§7. Lineāro telpu piemēri

Lineāro apvalku sauc arī par ģenerēta apakštelpa X. Parasti apzīmē . Ir arī teikts, ka lineārais apvalks izstiepts pāriķekars X .

Īpašības

Skatīt arī

Saites

Wikimedia fonds. 2010. gads.

• Jangar
• Maksājuma atlikums

Skatiet, kas ir “Lineārais apvalks” citās vārdnīcās:

LINEĀRAIS APVAIZS- visu apakštelpu krustpunkts M, kas satur vektortelpas E kopu. Turklāt Mnaz. arī A. M. I. Voitsekhovska ģenerēta apakštelpa... Matemātiskā enciklopēdija

Lineārie apvalka vektori

Lineārie apvalka vektori- šo vektoru lineāro kombināciju kopa ∑αiаi ar visiem iespējamajiem koeficientiem (α1, …, αn) … Ekonomikas un matemātikas vārdnīca

lineārie apvalka vektori- Šo vektoru lineāru kombināciju kopa ar visiem iespējamajiem koeficientiem (?1, …, ?n). Tēmas ekonomika LV lineārais korpuss …

lineārā algebra- Matemātiskā disciplīna, algebras sadaļa, kas jo īpaši satur lineāro vienādojumu, matricu un determinantu teoriju, kā arī vektoru (lineāro) telpu teoriju. Lineāra sakarība “formas attiecības: a1x1 + a2x2 + … +… … Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

Lineārā atkarība- “formas attiecības: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, kur a1, a2, …, an ir skaitļi, no kuriem vismaz viens nav nulle; x1, x2, ..., xn ir noteikti matemātiski objekti, kuriem ir definētas saskaitīšanas darbības ... Ekonomikas un matemātikas vārdnīca

Apvalks- skatiet Lineārais apvalks... Ekonomikas un matemātikas vārdnīca

Lineārā atkarība

Lineāra kombinācija- Lineārā telpa jeb vektoru telpa ir galvenais lineārās algebras izpētes objekts. Saturs 1 Definīcija 2 Vienkāršākie rekvizīti 3 Saistītās definīcijas un īpašības ... Wikipedia

LINEĀRĀ GRUPA ir lineāru transformāciju grupa vektoru telpai V ar ierobežotu izmēru n virs noteikta ķermeņa K. Pamata izvēle telpā V realizē lineāro grupu kā nedeģenerētu kvadrātveida matricu grupu ar n pakāpi virs ķermeņa K. Tādējādi tiek izveidots izomorfisms... Matemātiskā enciklopēdija

Grāmatas

• Lineārā algebra. Mācību grāmata un darbnīca atvērtā pirmkoda izglītībai Pērciet par 1471 UAH (tikai Ukrainai)
• Lineārā algebra. Mācību grāmata un darbnīca akadēmiskā bakalaura grāda iegūšanai, Krēmers N.Š.. Šajā mācību grāmatā iekļauti vairāki jauni jēdzieni un papildjautājumi, piemēram, matricas norma, bāzes papildināšanas metode, lineāro telpu izomorfisms, lineārās apakštelpas, lineārais ...

Ļaut būt vektoru sistēmai no vektoru telpas V virs lauka P.

2. definīcija: Lineārs apvalks L sistēmas A ir visu sistēmas vektoru lineāro kombināciju kopa A. Apzīmējums L(A).

To var parādīt jebkurām divām sistēmām A Un B,

A lineāri izteikts cauri B tad un tikai tad, ja. (1)

A ekvivalents B tad un tikai tad, kad L(A)=L(B). (2)

Pierādījums izriet no iepriekšējā īpašuma

3 Jebkuras vektoru sistēmas lineārais laidums ir telpas apakštelpa V.

Pierādījums

Ņem jebkurus divus vektorus un no L(A), kam ir šādi paplašinājumi vektoros no A: . Pārbaudīsim kritērija 1) un 2) nosacījuma iespējamību:

Tā kā tā ir lineāra sistēmas vektoru kombinācija A.

Tā kā tā ir arī lineāra sistēmas vektoru kombinācija A.

Tagad apskatīsim matricu. Matricas rindu lineārais laidums A sauc par matricas rindas telpu un apzīmē Lr(A). Matricas kolonnu lineārais laidums A tiek saukta par kolonnas telpu un tiek apzīmēta Lc(A). Lūdzu, ņemiet vērā, ka tad, kad matricas rindu un kolonnu telpa A ir dažādu aritmētisko telpu apakštelpas P n Un pm attiecīgi. Izmantojot apgalvojumu (2), mēs varam nonākt pie šāda secinājuma:

3. teorēma: Ja vienu matricu no citas iegūst ar elementāru pārveidojumu ķēdi, tad šādu matricu rindu atstarpes sakrīt.

Apakštelpu summa un krustpunkts

Ļaujiet L Un M- divas telpas apakštelpas R.

Summa L+M sauc par vektoru kopu x+y , Kur x ∈L Un y ∈M. Acīmredzot jebkura lineāra vektoru kombinācija no L+M pieder L+M, tātad L+M ir telpas apakštelpa R(var sakrist ar atstarpi R).

Ar krustojumu L∩M apakštelpas L Un M ir vektoru kopa, kas vienlaikus pieder apakštelpām L Un M(var sastāvēt tikai no nulles vektora).

Teorēma 6.1. Patvaļīgu apakštelpu izmēru summa L Un M ierobežotu dimensiju lineārā telpa R vienāds ar šo apakštelpu summas izmēru un šo apakštelpu krustpunkta izmēru:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Pierādījums. Apzīmēsim F=L+M Un G=L∩M. Ļaujiet G g-dimensiju apakštelpa. Izvēlēsimies tajā pamatu. Jo G⊂L Un G⊂M, tāpēc pamats G var pievienot bāzei L un uz bāzi M. Ļaujiet apakštelpas pamatam L un ļaujiet apakštelpas pamatam M. Ļaujiet mums parādīt, ka vektori

(6.1) veido pamatu F=L+M. Lai vektori (6.1) veidotu telpas pamatu F tiem jābūt lineāri neatkarīgiem un jebkuram telpas vektoram F var attēlot ar lineāru vektoru kombināciju (6.1).

Pierādīsim vektoru lineāro neatkarību (6.1). Ļaujiet telpas nulles vektoram F ir attēlota ar vektoru lineāru kombināciju (6.1) ar dažiem koeficientiem:

(6.3) kreisā puse ir apakštelpas vektors L, un labajā pusē ir apakštelpas vektors M. Tāpēc vektors

(6.4) pieder apakštelpai G=L∩M. No otras puses, vektors v var attēlot ar apakštelpas bāzes vektoru lineāru kombināciju G:

(6.5) No vienādojumiem (6.4) un (6.5) mums ir:

Bet vektori ir apakštelpas pamats M, tāpēc tie ir lineāri neatkarīgi un . Tad (6.2) būs šāda forma:

Sakarā ar apakštelpas pamata lineāro neatkarību L mums ir:

Tā kā (6.2) vienādojumā visi koeficienti izrādījās nulle, tad vektori

lineāri neatkarīgs. Bet jebkurš vektors z no F(pēc apakštelpu summas definīcijas) var attēlot ar summu x+y , Kur x ∈ L,y ∈ M. Savukārt x ir attēlots ar lineāru vektoru kombināciju a y - vektoru lineāra kombinācija. Tāpēc vektori (6.10) rada apakštelpu F. Mēs atklājām, ka vektori (6.10) veido pamatu F=L+M.

Apakštelpas bāzu izpēte L Un M un apakštelpas bāze F=L+M(6.10), mums ir: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Tātad:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Tiešā apakštelpu summa

Definīcija 6.2. Kosmoss F apzīmē tiešo apakštelpu summu L Un M, ja katrs vektors x telpa F var attēlot tikai kā summu x=y+z , Kur y ∈L un z ∈M.

Ir norādīta tiešā summa L⊕M. Viņi saka, ka, ja F=L⊕M, Tas F sadalās savu apakštelpu tiešajā summā L Un M.

Teorēma 6.2. Lai n- dimensiju telpa R bija tiešā apakštelpu summa L Un M, krustojumam pietiek L Un M satur tikai nulles elementu un ka dimensija R bija vienāda ar apakštelpu izmēru summu L Un M.

