Bezgalīgi lielas funkcijas definīcija. Bezgalīgi lielas secības definīcija Bezgalīgi lielas un to īpašības.

Bezgalīgi mazu un bezgalīgi lielu funkciju definīcijas un īpašības punktā. Īpašību un teorēmu pierādījumi. Saistība starp bezgalīgi mazām un bezgalīgi lielām funkcijām.

Skatīt arī: Bezgalīgi mazas sekvences - definīcija un īpašības
Bezgalīgi lielu secību īpašības

Bezgalīgi mazo un bezgalīgi mazo funkciju definīcija

Ļaujiet x 0 ir galīgs vai bezgalīgs punkts: ∞, -∞ vai +∞.

Bezgalīgi mazas funkcijas definīcija
Funkcija α (x) sauca bezgala mazs kā x tiecas uz x 0 0 , un tas ir vienāds ar nulli:
.

Bezgalīgi lielas funkcijas definīcija
Funkcija f (x) sauca bezgala liels kā x tiecas uz x 0 , ja funkcijai ir ierobežojums x → x 0 , un tas ir vienāds ar bezgalību:
.

Bezgalīgi mazo funkciju īpašības

Bezgalīgi mazu funkciju summas, starpības un reizinājuma īpašība

Summa, starpība un produkts ierobežots bezgalīgi mazu funkciju skaits kā x → x 0 ir bezgalīgi maza funkcija kā x → x 0 .

Šī īpašība ir tiešas funkcijas robežu aritmētisko īpašību sekas.

Teorēma par ierobežotas funkcijas un bezgalīgi mazas reizinājumu

Ierobežotas funkcijas reizinājums uz kādu caurdurtu punktu x apkārtni 0 , līdz bezgalīgi mazam, kā x → x 0 , ir bezgalīgi maza funkcija kā x → x 0 .

Īpašība attēlot funkciju kā konstantes un bezgalīgi mazas funkcijas summu

Lai funkcija f (x) bija ierobežota robeža, tas ir nepieciešams un pietiekami
,
kur ir bezgalīgi maza funkcija kā x → x 0 .

Bezgala lielu funkciju īpašības

Teorēma par ierobežotas funkcijas un bezgalīgi lielas funkcijas summu

Ierobežotas funkcijas summa vai starpība kādā punkta x caurdurtajā apkārtnē 0 , un bezgalīgi liela funkcija, kā x → x 0 , ir bezgalīgi liela funkcija kā x → x 0 .

Teorēma par koeficientu, kas dalot ierobežotu funkciju ar bezgalīgi lielu

Ja funkcija f (x) ir bezgalīgi liels kā x → x 0 , un funkcija g (x)- ir ierobežots ar kādu punktu x caurdurtu apkārtni 0 , Tas
.

Teorēma par funkcijas dalījumu, kuru zemāk ierobežo bezgalīgi maza

Ja funkcija , kādā punkta caurdurtajā apkārtnē no apakšas ir ierobežota ar pozitīvu skaitli absolūtā vērtībā:
,
un funkcija ir bezgalīgi maza kā x → x 0 :
,
un ir pārdurta apkārtne no punkta, kurā , Tad
.

Bezgalīgi lielu funkciju nevienādību īpašība

Ja funkcija ir bezgalīgi liela pie:
,
un funkcijas un , dažos punkta pārdurtos apkaimēs apmierina nevienlīdzību:
,
tad funkcija ir arī bezgalīgi liela pie:
.

Šim īpašumam ir divi īpaši gadījumi.

Ļaujiet, lai kādā caurdurtā punkta apkārtnē funkcijas un apmierinātu nevienlīdzību:
.
Tad ja , tad un .
Ja , tad un .

Saistība starp bezgalīgi lielām un bezgalīgi mazām funkcijām

No divām iepriekšējām īpašībām izriet saikne starp bezgalīgi lielām un bezgalīgi mazām funkcijām.

Ja funkcija ir bezgalīgi liela pie , tad funkcija ir bezgalīgi maza pie .

Ja funkcija ir bezgalīgi maza , un , tad funkcija ir bezgalīgi liela .

Sakarību starp bezgalīgi mazu un bezgalīgi lielu funkciju var izteikt simboliski:
, .

Ja bezgalīgi mazai funkcijai ir noteikta zīme pie , tas ir, tā ir pozitīva (vai negatīva) kādā punkta caurdurtajā apkārtnē, mēs to varam uzrakstīt šādi:
.
Tādā pašā veidā, ja bezgalīgi lielai funkcijai ir noteikta zīme pie , tad viņi raksta:
vai .

