Udowodnić, że wektory są liniowo niezależne. Zależność liniowa i niezależność liniowa układu wektorów

Pozwalać L jest przestrzenią liniową nad polem R . Pozwalać A1, a2, ..., an (*) skończony układ wektorów z L . Wektor W = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Jakiś (16) zadzwonił Liniowa kombinacja wektorów ( *), lub powiedz wektor W wyrażone liniowo poprzez układ wektorów (*).

Definicja 14. Nazywa się układ wektorów (*). liniowo zależne , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy zbiór współczynników a1, a2, … taki, że a1× A1 + a2× A2 + … + an× Jakiś = 0. Jeśli a1× A1 + a2× A2 + … + an× Jakiś = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, wówczas wywoływany jest system (*). liniowo niezależny.

Własności liniowej zależności i niezależności.

10. Jeżeli układ wektorów zawiera wektor zerowy, to jest on liniowo zależny.

Rzeczywiście, jeśli w systemie (*) wektor A1 = 0, Następnie 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Jeżeli układ wektorów zawiera dwa wektory proporcjonalne, to jest on liniowo zależny.

Pozwalać A1 = L×a2. Następnie 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Skończony układ wektorów (*) dla n ³ 2 jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu.

Þ Niech (*) będzie liniowo zależne. Wtedy istnieje niezerowy zbiór współczynników a1, a2, … taki, że a1× A1 + a2× A2 + … + an× Jakiś = 0 . Bez utraty ogólności możemy założyć, że a1 ¹ 0. Wtedy istnieje A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× A N. A więc wektor A1 jest kombinacją liniową pozostałych wektorów.

Ü Niech jeden z wektorów (*) będzie kombinacją liniową pozostałych. Możemy założyć, że jest to wektor pierwszy, tj. A1 = B2 A2+ … + miliardy A N, Stąd (–1)× A1 + b2 A2+ … + miliardy A N= 0 , tj. (*) jest liniowo zależne.

Komentarz. Korzystając z ostatniej własności, można zdefiniować liniową zależność i niezależność nieskończonego układu wektorów.

Definicja 15. System wektorowy A1, a2, ..., an , … (**) jest nazywany liniowo zależny, Jeśli przynajmniej jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pewnej skończonej liczby innych wektorów. W przeciwnym razie wywoływany jest system (**). liniowo niezależny.

40. Skończony układ wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z jego wektorów nie może być wyrażony liniowo w postaci innych wektorów.

50. Jeśli układ wektorów jest liniowo niezależny, to którykolwiek z jego podukładów jest również liniowo niezależny.

60. Jeżeli jakiś podukład danego układu wektorów jest liniowo zależny, to cały układ również jest liniowo zależny.

Niech będą dane dwa układy wektorów A1, a2, ..., an , … (16) i В1, в2, … , вs, … (17). Jeżeli każdy wektor układu (16) można przedstawić jako kombinację liniową skończonej liczby wektorów układu (17), to mówimy, że układ (17) wyraża się liniowo poprzez układ (16).

Definicja 16. Nazywa się te dwa systemy wektorów równowartość , jeśli każdy z nich jest liniowo wyrażony względem drugiego.

Twierdzenie 9 (podstawowe twierdzenie o zależności liniowej).

Niech i są dwoma skończonymi systemami wektorów L . Jeżeli pierwszy układ jest liniowo niezależny i liniowo wyrażony w odniesieniu do drugiego, to wtedy N£s.

Dowód. Udawajmy, że N> S. Zgodnie z twierdzeniem

wspólny. Ponieważ liczba równań jest większa od liczby niewiadomych, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Dlatego ma wartość niezerową x10, x20, …, xNie. Dla tych wartości prawdziwa będzie równość (18), co przeczy faktowi, że układ wektorów jest liniowo niezależny. Zatem nasze założenie jest błędne. Stąd, N£s.

