Jak znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia na przykładach. Klasyczna i statystyczna definicja prawdopodobieństwa

W ekonomii, podobnie jak w innych obszarach działalności człowieka czy w przyrodzie, nieustannie mamy do czynienia ze zdarzeniami, których nie da się dokładnie przewidzieć. Zatem wielkość sprzedaży produktu zależy od popytu, który może się znacznie różnić, a także od wielu innych czynników, których prawie nie można wziąć pod uwagę. Dlatego organizując produkcję i prowadząc sprzedaż, trzeba przewidzieć wynik takich działań na podstawie albo własnych, wcześniejszych doświadczeń, albo podobnych doświadczeń innych osób, albo intuicji, która w dużej mierze opiera się także na danych eksperymentalnych.

Aby w jakiś sposób ocenić dane wydarzenie, należy wziąć pod uwagę lub specjalnie zorganizować warunki, w jakich to wydarzenie jest rejestrowane.

Nazywa się wdrożeniem określonych warunków lub działań mających na celu identyfikację danego zdarzenia doświadczenie Lub eksperyment.

Wydarzenie nazywa się losowy, jeśli w wyniku doświadczenia może to nastąpić lub nie.

Wydarzenie nazywa się niezawodny, jeśli koniecznie pojawia się w wyniku danego doświadczenia, oraz niemożliwe, jeśli nie może pojawić się w tym doświadczeniu.

Na przykład opady śniegu w Moskwie 30 listopada są zdarzeniem losowym. Codzienny wschód słońca można uznać za wydarzenie wiarygodne. Opady śniegu na równiku można uznać za wydarzenie niemożliwe.

Jednym z głównych zadań teorii prawdopodobieństwa jest określenie ilościowej miary możliwości wystąpienia zdarzenia.

Algebra zdarzeń

Zdarzenia nazywane są niezgodnymi, jeśli nie można ich obserwować razem w tym samym doświadczeniu. Zatem obecność dwóch i trzech samochodów w jednym sklepie na sprzedaż w tym samym czasie to dwa zdarzenia niezgodne.

Kwota zdarzeniami jest zdarzenie polegające na wystąpieniu co najmniej jednego z tych zdarzeń

Przykładem sumy zdarzeń jest obecność w sklepie przynajmniej jednego z dwóch produktów.

Praca zdarzeniem jest zdarzenie polegające na jednoczesnym wystąpieniu wszystkich tych zdarzeń

Zdarzenie polegające na pojawieniu się w sklepie jednocześnie dwóch towarów jest wypadkową zdarzeń: - pojawienia się jednego produktu, - pojawienia się innego produktu.

Zdarzenia tworzą kompletną grupę zdarzeń, jeśli przynajmniej jedno z nich ma pewność wystąpienia w doświadczeniu.

Przykład. Port posiada dwa stanowiska do przyjmowania statków. Można uwzględnić trzy zdarzenia: - brak statków przy nabrzeżach, - obecność jednego statku przy jednym z nabrzeży, - obecność dwóch statków przy dwóch nabrzeżach. Te trzy wydarzenia tworzą kompletną grupę wydarzeń.

Naprzeciwko nazywane są dwa unikalne możliwe zdarzenia, które tworzą kompletną grupę.

Jeśli jedno ze zdarzeń przeciwnych jest oznaczone przez , wówczas zdarzenie przeciwne jest zwykle oznaczane przez .

Klasyczne i statystyczne definicje prawdopodobieństwa zdarzenia

Każdy z równie możliwych wyników testów (eksperymentów) nazywany jest wynikiem elementarnym. Zazwyczaj są one oznaczone literami. Na przykład rzuca się kostką. W sumie może być sześć podstawowych wyników w zależności od liczby punktów po bokach.

Z elementarnych wyników możesz stworzyć bardziej złożone wydarzenie. Zatem o przypadku parzystej liczby punktów decydują trzy wyniki: 2, 4, 6.

Ilościową miarą możliwości wystąpienia danego zdarzenia jest prawdopodobieństwo.

Najczęściej używane definicje prawdopodobieństwa zdarzenia to: klasyczny I statystyczny.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa wiąże się z koncepcją korzystnego wyniku.

Wynik nazywa się korzystny do danego zdarzenia, jeżeli jego wystąpienie pociąga za sobą zajście tego zdarzenia.

W powyższym przykładzie dane wydarzenie – parzysta liczba punktów na wyrzuconej stronie – ma trzy korzystne wyniki. W tym wypadku generał
liczbę możliwych wyników. Oznacza to, że można tu zastosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa zdarzenia.

Klasyczna definicja równa się stosunkowi liczby korzystnych wyników do całkowitej liczby możliwych wyników

gdzie jest prawdopodobieństwem zdarzenia, jest liczbą wyników korzystnych dla zdarzenia, jest całkowitą liczbą możliwych wyników.

W rozważanym przykładzie

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa związana jest z koncepcją względnej częstotliwości występowania zdarzenia w eksperymentach.

Względną częstotliwość występowania zdarzenia oblicza się ze wzoru

gdzie jest liczbą wystąpień zdarzenia w serii eksperymentów (testów).

Definicja statystyczna. Prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba, wokół której stabilizuje się (ustala) częstotliwość względna przy nieograniczonym wzroście liczby eksperymentów.

W problemach praktycznych prawdopodobieństwo zdarzenia przyjmuje się jako względną częstotliwość dla wystarczająco dużej liczby prób.

Z tych definicji prawdopodobieństwa zdarzenia wynika, że nierówność jest zawsze spełniona

Aby określić prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie wzoru (1.1), często stosuje się wzory kombinatoryczne, które służą do znalezienia liczby korzystnych wyników i całkowitej liczby możliwych wyników.

Kiedy rzucona zostanie moneta, możesz powiedzieć, że wyląduje reszką do góry, lub prawdopodobieństwo to jest 1/2. Nie oznacza to oczywiście, że jeśli rzucimy monetą 10 razy, koniecznie wylądujemy na orle 5 razy. Jeśli moneta jest „uczciwa” i jeśli zostanie rzucona wiele razy, reszka w połowie przypadków wypadnie bardzo blisko. Zatem istnieją dwa rodzaje prawdopodobieństw: eksperymentalny I teoretyczny .

Prawdopodobieństwo eksperymentalne i teoretyczne

Jeśli rzucimy monetą dużą liczbę razy – powiedzmy 1000 – i policzymy, ile razy wypadła reszka, możemy określić prawdopodobieństwo, że wypadnie reszka. Jeśli rzucimy orłem 503 razy, możemy obliczyć prawdopodobieństwo, że wypadnie:
503/1000, czyli 0,503.

Ten eksperymentalny określenie prawdopodobieństwa. Ta definicja prawdopodobieństwa pochodzi z obserwacji i badania danych i jest dość powszechna i bardzo użyteczna. Oto na przykład niektóre prawdopodobieństwa określone eksperymentalnie:

1. Prawdopodobieństwo, że u kobiety zachoruje na raka piersi wynosi 1/11.

2. Jeśli pocałujesz kogoś, kto jest przeziębiony, prawdopodobieństwo, że ty też się przeziębisz, wynosi 0,07.

3. Osoba, która właśnie wyszła na wolność, ma 80% szans na powrót do więzienia.

Jeśli rozważymy rzucenie monetą i biorąc pod uwagę, że jest równie prawdopodobne, że wyrzuci orzeł lub reszkę, możemy obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia orła: 1/2. Jest to teoretyczna definicja prawdopodobieństwa. Oto kilka innych prawdopodobieństw, które zostały określone teoretycznie za pomocą matematyki:

1. Jeśli w pokoju jest 30 osób, prawdopodobieństwo, że dwie z nich mają urodziny w tym samym dniu (bez roku) wynosi 0,706.

2. Podczas podróży spotykasz kogoś i podczas rozmowy odkrywasz, że macie wspólnego znajomego. Typowa reakcja: „To nie może być!” W rzeczywistości to sformułowanie nie jest odpowiednie, ponieważ prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest dość wysokie - nieco ponad 22%.

Zatem prawdopodobieństwa eksperymentalne określa się na podstawie obserwacji i gromadzenia danych. Prawdopodobieństwa teoretyczne określa się na podstawie rozumowania matematycznego. Przykłady prawdopodobieństw eksperymentalnych i teoretycznych, takich jak te omówione powyżej, a zwłaszcza tych, których się nie spodziewamy, prowadzą nas do znaczenia badania prawdopodobieństwa. Możesz zapytać: „Co to jest prawdziwe prawdopodobieństwo?” Faktycznie, coś takiego nie istnieje. Prawdopodobieństwa w pewnych granicach można określić eksperymentalnie. Mogą, ale nie muszą, pokrywać się z prawdopodobieństwami, które otrzymujemy teoretycznie. Są sytuacje, w których znacznie łatwiej jest określić jeden rodzaj prawdopodobieństwa niż inny. Na przykład wystarczyłoby obliczyć prawdopodobieństwo przeziębienia, korzystając z prawdopodobieństwa teoretycznego.

Obliczanie prawdopodobieństw eksperymentalnych

Rozważmy najpierw eksperymentalną definicję prawdopodobieństwa. Podstawowa zasada, której używamy do obliczania takich prawdopodobieństw, jest następująca.

Zasada P (eksperymentalna)

Jeśli w eksperymencie, w którym dokonano n obserwacji, sytuacja lub zdarzenie E wystąpi m razy w n obserwacjach, wówczas prawdopodobieństwo eksperymentalne zdarzenia wynosi P (E) = m/n.

Przykład 1 Badanie socjologiczne. Przeprowadzono badanie eksperymentalne mające na celu określenie liczby osób leworęcznych, praworęcznych i osób o jednakowo rozwiniętych obu rękach. Wyniki przedstawiono na wykresie.

a) Oblicz prawdopodobieństwo, że dana osoba jest praworęczna.

b) Określ prawdopodobieństwo, że dana osoba jest leworęczna.

c) Określ prawdopodobieństwo, że dana osoba będzie równie płynnie posługiwać się obiema rękami.

d) W większości turniejów Professional Bowling Association może brać udział maksymalnie 120 graczy. Na podstawie danych z tego eksperymentu ilu graczy może być leworęcznych?

Rozwiązanie

a) Liczba osób praworęcznych wynosi 82, liczba leworęcznych wynosi 17, a liczba osób równie biegle posługujących się obiema rękami wynosi 1. Łączna liczba obserwacji wynosi 100. Zatem prawdopodobieństwo że dana osoba jest praworęczna, to P
P = 82/100, czyli 0,82, czyli 82%.

b) Prawdopodobieństwo, że dana osoba jest leworęczna, wynosi P, gdzie
P = 17/100 lub 0,17 lub 17%.

c) Prawdopodobieństwo, że dana osoba będzie równie płynnie posługiwać się obiema rękami, wynosi P, gdzie
P = 1/100 lub 0,01 lub 1%.

d) 120 meloników, a od (b) możemy spodziewać się, że 17% to osoby leworęczne. Stąd
17% ze 120 = 0,17,120 = 20,4,
czyli możemy spodziewać się, że około 20 graczy będzie leworęcznych.

Przykład 2 Kontrola jakości . Dla producenta bardzo ważne jest utrzymanie jakości swoich produktów na wysokim poziomie. W rzeczywistości firmy zatrudniają inspektorów kontroli jakości, aby zapewnić ten proces. Celem jest wyprodukowanie jak najmniejszej liczby wadliwych produktów. Ponieważ jednak firma produkuje tysiące produktów każdego dnia, nie może sobie pozwolić na testowanie każdego produktu w celu ustalenia, czy jest on wadliwy, czy nie. Aby dowiedzieć się, jaki procent produktów jest wadliwy, firma testuje znacznie mniej produktów.
USDA wymaga, aby 80% nasion sprzedawanych przez hodowców kiełkowało. Aby określić jakość nasion produkowanych przez firmę rolniczą, sadzi się 500 nasion wyprodukowanych. Następnie obliczono, że wykiełkowało 417 nasion.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że ziarno wykiełkuje?

b) Czy nasiona spełniają standardy rządowe?

Rozwiązanie a) Wiemy, że z 500 nasion, które zostały zasiane, wykiełkowało 417. Prawdopodobieństwo kiełkowania nasion P i
P = 417/500 = 0,834, czyli 83,4%.

b) Ponieważ procent wykiełkowanych nasion przekroczył wymagane 80%, nasiona spełniają standardy rządowe.

Przykład 3 Oceny telewizji. Według statystyk w Stanach Zjednoczonych jest 105 500 000 gospodarstw domowych wyposażonych w telewizory. Co tydzień zbierane i przetwarzane są informacje o oglądaniu programów. W ciągu tygodnia 7 815 000 gospodarstw domowych obejrzało hitowy serial komediowy „Wszyscy kochają Raymonda” w CBS, a 8 302 000 gospodarstw domowych obejrzało hitowy serial „Prawo i porządek” w NBC (źródło: Nielsen Media Research). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w danym tygodniu telewizor w jednym gospodarstwie domowym będzie nastawiony na „Wszyscy kochają Raymonda” na „Prawo i porządek”?