Pierādījums. Izvēlēsimies kādu bāzi apakštelpā L un kādu bāzi apakštelpā M. Pierādīsim to

(6.11) ir telpas pamats R. Atbilstoši teorēmas nosacījumiem telpas dimensija Rn vienāds ar apakštelpu summu L Un M (n=l+m). Pietiek pierādīt elementu lineāro neatkarību (6.11.). Ļaujiet telpas nulles vektoram R ir attēlota ar vektoru lineāru kombināciju (6.11) ar dažiem koeficientiem:

(6.13) Tā kā (6.13) kreisā puse ir apakštelpas vektors L, un labajā pusē ir apakštelpas vektors M Un L∩M=0 , Tas

(6.14) Bet vektori ir apakštelpu pamati L Un M attiecīgi. Tāpēc tie ir lineāri neatkarīgi. Tad

(6.15) Tika konstatēts, ka (6.12) ir spēkā tikai ar nosacījumu (6.15), un tas pierāda vektoru (6.11) lineāro neatkarību. Tāpēc tie veido pamatu R.

Pieņemsim x∈R. Izvērsīsim to atbilstoši bāzei (6.11):

(6.16) no (6.16) mums ir:

(6.18) No (6.17) un (6.18) izriet, ka jebkurš vektors no R var attēlot kā vektoru summu x 1 ∈L Un x 2 ∈M. Atliek pierādīt, ka šis attēlojums ir unikāls. Ļaujiet, lai papildus attēlojumam (6.17.) ir šāds attēlojums:

(6.19)Atņemot (6.19) no (6.17), iegūstam

(6.20) Kopš , un L∩M=0 , pēc tam un . Tāpēc un. ■

8.4. teorēma par apakštelpu summas dimensiju. Ja un ir ierobežotas dimensijas lineāras telpas apakštelpas, tad apakštelpu summas dimensija ir vienāda ar to izmēru summu bez to krustojuma dimensijas ( Grasmana formula):

Faktiski ļaujiet būt krustojuma pamatā. Papildināsim to ar sakārtotu vektoru kopu līdz apakštelpas pamatam un sakārtotu vektoru kopu līdz apakštelpas pamatam. Šāds papildinājums ir iespējams ar teorēmu 8.2. No šīm trim vektoru kopām izveidosim sakārtotu vektoru kopu. Parādīsim, ka šie vektori ir telpas ģeneratori. Patiešām, jebkurš šīs telpas vektors tiek attēlots kā lineāra vektoru kombinācija no sakārtotas kopas

Līdz ar to,. Pierādīsim, ka ģeneratori ir lineāri neatkarīgi un tāpēc tie ir telpas pamats. Patiešām, izveidosim šo vektoru lineāru kombināciju un pielīdzināsim to nulles vektoram: . Visi šīs izplešanās koeficienti ir nulle: vektoru telpas apakštelpas ar bilineāru formu ir visu vektoru kopa, kas ir ortogonāli katram vektoram no . Šī kopa ir vektora apakštelpa, ko parasti apzīmē ar .

Rakstā ir aprakstīti lineārās algebras pamati: lineārā telpa, tās īpašības, bāzes jēdziens, telpas izmēri, lineārais korpuss, lineāro telpu savienojums un matricu rangs.

Lineāra telpa

ķekars L sauca lineārā telpa, ja visiem tā elementiem apmierina divu elementu saskaitīšanas un elementa reizināšanas ar skaitli es grupai Veila aksiomas. Lineārās telpas elementus sauc vektori. Šī ir pilnīga definīcija; Īsāk sakot, var teikt, ka lineārā telpa ir elementu kopa, kurai ir definētas divu elementu pievienošanas un elementa reizināšanas ar skaitli operācijas.

Veila aksiomas.

Hermanis Veils ierosināja, ka ģeometrijā mums ir divu veidu objekti ( vektori un punkti), kuras īpašības raksturo šādas aksiomas, kas veidoja sadaļas pamatu lineārā algebra. Ir ērti sadalīt aksiomas 3 grupās.