Konsekwencja. Jeżeli dwa równoważne układy wektorów są skończone i liniowo niezależne, to zawierają taką samą liczbę wektorów.

Definicja 17. Nazywa się układ wektorów Maksymalny liniowo niezależny układ wektorów przestrzeń liniowa L , jeśli jest liniowo niezależny, ale dodając do niego dowolny wektor z L nieuwzględnione w tym systemie, stają się liniowo zależne.

Twierdzenie 10. Dowolne dwa skończone maksymalne liniowo niezależne układy wektorów z L Zawierają tę samą liczbę wektorów.

Dowód wynika z faktu, że dowolne dwa maksymalnie liniowo niezależne układy wektorów są równoważne .

Łatwo udowodnić, że dowolny liniowo niezależny układ wektorów przestrzennych L można uzupełnić do maksymalnie liniowo niezależnego układu wektorów tej przestrzeni.

Przykłady:

1. W zbiorze wszystkich współliniowych wektorów geometrycznych każdy układ składający się z jednego niezerowego wektora jest maksymalnie niezależny liniowo.

2. W zbiorze wszystkich współpłaszczyznowych wektorów geometrycznych dowolne dwa niewspółliniowe wektory tworzą maksymalnie liniowo niezależny układ.

3. W zbiorze wszystkich możliwych wektorów geometrycznych trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dowolny układ trzech wektorów niewspółpłaszczyznowych jest maksymalnie niezależny liniowo.

4. W zbiorze wszystkich wielomianów stopień jest co najwyżej N Przy rzeczywistych (zespolonych) współczynnikach, układ wielomianów 1, x, x2, …, xn Jest maksymalnie liniowo niezależny.

5. W zbiorze wszystkich wielomianów o rzeczywistych (zespolonych) współczynnikach przykładami maksymalnego układu liniowo niezależnego są

A) 1, x, x2, … , xn, … ;

B) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …

6. Zbiór macierzy wymiaru M´ N jest przestrzenią liniową (sprawdź to). Przykładem maksymalnie liniowo niezależnego układu w tej przestrzeni jest układ macierzy E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Niech będzie dany układ wektorów C1, c2, ..., por (*). Nazywa się podsystem wektorów z (*). Maksymalna liniowo niezależna Podsystem Systemy ( *) , jeśli jest liniowo niezależny, ale gdy doda się do niego jakikolwiek inny wektor tego układu, staje się liniowo zależny. Jeśli system (*) jest skończony, to dowolny z jego maksymalnie liniowo niezależnych podsystemów zawiera tę samą liczbę wektorów. (Dowód własny.) Nazywa się liczbę wektorów w maksymalnym liniowo niezależnym podsystemie układu (*). ranga Ten system. Oczywiście równoważne układy wektorów mają te same szeregi.

Definicja. Liniowa kombinacja wektorów a 1 , ..., an o współczynnikach x 1 , ..., x n nazywa się wektorem

x 1 za 1 + ... + x n za n .

trywialny, jeśli wszystkie współczynniki x 1 , ..., x n są równe zero.

Definicja. Nazywa się kombinację liniową x 1 a 1 + ... + x n a n nietrywialne, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników x 1 , ..., x n nie jest równy zero.

liniowo niezależny, jeśli nie ma nietrywialnej kombinacji tych wektorów równej wektorowi zerowemu .

Oznacza to, że wektory a 1 , ..., a n są liniowo niezależne, jeśli x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definicja. Nazywa się wektory a 1 , ..., an liniowo zależne, jeśli istnieje nietrywialna kombinacja tych wektorów równa wektorowi zerowemu .

Własności wektorów liniowo zależnych:

Dla wektorów 2 i 3 wymiarowych.

Dwa liniowo zależne wektory są współliniowe. (Wektory współliniowe są liniowo zależne.) .

Dla wektorów trójwymiarowych.

