Znajdź odległość wektora od płaszczyzny. Równanie płaszczyzny normalnej

, Konkurs „Prezentacja na lekcję”

Klasa: 11

Prezentacja na lekcję

Powrót do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele:

• uogólnianie i systematyzacja wiedzy i umiejętności uczniów;
• rozwój umiejętności analizowania, porównywania, wyciągania wniosków.

Sprzęt:

• projektor multimedialny;
• komputer;
• arkusze z tekstami problemowymi

POSTĘPY KLASY

I. Moment organizacyjny

II. Etap aktualizacji wiedzy(slajd 2)

Powtarzamy sposób wyznaczania odległości punktu od płaszczyzny

III. Wykład(slajdy 3-15)

W tej lekcji przyjrzymy się różnym sposobom obliczania odległości punktu od płaszczyzny.

Pierwsza metoda: obliczenia krok po kroku

Odległość punktu M od płaszczyzny α:
– równa odległości do płaszczyzny α od dowolnego punktu P leżącego na prostej a, przechodzącej przez punkt M i równoległej do płaszczyzny α;
– jest równa odległości do płaszczyzny α od dowolnego punktu P leżącego na płaszczyźnie β, który przechodzi przez punkt M i jest równoległy do ​​płaszczyzny α.

Rozwiążemy następujące problemy:

№1. W sześcianie A...D 1 znajdź odległość punktu C 1 od płaszczyzny AB 1 C.

Pozostaje obliczyć wartość długości odcinka O 1 N.

№2. W foremnym sześciokątnym pryzmacie A...F 1, którego wszystkie krawędzie są równe 1, znajdź odległość punktu A od płaszczyzny DEA 1.

Następna metoda: metoda objętościowa.

Jeżeli objętość piramidy ABCM jest równa V, to odległość punktu M od płaszczyzny α zawierającej ∆ABC oblicza się ze wzoru ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Rozwiązując problemy, używamy równości objętości jednej figury, wyrażonej na dwa różne sposoby.

Rozwiążmy następujący problem:

№3. Krawędź AD ostrosłupa DABC jest prostopadła do płaszczyzny podstawy ABC. Znajdź odległość A od płaszczyzny przechodzącej przez środki krawędzi AB, AC i AD, jeżeli.

Podczas rozwiązywania problemów metoda współrzędnych odległość punktu M od płaszczyzny α można obliczyć ze wzoru ρ(M; α) = , gdzie M(x 0; y 0; z 0), a płaszczyzna jest dana równaniem ax + by + cz + d = 0

Rozwiążmy następujący problem:

№4. W sześcianie jednostkowym A...D 1 znajdź odległość punktu A 1 od płaszczyzny BDC 1.

Wprowadźmy układ współrzędnych z początkiem w punkcie A, oś y będzie przebiegać wzdłuż krawędzi AB, oś x wzdłuż krawędzi AD, a oś z wzdłuż krawędzi AA 1. Następnie współrzędne punktów B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Utwórzmy równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez punkty B, D, C 1.

Wtedy – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Zatem ρ =

Następującą metodą, którą można zastosować do rozwiązywania problemów tego typu, jest sposób rozwiązywania problemów.

Zastosowanie tej metody polega na wykorzystaniu znanych problemów referencyjnych, które formułuje się w postaci twierdzeń.

Rozwiążmy następujący problem:

№5. W sześcianie jednostkowym A...D 1 znajdź odległość punktu D 1 od płaszczyzny AB 1 C.

Rozważmy aplikację metoda wektorowa.

№6. W sześcianie jednostkowym A...D 1 znajdź odległość punktu A 1 od płaszczyzny BDC 1.

Przyjrzeliśmy się więc różnym metodom, które można zastosować do rozwiązania tego typu problemu. Wybór tej lub innej metody zależy od konkretnego zadania i Twoich preferencji.

IV. Praca grupowa

Spróbuj rozwiązać problem na różne sposoby.

№1. Krawędź sześcianu A...D 1 jest równa . Znajdź odległość wierzchołka C od płaszczyzny BDC 1.

№2. W czworościanie foremnym ABCD z krawędzią znajdź odległość punktu A od płaszczyzny BDC

№3. W foremnym trójkątnym pryzmacie ABCA 1 B 1 C 1, którego wszystkie krawędzie są równe 1, znajdź odległość od A do płaszczyzny BCA 1.

