Macierze, operacje na macierzach. odwrotna macierz

1 rok, wyższa matematyka, studia matryce i podstawowe działania na nich. Tutaj usystematyzujemy podstawowe operacje, które można wykonać na macierzach. Od czego zacząć zapoznanie się z macierzami? Oczywiście od najprostszych rzeczy - definicji, podstawowych pojęć i prostych operacji. Zapewniamy, że matryce zrozumie każdy, kto poświęci im chociaż odrobinę czasu!

Definicja macierzy

Matryca jest prostokątną tabelą elementów. No cóż, w uproszczeniu – tabela liczb.

Zazwyczaj macierze są oznaczane dużymi literami łacińskimi. Na przykład matryca A , matryca B i tak dalej. Macierze mogą mieć różne rozmiary: prostokątne, kwadratowe, istnieją też macierze wierszowe i kolumnowe zwane wektorami. Rozmiar macierzy zależy od liczby wierszy i kolumn. Na przykład napiszmy prostokątną macierz o rozmiarze M NA N , Gdzie M – liczba linii oraz N - Liczba kolumn.

Przedmioty, dla których ja=j (a11, a22, .. ) tworzą główną przekątną macierzy i nazywane są przekątnymi.

Co można zrobić z macierzami? Dodaj/odejmij, pomnożyć przez liczbę, rozmnażać się między sobą, transponować. Teraz o tych wszystkich podstawowych operacjach na macierzach w kolejności.

Operacje dodawania i odejmowania na macierzach

Od razu ostrzegamy, że możesz dodawać tylko macierze o tym samym rozmiarze. Rezultatem będzie macierz o tym samym rozmiarze. Dodawanie (lub odejmowanie) macierzy jest proste - wystarczy dodać odpowiadające im elementy . Podajmy przykład. Wykonajmy dodanie dwóch macierzy A i B o wymiarach dwa na dwa.

Odejmowanie wykonuje się analogicznie, tylko z przeciwnym znakiem.

Każdą macierz można pomnożyć przez dowolną liczbę. Aby to zrobić, musisz pomnożyć każdy z jego elementów przez tę liczbę. Przykładowo pomnóżmy macierz A z pierwszego przykładu przez liczbę 5:

Operacja mnożenia macierzy

Nie wszystkie macierze można pomnożyć przez siebie. Przykładowo mamy dwie macierze - A i B. Można je pomnożyć przez siebie tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. W tym przypadku każdy element wynikowej macierzy, znajdujący się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie, będzie równy sumie iloczynów odpowiednich elementów w i-tym rzędzie pierwszego czynnika i j-tej kolumnie drugi. Aby zrozumieć ten algorytm, napiszmy, jak mnożone są dwie macierze kwadratowe:

I przykład z liczbami rzeczywistymi. Pomnóżmy macierze:

Operacja transpozycji macierzy

Transpozycja macierzy to operacja polegająca na zamianie odpowiednich wierszy i kolumn. Na przykład przetransponujmy macierz A z pierwszego przykładu:

Wyznacznik macierzy

Wyznacznik lub wyznacznik jest jednym z podstawowych pojęć algebry liniowej. Dawno, dawno temu ludzie wymyślali równania liniowe, a po nich musieli wymyślić wyznacznik. Ostatecznie to Ty musisz sobie z tym wszystkim poradzić, więc ostatni impuls!

Wyznacznik to numeryczna charakterystyka macierzy kwadratowej, która jest potrzebna do rozwiązania wielu problemów.
Aby obliczyć wyznacznik najprostszej macierzy kwadratowej, należy obliczyć różnicę między iloczynami elementów przekątnych głównej i wtórnej.

Wyznacznik macierzy pierwszego rzędu, czyli składającej się z jednego elementu, jest równy temu elementowi.

A co jeśli macierz ma wymiary trzy na trzy? To jest trudniejsze, ale możesz sobie z tym poradzić.

Dla takiej macierzy wartość wyznacznika jest równa sumie iloczynów elementów głównej przekątnej i iloczynów elementów leżących na trójkątach o powierzchni równoległej do głównej przekątnej, z których iloczyn odejmuje się elementy drugiej przekątnej i iloczyn elementów leżących na trójkątach o powierzchni równoległej drugiej przekątnej.

Na szczęście w praktyce rzadko zdarza się konieczność obliczania wyznaczników macierzy o dużych rozmiarach.

