atzīmētajā vietā.

Izvēlnē “Simboli” ir trīs darbības - transponēt, inversija, determinants.

Tas nozīmē, piemēram, ka jūs varat aprēķināt matricas determinantu, izpildot komandu Simboli/Matricas/Determinants.

MathCAD saglabā matricas pirmās rindas (un pirmās kolonnas) numuru mainīgajā ORIGIN. Pēc noklusējuma skaitīšana sākas no nulles. Matemātiskajā pierakstā biežāk tiek skaitīts no 1. Lai MathCAD skaitītu rindu un kolonnu numurus no 1, ir jāiestata mainīgā ORIGIN:=1 vērtība.

Funkcijas, kas paredzētas darbam ar lineārās algebras problēmām, ir apkopotas dialoglodziņa “Funkciju ievietošana” sadaļā “Vektori un matricas” (atgādinām, ka to izsauc ar pogu “Standarta” panelī). Galvenās no šīm funkcijām tiks aprakstītas vēlāk.

Transponēt

Saistītā informācija.

Matrica ir taisnstūrveida tabula, kas piepildīta ar dažiem matemātiskiem objektiem. Lielākoties mēs izskatīsim matricas ar elementiem no kāda lauka, lai gan daudzi priekšlikumi paliek spēkā, ja matricu elementus uzskata par asociatīvā (ne vienmēr komutatīva) gredzena elementiem.

Visbiežāk matricas elementus apzīmē ar vienu burtu un diviem indeksiem, kas norāda elementa “adresi” - pirmais indekss norāda elementu saturošās rindas numuru, otrais - kolonnas numuru. Tādējādi matrica (dimensiju) tiek ierakstīta formā

No skaitļiem ievietotās matricas dabiski rodas, apsverot lineāro vienādojumu sistēmas

Šīs problēmas ievades dati ir koeficientu kopa, kas dabiski veido matricu

un brīvo locekļu kopa, kas veido matricu tikai ar vienu kolonnu. Tas, ko mēs meklējam, ir nezināmu vērtību kopa, kuru, kā izrādās, var ērti attēlot arī kā matricu, kas sastāv no vienas kolonnas.

Liela nozīme ir tā sauktajām diagonālajām matricām. Šis nosaukums attiecas uz kvadrātveida matricām, kuru visi elementi ir vienādi ar nulli, izņemot galvenās diagonāles elementus, t.i., elementi pozīcijās

Apzīmēta diagonālā matrica D ar diagonāliem elementiem

Matricu, kas sastāv no elementiem, kas atrodas vairāku atlasīto matricas A rindu un vairāku atlasīto kolonnu krustpunktos, sauc par matricas A apakšmatricu. Ja ir atlasīto rindu skaits un ir atlasīto kolonnu skaits, tad atbilstošā apakšmatrica ir

Jo īpaši matricas rindas un kolonnas var uzskatīt par tās apakšmatricām.

Matricas dabiskā veidā ir saistītas ar mainīgo lielumu lineāro aizstāšanu (lineāro transformāciju). Šis nosaukums attiecas uz pāreju no sākotnējās mainīgo sistēmas uz citu, jaunu, kas saistīta ar formulām

Mainīgo lielumu lineārā aizstāšana tiek noteikta, izmantojot koeficientu matricu

Starp lineāro vienādojumu sistēmām vislielākā nozīme ir sistēmām, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu. Starp mainīgo lineārajām aizstāšanām galvenā loma ir aizvietojumiem, kuros sākotnējo un jauno mainīgo skaits ir vienāds. Šajās situācijās koeficientu matrica izrādās kvadrātveida, tas ir, tai ir vienāds rindu un kolonnu skaits; šo skaitli sauc par kvadrāta matricas secību.

Tā vietā, lai teiktu “vienas rindas matrica” un “vienas kolonnas matrica”, viņi saka īsāk: rinda, kolonna.

Matricas. Darbības uz matricām. Matricu operāciju īpašības. Matricu veidi.

Matricas (un attiecīgi matemātiskā sadaļa - matricas algebra) ir svarīgi lietišķajā matemātikā, jo ļauj diezgan vienkāršā formā pierakstīt ievērojamu daļu objektu un procesu matemātisko modeļu. Termins "matrica" ​​parādījās 1850. gadā. Matricas pirmo reizi pieminēja senajā Ķīnā, vēlāk arābu matemātiķi.

Matrica A=A mn tiek izsaukts pasūtījums m*n taisnstūrveida skaitļu tabula, kas satur m - rindas un n - kolonnas.

Matricas elementi aij, kuriem i=j sauc par diagonāli un formu galvenā diagonāle.

Kvadrātmatricai (m=n) galveno diagonāli veido elementi a 11, a 22,..., a nn.

Matricas vienlīdzība.

A=B, ja matrica pasūta A Un B ir vienādi un a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Darbības uz matricām.

1. Matricas pievienošana - elementu darbība

2. Matricu atņemšana - elementu darbība

3. Matricas un skaitļa reizinājums ir elementāra darbība

4. Reizināšana A*B matricas saskaņā ar likumu no rindas uz kolonnu(matricas A kolonnu skaitam jābūt vienādam ar matricas B rindu skaitu)

A mk *B kn =C mn un katrs elements ar ij matricas Cmn ir vienāda ar matricas A i-tās rindas elementu reizinājumu ar matricas B j-tās kolonnas atbilstošajiem elementiem, t.i.