№4. W regularnej czworobocznej piramidzie SABCD, której wszystkie krawędzie są równe 1, znajdź odległość od A do płaszczyzny SCD.

V. Podsumowanie lekcji, praca domowa, refleksja

ZADANIA C2 JEDNOSTKOWEGO EGZAMINU Z MATEMATYKI DO WYZNACZANIA ODLEGŁOŚCI OD PUNKTU DO PŁASZCZYZNY

Kulikova Anastasia Yurievna

Student V roku Wydziału Matematyki. analiza, algebra i geometria EI KFU, Federacja Rosyjska, Republika Tatarstanu, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

promotor naukowy, dr hab. pe. Sciences, profesor nadzwyczajny EI KFU, Federacja Rosyjska, Republika Tatarstanu, Elabuga

W ostatnich latach w zadaniach Unified State Examination z matematyki pojawiły się zadania dotyczące obliczania odległości punktu od płaszczyzny. W tym artykule na przykładzie jednego problemu rozważono różne metody wyznaczania odległości punktu od płaszczyzny. Do rozwiązania różnych problemów można zastosować najbardziej odpowiednią metodę. Po rozwiązaniu problemu jedną metodą można sprawdzić poprawność wyniku inną metodą.

Definicja. Odległość punktu od płaszczyzny niezawierającej tego punktu to długość odcinka prostopadłego poprowadzonego od tego punktu do danej płaszczyzny.

Zadanie. Biorąc pod uwagę prostokątny równoległościan ABZDA 1 B 1 C 1 D 1 z bokami AB=2, PNE.=4, AA 1 = 6. Znajdź odległość od punktu D do samolotu ACD 1 .

1 sposób. Za pomocą definicja. Znajdź odległość r( D, ACD 1) z pkt D do samolotu ACD 1 (ryc. 1).

Rysunek 1. Pierwsza metoda

Przeprowadźmy D.H.⊥AC, zatem z twierdzenia o trzech prostopadłych D 1 H⊥AC I (DD 1 H)⊥AC. Przeprowadźmy bezpośredni DT prostopadły D 1 H. Prosty DT leży w samolocie DD 1 H, stąd DT⊥AC. Stąd, DT⊥ACD 1.

ADC znajdźmy przeciwprostokątną AC i wysokość D.H.

Z trójkąta prostokątnego D 1 D.H. znajdźmy przeciwprostokątną D 1 H i wysokość DT

Odpowiedź: .

Metoda 2.Metoda objętościowa (użycie piramidy pomocniczej). Problem tego typu można sprowadzić do problemu obliczania wysokości ostrosłupa, gdzie wysokość ostrosłupa jest wymaganą odległością punktu od płaszczyzny. Udowodnij, że ta wysokość jest wymaganą odległością; znajdź objętość tej piramidy na dwa sposoby i wyraź tę wysokość.

Należy pamiętać, że przy tej metodzie nie ma potrzeby konstruowania prostopadłej z danego punktu do danej płaszczyzny.

Prostopadłościan to równoległościan, którego wszystkie ściany są prostokątami.

AB=płyta CD=2, PNE.=OGŁOSZENIE=4, AA 1 =6.

Wymaganą odległością będzie wysokość H piramidy ACD 1 D, obniżony od góry D na bazie ACD 1 (ryc. 2).

Obliczmy objętość piramidy ACD 1 D dwie drogi.

Obliczając, w pierwszej kolejności przyjmujemy ∆ jako podstawę ACD 1 wtedy

Obliczając w drugi sposób, za podstawę przyjmujemy ∆ ACD, Następnie

Przyrównajmy prawe strony dwóch ostatnich równości i otrzymajmy

Rysunek 2. Druga metoda

Z trójkątów prostokątnych ACD, DODAĆ 1 , CDD Znajdź przeciwprostokątną, korzystając z twierdzenia Pitagorasa

ACD

Oblicz pole trójkąta ACD 1 korzystając ze wzoru Herona

Odpowiedź: .

3 sposoby. Metoda współrzędnych.

Niech zostanie podany punkt M(X 0 ,y 0 ,z 0) i płaszczyzna α , dane równaniem topór+przez+cz+D=0 w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych. Odległość od punktu M do płaszczyzny α można obliczyć ze wzoru:

Wprowadźmy układ współrzędnych (ryc. 3). Początek współrzędnych punktu W;

Prosty AB- oś X, prosty Słońce- oś y, prosty nocleg ze śniadaniem 1 - oś z.