Rozwiązanie Prawdopodobieństwo, że telewizor w jednym gospodarstwie domowym jest nastrojony na „Wszyscy kochają Raymonda”, wynosi P i
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Prawdopodobieństwo, że telewizor w gospodarstwie domowym był nastawiony na „Prawo i porządek”, wynosi P, oraz
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Te wartości procentowe nazywane są ocenami.

Prawdopodobieństwo teoretyczne

Załóżmy, że przeprowadzamy eksperyment, taki jak rzucanie monetą lub rzutkami, wyciąganie karty z talii lub testowanie jakości produktów na linii montażowej. Każdy możliwy wynik takiego eksperymentu nazywa się Exodus . Zbiór wszystkich możliwych wyników nazywa się przestrzeń wynikowa . Wydarzenie jest to zbiór wyników, czyli podzbiór przestrzeni wyników.

Przykład 4 Rzucanie rzutkami. Załóżmy, że w eksperymencie z rzucaniem strzałką strzałka trafia w cel. Znajdź każdy z poniższych elementów:

b) Przestrzeń wynikowa

Rozwiązanie
a) Wyniki są następujące: trafienie czarnego (B), trafienie czerwonego (R) i trafienie białego (B).

b) Przestrzeń wyników to (trafienie czarnego, trafienie czerwonego, trafienie białego), co można zapisać po prostu jako (H, K, B).

Przykład 5 Rzucanie kostkami. Kostka to sześcian o sześciu bokach, na każdym z nich znajduje się od jednej do sześciu kropek.

Załóżmy, że rzucamy kostką. Znajdować
a) Wyniki
b) Przestrzeń wynikowa

Rozwiązanie
a) Wyniki: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Pole wyniku (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia E oznaczamy jako P(E). Na przykład „moneta wyląduje na orle” można oznaczyć jako H. Wtedy P(H) oznacza prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje na orle. Kiedy wszystkie wyniki eksperymentu mają to samo prawdopodobieństwo wystąpienia, mówimy, że są one jednakowo prawdopodobne. Aby zobaczyć różnice między zdarzeniami, które są równie prawdopodobne, a zdarzeniami, które nie są, rozważ cel pokazany poniżej.

W przypadku celu A zdarzenia trafienia w czarny, czerwony i biały są równie prawdopodobne, ponieważ sektory czarny, czerwony i biały są takie same. Jednakże dla celu B strefy o tych kolorach nie są takie same, czyli trafienie w nie nie jest jednakowo prawdopodobne.

Zasada P (teoretyczna)

Jeśli zdarzenie E może nastąpić na m sposobów z n możliwych, równie prawdopodobnych wyników z przestrzeni wyników S, to prawdopodobieństwo teoretyczne zdarzeń, P(E) jest
P(E) = m/n.

Przykład 6 Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucisz kostką i wypadnie 3?

Rozwiązanie Na kostce jest 6 jednakowo prawdopodobnych wyników i istnieje tylko jedna możliwość wyrzucenia liczby 3. Wtedy prawdopodobieństwo P będzie wynosić P(3) = 1/6.

Przykład 7 Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby na kostce?

Rozwiązanie Zdarzenie polega na rzuceniu liczby parzystej. Może się to zdarzyć na 3 sposoby (jeśli wyrzucisz 2, 4 lub 6). Liczba równie prawdopodobnych wyników wynosi 6. Wtedy prawdopodobieństwo P (parzyste) = 3/6 lub 1/2.

Posłużymy się wieloma przykładami dotyczącymi standardowej talii 52 kart. Talia składa się z kart pokazanych na poniższym rysunku.

Przykład 8 Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa z dobrze potasowanej talii kart?

Rozwiązanie Wyników jest 52 (liczba kart w talii), są one jednakowo prawdopodobne (jeśli talia jest dobrze potasowana) i są 4 sposoby na wylosowanie asa, więc zgodnie z zasadą P prawdopodobieństwo
P (wylosuj asa) = 4/52 lub 1/13.

Przykład 9 Załóżmy, że bez patrzenia wybieramy jedną kulę z worka, w którym znajdują się 3 kule czerwone i 4 kule zielone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę czerwoną?

Rozwiązanie Istnieje 7 równie prawdopodobnych wyników losowania dowolnej kuli, a ponieważ liczba sposobów wylosowania czerwonej kuli wynosi 3, otrzymujemy
P (wybór czerwonej kuli) = 3/7.

Poniższe stwierdzenia wynikają z Zasady P.

Właściwości prawdopodobieństwa

a) Jeżeli zdarzenie E nie może zaistnieć, to P(E) = 0.
b) Jeśli zdarzenie E jest pewne, to P(E) = 1.
c) Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia E jest liczbą od 0 do 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Na przykład podczas rzutu monetą prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje na krawędzi, ma zerowe prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo, że na monecie wypadnie orzeł lub reszka, wynosi 1.

Przykład 10 Załóżmy, że z talii 52 kart dobieramy 2 karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że oba z nich są szczytami?

Rozwiązanie Liczba n sposobów dobrania 2 kart z dobrze potasowanej talii 52 kart wynosi 52 C 2 . Ponieważ 13 z 52 kart to pik, liczba sposobów wyciągnięcia 2 pik wynosi 13 C 2 . Następnie,
P(wyciąganie 2 pików) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Przykład 11 Załóżmy, że z grupy składającej się z 6 mężczyzn i 4 kobiet zostaną wybrane losowo 3 osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostanie wybrany 1 mężczyzna i 2 kobiety?

Rozwiązanie Liczba sposobów wyboru trzech osób z grupy 10 osób wynosi 10 C 3. Jednego mężczyznę można wybrać na 6 sposobów C 1, a dwie kobiety można wybrać na 4 sposoby C 2. Zgodnie z podstawową zasadą liczenia liczba sposobów wyboru 1 mężczyzny i 2 kobiet wynosi 6 C 1. 4 do 2 . Zatem prawdopodobieństwo, że zostanie wybrany 1 mężczyzna i 2 kobiety, wynosi
P = 6 do 1. 4 do 2 / 10 do 3 = 3/10.

Przykład 12 Rzucanie kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na dwóch kostkach wyrzucimy w sumie 8?

Rozwiązanie Każda kostka ma 6 możliwych wyników. Wyniki są podwajane, co oznacza, że liczby na obu kostkach mogą pojawić się na 6,6 lub 36 możliwych sposobów. (Lepiej, jeśli kostki są różne, powiedzmy, że jedna jest czerwona, a druga niebieska - pomoże to zobrazować wynik.)

Pary liczb, których suma daje 8, pokazano na poniższym rysunku. Istnieje 5 możliwych sposobów uzyskania sumy równej 8, stąd prawdopodobieństwo wynosi 5/36.

W zadaniach Unified State Examination z matematyki występują również bardziej złożone problemy prawdopodobieństwa (niż omówiliśmy w części 1), w których musimy zastosować zasadę dodawania, mnożenia prawdopodobieństw oraz rozróżnić zdarzenia zgodne i niezgodne.

A więc teoria.

Wydarzenia wspólne i niewspólne

Zdarzenia nazywamy niezgodnymi, jeśli wystąpienie jednego z nich wyklucza wystąpienie innych. Oznacza to, że może mieć miejsce tylko jedno konkretne wydarzenie.

Na przykład rzucając kostką, możesz rozróżnić zdarzenia, takie jak zdobycie parzystej liczby punktów i uzyskanie nieparzystej liczby punktów. Te zdarzenia są niezgodne.

Zdarzenia nazywamy łącznymi, jeżeli wystąpienie jednego z nich nie wyklucza wystąpienia drugiego.

Na przykład podczas rzucania kostką można rozróżnić takie zdarzenia, jak wyrzucenie nieparzystej liczby punktów i wyrzucenie liczby punktów będących wielokrotnością trzech. Kiedy wypadnie trójka, mają miejsce oba zdarzenia.

Suma wydarzeń

Suma (lub kombinacja) kilku zdarzeń to zdarzenie polegające na wystąpieniu co najmniej jednego z tych zdarzeń.

W której suma dwóch niezgodnych zdarzeń jest sumą prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Na przykład prawdopodobieństwo zdobycia 5 lub 6 punktów na kostce w jednym rzucie będzie wynosić , ponieważ oba zdarzenia (wyrzucenie 5, wyrzucenie 6) są niespójne, a prawdopodobieństwo wystąpienia jednego lub drugiego zdarzenia oblicza się w następujący sposób:

Prawdopodobieństwo suma dwóch wspólnych wydarzeń równa sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń bez uwzględnienia ich łącznego wystąpienia:

Na przykład w centrum handlowym dwa identyczne automaty sprzedają kawę. Prawdopodobieństwo, że pod koniec dnia w ekspresie zabraknie kawy, wynosi 0,3. Prawdopodobieństwo, że w obu ekspresach zabraknie kawy, wynosi 0,12. Znajdźmy prawdopodobieństwo, że pod koniec dnia kawa skończy się w co najmniej jednym z ekspresów (czyli w jednym, albo drugim, albo obu).

Prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia „w pierwszym ekspresie skończy się kawa” oraz prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia „w drugim ekspresie skończy się kawa” zgodnie z warunkiem wynosi 0,3. Wydarzenia są wspólne.

Prawdopodobieństwo łącznego wystąpienia dwóch pierwszych zdarzeń zgodnie z warunkiem wynosi 0,12.

Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że do końca dnia zabraknie kawy w przynajmniej jednym z ekspresów wynosi

Zdarzenia zależne i niezależne

Dwa zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi, jeśli wystąpienie jednego z nich nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego. W przeciwnym razie zdarzenia A i B nazywane są zależnymi.

Na przykład, gdy rzucono jednocześnie dwiema kostkami, jedna z nich, powiedzmy 1, a druga 5, są niezależnymi zdarzeniami.

Iloczyn prawdopodobieństw

Produktem (lub przecięciem) kilku zdarzeń jest zdarzenie polegające na łącznym wystąpieniu wszystkich tych zdarzeń.

Jeśli wystąpią dwa niezależne wydarzenia A i B z prawdopodobieństwami odpowiednio P(A) i P(B), wówczas prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń A i B w tym samym czasie jest równe iloczynowi prawdopodobieństw:

Na przykład interesuje nas szóstka pojawiająca się na kostce dwa razy z rzędu. Obydwa zdarzenia są niezależne i prawdopodobieństwo wystąpienia każdego z nich oddzielnie wynosi . Prawdopodobieństwo wystąpienia obu tych zdarzeń zostanie obliczone według powyższego wzoru: .

Zobacz wybrane zadania, aby przećwiczyć temat.

Prawdopodobieństwo to stopień (miara względna, ocena ilościowa) możliwości wystąpienia jakiegoś zdarzenia. Kiedy przyczyny rzeczywistego wystąpienia jakiegoś możliwego zdarzenia przeważają nad przyczynami przeciwnymi, wówczas zdarzenie to nazywa się prawdopodobnym, w przeciwnym razie - mało prawdopodobnym lub nieprawdopodobnym. Przewaga powodów pozytywnych nad negatywnymi i odwrotnie może być w różnym stopniu, w wyniku czego prawdopodobieństwo (i nieprawdopodobieństwo) może być większe lub mniejsze. Dlatego prawdopodobieństwo ocenia się często na poziomie jakościowym, zwłaszcza w przypadkach, gdy mniej lub bardziej dokładna ocena ilościowa jest niemożliwa lub niezwykle trudna. Możliwe są różne gradacje „poziomów” prawdopodobieństwa.
Badanie prawdopodobieństwa z matematycznego punktu widzenia stanowi szczególną dyscyplinę – teorię prawdopodobieństwa. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej pojęcie prawdopodobieństwa jest sformalizowane jako liczbowa charakterystyka zdarzenia - miara prawdopodobieństwa (lub jego wartość) - miara zbioru zdarzeń (podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych), przyjmująca wartości od
(\ displaystyle 0)
(\ displaystyle 1)
Oznaczający
(\ displaystyle 1)
Odpowiada wiarygodnemu wydarzeniu. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0 (zazwyczaj nie zawsze jest odwrotnie). Jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia wynosi
(\ displaystyle p)
Wtedy prawdopodobieństwo jego niewystąpienia jest równe
(\ displaystyle 1-p)
W szczególności prawdopodobieństwo
(\ displaystyle 1/2)
Oznacza równe prawdopodobieństwo wystąpienia i niewystąpienia zdarzenia.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa opiera się na koncepcji równego prawdopodobieństwa wyników. Prawdopodobieństwo to stosunek liczby wyników korzystnych dla danego zdarzenia do całkowitej liczby równie możliwych wyników. Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia orła lub reszki w losowym rzucie monetą wynosi 1/2, jeśli założymy, że występują tylko te dwie możliwości i że są one jednakowo możliwe. Tę klasyczną „definicję” prawdopodobieństwa można uogólnić na przypadek nieskończonej liczby możliwych wartości – na przykład, jeśli jakieś zdarzenie może wystąpić z równym prawdopodobieństwem w dowolnym punkcie (liczba punktów jest nieskończona) jakiegoś ograniczonego obszaru przestrzeni (płaszczyzny), wówczas prawdopodobieństwo, że nastąpi to w jakiejś części tego możliwego obszaru, jest równe stosunkowi objętości (powierzchni) tej części do objętości (powierzchni) obszaru wszystkich możliwych punktów.
Empiryczna „definicja” prawdopodobieństwa związana jest z częstotliwością zdarzenia, wychodząc z założenia, że przy odpowiednio dużej liczbie prób częstotliwość powinna zmierzać do obiektywnego stopnia możliwości wystąpienia tego zdarzenia. We współczesnym ujęciu teorii prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo jest definiowane aksjomatycznie, jako szczególny przypadek abstrakcyjnej teorii miary ustalonej. Jednakże łącznikiem miary abstrakcyjnej z prawdopodobieństwem, które wyraża stopień możliwości wystąpienia zdarzenia, jest właśnie częstotliwość jego obserwacji.
Probabilistyczny opis niektórych zjawisk stał się powszechny we współczesnej nauce, zwłaszcza w ekonometrii, fizyce statystycznej układów makroskopowych (termodynamicznych), gdzie nawet w przypadku klasycznego deterministycznego opisu ruchu cząstek, deterministyczny opis całego układu cząstek nie wydaje się praktycznie możliwe ani właściwe. W fizyce kwantowej opisane procesy same w sobie mają charakter probabilistyczny.