Tutaj przyjrzeliśmy się podstawowym operacjom na macierzach. Oczywiście w prawdziwym życiu możesz nigdy nie spotkać się z choćby cieniem macierzowego układu równań lub, wręcz przeciwnie, możesz napotkać znacznie bardziej złożone przypadki, w których naprawdę będziesz musiał się męczyć. Właśnie w takich przypadkach istnieją profesjonalne usługi dla studentów. Poproś o pomoc, uzyskaj wysokiej jakości i szczegółowe rozwiązanie, ciesz się sukcesami w nauce i wolnym czasem.

Wykład 1. „Macierze i podstawowe operacje na nich. Determinanty

Definicja. Matryca rozmiar M N, Gdzie M- Liczba linii, N- liczba kolumn, zwana tabelą liczb ułożonych w określonej kolejności. Liczby te nazywane są elementami macierzy. Położenie każdego elementu jest jednoznacznie określone przez numer wiersza i kolumny, na przecięciu których się znajduje. Wyznacza się elementy macierzyA ja, Gdzie I- numer linii i J- numer kolumny.

A =

Podstawowe operacje na macierzach.

Macierz może składać się z jednego wiersza lub jednej kolumny. Ogólnie rzecz biorąc, macierz może składać się nawet z jednego elementu.

Definicja. Jeżeli liczba kolumn macierzy jest równa liczbie wierszy (m=n), wówczas nazywa się macierz kwadrat.

Definicja. Widok matrycy:

= mi ,

zwany macierz jednostkowa.

Definicja. Jeśli A mn = A nm , wówczas nazywa się macierz symetryczny.

Przykład.
- macierz symetryczna

Definicja. Macierz kwadratowa postaci
zwany przekątna matryca.

Dodawanie i odejmowanie macierzy sprowadza się do odpowiednich operacji na ich elementach. Najważniejszą właściwością tych operacji jest to, że zdefiniowane tylko dla macierzy o tym samym rozmiarze. W ten sposób można zdefiniować operacje dodawania i odejmowania na macierzy:

Definicja. Suma (różnica) macierze to macierz, której elementy są odpowiednio sumą (różnicą) elementów macierzy pierwotnych.

do ij = a ij  b ij

C = A + B = B + A.

Operacja mnożenie (dzielenie) macierz dowolnej wielkości przez dowolną liczbę sprowadza się do pomnożenia (podzielenia) każdego elementu macierzy przez tę liczbę.

 (A+B) =  ZA   b ZA( ) =  ZA   A

Przykład. Dane macierze A =
; B=
, znajdź 2A + B.

2A =
, 2A + B =
.

Operacja mnożenia macierzy.

Definicja: Praca macierze to macierz, której elementy można obliczyć za pomocą następujących wzorów:

A B = C;
.

Z powyższej definicji jasno wynika, że ​​operację mnożenia macierzy definiuje się tylko dla macierzy liczba kolumn pierwszego z nich jest równa liczbie wierszy drugiego.

Własności operacji mnożenia macierzy.

1) Mnożenie macierzynie przemienne , tj. AB  VA, nawet jeśli oba produkty są zdefiniowane. Jeżeli jednak dla dowolnej macierzy spełniona jest relacja AB = BA, wówczas wywoływane są takie macierzezmienne.

Najbardziej typowym przykładem jest macierz, która dojeżdża do dowolnej innej macierzy o tym samym rozmiarze.

Przemienne mogą być tylko macierze kwadratowe tego samego rzędu.

A E = E A = A

Oczywiście dla dowolnej macierzy zachodzi następująca własność:

A O = O; O A = O,

gdzie O – zero matryca.

2) Operacja mnożenia macierzy asocjacyjny, te. jeśli zdefiniowano iloczyny AB i (AB)C, to zdefiniowano BC i A(BC) i zachodzi równość:

(AB)C=A(BC).

3) Operacja mnożenia macierzy dystrybucyjny w związku z dodawaniem, tj. jeśli wyrażenia A(B+C) i (A+B)C mają sens, to odpowiednio:

A(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC.

4) Jeżeli iloczyn AB jest zdefiniowany, to dla dowolnej liczby prawidłowy jest następujący stosunek:

(AB) = ( A) B = A( B).

5) Jeżeli zdefiniowany jest iloczyn AB, to zdefiniowany jest iloczyn B T A T i zachodzi równość:

(AB) T = B T ZA T, gdzie

indeks T oznacza transponowane matryca.

6) Zauważ też, że dla dowolnej macierzy kwadratowej det (AB) = detA detB.

Co się stało det zostanie omówione poniżej.

Definicja . Nazywa się macierz B transponowane macierz A i przejście z A do B transpozycja, jeśli elementy każdego wiersza macierzy A są zapisane w tej samej kolejności w kolumnach macierzy B.

