Diferenciālā funkcija ir pirmā diferenciāļa formas nemainība. Funkcijas pirmā diferenciāļa īpašības

Pēc definīcijas funkcijas diferenciāli (pirmo diferenciāli) aprēķina pēc formulas
Ja - neatkarīgais mainīgais.

PIEMĒRS.

Parādīsim, ka pirmās diferenciāļa forma paliek nemainīga (ir nemainīga) arī tad, ja funkcijas arguments pati par sevi ir funkcija, tas ir, sarežģītai funkcijai
.

Ļaujiet
ir diferencējami, tad pēc definīcijas

Turklāt tas bija jāpierāda.

PIEMĒRI.

Pierādītā pirmā diferenciāļa formas nemainība ļauj to pieņemt
tas ir atvasinājums ir vienāds ar funkcijas diferenciāļa attiecību pret viņas argumentu atšķirība, neatkarīgi no tā, vai arguments ir neatkarīgs mainīgais vai funkcija.

Parametriski norādītas funkcijas diferenciācija

Ļaujiet If funkcionēt
ir uzņemšanas laukumā tad otrādi
Tad vienlīdzības
definēts komplektā funkcija norādīta parametriski, – parametrs (starpposma mainīgais).

PIEMĒRS. Grafiksējiet funkciju
.

Konstruēto līkni sauc cikloīds(25. att.) un ir tāda punkta trajektorija uz apļa ar rādiusu 1, kas ripo, neslīdot pa OX asi.

KOMENTĀRS. Dažreiz, bet ne vienmēr, parametru var izslēgt no parametru līknes vienādojumiem.

PIEMĒRI.
ir apļa parametriskie vienādojumi, jo, protams,

–elipses parametru vienādojumi, kopš

-parabolas parametru vienādojumi

Atradīsim parametriski definētas funkcijas atvasinājumu:

Parametriski norādītas funkcijas atvasinājums ir arī parametriski norādīta funkcija: .

DEFINĪCIJA. Funkcijas otrais atvasinājums ir tās pirmā atvasinājuma atvasinājums.

Atvasinājums kārta ir atvasinājums no tās kārtas atvasinājuma
.

Apzīmē atvasinājumus no otrā un - šāds pasūtījums:

No otrā atvasinājuma definīcijas un parametriski definētas funkcijas diferenciācijas noteikuma izriet, ka
Lai aprēķinātu trešo atvasinājumu, formā ir jāattēlo otrais atvasinājums
un vēlreiz izmantojiet iegūto noteikumu. Augstākas kārtas atvasinājumi tiek aprēķināti līdzīgi.

PIEMĒRS. Atrodiet funkcijas pirmās un otrās kārtas atvasinājumus

.

Diferenciālrēķina pamatteorēmas

TEORĒMA(Saimniecība). Ļaujiet funkcijai
ir punktā
ekstremitāte. Ja pastāv
, Tas

APLIECINĀJUMS. Ļaujiet
, piemēram, ir minimālais punkts. Pēc minimālā punkta definīcijas šim punktam ir apkārtne
, kuras ietvaros
, tas ir
- pieaugums
punktā
. A-prior
Aprēķināsim punktā vienpusējus atvasinājumus
:

ar teorēmu par pāreju uz nevienlīdzības robežu,

jo

, jo
Bet pēc stāvokļa
pastāv, tāpēc kreisais atvasinājums ir vienāds ar labo, un tas ir iespējams tikai tad, ja

Pieņēmums, ka
– maksimālais punkts noved pie tā paša.

Teorēmas ģeometriskā nozīme:

TEORĒMA(Rolla). Ļaujiet funkcijai
nepārtraukts
, diferencējams
Un
tad ir
tāds, ka

APLIECINĀJUMS. Jo
nepārtraukts
, tad pēc Veierštrāsa otrās teorēmas tas sasniedz plkst
viņu lielākais
un vismazāk
vērtības vai nu galējos punktos, vai segmenta galos.

1. Ļaujiet
, Tad

2. Ļaujiet
Jo
arī
, vai
tiek sasniegts galējā punktā
, bet saskaņā ar Fermā teorēmu
Q.E.D.