Trzy liniowo zależne wektory są współpłaszczyznowe. (Trzy wektory współpłaszczyznowe są liniowo zależne.)

• Dla wektorów n-wymiarowych.

  wektory n + 1 są zawsze liniowo zależne.

Przykłady zadań dla liniowej zależności i liniowej niezależności wektorów:

Przykład 1. Sprawdź, czy wektory a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) są liniowo niezależne .

Rozwiązanie:

Wektory będą liniowo zależne, ponieważ wymiar wektorów jest mniejszy niż liczba wektorów.

Przykład 2. Sprawdź, czy wektory a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) są liniowo niezależne.

Rozwiązanie:

odejmij drugą od pierwszej linii; dodaj drugą linię do trzeciej linii:

Rozwiązanie to pokazuje, że układ ma wiele rozwiązań, czyli istnieje niezerowa kombinacja wartości liczb x 1, x 2, x 3 taka, że ​​kombinacja liniowa wektorów a, b, c jest równa do wektora zerowego, na przykład:

A + b + do = 0

co oznacza, że ​​wektory a, b, c są liniowo zależne.

Odpowiedź: wektory a , b , c są liniowo zależne.

Przykład 3. Sprawdź, czy wektory a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) są liniowo niezależne.

Rozwiązanie: Znajdźmy wartości współczynników, przy których kombinacja liniowa tych wektorów będzie równa wektorowi zerowemu.

To równanie wektorowe można zapisać jako układ równań liniowych

Rozwiązujemy ten układ metodą Gaussa

odejmij pierwszą od drugiej linii; odejmij pierwszy od trzeciego wiersza:

odejmij drugi od pierwszego rzędu; dodaj drugą linię do trzeciej linii.

Innymi słowy, liniowa zależność grupy wektorów oznacza, że ​​wśród nich znajduje się wektor, który można przedstawić za pomocą kombinacji liniowej innych wektorów tej grupy.

Powiedzmy . Następnie

Stąd wektor X liniowo zależne od wektorów tej grupy.

Wektory X, y, ..., z nazywane są liniowymi niezależne wektory jeśli z równości (0) wynika, że

α=β= ...= γ=0.

Oznacza to, że grupy wektorów są liniowo niezależne, jeśli żaden wektor nie może być reprezentowany przez liniową kombinację innych wektorów w tej grupie.

Wyznaczanie liniowej zależności wektorów

Niech będzie dane m wektorów rzędów rzędu n:

Dokonując wyjątku Gaussa, doprowadzamy macierz (2) do postaci górnego trójkąta. Elementy ostatniej kolumny ulegają zmianie dopiero po zmianie kolejności wierszy. Po m etapach eliminacji otrzymujemy:

Gdzie I 1 , I 2 , ..., I m - indeksy ciągów otrzymane z możliwej permutacji ciągów. Biorąc pod uwagę otrzymane wiersze z indeksów wierszy, wykluczamy te, które odpowiadają wektorowi zerowemu wierszy. Pozostałe wiersze tworzą liniowo niezależne wektory. Należy zauważyć, że kompilując macierz (2), zmieniając kolejność wektorów wierszowych, można otrzymać kolejną grupę wektorów liniowo niezależnych. Ale podprzestrzeń, którą tworzą obie te grupy wektorów, jest taka sama.

Wprowadzony przez nas operacje liniowe na wektorach umożliwiają tworzenie różnych wyrażeń wielkości wektorowe i przekształcaj je, korzystając z właściwości ustawionych dla tych operacji.

Na podstawie danego zbioru wektorów a 1 , ... i n można ułożyć wyrażenie w postaci

gdzie a 1 , ... i n są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. To wyrażenie nazywa się liniowa kombinacja wektorów a 1 , ..., n . Liczby α ja , i = 1, n , are współczynniki kombinacji liniowej. Zbiór wektorów nazywany jest również system wektorowy.