A =
; B = ZA T =
;

innymi słowy b ji = a ij .

W konsekwencji poprzedniej własności (5) możemy napisać, że:

(ABC ) T = do T b T ZA T ,

pod warunkiem, że iloczyn macierzy ABC jest zdefiniowany.

Przykład. Dane macierze A =
, B = , C =
i numer = 2. Znajdź A T B+  C.

A T =
; A T B =
 =
=
;

C =
; ZA T B +  do =
+
=
.

Przykład. Znajdź iloczyn macierzy A = i B =
.

AB = 
=
.

VA =
 = 2  1 + 4  4 + 1  3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Przykład. Znajdź iloczyn macierzy A=
, B =

AB =

=
=
.

Determinanty(determinanty).

Definicja. Wyznacznik macierz kwadratowa A=
to liczba, którą można obliczyć z elementów macierzy za pomocą wzoru:

de A =
, gdzie (1)

M 1 do– wyznacznik macierzy otrzymany z macierzy pierwotnej poprzez usunięcie pierwszego wiersza i k-tej kolumny. Należy zaznaczyć, że wyznaczniki mają wyłącznie macierze kwadratowe, tj. macierze, w których liczba wierszy jest równa liczbie kolumn.

F wzór (1) pozwala obliczyć wyznacznik macierzy z pierwszego wiersza; obowiązuje również wzór na obliczenie wyznacznika z pierwszej kolumny:

de A =
(2)

Ogólnie rzecz biorąc, wyznacznik można obliczyć z dowolnego wiersza lub kolumny macierzy, tj. formuła jest poprawna:

deA =
, i = 1,2,…,n. (3)

Oczywiście różne macierze mogą mieć te same wyznaczniki.

Wyznacznikiem macierzy tożsamości jest 1.

Dla określonej macierzy A wywoływana jest liczba M 1k dodatkowy drobny element macierzy a 1 k . Możemy zatem stwierdzić, że każdy element macierzy ma swój dodatkowy element pomocniczy. Dodatkowe molle istnieją tylko w macierzach kwadratowych.

Definicja. Dodatkowe drobne dowolnego elementu macierzy kwadratowej a ij jest równy wyznacznikowi macierzy otrzymanej z macierzy pierwotnej poprzez usunięcie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Właściwość 1. Ważną właściwością wyznaczników jest następująca zależność:

det A = det ZA T;

Nieruchomość 2. det (A B) = det A de B.

Własność 3. det (AB) = deA detB

Właściwość 4. Jeśli zamienisz dowolne dwa wiersze (lub kolumny) w macierzy kwadratowej, wyznacznik macierzy zmieni znak bez zmiany wartości bezwzględnej.

Własność 5. Kiedy mnożysz kolumnę (lub wiersz) macierzy przez liczbę, jej wyznacznik jest mnożony przez tę liczbę.

Własność 6. Jeżeli w macierzy A wiersze lub kolumny są liniowo zależne, to jej wyznacznik jest równy zero.

Definicja: Nazywa się kolumny (wiersze) macierzy liniowo zależne, jeśli istnieje ich kombinacja liniowa równa zeru, która ma nietrywialne (niezerowe) rozwiązania.

Własność 7. Jeżeli macierz zawiera kolumnę zerową lub wiersz zerowy, to jej wyznacznikiem jest zero. (To stwierdzenie jest oczywiste, ponieważ wyznacznik można obliczyć dokładnie na podstawie zerowego wiersza lub kolumny.)

Właściwość 8. Wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie, jeżeli do elementów jednego z jej wierszy (kolumn) dodamy (odejmiemy) elementy innego wiersza (kolumny) przez dowolną liczbę różną od zera.

Właściwość 9. Jeżeli dla elementów dowolnego wiersza lub kolumny macierzy zachodzi następująca zależność:D = D 1  D 2 , mi = mi 1  mi 2 , F = det(AB).

Pierwsza metoda: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

druga metoda: AB =
, det (AB) = 7  18 - 8  19 = 126 –

– 152 = -26.

Niniejsza instrukcja pomoże Ci dowiedzieć się, jak wykonać tę czynność operacje na macierzach: dodawanie (odejmowanie) macierzy, transpozycja macierzy, mnożenie macierzy, znajdowanie macierzy odwrotnej. Cały materiał przedstawiony jest w prostej i przystępnej formie, podano odpowiednie przykłady, dzięki czemu nawet osoba nieprzygotowana może nauczyć się wykonywania działań na macierzach. W celu samokontroli i samotestowania możesz bezpłatnie pobrać kalkulator matrycowy >>>.