TEORĒMA(Lagranžs). Ļaujiet funkcijai
nepārtraukts
un diferencējams
, tad ir
tāds, ka
.

Teorēmas ģeometriskā nozīme:

Jo
, tad sekants ir paralēls pieskarei. Tādējādi teorēma nosaka, ka ir pieskare, kas ir paralēla sekantam, kas iet caur punktiem A un B.

APLIECINĀJUMS. Caur punktiem A
un B
Uzzīmēsim sekantu AB. Viņas vienādojums
Apsveriet funkciju

– attālums starp atbilstošajiem punktiem grafikā un sekantā AB.

1.
nepārtraukts
kā nepārtrauktu funkciju starpība.

2.
diferencējams
kā diferencējamo funkciju atšķirība.

3.

nozīmē,
apmierina Rolle teorēmas nosacījumus, tāpēc pastāv
tāds, ka

Teorēma ir pierādīta.

KOMENTĀRS. Formulu sauc Lagranža formula.

TEORĒMA(Košī). Ļaujiet funkcijām
nepārtraukts
, diferencējams
Un
, tad ir jēga
tāds, ka
.

APLIECINĀJUMS. Parādīsim to
. Ja
, tad funkcija
atbilstu Rolle teorēmas nosacījumiem, tātad būtu punkts
tāds, ka
– pretruna ar nosacījumu. nozīmē,
, un ir definētas abas formulas puses. Apskatīsim palīga funkciju.

nepārtraukts
, diferencējams
Un
, tas ir
apmierina Rolle teorēmas nosacījumus. Tad ir punkts
, kurā
, Bet

Q.E.D.

Pierādītā formula tiek saukta Košī formula.

L'Hopital NOTEIKUMS(Hopitāla-Bernulli teorēma). Ļaujiet funkcijām
nepārtraukts
, diferencējams
,
Un
. Turklāt ir ierobežots vai bezgalīgs
.

Tad ir

APLIECINĀJUMS. Kopš nosacījuma
, tad mēs definējam
punktā
, pieņemot
Tad
kļūs nepārtraukts
. Parādīsim to

Izliksimies tā
tad ir
tāds, ka
, jo funkcija
ieslēgts
apmierina Rolle teorēmas nosacījumus. Bet pēc stāvokļa
- pretruna. Tāpēc

. Funkcijas
atbilst Košī teorēmas nosacījumiem jebkurā intervālā
, kas ir ietverts
. Uzrakstīsim Košī formulu:

,
.

No šejienes mums ir:
, jo ja
, Tas
.

Pārplānojot mainīgo pēdējā limitā, mēs iegūstam nepieciešamo:

1. PIEZĪME. L'Hopital noteikums paliek spēkā pat tad, kad
Un
. Tas ļauj mums atklāt ne tikai veida nenoteiktību , bet arī veids :

.

2. PIEZĪME. Ja pēc L'Hopital noteikuma piemērošanas nenoteiktība netiek atklāta, tad tā jāpiemēro vēlreiz.

PIEMĒRS.

KOMENTĀRS 3 . L'Hopital likums ir universāls veids, kā atklāt nenoteiktības, taču ir robežas, kuras var atklāt, izmantojot tikai vienu no iepriekš pētītajām konkrētajām metodēm.

Bet acīmredzot
, jo skaitītāja pakāpe ir vienāda ar saucēja pakāpi, un robeža ir vienāda ar koeficientu attiecību lielākajās pakāpēs

Sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikums novedīs pie viena ievērojama un svarīga diferenciāļa īpašība.

Lai funkcijas ir tādas, lai no tām varētu izveidot sarežģītu funkciju: . Ja eksistē atvasinājumi, tad – pēc V likuma – ir arī atvasinājums

Tomēr, aizstājot tā atvasinājumu ar izteiksmi (7) un atzīmējot, ka x ir diferenciālis kā funkcija no t, mēs beidzot iegūstam:

i., atgriezīsimies pie iepriekšējās diferenciāļa formas!