I grupa

1. jebkuriem vektoriem x un y ir izpildīta vienādība x+y=y+x;
2. jebkuriem vektoriem x, y un z ir izpildīta vienādība x+(y+z)=(x+y)+z;
3. ir tāds vektors o, ka jebkuram vektoram x ir spēkā vienādība x+o=x;
4. jebkuram vektoram X ir tāds vektors (-x), ka x+(-x)=o;
5. jebkuram vektoram X spēkā ir vienādība 1x=x;
6. jebkuriem vektoriem X Un plkst un jebkurš skaitlis λ ir vienādība λ( X+plkst)=λ X+λ plkst;
7. jebkuram vektoram X un uz jebkuriem skaitļiem λ un μ ir spēkā vienādība (λ+μ) X=λ X+μ X;
8. jebkuram vektoram X un jebkuri skaitļi λ un μ ir vienādība λ(μ X)=(λμ) X;

II grupa

I grupa definē jēdzienu vektoru lineāra kombinācija, lineārā atkarība un lineārā neatkarība. Tas ļauj formulēt vēl divas aksiomas:

1. ir n lineāri neatkarīgi vektori;
2. jebkuri (n+1) vektori ir lineāri atkarīgi.

Planimetrijai n=2, stereometrijai n=3.

III grupa

Šī grupa pieņem, ka pastāv skalārās reizināšanas operācija, kas piešķir vektoru pāri X Un plkst numurs ( x,y). Kurā:

1. jebkuriem vektoriem X Un plkst vienlīdzība ir spēkā ( x,y)=(y, x);
2. jebkuriem vektoriem X , plkst Un z vienlīdzība ir spēkā ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. jebkuriem vektoriem X Un plkst un jebkurš skaitlis λ ir vienādība (λ x,y)=λ( x,y);
4. jebkuram vektoram x pastāv nevienādība ( x, x)≥0 un ( x, x)=0 tad un tikai tad X=0.

Lineārās telpas īpašības

Lielākā daļa lineārās telpas īpašību ir balstītas uz Veila aksiomām:

1. Vektors O, kuras esamību garantē Aksioma 3, nosaka unikālā veidā;
2. Vektors (- X), kuras eksistenci garantē 4. aksioma, nosaka unikālā veidā;
3. Jebkuriem diviem vektoriem A Un b piederība kosmosam L, ir tikai viens vektors X, kas arī pieder kosmosam L, kas ir vienādojuma risinājums a+x=b un sauc par vektora starpību ba.

Definīcija. Apakškopa L' lineārā telpa L sauca lineārā apakštelpa telpa L, ja tā pati par sevi ir lineāra telpa, kurā vektoru summa un vektora un skaitļa reizinājums ir definēts tāpat kā L.

Definīcija. Lineārs apvalks L(x1, x2, x3, …, xk) vektori x1, x2, x3, Un xk sauc par visu šo vektoru lineāro kombināciju kopu. Par lineāro apvalku mēs varam teikt tā

-lineārais korpuss ir lineāra apakštelpa;

– lineārais korpuss ir minimālā lineārā apakštelpa, kas satur vektorus x1, x2, x3, Un xk.

Definīcija. Lineāro telpu sauc par n-dimensiju, ja tā atbilst Veila aksiomu sistēmas II grupai. Tiek izsaukts skaitlis n dimensiju lineārā telpa un rakstiet dimL=n.

Pamats– jebkura pasūtīta sistēma n lineāri neatkarīgi telpas vektori. Bāzes nozīme ir tāda, ka vektorus, kas veido bāzi, var izmantot, lai aprakstītu jebkuru vektoru telpā.

Teorēma. Jebkuri n lineāri neatkarīgi vektori telpā L veido pamatu.

Izomorfisms.

Definīcija. Lineāras telpas L Un L' tiek saukti par izomorfiem, ja starp to elementiem var konstatēt šādu savstarpēju atbilstību x↔x', Kas:

1. Ja x↔x', y↔y', Tas x+y↔x'+y';
2. Ja x↔x', tad λ x↔λ X'.

Šī sarakste pati par sevi sauc izomorfisms. Izomorfisms ļauj mums izteikt šādus apgalvojumus:

• ja divas telpas ir izomorfas, tad to izmēri ir vienādi;
• jebkuras divas lineāras telpas virs viena lauka un vienādas dimensijas ir izomorfas.

1. Polinomu kopa P n (x) grādiem ne augstāk n.

2. ķekars n-termu secības (ar terminu saskaitīšanu un reizināšanu ar skalāru).