Rysunek 3. Trzecia metoda

B(0,0,0), A(2,0,0), Z(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Pozwalać Ax+przez+ cz+ D=0 – równanie płaszczyzny ACD 1. Podstawiając do niego współrzędne punktów A, C, D 1 otrzymujemy:

Równanie płaszczyzny ACD 1 przyjmie formę

Odpowiedź: .

4 sposób. Metoda wektorowa.

Przedstawmy podstawę (ryc. 4), .

Rysunek 4. Czwarta metoda

Rozważmy pewną płaszczyznę π i dowolny punkt M 0 w przestrzeni. Wybierzmy samolot jednostkowy wektor normalny n z początek w pewnym punkcie M 1 ∈ π i niech p(M 0 , π) będzie odległością punktu M 0 od płaszczyzny π. Następnie (ryc. 5.5)

р(М 0,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5,8)

od |n| = 1.

Jeżeli podana jest płaszczyzna π prostokątny układ współrzędnych z jego ogólnym równaniem Ax + By + Cz + D = 0, to jego wektor normalny jest wektorem o współrzędnych (A; B; C) i możemy wybrać

Niech (x 0 ; y 0 ; z 0) i (x 1 ; y 1 ; z 1) będą współrzędnymi punktów M 0 i M 1 . Wtedy zachodzi równość Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, ponieważ punkt M 1 należy do płaszczyzny i można znaleźć współrzędne wektora M 1 M 0: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1; z 0 -z 1). Nagranie produkt skalarny nM 1 M 0 w formie współrzędnych i przekształcając (5.8), otrzymujemy

ponieważ Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Zatem aby obliczyć odległość punktu od płaszczyzny należy podstawić współrzędne punktu do ogólnego równania płaszczyzny, a następnie podzielić wartość bezwzględną wynik za pomocą współczynnika normalizującego równego długości odpowiedniego wektora normalnego.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

W tym artykule mowa o wyznaczaniu odległości punktu od płaszczyzny. Przeanalizujmy to za pomocą metody współrzędnych, która pozwoli nam znaleźć odległość od danego punktu w przestrzeni trójwymiarowej. Aby to wzmocnić, spójrzmy na przykłady kilku zadań.

Odległość punktu od płaszczyzny wyznacza się, korzystając ze znanej odległości punktu od punktu, gdzie jedna z nich jest podana, a druga jest rzutem na daną płaszczyznę.

Jeżeli w przestrzeni określony jest punkt M 1 z płaszczyzną χ, to przez ten punkt można poprowadzić linię prostą prostopadłą do płaszczyzny. H 1 jest ich wspólnym punktem przecięcia. Z tego wynika, że ​​odcinek M 1 H 1 jest prostopadłą poprowadzoną z punktu M 1 do płaszczyzny χ, gdzie punkt H 1 jest podstawą prostopadłej.

Definicja 1

Nazywa się odległość danego punktu od podstawy prostopadłej poprowadzonej z danego punktu do danej płaszczyzny.

Definicja może być zapisana w różnych sformułowaniach.

Definicja 2

Odległość punktu od płaszczyzny jest długością prostopadłej poprowadzonej z danego punktu do danej płaszczyzny.

Odległość punktu M 1 od płaszczyzny χ wyznacza się w następujący sposób: odległość punktu M 1 od płaszczyzny χ będzie najmniejsza od danego punktu do dowolnego punktu na płaszczyźnie. Jeśli punkt H 2 znajduje się w płaszczyźnie χ i nie jest równy punktowi H 2, wówczas otrzymujemy trójkąt prostokątny o postaci M 2 H 1 H 2 , który jest prostokątny, gdzie znajduje się noga M 2 H 1, M 2 H 2 – przeciwprostokątna. Oznacza to, że wynika z tego, że M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 uważa się za nachylony, który jest poprowadzony z punktu M 1 do płaszczyzny χ. Mamy, że prostopadła poprowadzona z danego punktu do płaszczyzny jest mniejsza od nachylonej poprowadzonej z punktu do danej płaszczyzny. Przyjrzyjmy się temu przypadkowi na poniższym rysunku.

Odległość punktu od płaszczyzny - teoria, przykłady, rozwiązania

Istnieje wiele problemów geometrycznych, których rozwiązania muszą zawierać odległość punktu od płaszczyzny. Można to rozpoznać na różne sposoby. Aby rozwiązać problem, użyj twierdzenia Pitagorasa lub podobieństwa trójkątów. Jeżeli zgodnie z warunkiem konieczne jest obliczenie odległości punktu od płaszczyzny, danej w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej, rozwiązuje się to metodą współrzędnych. W tym akapicie omówiono tę metodę.

Zgodnie z warunkami zadania mamy, że dany jest punkt w przestrzeni trójwymiarowej o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1) z płaszczyzną χ, należy wyznaczyć odległość od M 1 do płaszczyzna χ. Aby rozwiązać ten problem, stosuje się kilka metod rozwiązania.

Pierwszy sposób

Metoda ta polega na wyznaczeniu odległości punktu od płaszczyzny za pomocą współrzędnych punktu H 1, które są podstawą prostopadłej z punktu M 1 do płaszczyzny χ. Następnie musisz obliczyć odległość między M 1 i H 1.

Aby rozwiązać problem w drugi sposób, należy skorzystać z równania normalnego danej płaszczyzny.

Drugi sposób

Pod warunkiem mamy, że H 1 jest podstawą prostopadłej, która została obniżona z punktu M 1 do płaszczyzny χ. Następnie wyznaczamy współrzędne (x 2, y 2, z 2) punktu H 1. Wymaganą odległość od M 1 do płaszczyzny χ można znaleźć według wzoru M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, gdzie M 1 (x 1, y 1, z 1) i H 1 (x 2, y 2, z 2). Aby rozwiązać, musisz znać współrzędne punktu H 1.

Mamy, że H 1 jest punktem przecięcia płaszczyzny χ z prostą a, która przechodzi przez punkt M 1 położony prostopadle do płaszczyzny χ. Wynika z tego, że należy ułożyć równanie na prostą przechodzącą przez dany punkt prostopadły do ​​danej płaszczyzny. Wtedy będziemy mogli wyznaczyć współrzędne punktu H 1. Konieczne jest obliczenie współrzędnych punktu przecięcia linii i płaszczyzny.

Algorytm wyznaczania odległości punktu o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1) do płaszczyzny χ:

Definicja 3

• narysuj równanie prostej a przechodzącej przez punkt M 1 i jednocześnie
• prostopadle do płaszczyzny χ;
• znajdź i oblicz współrzędne (x 2 , y 2 , z 2) punktu H 1, które są punktami
• przecięcie prostej a z płaszczyzną χ;
• oblicz odległość od M 1 do χ, korzystając ze wzoru M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Trzeci sposób

W danym prostokątnym układzie współrzędnych O x y z znajduje się płaszczyzna χ, wówczas otrzymujemy równanie normalne płaszczyzny postaci cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. Stąd otrzymujemy, że odległość M 1 H 1 z punktem M 1 (x 1 , y 1 , z 1) narysowanym na płaszczyźnie χ, obliczona ze wzoru M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Wzór ten jest ważny, ponieważ został ustalony dzięki twierdzeniu.

Twierdzenie

Jeżeli punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) jest dany w przestrzeni trójwymiarowej, mający równanie normalne płaszczyzny χ postaci cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, następnie obliczając odległość punktu od płaszczyzny M 1 H 1 otrzymujemy ze wzoru M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, ponieważ x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

Dowód

Dowód twierdzenia sprowadza się do wyznaczenia odległości punktu od prostej. Z tego wynika, że ​​odległość od M 1 do płaszczyzny χ jest modułem różnicy między numerycznym rzutowaniem wektora promienia M 1 na odległość od początku do płaszczyzny χ. Następnie otrzymujemy wyrażenie M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Wektor normalny płaszczyzny χ ma postać n → = cos α, cos β, cos γ, a jego długość jest równa jeden, n p n → O M → jest odwzorowaniem numerycznym wektora O M → = (x 1, y 1 , z 1) w kierunku określonym przez wektor n → .

Zastosujmy wzór do obliczania wektorów skalarnych. Następnie otrzymujemy wyrażenie na znalezienie wektora postaci n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , ponieważ n → = cos α , cos β , cos γ · z i O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Forma współrzędnych zapisu będzie miała postać n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , wtedy M 1 H. 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + sałata β · y 1 + sałata γ · z 1 - p . Twierdzenie zostało udowodnione.

Stąd wynika, że ​​odległość punktu M 1 (x 1, y 1, z 1) do płaszczyzny χ oblicza się, podstawiając cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 do lewa strona równania normalnego płaszczyzny zamiast współrzędnych x, y, z x 1, y 1 i z 1, odnoszący się do punktu M 1, przyjmując wartość bezwzględną otrzymanej wartości.

Przyjrzyjmy się przykładom wyznaczania odległości punktu o współrzędnych do danej płaszczyzny.

Przykład 1

Oblicz odległość punktu o współrzędnych M 1 (5, - 3, 10) do płaszczyzny 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Rozwiązanie

Rozwiążmy problem na dwa sposoby.

Pierwsza metoda rozpoczyna się od obliczenia wektora kierunku linii a. Pod warunkiem mamy, że dane równanie 2 x - y + 5 z - 3 = 0 jest ogólnym równaniem płaszczyzny, a n → = (2, - 1, 5) jest wektorem normalnym danej płaszczyzny. Służy jako wektor kierunku prostej a, która jest prostopadła do danej płaszczyzny. Konieczne jest zapisanie równania kanonicznego linii w przestrzeni przechodzącej przez M 1 (5, - 3, 10) za pomocą wektora kierunkowego o współrzędnych 2, - 1, 5.

Równanie przyjmie postać x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Należy określić punkty przecięcia. Aby to zrobić, delikatnie połącz równania w układ, aby przejść od równań kanonicznych do równań dwóch przecinających się linii. Przyjmijmy ten punkt jako H 1. Rozumiemy to

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Następnie musisz włączyć system

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Przejdźmy do reguły rozwiązania układu Gaussa:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Otrzymujemy, że H 1 (1, - 1, 0).

Obliczamy odległość danego punktu od płaszczyzny. Bierzemy punkty M 1 (5, - 3, 10) i H 1 (1, - 1, 0) i otrzymujemy

M 1 H. 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Drugie rozwiązanie polega na doprowadzeniu najpierw danego równania 2 x - y + 5 z - 3 = 0 do postaci normalnej. Określamy współczynnik normalizujący i otrzymujemy 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Stąd wyprowadzamy równanie płaszczyzny 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Lewą stronę równania oblicza się, podstawiając x = 5, y = - 3, z = 10 i należy przyjąć odległość od M 1 (5, - 3, 10) do 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Otrzymujemy wyrażenie:

M 1 H. 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Odpowiedź: 2 30.

Gdy płaszczyzna χ jest określona jedną z metod z rozdziału o metodach określania płaszczyzny, to najpierw należy uzyskać równanie płaszczyzny χ i obliczyć wymaganą odległość dowolną metodą.

Przykład 2

W przestrzeni trójwymiarowej określone są punkty o współrzędnych M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Oblicz odległość M 1 od płaszczyzny A B C.

Rozwiązanie

Najpierw musisz zapisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez dane trzy punkty o współrzędnych M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Wynika z tego, że problem ma rozwiązanie podobne do poprzedniego. Oznacza to, że odległość punktu M 1 od płaszczyzny A B C ma wartość 2 · 30.

Odpowiedź: 2 30.

Znalezienie odległości od danego punktu na płaszczyźnie lub do płaszczyzny, do której są one równoległe, wygodniej jest zastosować wzór M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Z tego wynika, że ​​równania normalne płaszczyzn otrzymuje się w kilku krokach.

Przykład 3

Znajdź odległość danego punktu o współrzędnych M 1 (- 3, 2, - 7) do płaszczyzny współrzędnych O x y z i płaszczyzny określonej równaniem 2 y - 5 = 0.

Rozwiązanie

Płaszczyzna współrzędnych O y z odpowiada równaniu postaci x = 0. Dla płaszczyzny O y z jest to normalne. Dlatego należy w lewą stronę wyrażenia wstawić wartości x = - 3 i przyjąć bezwzględną wartość odległości od punktu o współrzędnych M 1 (- 3, 2, - 7) do płaszczyzny. Otrzymujemy wartość równą - 3 = 3.

Po przekształceniu równanie normalne płaszczyzny 2 y - 5 = 0 przyjmie postać y - 5 2 = 0. Następnie możesz znaleźć wymaganą odległość od punktu o współrzędnych M 1 (- 3, 2, - 7) do płaszczyzny 2 y - 5 = 0. Podstawiając i obliczając, otrzymujemy 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Odpowiedź: Wymagana odległość od M 1 (- 3, 2, - 7) do O y z ma wartość 3, a do 2 y - 5 = 0 ma wartość 5 2 - 2.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter