Właściwości stycznej. Linia styczna Reguła stycznej

Definicja. Styczna do okręgu to prosta na płaszczyźnie, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

Oto kilka przykładów:

Okrąg ze środkiem O dotyka linii prostej l w tym punkcie A

Skądkolwiek M Na zewnątrz okręgu można narysować dokładnie dwie styczne

Różnica między styczną l, sieczna PNE. i proste M, który nie ma punktów wspólnych z okręgiem

Na tym moglibyśmy zakończyć, ale praktyka pokazuje, że nie wystarczy po prostu zapamiętać definicję - trzeba nauczyć się widzieć styczne na rysunkach, znać ich właściwości, a ponadto odpowiednio ćwiczyć stosowanie tych właściwości, rozwiązując realne problemy. Wszystko to zrobimy dzisiaj.

Podstawowe własności stycznych

Aby rozwiązać dowolny problem, musisz znać cztery kluczowe właściwości. Dwa z nich są opisane w jakimkolwiek podręczniku/podręczniku, ale o dwóch ostatnich jakoś się zapomina, ale na próżno.

1. Odcinki styczne narysowane z jednego punktu są równe

Nieco wyżej rozmawialiśmy już o dwóch stycznych poprowadzonych z jednego punktu M. Zatem:

Odcinki styczne do okręgu narysowane z jednego punktu są równe.

Segmenty JESTEM. I B.M. równy

2. Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności

Spójrzmy jeszcze raz na powyższy obrazek. Narysujmy promienie O.A. I O.B., po czym stwierdzamy, że kąty OAM I O.B.M.- prosty.

Promień poprowadzony do punktu styku jest prostopadły do stycznej.

Fakt ten można wykorzystać bez dowodu w dowolnym problemie:

Promienie poprowadzone do punktu stycznego są prostopadłe do stycznych

Nawiasem mówiąc, uwaga: jeśli narysujesz segment OM, wówczas otrzymujemy dwa równe trójkąty: OAM I O.B.M..

3. Związek stycznej i siecznej

Ale jest to poważniejszy fakt i większość uczniów o tym nie wie. Rozważmy styczną i sieczną, które przechodzą przez ten sam wspólny punkt M. Naturalnie sieczna da nam dwa odcinki: wewnątrz okręgu (segment PNE.- nazywa się to również akordem) i na zewnątrz (tak to nazywają - część zewnętrzna). MC).

Iloczyn całej siecznej i jej części zewnętrznej jest równy kwadratowi odcinka stycznego

Zależność siecznej i stycznej

4. Kąt pomiędzy styczną a cięciwą

Jeszcze bardziej zaawansowany fakt, który jest często wykorzystywany do rozwiązywania złożonych problemów. Gorąco polecam oddanie go do serwisu.

Kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu wyznaczonemu przez tę cięciwę.

Skąd bierze się ten punkt? B? W przypadku prawdziwych problemów zwykle „wyskakuje” gdzieś w stanie. Dlatego ważne jest, aby nauczyć się rozpoznawać tę konfigurację na rysunkach.

Czasem to ma znaczenie :)

\[(\Large(\text(Kąt środkowy i wpisany)))\]

Definicje

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu.

Kąt wpisany to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu.

Miara stopnia łuku koła jest miarą stopnia kąta środkowego, który go opiera.

Twierdzenie

Stopień miary kąta wpisanego jest równy połowie miary stopnia łuku, na którym jest on oparty.

Dowód

Dowód przeprowadzimy w dwóch etapach: w pierwszej kolejności udowodnimy słuszność twierdzenia dla przypadku, gdy jeden ze boków kąta wpisanego ma średnicę. Niech punkt $B$ będzie wierzchołkiem kąta wpisanego $ABC$, a $BC$ będzie średnicą okręgu:

Trójkąt $AOB$ jest równoramienny, $AO = OB$ , $\kąt AOC$ jest zewnętrzny, zatem $\kąt AOC = \kąt OAB + \kąt ABO = 2\kąt ABC$, Gdzie $\kąt ABC = 0,5\cdot\kąt AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)$.

Rozważmy teraz dowolny kąt wpisany $ABC$ . Wyciągnijmy średnicę okręgu $BD$ z wierzchołka kąta wpisanego. Istnieją dwa możliwe przypadki:

1) średnica przecina kąt na dwa kąty $\kąt ABD, \kąt CBD$ (dla każdego z nich twierdzenie jest prawdziwe, jak udowodniono powyżej, zatem jest prawdziwe również dla kąta pierwotnego, który jest sumą tych dwa, a zatem równe połowie sumy łuków, na których się opierają, to znaczy równe połowie łuku, na którym się opiera). Ryż. 1.

2) średnica nie przecięła kąta na dwa kąty, wówczas mamy jeszcze dwa nowe kąty wpisane $\kąt ABD, \kąt CBD$, których bok zawiera średnicę, zatem twierdzenie jest dla nich prawdziwe, to dotyczy to także kąta pierwotnego (który jest równy różnicy tych dwóch kątów, czyli jest równy połowie różnicy łuków, na których one spoczywają, czyli równy połowie łuku, na którym się opiera) . Ryż. 2.

Konsekwencje

1. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

2. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.

3. Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

\[(\Large(\text(Styczna do okręgu)))\]

Definicje

Istnieją trzy rodzaje względnych pozycji linii i okręgu:

1) prosta $a$ przecina okrąg w dwóch punktach. Linię taką nazywa się sieczną. W tym przypadku odległość $d$ od środka okręgu do linii prostej jest mniejsza niż promień $R$ okręgu (ryc. 3).

2) prosta $b$ przecina okrąg w jednym punkcie. Linię taką nazywamy styczną, a ich wspólny punkt $B$ nazywamy punktem styczności. W tym przypadku $d=R$ (ryc. 4).

Twierdzenie

1. Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

2. Jeżeli prosta przechodzi przez koniec promienia okręgu i jest prostopadła do tego promienia, to jest styczna do okręgu.

Konsekwencja

Odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu do okręgu są równe.

Dowód

Narysujmy dwie styczne $KA$ i $KB$ do okręgu z punktu $K$:

Oznacza to, że $OA\perp KA, OB\perp KB$ są jak promienie. Trójkąty prostokątne $\trójkąt KAO$ i $\trójkąt KBO$ mają równe ramię i przeciwprostokątną, zatem $KA=KB$ .

Konsekwencja

Środek okręgu $O$ leży na dwusiecznej kąta $AKB$ utworzonej przez dwie styczne poprowadzone z tego samego punktu $K$ .

\[(\Large(\text(Twierdzenia dotyczące kątów)))\]

Twierdzenie o kącie między siecznymi

Kąt między dwiema siecznymi narysowanymi z tego samego punktu jest równy połowie różnicy miar stopni większego i mniejszego łuku, który przecinają.

Dowód

Niech $M$ będzie punktem, z którego zostaną narysowane dwie sieczne, jak pokazano na rysunku:

Pokażmy to $\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\kąt DAB$ jest zatem kątem zewnętrznym trójkąta $MAD$. $\kąt DAB = \kąt DMB + \kąt MDA$, Gdzie $\kąt DMB = \kąt DAB - \kąt MDA$, ale kąty $\kąt DAB$ i $\kąt MDA$ są wpisane, to $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$, co należało udowodnić.

Twierdzenie o kącie pomiędzy przecinającymi się cięciwami

Kąt między dwoma przecinającymi się cięciwami jest równy połowie sumy miar stopni łuków, które przecinają: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Dowód

$\kąt BMA = \kąt CMD$ jako pion.

Z trójkąta $AMD$: $\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)$.

Ale $\kąt AMD = 180^\circ - \kąt CMD$, z czego wnioskujemy, że \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ uśmiechnij się(CD)).\]

Twierdzenie o kącie pomiędzy cięciwą a styczną

Kąt pomiędzy styczną a cięciwą przechodzącą przez punkt styczności jest równy połowie miary stopnia łuku, na którym opiera się cięciwa.

Dowód

Niech prosta $a$ dotyka okręgu w punkcie $A$, $AB$ jest cięciwą tego okręgu, $O$ jest jego środkiem. Niech linia zawierająca $OB$ przecina $a$ w punkcie $M$ . Udowodnijmy to $\kąt BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)$.

Oznaczmy $\angle OAB = \alpha$ . Ponieważ $OA$ i $OB$ są promieniami, to $OA = OB$ i $\kąt OBA = \kąt OAB = \alfa$. Zatem, $\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$.

Ponieważ $OA$ jest promieniem poprowadzonym do punktu stycznego, to $OA\perp a$, czyli $\kąt OAM = 90^\circ$, zatem $\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)$.

Twierdzenie o łukach opartych na cięciwach równych

Równe cięciwy leżą na równych łukach mniejszych niż półkola.

I odwrotnie: równe łuki są poprzedzone równymi cięciwami.

Dowód

1) Niech $AB=CD$ . Udowodnijmy, że mniejsze półkola łuku .

Zatem z trzech stron $\angle AOB=\angle COD$ . Ale ponieważ $\angle AOB, \angle COD$ - kąty środkowe podparte łukami $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$ zatem odpowiednio $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) Jeśli $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, To $\trójkąt AOB=\trójkąt COD$ po dwóch stronach $AO=BO=CO=DO$ i kąt między nimi $\kąt AOB=\kąt COD$ . Dlatego i $AB=CD$ .

Twierdzenie

Jeśli promień przecina cięciwę na pół, to jest do niej prostopadły.

Jest też odwrotnie: jeśli promień jest prostopadły do cięciwy, to w punkcie przecięcia przecina ją na pół.

Dowód

1) Niech $AN=NB$ . Udowodnimy, że $OQ\perp AB$ .

Rozważmy $\trójkąt AOB$: jest to równoramienny, ponieważ $OA=OB$ – promienie okręgu. Ponieważ $ON$ to środkowa narysowana do podstawy, to jest to także wysokość, zatem $ON\perp AB$ .

2) Niech $OQ\perp AB$ . Udowodnimy, że $AN=NB$ .

Podobnie $\trójkąt AOB$ to równoramienny, $ON$ to wysokość, zatem $ON$ to mediana. Dlatego $AN=NB$ .

\[(\Large(\text(Twierdzenia dotyczące długości odcinków)))\]

Twierdzenie o iloczynie odcinków cięciwy

Jeżeli dwie cięciwy okręgu przecinają się, to iloczyn odcinków jednego cięciwy jest równy iloczynowi odcinków drugiego cięciwy.

Dowód

Niech akordy $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $E$ .

Rozważmy trójkąty $ADE$ i $CBE$ . W tych trójkątach kąty $1$ i $2$ są równe, ponieważ są wpisane i opierają się na tym samym łuku $BD$, a kąty $3$ i $4$ są równe jako pionowe. Trójkąty $ADE$ i $CBE$ są podobne (w oparciu o pierwsze kryterium podobieństwa trójkątów).

Następnie $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, skąd $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Twierdzenie styczne i sieczne

Kwadrat odcinka stycznego jest równy iloczynowi siecznej i jej zewnętrznej części.

Dowód

Niech styczna przechodzi przez punkt $M$ i dotyka okręgu w punkcie $A$ . Niech sieczna przechodzi przez punkt $M$ i przecina okrąg w punktach $B$ i $C$ tak, że $MB< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

Rozważmy trójkąty $MBA$ i $MCA$: $\angle M$ jest wspólne, $\kąt BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)$. Zgodnie z twierdzeniem o kącie między styczną i sieczną, $\kąt BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \kąt BCA$. Zatem trójkąty $MBA$ i $MCA$ są podobne pod dwoma kątami.

Z podobieństwa trójkątów $MBA$ i $MCA$ mamy: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$, co jest równoważne $MB\cdot MC = MA^2$ .

Konsekwencja

Iloczyn siecznej wyprowadzonej z punktu $O$ przez jej część zewnętrzną nie zależy od wyboru siecznej wyprowadzonej z punktu $O$ .

Zwrotnica $x_0\in\mathbb(R)$ , i jest w nim różniczkowalna: $f \in \mathcal(D)(x_0)$ . Linia styczna do wykresu funkcji $F$ w tym punkcie $x_0$ nazywa się wykresem funkcji liniowej danej równaniem $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb(R)$ .

Jeśli funkcja

F

ma w punkcie

x_0

nieskończona pochodna

f"(x_0) = \pm \infty,

wówczas styczna w tym punkcie jest linią pionową określoną równaniem

x = x_0.

Komentarz

Bezpośrednio z definicji wynika, że przez punkt przechodzi wykres stycznej $(x_0,f(x_0))$ . Narożnik $\alfa$ pomiędzy styczną do krzywej a osią Wółu spełnia równanie

$\operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0)= k,$

Gdzie $\nazwa operatora(tg)$ oznacza styczną i $\nazwa operatora (k)$ - styczny współczynnik nachylenia. Pochodna w punkcie $x_0$ równe nachyleniu stycznej do wykresu funkcji $y = f(x)$ w tym momencie.

Styczna jako położenie graniczne siecznej

Pozwalać $f\dwukropek U(x_0) \to \R$ I $x_1 \w U(x_0).$ Następnie linia prosta przechodząca przez punkty $(x_0,f(x_0))$ I $(x_1,f(x_1))$ dane równaniem

$y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

Ta linia przechodzi przez punkt $(x_0,f(x_0))$ dla kazdego $x_1\w U(x_0),$ i jego kąt nachylenia $\alfa(x_1)$ spełnia równanie

$\operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

Ze względu na istnienie funkcji pochodnej $F$ w tym punkcie $x_0,$ dojdę do limitu o godz $x_1 \do x_0,$ stwierdzamy, że istnieje granica

$\lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

oraz ze względu na ciągłość arcus tangens i kąt graniczny

$\alpha = \nazwa operatora(arctg)\,f"(x_0).$

Linia przechodząca przez punkt $(x_0,f(x_0))$ i posiadające maksymalny, zadowalający kąt nachylenia $\operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0),$ jest dana równaniem stycznym:

$y = f(x_0) + f”(x_0)(x-x_0).$

Styczna do okręgu

Prostą, która ma jeden punkt wspólny z okręgiem i leży z nim w tej samej płaszczyźnie, nazywa się styczną do okręgu.

Nieruchomości

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.
Odcinki styczne do okręgu narysowane z jednego punktu są równe i tworzą równe kąty z linią prostą przechodzącą przez ten punkt i środek okręgu.
Długość odcinka stycznego poprowadzonego do okręgu o jednostkowym promieniu, mierzona pomiędzy punktem styczności a punktem przecięcia stycznej z półprostą poprowadzoną ze środka okręgu, jest tangensem kąta między tym promieniem a kierunek od środka okręgu do punktu styczności. „Styczna” z łac. styczne- „styczna”.

Odmiany i uogólnienia

Jednostronne półstyczne

Jeśli istnieje prawopochodna $f"_+(x_0)< \infty,$ To prawa półstyczna do wykresu funkcji $F$ w tym punkcie $x_0$ zwany promieniem

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x\geqslant x_0.

Jeśli istnieje lewa pochodna $f"_-(x_0)< \infty,$ To lewostyczna w połowie do wykresu funkcji $F$ w tym punkcie $x_0$ zwany promieniem

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.

Jeśli istnieje nieskończona prawa pochodna $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $F$ w tym punkcie $x_0$ zwany promieniem

x = x_0,\;  y\geqslant f(x_0)\;  (y \leqslant f(x_0)).

Jeśli istnieje nieskończona pochodna lewa $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ następnie prawa półstyczna do wykresu funkcji $F$ w tym punkcie $x_0$ zwany promieniem

x = x_0,\;  y \leqslant f(x_0)\;  (y \geqslant f(x_0)).

Zobacz też

Normalne, binormalne

Napisz recenzję na temat artykułu „Linia styczna”

Literatura

Toponogow V. A. Geometria różniczkowa krzywych i powierzchni. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
// Słownik encyklopedyczny Brockhausa i Efrona: w 86 tomach (82 tomy i 4 dodatkowe). - Petersburgu. , 1890-1907.

Fragment charakteryzujący linię styczną

- W miejscach! - krzyknął młody oficer do żołnierzy zgromadzonych wokół Pierre'a. Ten młody oficer najwyraźniej pełnił swoje stanowisko po raz pierwszy lub drugi i dlatego traktował zarówno żołnierzy, jak i dowódcę ze szczególną jasnością i formalnością.
Przetaczający się ogień armat i karabinów wzmógł się na całym polu, zwłaszcza po lewej stronie, gdzie znajdowały się błyski Bagrationa, ale z powodu dymu strzałów prawie nic nie było widać z miejsca, w którym znajdował się Pierre. Co więcej, całą uwagę Pierre'a pochłonęła obserwacja pozornie rodzinnego (oddzielonego od wszystkich) kręgu ludzi, którzy byli na baterii. Jego pierwsze nieświadome radosne podniecenie, wywołane widokiem i dźwiękami pola bitwy, zostało teraz zastąpione, zwłaszcza po widoku samotnego żołnierza leżącego na łące, przez inne uczucie. Siedząc teraz na zboczu rowu, obserwował otaczające go twarze.
O dziesiątej dwadzieścia osób zostało już wyniesionych z baterii; dwa działa były zepsute, pociski coraz częściej trafiały w akumulator, a kule dalekiego zasięgu wlatywały, brzęcząc i gwiżdżąc. Ale ludzie, którzy byli przy baterii, zdawali się tego nie zauważać; Ze wszystkich stron słychać było wesołe rozmowy i żarty.
- Chinenko! – krzyknął żołnierz z gwizdkiem na nadlatujący granat. - Nie tutaj! Do piechoty! – dodał ze śmiechem inny, zauważając, że granat przeleciał i uderzył w szeregi osłaniające.
- Jaki przyjaciel? – inny żołnierz zaśmiał się z mężczyzny, który przykucnął pod lecącą kulą armatnią.
Kilku żołnierzy zebrało się na wale, patrząc na to, co działo się przed nimi.
„I zdjęli łańcuch, widzicie, wrócili” – powiedzieli, wskazując na wał.
„Uważajcie na swoją pracę” – krzyknął do nich stary podoficer. „Wróciliśmy, więc czas wracać”. - A podoficer, biorąc jednego z żołnierzy za ramię, pchnął go kolanem. Był śmiech.
- Rzuć się w stronę piątego działa! - krzyczeli z jednej strony.
„Od razu bardziej polubownie, po burłacku” – słychać było wesołe okrzyki zmieniających broń.
„Och, prawie zrzuciłem kapelusz naszego pana” – żartowniś o czerwonej twarzy zaśmiał się z Pierre'a, pokazując zęby. „Ech, niezdarność” – dodał z wyrzutem do kuli armatniej, która uderzyła w koło i nogę mężczyzny.
- Chodźcie, lisy! – inny śmiał się z pochylonych milicjantów wchodzących do baterii za rannym mężczyzną.
- Czy owsianka nie jest smaczna? Och, wrony, zostały zabite! – krzyczeli do milicjantów, którzy zawahali się przed żołnierzem z odciętą nogą.
„Coś innego, chłopcze” – naśladowali mężczyzn. – Nie lubią pasji.
Pierre zauważył, że po każdej trafionej kuli armatniej, po każdej porażce, ogólne ożywienie nasilało się coraz bardziej.
Jak z nadchodzącej chmury burzowej, coraz częściej, coraz jaśniej i jaśniej, na twarzach tych wszystkich ludzi pojawiały się błyskawice ukrytego, płonącego ognia (jakby w odmowie temu, co się działo).
Pierre nie czekał na pole bitwy i nie był zainteresowany tym, co się tam dzieje: był całkowicie pochłonięty kontemplacją tego coraz bardziej płonącego ognia, który w ten sam sposób (czuł) płonął w jego duszy.
O dziesiątej żołnierze piechoty, którzy byli przed baterią w krzakach i wzdłuż rzeki Kamenki, wycofali się. Z baterii widać było, jak przebiegali obok niej, niosąc rannych na karabinach. Jakiś generał ze swoją świtą wszedł na kopiec i po rozmowie z pułkownikiem, spojrzał gniewnie na Pierre'a, ponownie zszedł na dół, nakazując osłonie piechoty stacjonującej za baterią położyć się, aby była mniej narażona na strzały. Następnie w szeregach piechoty, na prawo od baterii, rozległ się bęben i okrzyki dowodzenia, a z baterii było widać, jak szeregi piechoty posuwały się do przodu.
Pierre zajrzał przez szyb. Jedna twarz szczególnie przykuła jego uwagę. Był to oficer, który o bladej, młodej twarzy szedł tyłem, niosąc opuszczony miecz i rozglądał się niespokojnie.
Rzędy żołnierzy piechoty zniknęły w dymie, słychać było ich długotrwałe krzyki i częste strzały. Po kilku minutach przeszły stamtąd tłumy rannych i noszy. Pociski zaczęły jeszcze częściej uderzać w akumulator. Kilka osób leżało nieoczyszczonych. Żołnierze z większym zapałem i ożywieniem poruszali się wokół dział. Nikt już nie zwracał uwagi na Pierre'a. Raz czy dwa krzyczeli na niego ze złością, że jest w drodze. Starszy oficer ze zmarszczonymi brwiami przechodził dużymi, szybkimi krokami od jednego pistoletu do drugiego. Młody oficer, jeszcze bardziej zarumieniony, jeszcze pilniej dowodził żołnierzami. Żołnierze strzelali, zawracali, ładowali i wykonywali swoją pracę z pełnym napięcia rozmachem. Podskakiwały podczas chodzenia, jak na sprężynach.

Sieczna, styczna – to wszystko można było usłyszeć setki razy na lekcjach geometrii. Ale koniec szkoły już za nami, lata mijają, a cała ta wiedza zostaje zapomniana. O czym powinieneś pamiętać?

Istota

Termin „styczna do okręgu” jest prawdopodobnie znany każdemu. Jest jednak mało prawdopodobne, aby każdy był w stanie szybko sformułować jego definicję. Tymczasem styczna to prosta leżąca w tej samej płaszczyźnie co okrąg, która przecina ją tylko w jednym punkcie. Może być ich ogromna liczba, ale wszystkie mają te same właściwości, które zostaną omówione poniżej. Jak można się domyślić, punkt styczności to miejsce przecięcia okręgu i prostej. W każdym konkretnym przypadku jest tylko jeden, ale jeśli jest ich więcej, będzie to sieczna.

Historia odkryć i badań

Pojęcie stycznej pojawiło się w starożytności. Konstruowanie tych prostych najpierw na okrąg, a potem na elipsy, parabole i hiperbole za pomocą linijki i kompasu prowadzono już na początkowych etapach rozwoju geometrii. Oczywiście historia nie zachowała nazwiska odkrywcy, ale oczywiste jest, że nawet w tamtych czasach ludzie byli dość zaznajomieni z właściwościami stycznej do okręgu.

W czasach nowożytnych zainteresowanie tym zjawiskiem ponownie wzrosło - rozpoczęła się nowa runda badań nad tą koncepcją w połączeniu z odkryciem nowych krzywizn. W ten sposób Galileusz wprowadził koncepcję cykloidy, a Fermat i Kartezjusz skonstruowali do niej styczną. Jeśli chodzi o kręgi, wydaje się, że dla starożytnych w tym obszarze nie pozostały już żadne tajemnice.

Nieruchomości

Promień narysowany do punktu przecięcia będzie wynosić This

główna, ale nie jedyna właściwość, jaką ma styczna do okręgu. Kolejną ważną cechą są dwie linie proste. Zatem przez jeden punkt leżący poza okręgiem można poprowadzić dwie styczne, a ich odcinki będą równe. Istnieje inne twierdzenie na ten temat, ale rzadko uczy się go w ramach standardowego kursu szkolnego, chociaż jest niezwykle wygodne do rozwiązywania niektórych problemów. To brzmi tak. Z jednego punktu znajdującego się na zewnątrz okręgu poprowadzono do niego styczną i sieczną. Powstają odcinki AB, AC i AD. A jest przecięciem prostych, B jest punktem styczności, C i D są przecięciami. W tym przypadku obowiązuje następująca równość: długość stycznej do okręgu podniesiona do kwadratu będzie równa iloczynowi odcinków AC i AD.

Z powyższego wynika ważny wniosek. Dla każdego punktu na okręgu można skonstruować styczną, ale tylko jedną. Dowód na to jest dość prosty: teoretycznie zrzucając na niego prostopadłą z promienia, dowiadujemy się, że utworzony trójkąt nie może istnieć. A to oznacza, że tangens jest jedyny.

Budowa

Wśród innych problemów geometrii z reguły nie ma specjalnej kategorii

uwielbiany przez uczniów i studentów. Aby rozwiązać problemy z tej kategorii, potrzebujesz jedynie kompasu i linijki. Są to zadania budowlane. Istnieją również te do konstruowania stycznej.

Zatem biorąc pod uwagę okrąg i punkt leżący poza jego granicami. I konieczne jest narysowanie przez nie stycznej. Jak to zrobić? Na początek należy narysować odcinek pomiędzy środkiem okręgu O a danym punktem. Następnie za pomocą kompasu podziel go na pół. Aby to zrobić, musisz ustawić promień - nieco ponad połowę odległości między środkiem pierwotnego okręgu a tym punktem. Następnie musisz zbudować dwa przecinające się łuki. Co więcej, promień kompasu nie musi być zmieniany, a środkiem każdej części koła będzie odpowiednio pierwotny punkt i O. Przecięcia łuków należy połączyć, co podzieli segment na pół. Ustaw na kompasie promień równy tej odległości. Następnie skonstruuj kolejny okrąg ze środkiem w punkcie przecięcia. Zarówno pierwotny punkt, jak i O będą na nim leżeć. W tym przypadku będą jeszcze dwa przecięcia z okręgiem podanym w zadaniu. Będą to punkty styku dla początkowo określonego punktu.

To konstrukcja stycznych do okręgu doprowadziła do narodzin

rachunek różniczkowy. Pierwszą pracę na ten temat opublikował słynny niemiecki matematyk Leibniz. Przewidywała możliwość znajdowania maksimów, minimów i stycznych niezależnie od wielkości ułamkowych i niewymiernych. Cóż, teraz jest używany do wielu innych obliczeń.

Ponadto styczna do okręgu jest powiązana z geometrycznym znaczeniem stycznej. Stąd właśnie wzięła się jego nazwa. W tłumaczeniu z łaciny tangens oznacza „styczny”. Zatem koncepcja ta kojarzy się nie tylko z geometrią i rachunkiem różniczkowym, ale także z trygonometrią.

Dwa koła

Styczna nie zawsze wpływa tylko na jedną figurę. Jeśli na jedno koło można narysować ogromną liczbę linii prostych, to dlaczego nie odwrotnie? Móc. Ale zadanie w tym przypadku staje się poważnie skomplikowane, ponieważ styczna do dwóch okręgów nie może przechodzić przez żadne punkty, a względne położenie wszystkich tych figur może być bardzo

różny.

Rodzaje i odmiany

Kiedy mówimy o dwóch okręgach i jednej lub kilku prostych, nawet jeśli wiadomo, że są to styczne, nie jest od razu jasne, w jaki sposób wszystkie te figury są względem siebie umiejscowione. Na tej podstawie wyróżnia się kilka odmian. Zatem okręgi mogą mieć jeden lub dwa punkty wspólne lub nie mieć ich wcale. W pierwszym przypadku się przetną, w drugim się zetkną. I tutaj wyróżnia się dwie odmiany. Jeśli jeden okrąg jest niejako osadzony w drugim, wówczas styczność nazywa się wewnętrzną, jeśli nie, to zewnętrzną. Względne położenie figur można zrozumieć nie tylko na podstawie rysunku, ale także mając informację o sumie ich promieni i odległości między ich środkami. Jeśli te dwie wielkości są równe, wówczas okręgi stykają się. Jeśli pierwszy z nich jest większy, przecinają się, a jeśli jest mniejszy, to nie mają punktów wspólnych.

To samo z liniami prostymi. Można to zrobić w przypadku dowolnych dwóch okręgów, które nie mają wspólnych punktów

skonstruuj cztery styczne. Dwa z nich przetną się między postaciami, nazywane są wewnętrznymi. Kilka innych ma charakter zewnętrzny.

Jeśli mówimy o okręgach, które mają jeden wspólny punkt, to problem jest znacznie uproszczony. Faktem jest, że niezależnie od ich względnego położenia, w tym przypadku będą miały tylko jedną styczną. I przejdzie przez punkt ich przecięcia. Zatem budowa nie będzie trudna.

Jeśli figury mają dwa punkty przecięcia, można dla nich zbudować linię prostą, styczną do okręgu jednego i drugiego, ale tylko zewnętrzną. Rozwiązanie tego problemu jest podobne do tego, co zostanie omówione poniżej.

Rozwiązywanie problemów

Zarówno wewnętrzna, jak i zewnętrzna styczna do dwóch okręgów nie jest tak prosta do skonstruowania, chociaż problem ten można rozwiązać. Faktem jest, że używana jest do tego figura pomocnicza, więc musisz sam wymyślić tę metodę

dość problematyczne. Zatem dane są dwa okręgi o różnych promieniach i środkach O1 i O2. Dla nich musisz skonstruować dwie pary stycznych.

Przede wszystkim musisz zbudować pomocniczy w pobliżu środka większego koła. W takim przypadku różnicę między promieniami dwóch początkowych cyfr należy ustalić na kompasie. Styczne do okręgu pomocniczego są zbudowane ze środka mniejszego okręgu. Następnie rysowane są prostopadłe od O1 i O2 do tych linii, aż przetną się z oryginalnymi figurami. Jak wynika z podstawowej właściwości stycznej, znajdują się wymagane punkty na obu okręgach. Problem rozwiązany, przynajmniej w pierwszej części.

Aby skonstruować styczne wewnętrzne, będziesz musiał rozwiązać je praktycznie

podobne zadanie. Znowu będziesz potrzebować figury pomocniczej, ale tym razem jej promień będzie równy sumie oryginalnych. Styczne są zbudowane do niego ze środka jednego z tych okręgów. Dalszy przebieg rozwiązania można zrozumieć z poprzedniego przykładu.

Styczna do okręgu lub nawet dwóch lub więcej nie jest takim trudnym zadaniem. Oczywiście matematycy już dawno przestali rozwiązywać takie problemy ręcznie i powierzali obliczenia specjalnym programom. Ale nie myśl, że teraz nie musisz być w stanie tego zrobić sam, ponieważ aby poprawnie sformułować zadanie dla komputera, musisz dużo zrobić i zrozumieć. Niestety istnieją obawy, że po ostatecznym przejściu do testowej formy kontroli wiedzy, zadania konstrukcyjne będą sprawiać uczniom coraz większe trudności.

Jeśli chodzi o znalezienie wspólnych stycznych dla większej liczby okręgów, nie zawsze jest to możliwe, nawet jeśli leżą one w tej samej płaszczyźnie. Ale w niektórych przypadkach można znaleźć taką linię prostą.

Przykłady z życia

W praktyce często występuje wspólna styczna do dwóch okręgów, chociaż nie zawsze jest to zauważalne. Przenośniki, systemy blokowe, pasy transmisyjne z kołami pasowymi, naprężenie nici w maszynie do szycia, a nawet łańcuch rowerowy – to wszystko przykłady z życia wzięte. Nie należy więc myśleć, że problemy geometryczne pozostają jedynie w teorii: w inżynierii, fizyce, budownictwie i wielu innych dziedzinach znajdują praktyczne zastosowanie.

Bezpośredni ( MN), mający tylko jeden punkt wspólny z okręgiem ( A), zwany tangens do kręgu.

W tym przypadku nazywany jest punkt wspólny punktem kontaktowym.

Możliwość istnienia tangens, a ponadto przeciągnięta przez dowolny punkt koło, jako punkt styczności, udowadnia się w następujący sposób twierdzenie.

Niech będzie to wymagane do wykonania koło z centrum O tangens przez punkt A. Aby to zrobić od razu A, jak od środka, opisujemy łuk promień AO, i od razu O, jako środek, przecinamy ten łuk w punktach B I Z rozwiązanie kompasu równe średnicy danego koła.

Po spędzeniu wtedy akordy O.B. I system operacyjny, połącz kropkę A z kropkami D I mi, w którym cięciwy te przecinają się z danym okręgiem. Bezpośredni OGŁOSZENIE I AE - styczne do okręgu O. Rzeczywiście, z konstrukcji wynika, że trójkąty AOB I AOC równoramienny(AO = AB = AC) z podstawami O.B. I system operacyjny równy średnicy okręgu O.

Ponieważ OD I OE- zatem promienie D - środek O.B., A mi- środek system operacyjny, Oznacza OGŁOSZENIE I AE - mediany, pociągnięty do podstaw trójkątów równoramiennych, a zatem prostopadły do tych podstaw. Jeśli prosto DA I EA prostopadle do promieni OD I OE, wtedy oni - styczne.

Konsekwencja.

Dwie styczne poprowadzone z jednego punktu do okręgu są równe i tworzą równe kąty z linią prostą łączącą ten punkt ze środkiem.

Więc AD=AE i ∠ OAD = ∠OAE ponieważ trójkąty prostokątne AOD I Obszar działania, mając wspólnego przeciwprostokątna AO i równe nogi OD I OE(podobnie jak promienie) są równe. Zauważ, że tutaj słowo „styczna” w rzeczywistości oznacza „ odcinek styczny” od danego punktu do punktu styku.