Tādējādi redzam, ka diferenciāļa formu var saglabāt pat tad, ja veco neatkarīgo mainīgo aizstāj ar jaunu. Mēs vienmēr varam brīvi rakstīt diferenciāli y formā (5), neatkarīgi no tā, vai x ir neatkarīgs mainīgais vai nav; vienīgā atšķirība ir tā, ka, ja t ir izvēlēts kā neatkarīgais mainīgais, tas nozīmē nevis patvaļīgu pieaugumu, bet gan x diferenciāli kā funkciju no Šo īpašību sauc par diferenciāļa formas invarianci.

Tā kā formula (5) tieši iegūst formulu (6), kas izsaka atvasinājumu caur diferenciāļiem, pēdējā formula paliek spēkā neatkarīgi no tā, kāds neatkarīgais mainīgais (protams, abos gadījumos tas pats) tiek aprēķināts.

Ļaujiet, piemēram, tā

Ļaujiet mums tagad likt Tad mums būs arī: Ir viegli pārbaudīt, ka formula

dod tikai citu izteiksmi iepriekš aprēķinātajam atvasinājumam.

Šis apstāklis ​​ir īpaši ērti lietojams gadījumos, kad nav tieši norādīta y atkarība no x, bet tā vietā tiek norādīta abu mainīgo x un y atkarība no kādas trešās, palīgmainīgā (saukta par parametru):

Pieņemot, ka abām šīm funkcijām ir atvasinājumi un ka pirmajai no tām ir apgriezta funkcija, kurai ir atvasinājums, ir viegli redzēt, ka tad y arī izrādās x funkcija:

kuram ir arī atvasinājums. Šī atvasinājuma aprēķinu var veikt saskaņā ar iepriekš minēto noteikumu:

neatjaunojot y tiešo atkarību no x.

Piemēram, ja atvasinājumu var noteikt, kā tas izdarīts iepriekš, neizmantojot atkarību vispār.

Ja x un y uzskatām par plaknes punkta taisnstūra koordinātām, tad vienādojumi (8) katru parametra t vērtību piešķir noteiktam punktam, kas, mainoties t, apraksta plaknes līkni. Vienādojumus (8) sauc par šīs līknes parametriskajiem vienādojumiem.

Līknes parametriskās definīcijas gadījumā formula (10) ļauj tieši iestatīt pieskares slīpumu, izmantojot vienādojumus (8), neturpinot precizēt līkni, izmantojot vienādojumu (9); tieši tā,

komentēt. Iespēja izteikt atvasinājumu, izmantojot diferenciāļus, kas ņemti attiecībā uz jebkuru mainīgo, jo īpaši, noved pie tā, ka formulas

Izsakot Leibnica apzīmējumā noteikumus apgrieztās funkcijas un sarežģītas funkcijas diferencēšanai, kļūst par vienkāršām algebriskām identitātēm (jo visas atšķirības šeit var ņemt attiecībā uz vienu un to pašu mainīgo). Tomēr nevajadzētu domāt, ka tas dod jaunu secinājumu par minētajām formulām: pirmkārt, šeit netika pierādīta kreiso atvasinājumu esamība, galvenais, ka mēs būtībā izmantojām diferenciāļa formas invarianci. , kas pati par sevi ir V noteikuma sekas.

