Twierdzenia o zmianie pędu układu mechanicznego. Zasada możliwych ruchów

Układem omawianym w twierdzeniu może być dowolny układ mechaniczny składający się z dowolnych ciał.

Stwierdzenie twierdzenia

Wielkość ruchu (impuls) układu mechanicznego jest wielkością równą sumie wielkości ruchu (impulsów) wszystkich ciał wchodzących w skład układu. Impuls sił zewnętrznych działających na ciała układu jest sumą impulsów wszystkich sił zewnętrznych działających na ciała układu.

( kg m/s)

Twierdzenie o zmianie pędu układu stwierdza

Zmiana pędu układu w pewnym okresie czasu jest równa impulsowi sił zewnętrznych działających na układ w tym samym czasie.

Prawo zachowania pędu układu

Jeżeli suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero, wówczas wielkość ruchu (pęd) układu jest wielkością stałą.

, otrzymujemy wyrażenie twierdzenia o zmianie pędu układu w postaci różniczkowej:

Po zintegrowaniu obu stron powstałej równości w dowolnie wybranym okresie czasu pomiędzy niektórymi i , otrzymujemy wyrażenie twierdzenia o zmianie pędu układu w postaci całkowej:

Prawo zachowania pędu (Prawo zachowania pędu) stwierdza, że ​​suma wektorów impulsów wszystkich ciał układu jest wartością stałą, jeśli suma wektorów sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru.

(moment pędu m 2 kg s −1)

Twierdzenie o zmianie momentu pędu względem środka

pochodna po czasie momentu pędu (momentu kinetycznego) punktu materialnego względem dowolnego ustalonego środka jest równa momentowi siły działającej na punkt względem tego samego środka.

nie wiem 0 /dt = M 0 (F ) .

Twierdzenie o zmianie momentu pędu względem osi

pochodna czasowa momentu pędu (momentu kinetycznego) punktu materialnego względem dowolnej ustalonej osi jest równa momentowi siły działającej na ten punkt względem tej samej osi.

nie wiem X /dt = M X (F ); nie wiem y /dt = M y (F ); nie wiem z /dt = M z (F ) .

Rozważmy ważny punkt M masa M , poruszając się pod wpływem siły F (Rysunek 3.1). Zapiszmy i skonstruujmy wektor momentu pędu (pędu kinetycznego) M 0 punktów materialnych względem środka O :

Rozróżnijmy wyrażenie na moment pędu (moment kinetyczny). k 0) według czasu:

Ponieważ dr /dt = V , a następnie iloczyn wektorowy V ⊗ M ⋅ V (wektory współliniowe V I M ⋅ V ) jest równe zeru. W tym samym czasie d(m ⋅ V) /dt = F zgodnie z twierdzeniem o pędzie punktu materialnego. Dlatego to otrzymujemy

nie wiem 0 /dt = R ⊗F , (3.3)

Gdzie R ⊗F = M 0 (F ) – wektorowy moment siły F względem stałego środka O . Wektor k 0 ⊥ płaszczyzna ( R , M ⊗V ) i wektor M 0 (F ) ⊥ samolot ( R ,F ), w końcu mamy

nie wiem 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Równanie (3.4) wyraża twierdzenie o zmianie momentu pędu (pędu pędu) punktu materialnego względem środka: pochodna po czasie momentu pędu (momentu kinetycznego) punktu materialnego względem dowolnego ustalonego środka jest równa momentowi siły działającej na punkt względem tego samego środka.

Rzutując równość (3.4) na osie współrzędnych kartezjańskich, otrzymujemy

nie wiem X /dt = M X (F ); nie wiem y /dt = M y (F ); nie wiem z /dt = M z (F ) . (3.5)

Równości (3.5) wyrażają twierdzenie o zmianie momentu pędu (pędu kinetycznego) punktu materialnego względem osi: pochodna czasowa momentu pędu (momentu kinetycznego) punktu materialnego względem dowolnej ustalonej osi jest równa momentowi siły działającej na ten punkt względem tej samej osi.

Rozważmy konsekwencje wynikające z twierdzeń (3.4) i (3.5).

Wniosek 1. Rozważmy przypadek, gdy siła F podczas całego ruchu punkt przechodzi przez nieruchomy środek O (przypadek siły centralnej), tj. Gdy M 0 (F ) = 0. Zatem z twierdzenia (3.4) wynika, że k 0 = konst ,

te. w przypadku siły centralnej moment pędu (moment kinetyczny) punktu materialnego względem środka tej siły pozostaje stały pod względem wielkości i kierunku (rysunek 3.2).

Rysunek 3.2

Od warunku k 0 = konst wynika z tego, że trajektoria poruszającego się punktu jest płaską krzywą, której płaszczyzna przechodzi przez środek tej siły.