Tad simbolisko saikni starp bezgala mazām un bezgala lielām funkcijām var papildināt ar šādām attiecībām:
, ,
, .

Papildu formulas, kas attiecas uz bezgalības simboliem, var atrast lapā
"Punkti bezgalībā un to īpašības."

Īpašību un teorēmu pierādīšana

Teorēmas pierādījums ierobežotas funkcijas un bezgalīgi mazas funkcijas reizinājumam

Lai pierādītu šo teorēmu, mēs izmantosim . Mēs izmantojam arī bezgalīgi mazo secību īpašību, saskaņā ar kuru

Ļaujiet funkcijai būt bezgalīgi mazai pie , un ļaujiet funkcijai būt ierobežotai kādā punkta caurdurtajā apkārtnē:
plkst.

Tā kā ir ierobežojums, punktam, kurā funkcija ir definēta, ir caurdurta apkārtne. Lai ir apkaimes krustojums un . Pēc tam tajā tiek definētas funkcijas un.

.
,
secība ir bezgalīgi maza:
.

Izmantosim to, ka ierobežotas secības un bezgalīgi mazas secības reizinājums ir bezgalīgi maza secība:
.
.

Teorēma ir pierādīta.

Pierādījums īpašībai attēlot funkciju kā konstantes un bezgalīgi mazas funkcijas summu

Nepieciešamība. Ļaujiet funkcijai punktā noteiktā robeža
.
Apsveriet funkciju:
.
Izmantojot funkciju starpības robežas īpašību, mums ir:
.
Tas ir, ir bezgalīgi maza funkcija pie .

Atbilstība. Lai notiek. Pielietosim funkciju summas limita īpašību:
.

Īpašums ir pierādīts.

Teorēmas pierādījums par ierobežotas funkcijas un bezgalīgi lielas funkcijas summu

Lai pierādītu teorēmu, mēs izmantosim Heine funkcijas robežas definīciju

plkst.

Tā kā ir ierobežojums, punktam, kurā funkcija ir definēta, ir caurdurta apkārtne. Lai ir apkaimes krustojums un . Pēc tam tajā tiek definētas funkcijas un.

Lai ir patvaļīga secība, kas saplūst ar , kuras elementi pieder apkārtnei:
.
Pēc tam tiek noteiktas secības un. Turklāt secība ir ierobežota:
,
secība ir bezgalīgi liela:
.

Tā kā ierobežotas secības un bezgala lielas summas vai starpības
.
Tad saskaņā ar secības robežas definīciju saskaņā ar Heine,
.

Teorēma ir pierādīta.

Pierādījums teorēmai par ierobežotas funkcijas dalījuma koeficientu ar bezgalīgi lielu

Lai to pierādītu, mēs izmantosim Heines definīciju par funkcijas ierobežojumu. Mēs izmantojam arī bezgalīgi lielu secību īpašību, saskaņā ar kuru ir bezgalīgi maza secība.

Ļaujiet funkcijai būt bezgalīgi lielai pie , un ļaujiet funkcijai būt ierobežotai kādā punkta caurdurtajā apkārtnē:
plkst.

Tā kā funkcija ir bezgalīgi liela, punktam, kurā tā ir definēta, ir caurdurta apkārtne un tā nepazūd:
plkst.
Lai ir apkaimes krustojums un . Pēc tam tajā tiek definētas funkcijas un.

Lai ir patvaļīga secība, kas saplūst ar , kuras elementi pieder apkārtnei:
.
Pēc tam tiek noteiktas secības un. Turklāt secība ir ierobežota:
,
secība ir bezgalīgi liela ar nulles vērtībām:
, .

Tā kā koeficients, kas dalot ierobežotu secību ar bezgalīgi lielu, ir bezgalīgi maza secība, tad
.
Tad saskaņā ar secības robežas definīciju saskaņā ar Heine,
.

Teorēma ir pierādīta.

Koeficientu teorēmas pierādījums, lai dalītu funkciju, ko ierobežo zemāk ar bezgalīgi mazu

Lai pierādītu šo īpašību, mēs izmantosim Heines definīciju par funkcijas ierobežojumu. Mēs izmantojam arī bezgalīgi lielu secību īpašību, saskaņā ar kuru ir bezgalīgi liela secība.