Ja neatkarīgu mainīgo diferencējama funkcija un tās kopējā diferenciāle dz ir vienāda ar Pieņemsim, ka punktā ((,?/) funkcijām »?) un r)) ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi attiecībā uz (un rf, un pie atbilstošie punkta (x, y ) parciālie atvasinājumi pastāv un ir nepārtraukti, un rezultātā funkcija r = f(x, y) ir diferencējama. Šajos apstākļos funkcijai ir atvasinājumi punktā 17) Diferenciālis no a kompleksa funkcija Diferenciāļa formas nemainība Netiešās funkcijas Virsmas pieskares plakne un normālplakne Kopējā diferenciāļa ģeometriskā nozīme Normāls pret virsmu Kā redzams no (2) formulām, u un u ir nepārtraukti. punktā ((,*?). Tāpēc funkcija punktā ir diferencējama; saskaņā ar kopējo diferenciāļa formulu neatkarīgu mainīgo £ un m funkcijai], mums ir Aizstāšana vienādību labajā pusē (3 ) u un u to izteiksmes no formulām (2), iegūstam vai nu to, ka atbilstoši nosacījumam funkcijām punktā ((,17) ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi, tad tās šajā punktā ir diferencējamas un No relācijām (4) un (5) iegūstam, ka (1) un (6) formulu salīdzinājums parāda, ka funkcijas z = /(z, y) kopējo diferenciāli izsaka ar tādas pašas formas formulu kā gadījumā, ja argumenti x un funkcijas /(z, y) y ir neatkarīgi mainīgie, un gadījumā, ja šie argumenti savukārt ir dažu mainīgo funkcijas. Tādējādi vairāku mainīgo funkcijas kopējam diferenciālam ir formas nemainīguma īpašība. komentēt. No kopējās diferenciāļa formas nemainības izriet: ja xnx un y ir jebkura ierobežota skaita mainīgo lielumu diferencējamas funkcijas, tad formula paliek spēkā. Iegūsim vienādojumu kur ir divu mainīgo funkcija, kas definēta kādā jomā G xOy plaknē. Ja katrai vērtībai x no noteikta intervāla (xo - 0, xo + ^o) ir tieši viena vērtība y, kas kopā ar x apmierina (1) vienādojumu, tad tas nosaka funkciju y = y(x), kurai vienādība ir ierakstīta identiski gar x norādītajā intervālā. Šajā gadījumā vienādojums (1) definē y kā x implicītu funkciju. Citiem vārdiem sakot, funkcija, kas norādīta ar vienādojumu, kas nav atrisināta attiecībā pret y, tiek saukta par implicītu funkciju,” tā kļūst skaidra, ja ir norādīta tieši y atkarība no x. Piemēri: 1. Vienādojums definē vērtību y viss OcW рх kā x vienvērtības funkcija: 2. Ar vienādojumu lielums y tiek definēts kā x vienvērtības funkcija. Ilustrēsim šo apgalvojumu. Vienādojumu apmierina vērtību pāris x = 0, y = 0. Mēs uzskatīsim * par parametru un aplūkosim funkcijas. Jautājums par to, vai izvēlētajam xo ir atbilstoša unikālā O vērtība, ir tāds, ka pāris (apmierina (2) vienādojumu) šķērso x ay līknes un vienu punktu. Izveidosim to grafikus uz xOy. plakne (11. att.) Līkne » = x + c sin y, kur x tiek uzskatīta par parametru, iegūta paralēli pārvēršot pa Ox asi un līkni z = z sin y Ģeometriski ir acīmredzams, ka jebkuram x līknēm x = y un z = t + c $1py ir unikāls krustošanās punkts, kura ordinators ir noteikts ar vienādojumu (2) šī atkarība nav izteikta ar elementārām funkcijām Vienādojums nenosaka x reālo funkciju vienā un tajā pašā argumentā. Savā ziņā varam runāt par vairāku mainīgo implicītām funkcijām. Sekojošā teorēma sniedz pietiekamus nosacījumus vienādojuma = 0 (1) atrisināšanai dotā punkta apkārtne (®o> 0) 8. teorēma (netiešas funkcijas esamība) Jāizpilda šādi nosacījumi: 1) funkcija ir definēta un nepārtraukta noteiktā taisnstūrī, kura centrs atrodas punktā. funkcija y) pārvēršas par n\l, 3) taisnstūrī D eksistē nepārtraukti parciālie atvasinājumi 4) Y) Ja kāds pietiekami ma/sueo pozitīvs skaitlis e ir šīs apkārtnes apkārtne, ir viena nepārtraukta funkcija y = f (x) (Zīm. 12), kas ņem vērtību), apmierina vienādojumu \y - yol un pārvērš vienādojumu (1) par identitāti: šī funkcija ir nepārtraukti diferencējama punkta Xq tuvumā, un atvasināsim formulu (3) uzskatot šī atvasinājuma esamību par pierādītu. Lai y = f(x) ir implicītā diferencējamā funkcija, kas definēta ar vienādojumu (1). Tad intervālā) ir identitāte Sarežģītas funkcijas diferenciālis Diferenciāļa formas nemainība Netiešās funkcijas Virsmas pieskares plakne un normālplakne Virsmas pieskares plakne Pilnīga diferenciāļa ģeometriskā nozīme Normāls virsmai, kas tai rodas intervāls Saskaņā ar sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu mums ir Unikāls tādā nozīmē, ka jebkuram punktam (x , y), kas atrodas uz līknes, kas pieder punkta (xo, yo)” apkārtnei, ir koordinātes, kas saistītas ar vienādojumu. Tādējādi ar y = f(x) mēs iegūstam to un līdz ar to piemēru. Atrodiet j* no funkcijas y = y(x), kas definēta ar vienādojumu Šajā gadījumā No šejienes, izmantojot formulu (3) Piezīme. Teorēma nodrošinās nosacījumus vienas implicītās funkcijas pastāvēšanai, kuras grafiks iet caur noteiktu punktu (xo, oo). pietiek, bet nav nepieciešams. Faktiski apsveriet vienādojumu Šeit ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi, kas vienādi ar nulli punktā 0(0,0). Tomēr šim vienādojumam ir unikāls risinājums, kas vienāds ar nulli uzdevumā. Dots vienādojums - vienvērtības funkcija, kas apmierina vienādojumu (G). 1) Cik vienvērtības funkciju (2") izpilda vienādojumu (!")? 2) Cik vienvērtīgu nepārtrauktu funkciju apmierina vienādojums (!)? 3) Cik vienvērtības diferencējamu funkciju apmierina vienādojums (!)? 4) Cik vienvērtīgu nepārtrauktu funkciju apmierina “vienādojumu (1”), pat ja tās ir pietiekami mazas? Eksistences teorēma, kas ir līdzīga 8. teorēmai, ir spēkā arī divu mainīgo, kas definēti ar vienādojumu 9. teorēma, implicītās funkcijas z - z(x, y) gadījumā. Jāizpilda šādi nosacījumi d) funkcija & ir definēta un nepārtraukta domēns D jomā D pastāv un nepārtraukti parciālie atvasinājumi Tad jebkuram pietiekami mazam e > 0 ir punkta (®o»Yo)/ apkārtne Γ2, kurā ir unikāla nepārtraukta funkcija z - /(x, y), pieņemot vērtību pie x = x0, y = y0, izpildot nosacījumu un apgriežot vienādojumu (4) identitātē: Šajā gadījumā funkcijai domēnā Q ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi un GG Atradīsim izteiksmes šiem atvasinājumi. Ļaujiet vienādojumam definēt z kā neatkarīgu mainīgo xnu vienvērtīgu un diferencējamu funkciju z = /(x, y). Ja šajā vienādojumā z vietā aizvietojam funkciju f(x, y), iegūstam identitāti. Līdz ar to funkcijas y, z kopējie parciālie atvasinājumi attiecībā pret x un y, kur z = /(z, y ), arī jābūt vienādam ar nulli. Diferencējot mēs atrodam, kur Šīs formulas dod izteiksmes divu neatkarīgu mainīgo implicītās funkcijas daļējiem atvasinājumiem. Piemērs. Atrodiet ar 4. vienādojumu dotās funkcijas x(r,y) daļējos atvasinājumus. No tā iegūstam §11. Pieskares plakne un taisne pret virsmu 11.1. Iepriekšēja informācija Ļaujiet mums iegūt virsmu S, ko definē vienādojums Defined*. Virsmas (1) punktu M(x, y, z) sauc par šīs virsmas parasto punktu, ja punktā M eksistē un ir nepārtraukti visi trīs atvasinājumi un vismaz viens no tiem nav nulle. Ja virsmas (1) punktā My, z) visi trīs atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai vismaz viens no šiem atvasinājumiem nepastāv, tad punktu M sauc par virsmas