Co to jest prawdopodobieństwo?

Gdy po raz pierwszy spotkałem się z tym terminem, nie zrozumiałem, co to jest. Dlatego postaram się to jasno wytłumaczyć.

Prawdopodobieństwo to szansa, że zdarzenie, którego pragniemy, nastąpi.

Na przykład zdecydowałeś się pójść do domu przyjaciela, pamiętasz wejście, a nawet piętro, na którym mieszka. Ale zapomniałem numeru i lokalizacji mieszkania. A teraz stoisz na klatce schodowej, a przed tobą są drzwi do wyboru.

Jaka jest szansa (prawdopodobieństwo), że jeśli jako pierwszy zadzwonisz do drzwi, Twój znajomy otworzy Ci drzwi? Są tylko mieszkania, a znajomy mieszka tylko za jednym z nich. Z równymi szansami możemy wybrać dowolne drzwi.

Ale jaka jest ta szansa?

Drzwi, właściwe drzwi. Prawdopodobieństwo zgadnięcia po pierwszym dzwonku do drzwi: . Oznacza to, że raz na trzy zgadniesz dokładnie.

Chcemy wiedzieć, dzwoniąc raz, jak często będziemy odgadywać drzwi? Przyjrzyjmy się wszystkim opcjom:

Nazwałeś 1 drzwi
Nazwałeś 2 drzwi
Nazwałeś 3 drzwi

Przyjrzyjmy się teraz wszystkim opcjom, gdzie może być przyjaciel:

A. Za 1 drzwi
B. Za 2 drzwi
V. Za 3 drzwi

Porównajmy wszystkie opcje w formie tabeli. Znaczek oznacza opcje, gdy Twój wybór pokrywa się z lokalizacją znajomego, krzyżyk – gdy nie pasuje.

Jak widzisz wszystko Może opcje lokalizację Twojego znajomego i wybór, do których drzwi ma zadzwonić.

A korzystne dla wszystkich rezultaty . Oznacza to, że raz zgadniesz, dzwoniąc raz do drzwi, tj. .

Jest to prawdopodobieństwo – stosunek korzystnego wyniku (gdy Twój wybór pokrywa się z lokalizacją Twojego znajomego) do liczby możliwych zdarzeń.

Definicja jest formułą. Prawdopodobieństwo jest zwykle oznaczane przez p, dlatego:

Napisanie takiego wzoru nie jest zbyt wygodne, więc weźmiemy za - liczbę korzystnych wyników, a za - całkowitą liczbę wyników.

Prawdopodobieństwo można zapisać w procentach; aby to zrobić, wynik należy pomnożyć przez:

Słowo „wyniki” prawdopodobnie przykuło Twoją uwagę. Ponieważ matematycy nazywają różne działania (w naszym przypadku taką akcją jest dzwonek do drzwi) eksperymentami, wynik takich eksperymentów nazywa się zwykle wynikiem.

Cóż, są korzystne i niekorzystne skutki.

Wróćmy do naszego przykładu. Załóżmy, że zadzwoniliśmy do jednych z drzwi, ale otworzył nam je nieznajomy. Nie zgadliśmy prawidłowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli zadzwonimy do pozostałych drzwi, nasz przyjaciel nam je otworzy?

Jeśli tak myślałeś, to jest to błąd. Rozwiążmy to.

Zostało nam dwoje drzwi. Mamy więc możliwe kroki:

1) Zadzwoń 1 drzwi
2) Zadzwoń 2 drzwi

Kolega mimo wszystko na pewno stoi za jednym z nich (w końcu to nie on stał za tym, do którego dzwoniliśmy):

a) Przyjaciel dla 1 drzwi
b) Przyjaciel dla 2 drzwi

Narysujmy jeszcze raz tabelę:

Jak widać, istnieją tylko opcje, z których są korzystne. Oznacza to, że prawdopodobieństwo jest równe.

Dlaczego nie?

Sytuacja, którą rozważaliśmy jest następująca przykład zdarzeń zależnych. Pierwsze zdarzenie to pierwszy dzwonek do drzwi, drugie zdarzenie to drugi dzwonek do drzwi.

Nazywa się je zależnymi, ponieważ wpływają na następujące działania. W końcu, gdyby po pierwszym dzwonku do drzwi otworzył znajomy, jakie byłoby prawdopodobieństwo, że stał za którymś z pozostałych dwóch? Prawidłowy, .

Ale jeśli istnieją zdarzenia zależne, to muszą też istnieć niezależny? To prawda, zdarzają się.

Podręcznikowym przykładem jest rzut monetą.

Rzuć raz monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie na przykład reszka? Zgadza się – bo możliwości są wszystkie (albo reszka, albo reszka, pomijamy prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje na jej krawędzi), ale tylko nam to odpowiada.
Ale przyszło do głowy. OK, wrzućmy to jeszcze raz. Jakie jest teraz prawdopodobieństwo wyrzucenia orła? Nic się nie zmieniło, wszystko jest takie samo. Ile opcji? Dwa. Z ilu jesteśmy zadowoleni? Jeden.

I niech to wyjdzie na jaw co najmniej tysiąc razy z rzędu. Prawdopodobieństwo zdobycia orła na raz będzie takie samo. Zawsze są opcje i to korzystne.

Łatwo jest odróżnić zdarzenia zależne od niezależnych:

Jeśli eksperyment zostanie przeprowadzony raz (raz rzuca monetą, raz dzwoni do drzwi itp.), to zdarzenia są zawsze niezależne.
Jeśli doświadczenie przeprowadza się kilka razy (raz rzucono monetą, kilka razy zadzwonił dzwonek do drzwi), to pierwsze zdarzenie jest zawsze niezależne. A potem, jeśli zmieni się liczba korzystnych lub liczba wszystkich wyników, to zdarzenia są zależne, a jeśli nie, to są niezależne.

Poćwiczmy trochę określanie prawdopodobieństwa.

Przykład 1.

Moneta rzucana jest dwa razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł dwa razy z rzędu?

Rozwiązanie:

Rozważmy wszystkie możliwe opcje:

Orzeł-orzeł
Głowy-ogony
Ogony-głowy
Ogony-ogony

Jak widać są tylko opcje. Z nich jesteśmy tylko zadowoleni. Oznacza to, że prawdopodobieństwo:

Jeśli warunek wymaga po prostu znalezienia prawdopodobieństwa, odpowiedź należy podać w postaci ułamka dziesiętnego. Gdyby było określone, że odpowiedź ma być podana w procentach, to mnożylibyśmy przez.

Odpowiedź:

Przykład 2.

W pudełku czekoladek wszystkie czekoladki są zapakowane w to samo opakowanie. Jednak ze słodyczy - z orzechami, z koniakiem, z wiśniami, z karmelem i z nugatem.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy jednego cukierka i otrzymamy cukierka z orzechami? Podaj odpowiedź w procentach.

Rozwiązanie:

Ile jest możliwych wyników? .

Oznacza to, że jeśli weźmiesz jeden cukierek, będzie to jeden z tych dostępnych w pudełku.

Ile korzystnych wyników?

Ponieważ w pudełku znajdują się wyłącznie czekoladki z orzechami.

Odpowiedź:

Przykład 3.

W pudełku z balonami. z czego są białe i czarne.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę białą?
Do pudełka dodaliśmy więcej czarnych kulek. Jakie jest teraz prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli?

Rozwiązanie:

a) W pudełku znajdują się tylko kule. Spośród nich są białe.

Prawdopodobieństwo wynosi:

b) Teraz w pudełku jest więcej piłek. I pozostało tyle samo białych - .

Odpowiedź:

Całkowite prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń jest równe ().

Załóżmy, że w pudełku znajdują się czerwone i zielone kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy czerwoną kulę? Zielona piłka? Czerwona czy zielona piłka?

Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli

Zielona kula:

Czerwona lub zielona kula:

Jak widać suma wszystkich możliwych zdarzeń jest równa (). Zrozumienie tego punktu pomoże Ci rozwiązać wiele problemów.

Przykład 4.

W pudełku znajdują się znaczniki: zielony, czerwony, niebieski, żółty, czarny.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie zostanie wylosowany czerwony znacznik?

Rozwiązanie:

Policzmy liczbę korzystne wyniki.

NIE jest to czerwony znacznik, to znaczy zielony, niebieski, żółty lub czarny.

Prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń. A prawdopodobieństwo zdarzeń, które uważamy za niekorzystne (kiedy wyjmiemy czerwony znacznik) wynosi .

Zatem prawdopodobieństwo wyciągnięcia NIE czerwonego pisaka wynosi .

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, jest równe minus prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi.

Zasada mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych

Wiesz już, czym są zdarzenia niezależne.

A co, jeśli chcesz znaleźć prawdopodobieństwo, że dwa (lub więcej) niezależnych zdarzeń wystąpią z rzędu?

Powiedzmy, że chcemy wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli rzucimy raz monetą, zobaczymy reszkę dwa razy?

Już rozważaliśmy - .

A co jeśli rzucimy raz monetą? Jakie jest prawdopodobieństwo, że zobaczysz orła dwa razy z rzędu?

Całkowite możliwe opcje:

Orzeł-orzeł-orzeł
Głowy, głowy, ogony
Głowy-ogony-głowy
Głowy-ogony-ogony
Ogony-głowy-głowy
Ogony-głowy-ogony
Ogony-ogony-głowy
Ogony-ogony-ogony

Nie wiem jak Wy, ale ja kilka razy popełniłem błędy podczas tworzenia tej listy. Wow! I tylko opcja (pierwsza) nam odpowiada.

W przypadku 5 rzutów możesz samodzielnie sporządzić listę możliwych wyników. Ale matematycy nie są tak pracowici jak ty.

Dlatego najpierw zauważyli, a następnie udowodnili, że prawdopodobieństwo pewnego ciągu niezależnych zdarzeń za każdym razem maleje o prawdopodobieństwo jednego zdarzenia.

Innymi słowy,

Spójrzmy na przykład tej samej nieszczęsnej monety.

Prawdopodobieństwo zdobycia orła w wyzwaniu? . Teraz rzucamy raz monetą.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł z rzędu?

Ta reguła działa nie tylko wtedy, gdy jesteśmy proszeni o znalezienie prawdopodobieństwa wystąpienia tego samego zdarzenia kilka razy z rzędu.

Gdybyśmy chcieli znaleźć sekwencję OGONY-GŁÓWKI-OGONY dla kolejnych rzutów, zrobilibyśmy to samo.

Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi - , orła - .

Prawdopodobieństwo otrzymania sekwencji OGONY-GŁOWY-OGONY-OGONY:

Możesz to sprawdzić samodzielnie, tworząc tabelę.

Zasada dodawania prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych.

Więc przestań! Nowa definicja.

Rozwiążmy to. Weźmy naszą zniszczoną monetę i rzućmy ją raz.
Możliwe opcje:

Orzeł-orzeł-orzeł
Głowy, głowy, ogony
Głowy-ogony-głowy
Głowy-ogony-ogony
Ogony-głowy-głowy
Ogony-głowy-ogony
Ogony-ogony-głowy
Ogony-ogony-ogony

Zatem zdarzenia niezgodne to pewna, zadana sekwencja zdarzeń. - są to zdarzenia niezgodne.

Jeśli chcemy określić, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch (lub więcej) niezgodnych zdarzeń, to dodajemy prawdopodobieństwa tych zdarzeń.

Musisz zrozumieć, że orzeł lub reszka to dwa niezależne zdarzenia.

Jeżeli chcemy wyznaczyć prawdopodobieństwo wystąpienia ciągu (lub innego) wówczas stosujemy zasadę mnożenia prawdopodobieństw.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie wypadnie reszka, a w drugim i trzecim reszcie?

Ale jeśli chcemy wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania jednego z kilku ciągów, gdy np. wypadnie reszka dokładnie raz, tj. opcji, a następnie musimy dodać prawdopodobieństwa tych ciągów.

Wszystkie opcje nam odpowiadają.

To samo możemy uzyskać, dodając prawdopodobieństwa wystąpienia każdego ciągu:

Zatem prawdopodobieństwa dodajemy, gdy chcemy określić prawdopodobieństwo pewnych, niespójnych sekwencji zdarzeń.

Istnieje wspaniała zasada, która pomoże Ci uniknąć pomylenia, kiedy mnożyć, a kiedy dodawać:

Wróćmy do przykładu, w którym rzuciliśmy raz monetą i chcieliśmy poznać prawdopodobieństwo, że raz zobaczymy reszkę.
Co się stanie?

Powinno wypaść:
(reszki ORAZ ogony ORAZ ogony) LUB (ogony ORAZ głowy ORAZ ogony) LUB (ogony ORAZ ogony ORAZ głowy).
Oto jak się okazuje:

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 5.

W pudełku znajdują się ołówki. czerwony, zielony, pomarańczowy, żółty i czarny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy czerwony lub zielony ołówek?

Rozwiązanie:

Co się stanie? Musimy ciągnąć (czerwony LUB zielony).

Teraz jest jasne, zsumujmy prawdopodobieństwa tych zdarzeń:

Odpowiedź:

Przykład 6.

Jeśli rzucimy kostką dwa razy, jakie jest prawdopodobieństwo, że w sumie wypadnie 8?

Rozwiązanie.

Jak możemy zdobyć punkty?

(i) lub (i) lub (i) lub (i) lub (i).

Prawdopodobieństwo wylosowania jednej (dowolnej) twarzy wynosi .

Obliczamy prawdopodobieństwo:

Odpowiedź:

Szkolenie.

Myślę, że teraz rozumiesz, kiedy należy obliczyć prawdopodobieństwa, kiedy je dodać, a kiedy pomnożyć. Czyż nie? Poćwiczmy trochę.

Zadania:

Weźmy talię kart zawierającą karty zawierające pik, kier, 13 trefl i 13 karo. Od do Asa w każdym kolorze.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania trefl w rzędzie (pierwszą wyciągniętą kartę wkładamy z powrotem do talii i tasujemy)?
Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej karty (pików lub trefl)?
Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania figury (walet, dama, król lub as)?
Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch obrazków pod rząd (usuwamy pierwszą wyciągniętą kartę z talii)?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy dwóch kartach uda się zebrać kombinację (walet, dama lub król) i as? Kolejność losowania kart nie ma znaczenia.

Odpowiedzi:

W talii kart każdej wartości oznacza to:
Zdarzenia są zależne, gdyż po wyciągnięciu pierwszej karty liczba kart w talii zmniejszyła się (podobnie jak liczba „obrazków”). W talii początkowo znajduje się ogółem waletów, dam, królów i asów, co oznacza prawdopodobieństwo wylosowania „obrazka” za pomocą pierwszej karty:
Ponieważ usuwamy pierwszą kartę z talii, oznacza to, że w talii pozostały już karty, w tym obrazki. Prawdopodobieństwo wylosowania obrazka drugą kartą:
Ponieważ interesuje nas sytuacja, w której wyjmujemy z talii „obrazek” ORAZ „obrazek”, musimy pomnożyć prawdopodobieństwa:
Odpowiedź:
Po wyciągnięciu pierwszej karty liczba kart w talii będzie się zmniejszać. Zatem odpowiadają nam dwie opcje:
1) Pierwsza karta to as, druga to walet, dama lub król
2) Pierwszą kartą wyciągamy walet, damę lub króla, a drugą asa. (as i (walet, dama lub król)) lub ((walet, dama lub król) i as). Nie zapomnij o zmniejszeniu liczby kart w talii!

Jeśli udało Ci się samodzielnie rozwiązać wszystkie problemy, to świetnie! Teraz rozwiążesz problemy z teorii prawdopodobieństwa na egzaminie Unified State Exam jak szalone!

TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA. ŚREDNI POZIOM

Spójrzmy na przykład. Powiedzmy, że rzucamy kostką. Co to za kość, wiesz? To jest to, co nazywają sześcianem z liczbami na ścianach. Ile twarzy, tyle liczb: od do ilu? Zanim.

Więc rzucamy kostką i chcemy, żeby wypadło lub. I rozumiemy to.

W teorii prawdopodobieństwa mówią, co się stało pomyślne wydarzenie(nie mylić z zamożnym).

Gdyby tak się stało, wydarzenie byłoby również korzystne. W sumie mogą wydarzyć się tylko dwa sprzyjające zdarzenia.

Ile jest niekorzystnych? Ponieważ możliwych zdarzeń jest łącznie, oznacza to, że zdarzeniami niekorzystnymi są zdarzenia (to znaczy, jeśli wypadnie lub).

Definicja:

Prawdopodobieństwo to stosunek liczby korzystnych zdarzeń do liczby wszystkich możliwych zdarzeń. Oznacza to, że prawdopodobieństwo pokazuje, jaka część wszystkich możliwych zdarzeń jest korzystna.

Oznaczają prawdopodobieństwo literą łacińską (najwyraźniej od angielskiego słowa prawdopodobieństwo - prawdopodobieństwo).

Zwyczajowo mierzy się prawdopodobieństwo w procentach (patrz tematy i). Aby to zrobić, należy pomnożyć wartość prawdopodobieństwa. W przykładzie z kostką prawdopodobieństwo.

I procentowo: .

Przykłady (zdecyduj sam):

Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia orła podczas rzucania monetą? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylądują głowy?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie kostką wypadnie liczba parzysta? Który jest dziwny?
W pudełku prostych, niebieskich i czerwonych ołówków. Losujemy jeden ołówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafimy na prostą?

Rozwiązania:

Ile jest opcji? Głowy i reszki – tylko dwie. Ile z nich jest korzystnych? Tylko jeden jest orłem. Zatem prawdopodobieństwo
Podobnie jest z ogonami: .
Łączna liczba opcji: (ile boków ma sześcian, tyle różnych opcji). Korzystne: (to wszystko są liczby parzyste:).
Prawdopodobieństwo. Oczywiście to samo dotyczy liczb nieparzystych.
Całkowity: . Korzystne: . Prawdopodobieństwo: .

Całkowite prawdopodobieństwo

Wszystkie ołówki w pudełku są zielone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujesz czerwony ołówek? Nie ma szans: prawdopodobieństwo (w końcu sprzyjające zdarzenia -).