Ļaujiet funkcijai būt bezgalīgi mazai , un lai funkcija absolūtā vērtībā no apakšas ir ierobežota ar pozitīvu skaitli kādā punkta caurdurtajā apkārtnē:
plkst.

Pēc nosacījuma punktam, kurā funkcija ir definēta, ir caurdurta apkārtne, un tā nepazūd:
plkst.
Lai ir apkaimes krustojums un . Pēc tam tajā tiek definētas funkcijas un. Turklāt.

Lai ir patvaļīga secība, kas saplūst ar , kuras elementi pieder apkārtnei:
.
Pēc tam tiek noteiktas secības un. Turklāt secība ir ierobežota zemāk:
,
un secība ir bezgalīgi maza ar vārdiem, kas nav nulle:
, .

Tā kā koeficients, kas dalot secību, ko ierobežo zemāk ar bezgalīgi mazu, ir bezgalīgi liela secība, tad
.
Un lai ir pārdurta apkārtne punktam, uz kura
plkst.

Ņemsim patvaļīgu secību, kas saplūst ar . Tad, sākot no kāda skaitļa N, secības elementi piederēs šai apkārtnei:
plkst.
Tad
plkst.

Saskaņā ar funkcijas robežas definīciju saskaņā ar Heine,
.
Pēc tam bezgalīgi lielu secību nevienādību dēļ
.
Tā kā secība ir patvaļīga, kas tuvojas , tad, definējot funkcijas robežu saskaņā ar Heine,
.

Īpašums ir pierādīts.

Atsauces:
L.D. Kudrjavcevs. Matemātiskās analīzes kurss. 1. sējums. Maskava, 2003. g.

Bezgalīgi mazas funkcijas

Tiek izsaukta funkcija %%f(x)%%. bezgala mazs(b.m.) ar %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ja ar šo argumenta tendenci funkcijas robeža ir vienāda ar nulli.

Jēdziens b.m. funkcija ir nesaraujami saistīta ar instrukcijām, lai mainītu tās argumentu. Varam runāt par b.m. darbojas no %%a \līdz + 0%% un no %%a \līdz - 0%%. Parasti b.m. funkcijas ir apzīmētas ar grieķu alfabēta pirmajiem burtiem %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Piemēri

1. Funkcija %%f(x) = x%% ir b.m. pie %%x \līdz 0%%, jo tā robeža punktā %%a = 0%% ir nulle. Saskaņā ar teorēmu par saistību starp abpusējo robežu un vienpusējo robežu šī funkcija ir b.m. gan ar %%x \līdz +0%%, gan ar %%x \līdz -0%%.
2. Funkcija %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. %%x \līdz \infty%% (kā arī %%x \līdz +\infty%% un %%x \līdz -\infty%%).

Konstants skaitlis, kas nav nulle, neatkarīgi no tā, cik mazs absolūtā vērtībā, nav b.m. funkciju. Konstantiem skaitļiem vienīgais izņēmums ir nulle, jo funkcijai %%f(x) \equiv 0%% ir nulles ierobežojums.

Teorēma

Funkcijai %%f(x)%% paplašinātās skaitļu līnijas punktā %%a \in \overline(\mathbb(R))%% ir galīgais ierobežojums, kas vienāds ar skaitli %%b%% tad un tikai ja šī funkcija ir vienāda ar šī skaitļa summu %%b%% un b.m. funkcijas %%\alpha(x)%% ar %%x \to a%%, vai $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Kreisā labā bultiņa \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Bezgalīgi mazo funkciju īpašības

Saskaņā ar noteikumiem par pāreju uz robežu ar %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, seko šādi apgalvojumi:

1. B.m gala skaita summa. funkcijas %%x \to a%% ir b.m. pie %%x \līdz a%%.
2. Jebkura skaitļa reizinājums b.m. funkcijas %%x \to a%% ir b.m. pie %%x \līdz a%%.

Produkts b.m. funkcijas %%x \līdz a%% un funkcija, kas ir ierobežota kādā caurdurtajā apkārtnē %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% no punkta a, ir b.m. pie %%x \to a%% funkcija.

Ir skaidrs, ka nemainīgas funkcijas reizinājums un b.m. pie %%x \līdz a%% ir b.m. funkcija no %%x \līdz a%%.