W związku z wprowadzoną koncepcją kombinacji liniowej wektorów pojawia się problem opisania zbioru wektorów, który można zapisać jako kombinację liniową danego układu wektorów a 1 , ..., an . Poza tym naturalne są pytania o warunki, w jakich zachodzi reprezentacja wektora w postaci kombinacji liniowej oraz o jednoznaczność takiej reprezentacji.

Definicja 2.1. Nazywa się wektory a 1 , ... i n liniowo zależne, jeśli istnieje taki zbiór współczynników α 1 , ... , α n , to

α 1 za 1 + ... + α n za n = 0 (2.2)

i co najmniej jeden z tych współczynników jest różny od zera. Jeśli określony zbiór współczynników nie istnieje, wywoływane są wektory liniowo niezależny.

Jeśli α 1 = ... = α n = 0, to oczywiście α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Mając to na uwadze, możemy powiedzieć tak: wektory a 1 , ... i n są liniowo niezależne, jeżeli z równości (2.2) wynika, że ​​wszystkie współczynniki α 1 , ... , α n są równe zeru.

Poniższe twierdzenie wyjaśnia, dlaczego nowe pojęcie nosi nazwę „zależność” (lub „niezależność”) i podaje proste kryterium zależności liniowej.

Twierdzenie 2.1. Aby wektory a 1 , ... i n , n > 1 były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby jeden z nich był liniową kombinacją pozostałych.

◄ Konieczność. Załóżmy, że wektory a 1 , ... i n są liniowo zależne. Zgodnie z definicją 2.1 zależności liniowej, w równości (2.2) po lewej stronie znajduje się co najmniej jeden niezerowy współczynnik, np. α 1 . Pozostawiając pierwszy wyraz po lewej stronie równości, resztę przesuwamy na prawą stronę, jak zwykle zmieniając ich znaki. Dzieląc wynikową równość przez α 1 , otrzymujemy

za 1 =-α 2 /α 1 ⋅ za 2 - ... - α n / α 1 ⋅ za n

te. reprezentacja wektora a 1 jako kombinacja liniowa pozostałych wektorów a 2 , ... i n .

Adekwatność. Niech na przykład pierwszy wektor a 1 można przedstawić jako kombinację liniową pozostałych wektorów: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Przenosząc wszystkie wyrazy z prawej strony na lewą, otrzymujemy 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, tj. kombinacja liniowa wektorów a 1 , ... i n o współczynnikach α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , równe wektor zerowy. W tej kombinacji liniowej nie wszystkie współczynniki są równe zeru. Zgodnie z definicją 2.1 wektory a 1 , ... i n są liniowo zależne.

Definicja i kryterium zależności liniowej są sformułowane w taki sposób, że implikują obecność dwóch lub więcej wektorów. Można jednak mówić także o liniowej zależności jednego wektora. Aby zrealizować tę możliwość, zamiast „wektory są liniowo zależne”, musimy powiedzieć „układ wektorów jest liniowo zależny”. Łatwo zauważyć, że wyrażenie „układ jednego wektora jest liniowo zależny” oznacza, że ​​ten pojedynczy wektor ma wartość zero (w kombinacji liniowej występuje tylko jeden współczynnik i nie może on być równy zero).

Pojęcie zależności liniowej ma prostą interpretację geometryczną. Interpretację tę wyjaśniają trzy poniższe stwierdzenia.

Twierdzenie 2.2. Dwa wektory są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy współliniowy.

◄ Jeśli wektory a i b są liniowo zależne, to jeden z nich, na przykład a, wyraża się przez drugi, tj. a = λb dla pewnej liczby rzeczywistej λ. Zgodnie z definicją 1.7 Pracuje wektory przez liczbę, wektory a i b są współliniowe.

Niech teraz wektory aib będą współliniowe. Jeśli oba mają wartość zerową, to oczywiste jest, że są one liniowo zależne, ponieważ jakakolwiek ich kombinacja liniowa jest równa wektorowi zerowemu. Niech jeden z tych wektorów nie będzie równy 0, na przykład wektor b. Oznacz przez λ stosunek długości wektorów: λ = |а|/|b|. Mogą być wektory współliniowe jednokierunkowy Lub przeciwne kierunki. W tym drugim przypadku zmieniamy znak λ. Następnie sprawdzając definicję 1.7 widzimy, że a = λb. Zgodnie z Twierdzeniem 2.1 wektory aib są liniowo zależne.

Uwaga 2.1. W przypadku dwóch wektorów, biorąc pod uwagę kryterium zależności liniowej, udowodnione twierdzenie można przeformułować w następujący sposób: dwa wektory są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest przedstawiony jako iloczyn drugiego przez liczbę. Jest to wygodne kryterium kolinearności dwóch wektorów.

Twierdzenie 2.3. Trzy wektory są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy współpłaszczyznowy.

◄ Jeżeli trzy wektory a, b, c są liniowo zależne, to zgodnie z Twierdzeniem 2.1 jeden z nich, np. a, jest liniową kombinacją pozostałych: a = βb + γс. Połączmy początki wektorów b i c w punkcie A. Wtedy wektory βb, γc będą miały wspólny początek w punkcie A oraz równoległobok rządzi ich sumą, te. wektor a, będzie wektorem z początkiem A i koniec, który jest wierzchołkiem równoległoboku zbudowanego na wektorach sumy. Zatem wszystkie wektory leżą w tej samej płaszczyźnie, to znaczy są współpłaszczyznowe.

Niech wektory a, b, c będą współpłaszczyznowe. Jeśli jeden z tych wektorów ma wartość zero, to jest oczywiste, że będzie to kombinacja liniowa pozostałych. Wystarczy przyjąć wszystkie współczynniki kombinacji liniowej równe zero. Dlatego możemy założyć, że wszystkie trzy wektory nie są zerowe. Zgodny początek wektory te we wspólnym punkcie O. Niech ich końcami będą odpowiednio punkty A, B, C (ryc. 2.1). Narysuj linie przez punkt C równoległe do linii przechodzących przez pary punktów O, A i O, B. Oznaczając punkty przecięcia przez A” i B”, otrzymujemy równoległobok OA„CB”, zatem OC” = OA” + OB „ . Wektor OA” i niezerowy wektor a= OA są współliniowe, dlatego pierwszy z nich można otrzymać mnożąc drugi przez liczbę rzeczywistą α:OA” = αOA. Podobnie OB” = βOB , β ∈ R. W rezultacie otrzymujemy, że OC" = α OA + βOB , czyli wektor c jest liniową kombinacją wektorów a i b. Zgodnie z Twierdzeniem 2.1 wektory a, b, c są liniowo zależne.

Twierdzenie 2.4. Dowolne cztery wektory są liniowo zależne.

◄ Dowód przebiega według tego samego schematu, co w Twierdzeniu 2.3. Rozważmy dowolne cztery wektory a, b, cid. Jeśli jeden z czterech wektorów ma wartość zero lub są wśród nich dwa wektory współliniowe lub trzy z czterech wektorów są współpłaszczyznowe, wówczas te cztery wektory są liniowo zależne. Na przykład, jeśli wektory a i b są współliniowe, to możemy skomponować ich kombinację liniową αa + βb = 0 z niezerowymi współczynnikami, a następnie dodać pozostałe dwa wektory do tej kombinacji, przyjmując zera jako współczynniki. Otrzymujemy kombinację liniową czterech wektorów równych 0, w której występują niezerowe współczynniki.

Możemy zatem założyć, że wśród wybranych czterech wektorów nie ma wektorów zerowych, żadne dwa nie są współliniowe i żadne trzy nie są współpłaszczyznowe. Jako ich wspólny początek wybieramy punkt O. Wtedy końcami wektorów a, b, c, d będą punkty A, B, C, D (ryc. 2.2). Przez punkt D rysujemy trzy płaszczyzny równoległe do płaszczyzn ОВС, OCA, OAB i niech A”, B”, С” będą punktami przecięcia tych płaszczyzn odpowiednio z liniami OA, OB, OS. Otrzymujemy równoległościan OA"C"B"C" B"DA", a wektory a, b, c leżą na jego krawędziach wychodzących z wierzchołka O. Ponieważ czworokąt OC"DC" jest równoległobokiem, to OD = OC" + OC ". Z kolei odcinek OS" jest równoległobokiem ukośnym OA"C"B", zatem OC" = OA" + OB" , oraz OD = OA" + OB" + OC" .

Pozostaje zauważyć, że pary wektorów OA ≠ 0 i OA" , OB ≠ 0 i OB" , OC ≠ 0 i OC" są współliniowe, dlatego możemy dobrać współczynniki α, β, γ tak, aby OA" = αOA, OB” = βOB i OC” = γOC. Wreszcie otrzymujemy OD = αOA + βOB + γOC . W konsekwencji wektor OD jest wyrażony w postaci pozostałych trzech wektorów, a wszystkie cztery wektory, zgodnie z Twierdzeniem 2.1, są liniowo zależne.

A 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, A 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, A 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Rozwiązanie. Szukamy ogólnego rozwiązania układu równań

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

Metoda Gaussa. Aby to zrobić, zapisujemy ten jednorodny układ we współrzędnych:

Matryca systemu

Dozwolony system wygląda następująco: (r A = 2, N= 3). System jest spójny i nieokreślony. Jego rozwiązanie ogólne ( X 2 – zmienna wolna): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Na przykład obecność niezerowego rozwiązania prywatnego wskazuje, że wektory A 1 , A 2 , A 3 liniowo zależne.

Przykład 2

Sprawdź, czy dany układ wektorów jest liniowo zależny czy liniowo niezależny:

1. A 1 = { -20, -15, - 4 }, A 2 = { –7, -2, -4 }, A 3 = { 3, –1, –2 }.

Rozwiązanie. Rozważ jednorodny układ równań A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

lub rozszerzony (według współrzędnych)

System jest jednorodny. Jeśli nie jest zdegenerowany, to ma unikalne rozwiązanie. W przypadku układu jednorodnego rozwiązanie zerowe (trywialne). Zatem w tym przypadku układ wektorów jest niezależny. Jeśli układ jest zdegenerowany, to ma rozwiązania niezerowe i dlatego jest zależny.

Sprawdzanie systemu pod kątem degeneracji:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Układ jest niezdegenerowany, a co za tym idzie, wektory A 1 , A 2 , A 3 są liniowo niezależne.

Zadania. Sprawdź, czy dany układ wektorów jest liniowo zależny czy liniowo niezależny:

1. A 1 = { -4, 2, 8 }, A 2 = { 14, -7, -28 }.

2. A 1 = { 2, -1, 3, 5 }, A 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. A 1 = { -7, 5, 19 }, A 2 = { -5, 7 , -7 }, A 3 = { -8, 7, 14 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

5. A 1 = { 1, 8 , -1 }, A 2 = { -2, 3, 3 }, A 3 = { 4, -11, 9 }.

6. A 1 = { 1, 2 , 3 }, A 2 = { 2, -1 , 1 }, A 3 = { 1, 3, 4 }.

7. A 1 = {0, 1, 1 , 0}, A 2 = {1, 1 , 3, 1}, A 3 = {1, 3, 5, 1}, A 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. A 1 = {-1, 7, 1 , -2}, A 2 = {2, 3 , 2, 1}, A 3 = {4, 4, 4, -3}, A 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Udowodnić, że układ wektorów będzie liniowo zależny, jeżeli zawiera:

a) dwa równe wektory;

b) dwa wektory proporcjonalne.