Postaram się zminimalizować obliczenia teoretyczne; w niektórych miejscach możliwe są wyjaśnienia „na palcach” i użycie terminów nienaukowych. Miłośników solidnej teorii proszę nie wdawać się w krytykę, naszym zadaniem jest to naucz się wykonywać operacje na macierzach.

Dla SUPER SZYBKIEGO przygotowania na dany temat (kto się „pali”) dostępny jest intensywny kurs pdf Macierz, wyznacznik i test!

Macierz to prostokątna tabela niektórych elementy. Jak elementy rozważymy liczby, czyli macierze numeryczne. ELEMENT jest terminem. Warto zapamiętać to określenie, będzie ono pojawiać się często, nieprzypadkowo użyłem pogrubionej czcionki, aby je podkreślić.

Przeznaczenie: macierze są zwykle oznaczane dużymi literami łacińskimi

Przykład: Rozważmy macierz dwa na trzy:

Macierz ta składa się z sześciu elementy:

Wszystkie liczby (elementy) wewnątrz macierzy istnieją samodzielnie, to znaczy nie ma mowy o żadnym odejmowaniu:

To tylko tabela (zestaw) liczb!

My też się zgodzimy nie przestawiaj numery, chyba że w objaśnieniach wskazano inaczej. Każda liczba ma swoją własną lokalizację i nie można jej przetasować!

Macierz, o której mowa, ma dwa wiersze:

i trzy kolumny:

STANDARD: w takim razie mówiąc o rozmiarach macierzy najpierw wskazać liczbę wierszy, a dopiero potem liczbę kolumn. Właśnie podzieliliśmy macierz dwa na trzy.

Jeśli liczba wierszy i kolumn macierzy jest taka sama, wówczas nazywana jest macierz kwadrat, Na przykład: – macierz trzy na trzy.

Jeśli macierz ma jedną kolumnę lub jeden wiersz, wówczas takie macierze również nazywane są wektory.

Tak naprawdę pojęcie macierzy znamy od czasów szkolnych; rozważmy na przykład punkt o współrzędnych „x” i „y”: . Zasadniczo współrzędne punktu są zapisywane w macierzy jeden na dwa. Swoją drogą oto przykład, dlaczego kolejność liczb ma znaczenie: i są to dwa zupełnie różne punkty na płaszczyźnie.

Przejdźmy teraz do nauki operacje na macierzach:

1) Akt pierwszy. Usunięcie minusa z macierzy (wprowadzenie minusa do macierzy).

Wróćmy do naszej matrycy . Jak zapewne zauważyłeś, w tej macierzy jest zbyt wiele liczb ujemnych. Jest to bardzo niewygodne z punktu widzenia wykonywania różnych czynności z matrycą, niewygodne jest pisanie tylu minusów i po prostu wygląda brzydko w projekcie.

Przesuńmy minus poza macierz zmieniając znak KAŻDEGO elementu macierzy:

Jak rozumiesz, przy zera znak się nie zmienia; zero jest również zerem w Afryce.

Odwrotny przykład: . Wygląda brzydko.

Wprowadźmy minus do macierzy zmieniając znak KAŻDEGO elementu macierzy:

Cóż, wyszło dużo ładniej. I co najważniejsze, ŁATWIEJ będzie wykonywać jakiekolwiek czynności za pomocą matrycy. Ponieważ istnieje taki matematyczny znak ludowy: im więcej minusów, tym więcej zamieszania i błędów.

2) Akt drugi. Mnożenie macierzy przez liczbę.

Przykład:

To proste, aby pomnożyć macierz przez liczbę, potrzebujesz każdy element macierzy pomnożony przez daną liczbę. W tym przypadku – trójka.

Kolejny przydatny przykład:

– mnożenie macierzy przez ułamek

Najpierw przyjrzyjmy się, co zrobić NIE MA POTRZEBY:

NIE MA KONIECZNOŚCI wpisywania ułamka do macierzy; po pierwsze komplikuje to jedynie dalsze działania z macierzą, a po drugie utrudnia nauczycielowi sprawdzenie rozwiązania (szczególnie jeśli – ostateczna odpowiedź zadania).

A szczególnie, NIE MA POTRZEBY podziel każdy element macierzy przez minus siedem:

Z artykułu Matematyka dla opornych, czyli od czego zacząć, pamiętamy, że w wyższej matematyce starają się na wszelkie możliwe sposoby unikać ułamków dziesiętnych z przecinkami.

