Zależność liniowa i niezależność. Zależność i niezależność liniowa, własności, badanie układu wektorów zależności liniowej, przykłady i rozwiązania Twierdzenie o liniowej niezależności

Lemat 1 : Jeżeli w macierzy o rozmiarze n n przynajmniej jeden wiersz (kolumna) ma wartość zero, to wiersze (kolumny) macierzy są liniowo zależne.

Dowód: Niech więc pierwsza linia będzie równa zeru

Gdzie 1 0. Tego właśnie wymagano.

Definicja: Macierz, której elementy znajdujące się poniżej głównej przekątnej są równe zero, nazywa się macierzą trójkątny:

i ij = 0, ja>j.

Lemat 2: Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej.

Dowód można łatwo przeprowadzić poprzez indukcję po wymiarze macierzy.

Twierdzenie na liniową niezależność wektorów.

A)Konieczność: liniowo zależne D=0 .

Dowód: Niech będą liniowo zależne, j=,

to znaczy, że istnieje a j , nie wszystkie równe zero, j= , Co za 1 ZA 1 + za 2 ZA 2 + ... za n ZA n = , ZA jot – kolumny macierzy A. Niech np. n¹0.

Mamy za jot * = za jot / za n , j£ n-1a 1 * ZA 1 + za 2 * ZA 2 + ... za n -1 * ZA n -1 + ZA n = .

Zastąpmy ostatnią kolumnę macierzy A NA

ZA n * = za 1 * ZA 1 + za 2 * ZA 2 + ... za n -1 ZA n -1 + ZA n = .

Zgodnie z udowodnioną powyżej właściwością wyznacznika (nie zmieni się ona, jeżeli do którejkolwiek kolumny macierzy dodamy kolejną kolumnę pomnożoną przez liczbę), wyznacznik nowej macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy pierwotnej. Ale w nowej macierzy jedna kolumna ma wartość zero, co oznacza, że ​​​​rozwijając wyznacznik po tej kolumnie, otrzymujemy D=0, co było do okazania

B)Adekwatność: Matryca rozmiarów n nz liniowo niezależnymi rzędami Zawsze można ją sprowadzić do postaci trójkątnej stosując przekształcenia nie zmieniające wartości bezwzględnej wyznacznika. Ponadto z niezależności wierszy macierzy pierwotnej wynika, że ​​jej wyznacznik jest równy zeru.

1. Jeśli w macierzy rozmiarów n n z liniowo niezależnym elementem wierszy 11 jest równa zero, to kolumna, której element za 1 j ¹ 0. Zgodnie z Lematem 1 taki element istnieje. Wyznacznik macierzy przekształconej może różnić się od wyznacznika macierzy pierwotnej jedynie znakiem.

2. Z linii z liczbami ja>1 odejmij pierwszą linię pomnożoną przez ułamek a i 1 /a 11. Ponadto w pierwszej kolumnie wiersze z liczbami ja>1 otrzymasz zero elementów.

3. Zacznijmy obliczanie wyznacznika otrzymanej macierzy od dekompozycji po pierwszej kolumnie. Ponieważ wszystkie jego elementy oprócz pierwszego są równe zeru,

D nowy = a 11 nowy (-1) 1+1 D 11 nowy,

Gdzie d 11 nowy jest wyznacznikiem macierzy o mniejszym rozmiarze.

Następnie obliczyć wyznacznik D 11 powtarzaj kroki 1, 2, 3, aż ostatni wyznacznik okaże się wyznacznikiem macierzy wielkości 1 1. Ponieważ krok 1 zmienia jedynie znak wyznacznika przekształcanej macierzy, a krok 2 w ogóle nie zmienia wartości wyznacznika, to aż do znaku ostatecznie otrzymamy wyznacznik macierzy pierwotnej. W tym przypadku, ponieważ ze względu na liniową niezależność wierszy pierwotnej macierzy, krok 1 jest zawsze spełniony, wszystkie elementy głównej przekątnej okażą się nierówne zero. Zatem ostateczny wyznacznik, zgodnie z opisanym algorytmem, jest równy iloczynowi niezerowych elementów na głównej przekątnej. Dlatego wyznacznik macierzy pierwotnej nie jest równy zero. co było do okazania

Załącznik 2

Poniżej podano kilka kryteriów zależności liniowej i odpowiednio liniowej niezależności systemów wektorowych.

Twierdzenie. (Warunek konieczny i wystarczający liniowej zależności wektorów.)

Układ wektorów jest zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z wektorów układu jest wyrażony liniowo przez pozostałe wektory tego układu.

Dowód. Konieczność. Niech układ będzie liniowo zależny. Wtedy z definicji reprezentuje wektor zerowy w sposób nietrywialny, tj. istnieje nietrywialna kombinacja tego układu wektorów równa wektorowi zerowemu:

gdzie co najmniej jeden ze współczynników tej kombinacji liniowej nie jest równy zero. Pozwalać , .

Podzielmy obie strony poprzedniej równości przez ten niezerowy współczynnik (tj. pomnóżmy przez:

Oznaczmy: , gdzie .

te. jeden z wektorów układu jest wyrażany liniowo przez pozostałe wektory tego układu itp.

Adekwatność. Niech jeden z wektorów układu będzie wyrażony liniowo poprzez inne wektory tego układu:

Przesuńmy wektor na prawo od tej równości:

Ponieważ współczynnik wektora jest równy , to mamy nietrywialną reprezentację zera za pomocą układu wektorów, co oznacza, że ​​ten układ wektorów jest liniowo zależny itp.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Konsekwencja.

1. Układ wektorów w przestrzeni wektorowej jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z wektorów układu nie jest liniowo wyrażony za pomocą innych wektorów tego układu.

2. Układ wektorów zawierający wektor zerowy lub dwa równe wektory jest liniowo zależny.

Dowód.

1) Konieczność. Niech układ będzie liniowo niezależny. Załóżmy odwrotnie i istnieje wektor układu, który wyraża się liniowo poprzez inne wektory tego układu. Wtedy, zgodnie z twierdzeniem, układ jest liniowo zależny i dochodzimy do sprzeczności.

Adekwatność. Niech żaden z wektorów układu nie będzie wyrażony za pomocą pozostałych. Załóżmy odwrotnie. Niech układ będzie liniowo zależny, ale wtedy z twierdzenia wynika, że ​​istnieje wektor układu, który wyraża się liniowo przez inne wektory tego układu, i znowu dochodzimy do sprzeczności.

2a) Niech układ zawiera wektor zerowy. Załóżmy dla określoności, że wektor :. Wtedy równość jest oczywista

te. jeden z wektorów układu jest wyrażany liniowo przez pozostałe wektory tego układu. Z twierdzenia wynika, że ​​taki układ wektorów jest liniowo zależny itp.

Należy zauważyć, że fakt ten można udowodnić bezpośrednio z liniowo zależnego układu wektorów.

Ponieważ , następująca równość jest oczywista

Jest to nietrywialna reprezentacja wektora zerowego, co oznacza, że ​​układ jest liniowo zależny.

2b) Niech układ ma dwa równe wektory. Pozwól na . Wtedy równość jest oczywista

Te. pierwszy wektor jest wyrażany liniowo przez pozostałe wektory tego samego układu. Z twierdzenia wynika, że ​​układ ten jest liniowo zależny itd.

Podobnie jak poprzednie, stwierdzenie to można bezpośrednio udowodnić poprzez definicję układu liniowo zależnego. Wtedy układ ten reprezentuje wektor zerowy w sposób nietrywialny

skąd wynika liniowa zależność układu.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Konsekwencja. Układ składający się z jednego wektora jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy wektor ten jest różny od zera.

Pozwalać L – przestrzeń liniowa nad polem R . Pozwalać А1, а2, …, аn (*) skończony układ wektorów z L . Wektor W = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Jakiś (16) nazywa się Liniowa kombinacja wektorów ( *), albo mówią, że jest to wektor W wyrażone liniowo poprzez układ wektorów (*).

Definicja 14. Nazywa się układ wektorów (*). Liniowo zależny , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy zbiór współczynników a1, a2, … taki, że a1× A1 + a2× A2 + … + an× Jakiś = 0. Jeśli a1× A1 + a2× A2 + … + an× Jakiś = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, wówczas wywoływany jest system (*). Liniowo niezależny.

Własności liniowej zależności i niezależności.

10. Jeżeli układ wektorów zawiera wektor zerowy, to jest on liniowo zależny.

Rzeczywiście, jeśli w systemie (*) wektor A1 = 0, To jest 1× 0 + 0× A2 +… + 0 × An = 0 .

20. Jeżeli układ wektorów zawiera dwa wektory proporcjonalne, to jest on liniowo zależny.

Pozwalać A1 = L×a2. Następnie 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Skończony układ wektorów (*) dla n ³ 2 jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu.

Þ Niech (*) będzie liniowo zależne. Wówczas istnieje niezerowy zbiór współczynników a1, a2, …, an, dla którego a1× A1 + a2× A2 + … + an× Jakiś = 0 . Bez utraty ogólności możemy założyć, że a1 ¹ 0. Wtedy istnieje A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. A więc wektor A1 jest liniową kombinacją pozostałych wektorów.

Ü Niech jeden z wektorów (*) będzie kombinacją liniową pozostałych. Możemy założyć, że jest to wektor pierwszy, tj. A1 = B2 A2+ … + miliardy A N, Stąd (–1)× A1 + b2 A2+ … + miliardy A N= 0 , tj. (*) jest liniowo zależne.

Komentarz. Korzystając z ostatniej własności, możemy zdefiniować liniową zależność i niezależność nieskończonego układu wektorów.

Definicja 15. System wektorowy А1, а2, …, аn , … (**) jest nazywany liniowo zależny, Jeśli przynajmniej jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pewnej skończonej liczby innych wektorów. W przeciwnym razie wywoływany jest system (**). Liniowo niezależny.

40. Skończony układ wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z jego wektorów nie może być wyrażony liniowo w postaci pozostałych wektorów.

50. Jeśli układ wektorów jest liniowo niezależny, to którykolwiek z jego podukładów jest również liniowo niezależny.

60. Jeżeli jakiś podukład danego układu wektorów jest liniowo zależny, to cały układ również jest liniowo zależny.

Niech będą dane dwa układy wektorów А1, а2, …, аn , … (16) i В1, В2, …, Вs, … (17). Jeśli każdy wektor układu (16) można przedstawić jako liniową kombinację skończonej liczby wektorów układu (17), to mówi się, że układ (17) jest wyrażony liniowo przez układ (16).

Definicja 16. Nazywa się dwa systemy wektorowe Równowartość , jeśli każdy z nich jest liniowo wyrażany przez drugi.

Twierdzenie 9 (podstawowe twierdzenie o zależności liniowej).

Niech będzie – dwa skończone układy wektorów z L . Jeżeli pierwszy system jest liniowo niezależny i liniowo wyrażony przez drugi, to N£s.

Dowód. Udawajmy, że tak N> S. Zgodnie z warunkami twierdzenia

wspólny Ponieważ liczba równań jest większa od liczby niewiadomych, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Dlatego ma wartość niezerową X10, x20, …, xNie. Dla tych wartości prawdziwa będzie równość (18), co przeczy faktowi, że układ wektorów jest liniowo niezależny. Zatem nasze założenie jest błędne. Stąd, N£s.

Konsekwencja. Jeżeli dwa równoważne układy wektorów są skończone i liniowo niezależne, to zawierają taką samą liczbę wektorów.

Definicja 17. Nazywa się system wektorowy Maksymalny liniowo niezależny układ wektorów Przestrzeń liniowa L , jeśli jest liniowo niezależny, ale po dodaniu do niego dowolnego wektora z L , nieuwzględnione w tym systemie, staje się liniowo zależne.

Twierdzenie 10. Dowolne dwa skończone maksymalne liniowo niezależne układy wektorów z L Zawierają tę samą liczbę wektorów.

Dowód wynika z faktu, że dowolne dwa maksymalnie liniowo niezależne układy wektorów są równoważne .

Łatwo udowodnić, że dowolny liniowo niezależny układ wektorów przestrzennych L można rozwinąć do maksymalnie liniowo niezależnego układu wektorów w tej przestrzeni.

Przykłady:

1. W zbiorze wszystkich współliniowych wektorów geometrycznych każdy układ składający się z jednego niezerowego wektora jest maksymalnie liniowo niezależny.

2. W zbiorze wszystkich współpłaszczyznowych wektorów geometrycznych dowolne dwa niewspółliniowe wektory tworzą maksymalnie liniowo niezależny układ.

3. W zbiorze wszystkich możliwych wektorów geometrycznych trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dowolny układ trzech niewspółpłaszczyznowych wektorów jest maksymalnie liniowo niezależny.

4. W zbiorze wszystkich wielomianów stopnie nie są wyższe niż N Przy rzeczywistych (zespolonych) współczynnikach, układ wielomianów 1, x, x2,…, xn Jest maksymalnie liniowo niezależny.

5. W zbiorze wszystkich wielomianów o rzeczywistych (zespolonych) współczynnikach przykładami maksymalnego układu liniowo niezależnego są

A) 1, x, x2, … , xn, … ;

B) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. Zbiór macierzy wymiarowych M´ N jest przestrzenią liniową (sprawdź to). Przykładem maksymalnie liniowo niezależnego układu w tej przestrzeni jest układ macierzowy E11= , E12 =, …, EMn = .

Niech będzie dany układ wektorów C1, c2, …, por (*). Nazywa się podsystem wektorów z (*). Maksymalna liniowo niezależna Podsystem Systemy ( *) , jeśli jest liniowo niezależny, ale po dodaniu do niego dowolnego innego wektora tego układu staje się liniowo zależny. Jeśli system (*) jest skończony, to każdy z jego maksymalnie liniowo niezależnych podsystemów zawiera tę samą liczbę wektorów. (Udowodnij to sam). Nazywa się liczbę wektorów w maksymalnym liniowo niezależnym podsystemie układu (*). Ranga Ten system. Oczywiście równoważne układy wektorów mają te same szeregi.

Twierdzenie 1. (O liniowej niezależności wektorów ortogonalnych). Niech Wtedy układ wektorów jest liniowo niezależny.

Stwórzmy kombinację liniową ∑λ i x i =0 i rozważmy iloczyn skalarny (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, ale ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

Definicja 1. System wektorowylub (e i ,e j)=δ ij - symbol Kroneckera, zwane ortonormalnymi (ONS).

Definicja 2. Dla dowolnego elementu x dowolnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej i dowolnego ortonormalnego układu elementów szereg Fouriera elementu x w układzie nazywa się formalnie złożoną nieskończoną sumą (szeregiem) postaci , w którym liczby rzeczywiste λ i nazywane są współczynnikami Fouriera elementu x w układzie, gdzie λ i =(x,e i).

Komentarz. (Naturalnie pojawia się pytanie o zbieżność tego szeregu. Aby zbadać to zagadnienie, ustalamy dowolną liczbę n i dowiadujemy się, co odróżnia n-tą sumę częściową szeregu Fouriera od dowolnej innej kombinacji liniowej pierwszych n elementów układu ortonormalnego.)

Twierdzenie 2. Dla dowolnej ustalonej liczby n spośród wszystkich sum postaci n-ta suma częściowa szeregu Fouriera elementu ma najmniejsze odchylenie od elementu x zgodnie z normą danej przestrzeni euklidesowej

Biorąc pod uwagę ortonormalność układu i definicję współczynnika Fouriera, możemy pisać

Minimum tego wyrażenia osiąga się przy c i = λ i, ponieważ w tym przypadku nieujemna pierwsza suma po prawej stronie zawsze znika, a pozostałe wyrazy nie zależą od c i.

Przykład. Rozważmy układ trygonometryczny

w przestrzeni wszystkich funkcji całkowalnych Riemanna f(x) na odcinku [-π,π]. Łatwo sprawdzić, że jest to ONS i wtedy szereg Fouriera funkcji f(x) ma postać gdzie .

Komentarz. (Trygonometryczny szereg Fouriera zwykle zapisuje się w postaci Następnie )

Dowolny ONS w nieskończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej bez dodatkowych założeń, ogólnie rzecz biorąc, nie jest podstawą tej przestrzeni. Na poziomie intuicyjnym, bez podawania ścisłych definicji, opiszemy istotę sprawy. W dowolnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej E rozważmy ONS, gdzie (e i ,e j)=δ ij jest symbolem Kroneckera. Niech M będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej, a k=M ⊥ będzie podprzestrzenią ortogonalną do M taką, że przestrzeń euklidesowa E=M+M ⊥ . Rzut wektora x∈E na podprzestrzeń M jest wektorem ∈M, gdzie

Będziemy szukać tych wartości współczynników rozszerzalności α k, dla których reszta (reszta do kwadratu) h 2 =||x-|| 2 będzie minimum:

godz 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Jest oczywiste, że wyrażenie to przyjmie wartość minimalną przy α k =0, co jest trywialne, oraz przy α k =(x,e k). Wtedy ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Stąd otrzymujemy nierówność Bessela ∑α k 2 ||x|| 2. Przy ρ=0 ortonormalny układ wektorów (ONS) nazywany jest kompletnym układem ortonormalnym w sensie Steklova (PONS). Stąd możemy otrzymać równość Steklova-Parsevala ∑α k 2 =||x|| 2 - „Twierdzenie Pitagorasa” dla nieskończenie wymiarowych przestrzeni euklidesowych, które są zupełne w sensie Stekłowa. Należałoby teraz wykazać, że aby dowolny wektor w przestrzeni był jednoznacznie reprezentowany w postaci zbiegającego się do niego szeregu Fouriera, konieczne i wystarczające jest, aby zachodziła równość Stekłowa-Parsevala. Układ wektorów pic=""> Formy ONB? Układ wektorów Rozważ sumę częściową szeregu Następnie jak ogon szeregu zbieżnego. Zatem układ wektorów jest PONS i tworzy ONB.

Przykład. Układ trygonometryczny

w przestrzeni wszystkich funkcji całkowalnych Riemanna f(x) na odcinku [-π,π] jest PONS i tworzy ONB.

Funkcje są wywoływane liniowo niezależny, Jeśli

(dozwolona jest tylko trywialna liniowa kombinacja funkcji, która jest identyczna równa zero). W przeciwieństwie do liniowej niezależności wektorów, tutaj kombinacja liniowa jest identyczna z zerem, a nie równa. Jest to zrozumiałe, ponieważ dla dowolnej wartości argumentu musi być spełniona równość kombinacji liniowej do zera.

Funkcje są wywoływane liniowo zależny, jeśli istnieje niezerowy zbiór stałych (nie wszystkie stałe są równe zero) taki, że (istnieje nietrywialna liniowa kombinacja funkcji identycznie równa zero).

Twierdzenie.Aby funkcje były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby którakolwiek z nich była wyrażona liniowo przez inne (przedstawiane jako ich kombinacja liniowa).

Udowodnij to twierdzenie samodzielnie; jest ono dowodzone w taki sam sposób, jak podobne twierdzenie o liniowej zależności wektorów.

Wyznacznik Wrońskiego.

Wyznacznik Wrońskiego dla funkcji wprowadza się jako wyznacznik, którego kolumny są pochodnymi tych funkcji od zera (same funkcje) do rzędu n-1.

.

Twierdzenie. Jeśli funkcje są zatem liniowo zależne

Dowód. Ponieważ funkcje są liniowo zależne, wówczas którykolwiek z nich wyraża się liniowo przez pozostałe, na przykład

Tożsamość można różnicować, tzw

Następnie pierwsza kolumna wyznacznika Wrońskiego jest wyrażana liniowo przez pozostałe kolumny, więc wyznacznik Wrońskiego jest identycznie równy zero.

Twierdzenie.Aby rozwiązania liniowego jednorodnego równania różniczkowego n-tego rzędu były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby.

Dowód. Konieczność wynika z poprzedniego twierdzenia.

Adekwatność. Ustalmy pewien punkt. Ponieważ , kolumny wyznacznika obliczonego w tym punkcie są wektorami liniowo zależnymi.

, że relacje są spełnione

Ponieważ jego rozwiązaniem jest liniowa kombinacja rozwiązań liniowego równania jednorodnego, możemy wprowadzić rozwiązanie postaci

Liniowa kombinacja rozwiązań o tych samych współczynnikach.

Należy zauważyć, że rozwiązanie to spełnia zerowe warunki początkowe; wynika to z powyższego układu równań. Ale trywialne rozwiązanie liniowego równania jednorodnego również spełnia te same zerowe warunki początkowe. Zatem z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że ​​wprowadzone rozwiązanie jest identycznie równe rozwiązaniu trywialnemu, zatem

dlatego rozwiązania są liniowo zależne.

Konsekwencja.Jeżeli wyznacznik Wrońskiego zbudowany na rozwiązaniach liniowego równania jednorodnego zanika przynajmniej w jednym punkcie, to jest identycznie równy zeru.

Dowód. Jeśli , to rozwiązania są liniowo zależne, dlatego .

Twierdzenie.1. Dla liniowej zależności rozwiązań jest to konieczne i wystarczające(Lub ).

2. Dla liniowej niezależności rozwiązań jest to konieczne i wystarczające.

Dowód. Pierwsze stwierdzenie wynika z twierdzenia i wniosku udowodnionego powyżej. Drugie twierdzenie można łatwo udowodnić przez sprzeczność.

Niech rozwiązania będą liniowo niezależne. Jeśli , to rozwiązania są liniowo zależne. Sprzeczność. Stąd, .

Pozwalać . Jeżeli rozwiązania są liniowo zależne, to , stąd sprzeczność. Zatem rozwiązania są liniowo niezależne.

Konsekwencja.Zanik wyznacznika Wrońskiego w co najmniej jednym punkcie jest kryterium liniowej zależności rozwiązań od liniowego równania jednorodnego.

Różnica między wyznacznikiem Wrońskiego a zerem jest kryterium liniowej niezależności rozwiązań liniowego równania jednorodnego.

Twierdzenie.Wymiar przestrzeni rozwiązań liniowego równania jednorodnego n-tego rzędu jest równy n.

Dowód.

a) Pokażmy, że istnieje n liniowo niezależnych rozwiązań liniowego jednorodnego równania różniczkowego n-tego rzędu. Rozważmy rozwiązania , spełniający następujące warunki początkowe:

...........................................................

Takie rozwiązania istnieją. Rzeczywiście, zgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego, przez punkt przechodzi przez pojedynczą krzywą całkową – rozwiązanie. Przez punkt rozwiązanie przechodzi przez punkt

- rozwiązanie, przez punkt - rozwiązanie .

Rozwiązania te są liniowo niezależne, ponieważ .

b) Pokażmy, że każde rozwiązanie liniowego równania jednorodnego wyraża się liniowo poprzez te rozwiązania (jest ich kombinacją liniową).

Rozważmy dwa rozwiązania. Jeden - dowolne rozwiązanie z warunkami początkowymi . Uczciwy stosunek