3 . Daudz funkciju C [ A , b ] nepārtraukti [ A, b] un ar punktu saskaitīšanu un reizināšanu ar skalāru.

4. Daudzas funkcijas, kas norādītas [ A, b] un pazūd kādā fiksētā iekšējā punktā c: f (c) = 0 un ar punktveida saskaitīšanas un reizināšanas ar skalāru operācijām.

5. Iestatiet R+, ja x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§8. Apakštelpas definīcija

Ļaujiet komplektam W ir lineārās telpas apakškopa V (W  V) un tamlīdzīgi

a)  x, yW  x ⊕ yW;

b)  xW,    ⊙ xW.

Saskaitīšanas un reizināšanas darbības šeit ir tādas pašas kā telpā V(tos sauc par kosmosa izraisītiem V).

Tik daudz W sauc par telpas apakštelpu V.

7  . Apakštelpa W pati par sevi ir telpa.

◀ Lai to pierādītu, pietiek pierādīt neitrāla elementa un tā pretstata esamību. Vienādības 0⊙ x=  un (–1)⊙ X = –X pierādīt, kas ir nepieciešams.

Apakštelpa, kas sastāv tikai no neitrāla elementa () un apakštelpas, kas sakrīt ar pašu telpu V, sauc par telpas triviālām apakštelpām V.

§9. Lineāra vektoru kombinācija. Vektoru sistēmas lineārais laidums

Ļaujiet vektoriem e 1 ,e 2 , …e n V un  1,  2 , …  n .

Vektors x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = sauc par lineāru vektoru kombinācija e 1 , e 2 , … , e n ar koeficientiem  1,  2 , …  n .

Ja visi koeficienti lineārā kombinācijā ir vienādi ar nulli, tad lineārā kombinācija sauca triviāls.

Visu iespējamo vektoru lineāro kombināciju kopa
sauc par lineāro korpusušo vektoru sistēmu un apzīmē:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Saskaitīšanas un reizināšanas ar skalāru darbību pareizība izriet no tā, ka ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) ir visu iespējamo lineāro kombināciju kopa. Neitrālais elements ir triviāla lineāra kombinācija. Elementam X=
pretējais ir elements - x =
. Ir izpildītas arī aksiomas, kurām jāatbilst operācijām. Tādējādi,ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) ir lineāra telpa.

Jebkura lineārā telpa parasti satur bezgalīgu skaitu citu lineāro telpu (apakštelpu) - lineāros apvalkus

Nākotnē mēs centīsimies atbildēt uz šādiem jautājumiem:

Kad dažādu vektoru sistēmu lineārie apvalki sastāv no vieniem un tiem pašiem vektoriem (t.i., sakrīt)?

2) Kāds ir minimālais vektoru skaits, kas nosaka to pašu lineāro laidumu?

3) Vai sākotnējā telpa ir kādas vektoru sistēmas lineārs laidums?

§10. Pilnīgas vektoru sistēmas

Ja kosmosā V ir ierobežota vektoru kopa
nu ko,ℒ
 V, tad vektoru sistēma
tiek saukta par pilnīgu sistēmu V, un telpu sauc par galīgo dimensiju. Tādējādi vektoru sistēma e 1 , e 2 , …, e n V sauc par pabeigtu V sistēma, t.i. Ja

XV   1 ,  2 , …  n tāds, ka x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Ja kosmosā V nav galīgas pilnīgas sistēmas (un pilnīga vienmēr pastāv - piemēram, visu telpas vektoru kopa V), tad atstarpe V sauc par bezgalīgu dimensiju.

9  . Ja
pilns iekšā V vektoru sistēma un y V, Tas ( e 1 , e 2 , …, e n , y) ir arī pilnīga sistēma.

◀ Lineārās kombinācijās koeficients pirms yņem vienādu ar 0.

Ļaut būt vektoru sistēma no . Lineārs apvalks vektoru sistēmas ir dotās sistēmas visu lineāro vektoru kombināciju kopa, t.i.

Lineāra apvalka īpašības: Ja , tad un .

Lineārajam apvalkam ir īpašība būt slēgtam attiecībā uz lineārām darbībām (saskaitīšanas un reizināšanas ar skaitli operācijām).

Tiek saukta telpas apakškopa, kurai ir īpašība būt slēgtai attiecībā uz saskaitīšanas un reizināšanas ar skaitļiem operācijām.telpas lineārā apakštelpa .

Vektoru sistēmas lineārais apvalks ir telpas lineāra apakštelpa.

Vektoru sistēmu no sauc par bāzi , Ja

Jebkuru vektoru var izteikt kā bāzes vektoru lineāru kombināciju:

2. Vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.

Lemma Vector izplešanās koeficienti saskaņā ar bāzi ir unikāli noteikti.

Vektors , kas sastāv no vektora izplešanās koeficientiem saskaņā ar bāzi sauc par vektora koordinātu vektoru pamatā .

Apzīmējums . Šis ieraksts uzsver, ka vektora koordinātas ir atkarīgas no bāzes.

Lineāras telpas

Definīcijas

Ļaujiet dot patvaļīga rakstura elementu kopu. Ļaujiet šīs kopas elementiem definēt divas darbības: saskaitīšanu un reizināšanu ar jebkuru īsts numurs: , un iestatiet slēgts attiecībā uz šīm operācijām: . Ļaujiet šīm operācijām pakļauties aksiomām:

3. Ir nulles vektors ar īpašību ;

4. katram ir apgriezts vektors ar īpašību ;

6. par , ;

7. par , ;

Tad šādu komplektu sauc lineārā (vektoru) telpa, tā elementus sauc vektori, un - lai uzsvērtu to atšķirību no cipariem no - tiek saukti pēdējie skalāri 1) . Tiek saukta telpa, kas sastāv tikai no viena nulles vektora triviāls .

Ja aksiomās 6 - 8 pieļaujam reizināšanu ar kompleksajiem skalāriem, tad šādu lineāru telpu sauc aptverošs. Lai vienkāršotu mūsu argumentāciju, turpmāk mēs aplūkosim tikai reālas telpas.

Lineārā telpa ir grupa attiecībā uz saskaitīšanas darbību un Ābela grupa.

Nulles vektora unikalitāte un vektora unikalitāte, kas ir apgriezta vektoram, ir viegli pierādīta: , to parasti apzīmē .

Lineārās telpas apakškopu, kas pati ir lineāra telpa (tas ir, slēgta, pievienojot vektorus un reizinot ar patvaļīgu skalāru), sauc. lineārā apakštelpa telpa. Triviālas apakštelpas Lineāro telpu sauc par sevi un telpu, kas sastāv no viena nulles vektora.

Piemērs. Reālu skaitļu sakārtotu trīskāršu telpa

operācijas, ko nosaka vienādības:

Ģeometriskā interpretācija ir acīmredzama: vektoru telpā, kas “piesaistīts” sākumam, var norādīt tā gala koordinātēs. Attēlā parādīta arī tipiska telpas apakštelpa: plakne, kas iet caur izcelsmi. Precīzāk, elementi ir vektori, kuru izcelsme ir sākuma punktā un beidzas plaknes punktos. Šādas kopas noslēgtība attiecībā uz vektoru pievienošanu un to dilatāciju 2) ir acīmredzama.

Pamatojoties uz šo ģeometrisko interpretāciju, par patvaļīgas lineāras telpas vektoru bieži runā kā punkts telpā. Dažreiz šo punktu sauc par "vektora beigām". Neatkarīgi no asociatīvās uztveres ērtībām šiem vārdiem nav piešķirta nekāda formāla nozīme: jēdziens “vektora beigas” lineārās telpas aksiomatikā nav sastopams.

Piemērs. Pamatojoties uz to pašu piemēru, mēs varam sniegt atšķirīgu vektora telpas interpretāciju (starp citu, iegulta vārda “vektors” 3) izcelsmē) - tas definē punktu “noviržu” kopumu telpā. Šīs nobīdes vai jebkuras telpiskās figūras paralēlie tulkojumi ir izvēlēti kā paralēli plaknei.

Vispārīgi runājot, ar šādām vektora jēdziena interpretācijām viss nav tik vienkārši. Mēģinājumi apelēt pie tā fiziskās nozīmes – kā objektam, kuram ir Izmērs Un virziens- izsauc stingru matemātiķu godīgu aizrādījumu. Vektora kā vektora telpas elementa definīcija ļoti atgādina epizodi ar sepulchami no slavenā Staņislava Lema zinātniskās fantastikas stāsta (skat. ☞ŠEIT). Neuzķersimies uz formālismu, bet izpētīsim šo izplūdušo objektu tā īpašajās izpausmēs.

Piemērs. Dabisks vispārinājums ir telpa: rindas vai kolonnas vektora telpa . Viens veids, kā norādīt apakštelpu, ir norādīt ierobežojumu kopu.

Piemērs. Lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmas risinājumu kopa:

veido telpas lineāru apakštelpu. Patiesībā, ja

Tad sistēmas risinājums

Tas pats risinājums jebkuram. Ja

Tad vēl viens sistēmas risinājums

Tas arī būs viņas lēmums.

Kāpēc sistēmai ir daudz risinājumu? neviendabīgs vienādojumi neveido lineāru apakštelpu?

Piemērs. Vispārinot tālāk, mēs varam uzskatīt “bezgalīgu” virkņu telpu vai sekvences , parasti matemātiskās analīzes objekts - apsverot secības un sērijas. Līnijas (secības) var uzskatīt par “bezgalīgām abos virzienos” - tās tiek izmantotas SIGNĀLU TEORĒJĀ.

Piemērs.-matricu kopa ar reāliem elementiem ar matricas saskaitīšanas un reizināšanas ar reāliem skaitļiem operācijām veido lineāru telpu.

Kvadrātveida secības matricu telpā var izdalīt divas apakštelpas: simetrisko matricu apakštelpu un šķībi simetrisko matricu apakštelpu. Turklāt apakštelpas veido katru no kopām: augšējās trīsstūrveida, apakšējās trīsstūrveida idiagonālās matricas.

Piemērs. Vienas mainīgas pakāpes polinomu kopa, kas precīzi vienāda ar koeficientiem (kur ir kāda no kopām vai ) ar parastajām polinomu saskaitīšanas un reizināšanas ar skaitli no operācijām. neveidojas lineārā telpa. Kāpēc? - Jo tas nav aizvērts saskaitīšanas laikā: polinomu summa nebūs th pakāpes polinoms. Bet šeit ir daudz grādu polinomu ne augstāk

lineārās telpas formas; tikai šai kopai jāpievieno arī identisks nulles polinoms 4). Acīmredzamās apakštelpas ir . Turklāt apakštelpas būs ne vairāk kā pakāpes pāra un nepāra polinomu kopa. Visu iespējamo polinomu kopa (bez pakāpju ierobežojumiem) arī veido lineāru telpu.

Piemērs. Iepriekšējā gadījuma vispārinājums būs vairāku pakāpes mainīgo polinomu telpa ar koeficientiem no . Piemēram, lineāro polinomu kopa

veido lineāru telpu. Pakāpju homogēno polinomu (formu) kopa (šai kopai pievienojot identisku nulles polinomu) arī ir lineāra telpa.

Iepriekš minētās definīcijas izteiksmē virkņu kopa ar veselu skaitļu komponentiem

aplūkotas attiecībā uz komponentu saskaitīšanas un reizināšanas ar operācijām veseli skaitļi skalāri nav lineāra telpa. Tomēr visas aksiomas 1 - 8 tiks izpildītas, ja atļausim reizināšanu tikai ar veseliem skalāriem. Šajā sadaļā mēs nekoncentrēsimies uz šo objektu, taču tas ir diezgan noderīgs diskrētajā matemātikā, piemēram, ☞ KODĒŠANAS TEORIJA. Lineārās telpas virs ierobežotiem laukiem ir aplūkotas ☞ ŠEIT.

Mainīgie lielumi ir izomorfi simetrisko matricu telpai. Izomorfismu nosaka korespondence, ko mēs ilustrēsim gadījumam:

Izomorfisma jēdziens tiek ieviests, lai veiktu objektu izpēti, kas rodas dažādās algebras jomās, bet ar “līdzīgām” darbību īpašībām, izmantojot viena parauga piemēru, izstrādājot uz tā rezultātus, kurus pēc tam var lēti atkārtot. Kuru lineāro telpu vajadzētu ņemt “par paraugu”? - Skatiet nākamās rindkopas beigas