Jedyną rzeczą jest raczej W tym przykładzie należy dodać minus do macierzy:

Ale jeśli tylko WSZYSTKO elementy macierzy podzielono przez 7 bez śladu, wówczas możliwe byłoby (i konieczne!) dzielenie.

Przykład:

W tym przypadku możesz POTRZEBOWAĆ pomnóż wszystkie elementy macierzy przez , ponieważ wszystkie liczby macierzy są podzielne przez 2 bez śladu.

Uwaga: w teorii matematyki szkół wyższych nie ma pojęcia „podziału”. Zamiast mówić „to podzielone przez tamto”, zawsze możesz powiedzieć „to pomnożone przez ułamek”. Oznacza to, że dzielenie jest szczególnym przypadkiem mnożenia.

3) Akt trzeci. Transpozycja macierzy.

Aby dokonać transpozycji macierzy należy wpisać jej wiersze w kolumny transponowanej macierzy.

Przykład:

Transponuj macierz

Jest tu tylko jedna linijka i zgodnie z regułą należy ją zapisać w kolumnie:

– transponowana macierz.

Transponowana macierz jest zwykle oznaczona indeksem górnym lub liczbą pierwszą w prawym górnym rogu.

Przykład krok po kroku:

Transponuj macierz

Najpierw przepisujemy pierwszy wiersz do pierwszej kolumny:

Następnie przepisujemy drugą linię do drugiej kolumny:

I na koniec przepisujemy trzeci wiersz do trzeciej kolumny:

Gotowy. Z grubsza mówiąc, transpozycja oznacza obrócenie matrycy na bok.

4) Akt czwarty. Suma (różnica) macierzy.

Suma macierzy to prosta operacja.
NIE WSZYSTKIE MATRYCE MOŻNA SKŁADAĆ. Aby wykonać dodawanie (odejmowanie) macierzy konieczne jest, aby były one TEGO SAMEGO ROZMIARU.

Na przykład, jeśli podana jest macierz dwa na dwa, to można ją dodać tylko z macierzą dwa na dwa i żadną inną!

Przykład:

Dodaj macierze I

Aby dodać macierze, należy dodać odpowiadające im elementy:

Dla różnicy macierzy zasada jest podobna, konieczne jest znalezienie różnicy odpowiednich elementów.

Przykład:

Znajdź różnicę macierzy ,

Jak można łatwiej rozwiązać ten przykład, aby się nie pomylić? Wskazane jest pozbycie się niepotrzebnych minusów; w tym celu dodaj minus do macierzy:

Uwaga: w teorii matematyki w szkołach wyższych nie ma pojęcia „odejmowania”. Zamiast mówić „odejmij to od tego”, zawsze możesz powiedzieć „dodaj do tego liczbę ujemną”. Oznacza to, że odejmowanie jest szczególnym przypadkiem dodawania.

5) Akt piąty. Mnożenie macierzy.

Jakie macierze można pomnożyć?

Aby macierz mogła zostać pomnożona przez macierz, jest to konieczne tak, aby liczba kolumn macierzy była równa liczbie wierszy macierzy.

Przykład:
Czy można pomnożyć macierz przez macierz?

Oznacza to, że dane macierzowe można mnożyć.

Ale jeśli macierze zostaną przestawione, w tym przypadku mnożenie nie będzie już możliwe!

Dlatego mnożenie nie jest możliwe:

Nierzadko spotyka się zadania z podstępem, gdy uczeń jest proszony o pomnożenie macierzy, których pomnożenie jest oczywiście niemożliwe.

Należy zaznaczyć, że w niektórych przypadkach możliwe jest pomnożenie macierzy w obie strony.
Na przykład w przypadku macierzy możliwe jest zarówno mnożenie, jak i mnożenie

DEFINICJA MATRYCY. RODZAJE MATRYC

Matryca wielkości m× N zwany zestawem m.n liczby ułożone w prostokątnej tabeli M linie i N kolumny. Ta tabela jest zwykle ujęta w nawiasy. Na przykład macierz może wyglądać następująco:

Dla uproszczenia macierz można oznaczyć pojedynczą wielką literą, na przykład: A Lub W.

Ogólnie rzecz biorąc, macierz wielkości M× N napisz to tak

.

Nazywa się liczby tworzące macierz elementy matrycy. Wygodnie jest zapewnić elementom macierzy dwa indeksy ij: Pierwszy wskazuje numer wiersza, a drugi numer kolumny. Na przykład, 23– element znajduje się w 2. rzędzie, 3. kolumnie.