Demonstrēsim matricas reizināšanas darbību, izmantojot piemēru

5. Paaugstināšana

m>1 ir pozitīvs vesels skaitlis. A ir kvadrātveida matrica (m=n) t.i. attiecas tikai uz kvadrātveida matricām

6. Matricas A transponēšana. Transponētā matrica tiek apzīmēta ar A T vai A"

Rindas un kolonnas ir apmainītas

Piemērs

Matricu operāciju īpašības

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Matricu veidi

1. Taisnstūrveida: m Un n- patvaļīgi pozitīvi veseli skaitļi

2. Kvadrāts: m=n

3. Matricas rinda: m=1. Piemēram, (1 3 5 7) - daudzās praktiskās problēmās šādu matricu sauc par vektoru

4. Matricas kolonna: n=1. Piemēram

5. Diagonālā matrica: m=n Un a ij =0, Ja i≠j. Piemēram

6. Identitātes matrica: m=n Un

7. Nulles matrica: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Trīsstūrveida matrica: visi elementi zem galvenās diagonāles ir 0.

9. Simetriskā matrica: m=n Un a ij =a ji(t.i., vienādi elementi atrodas vietās, kas ir simetriski attiecībā pret galveno diagonāli), un tāpēc A"=A

Piemēram,

10. Slīpi simetriskā matrica: m=n Un a ij =-a ji(t.i., pretēji elementi atrodas vietās, kas ir simetriski attiecībā pret galveno diagonāli). Līdz ar to galvenajā diagonālē ir nulles (kopš tā laika i=j mums ir a ii =-a ii)

Skaidrs, A"=-A

11. Ermīta matrica: m=n Un a ii =-ã ii (ã ji- komplekss - konjugāts ar a ji, t.i. Ja A=3+2i, tad kompleksais konjugāts Ã=3-2i)

Instrukcijas. Tiešsaistes risinājumam ir jānorāda matricas izteiksme. Otrajā posmā būs jāprecizē matricu izmēri. Derīgas darbības: reizināšana (*), saskaitīšana (+), atņemšana (-), apgrieztā matrica A^(-1), eksponēšana (A^2, B^3), matricas transponēšana (A^T).

Derīgas darbības: reizināšana (*), saskaitīšana (+), atņemšana (-), apgrieztā matrica A^(-1), eksponēšana (A^2, B^3), matricas transponēšana (A^T).
Lai veiktu darbību sarakstu, izmantojiet semikolu (;) atdalītāju. Piemēram, lai veiktu trīs darbības:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
jums tas būs jāraksta šādi: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matrica ir taisnstūrveida skaitliska tabula ar m rindām un n kolonnām, tāpēc matricu var shematiski attēlot kā taisnstūri.
Nulles matrica (nulles matrica) ir matrica, kuras visi elementi ir vienādi ar nulli un tiek apzīmēti ar 0.
Identitātes matrica sauc par formas kvadrātveida matricu

Definēsim pamatoperācijas ar matricām.

Matricas pievienošana

6. piemērs. .
Matricas pievienošanas darbība attiecas uz jebkuru terminu skaitu. Acīmredzot A+0=A.
Vēlreiz uzsvērsim, ka var pievienot tikai tāda paša izmēra matricas; Dažādu izmēru matricām saskaitīšanas darbība nav definēta.

Matricu atņemšana

Matricas reizināšana

Definīcija . Lai divas matricas A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) un B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), un A kolonnu skaits ir vienāds ar B rindu skaitu. A un B reizinājums ir matrica C=||c i k ||, kuras elementus atrod pēc formulas .
Apzīmē ar C=A·B.
Shematiski matricas reizināšanas darbību var attēlot šādi:

un noteikums produkta elementa aprēķināšanai:

Vēlreiz uzsveram, ka reizinājumam A·B ir jēga tad un tikai tad, ja pirmā faktora kolonnu skaits ir vienāds ar otrā faktora rindu skaitu un reizinājums veido matricu, kuras rindu skaits ir vienāds ar pirmā faktora rindu skaits, un kolonnu skaits ir vienāds ar otrā faktora kolonnu skaitu. Reizināšanas rezultātu var pārbaudīt, izmantojot īpašu tiešsaistes kalkulatoru.

7. piemērs. Dotās matricas Un . Atrodiet matricas C = A·B un D = B·A.
Risinājums. Vispirms ņemiet vērā, ka reizinājums A·B pastāv, jo A kolonnu skaits ir vienāds ar B rindu skaitu.

8. piemērs. Dota matrica . Atrodiet 3A 2–2A.
Risinājums.

.
; .
.
Ļaujiet mums atzīmēt šādu interesantu faktu.
Kā zināms, divu skaitļu, kas nav nulles, reizinājums nav vienāds ar nulli. Matricām līdzīgs apstāklis ​​var nenotikt, tas ir, nulles matricu reizinājums var izrādīties vienāds ar nulles matricu.