Takie zdarzenie nazywa się niemożliwym.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujesz zielony ołówek? Zdarzeń sprzyjających jest dokładnie tyle samo, ile jest zdarzeń ogółem (wszystkie zdarzenia są sprzyjające). Zatem prawdopodobieństwo jest równe lub.

Takie zdarzenie nazywa się niezawodnym.

Jeśli w pudełku znajdują się zielone i czerwone ołówki, jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kolor zielony lub czerwony? Jeszcze raz. Zauważmy to: prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonego jest równe i czerwonego.

W sumie prawdopodobieństwa te są dokładnie równe. To jest, suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych zdarzeń jest równa lub.

Przykład:

W pudełku ołówków są wśród nich niebieski, czerwony, zielony, gładki, żółty, a reszta jest pomarańczowa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie wylosujemy zielonego?

Rozwiązanie:

Pamiętamy, że wszystkie prawdopodobieństwa sumują się. A prawdopodobieństwo, że zostaniesz zielony, jest równe. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że nie zostanie wylosowany kolor zielony, jest równe.

Zapamiętaj tę sztuczkę: prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, jest równe minus prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi.

Zdarzenia niezależne i zasada mnożenia

Rzucasz raz monetą i chcesz, żeby za każdym razem wypadła reszka. Jakie jest prawdopodobieństwo tego?

Przeanalizujmy wszystkie możliwe opcje i określmy, ile ich jest:

Głowy-głowy, ogony-głowy, głowy-ogony, ogony-ogony. Co jeszcze?

Całkowite opcje. Spośród nich tylko jeden nam odpowiada: Orzeł-Orzeł. W sumie prawdopodobieństwo jest równe.

Cienki. Teraz rzućmy raz monetą. Wykonaj obliczenia samodzielnie. Stało się? (odpowiedź).

Być może zauważyłeś, że wraz z dodaniem każdego kolejnego rzutu prawdopodobieństwo maleje o połowę. Ogólna zasada nazywa się reguła mnożenia:

Prawdopodobieństwa niezależnych zdarzeń zmieniają się.

Czym są wydarzenia niezależne? Wszystko jest logiczne: są to te, które nie są od siebie zależne. Przykładowo, gdy rzucamy monetą kilka razy, za każdym razem wykonywany jest nowy rzut, którego wynik nie zależy od wszystkich poprzednich rzutów. Równie łatwo możemy wrzucić dwie różne monety jednocześnie.

Więcej przykładów:

Kostką rzucamy dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafimy oba razy?
Moneta jest rzucana raz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wypadnie orzeł, a potem reszka dwukrotnie?
Gracz rzuca dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma liczb na nich będzie równa?

Odpowiedzi:

Zdarzenia są niezależne, co oznacza, że działa zasada mnożenia: .
Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła jest równe. Prawdopodobieństwo reszki jest takie samo. Zwielokrotniać:
12 można uzyskać tylko wtedy, gdy wyrzuci się dwa -ki: .

Niekompatybilne zdarzenia i zasada dodawania

Zdarzenia, które uzupełniają się aż do pełnego prawdopodobieństwa, nazywane są niekompatybilnymi. Jak sama nazwa wskazuje, nie mogą one wystąpić jednocześnie. Na przykład, jeśli rzucimy monetą, może wypaść reszka lub reszka.

Przykład.

W pudełku ołówków są wśród nich niebieski, czerwony, zielony, gładki, żółty, a reszta jest pomarańczowa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kolor zielony lub czerwony?

Rozwiązanie .

Prawdopodobieństwo wylosowania zielonego ołówka jest równe. Czerwony - .

W sumie korzystne wydarzenia: zielony + czerwony. Oznacza to, że prawdopodobieństwo wylosowania koloru zielonego lub czerwonego jest równe.

To samo prawdopodobieństwo można przedstawić w postaci: .

Oto zasada dodawania: prawdopodobieństwa zdarzeń niezgodnych sumują się.

Problemy typu mieszanego

Przykład.

Moneta rzucana jest dwa razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyniki rzutów będą inne?

Rozwiązanie .

Oznacza to, że jeśli pierwszym wynikiem będą reszki, drugim muszą być reszki i odwrotnie. Okazuje się, że istnieją dwie pary niezależnych zdarzeń i pary te są ze sobą niezgodne. Jak nie pomylić się, gdzie pomnożyć, a gdzie dodać.

Na takie sytuacje jest prosta zasada. Spróbuj opisać, co się wydarzy, używając spójników „AND” lub „OR”. Na przykład w tym przypadku:

Powinien pojawić się (reszki i reszki) lub (reszki i reszki).

Tam, gdzie jest spójnik „i”, nastąpi mnożenie, a tam, gdzie jest „lub”, nastąpi dodawanie:

Spróbuj sam:

Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli rzucimy monetą dwa razy, moneta wyląduje po tej samej stronie za każdym razem?
Kostką rzucamy dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdobycia łącznie punktów?

Rozwiązania:

(Opadły głowy i opadły ogony) lub (opadły ogony i opadły ogony): .
Jakie są opcje? I. Następnie:
Upuszczone (i) lub (i) lub (i): .

Inny przykład:

Rzuć raz monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł pojawi się przynajmniej raz?

Rozwiązanie:

Och, jak mi się nie chce przeglądać opcji... Głowy-ogony-ogony, Orle-głowy-ogony... Ale nie ma takiej potrzeby! Pamiętajmy o prawdopodobieństwie całkowitym. Pamiętasz? Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł nigdy nie wypadnie? To proste: głowy latają cały czas, dlatego.

TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Prawdopodobieństwo to stosunek liczby korzystnych zdarzeń do liczby wszystkich możliwych zdarzeń.

Niezależne wydarzenia

Dwa zdarzenia są niezależne, jeśli wystąpienie jednego nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego.

Całkowite prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń jest równe ().

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, jest równe minus prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi.

Zasada mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych

Prawdopodobieństwo określonej sekwencji niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw każdego zdarzenia

Niezgodne zdarzenia

Zdarzenia niezgodne to takie, które w wyniku eksperymentu nie mogą wystąpić jednocześnie. Szereg niekompatybilnych zdarzeń tworzy kompletną grupę zdarzeń.

Prawdopodobieństwa niezgodnych zdarzeń sumują się.

Po opisaniu co powinno się wydarzyć za pomocą spójników „AND” lub „OR”, zamiast „AND” stawiamy znak mnożenia, a zamiast „OR” znak dodawania.

Zostań uczniem YouClever,

Przygotuj się do egzaminu Unified State Exam lub Unified State Exam z matematyki,

A także uzyskaj dostęp do podręcznika YouClever bez ograniczeń...