Jeśli macierz ma taką samą liczbę wierszy jak liczba kolumn, wówczas nazywa się ją kwadrat, i nazywa się liczbę jej wierszy lub kolumn w celu matryce. W powyższych przykładach druga macierz jest kwadratowa – jej rząd wynosi 3, a czwarta macierz ma rząd 1.

Nazywa się macierz, w której liczba wierszy nie jest równa liczbie kolumn prostokątny. W przykładach jest to macierz pierwsza i trzecia.

Istnieją również macierze, które mają tylko jeden wiersz lub jedną kolumnę.

Nazywa się macierz zawierającą tylko jeden wiersz macierz - rząd(lub ciąg znaków) i macierz z tylko jedną kolumną macierz - kolumna.

Nazywa się macierz, której wszystkie elementy są zerowe zero i jest oznaczony przez (0) lub po prostu 0. Na przykład

.

Główna przekątna macierzy kwadratowej nazywamy przekątną biegnącą od lewego górnego do prawego dolnego rogu.

Nazywa się macierzą kwadratową, w której wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej są równe zero trójkątny matryca.

.

Nazywa się macierzą kwadratową, w której wszystkie elementy, z wyjątkiem być może tych na głównej przekątnej, są równe zero przekątna matryca. Na przykład lub.

Macierz diagonalna, w której wszystkie elementy przekątne są równe jeden, nazywa się macierzą diagonalną pojedynczy macierz i jest oznaczona literą E. Na przykład macierz tożsamości trzeciego rzędu ma postać .

DZIAŁANIA NA MATRYCACH

Równość macierzy. Dwie matryce A I B Mówi się, że są równe, jeśli mają tę samą liczbę wierszy i kolumn oraz odpowiadające im elementy są równe ij = b ij. Więc jeśli I , To A=B, Jeśli za 11 = b 11, za 12 = b 12, za 21 = b 21 I za 22 = b 22.

Transponować. Rozważ dowolną macierz A z M linie i N kolumny. Można to powiązać z następującą macierzą B z N linie i M kolumny, w których każdy wiersz jest kolumną macierzy A o tej samej liczbie (stąd każda kolumna jest wierszem macierzy A z tym samym numerem). Więc jeśli , To .

Ta matryca B zwany transponowane matryca A i przejście z A Do Transpozycja B.

Zatem transpozycja jest odwróceniem ról wierszy i kolumn macierzy. Macierz przeniesiona na macierz A, zwykle oznaczane NA.

Komunikacja pomiędzy matrixami A a jego transpozycję można zapisać w postaci .

Na przykład. Znajdź macierz transponowaną danej.

Dodawanie macierzy. Niech macierze A I B składają się z tej samej liczby wierszy i tej samej liczby kolumn, tj. Posiadać takie same rozmiary. Następnie w celu dodania macierzy A I B potrzebne dla elementów macierzy A dodać elementy macierzy B stojąc w tych samych miejscach. Zatem suma dwóch macierzy A I B zwaną macierzą C, co jest określone przez regułę, np.

Przykłady. Znajdź sumę macierzy:

Łatwo sprawdzić, że dodawanie macierzy podlega prawom: przemienności A+B=B+A i skojarzeniowe ( A+B)+C=A+(B+C).

Mnożenie macierzy przez liczbę. Aby pomnożyć macierz A na numer k każdy element macierzy jest potrzebny A pomnóż przez tę liczbę. Zatem produkt macierzowy A na numer k pojawia się nowa macierz, która jest określona przez regułę Lub .

Dla dowolnych liczb A I B i macierze A I B zachodzą następujące równości:

Przykłady.

Mnożenie macierzy. Operacja ta odbywa się według szczególnego prawa. Przede wszystkim zauważamy, że rozmiary macierzy czynnikowych muszą być spójne. Mnożyć można tylko te macierze, w których liczba kolumn pierwszej macierzy pokrywa się z liczbą wierszy drugiej macierzy (tj. długość pierwszego wiersza jest równa wysokości drugiej kolumny). Praca matryce A nie matryca B zwaną nową matrycą C=AB, którego elementy składają się w następujący sposób:

Zatem np. aby otrzymać produkt (czyli w matrycy C) element znajdujący się w 1. rzędzie i 3. kolumnie od 13, musisz wziąć pierwszy wiersz w pierwszej macierzy, trzecią kolumnę w drugiej, a następnie pomnożyć elementy wiersza przez odpowiednie elementy kolumny i dodać powstałe produkty. Pozostałe elementy macierzy iloczynu uzyskuje się stosując podobny iloczyn wierszy pierwszej macierzy i kolumn drugiej macierzy.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli pomnożymy macierz A = (a ij) rozmiar M× N do matrixa B = (b ij) rozmiar N× P, wtedy otrzymujemy macierz C rozmiar M× P, którego elementy są obliczane w następujący sposób: element c ij otrzymuje się w wyniku iloczynu pierwiastków I rząd macierzy A do odpowiednich elementów J kolumna macierzy B i ich dodatki.