Konsekwencja 2. Pozwalać M z (F ) = 0, tj. siła przecina oś z lub równolegle do niego. W tym przypadku, jak widać z trzeciego równania (3.5), k z = konst ,

te. jeżeli moment siły działający na punkt względem dowolnej ustalonej osi jest zawsze zerowy, to moment pędu (moment kinetyczny) punktu względem tej osi pozostaje stały.

Dowód twierdzenia o zmianie pędu

Niech układ składa się z punktów materialnych o masach i przyspieszeniach. Wszystkie siły działające na ciała układu dzielimy na dwa typy:

Siły zewnętrzne to siły działające od ciał nie wchodzących w skład rozpatrywanego układu. Wypadkowa sił zewnętrznych działających na punkt materialny o liczbie I oznaczmy

Siły wewnętrzne to siły, z którymi ciała samego układu oddziałują ze sobą. Siła z jaką działa na punkt z liczbą I punkt z numerem jest ważny k, będziemy oznaczać , oraz siłę wpływu I punkt dalej k punkt - . Jasne, kiedy więc

Korzystając z wprowadzonej notacji, piszemy drugie prawo Newtona dla każdego z rozważanych punktów materialnych w formie

Biorąc pod uwagę, że i podsumowując wszystkie równania drugiej zasady Newtona, otrzymujemy:

Wyrażenie reprezentuje sumę wszystkich sił wewnętrznych działających w układzie. Zgodnie z trzecim prawem Newtona w tej sumie każda siła odpowiada takiej sile, że zatem zachodzi Ponieważ cała suma składa się z takich par, sama suma wynosi zero. Dzięki temu możemy pisać

Korzystając z zapisu pędu układu, otrzymujemy

Po uwzględnieniu zmiany pędu sił zewnętrznych , otrzymujemy wyrażenie twierdzenia o zmianie pędu układu w postaci różniczkowej:

Zatem każde z ostatnich otrzymanych równań pozwala stwierdzić: zmiana pędu układu następuje jedynie w wyniku działania sił zewnętrznych, a siły wewnętrzne nie mogą mieć żadnego wpływu na tę wartość.

Całkując obie strony powstałej równości w dowolnie wybranym przedziale czasu pomiędzy pewnymi i , otrzymujemy wyrażenie twierdzenia o zmianie pędu układu w postaci całkowej:

gdzie i są wartościami wielkości ruchu układu w momentach czasu i, odpowiednio, i jest impulsem sił zewnętrznych w pewnym okresie czasu. Zgodnie z tym, co powiedziano wcześniej i wprowadzonymi oznaczeniami,

W ten sam sposób, jak dla jednego punktu materialnego, wyprowadzimy twierdzenie o zmianie pędu układu w różnych postaciach.

Przekształćmy równanie (twierdzenie o ruchu środka masy układu mechanicznego)

w następujący sposób:

;

;

Otrzymane równanie wyraża twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego w postaci różniczkowej: pochodna pędu układu mechanicznego po czasie jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na układ .

W rzutach na osie współrzędnych kartezjańskich:

; ; .

Biorąc całki obu stron ostatnich równań w czasie, otrzymujemy twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego w postaci całkowej: zmiana pędu układu mechanicznego jest równa pędowi wektora głównego układu mechanicznego siły zewnętrzne działające na układ .

.

Lub w rzutach na osie współrzędnych kartezjańskich:

; ; .

Wnioski z twierdzenia (prawa zachowania pędu)

Prawo zachowania pędu otrzymuje się jako szczególne przypadki twierdzenia o zmianie pędu układu w zależności od charakterystyki układu sił zewnętrznych. Siły wewnętrzne mogą być dowolne, ponieważ nie wpływają na zmiany pędu.

Istnieją dwa możliwe przypadki:

1. Jeżeli suma wektorów wszystkich sił zewnętrznych przyłożonych do układu jest równa zeru, wówczas wielkość ruchu układu jest stała pod względem wielkości i kierunku

2. Jeżeli rzut wektora głównego sił zewnętrznych na dowolną oś współrzędnych i/lub i/lub jest równy zeru, to rzut pędu na te same osie ma wartość stałą, tj. i/lub i/lub odpowiednio.

Podobne wpisy można dokonać dla punktu materialnego i dla punktu materialnego.

Zadanie. Z pistoletu, którego masa M, pocisk o masie wylatuje w kierunku poziomym M z szybkością w. Znajdź prędkość V pistolety po strzale.

Rozwiązanie. Wszystkie siły zewnętrzne działające na mechaniczny układ broń-pocisk mają charakter pionowy. Oznacza to, że bazując na następstwie twierdzenia o zmianie pędu układu, mamy: .