Ekvivalentas bezgalīgi mazas funkcijas

Tiek izsauktas bezgalīgi mazas funkcijas %%\alpha(x), \beta(x)%% priekš %%x \to a%% ekvivalents un ierakstiet %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, ja

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Teorēma par b.m aizstāšanu. funkcijas līdzvērtīgas

Lai %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% ir b.m. funkcijas %%x \to a%%, ar %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, tad $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limits_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Ekvivalents b.m. funkcijas.

Lai %%\alpha(x)%% ir b.m. funkcija no %%x \līdz a%%, tad

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Piemērs

$$ \begin(masīvs)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(masīvs) $$

Bezgalīgi lielas funkcijas

Tiek izsaukta funkcija %%f(x)%%. bezgala liels(b.b.) ar %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ja ar šo argumenta tendenci funkcijai ir bezgalīgs ierobežojums.

Līdzīgi kā b.m. funkciju jēdziens b.b. funkcija ir nesaraujami saistīta ar instrukcijām, lai mainītu tās argumentu. Varam runāt par b.b. darbojas ar %%x \līdz + 0%% un %%x \līdz - 0%%. Jēdziens “bezgalīgi liels” nerunā par funkcijas absolūto vērtību, bet gan par tās izmaiņu raksturu attiecīgā punkta tuvumā. Neviens konstants skaitlis, lai cik liels absolūtā vērtībā būtu, nav bezgalīgi liels.

Piemēri

1. Funkcija %%f(x) = 1/x%% - b.b. pie %%x \līdz 0%%.
2. Funkcija %%f(x) = x%% - b.b. pie %%x \līdz \infty%%.

Ja definīcijas nosacījumi $$ \begin(masīvs)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(masīvs) $$

tad viņi runā par pozitīvs vai negatīvs b.b. pie %%a%% funkcijas.

Piemērs

Funkcija %%1/(x^2)%% — pozitīva b.b. pie %%x \līdz 0%%.

Saikne starp b.b. un b.m. funkcijas

Ja %%f(x)%% ir b.b. ar funkciju %%x \to a%%, pēc tam %%1/f(x)%% - b.m.

pie %%x \līdz a%%. Ja %%\alpha(x)%% - b.m. priekš %%x \to a%% ir funkcija, kas nav nulle kādā punkta %%a%% caurdurtajā apkārtnē, tad %%1/\alpha(x)%% ir b.b. pie %%x \līdz a%%.

Bezgala lielu funkciju īpašības

Piedāvāsim vairākas b.b. īpašības. funkcijas. Šīs īpašības izriet tieši no b.b definīcijas. funkciju un funkciju īpašības ar ierobežotām robežām, kā arī no teorēmas par savienojumu starp b.b. un b.m. funkcijas.

1. Galīga skaita b.b reizinājums. funkcijas %%x \to a%% ir b.b. funkcija no %%x \līdz a%%. Patiešām, ja %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. darbojas no %%x \līdz a%%, tad kādā caurdurtajā apkaimē punkta %%a%% %%f_k(x) \ne 0%% un pēc savienojuma teorēmas b.b. un b.m. funkcijas %%1/f_k(x)%% - b.m. funkcija no %%x \līdz a%%. Izrādās %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - b.m funkcija %%x \to a%%, un %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - b.b. funkcija no %%x \līdz a%%.
2. Produkts b.b. funkcijas %%x \līdz a%%, un funkcija, kas kādā punkta %%a%% caurdurtajā apkārtnē absolūtā vērtībā ir lielāka par pozitīvu konstanti, ir b.b. funkcija no %%x \līdz a%%. Jo īpaši produkts b.b. funkcija ar %%x \līdz a%% un funkcija, kurai punktā %%a%% ir ierobežota robeža no nulles, būs b.b. funkcija no %%x \līdz a%%.

Funkcijas summa, kas robežojas ar punktu %%a%% un b.b kādā caurdurtajā apkārtnē. funkcijas ar %%x \to a%% ir b.b. funkcija no %%x \līdz a%%.

Piemēram, funkcijas %%x - \sin x%% un %%x + \cos x%% ir b.b. pie %%x \līdz \infty%%.

3. Divu summa b.b. funkcijas %%x \līdz a%%, pastāv nenoteiktība. Atkarībā no terminu zīmes šādas summas izmaiņu raksturs var būt ļoti atšķirīgs.

   Piemērs

   Dotas funkcijas %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%%. darbojas no %%x \līdz \infty%%. Pēc tam:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. funkcija %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. funkcija %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% nav ierobežojumu no %%x \līdz \infty%%.