Z tej reguły wynika, że ​​zawsze można pomnożyć dwie macierze kwadratowe tego samego rzędu i w rezultacie otrzymamy macierz kwadratową tego samego rzędu. W szczególności macierz kwadratową można zawsze pomnożyć przez samą siebie, tj. wyrównać.

Innym ważnym przypadkiem jest pomnożenie macierzy wierszowej przez macierz kolumnową, przy czym szerokość pierwszej musi być równa wysokości drugiej, co daje macierz pierwszego rzędu (czyli jeden element). Naprawdę,

.

Przykłady.

Zatem te proste przykłady pokazują, że macierze, ogólnie rzecz biorąc, nie komunikują się ze sobą, tj. A∙B ≠ B∙A . Dlatego przy mnożeniu macierzy należy uważnie monitorować kolejność czynników.

Można sprawdzić, że mnożenie macierzy podlega prawom łączenia i rozdzielności, tj. (AB)C=A(BC) I (A+B)C=AC+BC.

Łatwo to też sprawdzić mnożąc macierz kwadratową A do macierzy tożsamości mi tego samego rzędu ponownie otrzymujemy macierz A, I AE=EA=A.

Można zauważyć następujący interesujący fakt. Jak wiadomo iloczyn 2 liczb niezerowych nie jest równy 0. W przypadku macierzy może to nie mieć miejsca, tj. iloczyn 2 niezerowych macierzy może okazać się równy macierzy zerowej.

Na przykład, Jeśli , To

.

POJĘCIE WYZNACZNIKÓW

Niech dana będzie macierz drugiego rzędu - macierz kwadratowa składająca się z dwóch wierszy i dwóch kolumn .

Wyznacznik drugiego rzędu odpowiadająca danej macierzy jest liczba otrzymana w następujący sposób: od 11 do 22 – od 12 do 21.

Wyznacznik jest oznaczony symbolem .

Aby więc znaleźć wyznacznik drugiego rzędu, należy odjąć iloczyn elementów drugiej przekątnej od iloczynu elementów głównej przekątnej.

Przykłady. Oblicz wyznaczniki drugiego rzędu.

Podobnie możemy rozważyć macierz trzeciego rzędu i odpowiadający jej wyznacznik.

Wyznacznik trzeciego rzędu, odpowiadająca danej macierzy kwadratowej trzeciego rzędu, jest liczbą oznaczoną i otrzymaną w następujący sposób:

.

Zatem wzór ten daje rozwinięcie wyznacznika trzeciego rzędu w zakresie elementów pierwszego rzędu 11, 12, 13 i sprowadza obliczenia wyznacznika trzeciego rzędu do obliczenia wyznaczników drugiego rzędu.

Przykłady. Oblicz wyznacznik trzeciego rzędu.

Podobnie można wprowadzić pojęcia wyznaczników czwartego, piątego itd. porządki, obniżając ich kolejność poprzez rozwinięcie elementów pierwszego rzędu, z naprzemiennymi znakami „+” i „–”.

Zatem w przeciwieństwie do macierzy, która jest tabelą liczb, wyznacznik to liczba przypisana do macierzy w określony sposób.

Matryca wymiar to prostokątna tabela składająca się z elementów znajdujących się w M linie i N kolumny.

Elementy macierzy (pierwszy indeks I− numer wiersza, drugi indeks J− numer kolumny) mogą być liczbami, funkcjami itp. Macierze oznacza się dużymi literami alfabetu łacińskiego.

Macierz nazywa się kwadrat, jeśli ma taką samą liczbę wierszy jak liczba kolumn ( M = N). W tym przypadku numer N nazywa się rządem macierzy, a sama macierz nazywa się macierzą N-ta kolejność.

Elementy o tych samych indeksach formularz główna przekątna macierz kwadratową i elementy (tj. posiadające sumę indeksów równą N+1) − przekątna boczna.

Pojedynczy matryca jest macierzą kwadratową, której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1, a pozostałe elementy są równe 0. Oznacza się ją literą mi.