Wielkość ruchu układu mechanicznego przed odpaleniem:

Wielkość ruchu układu mechanicznego po strzale:

.

Porównując prawe strony wyrażeń, otrzymujemy to

.

Znak „-” w otrzymanym wzorze wskazuje, że po oddaniu strzału działo cofnie się w kierunku przeciwnym do osi Wół.

PRZYKŁAD 2. Strumień cieczy o gęstości wypływa z prędkością V z rury o polu przekroju poprzecznego F i uderza pod kątem w pionową ściankę. Wyznacz ciśnienie płynu na ścianę.

ROZWIĄZANIE. Zastosujmy twierdzenie o zmianie pędu w postaci całkowej do objętości cieczy o masie M uderzanie w ścianę przez pewien czas T.

RÓWNANIE MESHCHERSKIEGO

(podstawowe równanie dynamiki ciała o zmiennej masie)

We współczesnej technologii zdarzają się przypadki, gdy masa punktu i układu nie pozostaje stała podczas ruchu, ale się zmienia. I tak np. podczas lotu rakiet kosmicznych, na skutek wyrzucenia produktów spalania i poszczególnych, niepotrzebnych części rakiety, zmiana masy osiąga 90-95% całkowitej wartości początkowej. Ale nie tylko technologia kosmiczna może być przykładem dynamiki zmiennego ruchu mas. W przemyśle tekstylnym przy nowoczesnych prędkościach roboczych maszyn i maszyn zachodzą znaczne zmiany masy różnych wrzecion, szpul, rolek.

Rozważmy główne cechy związane ze zmianami masy na przykładzie ruchu postępowego ciała o zmiennej masie. Podstawowej zasady dynamiki nie można bezpośrednio zastosować do ciała o zmiennej masie. Otrzymujemy zatem różniczkowe równania ruchu punktu o zmiennej masie, stosując twierdzenie o zmianie pędu układu.

Niech punkt będzie miał masę m+dm porusza się z dużą prędkością. Następnie od punktu oddziela się pewną cząstkę o masie dm poruszać się z dużą prędkością.

Wielkość ruchu ciała przed oderwaniem się cząstki:

Wielkość ruchu układu składającego się z ciała i oderwanej cząstki po jego oddzieleniu:

Następnie zmiana pędu:

Na podstawie twierdzenia o zmianie pędu układu:

Oznaczmy wielkość - prędkość względną cząstki:

Oznaczmy

Rozmiar R zwaną siłą reakcji. Siła reakcji to ciąg silnika wywołany wyrzutem gazu z dyszy.

Wreszcie dostajemy

-

Wzór ten wyraża podstawowe równanie dynamiki ciała o zmiennej masie (wzór Meshchersky'ego). Z ostatniego wzoru wynika, że ​​równania różniczkowe ruchu punktu o zmiennej masie mają taką samą postać jak dla punktu o stałej masie, z wyjątkiem dodatkowej siły reakcji przyłożonej do punktu na skutek zmiany masy.

Podstawowe równanie dynamiki ciała o zmiennej masie wskazuje, że przyspieszenie tego ciała powstaje nie tylko pod wpływem sił zewnętrznych, ale także pod wpływem siły reakcji.

Siła reakcji to siła zbliżona do odczuwanej przez osobę strzelającą - przy strzelaniu z pistoletu wyczuwalna jest ona w dłoni; Strzelając z karabinu, jest on postrzegany przez ramię.

Pierwszy wzór Ciołkowskiego (na rakietę jednostopniową)

Niech punkt o zmiennej masie lub rakieta porusza się po linii prostej pod wpływem tylko jednej siły reakcji. Ponieważ w przypadku wielu nowoczesnych silników odrzutowych, gdzie jest maksymalna siła reakcji (ciąg silnika) dozwolona przez konstrukcję silnika; - siła ciężkości działająca na silnik umieszczony na powierzchni ziemi. Te. powyższe pozwala pominąć składnik równania Meshchersky'ego i przyjąć to równanie w postaci do dalszej analizy: ,

Oznaczmy:

Rezerwa paliwa (dla silników odrzutowych na ciecz - sucha masa rakiety (jej masa pozostała po spaleniu całego paliwa);

Masa cząstek oddzielonych od rakiety; jest uważany za wartość zmienną, wahającą się od do .

Zapiszmy równanie ruchu prostoliniowego punktu o zmiennej masie w postaci:

Ponieważ wzór na określenie zmiennej masy rakiety wynosi

Dlatego równania ruchu punktu Biorąc całki po obu stronach, otrzymujemy

Gdzie - charakterystyczna prędkość- jest to prędkość, jaką osiąga rakieta pod wpływem ciągu po wyrzuceniu z rakiety wszystkich cząstek (w przypadku silników odrzutowych na ciecz - po wypaleniu całego paliwa).