singulāro punktu. Piemērs. Apsveriet apļveida konusu (13. att.). Šeit vienīgais īpašais smalkais punkts ir koordinātu 0(0,0,0) izcelsme: šajā brīdī daļējie atvasinājumi vienlaikus pazūd. Rīsi. 13 Aplūkosim ar parametru vienādojumu definētu telpisko līkni. Pieņemsim, ka funkcijām šajā intervālā ir nepārtraukti atvasinājumi. Izslēgsim no izskatīšanas līknes singulāros punktus, kuros Let ir parasts līknes L punkts, ko nosaka parametra to vērtība. Tad ir pieskares vektors līknei punktā. Virsmas pieskares plakne Ņem uz virsmas S parastu punktu P un novelk tam cauri kādu līkni L, kas atrodas ar parametru vienādojumu. Pieņemsim, ka funkcijas £(*). "/(0" C(0) ir nepārtraukti atvasinājumi , nekur (a)p), kas vienlaikus izzūd Pēc definīcijas, līknes L pieskari punktā P šajā punktā sauc par pieskares virsmai 5. 2) tiek aizvietoti vienādojumā (1), tad, tā kā līkne L atrodas uz virsmas S, vienādojums (1) pārvēršas par identitāti attiecībā pret t: Diferencējot šo identitāti attiecībā pret t, izmantojot kompleksa diferenciācijas noteikumu. funkciju, iegūstam Izteiksme (3) kreisajā pusē ir divu vektoru skalārā reizinājums: Punktā P vektors z ir vērsts pieskares līknei L šajā punktā (14. att.). , tas ir atkarīgs tikai no šī punkta koordinātām un funkcijas ^"(x, y, z) veida un nav atkarīgs no līknes veida, kas iet caur punktu P. Tā kā P - parasts virsmas punkts 5, tad vektora n garums atšķiras no nulles Fakts, ka skalārais reizinājums nozīmē, ka vektors r, kas pieskaras līknei L punktā P, ir perpendikulārs vektoram n šajā punktā (att. 14). Šie argumenti paliek spēkā jebkurai līknei, kas iet caur punktu P un atrodas uz virsmas S. Līdz ar to jebkura pieskares līnija virsmai 5 punktā P ir perpendikulāra vektoram n, un tāpēc visas šīs līnijas atrodas vienā plaknē. arī perpendikulāri vektoram n Definīcija. Plakni, kurā atrodas visas virsmas 5 pieskares līnijas, kas iet caur doto parasto punktu P G 5, sauc par virsmas pieskares plakni punktā P (15. att.). Vektors Sarežģītas funkcijas diferenciālis Diferenciāļa formas nemainība Implicētās funkcijas Virsmas pieskares plakne un normālā Virsmas pieskares plakne Pilnīga diferenciāļa ģeometriskā nozīme Virsmas normāls ir virsmas pieskares plaknes normāls vektors punkts P. No šejienes uzreiz iegūstam virsmas ZG pieskares plaknes vienādojumu (šīs virsmas parastajā punktā P0 (®o, Uo": Ja virsma 5 ir dota ar vienādojumu, tad ierakstot šo vienādojumu formā mēs iegūstam arī pieskares plaknes vienādojumu punktā, tas izskatīsies šādi 11. 3. Kopējā diferenciāļa ģeometriskā nozīme Ja mēs to ievietosim formulā (7), tad tā iegūs formu (8) labā puse attēlo funkcijas z kopējo diferenciāli M0(x0) yо) punktā uz plakne xOy> tā, lai tādējādi divu neatkarīgu mainīgo x un y funkcijas z = /(x, y) kopējā diferenciāle punktā M0, kas atbilst mainīgo un y pieaugumiem Dx un Du, ir vienāda ar pieaugumu. z - z0 piemēro virsmas 5 pieskares plaknes punkta z punktā Z>(xo» Uo» /(, Uo)) PĀRĒJOTIES no punkta M0(xo, Uo) uz punktu - 11.4. Virsmas normāla definīcija. Taisni, kas iet caur virsmas punktu Po(xo, y0, r0), kas ir perpendikulāra virsmas pieskares plaknei punktā Po, sauc par normālu pret virsmu punktā Pq. Vektors)L ir normāļa virzošais vektors, un tā vienādojumiem ir forma Ja virsma 5 ir dota ar vienādojumu, tad normas vienādojumi punktā) izskatās šādi: punktā Šeit Punktā (0, 0) šie atvasinājumi ir vienādi ar nulli: un pieskares plaknes vienādojums punktā 0 (0,0,0) ir šādā formā: (xOy plakne). Normālie vienādojumi