Zero matryca− jest macierzą, której wszystkie elementy są równe 0. Macierz zerowa może mieć dowolny rozmiar.

Do numeru operacje liniowe na macierzach odnieść się:

1) dodanie macierzy;

2) mnożenie macierzy przez liczbę.

Operację dodawania macierzy definiuje się tylko dla macierzy o tym samym wymiarze.

Suma dwóch macierzy A I W zwaną macierzą Z, którego wszystkie elementy są równe sumie odpowiednich elementów macierzy A I W:

.

Produkt matrixowy A na numer k zwaną macierzą W, którego wszystkie elementy są równe odpowiednim elementom tej macierzy A, pomnożone przez liczbę k:

Operacja mnożenie macierzy wprowadza się dla macierzy spełniających warunek: liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej.

Produkt matrixowy A wymiary do matrixa W wymiar nazywany jest macierzą Z wymiary, element I-ta linia i J której setna kolumna jest równa sumie iloczynów pierwiastków I rząd macierzy A do odpowiednich elementów J kolumna macierzy W:

Iloczyn macierzy (w odróżnieniu od iloczynu liczb rzeczywistych) nie podlega prawu przemienności, tj. ogólnie A W W A.

1.2. Determinanty. Właściwości wyznaczników

Pojęcie wyznacznika wprowadza się tylko dla macierzy kwadratowych.

Wyznacznikiem macierzy drugiego rzędu jest liczba obliczona według poniższej reguły

.

Wyznacznik macierzy trzeciego rzędu to liczba obliczona według następującej reguły:

Pierwszy z wyrazów ze znakiem „+” jest iloczynem elementów znajdujących się na głównej przekątnej macierzy (). Pozostałe dwa zawierają elementy znajdujące się na wierzchołkach trójkątów o podstawie równoległej do głównej przekątnej (i). Znak „-” obejmuje iloczyny elementów drugiej przekątnej () oraz elementów tworzących trójkąty o podstawach równoległych do tej przekątnej (i).

Ta reguła obliczania wyznacznika trzeciego rzędu nazywana jest regułą trójkąta (lub regułą Sarrusa).

Właściwości wyznaczników Spójrzmy na przykład wyznaczników trzeciego rzędu.

1. Zastępując wszystkie wiersze wyznacznika kolumnami o tych samych liczbach co wiersze, wyznacznik nie zmienia swojej wartości, tj. wiersze i kolumny wyznacznika są równe

.

2. Po przestawieniu dwóch wierszy (kolumn) wyznacznik zmienia swój znak.

3. Jeżeli wszystkie elementy danego wiersza (kolumny) są zerami, to wyznacznik wynosi 0.

4. Wspólny czynnik wszystkich elementów wiersza (kolumny) można wyciągnąć poza znak wyznacznika.

5. Wyznacznik zawierający dwa identyczne wiersze (kolumny) jest równy 0.

6. Wyznacznik zawierający dwa proporcjonalne wiersze (kolumny) jest równy zero.

7. Jeżeli każdy element pewnej kolumny (wiersza) wyznacznika reprezentuje sumę dwóch wyrazów, to wyznacznik jest równy sumie dwóch wyznaczników, z których jeden zawiera pierwsze wyrazy w tej samej kolumnie (wierszu), a drugi zawiera drugie. Pozostałe elementy obu wyznaczników są takie same. Więc,

.

8. Wyznacznik nie ulegnie zmianie, jeśli odpowiednie elementy innej kolumny (wiersza) zostaną dodane do elementów którejkolwiek z jej kolumn (wierszy) i pomnożone przez tę samą liczbę.

Kolejna właściwość wyznacznika związana jest z pojęciami dopełnienia molowego i dopełnienia algebraicznego.

Drobny elementem wyznacznika jest wyznacznik otrzymany z danego elementu poprzez przekreślenie wiersza i kolumny, na przecięciu którego ten element się znajduje.

Na przykład drugorzędny element wyznacznika nazywa się wyznacznikiem.

Dopełnienie algebraiczne element wyznacznikowy nazywany jest jego mniejszym pomnożonym przez, gdzie I− numer linii, J− numer słupa, na przecięciu którego znajduje się element. Zwykle oznacza się dopełnienie algebraiczne. Dla elementu wyznacznika trzeciego rzędu dopełnienie algebraiczne

9. Wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez odpowiadające im uzupełnienia algebraiczne.

Na przykład wyznacznik można rozwinąć na elementy pierwszego rzędu

,

lub druga kolumna

Do ich obliczenia wykorzystywane są właściwości wyznaczników.