Skaitliskās funkcijas definīcija. Funkciju noteikšanas metodes.

Lai D ir kopa uz skaitļu taisnes R. Ja katrs x, kas pieder pie D, ir saistīts ar vienu skaitli y=f(x), tad sakām, ka ir dota funkcija f.

Funkciju noteikšanas metodes:

1) tabula – funkcijām, kas definētas uz ierobežotas kopas.

2) analītisks

3) grafika

2 un 3 – funkcijām, kas definētas uz bezgalīgas kopas.

Apgrieztās funkcijas jēdziens.

Ja funkcija y=f(x) ir tāda, ka dažādas x argumenta vērtības atbilst dažādām funkcijas vērtībām, tad mainīgo x var izteikt kā mainīgā y funkciju: x=g(y ). Funkciju g sauc par f apgriezto un apzīmē ar f^(-1).

Sarežģītas funkcijas jēdziens.

Sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir jebkura cita funkcija.

Dotas funkcijas f(x) un g(x). Izveidosim no tām divas sarežģītas funkcijas. Uzskatot, ka funkcija f ir ārēja (galvenā), bet funkcija g ir iekšēja, iegūstam kompleksu funkciju u(x)=f(g(x)).

Secības robežas noteikšana.

Skaitli a sauc par virknes robežu (xn), ja jebkuram pozitīvam ir skaitlis n0, no kura visi secības locekļi atšķiras no a modulī mazāk par ε (t.i., tie ietilpst ε apkaimē punkta a):

Noteikumi konverģentu secību robežu aprēķināšanai.

1. Katrai konverģentai secībai ir tikai viens ierobežojums. 2. Ja visi secības elementi (x n) ir vienādi ar C (konstante), tad arī secības (x n) robeža ir vienāda ar C. 3. ; 4. ; 5. .

Ierobežotas secības definīcija.

Secību (x n) sauc par ierobežotu, ja skaitļu kopa X=(x n) ir ierobežota: .

Bezgalīgi mazas secības definīcija.

Secību (x n) sauc par bezgalīgi mazu, ja jebkuram (neatkarīgi no tā, cik mazam) >0 ir tāds skaitlis n 0, ka jebkurai n>n 0 nevienādība |x n |< .

Bezgalīgi lielas secības definīcija.

Secību sauc par bezgalīgi lielu, ja jebkuram (neatkarīgi no tā, cik lielam) skaitlim A>0 ir tāds skaitlis n 0, ka katram skaitlim n>n 0 pastāv nevienādība |x n |>A.

Monotonisku secību definīcija.

Monotonas secības: 1) palielinot ifx n x n +1 visiem n, 4) nepalielinošs, ja x n x n +1 visiem n.

Funkcijas robežas noteikšana punktā.

Funkcijas y=f(x) robeža punktā x 0 (vai pie x x 0) ir skaitlis a, ja jebkurai argumenta secībai (x n) vērtībām, kas konverģē uz x 0 (visi x n x 0), funkcijas (f(x n)) vērtību secība konverģē līdz robežai a.

Bezgalīgi mazas funkcijas definīcija.

F-iya Tiek uzskatīts, ka f(x) ir bezgalīgi mazs kā x→A, ja .

Bezgalīgi lielas funkcijas definīcija.

F-iya Tiek uzskatīts, ka f(x) ir bezgalīgi liels x→A, ja .

Bezgalīgi mazo un lielo aprēķins

Bezgalīgi mazs aprēķins- aprēķini, kas veikti ar bezgalīgi maziem lielumiem, kuros iegūtais rezultāts tiek uzskatīts par bezgalīgi mazo lielumu bezgalīgu summu. Bezgalīgi mazo skaitļu aprēķins ir vispārējs diferenciālskaitļa un integrāļa aprēķina jēdziens, kas veido mūsdienu augstākās matemātikas pamatu. Bezgalīgi maza daudzuma jēdziens ir cieši saistīts ar robežas jēdzienu.

Bezgalīgi mazs

Secība a n sauca bezgala mazs, Ja. Piemēram, skaitļu virkne ir bezgalīgi maza.

Funkcija tiek izsaukta bezgalīgi mazs punkta tuvumā x 0 ja .

Funkcija tiek izsaukta bezgalīgi mazs bezgalībā, Ja vai .