Diferenciālās funkcijas formulai ir forma

kur ir neatkarīgā mainīgā diferenciālis.

Tagad dota kompleksa (diferencējama) funkcija , kur,. Pēc tam, izmantojot kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu, mēs atrodam

jo .

Tātad, , t.i. Diferenciālajai formulai ir tāda pati forma neatkarīgajam mainīgajam un starpposma argumentam, kas ir diferencējama funkcija.

Šo īpašumu parasti sauc par īpašumu formulas nemainība vai diferenciāļa forma. Ņemiet vērā, ka atvasinājumam nav šīs īpašības.

Saikne starp nepārtrauktību un diferenciāciju.

Teorēma (nepieciešams nosacījums funkcijas diferencējamībai). Ja funkcija ir diferencējama punktā, tad tā ir nepārtraukta šajā punktā.

Pierādījums.Ļaujiet funkcijai y=f(x) punktā X 0 . Šajā brīdī mēs piešķiram argumentam pieaugumu  X. Funkcija tiks palielināta  plkst. Atradīsim.

Tāpēc y=f(x) nepārtraukti kādā punktā X 0 .

Sekas. Ja X 0 ir funkcijas pārtraukuma punkts, tad funkcija tajā nav diferencējama.

Teorēmas otrādi nav taisnība. Nepārtrauktība nenozīmē atšķirību.

Diferenciāls. Ģeometriskā nozīme. Diferenciāļa pielietošana aptuveniem aprēķiniem.

Definīcija

Funkciju diferenciālis sauc par funkcijas pieauguma lineāro relatīvo daļu. Tas ir apzīmēts ar kakili. Tādējādi:

komentēt

Funkcijas diferenciālis veido lielāko tās pieauguma daļu.

komentēt

Līdzās funkcijas diferenciāļa jēdzienam tiek ieviests argumentu diferenciāļa jēdziens. A-prior argumentu atšķirība ir argumenta pieaugums:

komentēt

Funkcijas diferenciāļa formulu var uzrakstīt šādi:

No šejienes mēs to iegūstam

Tātad tas nozīmē, ka atvasinājumu var attēlot kā parastu daļskaitli - funkcijas un argumenta diferenciāļu attiecību.

Diferenciāļa ģeometriskā nozīme

Funkcijas diferenciālis punktā ir vienāds ar pieskares ordinātu pieaugumu, kas šajā punktā ir uzzīmēts funkcijas grafikam, kas atbilst argumenta pieaugumam.

Diferencēšanas pamatnoteikumi. Konstantes atvasinājums, summas atvasinājums.

Ļaujiet funkcijām kādā punktā būt atvasinājumi. Tad

1. Pastāvīgi var izņemt no atvasinājuma zīmes.

5. Diferenciālā konstante vienāds ar nulli.

2. Summas/starpības atvasinājums.

Divu funkciju summas/starpības atvasinājums ir vienāds ar katras funkcijas atvasinājumu summu/starpību.

Diferencēšanas pamatnoteikumi. Produkta atvasinājums.

3. Produkta atvasinājums.

Diferencēšanas pamatnoteikumi. Sarežģītas un apgrieztas funkcijas atvasinājums.

5. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājumu attiecībā pret starpposma argumentu, kas reizināts ar starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā uz galveno argumentu.

Un tiem ir attiecīgi atvasinājumi punktos. Tad

Teorēma

(Par apgrieztās funkcijas atvasinājumu)

Ja funkcija ir nepārtraukta un stingri monotona kādā punkta apkārtnē un šajā punktā diferencējama, tad apgrieztajai funkcijai punktā ir atvasinājums, un .

Diferenciācijas formulas. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums.