Sformułuj prawo zachowania momentu pędu. §2

Prawa zachowania energii kinetycznej i pędu przez długi czas rywalizowały ze sobą, zajmując wiodącą rolę, gdyż ani jedno, ani drugie prawo nie ma ścisłego uzasadnienia. Jednak naukowcy od dawna podejrzewali istnienie między nimi związku, o czym mówił H. Huygens (1629-1695). Według Huygensa połączenie to oznacza, że ​​zasada zachowania energii mechanicznej w każdym poruszającym się równomiernie układzie pociąga za sobą zachowanie pędu. Dlatego po długiej debacie naukowcy doszli do wniosku, że te prawa są równoważne. I tak na przykład d’Alembert wygłosił w tej sprawie następujące oświadczenie: „Każdy musi mieć swobodę rozstrzygnięcia tej kwestii według własnego uznania. Co więcej, postawiona kwestia nie jest niczym innym jak całkowicie bezowocnym metafizycznym sporem o słowa, niegodnym uwagi filozofów”.
Związek pomiędzy prawami zachowania energii kinetycznej i pędu ustalił W. Pauli (1900-1958). Aby udowodnić tę zależność, posługuje się koncepcją Huygensa. Cytujemy z: „W układzie składającym się ze zderzających się cząstek z masami, prędkości cząstek zmieniają się po uderzeniach w prędkości. Zasada zachowania energii wyraża się równaniem:

Pozwól systemowi zyskać dodatkową prędkość V. Prędkości cząstek przed uderzeniem będą teraz równe , a po uderzeniu, a zasada zachowania energii będzie teraz wyrażona zależnością:
,

Stąd:

Prędkość V- jest dowolna, zatem pisemna równość będzie obowiązywać tylko wtedy, gdy:

Inaczej mówiąc, pęd układu przed zderzeniem cząstek, równy wyrażeniu po lewej stronie, zostaje zachowany po zderzeniu.”
Zagadnienie to rozważymy również ze względu na jego szczególne znaczenie na przykładzie zderzenia kul, ale w nieco innej interpretacji (rys. 1).
Niech kulki poruszają się w dowolnym inercjalnym układzie odniesienia X-y w tym samym kierunku (ryc. 1, a) z prędkościami i . Po uderzeniu prędkości kulek przyjmą wartości i . Zgodnie z zasadą zachowania energii obowiązywać będzie następujące wyrażenie:
, (1)

Rozważmy teraz ruch względny, przyjmując jedną z piłek jako układ odniesienia. W tym celu korzystamy z zasady odwrócenia ruchu, czyli nadajemy obu kulom tę samą prędkość, co doprowadzi np. do zatrzymania pierwszej piłki, gdyż jej całkowita prędkość wyniesie zero. Prędkość drugiej piłki będzie równa prędkości względnej:
(2)
Prawo zachowania energii kinetycznej w tym przypadku będzie miało postać:
(3)

(4)
Rozwiązując łącznie równania (1) i (4) otrzymujemy wyrażenie:
, (5)

(7)
W ten sposób uzyskuje się interesujący wynik: prawo zachowania pędu wynika z prawa zachowania energii. Należy również zaznaczyć, że uzyskany wynik nie jest zależny od wyboru układu odniesienia.
Jeśli weźmiemy pod uwagę ruch przeciwny kulek (ryc. 1, b), to aby uzyskać poprawny wynik, od prędkości należy odjąć prędkość, czyli prędkość względną należy znaleźć zgodnie z wyrażeniem (2) , chociaż jak widać na rysunku, te prędkości należy dodać. Okoliczność ta wynika z faktu, że prędkości ruchu wszystkich ciał są wektorami, co oznacza, że ​​​​nawet odejmując ich wartości, można je zsumować.
Zatem wyrażenia (2), (5) i (7) należy traktować jako wektory.
Rozwiązując łącznie wyrażenia (1) i (5) oraz (3) i (7), wyznaczamy prędkości kulek po uderzeniu, rozważając je jako wektory:
; (8)
; (9)
; (10)
(11)
Korzystając z tych wyrażeń, wyznaczamy prędkości względne piłek po uderzeniu:
; (12)
(13)
Zatem podczas uderzenia sprężystego względne prędkości kulek zmienią jedynie ich kierunek.
Wyrażenie (1), charakteryzujące prawo zachowania energii, można przedstawić w innej postaci:
(14)

; (15)
, (16)

; (17)
, (18)

• stąd wynika, że ​​energia uzyskana przez pierwszą kulę jest równa energii przekazanej przez drugą kulę.

Podstawiając wartości prędkości i do wyrażeń (7) i (8), otrzymujemy:
; (19)
(20)
Zobaczmy teraz, jak spełniony zostanie związek między zasadami zachowania energii i pędu dla bardziej złożonego przypadku uderzenia - uderzenia ukośnego, gdy prędkości poruszających się kulek są skierowane względem siebie pod kątem (rys. 2) . Na rysunku kule są rozdzielone, aby lepiej pokazać rozkład ich prędkości. Zakładamy, że prędkość pokrywa się z kierunkiem osi X.
Aby rozwiązać zadanie, stosujemy metodę odwrócenia ruchu, nadając obu kulom prędkość, czyli jako układ odniesienia w ruchu względnym wybieramy pierwszą kulę, której prędkość całkowita będzie równa zeru. Załóżmy też dla uproszczenia problemu, że uzyskana prędkość będzie kierowana wzdłuż linii łączącej środki kul. Następnie, korzystając ze znanych wartości prędkości drugiej kuli, konstruuje się równoległobok, za pomocą którego ustala się związek między tymi prędkościami a prędkością w ruchu względnym, a także można znaleźć kąt, ponieważ podany jest kąt.
Korzystając z równoległoboku, korzystając z twierdzenia cosinus, otrzymujemy wyrażenie:
(21)

• które przekształcamy do postaci:

(22)
Z tego równania wyznaczamy prędkość w ruchu względnym przed rozpoczęciem uderzenia -:
(23)
Kąt charakteryzujący kierunek wektora znajduje się na podstawie wyrażenia uzyskanego za pomocą twierdzenia o cosinusie:
, (24)

• skąd dostajemy:

(25)
Zatem w wyniku przeprowadzonych operacji otrzymujemy zwykłe zderzenie poruszającej się i nieruchomej kuli w kierunku linii ich środków z początkową prędkością względną.
Przed wyznaczeniem prędkości kulek po zderzeniu ustalmy związek pomiędzy energiami kinetycznymi kul w ruchu absolutnym i względnym:
; (26)
(27)
Ponieważ
(28)

• Odpowiednio zostaną określone inne prędkości w ruchu względnym:

; (29)
(30)
Podstawiając te wartości prędkości względnych do wyrażenia (27), otrzymujemy:
(31)
Zmniejszając o dwa i podnosząc różnicę prędkości do kwadratu, przekształcamy wyrażenie (31) do postaci:
, (32)

Dodając do pierwszego członu po prawej stronie wyrażenia, można wyeliminować wyrazy odpowiadające wyrażeniu (26), w wyniku czego wyrażenie (32) przyjmie postać:
(33)
Redukując to wyrażenie i grupując terminy, otrzymujemy:
(34)
Po określeniu prędkości i zgodnie z wyrażeniami (28) – (32):
(35)

• i podstawiając je do wyrażenia (34), przekształcamy je do postaci:

(36)
W ten sposób ustaliliśmy związek między prawami zachowania energii i pędu w absolutnym i względnym ruchu piłek podczas ukośnego uderzenia.
Rozwiązując łącznie równania (27) i (36), wyznaczamy prędkości kulek w ich ruchu względnym:
; (37)
, (38)

Przy rozwiązywaniu równań w celu uzyskania rozwiązania w postaci wektorowej kwadraty prędkości należy przedstawić jako iloczyn skalarny dwóch identycznych wektorów.
Prędkości kulek w ruchu absolutnym można wyznaczyć korzystając z twierdzenia o cosinusie z równoległoboków przedstawionych na rys. 2.
Dla pierwszej piłki moduł prędkości określa się za pomocą wyrażenia:
, (39)

• skąd dostajemy:

(40)
Dla drugiej piłki moduł prędkości będzie równy:
, (41)

• gdzie możemy to znaleźć:

(42)
Kąty i , charakteryzujące kierunki wektorów i względem wektorów i , można również znaleźć za pomocą twierdzenia cosinus:
; (43)
(44)
Podstawiając wartości prędkości i ze wzorów (39) i (41) do tych wyrażeń, otrzymujemy:
; (45)
(46)
Aby sprawdzić otrzymane rozwiązania, można znaleźć wartości energii kinetycznej kulek po uderzeniu, gdyż przed uderzeniem ich energia była równa:
, (47)

• a po trafieniu będzie:

(48)
Podstawiając wartości kwadratów prędkości do wyrażenia (48) i z wyrażeń (39) i (41), otrzymujemy:
(49)
Teraz korzystamy z wartości modułów prędkości oraz z wyrażeń (37) i (38):
(50)
Podstawiając do tego wyrażenia wartość modułu prędkości zgodnie ze wzorem (23) i dokonując przekształceń, ostatecznie otrzymujemy, że , czyli spełniona zostanie zasada zachowania energii.
Rozważmy teraz niesprężyste zderzenie dwóch piłek. W tym przypadku część energii zostanie przeznaczona na zmiany strukturalne (odkształcenia niesprężyste w kulkach) i na ich ogrzewanie, czyli zmianę energii wewnętrznej. Dlatego wyrażenia praw zachowania energii w dwóch układach odniesienia będą miały postać:
; (51)
(52)

Rozwiązując razem ten układ równań, otrzymujemy prawo zachowania pędu w jego zwykłej postaci:
, (53)

• to znaczy straty energii podczas interakcji ciał nie wpływają na formę tego prawa.

Korzystając z równań (51) i (53) wyznaczamy prędkości kulek po ich niesprężystym zderzeniu:
; (54)
(55)
Oczywiście wyrażenia (54) i (55) będą miały znaczenie fizyczne tylko wtedy, gdy wyrażenie radykalne będzie miało wartość dodatnią. Z tego warunku można znaleźć wartość, przy której zasada zachowania pędu będzie nadal spełniona, przyrównując wyrażenie radykalne do zera:
(56)

, (57)

(58)
Wyrażenia (54) i (56), biorąc pod uwagę wzór (57), można przedstawić jako:
; (59)
, (60)

(61)
W ruchu względnym wyrażenia na prędkości będą miały postać:
; (62)
(63)
Z powyższych wyrażeń wynika, że ​​prędkości kulek będą równe i będą się one poruszać razem jako jedna.
Jeśli współczynnik jest większy niż jeden, wówczas wyrażenie radykalne będzie ujemne, a wyrażenia określające prędkości stracą swoje fizyczne znaczenie. Ponieważ w punkcie , kulki będą poruszać się jako jedna jednostka, jedno równanie wystarczy do określenia prędkości ich ruchu. Kiedy można jeszcze zastosować zasadę zachowania pędu, kiedy należy stosować jedynie zasadę zachowania energii, choć w ujęciu matematycznym zasada zachowania pędu będzie w tym przypadku spełniona. Zatem prawo zachowania pędu ma ograniczenia w jego zastosowaniu. To po raz kolejny potwierdza priorytetową rolę prawa zachowania energii w stosunku do prawa zachowania pędu. Jednak w zasadzie jest możliwe, że wartości współczynnika nie mogą być większe niż jeden, wówczas oba prawa będą zawsze obowiązywać, ale stwierdzenie to wymaga weryfikacji eksperymentalnej.
Ponieważ kule będą poruszać się jako całość z tą samą prędkością, prawo zachowania energii będzie miało postać:
, (64)

• gdzie zgodnie z wyrażeniem (61),

(65)
Rozwiązując równanie (64) otrzymujemy:
(66)

• lub w ruchu względnym:

(67)
Jeżeli cała energia uderzenia zostanie przeznaczona na straty, czyli gdy spełniona zostanie zależność:
, (68)

(69)
Co prawda pozostają wątpliwości, czy taki przypadek jest w ogóle możliwy.
W §5 pierwszego rozdziału wykazano, że wielkość ruchu charakteryzuje bezwładność ciała i jest określona stosunkiem, czyli stosunkiem zmiany energii kinetycznej ciała do zmiany jego prędkości . W związku z tą definicją bezwładności ciała można wyciągnąć inny wniosek na temat prawa zachowania pędu. W tym celu używamy wyrażeń (15), (17) i (18), dzieląc je przez zmianę prędkości pierwszego ciała:
(70)
Wynikowe wyrażenie przekształćmy do postaci:
(71)
Korzystając ze współczynnika prędkości (12) w postaci:
, (72)

• Przekształćmy wyrażenie (71) do postaci:

(73)

• skąd wynika prawo zachowania pędu:

Prawa zachowania energii i pędu są szeroko stosowane w rozwiązywaniu różnych problemów mechaniki. Jednakże w związku z tym, że prawa te mają charakter całkowy, gdyż uwzględniają stany ciał dopiero przed i po ich oddziaływaniu, a nie w momencie samego oddziaływania, istnieje niebezpieczeństwo utraty fizycznego znaczenia samej interakcji, unikając wyjaśniania tego fizycznego znaczenia ze względu na brak jego zrozumienia, choć efekt końcowy będzie prawidłowy.
Udowodnijmy to stwierdzenie na przykładzie ruchu łodzi, gdy znajdująca się w niej osoba wrzuci kamień do wody (ryc. 3). Nie ma wątpliwości, że łódź popłynie w kierunku przeciwnym do rzutu. Aby rozwiązać problem, stosuje się zasadę zachowania pędu, która biorąc pod uwagę kierunek prędkości, będzie miała postać:
, (74)

, (75)

• to znaczy im większa masa kamienia i jego prędkość, tym większa prędkość łodzi.

Jeśli zapytasz nauczycieli mechaniki, z jakiego powodu łódź się porusza, większość z nich odpowie, że łódź będzie się poruszać, ponieważ musi zostać spełnione prawo zachowania pędu. Dają taką odpowiedź, ponieważ nie potrafią wyjaśnić faktycznej przyczyny ruchu, chociaż doskonale wiedzą, że ruch może nastąpić tylko pod wpływem siły. Jaka siła wprawi łódź w ruch?
Oczywiście musimy tu zrozumieć interakcję między rękami człowieka a kamieniem w momencie rzucenia. Jedynym powodem pojawienia się siły działającej na człowieka, a przez niego na łódź, jest uderzenie kamienia. Siła ta pojawi się, jeśli w momencie rzutu kamień porusza się z przyspieszeniem. Następnie odkształci się i powstaną w nim siły sprężyste, które będą działać na dłonie osoby. Siły te, jak już wiemy, są siłami bezwładności i ich wielkość będzie równa iloczynowi masy kamienia i jego przyspieszenia. Można też powiedzieć, że ktoś odpycha się od kamienia. Jednak rozwiązanie tego problemu za pomocą drugiej zasady Newtona jest prawie niemożliwe, ponieważ nie będziemy w stanie znaleźć przyspieszenia kamienia w momencie rzutu. Znacznie łatwiej jest znaleźć prędkość jego ruchu w pierwszych chwilach ruchu. Zatem zastosowanie całkowych praw ruchu znacznie upraszcza rozwiązanie wielu problemów mechaniki. To prawda, że ​​\u200b\u200bnie należy zapominać o fizycznej istocie rozpatrywanych zjawisk. W tym przypadku matematyczna moc integralnych praw zachowania zostanie ujawniona jeszcze wyraźniej.
Rozważmy teraz bardziej złożone zadanie dotyczące ruchu wózka, na którym umieszczone są dwa ładunki, obracające się w różnych kierunkach z tą samą prędkością kątową (rys. 4). Problem ten rozwiązuje się również korzystając z prawa zachowania pędu:
, (76)

Z wyrażenia (76) wynika:
, (77)

• oznacza to, że wózek będzie wykonywał oscylacje harmoniczne. Ale jaki jest powód tych wahań? Nie można powiedzieć, że wózek spełnia zasadę zachowania pędu. Siła musi wprawiać wózek w drgania, ale jakiego rodzaju siła? Jedynym kandydatem do tej roli może być jedynie siła odśrodkowa bezwładności działająca na obciążenia wirujące:

(78)
Pod wpływem dwóch sił bezwładności wózek będzie poruszał się wzdłuż osi y. Naturę ruchu wózka można określić, korzystając z drugiego prawa Newtona:
(79)
Prędkość wózka wyznacza się całkując wyrażenie:
, (80)

• Gdzie Z– stała integracji.

Aby określić prędkość wózka, należy skorzystać z warunków początkowych. Pojawia się jednak problem: jaka będzie prędkość wózka? Załóżmy, że w początkowej chwili niezabezpieczony wózek i ładunki były nieruchome, a następnie ładunki zostały natychmiast wprawione w ruch obrotowy ze stałą prędkością kątową, czyli nie będzie mowy o przejściowym trybie ruchu. Zatem wielkość sił bezwładności natychmiast przyjmie wartość końcową określoną wzorem (78). Pod wpływem sił bezwładności wózek musiałby natychmiast ruszyć w dodatnim kierunku. Należy jednak mieć na uwadze, że wraz z chwilowym pojawieniem się prędkości ruchu ładunków pojawi się teoretycznie nieskończone, ale praktycznie bardzo duże przyspieszenie w kierunku osi y, jeżeli obciążenia były rozmieszczone wzdłuż osi X, i odpowiednią siłę bezwładności w przeciwnym kierunku, która spowoduje, że wózek będzie poruszał się w kierunku swojego działania, w kierunku ujemnym osi y, to znaczy, że faktycznie będzie to miało wpływ na wózek.
Załóżmy, że prędkość początkowa wózka będzie równa , wówczas z równania (80) otrzymujemy:
,

• gdzie znajdziemy stałą całkowania Z:

(81)
Zgodnie z tym prędkość wózka będzie wynosić:
(82)
Całkując to wyrażenie, znajdujemy przemieszczenie wózka wzdłuż osi y:
(83)
W danych warunkach ruch wózka będzie harmoniczny, zatem wyrażenie w nawiasie musi być równe zeru. Wtedy prawo ruchu wózka przyjmie postać:
, (84)

(85)
Następnie prędkość wózka w funkcji kąta obrotu wyznaczymy z wyrażenia (80):
,

• co odpowiada wyrażeniu (77).

Możliwe jest jednak również drugie rozwiązanie tego problemu, jeśli założymy, że początkowo wózek jest nieruchomy, a ładunki obracają się ze stałą prędkością. Następnie, gdy obciążenia zajmą położenie wzdłuż osi X, wózek zostaje zwolniony. W takich warunkach siły bezwładności działają w kierunku osi y będzie nieobecny, ponieważ wartość prędkości obrotu ładunków nie ulegnie zmianie, dlatego nie będzie oddziaływania na wózek w kierunku ujemnym osi y a jego prędkość początkowa będzie wynosić zero. Następnie z równania (80) wynika, że ​​stała całkowania Z będzie równe:
, (86)

• zatem prędkość wózka w funkcji czasu będzie miała postać:

(87)
Całkując to wyrażenie w czasie, znajdujemy ruch wózka wzdłuż osi Y:
(88)

, (89)

; (90)
(91)
Zatem okresowo zmieniający się rzut sił bezwładności obciążeń na oś y sprawia, że ​​wózek wykonuje oscylacje harmoniczne, a nawet porusza się wzdłuż osi y w zależności od początkowych warunków jazdy. Wózek niezabezpieczony będzie wykonywał jedynie oscylacje harmoniczne, natomiast wózek unieruchomiony, a następnie puszczony będzie wykonywał ruch prostoliniowy, na który nałożą się oscylacje harmoniczne.
Przeprowadzona przez nas analiza nie byłaby możliwa bez uwzględnienia sił działających na wózek, którymi w tym przypadku są siły bezwładności. Jeśli ruch wózka tłumaczy się koniecznością spełnienia prawa zachowania pędu, oznacza to, że nie trzeba mówić o istocie sprawy. Dlatego wskazane jest połączenie stosowania praw zachowania ze szczegółową analizą sił rozważanego problemu.

Z twierdzenia o zmianie pędu układu można wyciągnąć następujące ważne konsekwencje.

1. Niech suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ będzie równa zero:

Następnie z równania (20) wynika, że ​​w tym przypadku Zatem, jeśli suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ jest równa zero, wówczas wektor pędu układu będzie stały pod względem wielkości i kierunku.

2. Niech siły zewnętrzne działające na układ będą takie, że suma ich rzutów na jakąś oś (np. ) będzie równa zeru:

Następnie z równań (20) wynika, że ​​w tym przypadku Zatem, jeśli suma rzutów wszystkich działających sił zewnętrznych na dowolną oś jest równa zeru, to rzut pędu układu na tę oś jest wartością stałą.

Wyniki te wyrażają prawo zachowania pędu układu. Wynika z nich, że siły wewnętrzne nie mogą zmienić wielkości ruchu układu. Spójrzmy na kilka przykładów.

Zjawisko odrzutu lub odrzutu. Jeśli potraktujemy karabin i kulę jako jeden układ, wówczas ciśnienie gazów proszkowych podczas strzału będzie siłą wewnętrzną. Siła ta nie może zmienić wielkości ruchu układu równej wystrzeleniu pocisku. Ponieważ jednak gazy prochowe, działając na kulę, nadają jej pewien ruch skierowany do przodu, muszą jednocześnie nadać karabinowi taki sam ruch w przeciwnym kierunku. Spowoduje to cofnięcie się karabinu, zwane odrzutem. Podobne zjawisko występuje podczas strzelania z broni (cofanie).

Działanie śmigła (śmigła). Śmigło wprawia w ruch pewną masę powietrza (lub wody) wzdłuż osi śmigła, odrzucając tę ​​masę z powrotem. Jeżeli potraktujemy masę rzuconą i samolot (lub statek) jako jeden układ, wówczas siły oddziaływania śmigła z otoczeniem, jako siły wewnętrzne, nie są w stanie zmienić całkowitej wielkości ruchu tego układu. Dlatego też, gdy masa powietrza (wody) zostanie odrzucona, samolot (lub statek) uzyskuje odpowiednią prędkość do przodu, taką, że całkowity ruch rozważanego układu pozostaje równy zeru, ponieważ był zerowy przed rozpoczęciem ruchu .

Podobny efekt uzyskuje się poprzez działanie wioseł lub kół łopatkowych.

Napęd odrzutowy. W rakiecie (rakietie) gazowe produkty spalania paliwa są wyrzucane z dużą prędkością przez otwór w ogonie rakiety (z dyszy silnika rakietowego). Siły ciśnienia działające w tym przypadku będą siłami wewnętrznymi i nie mogą zmienić pędu układu rakietowego - produktów spalania paliwa. Ponieważ jednak uciekające gazy mają pewien ruch skierowany do tyłu, rakieta otrzymuje odpowiednią prędkość skierowaną do przodu. Wielkość tej prędkości zostanie określona w § 114.

Należy pamiętać, że silnik śmigłowy (poprzedni przykład) powoduje ruch obiektu, takiego jak samolot, odrzucając cząstki ośrodka, w którym się porusza. W przestrzeni pozbawionej powietrza taki ruch jest niemożliwy. Silnik odrzutowy nadaje ruch poprzez odrzucanie mas wytworzonych w samym silniku (produktów spalania). Ruch ten jest równie możliwy zarówno w powietrzu, jak i w przestrzeni pozbawionej powietrza.

Przy rozwiązywaniu problemów zastosowanie twierdzenia pozwala nam wykluczyć z uwzględnienia wszystkie siły wewnętrzne. Dlatego musimy spróbować wybrać rozważany układ w taki sposób, aby całość (lub część) nieznanych wcześniej sił miała charakter wewnętrzny.

Prawo zachowania pędu jest wygodne do zastosowania w przypadkach, gdy zmieniając prędkość postępową jednej części układu, konieczne jest określenie prędkości innej części. W szczególności prawo to jest szeroko stosowane w teorii uderzenia.

Zadanie 126. Pocisk o masie , lecący poziomo z prędkością, uderza w skrzynię z piaskiem zamontowaną na wózku (ryc. 289). Z jaką prędkością wózek zacznie się poruszać po uderzeniu, jeśli masa wózka wraz ze skrzynią będzie równa

Rozwiązanie. Potraktujemy kulę i wózek jako jeden system. Pozwoli nam to wyeliminować siły powstające, gdy kula uderza w skrzynię, podczas rozwiązywania problemu. Suma rzutów sił zewnętrznych przyłożonych do układu na oś poziomą Ox jest równa zeru. Zatem lub gdzie jest wielkość ruchu układu przed uderzeniem; - po uderzeniu.

Ponieważ wózek przed uderzeniem jest nieruchomy, to .

Po uderzeniu wózek i kula poruszają się ze wspólną prędkością, którą oznaczamy v. Następnie .

Zrównujemy prawe strony wyrażeń

Zadanie 127. Wyznacz prędkość swobodnego odrzutu broni, jeżeli masa części odrzutu jest równa P, masa pocisku wynosi , a prędkość pocisku względem lufy jest równa w chwili odlotu.

Rozwiązanie. Aby wyeliminować nieznane siły ciśnienia gazów proszkowych, należy rozważyć część pocisku i odrzutu jako jeden system.

Rozważmy wzajemne działanie dwóch izolowanych ciał, które nie oddziałują z innymi ciałami. Zakładamy, że siły te są stałe w całym oddziaływaniu. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki zmiana pędu pierwszego ciała wynosi:

gdzie jest przedziałem czasu interakcji.

Zmiana pędu drugiego ciała:

gdzie jest siła działająca z pierwszego ciała na drugie.

Zgodnie z trzecim prawem Newtona

a poza tym jasne

Stąd,

Niezależnie od charakteru sił oddziaływania i czasu ich działania, całkowity pęd dwóch izolowanych ciał pozostaje stały.

Otrzymany wynik można rozszerzyć na dowolną liczbę oddziałujących ze sobą ciał oraz na siły zmieniające się w czasie. W tym celu dzielimy przedział czasu, w którym zachodzi oddziaływanie ciał, na takie małe przedziały, w których siłę można uznać za stałą z zadaną dokładnością. W każdym okresie spełniona będzie zależność (1.8). Będzie zatem obowiązywać przez cały przedział czasu

Aby uogólnić wniosek na ciała oddziałujące, wprowadzamy koncepcję układu zamkniętego.

Zamknięte jest układem ciał, dla którego wypadkowe siły zewnętrzne są równe zeru.

Niech masy punktów materialnych utworzą układ zamknięty. Zmiana pędu każdego z tych punktów w wyniku jego interakcji ze wszystkimi innymi punktami układu, odpowiednio:

Oznaczmy siły wewnętrzne działające na punkt poprzez masę z innych punktów, przez punkt przez masę itp. (Pierwszy indeks wskazuje punkt, na który działa siła, drugi indeks wskazuje punkt, na osi którego siła dzieje.)

Zapiszmy w przyjętym zapisie drugą zasadę dynamiki dla każdego punktu osobno:

Liczba równań jest równa liczbie ciał w układzie. Aby znaleźć całkowitą zmianę pędu układu, należy obliczyć sumę geometryczną zmian pędu wszystkich punktów układu. Sumując równości (1.9) otrzymujemy z lewej strony pełny wektor zmian pędu układu w czasie, a z prawej strony elementarny impuls wypadkowej wszystkich sił działających w układzie. Ale ponieważ system jest zamknięty, powstałe siły wynoszą zero. W rzeczywistości, zgodnie z trzecią zasadą dynamiki, każdej sile w równości (1.9) odpowiada siła i

tj. itp.,

a wypadkowa tych sił wynosi zero. W rezultacie w całym układzie zamkniętym zmiana pędu wynosi zero:

całkowity pęd układu zamkniętego jest wielkością stałą podczas całego ruchu (prawo zachowania pędu).

Prawo zachowania pędu jest jednym z podstawowych praw fizyki, obowiązującym zarówno dla układów ciał makroskopowych, jak i układów utworzonych przez ciała mikroskopowe: cząsteczki, atomy itp.

Jeśli na punkty układu działają siły zewnętrzne, wówczas zmienia się wielkość ruchu układu.

Napiszmy równania (1.9), uwzględniając w nich wypadkowe siły zewnętrzne działające odpowiednio na pierwszy, drugi itd. Do dziesiątego punktu:

Dodając lewą i prawą stronę równań otrzymujemy: po lewej stronie pełny wektor zmian pędu układu; po prawej - impuls powstałych sił zewnętrznych:

lub, oznaczając wypadkowe siły zewnętrzne:

zmiana całkowitego pędu układu ciał jest równa impulsowi powstałych sił zewnętrznych.

Równość (1.13) można zapisać w innej formie:

pochodna czasu całkowitego ruchu układu punktów jest równa wypadkowym siłom zewnętrznym działającym na punkty układu.

Rzutując wektory pędu układu i sił zewnętrznych na trzy wzajemnie prostopadłe osie, zamiast równości wektorów (6.14) otrzymujemy trzy równania skalarne postaci:

Jeśli wzdłuż dowolnej osi składowa wypadkowych sił zewnętrznych jest równa zero, wówczas wielkość ruchu wzdłuż tej osi nie zmienia się, tj. będąc ogólnie otwartym, w kierunku, w którym układ można uznać za zamknięty.

Zbadaliśmy przeniesienie ruchu mechanicznego z jednego ciała na drugie bez jego przejścia na inne formy ruchu materii.

Wielkość „mv okazuje się miarą ruchu po prostu przeniesionego, czyli ciągłego ruchu…”.

Zastosowanie prawa zmiany pędu do zagadnienia ruchu układu ciał pozwala na wyłączenie z rozważań wszelkich sił wewnętrznych, co upraszcza badania teoretyczne i rozwiązywanie problemów praktycznych.

1. Pozwól osobie stać bez ruchu na nieruchomym wózku (ryc. 2.a). Pęd układu człowiek-wózek wynosi zero. Czy ten system jest zamknięty? Działają na nią siły zewnętrzne – grawitacja i tarcie pomiędzy kołami wózka a podłogą. Generalnie system nie jest zamknięty. Jednakże ustawiając wózek na szynach i odpowiednio traktując powierzchnię szyn i kół, czyli znacząco zmniejszając tarcie pomiędzy nimi, można pominąć siłę tarcia.

Siła ciężkości skierowana pionowo w dół równoważy się poprzez reakcję odkształconych szyn, a wypadkowa tych sił nie może nadać układowi przyspieszenia poziomego, czyli nie może zmienić prędkości, a co za tym idzie pędu układu. Można zatem, z pewnym przybliżeniem, uznać ten układ za zamknięty.

Załóżmy teraz, że osoba opuszcza wózek w lewo (rys. 2.b), mając prędkość. Aby osiągnąć tę prędkość, należy napinając mięśnie, postawić stopy na platformie wózka i zdeformować ją. Siła działająca od strony zdeformowanej platformy na stopy osoby nadaje przyspieszenie ciału ludzkiemu po lewej stronie, a siła działająca od strony zdeformowanej stopy osoby (zgodnie z trzecią zasadą dynamiki) nadaje przyspieszenie do wózka po prawej stronie. W rezultacie, gdy interakcja ustanie (osoba zejdzie z wózka), wózek nabierze pewnej prędkości.

Aby wyznaczyć prędkości, korzystając z podstawowych praw dynamiki, trzeba wiedzieć, jak zmieniają się w czasie siły oddziaływania człowieka na wózek i gdzie te siły są przyłożone. Prawo zachowania pędu pozwala natychmiast znaleźć stosunek prędkości osoby i wózka, a także wskazać ich wzajemny kierunek, jeśli znane są wartości mas osoby i wózka.

Podczas gdy osoba stoi nieruchomo na wózku, całkowity zakres ruchu układu pozostaje równy zeru:

Prędkości osiągane przez osobę i wózek są odwrotnie proporcjonalne do ich mas. Znak minus wskazuje ich przeciwny kierunek.

2. Jeżeli osoba poruszająca się z dużą prędkością najedzie na nieruchomy wózek i zatrzyma się na nim, wówczas wózek zaczyna się poruszać, tak że suma ruchu jego i osoby okaże się równa ruchowi, jaki wykona ta osoba sama miała wcześniej:

3. Osoba poruszająca się z dużą prędkością wpada na poruszający się z dużą prędkością wózek w jego stronę i zatrzymuje się na nim. Następnie układ człowiek-wózek porusza się ze wspólną prędkością. Całkowity zakres ruchu osoby i wózka jest równy sumie ruchu, jaki każde z nich posiadało z osobna:

4. Wykorzystując fakt, że wózek może poruszać się jedynie po szynach, możemy wykazać wektorową naturę zmiany pędu. Jeżeli osoba wchodzi i zatrzymuje się na nieruchomym wcześniej wózku raz zgodnie z kierunkiem jego możliwego ruchu, drugi raz – pod kątem 45°, a trzeci raz – pod kątem 90° do tego kierunku, to w drugim przypadku, gdy prędkość osiągana przez wózek jest około półtora razy mniejsza niż w pierwszym przypadku, a w trzecim przypadku wózek jest w bezruchu.

Rozważmy najbardziej ogólne prawa zachowania, które rządzą całym światem materialnym i które wprowadzają do fizyki szereg podstawowych pojęć: energię, pęd (pęd), moment pędu, ładunek.

Prawo zachowania pędu

Jak wiadomo, ilość ruchu, czyli impulsu, jest iloczynem prędkości i masy poruszającego się ciała: p = mv Ta wielkość fizyczna pozwala znaleźć zmianę ruchu ciała w określonym przedziale czasu. Aby rozwiązać ten problem, trzeba by niezliczoną ilość razy zastosować drugie prawo Newtona, we wszystkich pośrednich chwilach czasu. Prawo zachowania pędu (pędu) można uzyskać, korzystając z drugiej i trzeciej zasady Newtona. Jeśli weźmiemy pod uwagę dwa (lub więcej) punkty materialne (ciała) oddziałujące ze sobą i tworzące układ odizolowany od działania sił zewnętrznych, to podczas ruchu impulsy każdego punktu (ciała) mogą się zmieniać, ale całkowity impuls system musi pozostać niezmieniony:

M 1 w+M 1 w 2 = stała

Oddziałujące ze sobą ciała wymieniają impulsy, zachowując impuls całkowity.

W ogólnym przypadku otrzymujemy:

gdzie P Σ jest całkowitym, całkowitym impulsem układu, M I w I– impulsy poszczególnych współpracujących części układu. Sformułujmy prawo zachowania pędu:

Jeżeli suma sił zewnętrznych wynosi zero, pęd układu ciał pozostaje stały podczas wszelkich procesów w nim zachodzących.

Przykład działania zasady zachowania pędu można rozważyć w procesie interakcji łodzi z osobą, która zakopała nos w brzegu, a osoba w łodzi szybko przechodzi od rufy do dziobu przy prędkość w 1 . W takim przypadku łódź będzie oddalać się od brzegu z dużą prędkością w 2 :

Podobny przykład można podać w przypadku pocisku, który eksplodował w powietrzu na kilka części. Suma wektorowa impulsów wszystkich fragmentów jest równa impulsowi pocisku przed eksplozją.

Prawo zachowania momentu pędu

Wygodnie jest scharakteryzować obrót ciał sztywnych za pomocą wielkości fizycznej zwanej momentem pędu.

Kiedy sztywne ciało obraca się wokół ustalonej osi, każda pojedyncza cząstka tego ciała porusza się po okręgu o promieniu R I z pewną prędkością liniową w I. Prędkość w I i pęd p = m I w I prostopadle do promienia r i. Produkt impulsu p = m I w I na promień R I nazywa się momentem pędu cząstki:

L I= M I w I R I= P I R I·

Moment pędu całego ciała:

Jeśli zastąpimy prędkość liniową prędkością kątową (v i = ωr i), to

gdzie J = mr 2 – moment bezwładności.

To znaczy moment pędu układu zamkniętego nie zmienia się w czasie L= stała i Jω = stała.

W tym przypadku moment pędu poszczególnych cząstek wirującego ciała może zmieniać się według potrzeb, ale całkowity moment pędu (suma pędu poszczególnych części ciała) pozostaje stały. Prawo zachowania momentu pędu można wykazać obserwując łyżwiarza kręcącego się na łyżwach z rękami wyciągniętymi na boki i ramionami uniesionymi nad głowę. Ponieważ Jω = const, to w drugim przypadku moment bezwładności J maleje, co oznacza, że ​​prędkość kątowa u musi rosnąć, ponieważ Jω = const.

Prawo zachowania energii

Energia jest uniwersalną miarą różnych form ruchu i interakcji. Energia oddana przez jedno ciało drugiemu jest zawsze równa energii otrzymanej przez drugie ciało. Aby określić ilościowo proces wymiany energii pomiędzy oddziałującymi ciałami, mechanika wprowadza koncepcję pracy siły wywołującej ruch.

Energia kinetyczna układu mechanicznego jest energią ruchu mechanicznego tego układu. Siła powodująca ruch ciała działa, a energia poruszającego się ciała rośnie wraz z ilością włożonej pracy. Jak wiadomo, ciało masowe M, poruszać się z dużą prędkością v, ma energię kinetyczną mi=mw 2 /2.

Energia potencjalna to energia mechaniczna układu ciał, które oddziałują poprzez pola siłowe, na przykład poprzez siły grawitacyjne. Praca wykonana przez te siły podczas przemieszczania ciała z jednego położenia do drugiego nie zależy od trajektorii ruchu, lecz zależy jedynie od początkowego i końcowego położenia ciała w polu siłowym.

Takie pola siłowe nazywane są potencjałami, a działające w nich siły nazywane są konserwatywny. Siły grawitacyjne to siły zachowawcze i energia potencjalna ciała o masie M, podniesiony do wysokości H nad powierzchnią Ziemi jest równa

E pot = mgh,

Gdzie G- przyśpieszenie grawitacyjne.

Całkowita energia mechaniczna jest równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej:

mi= E kin + E pot

Prawo zachowania energii mechanicznej(1686, Leibniz) stwierdza, że ​​w układzie ciał, pomiędzy którymi działają wyłącznie siły zachowawcze, całkowita energia mechaniczna pozostaje niezmieniona w czasie. W takim przypadku przemiany energii kinetycznej w energię potencjalną i odwrotnie mogą zachodzić w ilościach równoważnych.

Istnieje inny typ układu, w którym energię mechaniczną można zmniejszyć poprzez konwersję na inne formy energii. Na przykład, gdy układ porusza się z tarciem, część energii mechanicznej ulega zmniejszeniu z powodu tarcia. Takie systemy nazywane są rozpraszający, to znaczy systemy rozpraszające energię mechaniczną. W takich układach nie obowiązuje zasada zachowania całkowitej energii mechanicznej. Jednakże, gdy energia mechaniczna maleje, zawsze pojawia się ilość energii innego rodzaju równoważna temu spadkowi. Zatem, energia nigdy nie znika ani nie pojawia się ponownie, zmienia się jedynie z jednego rodzaju na drugi. Tutaj manifestuje się właściwość niezniszczalności materii i jej ruchu.

W mechanice klasycznej obowiązują dwa prawa zachowania: prawo zachowania pędu i prawo zachowania energii.

Impuls ciała

Pojęcie pędu zostało po raz pierwszy wprowadzone przez francuskiego matematyka, fizyka i mechanika. oraz filozof Kartezjusz, który nazwał impulsem ilość ruchu .

Z łaciny „impuls” tłumaczy się jako „pchnij, ruszaj”.

Każde ciało, które się porusza, ma pęd.

Wyobraźmy sobie stojący wózek. Jego pęd jest zerowy. Ale gdy tylko wózek zacznie się poruszać, jego pęd nie będzie już zerowy. Zacznie się zmieniać wraz ze zmianą prędkości.

Pęd punktu materialnego, Lub ilość ruchu – wielkość wektorowa równa iloczynowi masy punktu i jego prędkości. Kierunek wektora pędu punktu pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości.

Jeśli mówimy o stałym ciele fizycznym, wówczas pęd takiego ciała nazywa się iloczynem masy tego ciała i prędkości środka masy.

Jak obliczyć pęd ciała? Można sobie wyobrazić, że ciało składa się z wielu punktów materialnych lub z systemu punktów materialnych.

Jeśli - impuls jednego punktu materialnego, następnie impuls układu punktów materialnych

To jest, pęd układu punktów materialnych jest sumą wektorów pędów wszystkich punktów materialnych wchodzących w skład układu. Jest ona równa iloczynowi mas tych punktów i ich prędkości.

Jednostką impulsu w międzynarodowym układzie jednostek SI jest kilogram-metr na sekundę (kg m/s).

Siła impulsu

W mechanice istnieje ścisły związek pomiędzy pędem ciała a siłą. Te dwie wielkości są połączone wielkością zwaną impuls siły .

Jeżeli na ciało działa stała siłaF przez pewien okres czasu T , to zgodnie z drugim prawem Newtona

Wzór ten pokazuje zależność pomiędzy siłą działającą na ciało, czasem działania tej siły i zmianą prędkości ciała.

Nazywa się wielkość równą iloczynowi siły działającej na ciało i czasu jej działania impuls siły .

Jak widzimy z równania, impuls siły jest równy różnicy impulsów ciała w początkowej i końcowej chwili czasu lub zmianie impulsu w pewnym czasie.

Drugie prawo Newtona w postaci pędu jest sformułowane w następujący sposób: zmiana pędu ciała jest równa pędowi działającej na nie siły. Trzeba powiedzieć, że sam Newton pierwotnie sformułował swoje prawo dokładnie w ten sposób.

Impuls siły jest również wielkością wektorową.

Prawo zachowania pędu wynika z trzeciego prawa Newtona.

Należy pamiętać, że prawo to działa tylko w zamkniętym lub izolowanym układzie fizycznym. Układ zamknięty to układ, w którym ciała oddziałują tylko między sobą i nie oddziałują z ciałami zewnętrznymi.

Wyobraźmy sobie zamknięty układ dwóch ciał fizycznych. Siły oddziaływania ciał na siebie nazywane są siłami wewnętrznymi.

Impuls siły dla pierwszego ciała jest równy

Zgodnie z trzecim prawem Newtona siły działające na ciała podczas ich interakcji mają jednakową wartość i przeciwny kierunek.

Dlatego dla drugiego ciała pęd siły jest równy

Za pomocą prostych obliczeń otrzymujemy matematyczne wyrażenie zasady zachowania pędu:

Gdzie m 1 I m 2 – masy ciała,

v 1 I v 2 – prędkości ciała pierwszego i drugiego przed oddziaływaniem,

v 1" I v 2" – prędkości pierwszego i drugiego ciała po oddziaływaniu .

P 1 = m 1 · w 1 - pęd pierwszego ciała przed oddziaływaniem;

p 2 = m 2 · v 2 - pęd drugiego ciała przed oddziaływaniem;

p 1 "= m 1 · v 1" - pęd pierwszego ciała po oddziaływaniu;

p 2 "= m 2 · wersja 2" - pęd drugiego ciała po oddziaływaniu;

To jest

P 1 + P 2 = str. 1" + str. 2"

W układzie zamkniętym ciała wymieniają jedynie impulsy. A suma wektorów pędów tych ciał przed oddziaływaniem jest równa sumie wektorów ich pędów po oddziaływaniu.

Zatem w wyniku wystrzału zmieni się pęd samego pistoletu i pęd pocisku. Ale suma impulsów pistoletu i znajdującego się w nim pocisku przed strzałem pozostanie równa sumie impulsów pistoletu i lecącego pocisku po strzale.

Podczas strzelania z armaty występuje odrzut. Pocisk leci do przodu, a samo działo cofa się. Pocisk i działo stanowią zamknięty układ, w którym działa zasada zachowania pędu.

Pęd każdego ciała w układzie zamkniętym mogą się zmieniać w wyniku wzajemnego oddziaływania. Ale suma wektorowa impulsów ciał wchodzących w skład układu zamkniętego nie zmienia się przy oddziaływaniu tych ciał w czasie, to znaczy pozostaje stała. To jest to prawo zachowania pędu.

Dokładniej, prawo zachowania pędu jest sformułowane w następujący sposób: suma wektorowa impulsów wszystkich ciał układu zamkniętego jest wartością stałą, jeżeli nie działają na nią żadne siły zewnętrzne lub ich suma wektorów jest równa zeru.

Pęd układu ciał może się zmienić jedynie w wyniku działania sił zewnętrznych na układ. A wtedy zasada zachowania pędu nie będzie miała zastosowania.

Trzeba powiedzieć, że systemy zamknięte w naturze nie istnieją. Jeśli jednak czas działania sił zewnętrznych jest bardzo krótki, na przykład podczas eksplozji, strzału itp., wówczas w tym przypadku wpływ sił zewnętrznych na układ jest pomijany, a sam układ uważa się za zamknięty.

Ponadto, jeśli na układ działają siły zewnętrzne, ale suma ich rzutów na jedną z osi współrzędnych wynosi zero (to znaczy siły równoważą się w kierunku tej osi), wówczas spełniona jest zasada zachowania pędu w tym kierunku.

Nazywa się także zasadą zachowania pędu prawo zachowania pędu .

Najbardziej uderzającym przykładem zastosowania prawa zachowania pędu jest ruch strumieniowy.

Napęd odrzutowy

Ruch reaktywny to ruch ciała, który następuje, gdy jakaś jego część zostanie oddzielona od niego z określoną prędkością. Samo ciało otrzymuje przeciwnie skierowany impuls.

Najprostszym przykładem napędu odrzutowego jest lot balonu, z którego uchodzi powietrze. Jeśli nadmuchamy balon i go puścimy, zacznie on lecieć w kierunku przeciwnym do ruchu wydobywającego się z niego powietrza.

Przykładem napędu odrzutowego w przyrodzie jest uwolnienie płynu z owocu szalonego ogórka podczas jego pękania. W tym samym czasie sam ogórek leci w przeciwnym kierunku.

Meduzy, mątwy i inni mieszkańcy głębin morskich poruszają się, pobierając wodę, a następnie ją wyrzucając.

Ciąg odrzutowy opiera się na prawie zachowania pędu. Wiemy, że gdy rakieta z silnikiem odrzutowym porusza się, w wyniku spalania paliwa, z dyszy wyrzucany jest strumień cieczy lub gazu ( strumień odrzutowy ). W wyniku oddziaływania silnika z wydobywającą się substancją, Siła reakcji . Ponieważ rakieta wraz z wyemitowaną substancją stanowi układ zamknięty, pęd takiego układu nie zmienia się w czasie.

Siła reakcji powstaje w wyniku oddziaływania tylko części układu. Siły zewnętrzne nie mają wpływu na jego wygląd.

Zanim rakieta zaczęła się poruszać, suma impulsów rakiety i paliwa wynosiła zero. W konsekwencji, zgodnie z zasadą zachowania pędu, po włączeniu silników suma tych impulsów również wynosi zero.

gdzie jest masa rakiety

Natężenie przepływu gazu

Zmiana prędkości rakiety

∆mf - zużycie paliwa

Załóżmy, że rakieta działała przez pewien czas T .

Dzielenie obu stron równania przez ∆ T, otrzymujemy wyrażenie

Zgodnie z drugim prawem Newtona siła reakcji jest równa

Siła reakcji, czyli ciąg odrzutowy, zapewnia ruch silnika odrzutowego i związanego z nim obiektu w kierunku przeciwnym do kierunku strumienia odrzutowego.

Silniki odrzutowe są stosowane w nowoczesnych samolotach i różnych rakietach wojskowych, kosmicznych itp.