Arī bezgalīgi maza ir funkcija, kas ir atšķirība starp funkciju un tās robežu, tas ir, ja , Tas f(x) − a = α( x) , .

Bezgala liels daudzums

Secība a n sauca bezgala liels, Ja .

Funkcija tiek izsaukta bezgalīgi liels punkta tuvumā x 0 ja .

Funkcija tiek izsaukta bezgalīgi liels bezgalībā, Ja vai .

Visos gadījumos bezgalībai uz vienlīdzības tiesībām tiek domāta noteikta zīme (“pluss” vai “mīnuss”). Tā ir, piemēram, funkcija x grēks x nav bezgalīgi liels pie .

Bezgalīgi maza un bezgalīgi liela īpašības

Bezgalīgi mazu lielumu salīdzinājums

Kā salīdzināt bezgalīgi mazus daudzumus?
Bezgalīgi mazo lielumu attiecība veido tā saukto nenoteiktību.

Definīcijas

Pieņemsim, ka mums ir bezgalīgi mazas vērtības α( x) un β( x) (vai, kas definīcijai nav svarīgi, bezgalīgi mazas secības).

Lai aprēķinātu šādus ierobežojumus, ir ērti izmantot L'Hopital noteikumu.

Salīdzināšanas piemēri

Līdzvērtīgas vērtības

Definīcija

Ja , tad tiek izsaukti bezgalīgi mazi lielumi α un β ekvivalents ().
Ir skaidrs, ka ekvivalenti lielumi ir īpašs bezgalīgi mazu lielumu gadījums ar tādu pašu mazuma pakāpi.

Ja ir spēkā šādas ekvivalences attiecības: , , .

Teorēma

Šai teorēmai ir praktiska nozīme robežu atrašanā (sk. piemēru).

Lietošanas piemērs

Vēsturiskā skice

Jēdziens “bezgalīgi mazs” tika apspriests jau senos laikos saistībā ar nedalāmo atomu jēdzienu, taču tas netika iekļauts klasiskajā matemātikā. Tas atkal tika atdzīvināts, kad 16. gadsimtā parādījās “nedalāmo metodi”, sadalot pētāmo figūru bezgalīgi mazās daļās.

17. gadsimtā notika bezgalīgi mazo skaitļu algebraizācija. Tos sāka definēt kā skaitliskus lielumus, kas ir mazāki par jebkuru galīgu (kas nav nulles) lielumu un tomēr nav vienādi ar nulli. Analīzes māksla sastāvēja no relāciju sastādīšanas, kas satur bezgalīgi mazus (diferenciāļus), un pēc tam to integrējot.

Vecās skolas matemātiķi šo koncepciju pārbaudīja bezgala mazs skarba kritika. Mišels Rolle rakstīja, ka jaunais aprēķins ir " ģeniālu kļūdu kopums"; Voltērs kaustiski atzīmēja, ka aprēķini ir māksla aprēķināt un precīzi izmērīt lietas, kuru esamību nevar pierādīt. Pat Huigenss atzina, ka viņš nesaprot augstāku pakāpju diferenciāļu nozīmi.

Par likteņa ironiju var uzskatīt nestandarta analīzes rašanos gadsimta vidū, kas pierādīja, ka arī sākotnējais skatījums - faktiskie infinitesimals - bija konsekvents un var tikt izmantots par analīzes bāzi.

Skatīt arī

Wikimedia fonds. 2010. gads.

Skatiet, kas ir “bezgalīgi liels” citās vārdnīcās:

Mainīgais lielums Y ir apgriezts bezgalīgi mazam daudzumam X, tas ir, Y = 1/X... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

Mainīgais y ir bezgalīgi mazā x apgrieztā vērtība, tas ir, y = 1/x. * * * BEZGALĪGI LIELS BEZGALĪGI LIELS, mainīgs lielums Y, apgriezts bezgalīgi mazam daudzumam X, tas ir, Y = 1/X ... enciklopēdiskā vārdnīca

Matemātikā mainīgs lielums, kas noteiktā pārmaiņu procesā kļūst un paliek absolūtā vērtībā, kas ir lielāks par jebkuru iepriekš noteiktu skaitli. Pētījums par B. b. daudzumus var reducēt līdz bezgalīgi mazo skaitļu izpētei (sk... ... Lielā padomju enciklopēdija

Funkcija y=f(x) sauca bezgala mazs plkst x→a vai kad x→∞, ja vai , t.i. bezgalīgi maza funkcija ir funkcija, kuras robeža noteiktā punktā ir nulle.

Piemēri.

1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 ir bezgalīgi mazs pie x→1, kopš (sk. attēlu).

2. Funkcija f(x)= tg x– bezgalīgi mazs plkst x→0.

3. f(x)= log(1+ x) – bezgalīgi mazs plkst x→0.

4. f(x) = 1/x– bezgalīgi mazs plkst x→∞.

Nodibināsim šādas svarīgas attiecības:

Teorēma. Ja funkcija y=f(x) reprezentējams ar x→a kā konstanta skaitļa summu b un bezgalīgi mazs lielums α(x): f(x)=b+ α(x) Tas .

Un otrādi, ja , tad f(x)=b+α(x), Kur a(x)– bezgalīgi mazs plkst x→a.

Pierādījums.

1. Pierādīsim apgalvojuma pirmo daļu. No vienlīdzības f(x)=b+α(x) vajadzētu |f(x) – b|=| α|. Bet kopš a(x) ir bezgalīgi mazs, tad patvaļīgam ε ir δ – punkta apkārtne a, visu priekšā x no kuras, vērtības a(x) apmierināt attiecības |α(x)|< ε. Tad |f(x) – b|< ε. Un tas nozīmē, ka.

2. Ja , tad jebkuram ε >0 visiem X no kāda δ – punkta apkārtne a gribu |f(x) – b|< ε. Bet ja apzīmējam f(x) – b= α, Tas |α(x)|< ε, kas nozīmē, ka a- bezgalīgi mazs.

Apskatīsim bezgalīgi mazo funkciju pamatīpašības.

1. teorēma. Divu, trīs un vispār jebkura ierobežota bezgalīgi mazo lielumu algebriskā summa ir bezgalīgi maza funkcija.

Pierādījums. Sniegsim pierādījumu diviem terminiem. Ļaujiet f(x)=α(x)+β(x), kur un . Mums ir jāpierāda, ka jebkuram patvaļīgi mazam ε > 0 atrasts δ> 0, piemēram, par x, apmierinot nevienlīdzību |x – a|<δ , veikta |f(x)|< ε.

Tātad, nofiksēsim patvaļīgu skaitli ε > 0. Tā kā saskaņā ar teorēmas nosacījumiem α(x) ir bezgalīgi maza funkcija, tad ir tāda δ 1 > 0, kas ir |x – a|< δ 1 mums ir |α(x)|< ε / 2. Tāpat kopš β(x) ir bezgalīgi mazs, tad ir tāds δ 2 > 0, kas ir |x – a|< δ 2 mums ir | β(x)|< ε / 2.

Ņemsim δ=min(δ 1 , δ2 } .Tad punkta apkārtnē a rādiuss δ tiks apmierināta katra no nevienādībām |α(x)|< ε / 2 un | β(x)|< ε / 2. Tāpēc šajā apkaimē būs

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

tie. |f(x)|< ε, kas bija jāpierāda.

2. teorēma. Bezgalīgi mazas funkcijas reizinājums a(x) ierobežotai funkcijai f(x) plkst x→a(vai kad x→∞) ir bezgalīgi maza funkcija.

Pierādījums. Kopš funkcijas f(x) ir ierobežots, tad ir skaits M tāds, ka visām vērtībām x no kāda punkta apkārtnes a|f(x)|≤M. Turklāt kopš a(x) ir bezgalīgi maza funkcija pie x→a, tad patvaļīgam ε > 0 ir punkta apkārtne a, kurā pastāvēs nevienlīdzība |α(x)|< ε /M. Tad mazākajā no šiem rajoniem, kas mums ir | αf|< ε /M= ε. Un tas nozīmē to af- bezgalīgi mazs. Šim gadījumam x→∞ pierādīšana tiek veikta līdzīgi.

No pārbaudītās teorēmas izriet:

Secinājums 1. Ja un, tad.

Secinājums 2. Ja c= const, tad .

3. teorēma. Bezgalīgi mazas funkcijas attiecība α(x) pēc funkcijas f(x), kuras robeža atšķiras no nulles, ir bezgalīgi maza funkcija.

Pierādījums. Ļaujiet . Tad 1 /f(x) ir ierobežota funkcija. Tāpēc daļa ir bezgalīgi mazas funkcijas un ierobežotas funkcijas reizinājums, t.i. funkcija ir bezgalīgi maza.