Poza znakiem całki (co można zrobić na podstawie znanego z wyższej matematyki twierdzenia o wartości średniej) znajduje się średnia prędkość cząstek wyrzucanych z rakiety.

Pogląd: ten artykuł został przeczytany 14066 razy

Pdf Wybierz język... Rosyjski Ukraiński Angielski

Krótka recenzja

Całość materiału pobiera się powyżej, po wybraniu języka

Ilość ruchu

Pęd punktu materialnego - wielkość wektorowa równa iloczynowi masy punktu i jego wektora prędkości.

Jednostką miary pędu jest (kg m/s).

Pęd układu mechanicznego - wielkość wektorowa równa sumie geometrycznej (wektorowi głównemu) pędu układu mechanicznego jest równa iloczynowi masy całego układu i prędkości jego środka masy.

Kiedy ciało (lub układ) porusza się w taki sposób, że jego środek masy jest nieruchomy, wówczas wielkość ruchu ciała jest równa zeru (na przykład obrót ciała wokół stałej osi przechodzącej przez środek masy ciała ).

W przypadku ruchu złożonego wielkość ruchu układu nie będzie charakteryzowała części obrotowej ruchu podczas obrotu wokół środka masy. Oznacza to, że wielkość ruchu charakteryzuje jedynie ruch translacyjny układu (wraz ze środkiem masy).

Siła impulsu

Impuls siły charakteryzuje działanie siły w pewnym okresie czasu.

Impuls siły w skończonym okresie czasu definiuje się jako całkowitą sumę odpowiednich impulsów elementarnych.

Twierdzenie o zmianie pędu punktu materialnego

(w formach różnicowych mi ):

Pochodna po czasie pędu punktu materialnego jest równa sumie geometrycznej sił działających na te punkty.

(V forma integralna ):

Zmiana pędu punktu materialnego w pewnym okresie czasu jest równa sumie geometrycznej impulsów sił przyłożonych do tego punktu w tym okresie.

Twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego

(w formie różnicowej ):

Pochodna pędu układu po czasie jest równa sumie geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych działających na układ.

(w formie integralnej ):

Zmiana pędu układu w pewnym okresie czasu jest równa sumie geometrycznej impulsów sił zewnętrznych działających na układ w tym okresie.

Twierdzenie to pozwala wykluczyć z rozważań oczywiście nieznane siły wewnętrzne.

Twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego i twierdzenie o ruchu środka masy to dwie różne formy tego samego twierdzenia.

Prawo zachowania pędu układu

1. Jeżeli suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, wówczas wektor pędu układu będzie stały pod względem kierunku i wielkości.
2. Jeżeli suma rzutów wszystkich działających sił zewnętrznych na dowolną oś jest równa zeru, to rzut pędu na tę oś jest wartością stałą.

wnioski:

1. Prawa zachowania wskazują, że siły wewnętrzne nie mogą zmienić całkowitego ruchu układu.
2. Twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego nie charakteryzuje ruchu obrotowego układu mechanicznego, a jedynie ruch translacyjny.

Podano przykład: Określ pęd dysku o określonej masie, jeśli znana jest jego prędkość kątowa i rozmiar.

Przykład obliczeń koła zębatego czołowego
Przykład obliczenia koła zębatego czołowego. Dokonano doboru materiału, obliczenia dopuszczalnych naprężeń, obliczenia wytrzymałości stykowej i zginającej.

Przykład rozwiązania problemu zginania belki
W przykładzie skonstruowano wykresy sił poprzecznych i momentów zginających, znaleziono niebezpieczny przekrój i wybrano dwuteownik. W zadaniu dokonano analizy konstrukcji diagramów wykorzystując zależności różniczkowe oraz przeprowadzono analizę porównawczą różnych przekrojów belki.

Przykład rozwiązania problemu skręcania wału
Zadanie polega na zbadaniu wytrzymałości wału stalowego przy zadanej średnicy, materiale i dopuszczalnym naprężeniu. Podczas rozwiązywania konstruowane są wykresy momentów obrotowych, naprężeń ścinających i kątów skręcenia. Ciężar własny wału nie jest brany pod uwagę

Przykład rozwiązania problemu rozciągania-ściskania pręta
Zadanie polega na badaniu wytrzymałości pręta stalowego przy zadanych dopuszczalnych naprężeniach. Podczas rozwiązywania konstruowane są wykresy sił podłużnych, naprężeń normalnych i przemieszczeń. Ciężar własny wędki nie jest brany pod uwagę

Zastosowanie twierdzenia o zachowaniu energii kinetycznej
Przykład rozwiązania problemu z wykorzystaniem twierdzenia o zachowaniu energii kinetycznej układu mechanicznego

Wyznaczanie prędkości i przyspieszenia punktu za pomocą zadanych równań ruchu
Przykład rozwiązania zadania wyznaczenia prędkości i przyspieszenia punktu przy wykorzystaniu zadanych równań ruchu

Wyznaczanie prędkości i przyspieszeń punktów ciała sztywnego podczas ruchu płasko-równoległego
Przykład rozwiązania zadania wyznaczenia prędkości i przyspieszeń punktów ciała sztywnego podczas ruchu płasko-równoległego

Wyznaczanie sił w prętach kratownicy płaskiej
Przykład rozwiązania problemu wyznaczania sił w prętach kratownicy płaskiej metodą Rittera i metodą węzłów tnących

Zastosowanie twierdzenia o zmianie momentu pędu
Przykład rozwiązania zadania wykorzystującego twierdzenie o zmianie pędu kinetycznego do wyznaczenia prędkości kątowej ciała obracającego się wokół ustalonej osi.

(Fragmenty symfonii matematycznej)

Związek impulsu siły z podstawowym równaniem dynamiki Newtona wyraża twierdzenie o zmianie pędu punktu materialnego.

Twierdzenie. Zmiana pędu punktu materialnego w pewnym okresie czasu jest równa impulsowi siły () działającej na punkt materialny w tym samym okresie czasu. Dowód matematyczny tego twierdzenia można nazwać fragmentem symfonii matematycznej. Tutaj jest.

Różnicowy pęd punktu materialnego jest równy elementarnemu impulsowi siły działającej na punkt materialny. Mamy wyrażenie całkujące (128) dla pędu różniczkowego punktu materialnego

(129)

Twierdzenie zostało udowodnione i matematycy uważają swoją misję za zakończoną, ale inżynierowie, których przeznaczeniem jest święta wiara w matematyków, mają pytania, gdy korzystają ze sprawdzonego równania (129). Blokuje je jednak stanowczo kolejność i piękno operacji matematycznych (128 i 129), które fascynują i zachęcają do nazwania ich fragmentem symfonii matematycznej. Ileż pokoleń inżynierów zgadzało się z matematykami i zachwycało się tajemnicą ich symboli matematycznych! Ale był też inżynier, który nie zgodził się z matematykami i zadał im pytania.

Drodzy matematycy! Dlaczego w żadnym z Twoich podręczników mechaniki teoretycznej nie jest omówiony proces zastosowania Twojego symfonicznego wyniku (129) w praktyce, na przykład przy opisie procesu przyspieszania samochodu? Lewa strona równania (129) jest bardzo jasna. Samochód rozpoczyna przyspieszanie od prędkości i kończy je np. przy prędkości. Jest całkiem naturalne, że równanie (129) staje się

I od razu pojawia się pierwsze pytanie: jak z równania (130) wyznaczyć siłę, pod wpływem której samochód rozpędza się do prędkości 10 m/s? Odpowiedzi na to pytanie nie znajdziemy w żadnym z niezliczonych podręczników mechaniki teoretycznej. Idźmy dalej. Po przyspieszeniu samochód zaczyna poruszać się równomiernie z prędkością 10 m/s. Jaka siła porusza samochód???????? Nie pozostaje mi nic innego, jak zarumienić się razem z matematykami. Pierwsza zasada dynamiki Newtona mówi, że gdy samochód porusza się ruchem jednostajnym, nie działają na niego żadne siły, a samochód, mówiąc w przenośni, kicha na to prawo, zużywa benzynę i pracuje, pokonując np. odległość 100 km. Gdzie jest siła, która wykonała pracę, aby przesunąć samochód na odległość 100 km? Symfoniczne równanie matematyczne (130) milczy, ale życie toczy się dalej i domaga się odpowiedzi. Zaczynamy go szukać.

Ponieważ samochód porusza się prostoliniowo i równomiernie, siła poruszająca się nim jest stała pod względem wielkości i kierunku, a równanie (130) przyjmuje postać

(131)

Zatem równanie (131) w tym przypadku opisuje przyspieszony ruch ciała. Jaka jest równa siła? Jak wyrazić jego zmianę w czasie? Matematycy wolą pominąć to pytanie i pozostawić je inżynierom, wierząc, że muszą szukać odpowiedzi na to pytanie. Inżynierom pozostaje tylko jedno wyjście - wziąć pod uwagę, że jeśli po zakończeniu przyspieszonego ruchu ciała rozpocznie się faza ruchu jednostajnego, któremu towarzyszy działanie stałej siły, przedstawiamy równanie (131) dla moment przejścia od ruchu przyspieszonego do ruchu jednostajnego w tej postaci

(132)

Strzałka w tym równaniu nie oznacza wyniku całkowania tego równania, ale proces przejścia od jego postaci całkowej do postaci uproszczonej. Siła w tym równaniu jest równa średniej sile, która zmieniła pęd ciała od zera do wartości końcowej. Tak więc, drodzy matematycy i fizycy teoretyczni, brak waszej metody określania wielkości waszego impulsu zmusza nas do uproszczenia procedury wyznaczania siły, a brak metody określania czasu działania tej siły generalnie stawia nas w trudnej sytuacji. pozycja beznadziejna i zmuszeni jesteśmy posłużyć się wyrażeniem analizującym proces zmiany pędu ciała. W rezultacie im dłużej działa siła, tym większy jest jej impuls. Jest to wyraźnie sprzeczne z ugruntowaną od dawna koncepcją, że im krótszy czas działania, tym większy impuls siły.

Zwróćmy uwagę na fakt, że zmiana pędu punktu materialnego (impulsu siły) podczas jego przyspieszonego ruchu następuje pod wpływem siły Newtona i sił oporu ruchu, w postaci sił generowanych przez opory mechaniczne i siła bezwładności. Jednak dynamika newtonowska w zdecydowanej większości zagadnień ignoruje siłę bezwładności, a mechanodynamika stwierdza, że ​​zmiana pędu ciała podczas jego ruchu przyspieszonego następuje na skutek przewagi siły newtonowskiej nad siłami oporu ruchu, do których zalicza się siła bezwładności.

Kiedy ciało porusza się w zwolnionym tempie, np. samochód z wyłączonym biegiem, nie ma siły Newtona, a zmiana pędu samochodu następuje na skutek przewagi sił oporu ruchu nad siłą bezwładność, która porusza samochód, gdy porusza się powoli.

Jak możemy teraz przywrócić wyniki zauważonych „symfonicznych” działań matematycznych (128) do głównego nurtu związków przyczynowo-skutkowych? Jest tylko jedno wyjście - znaleźć nową definicję pojęć „impuls siły” i „siła uderzenia”. Aby to zrobić, podziel obie strony równania (132) przez czas t. W efekcie będziemy mieli

. (133)

Zauważmy, że wyrażenie mV/t jest szybkością zmiany pędu (mV/t) punktu lub ciała materialnego. Jeśli weźmiemy pod uwagę, że V/t jest przyspieszeniem, wówczas mV/t jest siłą zmieniającą pęd ciała. Ten sam wymiar po lewej i prawej stronie znaku równości daje nam prawo nazwać siłę F siłą uderzeniową i oznaczyć ją symbolem, a impuls S - impulsem uderzeniowym i oznaczyć go symbolem. Prowadzi to do nowej definicji siły uderzenia. Siła uderzenia działająca na punkt lub ciało materialne jest równa stosunkowi zmiany pędu punktu lub ciała materialnego do czasu tej zmiany.

Zwróćmy szczególną uwagę na fakt, że w powstaniu impulsu uderzeniowego (134), który powoduje zmianę prędkości samochodu od zera do maksymalnej, uczestniczy wyłącznie siła Newtona – dlatego równanie (134) należy w całości do dynamiki Newtona. Ponieważ znacznie łatwiej jest wyznaczyć wielkość prędkości eksperymentalnie niż wyznaczyć przyspieszenie, wzór (134) jest bardzo wygodny do obliczeń.

Ten niezwykły wynik wynika z równania (134).

Zwróćmy uwagę, że zgodnie z nowymi prawami mechanodynamiki generatorem impulsu siły podczas przyspieszonego ruchu punktu lub ciała materialnego jest siła Newtona. Tworzy przyspieszenie ruchu punktu lub ciała, przy którym automatycznie powstaje siła bezwładności, skierowana przeciwnie do siły Newtona, a uderzenie Siła Newtona musi pokonać działanie siły bezwładności, dlatego siła bezwładności musi być przedstawiona w postaci bilans sił po lewej stronie równania (134). Ponieważ siła bezwładności jest równa masie punktu lub ciała pomnożonej przez powstałe przez nią opóźnienie, wówczas równanie (134) ma postać

(136)

Drodzy matematycy! Widzicie jaką postać przybrał model matematyczny opisujący impuls uderzeniowy, który przyspiesza ruch uderzanego ciała od prędkości zerowej do maksymalnej V (11). Sprawdźmy teraz jego działanie przy wyznaczaniu impulsu uderzenia, który jest równy sile uderzenia, która wystrzeliła 2. blok napędowy SShG (ryc. 120), a pozostawimy cię z bezużytecznym równaniem (132). Aby nie komplikować prezentacji, pozostawimy na razie wzór (134) w spokoju i posłużymy się wzorami, które podają średnie wartości sił. Widzisz na jakiej pozycji stawiasz inżyniera próbującego rozwiązać konkretny problem.

Zacznijmy od dynamiki Newtona. Eksperci ustalili, że drugi blok napędowy wzniósł się na wysokość 14 m. Ponieważ wznosił się w polu grawitacyjnym, na wysokości h = 14 m jego energia potencjalna okazała się równa

a średnia energia kinetyczna była równa

Ryż. 120. Zdjęcie turbinowni przed katastrofą

Z równości energii kinetycznej (138) i potencjalnej (137) wynika średnia szybkość wzrostu jednostki napędowej (ryc. 121, 122)

Ryż. 121. Foton turbinowni po katastrofie

Zgodnie z nowymi prawami mechanodynamiki wzrost zespołu napędowego składał się z dwóch faz (ryc. 123): pierwszej fazy OA - wzrostu przyspieszonego i drugiej fazy AB - powolnego wzrostu, , .

Czas i odległość ich działania są w przybliżeniu równe (). Następnie równanie kinematyczne fazy przyspieszonej podnoszenia zespołu napędowego zostanie zapisane w następujący sposób:

. (140)

Ryż. 122. Widok studni bloku energetycznego i samego bloku energetycznego po katastrofie

Prawo zmiany szybkości narastania bloku energetycznego w pierwszej fazie ma postać

. (141)

Ryż. 123. Regularność zmian prędkości lotu V zespołu napędowego

Podstawiając czas z równania (140) do równania (141), mamy

. (142)

Czas podnoszenia bloku w pierwszej fazie wyznacza się ze wzoru (140)

. (143)

Wówczas całkowity czas podniesienia zespołu napędowego na wysokość 14 m będzie równy . Masa zespołu napędowego i pokrywy wynosi 2580 ton. Zgodnie z dynamiką Newtona siła, która podniosła jednostkę napędową, jest równa

Drodzy matematycy!Śledzimy Twoje symfoniczne wyniki matematyczne i zapisujemy Twój wzór (129), zgodnie z dynamiką Newtona, aby określić impuls uderzeniowy, który wystrzelił drugi zespół napędowy

i zadaj podstawowe pytanie: jak ustalić czas trwania impulsu uderzeniowego, który wystrzelił 2. blok napędowy????????????

Droga!!! Pamiętajcie, ile kredy napisały na tablicach pokolenia waszych kolegów, w zawiły sposób ucząc uczniów, jak określić impuls uderzeniowy, a nikt nie wyjaśnił, jak określić czas trwania impulsu uderzeniowego w każdym konkretnym przypadku. Powiecie, że czas trwania impulsu uderzeniowego jest równy odstępowi czasu zmiany prędkości zespołu napędowego od zera do, założymy, maksymalnej wartości 16,75 m/s (139). Jest we wzorze (143) i wynosi 0,84 s. Na razie się z Tobą zgadzamy i określamy średnią wartość impulsu uderzeniowego

Natychmiast pojawia się pytanie: dlaczego wielkość impulsu uderzeniowego (146) jest mniejsza niż siła Newtona wynosząca 50600 ton? Wy, drodzy matematycy, nie macie odpowiedzi. Idźmy dalej.

Zgodnie z dynamiką Newtona główną siłą, która przeciwdziałała unoszeniu się jednostki napędowej, była grawitacja. Ponieważ siła ta jest skierowana przeciwnie do ruchu jednostki napędowej, generuje ona opóźnienie równe przyspieszeniu swobodnego spadania. Wtedy siła grawitacji działająca na lecący w górę zespół napędowy jest równa

Dynamika Newtona nie uwzględnia innych sił, które uniemożliwiły działanie siły Newtona o masie 50 600 ton (144), a mechanodynamika stwierdza, że ​​wzrostowi zespołu napędowego przeciwstawiła się także siła bezwładności równa

Natychmiast pojawia się pytanie: jak znaleźć wielkość opóźnienia w ruchu jednostki napędowej? Dynamika Newtona milczy, ale odpowiada mechanodynamika: w momencie działania siły Newtona, która uniosła jednostkę napędową, stawiały jej opór: siła ciężkości i siła bezwładności, stąd równanie sił działających na moc jednostka w tym momencie jest zapisana w następujący sposób.

Wielkość ruchu jest miarą ruchu mechanicznego, jeśli ruch mechaniczny zamienia się w mechaniczny. Na przykład mechaniczny ruch kuli bilardowej (ryc. 22) przed uderzeniem zamienia się w mechaniczny ruch kul po uderzeniu. Dla punktu pęd jest równy iloczynowi.

Miarą siły w tym przypadku jest impuls siły

. (9.1)

Pęd określa działanie siły przez pewien okres czasu . Dla punktu materialnego twierdzenie o zmianie pędu można zastosować w formie różniczkowej
(9.2) lub postać całkowa (skończona).
. (9.3)

Zmiana pędu punktu materialnego w pewnym okresie czasu jest równa impulsowi wszystkich sił przyłożonych do tego punktu w tym samym czasie.

Rysunek 22

Podczas rozwiązywania problemów Twierdzenie (9.3) jest częściej stosowane w rzutach na osie współrzędnych
;

; (9.4)

.

Korzystając z twierdzenia o zmianie pędu punktu, można rozwiązać problemy, w których na punkt lub ciało poruszające się translacyjnie działają stałe lub zmienne siły zależne od czasu, a do zadanych i poszukiwanych wielkości zalicza się czas ruchu oraz prędkości na początku i na końcu ruchu. Problemy z wykorzystaniem twierdzenia rozwiązuje się w następującej kolejności:

1. wybrać układ współrzędnych;

2. przedstawić wszystkie dane (czynne) siły i reakcje działające na punkt;

3. zapisać twierdzenie o zmianie pędu punktu w rzutach na wybrane osie współrzędnych;

4. określić wymagane ilości.

PRZYKŁAD 12.

Młotek o masie G=2t spada z wysokości h=1m na obrabiany przedmiot w czasie t=0,01s i stempluje część (rys. 23). Określ średnią siłę nacisku młotka na przedmiot obrabiany.

Zmiana pędu układu mechanicznego w pewnym okresie czasu jest równa sumie impulsów sił zewnętrznych działających w tym samym czasie. Czasami wygodniej jest zastosować twierdzenie o zmianie pędu w rzucie na osie współrzędnych
; (9.8)
. (9.9)

Prawo zachowania pędu mówi, że w przypadku braku sił zewnętrznych pęd układu mechanicznego pozostaje stały. Działanie sił wewnętrznych nie może zmienić pędu układu. Z równania (9.6) wynika, że ​​kiedy
,
.

Jeśli
, To
Lub
.

D

śmigło lub śmigło, napęd odrzutowy. Kałamarnice poruszają się gwałtownie, wyrzucając wodę z worka mięśniowego niczym armata wodna (ryc. 25). Odpychana woda ma pewien ruch skierowany do tyłu. Kałamarnica otrzymuje odpowiednią prędkość ruch do przodu dzięki reaktywnej sile uciągu , ponieważ zanim kałamarnica wyskoczy z siły zrównoważony grawitacją .

Zastosowanie twierdzenia o zmianie pędu pozwala na wyłączenie z rozważań wszelkich sił wewnętrznych.

PRZYKŁAD 13.

Wciągarka A z bębnem o promieniu r jest zainstalowana na peronie kolejowym wolnostojącym na szynach (rys. 26). Wciągarka przeznaczona jest do przemieszczania po platformie ładunku B o masie m 1. Masa platformy z wciągarką m 2. Bęben wciągarki obraca się zgodnie z prawem
. W początkowej chwili system był mobilny. Pomijając tarcie, znajdź prawo zmiany prędkości platformy po włączeniu wciągarki.

R ROZWIĄZANIE.

1. Rozważ platformę, wciągarkę i ładunek jako pojedynczy układ mechaniczny, na który działają siły zewnętrzne: ciężar ładunku i platformy i reakcje I
.

2. Ponieważ wszystkie siły zewnętrzne są prostopadłe do osi x, tj.
, stosujemy zasadę zachowania pędu układu mechanicznego w rzucie na oś x:
. W początkowej chwili układ był nieruchomy, zatem

Wyraźmy wielkość ruchu układu w dowolnym momencie. Platforma porusza się do przodu z dużą prędkością ładunek podlega złożonemu ruchowi polegającemu na ruchu względnym po platformie z określoną prędkością i przenośny ruch wraz z platformą z dużą prędkością ., Gdzie
. Platforma będzie poruszać się w kierunku przeciwnym do względnego ruchu ładunku.

PRZYKŁAD 14.

Gdzie ,
- wielkość ruchu odpowiednio płyty i obciążenia.

;
, Gdzie --bezwzględna prędkość ładunku D. Z równości (1) wynika, że ​​K 1x + K 2x =C 1 lub m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. (2) Aby wyznaczyć V Dx, należy uznać ruch ładunku D za złożony, biorąc pod uwagę jego ruch względem płyty oraz ruch samej płyty przenośnej, a następnie
, (3)
;lub w rzucie na oś x: . (4) Podstawmy (4) do (2):
. (5) Stałą całkowania C 1 wyznaczamy z warunków początkowych: przy t=0 u=u 0 ; (m 1 + m 2) u 0 = C 1. (6) Podstawiając wartość stałej C 1 do równania (5) otrzymujemy

SM.